تبسيط التعبيرات ذات الأسس المنطقية. تعابير القوة (التعبيرات بالقوى) وتحويلها

سيتم تعريف التعبير a n (القوة ذات الأس الصحيح) في جميع الحالات ، باستثناء الحالة التي تكون فيها a = 0 و n أقل من أو تساوي الصفر.

خصائص الدرجة

الخصائص الرئيسية للدرجات ذات الأس الصحيح:

أ م * أ ن = أ (م + ن) ؛

أ م: أ n \ u003d أ (م-ن) (مع ألا يساوي الصفر) ؛

(أ م) ن = أ (م * ن) ؛

(أ * ب) ن = أ ن * ب ن ؛

(أ / ب) ن = (أ ن) / (ب ن) (ل بلا يساوي الصفر) ؛

أ 0 = 1 (متى ألا يساوي الصفر) ؛

ستكون هذه الخصائص صالحة لأي أرقام a و b وأي أعداد صحيحة m و n. ومن الجدير بالذكر أيضًا الخاصية التالية:

إذا كانت m> n ، فإن m> a n ، لـ a> 1 و a m

من الممكن تعميم مفهوم درجة الرقم على الحالات التي تعمل فيها الأرقام المنطقية كأُسس. في نفس الوقت ، أود أن تتحقق جميع الخصائص المذكورة أعلاه ، أو على الأقل بعضها.

على سبيل المثال ، إذا تم تنفيذ الخاصية (أ م) ن = أ (م * ن) ، فستكون المساواة التالية صحيحة:

(أ (م / ن)) ن = أ م.

تعني هذه المساواة أن الرقم a (m / n) يجب أن يكون الجذر n من الرقم a m.

قوة عدد ما a (أكبر من الصفر) مع الأس المنطقي r = (m / n) ، حيث m هي بعض الأعداد الصحيحة ، n هي بعض الأعداد الطبيعية الأكبر من واحد ، تسمى الرقم ن (م). بناءً على التعريف: أ (م / ن) = ن (أ م).

لكل r موجب ، سيتم تحديد قوة الصفر. حسب التعريف ، 0 r = 0. نلاحظ أيضًا أنه بالنسبة لأي عدد صحيح ، أي طبيعي m و n ، وإيجابي أالمساواة التالية صحيحة: a (m / n) = a ((mk) / (nk)).

على سبيل المثال: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).

إن تعريف الدرجة ذات الأس المنطقي يعني بشكل مباشر حقيقة أنه بالنسبة لأي موجب أ وأي ص منطقي ، سيكون الرقم أ ص سيكون إيجابي.

الخصائص الأساسية لدرجة ذات أس منطقي

بالنسبة لأي أرقام منطقية p و q وأي أ> 0 و b> 0 ، فإن المعادلات التالية صحيحة:

1. (أ ع) * (أ ف) = أ (ف + ف) ؛

2. (أ ع): (ب ف) = أ (ف ف) ؛

3. (a p) q = a (p * q) ؛

4. (أ * ب) ع = (أ ع) * (ب ع) ؛

5. (أ / ب) ع = (أ ع) / (ب ع).

هذه الخصائص تأتي من خصائص الجذور. تم إثبات كل هذه الخصائص بطريقة مماثلة ، لذلك نحن نقصر أنفسنا على إثبات واحدة منها فقط ، على سبيل المثال ، الأولى (a p) * (a q) = a (p + q).

لنفترض أن p = m / n و q = k / l ، حيث n ، l هي بعض الأعداد الطبيعية و m ، k هي بعض الأعداد الصحيحة. فأنت بحاجة إلى إثبات أن:

(أ (م / ن)) * (أ (ك / ل)) = أ ((م / ن) + (ك / ل)).

أولًا ، نحضر الكسور m / n k / l إلى مقام مشترك. نحصل على الكسور (م * ل) / (ن * ل) و (ك * ن) / (ن * ل). نعيد كتابة الجانب الأيسر من المعادلة باستخدام هذه الرموز ونحصل على:

(a (m / n)) * (a (k / l)) = (a ((m * l) / (n * l))) * (a ((k * n) / (n * l)) ).

(a (m / n)) * (a (k / l)) = (a ((m * l) / (n * l))) * (a ((k * n) / (n * l)) ) = (n * l) √ (a (m * l)) * (n * l) √ (a (k * n)) = (n * l) √ ((a (m * l)) * (a (ك * ن))) = (ن * ل) √ (أ (م * ل + ك * ن)) = أ ((م * ل + ك * ن) / (ن * ل)) = أ ((م / ن) + (ك / لتر)).

يحتوي درس الفيديو "الدرجة بمؤشر منطقي" على مادة تعليمية مرئية لتدريس درس حول هذا الموضوع. يحتوي الفيديو التعليمي على معلومات حول مفهوم الدرجة ذات الأس المنطقي ، وخصائص هذه الدرجات ، بالإضافة إلى أمثلة تصف استخدام المواد التعليمية لحل المشكلات العملية. مهمة هذا الدرس المرئي هي عرض المادة التعليمية بشكل مرئي وواضح ، لتسهيل تطويرها وحفظها من قبل الطلاب ، لتكوين القدرة على حل المشكلات باستخدام المفاهيم التي تم تعلمها.

تتمثل المزايا الرئيسية لدرس الفيديو في القدرة على إجراء تحويلات وحسابات بصرية ، والقدرة على استخدام تأثيرات الرسوم المتحركة لتحسين كفاءة التعلم. تساعد المرافقة الصوتية على تطوير الكلام الرياضي الصحيح ، كما أنها تجعل من الممكن استبدال شرح المعلم ، وتحريره للعمل الفردي.

يبدأ الفيديو التعليمي بتقديم الموضوع. من خلال ربط دراسة موضوع جديد بالمواد التي تمت دراستها مسبقًا ، يُقترح التذكير بأن n √a يُشار إليها بطريقة أخرى بـ 1 / n من أجل n الطبيعي والإيجابي a. يتم عرض هذا التمثيل لـ n-root على الشاشة. علاوة على ذلك ، يُقترح النظر في ما يعنيه التعبير a m / n ، حيث يكون a رقمًا موجبًا ، و m / n عبارة عن كسر. يُعطى تعريف الدرجة المميزة في المربع بأس عقلاني مثل m / n = n √ a m. يُلاحظ أن n يمكن أن يكون عددًا طبيعيًا ، و m - عدد صحيح.

بعد تحديد الدرجة بأس منطقي ، يتم الكشف عن معناها من خلال الأمثلة: (5/100) 3/7 = 7 (5/100) 3. يظهر مثال أيضًا حيث يتم تحويل قوة ممثلة بعدد عشري إلى كسر مشترك ليتم تمثيله كجذر: (1/7) 1.7 = (1/7) 17/10 = 10 (1/7) 17 و مثال ذو أس سالب: 3-1/8 = 8 √3 -1.

بشكل منفصل ، تتم الإشارة إلى سمة من سمات حالة معينة عندما تكون قاعدة الدرجة صفر. من الملاحظ أن هذه الدرجة تكون منطقية فقط مع الأس الكسري الموجب. في هذه الحالة ، قيمتها تساوي الصفر: 0 م / ن = 0.

هناك ميزة أخرى للدرجة ذات الأس المنطقي - وهي أن الدرجة ذات الأس الكسري لا يمكن اعتبارها مع الأس الكسري. يتم إعطاء أمثلة للتدوين غير الصحيح للدرجة: (-9) -3/7 ، (-3) -1/3 ، 0 -1/5.

علاوة على ذلك ، في درس الفيديو ، يتم النظر في خصائص الدرجة ذات الأس المنطقي. من الملاحظ أن خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح ستكون صالحة أيضًا لدرجة ذات أس منطقي. يُقترح استدعاء قائمة الخصائص الصالحة أيضًا في هذه الحالة:

1. عند ضرب القوى بنفس القواعد ، تتم إضافة مؤشراتها: a p a q \ u003d a p + q.
2. يتم تقليل قسمة الدرجات التي لها نفس الأسس إلى درجة مع وجود أساس معين والفرق في الأسس: a p: a q = a p-q.
3. إذا رفعنا الأس إلى قوة معينة ، فنتيجة لذلك نحصل على القوة مع الأساس المعطى وحاصل ضرب الأسس: (a p) q = a pq.

كل هذه الخصائص صالحة للقوى ذات الأسس المنطقية p و q والقاعدة الموجبة a> 0. أيضًا ، تظل تحويلات الدرجات صحيحة عند فتح الأقواس:

1. (ab) p = a p b p - رفع حاصل ضرب رقمين إلى قوة معينة بأس عقلاني يتم تقليله إلى منتج من الأرقام ، يتم رفع كل منها إلى قوة معينة.
2. (a / b) p = a p / b p - يتم تقليل الأس مع الأس المنطقي لكسر إلى كسر يتم رفع بسطه ومقامه إلى القوة المحددة.

يناقش الفيديو التعليمي حل الأمثلة التي تستخدم الخصائص المدروسة للدرجات ذات الأس المنطقي. في المثال الأول ، يُقترح العثور على قيمة التعبير الذي يحتوي على المتغيرات x إلى قوة كسرية: (x 1/6 -8) 2-16x 1/6 (x -1/6 -1). على الرغم من تعقيد التعبير ، باستخدام خصائص الدرجات ، يتم حلها بكل بساطة. يبدأ حل المهمة بتبسيط التعبير ، والذي يستخدم قاعدة رفع درجة بأس عقلاني لقوة ، بالإضافة إلى ضرب الأسس بنفس الأساس. بعد استبدال القيمة المعطاة x = 8 في التعبير المبسط x 1/3 +48 ، من السهل الحصول على القيمة - 50.

في المثال الثاني ، مطلوب تقليل كسر يحتوي بسطه ومقامه على قوى ذات أس كسري. باستخدام خصائص الدرجة ، نختار العامل x 1/3 من الاختلاف ، والذي يتم بعد ذلك تقليله في البسط والمقام ، وباستخدام صيغة اختلاف المربعات ، يتحلل البسط إلى عوامل ، مما يعطي مزيدًا من التخفيضات في نفس العوامل في البسط والمقام. نتيجة هذه التحولات هي كسر قصير × 1/4 +3.

يمكن استخدام درس الفيديو "الدرجة بمؤشر منطقي" بدلاً من شرح المعلم للموضوع الجديد للدرس. يحتوي هذا الدليل أيضًا على معلومات كافية للدراسة الذاتية للطالب. يمكن أن تكون المواد مفيدة في التعلم عن بعد.

تعبير عن النموذج أ (م / ن) ، حيث ن هو عدد طبيعي ما ، م هو عدد صحيح وقاعدة الدرجة أ أكبر من الصفر ، تسمى درجة ذات أس كسري.علاوة على ذلك ، فإن المساواة التالية صحيحة. ن (أ م) = أ (م / ن).

كما نعلم بالفعل ، فإن الأرقام التي على شكل m / n ، حيث n عبارة عن عدد طبيعي و m عدد صحيح ، تسمى أرقام كسرية أو منطقية. مما سبق ، نحصل على أن الدرجة محددة ، لأي أس منطقي وأي أساس إيجابي للدرجة.

بالنسبة لأي أرقام منطقية p و q وأي أ> 0 و b> 0 ، فإن المعادلات التالية صحيحة:

• 1. (أ ع) * (أ ف) = أ (ف + ف)
• 2. (أ ع): (ب ف) = أ (ف ف)
• 3. (أ ع) س = أ (ع * ف)
• 4. (أ * ب) * = (أ *) * (ب *)
• 5. (أ / ب) ع = (أ ع) / (ب ع)

تُستخدم هذه الخصائص على نطاق واسع عند تحويل التعبيرات المختلفة التي تحتوي على درجات بأسس كسرية.

أمثلة على تحويلات التعبيرات التي تحتوي على درجة ذات أس كسري

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة التي توضح كيف يمكن استخدام هذه الخصائص لتحويل التعبيرات.

1. احسب 7 (1/4) * 7 (3/4).

• 7 (1/4) * 7 (3/4) = ض (1/4 + 3/4) = 7.

2. احسب 9 (2/3): 9 (1/6).

• 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. احسب (16 (1/3)) (9/4).

• (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. احسب 24 (2/3).

• 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. احسب (8/27) (1/3).

• (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. بسّط التعبير ((a (4/3)) * b + a * b (4/3)) / (3√a + 3√b)

• ((أ (4/3)) * ب + أ * ب (4/3)) / (3√a + 3√b) = (أ * ب * (أ (1/3) + ب (1/3 ))) / (1/3) + ب (1/3)) = أ * ب.

7. احسب (25 (1/5)) * (125 (1/5)).

• (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. بسّط التعبير

• (أ (1/3) - أ (7/3)) / (أ (1/3) - أ (4/3)) - (أ (-1/3) - أ (5/3)) / ( أ (2/3) + أ (-1/3)).
• (أ (1/3) - أ (7/3)) / (أ (1/3) - أ (4/3)) - (أ (-1/3) - أ (5/3)) / ( أ (2/3) + أ (-1/3)) =
• = ((أ (1/3)) * (1-أ 2)) / ((أ (1/3)) * (1-أ)) - ((أ (-1/3)) * (1- أ 2)) / ((أ (-1/3)) * (1 + أ)) =
• = 1 + أ - (1-أ) = 2 * أ.

كما ترى ، باستخدام هذه الخصائص ، يمكنك تبسيط بعض المقادير التي تحتوي على درجات بأسس كسرية.

الدرس رقم 30 (الجبر وبدايات التحليل الصف 11)

موضوع الدرس: الدرجة مع الأس العقلاني.

هدف الدرس: 1 . توسيع مفهوم الدرجة ، وإعطاء مفهوم الدرجة بمؤشر منطقي ؛ لتعليم كيفية ترجمة درجة بمؤشر منطقي إلى الجذر والعكس صحيح ؛ احسب الأسس المنطقية.

2. تنمية الذاكرة والتفكير.

3. تكوين النشاط.

"دع شخصًا ما يحاول الشطب

من شهادة في الرياضيات وسوف يرى

لن تذهب بعيدا بدونهم ".ام في لومونوسوف

خلال الفصول.

I. توصيل الموضوع والغرض من الدرس.

ثانيًا. تكرار وتوحيد المواد المغطاة.

1. تحليل أمثلة المنزل التي لم يتم حلها.

2. مراقبة العمل المستقل:

الخيار 1.

1. حل المعادلة: √ (2x - 1) = 3x - 12

2. حل المتباينة: √ (3x - 2) ≥ 4 - x

الخيار 2.

1. حل المعادلة: 3 - 2x \ u003d √ (7x + 32)

2. حل المتباينة: √ (3x + 1) ≥ x - 1

ثالثا. تعلم مواد جديدة.

1 . أذكر امتداد مفهوم الأرقام: N Z є Q є R.

وأفضل تمثيل لذلك هو الرسم التخطيطي أدناه:

طبيعي (N)

صفر

أرقام غير سالبة

الأعداد السالبة

الأعداد الكسرية

الأعداد الصحيحة (ع)

غير منطقي

عقلاني (س)

الأعداد الحقيقية

2. في الدرجات الدنيا ، تم تعريف مفهوم درجة الرقم مع الأس الصحيح. أ) تذكر تعريف الدرجة أ) مع العدد الطبيعي ، ب) مع عدد صحيح سالب ، ج) مع الأس صفر.التأكيد على أن التعبير أن يكون منطقيًا لجميع الأعداد الصحيحة n وأي قيم لـ a ، باستثناء a = 0 و n≤0.

ب) اكتب خصائص الدرجات مع الأس الصحيح.

3. العمل الشفوي.

واحد). احسب: 1-5 ؛ 4-3 ؛ (-100 ؛ (-5) -2 ؛ (1/2) -4 ؛ (3/7) -1.

2). اكتب أسًا سالبًا:

1/4 5 ؛ 1/21 3 ؛ 1 / × 7 ؛ 1 / أ 9.

3). قارن مع الوحدة: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . الآن أنت بحاجة إلى فهم معنى التعبيرات 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 إلخ. للقيام بذلك ، من الضروري تعميم مفهوم الدرجة بحيث يتم استيفاء جميع الخصائص المدرجة للدرجات. النظر في المساواة (أم / ن) ن = أ م . بعد ذلك ، من خلال تعريف الجذر النوني ، من المعقول افتراض أن أم / ن سيكون الجذر النوني لم . يتم إعطاء تعريف الدرجة مع الأس المنطقي.

5. انظر في الأمثلة 1 و 2 من الكتاب المدرسي.

6. دعونا نقدم عددًا من الملاحظات المتعلقة بمفهوم الدرجة ذات الأس المنطقي.

ملاحظة 1 : لأي رقم> 0 ورقم منطقي r ، الرقم aص> 0

ملاحظة 2 : من خلال الخاصية الأساسية للكسور ، يمكن كتابة العدد المنطقي m / n بالصيغة mk / nk لأي عدد طبيعي k. ثملا تعتمد قيمة الدرجة على شكل كتابة رقم منطقي ،منذ أن mk / nk = = nk √ a mk = n √ a m = a m / n

ملاحظة 3: عندما دعنا نشرح هذا بمثال. يعتبر (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. من ناحية أخرى: 1/3 = 2/6 ثم (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. نحصل على تناقض.