معادلة ماكسويل هي إجمالي القانون الحالي. معادلات ماكسويل ومعناها المادي
نظام معادلات ماكسويل هو تعميم للقوانين الأساسية للظواهر الكهربائية والكهرومغناطيسية. تصف كل شىءالظواهر الكهرومغناطيسية. نظرًا لكونه أساس نظرية المجال الكهرومغناطيسي ، فإن نظام المعادلات هذا يسمح بحل المشكلات المتعلقة بإيجاد المجالات الكهربائية والمغناطيسية الناتجة عن توزيع معين للشحنات والتيارات الكهربائية. كانت معادلات ماكسويل نقطة البداية لنظرية النسبية العامة لأينشتاين. تكشف نظرية ماكسويل الطبيعة الكهرومغناطيسية للضوء. ماكسويل صاغ المعادلات في ستينيات القرن التاسع عشر على أساس تعميم القوانين التجريبية وتطور أفكار العلماء الذين درسوا الظواهر الكهرومغناطيسية قبله (قوانين كولوم وبيوت سافارت وأمبير و ، على وجه الخصوص ، دراسات فاراداي). كتب ماكسويل نفسه 20 معادلة في 20 مجهولًا في شكل تفاضلي ، والتي تم تحويلها لاحقًا. تم إعطاء الشكل الحديث لماكسويل من قبل الفيزيائي الألماني جي هيرتز والفيزيائي الإنجليزي أو.هيفيسايد. نكتب المعادلات باستخدام نظام الوحدات غاوسي.
نظام معادلات ماكسويل
يتضمن نظام معادلات ماكسويل أربع معادلات.
المعادلة الأولى:
هذا هو قانون فاراداي (قانون الحث الكهرومغناطيسي).
أين شدة المجال الكهربائي ، هو ناقل الحث المغناطيسي ، ج هي سرعة الضوء في الفراغ.
تقول هذه المعادلة أن تجعيد شدة المجال الكهربائي يساوي التدفق (أي معدل التغير مع الوقت) لمتجه الحث المغناطيسي عبر هذه الدائرة ، والمعادلة (1.1) هي معادلة ماكسويل الأولى في الشكل التفاضلي.
يمكن كتابة المعادلة نفسها بشكل متكامل ، ثم تأخذ الشكل التالي:
أين الإسقاط على المنطقة dS لمتجه الحث المغناطيسي ،
- الفيض المغناطيسي.
أرز. 2.
يتم تحديد دوران متجه شدة المجال الكهربائي على طول حلقة مغلقة L (emf حثي) من خلال معدل تغير تدفق متجه الحث المغناطيسي عبر السطح الذي تحده هذه الحلقة. علامة الطرح وفقًا لقاعدة لينز تعني اتجاه تيار الحث.
وفقًا لماكسويل ، فإن قانون الحث الكهرومغناطيسي (وهذا هو بالضبط) صالح لأي دائرة مغلقة ، يتم اختيارها عشوائيًا في مجال مغناطيسي متناوب.
معنى هذه المعادلة: إن المجال المغناطيسي المتغير في أي نقطة في الفضاء يخلق مجالًا كهربائيًا دواميًا.
أين متجه الشدة المغناطيسية ، كثافة التيار الكهربائي ، متجه الإزاحة الكهربائية.
معادلة ماكسويل هذه عبارة عن تعميم لقانون Biot-Savart التجريبي بأن المجالات المغناطيسية تثيرها التيارات الكهربائية. معنى المعادلة الثانية هو أن مصدر المجال المغناطيسي الدوامي هو أيضًا مجال كهربائي متناوب ، يتميز تأثيره المغناطيسي بتيار إزاحة. (- كثافة تيار النزوح).
في شكل متكامل ، يتم تمثيل معادلة ماكسويل الثانية (نظرية دوران المجال المغناطيسي) على النحو التالي:
إن تداول متجه شدة المجال المغناطيسي على طول دائرة عشوائية يساوي المجموع الجبري لتيارات التوصيل وتيار الإزاحة المقترن بالدائرة.
عندما قدم ماكسويل المعادلات (منذ أكثر من مائة عام!) ، لم تكن طبيعة المجال الكهرومغناطيسي واضحة. في الوقت الحاضر ، تم توضيح طبيعة المجال ، وأصبح من الواضح ما يمكن تسميته بـ "الحالي" بشكل رسمي فقط. لعدد من الأسباب الحسابية ، مثل هذا الاسم ، دون إعطائه معنى ماديًا مباشرًا ، مناسب للاحتفاظ به ، وهو ما يتم في الهندسة الكهربائية. للسبب نفسه ، فإن المتجه D المتضمن في التعبير عن تيار الإزاحة يسمى متجه الإزاحة الكهربائية.
بالإضافة إلى المعادلتين الأوليين ، يشتمل نظام معادلات ماكسويل على نظرية Gauss-Ostrogradsky للحقول الكهربائية والمغناطيسية:
أين كثافة الشحنة الكهربائية.
وهو ما يلي في شكل متكامل:
حيث - تدفق الإزاحة الكهربائية - تدفق الحث المغناطيسي من خلال سطح مغلق يغطي شحنة مجانية q.
معنى المعادلة 3.2. الشحنة الكهربائية هي مصدر الحث الكهربائي.
تعبر المعادلة 4.2 عن حقيقة عدم وجود شحنات مغناطيسية مجانية.
النظام الكامل لمعادلات ماكسويل في شكل تفاضلي (يميز الحقل عند كل نقطة في الفضاء):
نظام كامل لمعادلات ماكسويل بشكل متكامل
النظام الكامل لمعادلات ماكسويل في شكل متكامل (الشكل المتكامل للمعادلات الكتابية يسهل تفسيرها المادي لأنها تجعلها بصريًا أقرب إلى القوانين التجريبية المعروفة):
يُستكمل نظام معادلات ماكسويل بـ "معادلات المواد" ، التي تربط المتجهات بالكميات التي تصف الخواص الكهربائية والمغناطيسية للوسط.
أين السماحية النسبية ، هي النفاذية المغناطيسية النسبية ، الموصلية الكهربائية ، الثابت الكهربائي ، والثابت المغناطيسي. يُفترض أن يكون الوسط متناحي الخواص ، وغير مغناطيسي ، وغير كهربائي.
في الواجهة بين وسيطين ، يتم استيفاء شروط الحدود التالية:
أين هي كثافة السطح للشحنات المجانية ، n هي متجه الوحدة العادي للواجهة المستمدة من الوسيط 2 إلى 1 ، مماس متجه الوحدة للواجهة هو إسقاط متجه الكثافة لتيارات التوصيل السطحي على متجه الوحدة .
تعبر هذه المعادلات عن استمرارية المكونات العادية لمتجه الحث المغناطيسي وقفزة المكونات الطبيعية لناقل الإزاحة. استمرارية المكونات المماسية لمتجه شدة المجال الكهربائي في الواجهة وقفز هذه المكونات لشدة المجال المغناطيسي.
أمثلة على حل المشكلات
مثال 1
| ممارسه الرياضه | من نظام معادلات ماكسويل ، احصل على معادلات استمرارية التيارات وقانون حفظ الشحنة. |
| المحلول | نستخدم المعادلة: دعونا نجري عملية الاختلاف (أو) من أجلها. نحن نحصل: من نظام معادلات ماكسويل نعلم أن (ج) استبدال (ج) في (ب) نحصل على: هذا يعني أو في شكل متكامل: وفقًا لذلك ، بالنسبة للمناطق المعزولة المغلقة ، نحصل على: هذه معادلة استمرارية للتيار ، والتي تحتوي على قانون حفظ الشحنة - أحد المبادئ الأساسية ، والذي أكدته التجربة. |
معادلات ماكسويليربطون الكميات التي تميز المجال الكهرومغناطيسي بمصادره ، أي بتوزيع الشحنات الكهربائية والتيارات في الفضاء. في الفراغ ، يتسم المجال الكهرومغناطيسي بكميتين متجهتين تعتمدان على الإحداثيات المكانية والوقت: شدة المجال الكهربائي هوالحث المغناطيسي في. تحدد هذه الكميات القوى المؤثرة من المجال على الشحنات والتيارات ، والتي يتم توزيعها في الفضاء بواسطة كثافة الشحنة r (الشحنة لكل وحدة حجم) وكثافة التيار ي(شحنة يتم نقلها لكل وحدة زمنية عبر مساحة وحدة متعامدة مع اتجاه حركة الرسوم). لوصف العمليات الكهرومغناطيسية في بيئة مادية (في المادة) ، باستثناء النواقل هو في، يتم إدخال كميات ناقلات مساعدة ، اعتمادًا على حالة وخصائص الوسيط: الحث الكهربائي دوقوة المجال المغناطيسي ح.
معادلات ماكسويلتسمح بتحديد الخصائص الرئيسية للمجال ( ه ، ب ، دو ح) في كل نقطة في الفضاء في أي وقت ، إذا كانت مصادر المجال معروفة يو ص كوظائف الإحداثيات والوقت. معادلات ماكسويليمكن كتابتها بشكل متكامل أو تفاضلي (ترد أدناه في النظام المطلق للوحدات الغاوسية ؛ انظر أدناه). نظام الوحدات cgs ).
معادلات ماكسويلفي شكل متكامل ، ليست نواقل المجال نفسها التي يتم تحديدها بواسطة رسوم وتيارات معينة ه ، ب ، د ، حفي نقاط منفصلة في الفضاء ، وبعض الكميات المتكاملة اعتمادًا على توزيع خصائص المجال هذه: الدوران ثلاثة أبعاد هو حعلى طول ملامح مغلقة تعسفية و تيارات ثلاثة أبعاد دو من خلال الأسطح المغلقة التعسفية.
أولاً معادلات ماكسويلهو تعميم على المجالات المتغيرة من التجربة قانون أمبير حول إثارة المجال المغناطيسي بالتيارات الكهربائية. افترض ماكسويل أن المجال المغناطيسي لا يتولد فقط عن طريق التيارات المتدفقة في الموصلات ، ولكن أيضًا عن طريق تبديل الحقول الكهربائية في العوازل أو الفراغ. القيمة المتناسبة مع معدل تغير المجال الكهربائي في الوقت المناسب دعاها ماكسويل تيار الإزاحة. يثير تيار الإزاحة المجال المغناطيسي وفقًا لنفس قانون تيار التوصيل (تم تأكيد ذلك لاحقًا تجريبيًا). يتم دائمًا إغلاق إجمالي التيار ، الذي يساوي مجموع تيار التوصيل وتيار الإزاحة.
أولاً معادلات ماكسويليشبه:
أي دوران متجه شدة المجال المغناطيسي على طول حلقة مغلقة إل(مجموع حاصل الضرب النقطي للمتجه حعند نقطة معينة من الكفاف إلى قطعة متناهية الصغر دلكفاف) بواسطة التيار الكلي من خلال سطح تعسفي ي ن- إسقاط كثافة تيار التوصيل يمن الوضع الطبيعي إلى منطقة صغيرة بشكل لا نهائي س، وهو جزء من السطح S ، هو إسقاط كثافة تيار الإزاحة على نفس المستوى الطبيعي ، و مع= 3 × 10 10 سم / ثانية -ثابت يساوي سرعة انتشار التفاعلات الكهرومغناطيسية في الفراغ.
ثانيا معادلات ماكسويلهي الصيغة الرياضية لقانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي (انظر. الحث الكهرومغناطيسي ) على النحو التالي:
، (1 ، ب)
أي دوران متجه شدة المجال الكهربائي على طول حلقة مغلقة إل(emf of induction) يتحدد بمعدل تغير تدفق ناقل الحث المغناطيسي عبر السطح سيحدها هذا الكفاف. هنا ن- الإسقاط على الوضع الطبيعي سناقل الحث المغناطيسي في؛ ناقص علامة المباريات حكم لينز لاتجاه تيار الحث.
ثالث معادلات ماكسويليعبر عن بيانات تجريبية حول عدم وجود شحنات مغناطيسية مماثلة للشحنة الكهربائية (المجال المغناطيسي يتولد فقط بواسطة التيارات):
أي تدفق ناقل الحث المغناطيسي من خلال سطح مغلق بشكل تعسفي سيساوي صفر.
الرابع معادلات ماكسويل(يطلق عليه نظرية جاوس ) هو تعميم لقانون تفاعل الشحنات الكهربائية الثابتة - قلادة القانون :
، (1 ، د)
أي تدفق ناقل الحث الكهربائي عبر سطح مغلق بشكل تعسفي سيتم تحديده من خلال الشحنة الكهربائية الموجودة داخل هذا السطح (في الحجم يحده هذا السطح).
إذا افترضنا أن نواقل المجال الكهرومغناطيسي ( ه ، ب ، د ، ح) هي وظائف مستمرة للإحداثيات ، مع الأخذ في الاعتبار تداول المتجهات حو هعلى طول الخطوط المتناهية الصغر وتدفقات المتجهات و دمن خلال الأسطح التي تحد من الأحجام متناهية الصغر ، يمكن للمرء أن ينتقل من العلاقات المتكاملة (1 ، أ - د) إلى نظام المعادلات التفاضلية الصالحة في كل نقطة في الفضاء ، أي الحصول على شكل تفاضلي معادلات ماكسويل(عادةً ما يكون أكثر ملاءمة لحل المشكلات المختلفة):
تعفن 
,
هنا تعفن و div هما عاملان دواران تفاضليون (انظر أدناه). دوامة ) و تشعب العمل على النواقل ح, ه, و د. المعنى المادي للمعادلات (2) هو نفسه بالنسبة للمعادلات (1).
معادلات ماكسويلفي الشكل (1) أو (2) لا تشكل نظامًا مغلقًا كاملاً يسمح بحساب العمليات الكهرومغناطيسية في وجود بيئة مادية. من الضروري استكمالها بعلاقات تربط المتجهات ه ، ح ، د ، بو ي، وهي ليست مستقلة. يتم تحديد العلاقة بين هذه النواقل من خلال خصائص الوسيط وحالته ، و دو يعبر ه، أ - عبر ح:
د = د(ه), = (ح), ي = ي(ه). (3)
تسمى هذه المعادلات الثلاث معادلات الحالة ، أو المعادلات المادية ؛ يصفون الخصائص الكهرومغناطيسية للوسيط ولها شكل محدد لكل وسط محدد. في الفراغ دº هو º ح. تشكل مجموعة معادلات المجال (2) ومعادلات الحالة (3) نظامًا كاملاً من المعادلات.
بالعين المجردة معادلات ماكسويلوصف الوسيط ظاهريًا ، دون النظر إلى الآلية المعقدة لتفاعل المجال الكهرومغناطيسي مع الجسيمات المشحونة في الوسط. معادلات ماكسويليمكن الحصول عليها من معادلات لورنتز - ماكسويل للحقول المجهرية وبعض الأفكار حول بنية المادة عن طريق حساب متوسط الحقول الدقيقة على فترات زمنية صغيرة. بهذه الطريقة ، يتم الحصول على كل من معادلات المجال الأساسية (2) والشكل المحدد لمعادلات الحالة (3) ، ولا يعتمد شكل معادلات المجال على خصائص الوسيط.
معادلات الحالة بشكل عام معقدة للغاية ، لأن المتجهات د, و يفي نقطة معينة في الفضاء في وقت معين قد تعتمد على الحقول هو حفي جميع الأوقات في البيئة في جميع النقاط السابقة في الوقت المناسب. في بعض البيئات ، نواقل دو قد تختلف عن الصفر هو يساوي الصفر ( الفيروكهربائية و المغناطيسات الحديدية ). ومع ذلك ، بالنسبة لمعظم الوسائط الخواص ، وحتى الحقول القوية جدًا ، فإن معادلات الحالة لها شكل خطي بسيط:
د= هـ ه, = م ح, ي= ق ه+ يج تر. (أربعة)
هنا ه ( س ، ص ، ض) - ثابت العزل و م ( س ، ص ، ض) - النفاذية المغناطيسية الوسائط التي تميز خصائصها الكهربائية والمغناطيسية ، على التوالي (في النظام المختار لوحدات الفراغ ، e = m = 1) ؛ القيم( س ، ص ، ض) يسمى التوصيل الكهربائي ؛ ي cp هي كثافة ما يسمى بالتيارات الخارجية ، أي التيارات التي تدعمها أي قوى أخرى غير قوى المجال الكهربائي (على سبيل المثال ، المجال المغناطيسي ، والانتشار ، وما إلى ذلك). في النظرية الظاهراتية لماكسويل ، يجب إيجاد الخصائص العيانية للخصائص الكهرومغناطيسية للوسط e و m و s تجريبيًا. في نظرية لورينتز ماكسويل المجهرية يمكن حسابها.
تحدد النفاذية e و m في الواقع المساهمة في المجال الكهرومغناطيسي ، والتي يتم إجراؤها بواسطة ما يسمى بالشحنات المقيدة التي تعد جزءًا من الذرات والجزيئات المحايدة كهربائيًا للمادة. يتيح التحديد التجريبي لـ e ، m ، s حساب المجال الكهرومغناطيسي في وسط دون حل المشكلة المساعدة الصعبة لتوزيع الشحنات المقيدة والتيارات المقابلة في المادة. كثافة الشحنة r وكثافة التيار يفي معادلات ماكسويلهي كثافات الشحنات والتيارات المجانية والمتجهات المساعدة حو ديتم إدخالها بحيث يتم تداول الناقل حتم تحديده فقط من خلال حركة الشحنات المجانية ، وتدفق المتجه د- كثافة توزيع هذه الشحنات في الفضاء.
إذا تم اعتبار المجال الكهرومغناطيسي في وسطين متجاورين ، فعندئذٍ على سطح الفصل بينهما ، يمكن أن تخضع نواقل المجال لانقطاعات (قفزات) ؛ في هذه الحالة ، يجب استكمال المعادلات (2) بشروط حدية:
[nH] 2 - [nH] 1 = ,
[nE] 2 - [nE] 1 = 0, (5)
(اختصار الثاني) 2 - (اختصار الثاني) 1 = 4 قطع ،
(ملحوظة) 2 - (ملحوظة) 1 = 0.
هنا ي بوفو s هي كثافة التيار السطحي والشحنة ، والأقواس المربعة والدائرية هي النتاج المتجه والعددي للمتجهات ، على التوالي ، ن- متجه الوحدة العادي للواجهة في الاتجاه من البيئة الأولى إلى الثانية (1®2) ، وتشير المؤشرات إلى جوانب مختلفة من الواجهة.
المعادلات الأساسية للحقل (2) خطية ، بينما معادلات الحالة (3) يمكن أن تكون أيضًا غير خطية. عادة ، توجد التأثيرات غير الخطية في مجالات قوية بما فيه الكفاية. في الوسائط الخطية [العلاقات المرضية (4)] ، وعلى وجه الخصوص ، في الفراغ معادلات ماكسويلخطية وبالتالي اتضح أنها صحيحة مبدأ التراكب: عندما يتم فرض الحقول ، فإنها لا تؤثر على بعضها البعض.
من معادلات ماكسويليتبع عدد من قوانين الحفظ. على وجه الخصوص ، من المعادلات (1 ، أ) و (1 ، د) يمكن للمرء الحصول على العلاقة (ما يسمى بمعادلة الاستمرارية):
, (6)
وهو قانون حفظ الشحنة الكهربائية: إجمالي التيار المتدفق لكل وحدة زمنية عبر أي سطح مغلق س، تساوي شحنة التغيير داخل الحجم الخامسيحدها هذا السطح. إذا لم يكن هناك تيار عبر السطح ، فإن الشحنة في الحجم تظل كما هي.
من معادلات ماكسويلويترتب على ذلك أن المجال الكهرومغناطيسي لديه الطاقة والزخم (الزخم). كثافة الطاقة w (الطاقة لكل وحدة حجم للحقل) تساوي:
, (7)
يمكن أن تتحرك الطاقة الكهرومغناطيسية في الفضاء. يتم تحديد كثافة تدفق الطاقة من خلال ما يسمى ناقل Poynting
اتجاه متجه Poynting عمودي مثل ه، و حويتزامن مع اتجاه انتشار الطاقة الكهرومغناطيسية ، وقيمته تساوي الطاقة المنقولة لكل وحدة زمنية عبر وحدة سطح متعامدة مع المتجه ص. إذا لم يكن هناك تحول للطاقة الكهرومغناطيسية إلى أشكال أخرى ، فوفقًا لـ معادلات ماكسويل، فإن التغير في الطاقة في حجم معين لكل وحدة زمنية يساوي تدفق الطاقة الكهرومغناطيسية عبر السطح الذي يحيط بهذا الحجم. إذا تم إطلاق الحرارة داخل الحجم بسبب الطاقة الكهرومغناطيسية ، فسيتم كتابة قانون حفظ الطاقة بالشكل:
(9)
أين س- كمية الحرارة المنبعثة لكل وحدة زمنية.
كثافة زخم المجال الكهرومغناطيسي ز(الزخم لكل وحدة حجم للحقل) مرتبط بكثافة تدفق الطاقة بالعلاقة:
تم اكتشاف وجود نبض مجال كهرومغناطيسي لأول مرة تجريبياً في تجارب P.N. ليبيديف على قياس الضغط الخفيف (1899).
كما يتضح من (7) و (8) و (10) ، يحتوي المجال الكهرومغناطيسي دائمًا على طاقة ، ويكون تدفق الطاقة والنبضات الكهرومغناطيسية غير صفري فقط في حالة وجود كلا المجالين الكهربائي والمغناطيسي في وقت واحد (وهذه المجالات هي لا تتوازى مع بعضها البعض).
معادلات ماكسويليؤدي إلى استنتاج أساسي حول محدودية سرعة انتشار التفاعلات الكهرومغناطيسية (يساوي مع= 3 × 10 10 سم / ثانية). هذا يعني أنه عندما تتغير كثافة الشحنة أو التيار عند نقطة معينة في الفضاء ، فإن المجال الكهرومغناطيسي الناتج عنهما عند نقطة المراقبة لا يتغير في نفس اللحظة من الزمن ، ولكن بعد فترة زمنية t = ص / ج، أين ر- المسافة من عنصر التيار أو الشحنة إلى نقطة المراقبة. بسبب السرعة المحدودة لانتشار التفاعلات الكهرومغناطيسية ، فإن وجود موجات كهرومغناطيسية ، وهي حالة خاصة (كما أوضح ماكسويل لأول مرة) هي موجات الضوء.
تسير الظواهر الكهرومغناطيسية بنفس الطريقة في الكل أنظمة مرجعية بالقصور الذاتي, أي أنها تلبي مبدأ النسبية. على هذا النحو معادلات ماكسويللا تغير شكلها عند الانتقال من إطار مرجعي بالقصور الذاتي إلى آخر (ثابت نسبيًا). تبين أن تطبيق مبدأ النسبية للعمليات الكهرومغناطيسية غير متوافق مع المفاهيم الكلاسيكية للمكان والزمان ، وتطلب مراجعة هذه المفاهيم وأدى إلى إنشاء نظرية النسبية الخاصة (أ. اينشتاين, 1905 ؛ سم. نظرية النسبية ). الاستمارة معادلات ماكسويليظل دون تغيير أثناء الانتقال إلى إطار مرجعي جديد بالقصور الذاتي ، إذا كانت المسافات والإحداثيات والوقت ومتجهات المجال ه ، ح ، ب ، د، كثافة التيار يوتتغير كثافة الشحنة r وفقًا لـ تحولات لورنتز (التعبير عن أفكار نسبية جديدة حول المكان والزمان). شكل ثابت نسبيًا معادلات ماكسويليؤكد حقيقة أن المجالين الكهربائي والمغناطيسي يشكلان كلًا واحدًا.
معادلات ماكسويلوصف مساحة شاسعة من الظواهر. إنها تكمن وراء الهندسة الكهربائية والراديو وتلعب دورًا مهمًا في تطوير مجالات موضعية للفيزياء الحديثة مثل الفيزياء بلازما ومشكلة الضبط التفاعلات النووية الحرارية, الديناميكا المائية المغناطيسية, البصريات اللاخطية, اعمال بناء مسرعات الجسيمات ، الفيزياء الفلكية ، إلخ. معادلات ماكسويلغير قابلة للتطبيق إلا على الترددات العالية للموجات الكهرومغناطيسية ، عندما تصبح التأثيرات الكمومية مهمة ، أي عندما تكون طاقة الكوانتا الفردية للحقل الكهرومغناطيسي - الفوتونات - كبيرة ويشترك عدد صغير نسبيًا من الفوتونات في العمليات.
أشعل.:ماكسويل جيه كيه ، أعمال مختارة حول نظرية المجال الكهرومغناطيسي ، مترجمة من الإنجليزية ، M. ، 1952 ؛ تام آي إي ، أساسيات نظرية الكهرباء ، الطبعة السابعة ، إم ، 1957 ؛ Kalashnikov S. G.، Electricity، M.، 1956 (General course of physics، vol. 2)؛ Feynman R.، Layton R.، Sands M.، Feynman Lectures on Physics، (مترجم من الإنجليزية)، v.5، 6، 7، M.، 1966؛ Landau L.D، Lifshitz E.M، Field Theory، 5th ed.، M .، 1967 (Theoretical physics، vol. 2)، الخاصة بهم، Electrodynamics للوسائط المستمرة، M.، 1959.
G. يا مياكيشيف.
مقال عن كلمة معادلات ماكسويل"في الموسوعة السوفيتية العظمى تمت قراءتها 36718 مرة
معادلة ماكسويل الثالثة هي تعميم لقانون غاوس في حالة العمليات المتغيرة. يربط قانون غاوس تدفق متجه الإزاحة الكهربائية عبر سطح مغلق تعسفي S مع تركيز الشحنة Q داخل هذا السطح:
حيث dS = n0 دي اس؛ n0 هو متجه الوحدة للخارج الطبيعي للسطح S.
قبل ماكسويل ، كانت المعادلة (1.40) تعتبر فقط كما هي مطبقة على الحقول الثابتة. اقترح ماكسويل أنها صالحة أيضًا في حالة الحقول المتغيرة.
يمكن توزيع الشحنة Q بشكل تعسفي داخل السطح S. لذلك ، في الحالة العامة
أين ρ هي كثافة الشحنة الحجمية ؛ الخامس- حجم يحده السطح S. كثافة الشحنة السائبة
حيث ΔQ هي الشحنة المركزة في الحجم ΔV. البعد ρ هو قلادة لكل متر مكعب (C / m3).
بالتعويض عن (1.41) في (1.40) نحصل عليها
. (1.43)
عادة ما تسمى المعادلة (1.43) معادلة ماكسويل الثالثة في صورة متكاملة.للتمرير إلى الصيغة التفاضلية ، نقوم بتحويل الجانب الأيسر من هذه المعادلة وفقًا لنظرية Ostrogradsky-Gauss (ص 19). نتيجة لذلك ، نحصل على:
.
يجب أن تستمر هذه المساواة لحجم تعسفي الخامس, وهو أمر ممكن فقط إذا
divD = ص. (1.44)
عادة ما تسمى العلاقة (1.44) بمعادلة ماكسويل الثالثة. في نظام الإحداثيات الديكارتية ، تتم كتابته كـ
.
ويترتب على المساواة (1.44) أن تباعد المتجه D غير صفري في تلك النقاط في الفضاء حيث توجد رسوم مجانية. في هذه النقاط ، يكون لخطوط المتجه D بداية (مصدر) أو نهاية (استنزاف). تبدأ خطوط المتجه D بشحنات موجبة وتنتهي بالشحنات السالبة.
على عكس المتجه D ، يمكن أن تكون مصادر (أحواض) المتجه E عبارة عن رسوم مجانية ومربوطة. لإظهار ذلك ، نعيد كتابة المعادلة (1.44) للمتجه E. علاقة الاستبدال (1.4) في (1.44) ، نحصل على البيئة (سيتم استدعاء هذه الرسوم استقطاب):
divP = -. (1.45)
دعونا نشرح حدوث رسوم الاستقطاب باستخدام المثال التالي. يجب أن يكون هناك وسط مستقطب (الشكل 1.8). دعونا نفرد عقليًا الحجم ΔV بداخله ، الذي يحده السطح S. نتيجة للاستقطاب في الوسط ، يتم إزاحة الشحنات المرتبطة بجزيئات المادة. إذا كان الحجم ΔV صغيرًا ، وكان الاستقطاب غير متساوٍ ، فيمكن أن تدخل المزيد من الشحنات إلى الحجم ΔV على جانب واحد بدلاً من الخروج من الجانب الآخر (في الشكل 1.8 ، يظهر الحجم ΔV بخط منقط). نؤكد أن شحنة الاستقطاب "مرتبطة" ولا تنشأ إلا تحت تأثير المجال الكهربائي. تتبع صيغة الطرح (1.45) من تعريف المتجه P (انظر 1.2.1).
أرز. 1.8 وسط مستقطب
تبدأ خطوط المتجه P بشحنات سالبة وتنتهي بشحنات موجبة. مع الأخذ في الاعتبار الصيغة (1.45) ، نصل إلى العلاقة εоdiv Е = ρ + ρp ، والتي يتبع منها البيان أعلاه أن مصادر (أحواض) خطوط المتجه Е (خطوط المجال الكهربائي) هي رسوم مجانية ومحددة .
تتطابق معادلة ماكسويل الرابعة بشكل متكامل مع قانون غاوس للمجال المغناطيسي ، والذي يمكن صياغته على النحو التالي. تدفق المتجه B عبر أي سطح مغلق S يساوي صفرًا ، أي
.(1.46)
هذا يعني أنه لا توجد خطوط من المتجه B تدخل فقط السطح المغلق S (أو ، على العكس من ذلك ، تخرج فقط من السطح S): فهي تخترقه دائمًا (الشكل 1.9).
أرز. 1.9 تخترق خطوط المتجه B السطح S.
المعادلة (1.46) تسمى معادلة ماكسويل الرابعة في صورة متكاملة.يمكن للمرء أن ينتقل إلى الصيغة التفاضلية للمعادلة (1.46) باستخدام نظرية Ostrogradsky-Gauss بنفس الطريقة التي تم إجراؤها في حالة معادلة Maxwell الثالثة. نتيجة لذلك ، نحصل عليه
divB = 0. (1.47)
المعادلة (1.47) هي معادلة ماكسويل الرابعة. إنه يوضح أنه في الطبيعة لا توجد شحنات مغناطيسية فردية لنفس العلامة. ويترتب على هذه المعادلة أيضًا أن خطوط المتجه B (خطوط مجال المجال المغناطيسي) متصلة.
في حالة المجالات الكهربائية والمغناطيسية الثابتة (أي التي لا تتغير بمرور الوقت) ، والتي يرتبط أصلها بشحنات الراحة لمجال كهربائي وبتيارات ثابتة لمجال مغناطيسي ، فإن هذه المجالات مستقلة عن بعضها البعض ، والتي يسمح لهم بالنظر بشكل منفصل عن بعضهم البعض.
معادلات ماكسويلهو نظام معادلات يصف طبيعة أصل وخصائص المجالات الكهربائية والمغناطيسية.
معادلات ماكسويل للحقول الثابتة:
في هذا الطريق، معادلات ماكسويل للحقول الثابتة:
أنا.؛ ثانيًا. ؛
ثالثا ؛ رابعا. .
خصائص ناقلات المجال الكهروستاتيكي 
و 
ترتبط ببعضها البعض بالعلاقة التالية:
,
أين 
هو الثابت الكهربائي ،
–
السماحية العازلة للوسط.
خصائص ناقلات المجال المغناطيسي 
و
ترتبط ببعضها البعض بالعلاقة التالية:
,
أين 
هو الثابت المغناطيسي ،
–
النفاذية المغناطيسية للوسط.
الموضوع 8. معادلات ماكسويل للمجال الكهرومغناطيسي
وفق نظرية ماكسويل في المجال الكهرومغناطيسيفي حالة المجالات الكهربائية والمغناطيسية غير الثابتة (أي المتغيرة بمرور الوقت) ، يمكن أن تكون مصادر المجال الكهربائي إما شحنات كهربائية أو مجال مغناطيسي متغير بمرور الوقت ، ويمكن أن تكون مصادر المجال المغناطيسي إما متحركة الشحنات الكهربائية (التيارات الكهربائية) أو مجال كهربائي بديل.
على عكس الحقول الثابتة ، فإن الحقول الكهربائية والمغناطيسية المتناوبة ليست مستقلة عن بعضها البعض وتعتبر مجالًا كهرومغناطيسيًا.
معادلات ماكسويل ،كنظام معادلات يصف طبيعة أصل وخصائص المجالات الكهربائية والمغناطيسية متى حقل كهرومغناطيسييشبه:
أنا.
، أي أن دوران متجه شدة المجال الكهربائي يتحدد بمعدل تغير متجه تحريض المجال المغناطيسي 
(
معدل تغير ناقل الحث 
).
توضح هذه المعادلة أن مصادر المجال الكهربائي لا يمكن أن تكون فقط شحنات كهربائية ، ولكن أيضًا مجالات مغناطيسية متغيرة بمرور الوقت.
ثانيًا.
، أي تدفق متجه الإزاحة الكهربائية 
من خلال سطح مغلق بشكل تعسفي س، يساوي المجموع الجبري للشحنات الموجودة داخل المجلد
الخامسيحدها سطح مغلق معين
س
(
هي كثافة الشحنة السائبة).
ثالثا.
، أي دوران متجه الكثافة 
على طول كفاف مغلق تعسفيًا إل
يحددها إجمالي التيار أنا ممتلئاختراق السطح سيحدها كفاف معين إل.
- تيار كامل
أنا ممتلئ، تتكون من تيار التوصيل أنا
و
تيار التحيز أنا سم.، هذا هو
أنا ممتلئ = أنا
+
أنا سم.
.
إجمالي تيار التوصيل أنايتم تحديده في الحالة العامة من خلال كثافة التيار السطحي ي
(
) التكامل ، وهذا هو
.
تيار التحيز أنا سماختراق السطح س، بشكل عام
الحالة من خلال كثافة تيار التحيز السطحي 
(
) التكامل ، أي:
.
مفهوم "تيار الإزاحة" الذي قدمه ماكسويل ، والذي يتم تحديد قيمته من خلال معدل تغير ناقل الإزاحة الكهربائي 
، هذه هي القيمة 
، يوضح أنه يمكن إثارة المجالات المغناطيسية ليس فقط عن طريق الشحنات المتحركة (تيارات التوصيل الكهربائي) ، ولكن أيضًا عن طريق الحقول الكهربائية المتناوبة.
رابعا.
، وهذا هو ، تدفق ناقلات الحث 
المجال المغناطيسي من خلال سطح مغلق بشكل تعسفي
سيساوي صفر.
أدى إدخال مفهوم تيار الإزاحة من قبل ماكسويل إلى إكمال النظرية العيانية للحقل الكهرومغناطيسي الذي أنشأه ، والتي تسمح من وجهة نظر موحدة بتفسير ليس فقط الظواهر الكهربائية والمغناطيسية ، ولكن أيضًا للتنبؤ بظواهر جديدة ، تم تأكيد وجودها لاحقًا.
تستند نظرية ماكسويل على 4 معادلات:
1. يمكن أن يكون المجال الكهربائي عبارة عن جهد ودوامة ، وبالتالي فإن قوة المجال الناتج هي:
تظهر هذه المعادلة يمكن إثارة المجالات المغناطيسية إما عن طريق تحريك الشحنات (التيارات الكهربائية) أو عن طريق تبديل الحقول الكهربائية.
3. نظرية جاوس للمجال:
نحن نحصل
إذن ، النظام الكامل لمعادلات ماكسويل في شكل متكامل:
| 1) | ||
| 2) | ||
الكميات المدرجة في معادلات ماكسويل ليست مستقلة وهناك علاقة بينها.
بالنسبة للوسائط المتناحية وغير الحديدية الكهربية وغير المغناطيسية الحديدية ، نكتب صيغ الاتصال:
| ب) ، | ||
| في) ، |
أين هو الثابت الكهربائي ، هو الثابت المغناطيسي ،
السماحية العازلة للوسط ، m - النفاذية المغناطيسية للوسط ،
ص - المقاومة الكهربائية ، - التوصيل الكهربائي.
ويترتب على ذلك من معادلات ماكسويل ماذا او ما:
يمكن أن يكون مصدر المجال الكهربائي إما شحنات كهربائية أو مجالات مغناطيسية متغيرة بمرور الوقت ، والتي يمكن تحفيزها إما عن طريق تحريك الشحنات الكهربائية (التيارات) أو عن طريق تبديل المجالات الكهربائية.
معادلات ماكسويل ليست متناظرة فيما يتعلق بالمجالات الكهربائية والمغناطيسية. هذا يرجع إلى حقيقة أنه لا توجد شحنات مغناطيسية في الطبيعة.
إذا و (الحقول الثابتة) ، فإن معادلات ماكسويل تأخذ الشكل التالي:
مصادر المجال الكهربائي الثابت هي شحنات كهربائية فقط ، ومصادر المجال المغناطيسي الثابت ليست سوى تيارات توصيل .
المجالات الكهربائية والمغناطيسية في هذه الحالة مستقلة عن بعضها البعض ، مما يجعل من الممكن دراسة المجالات الكهربائية والمغناطيسية الثابتة بشكل منفصل.
الشكل التفاضلي لكتابة معادلات ماكسويل:
| 3) | ||
,يكون الشكل المتكامل لمعادلات ماكسويل أكثر عمومية إذا كانت هناك أسطح متقطعة. يفترض الشكل التفاضلي لكتابة معادلة ماكسويل أن جميع الكميات في المكان والزمان تتغير باستمرار.
معادلات ماكسويل هي المعادلات الأكثر عمومية للمجالات الكهربائية والمغناطيسية في الوسائط أثناء الراحة. يلعبون نفس الدور المهم في نظرية الكهرومغناطيسية مثل قوانين نيوتن في الميكانيكا. ويترتب على معادلات ماكسويل أن المجال المغناطيسي المتناوب يرتبط دائمًا بمجال كهربائي متناوب ، والحقل الكهربائي المتناوب مرتبط دائمًا بالمجال المغناطيسي الذي يولده ، أي ترتبط الحقول الكهربائية والمغناطيسية ارتباطًا وثيقًا ببعضها البعض - فهي تشكل مجالًا كهرومغناطيسيًا واحدًا.
خصائص معادلات ماكسويل
معادلات ماكسويل خطية. إنها تحتوي فقط على المشتقات الأولى للحقول E و B فيما يتعلق بالإحداثيات الزمنية والمكانية والدرجات الأولى لكثافة الشحنات الكهربائية والتيارات j. ترتبط خاصية الخطية لمعادلات ماكسويل بمبدأ التراكب ، إذا كان أي حقلين يرضيان معادلات ماكسويل ، فإن هذا ينطبق أيضًا على مجموع هذه الحقول.
تحتوي معادلات ماكسويل على معادلات الاستمرارية التي تعبر عن قانون حفظ الشحنة الكهربائية. للحصول على معادلة الاستمرارية ، من الضروري أخذ الاختلاف من كلا الجزأين من معادلات ماكسويل الأولى في شكل تفاضلي:
معادلات ماكسويل صالحة في جميع الأطر المرجعية بالقصور الذاتي. هم ثابتون نسبيا. هذا نتيجة لمبدأ النسبية ، والتي بموجبها تكون جميع الأطر المرجعية بالقصور الذاتي معادلة ماديًا لبعضها البعض. لا يتغير شكل معادلات ماكسويل أثناء الانتقال من إطار مرجعي بالقصور الذاتي إلى إطار مرجعي آخر ، ولكن الكميات المتضمنة فيها يتم تحويلها وفقًا لقواعد معينة. أولئك. معادلات ماكسويل هي معادلات نسبية صحيحة ، على عكس ، على سبيل المثال ، معادلات نيوتن للميكانيكا.
معادلات ماكسويل غير متماثلة فيما يتعلق بالمجالات الكهربائية والمغناطيسية. هذا يرجع إلى حقيقة أن الشحنات الكهربائية موجودة في الطبيعة ، لكن الشحنات المغناطيسية ليست كذلك.
يتبع استنتاج مهم من معادلات ماكسويل حول وجود ظاهرة جديدة في الأساس: يمكن أن يوجد مجال كهرومغناطيسي بشكل مستقل - بدون شحنات وتيارات كهربائية. في الوقت نفسه ، فإن التغيير له بالضرورة طابع موجة. الحقول من هذا النوع تسمى الموجات الكهرومغناطيسية. في الفراغ ، ينتشرون دائمًا بسرعة الضوء. تنبأت نظرية ماكسويل بوجود الموجات الكهرومغناطيسية وجعلت من الممكن تحديد جميع خصائصها الأساسية.
العم فانيا مؤامرة المسرحية. "العم إيفان. الموقف من أستاذ الآخرين
تساخيس الصغير ، الملقب بزينوبر
مايكوف ، أبولون نيكولايفيتش - سيرة ذاتية قصيرة