معادلة بالصيغة f. لم تحل المعادلات التفاضلية فيما يتعلق بالمشتق

وزارة التربية والتعليم وسياسة الشباب جمهورية تشوفاش

BOU DPO (PC) C "Chuvash Republican Institute of Education"

وزارة التربية والتعليم في تشوفاشيا

قسم الرياضيات و تقنيات المعلومات

عمل الدورةحول الموضوع:

«المعادلات الوظيفية. طرق حلها »

أنجز (أ) مدرس الرياضيات MBOU "المدرسة الثانوية رقم 60"

تشيبوكساري

فليجنتوفا أ.

تشيبوكساري ، 2014

مقدمة …………………………………………………………………. …………… .. …… 3

الفصل الأول. مفهوم المعادلة الوظيفية ..................................................... 5

الفصل 2 الجزء العملي. طرق حل المعادلة الوظيفية 9

الخلاصة …………………………………………………………………………………… .24

المراجع ………………………………………………………………………. 25

التطبيقات ………………………………………………………………………… ... 26

مقدمة

من أهم المهارات الرياضية التي يجب على طلاب المدرسة إتقانها هي القدرة على حل المعادلات. تم العثور على جذر المعادلة في واحد أو أكثر من الإجراءات ، كثير مشاكل الكلماتيتم حلها بطريقة جبرية ، يمكن للأرقام الصحيحة والعقلانية والأرقام الأخرى المشاركة في المعادلة ، أي أن المعادلات نفسها هي مهام وطرق لحل المشكلات ، والقدرة على حلها ، وهي ضرورية لجميع طلاب المدرسة. لكن خلال القرار مهام التدريبجئت عبر معادلة لم أتمكن من حلها. كما علمت لاحقًا من المعلم ، كانت معادلة وظيفية.

ما هي المعادلات الوظيفية؟ وما هي طرق حلها؟ أثارت اهتمامي هذه الأسئلة ، وقررت إجراء بعض الأبحاث.معادلة كوشي الوظيفية

تمت دراسة المعادلات الوظيفية لفترة طويلة جدًا ، ولم تجد هذه الدورة مكانًا مناسبًا في البرامج الرياضية. هذا مثير للشفقة. بعد كل شيء ، يتطلب حل المعادلات الوظيفية الفردية فهمًا عميقًا إلى حد ما للموضوع وغرس حب الاستقلالية عمل ابداعي. بما أن هذا الموضوع لم يدرس في المقرر الدراسي بسبب تعقيده عند القبول جامعات مرموقة، في الأولمبياد ، في الجزء C من امتحان الدولة الموحد ، تم العثور على مثل هذه المهام.

في الوقت الحالي ، لا يوجد عملياً كتيبات لتعليم حل المعادلات الوظيفية.

لذلك ، هناك حاجة إلى فائدة ، على البسيطة و أمثلة ملموسةقادر على أن يُظهر للقارئ بخلفية رياضية متواضعة الترسانة بأكملها الأساليب الحديثةحلول المعادلات الوظيفية.

الغرض من العمل هو معرفة المعادلة الوظيفية لأنظمتها ، وإيجاد طرق لحلها ، وتجميع مجموعة من المسائل لاستخدامها من قبل الفئات الرياضية.

أهداف البحث:

1. دراسة وتحليل الأدب.

2. البحث عن طرق لحل المعادلات الوظيفية وأنظمتها.

3. حل المعادلات الوظيفية

4. تجميع مجموعة

موضوع الدراسة: المعادلات الوظيفية

موضوع الدراسة: دراسة الخصائص وطرق حل المعادلات الوظيفية.

الهيكل: مقدمة ، مفهوم المعادلة الوظيفية ، مجموعة المشكلات ، الاستنتاج.

الفصل 1. مفهوم المعادلة الوظيفية

المعادلة الوظيفية هي معادلة تحتوي على واحد أو أكثر من الوظائف غير المعروفة (مع مجالات وقيم معينة). يعني حل المعادلة الوظيفية إيجاد جميع الوظائف التي ترضيها بشكل متماثل. تنشأ المعادلات الوظيفية في الغالب مجالات متنوعةالرياضيات ، عادة في الحالات التي يكون فيها مطلوبًا لوصف جميع الوظائف التي أعطت خصائص. يستخدم مصطلح المعادلة الوظيفية عادة للمعادلات غير القابلة للاختزال طرق بسيطةإلى المعادلات الجبرية. غالبًا ما يرجع عدم الاختزال هذا إلى حقيقة أن حجج الوظيفة غير المعروفة في المعادلة ليست المتغيرات المستقلة نفسها ، ولكن بعض بيانات الوظيفة منها. غالبًا ما توجد في مسابقات رياضية مختلفة.

بعض المعادلات الوظيفية مألوفة لنا من دورة مدرسيةهذا هو

f (x) = f (-x) ، f (-x) = - f (x) ، f (x + T) = f (x) ،

التي تحدد خصائص وظائف مثل التكافؤ والغرابة والدورية.

تعد مشكلة حل المعادلات الوظيفية واحدة من أقدم المشاكل في التحليل الرياضي. ظهرت في وقت واحد تقريبًا مع بدايات نظرية الوظائف. يرتبط أول ازدهار حقيقي لهذا الانضباط بمشكلة متوازي الأضلاع للقوى. بالعودة إلى عام 1769 ، قلل دالمبرت من تبرير قانون إضافة القوى إلى حل المعادلة الوظيفية.

تم النظر في نفس المعادلة وللغرض نفسه من قبل بواسون في عام 1804 في ظل بعض الافتراضات التحليلية ، بينما في عام 1821 وجد كوشي (1789-1857) حلول عامة

من هذه المعادلة ، بافتراض استمرارية f (x) فقط.

حتى الصيغة الشهيرةالهندسة غير الإقليدية لزاوية التوازي

تم الحصول عليها بواسطة N. I. Lobachevsky (1792-1856) من المعادلة الوظيفية

, (2)

التي حلها بطريقة مشابهة لطريقة كوشي. يمكن اختزال هذه المعادلة إلى المعادلة

صف مشاكل هندسية، مما يؤدي إلى المعادلات الوظيفية ، النظر عالم رياضيات إنجليزيسي باباج (1792-1871). درس ، على سبيل المثال ، المنحنيات الدورية من الدرجة الثانية التي حددها العقار التاليلأي زوج من نقاط المنحنى: إذا كانت حدود النقطة الثانية تساوي إحداثي النقطة الأولى ، فإن إحداثي النقطة الثانية يساوي إحداثيات النقطة الأولى. دع هذا المنحنى يكون الرسم البياني للوظيفةص = و (س) ; (س ، و (خ)) - نقطته التعسفية. ثم ، وفقًا للشرط ، النقطة مع الإحداثيو (خ) له إحداثيات x. بالتالي،

يتم استيفاء المعادلة الوظيفية (3) ، على وجه الخصوص ، من خلال الوظائف:

تعد معادلات كوشي واحدة من أبسط المعادلات الوظيفية

و (س + ص) = و (س) + و (ص) ، (4)

و (س + ص) = و (س) و (ص) ، (5)

و (س ص) = و (س) + و (ص) ، (6)

و (س ص) = و (س) و (ص) ، (7)

درس كوشي هذه المعادلات بالتفصيل في (دورة التحليل) ، الذي نُشر عام 1821. الحلول المستمرة لهذه المعادلات الأساسية الأربعة هي على التوالي من حيث الشكل

, , ,

في الفصل وظائف متقطعةقد تكون هناك حلول أخرى. تم اعتبار المعادلة (4) سابقًا بواسطة Legendre و Gauss في اشتقاق النظرية الأساسية للهندسة الإسقاطية وفي دراسة قانون توزيع الاحتمالات الغاوسي.

تم تطبيق المعادلة الوظيفية (4) مرة أخرى بواسطة G. إنجازه الرئيسي هو إضعاف كبير للافتراضات. نعلم أن معادلة كوشي الوظيفية (4) تميز في فئة الوظائف المستمرة وظيفة خطية متجانسةو (س) = الفأس . أظهر Darboux أن أي حل مستمر على الأقل عند نقطة واحدة أو مقيد من أعلى (أو أسفل) في فترة زمنية صغيرة بشكل تعسفي يجب أن يكون له أيضًا الشكلو (س) = الفأس. مزيد من النتائجاتبعت الافتراضات الأضعف بسرعة واحدة تلو الأخرى (التكامل ، وإمكانية القياس على مجموعة من المقاييس الإيجابية ، وحتى التخصص من خلال وظيفة قابلة للقياس). السؤال الذي يطرح نفسه: هل هناك وظيفة مضافة واحدة على الأقل (أي مرضية (4)) تختلف عن وظيفة خطية متجانسة. العثور على مثل هذه الوظيفة ليس بالأمر السهل حقًا! في سياق العمل ، سنبين أنه بالنسبة إلى x المنطقي ، يجب أن تتطابق قيم أي دالة مضافة مع قيم بعض الوظائف الخطية المتجانسة ، أيو (س) = الفأسمن أجل x س: يبدو ذلك الحينو (س) = الفأس لجميع أنواع x الحقيقية. اذا كانو (خ) - مستمر ، فهذه هي الحالة بالفعل ، ولكن إذا تم تجاهل هذا الافتراض ، فلن يكون كذلك. أول مثال مختلفو (س) = الفأس تم بناء الحل المتقطع للمعادلة الوظيفية (4) في عام 1905 من قبل عالم الرياضيات الألماني ج. هامل باستخدام أساس الأعداد الحقيقية التي قدمها.

لا تحدد العديد من المعادلات الوظيفية وظيفة معينة ، ولكنها تحدد فئة واسعة من الوظائف ، أي أنها تعبر عن خاصية تميز فئة أو أخرى من الوظائف. على سبيل المثال ، المعادلة الوظيفيةو (س + 1) = و (س) يميز فئة الوظائف مع الفترة 1 ، والمعادلةو (1 + س) = و (1-س) - فئة الوظائف المتماثلة بالنسبة للخطس = 1، إلخ.

الفصل 2. الجزء العملي. طرق حل معادلة وظيفية

أبسط المعادلات الوظيفية

1. دع الدالة y \ u003d f (x) تزيد على R. حل:

أ) المعادلة f (3x + 2) = f (4x 2 + س) ؛

ب) المتباينة f (3x - 48) ≤ f (-x 2 + س).

المحلول:

أ) و (3 س + 2) = و (4x 2 + س)

توجد مثل هذه النظرية: إذا زادت دالة على الفاصل الزمني X ، فإنها تأخذ كل من قيمها ، ولكن عند نقطة واحدة. لهذا،

3 س + 2 = 4 س 2 + س ؛

4 س 2 -2 س -2 = 0 ؛

2x 2 –x-1 = 0 ؛

× 1 \ u003d 1 و × 2 \ u003d -0.5

الجواب: x 1 \ u003d 1 و x 2 \ u003d -0.5.

ب) و (3x - 48) ≤ و (-x 2 + x) ؛

3x-48 ≤ -x 2 + x ؛

× 2 + 2 س - 48 0 ؛

× 1 \ u003d 6 و × 2 \ u003d -8:

الجواب: [-8 ؛ 6].

2. دع الدالة y \ u003d f (x) تنخفض على R. حل المتباينة f (2x-3)> f (x + 2)

المحلول:

لقد حلنا نفس الشيء كما في المهمة السابقة ، فقط نغير علامة المتباينة ، لأن الدالة تتناقص في R.

2x-3

الجواب: (-؛ 5).

حل المعادلات الوظيفية بطريقة الاستبدال

استبدال بعض متغيرات المعادلة الوظيفية إما بقيم محددة أو ببعض التعبيرات الأخرى ، نحاول إما تبسيط هذه المعادلة أو إحضارها إلى شكل يصبح الحل الإضافي واضحًا. خصوصية الطريقة المستخدمة هي على وجه التحديد أنه في عدد من الحالات يسمح للشخص بإيجاد حلول في فئة جميع الوظائف الممكنة.

1. ابحث عن جميع الوظائف المحددة في المجموعة ، إرضاء العلاقة

المحلول

أعط قيمة x. احصل على

من هنا

دعنا نحصل على النظام

من المعادلة (1) نعبر عنها واستبدل في المعادلة (2).

; ;

من هنا

; ; .

دعنا نتحقق مما إذا كانت الدالة f (x) تحقق المعادلة حقًا

x = x صحيح.

إجابه: .

المحلول:

1) دع

2) استبدل في المعادلة الأصلية ، نحصل عليها

3) استبدل z بـ نحصل على أو بعد التحولات على الجانب الأيمن من المعادلة:

4) إذن ، حصلنا على معادلتين:

5) اضرب كلا الجزأين من المعادلة الأولى في (-2) وأضفهما إلى المعادلة الثانية ، نحصل على:

3. يترك - بعض عدد حقيقي. ابحث عن ميزةو (خ) ، معرّف لكل x ≠ 1 وتحقيق المعادلة

أين ز وظيفة معينة، المعرفة فيس ≠ 1 .

الحل: عند الاستبدال

نحصل على النظام

القرار الذيأ 2 ≠ 1 هي وظيفة

إجابه:

4. أوجد حلاً لنظام المعادلات الوظيفية فيما يتعلق بالوظائف غير المعروفةو (خ) وز (س) :

الحل: في المعادلة الأولى ، سنقوم بالتعويض2 س = 1 / ض .

حيث

وتصبح المعادلة الأولى:

أو

نتيجة لذلك ، نحصل على نظام المعادلات:

حله g (x) = 1 / x، f (x) = x + 1.

الجواب: ز (س) = 1 / س ، و (س) = س + 1.

5. أوجد جميع الدوال f: R  R ، والتي تحقق المعادلة بالنسبة لجميع x و y € R

و (س + ص) = س + ص (س) + (1-س) ص. (واحد)

الحل: لنكن f دالة مرضية (1). نظرًا لأن (1) ينطبق على جميع قيم المتغيرات x و y ، فسيكون أيضًا صحيحًا بالنسبة للقيم المحددة لهذه المتغيرات. بالتعويض ، على سبيل المثال ، y يساوي 0 في المعادلة الأصلية ، نحصل على f (x) = x. يجب أن تصمد هذه المساواة لأي x حقيقي. وبالتالي ، (1) => f (х) ≡х هو حل المعادلة الوظيفية (1). يظهر الفحص المباشر أن الدالة التي تم العثور عليها تحقق بالفعل المعادلة لكل x ، y ∈ R.

6. أوجد جميع الدوال f: R  R التي تحقق المعادلة بالنسبة لكل x و y € R

و (x + y) = x + yf (x) + (1-sin x) y (1)

الحل: كما في المسألة السابقة ، نثبت أنه بالنسبة للدالة f التي ترضي (2) ، يجب استيفاء الهوية f (x) ≡x. ومع ذلك ، باستبدال الدالة f (x) = x في (1) ، لن نحصل على هوية. نظرًا لعدم وجود وظائف أخرى يمكن أن تكون أيضًا حلولًا لـ (1) ، إذن معادلة معينةليس له حلول.

7. أوجد جميع الدوال f: R  R ، والتي تحقق المعادلة بالنسبة لجميع x و y € R

و (س + ص 2 + 2 ص + 1) \ u003d y 4 + 4y 3 + 2xy 2 + 5y 2 + 4xy + 2y + x 2 + x + 1 (1)

الحل: بما أننا نريد الحصول على قيمة f (x) ، فلنحاول التخلص من المصطلح y 2 + 2y + 1 تحت علامة الوظيفة. معادلة ص 2 + 2y + 1 = 0 لها حل واحد ص = -1. استبدال y \ u003d -1 في (1) نحصل على f (x) \ u003d x 2 -x + 1.

الجواب: f (x) \ u003d x 2 -x + 1

8. أوجد جميع الدوال f: R  R التي تحقق المعادلة بالنسبة لكل x و y € R

و ((x 2 + 6x + 6) y) \ u003d y 2 x 4 + 12y 2 x 3 + 48y 2 x 2-4yx 2 + 72y 2 x-24yx + 36y 2 -24 (1)

الحل: كما في المشكلة السابقة ، نريد الحصول على متغير مجاني (x أو y) تحت علامة الوظيفة. في هذه القضيةمن الواضح أنه من الأسهل الحصول عليه. حل المعادلة س 2 + 6x + 6) y \ u003d 0 بالنسبة إلى x نحصل على x 1 = -1 × 2 = -5. استبدال أي من هذه القيم في (1) يعطينا f (y) = y 2-4y.

حل المعادلات الوظيفية بطريقة كوشي

1. ابحث عن ميزة ، المعرفة على أساس مجموعة الأعداد الطبيعية ، وتحقيق الشرط

حيث d هو عدد حقيقي.

المحلول:

سنحل هذه المعادلة وفقًا للمخطط ، والذي يسمى في الرياضيات طريقة كوشي.

1. البحث عن تعبيرات عناحصل على

, .

2. هذه "التجربة" تشير إلى ذلك، أين .

3. تحقق مما إذا كانت المساواة صحيحة حقًا

أين . دعونا نطبق الطريقة الاستنتاج الرياضي.

1. تحقق مما إذا كانت المساواة تنطبق على x = 1:- حقا.

2. افترض أن المساواة صحيحةأين ، أي

الصحيح.

3. نثبت أن هذا يعني المساواة في x = n. لان ، ثم نحصل على x = nأو

; .

ومن ثم ، فإن المساواة صحيحة لأي ن طبيعي. وبالتالي ، سيكون حل المعادلة الوظيفية المحددة هو الوظيفة ، حيث f (1) هو رقم تعسفي.

2. أوجد جميع الوظائف المستمرة التي تحقق الشرط

المحلول:

سنجد حل المعادلة الوظيفية تدريجياً ، أي أولا إيجاد حلها ، إذا عدد طبيعي، إذن - عدد صحيح ، ثم عقلاني ، وأخيراً - حقيقي.

1. دع y = x. ثم .

2. ل ، نحصل عليه

, , …

3. دعونا نثبت بطريقة الاستقراء الرياضي أن القيم الطبيعية (اثبت ذلك بنفسك). (واحد)

4. بالنسبة إلى x = 1 نحصل على. - رقم ثابت. دعونا نشير إلى ذلك. ومن ثم ، فلدينا.

5. ضع في المساواة

(1) أين نحصل

. من هنا

أو

دلالة

من خلال ، نحصل عليها

ومن ثم ، نحصل على x الموجب والمنطقي

افتراض الوظيفة مستمر ، نحصل عليه

في

, .

6. تأخذ في المساواة. احصل على

من هنا.

لنأخذ هذه المساواة

احصل على

أو

لان

الذي - التي

أولئك. .

لذلك ، لأي حل حقيقي للمعادلة ، ستكون هناك دالة

إجابه:

تسمى المعادلة معادلة كوشي.

3. البحث عن ميزات مستمرة ، تلبية الشرط

. (1)

المحلول:

دعنا نحاول اختزال هذه المعادلة إلى معادلة كوشي الوظيفية

مع حل مستمر

دع y = 0 ، إذن

لان هو رقم ثابت ، يُرمز إليه بـواحصل على

الآن لنكتب قيمة x .

احصل على

من المعادلة (1)

نحن نحصل

أو

(2).

حل المعادلة (1) هو الوظيفة

ومن ثم ، سيكون حل المعادلة (2) هو الوظيفة

إجابه:

4. أوجد جميع الحلول المستمرة لمعادلات كوشي:

أ)F( X ذ) = F( x) + F( ذ) ( س ، ص€ ص\ { 0 } );

ب ) F( x+ ذ) = F( س ص) ( س ، ص€ ص);

في ) F( x+ ذ) = F( x) F( ذ) ( س ، ص€. ص) .

المحلول:

أولاً ، دع x> 0. دع

ز (س) \ u003d و (هـ س).

ثم

g (x + y) \ u003d f (e x + y) \ u003d f (e x e y) \ u003d f (e x) + f (e y) \ u003d g (x) + g (y) أي g (x)

يفي بمعادلة كوشي المضافة. لانه x و f (x ) متواصلة ، إذنز (x ) مستمر وله الشكل cx ، حيث c ثابت. ثم f (x) لها الصيغة c ln x.

خاصه،

و (1) = 0.

وضع

س = ص = -1 ،

نحن نحصل

و (1) = 2f (-1) ،

أين

و (-1) = 0.

من أجل التعسفي x< 0 получаем

و (س) \ u003d و (- س) + و (- 1) \ u003d و (- س).

من هنا

f (x) = c ln | x |

عن التعسفي

س ≠ 0.

ب) الوضع

ص = 0

نحن نحصل

و (س) = و (0) ، أي f (x) ≡ const.

من الواضح أن أي ثابت جيد.

ج) إذا

و (س) = 0

بالنسبة لبعض س ،

ومن بعد

و (ض) \ u003d و (س) و (ض - س) \ u003d 0

لأي ض . خلاف ذلك ، فإن الوظيفة ، كونها متصلة ، لها نفس العلامة في كل مكان. لان

و (2 س) = (و (س)) 2 ،

فهذه الإشارة موجبة ويمكننا اعتبارها مستمرة

وظيفة

g (x): = ln f (x). لدينا g (x + y) = ln (f (x) f (y)) = ln f (x) + ln f (y) = g (x) + g (y) ،

أولئك. تم استيفاء معادلة كوشي المضافة. من هنا g (x) = cx لبعض ج ، و

و (س) \ u003d ه ج س.

ذلك إما

f (x) ≡ 0 أو f (x) ≡e cx.

استخدام قيم دالة في بعض النقاط

في بعض الأحيان يكون من المستحيل إيجاد تعويض يبسط بشكل كبير شكل المعادلة. ومع ذلك ، إذا تم إصلاح أحد المتغيرات المجانية ، فقد يتم أيضًا إصلاح بعض شروط المعادلة. بالنسبة لهم ، يمكن إدخال الترميز المريح واستخدامه في الحل كثوابت عادية. إذا تم تضمين هذه الثوابت في الاستجابة ، فستظهر عملية التحقق أيًا من قيمها صالحة.

حل المعادلة

و (س + و (ص)) = س ص

الحل: الاستبدال

ص = 0

يعطي

و (س + و (0)) = 0.

للوهلة الأولى ، هناك فائدة قليلة ، لأننا لا نعرف ما تساوي f (0). أشر إلى f (0) = c ، ثم نحصل على f (x + c) = 0. عند إجراء تغيير المتغير t = x + c (الاستبدال x = t-c) ، نحصل على f (e) = 0 ، لكن من الواضح أن هذه الوظيفة لا تفي بالمعادلة الأصلية ، لذلك لا توجد حلول.

حل المعادلة

و (س + و (ص)) = س + ص

الحل: مرة أخرى نجعل الاستبدال y \ u003d 0 ونشير إلى c \ u003d f (0) ، نحصل على f (x + c) \ u003d x. استبدال t = x + c يعطي f (t) = t-c. على الرغم من حقيقة أننا نعرف القيمة الدقيقة لـ c ، إلا أننا نعلم بالفعل أن دالة على الشكل f (x) = x-c ، حيث c = const ، يمكنها أن تحقق المعادلة لكل x و y. لإيجاد c ، نعوض بالدالة التي تم العثور عليها في المعادلة الأصلية (في نفس الوقت سوف نتحقق بهذه الطريقة):

f (x + f (y)) = f (x + (y-c)) = (x + (y-c)) - c = x + y-2c.

من هذا نرى أن المساواة

و (س + و (ص)) = س + ص

لكل x ، y مع c يساوي 0 ومعه فقط. إذن الإجابة هي f (x) = x.

الجواب: و (س) = س.

المعادلة نسبية

أوجد كل f: R  R بحيث (f (x)) 2 = 1

الحل: باعتبار هذا معادلة للمجهول f (x) ، نحصل عليها

F( x) = 1 ;

F( x) = -1

قد يبدو أن الإجابة ستكون وظيفتين ،

و (س) = 1 ، و (س) = - 1.

ومع ذلك ، فهي ليست كذلك. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، الوظيفة

1 ×<0

1 ، س ≥ 0

من السهل أن نرى أن هذه الوظيفة تحقق المعادلة. ما معنى الركام؟ نظرًا لأن المساواة الأصلية يجب أن تنطبق على كل x € R ، أي لكل x ، تحدث إحدى المساواة. ومع ذلك ، سيكون من الخطأ افتراض أن إحدى نقاط المساواة تنطبق على كل x مرة واحدة. كما رأينا في المثال ، بالنسبة لبعض x يمكن إرضاء واحدة من المساواة ، وبالنسبة للآخرين - أخرى. دعنا نحاول وصف مجموعة الوظائف التي قدمتها المعادلة. لنفترض أن A هي مجموعة x التي تحمل المساواة الأولى لها. ثم الثانية يجب أن تحمل كل س الأخرى. نرى أن المجموعة A تحدد بشكل فريد الوظيفة f:

إجابه:

ه( F) = {+-1} حيث E (f)

يشير إلى مجموعة القيم و.

الحل الرسومي لمعادلة وظيفية. لأي من أ و ب للدالة

و (س) = أ | س ب | + 3 أ | إكس ب |

الشرط راض عن كل شيء حقيقي

س: و (س) = و (و (س))؟

المحلول:

عندما تكون a = 0 ، فإن الدالة f (x) = 0 ، ويتم استيفاء المعادلة بوضوح.

دع a> 0 ، ثم بالنسبة إلى x> 0 الدالة

و (س) = أ (س ب) + 3 أ (س ب) = 4ax-أ (ب + 3 ب)> 0

وفقًا للشكل 1 ، نحدد أن المساواة f (x) = x فقط ممكنة إذا كانت قيم x كبيرة بدرجة كافية و x> 0. على وجه التحديد ، x> max (b ؛ b).

لذلك ، يتم تحديد القيم المحتملة للمعلمات a و b من النظام:

الذي له حلين:

مع أ = 1/4 ، ب = -1 / 3 نحصل على الوظيفة

الرسم البياني لها (الشكل 2) حل رسوميالمعادلات

و (س) = و (و (س))

افترض الآن أن ملف<0, тогда при больших по абсолютной величине и х<0. Конкретно, х

لذلك ، يتم تحديد القيم المحتملة للمعلمات a و b من النظام

الذي له حلين

اذا كان

أ = -1 / 4 ، ب = 0 ،

ثم الوظيفة

و (س) = - | س |

يفي بالمعادلة

و (س) = و (و (س))

إذا كانت a = -1 / 4 ، ب = -1 / 3 ، فإننا نحصل على الوظيفة

لكن الرسم البياني الخاص به (الشكل 3) ليس حلاً رسوميًا للمعادلة f (x) = f (f (x)).

إجابه: ، ، ،

استنتاج

في هذه الورقة ، تم النظر في المعادلات الوظيفية وبعض الطرق لحلها. في سياق العمل ، تأكدنا من أن المعادلات الوظيفية هي فئة عامة من المعادلات تكون فيها بعض الوظائف هي الوظيفة المطلوبة. تشمل المعادلات الوظيفية أساسًا المعادلات التفاضلية والمعادلات التكاملية والمعادلات في الفروق المحدودة. تُفهم المعادلة الوظيفية بالمعنى الضيق للكلمة على أنها معادلات ترتبط فيها الوظائف المرغوبة بالوظائف المعروفة لمتغير واحد أو أكثر باستخدام عملية تكوين وظيفة معقدة. يمكن أيضًا اعتبار المعادلة الوظيفية بمثابة تعبير عن خاصية تميز فئة أو أخرى من الوظائف.

فهرس

استضافت على Allbest.ru

تطبيقات

رسم بياني 1

الصورة 2

تين. 3

استضافت على Allbest.ru

طرق حل المعادلات: استبدال المعادلة h (f (x)) = h (g (x)) بالمعادلة f (x) = g (x) استبدال المعادلة h (f (x)) = h (g (g ( x)) بالمعادلة f (x) = g (x) التحليل إلى عوامل. إدخال متغير جديد. وظيفية - طريقة رسومية. وظيفية - طريقة رسومية. اختيار الجذر. تطبيق صيغ فييتا.

التخصيم. يمكن استبدال المعادلة f (x) g (x) h (x) = 0 بمجموعة المعادلات f (x) = 0 ؛ ز (خ) = 0 ؛ h (x) = 0. بعد حل معادلات هذه المجموعة ، عليك أن تأخذ تلك الجذور التي تنتمي إلى مجال تعريف المعادلة الأصلية ، وتجاهل الباقي باعتبارها غريبة.

حل المعادلة x³ - 7x + 6 = 0 يمثل المصطلح 7x كـ x + 6x ، نحصل على التسلسل: x³ - x -6x + 6 = 0 x (x² - 1) - 6 (x - 1) = 0 x (x - 1) (x + 1) - 6 (x - 1) = 0 (x - 1) (x² + x - 6) = 0 الآن تختزل المشكلة إلى حل مجموعة من المعادلات x -1 = 0 ؛ x² + x - 6 = 0. الإجابة: 1 ، 2 ، - 3.

إدخال متغير جديد. إذا كان من الممكن تحويل المعادلة y (x) = 0 إلى الشكل p (g (x)) = 0 ، فأنت بحاجة إلى إدخال متغير جديد u = g (x) ، وحل المعادلة p (u) = 0 ، ثم حل مجموعة المعادلات g (x) = u 1؛ ز (خ) = ش 2 ؛ … ؛ g (x) = u n ، حيث u 1 ، u 2 ، ... ، u n هي جذور المعادلة p (u) = 0.

حل المعادلة 6 (x² - 4) ² + 5 (x² - 4) (x² - 7x +12) + (x² - 7x + 12) ² = 0 يمكن حل هذه المعادلة على أنها متجانسة. قسّم طرفي المعادلة على (x² - 7x +12) ² (من الواضح أن قيم x مثل x² - 7x + 12 = 0 ليست حلولًا). الآن دعنا نشير إلى أن لدينا من هنا الإجابة:

اختيار الجذور Theorem1: إذا كان العدد الصحيح m هو جذر كثير الحدود مع معاملات عدد صحيح ، فإن المصطلح الحر لكثير الحدود قابل للقسمة على m. النظرية 2: كثير الحدود المختزل مع معاملات عدد صحيح ليس له جذور كسرية. النظرية 3: يجب أن تكون معادلة ذات معاملات عدد صحيح. حيث p و q عدد صحيح غير قابل للاختزال ، هو جذر المعادلة ، ثم p هو القاسم على المصطلح الحر a n ، و q هو القاسم على المعامل عند الحد الأعلى a 0. إذا كان الرقم والكسر

نظرية بيزوت. الباقي عند قسمة أي كثيرة الحدود على ذات الحدين (س - أ) يساوي قيمة كثير الحدود القابلة للقسمة عند س = أ. عواقب نظرية بيزوت الفرق بين القوى المتطابقة لعددين قابل للقسمة دون الباقي باختلاف نفس الأعداد. الفرق بين القوى الزوجية المتطابقة لعددين قابل للقسمة بدون الباقي باختلاف هذين العددين ومجموعهما ؛ الفرق بين القوى الفردية المتطابقة لرقمين لا يقبل القسمة على مجموع هذه الأرقام ؛ مجموع القوى المتساوية لعددين غير قابل للقسمة على اختلاف هذين العددين ؛ مجموع القوى الفردية المتطابقة لرقمين قابل للقسمة بدون الباقي على مجموع هذه الأرقام ؛ مجموع القوى الزوجية المتطابقة لرقمين لا يقبل القسمة إما باختلاف هذين العددين أو بمجموعهما ؛ كثير الحدود قابل للقسمة على ذات الحدين (س - أ) إذا وفقط إذا كان الرقم أ هو جذر كثير الحدود هذا ؛ عدد الجذور المتميزة لكثيرات الحدود غير الصفرية لا يزيد عن درجتها.

حل المعادلة x³ - 5x² - x + 21 = 0 كثير الحدود x³ - 5x² - x + 21 لها معاملات عددية. حسب النظرية 1 ، فإن جذورها الصحيحة ، إن وجدت ، هي من بين قواسم المصطلح الحر: ± 1 ، ± 3 ، ± 7 ، ± 21. بالتدقيق ، نتأكد من أن الرقم 3 هو جذر. نتيجة طبيعية لنظرية بيزوت ، كثير الحدود يقبل القسمة على (س - 3). إذن x³ - 5x² - x + 21 = (x - 3) (x² - 2x - 7). إجابه:

حل المعادلة 2x³ - 5x² - x + 1 = 0 وفقًا للنظرية 1 ، يمكن أن تكون الأرقام ± 1 فقط جذورًا صحيحة للمعادلة ، ويظهر التحقق أن هذه الأرقام ليست جذورًا. نظرًا لعدم اختزال المعادلة ، يمكن أن يكون لها جذور عقلانية كسرية. دعنا نجدهم. للقيام بذلك ، نضرب طرفي المعادلة في 4: 8x³ - 20x² - 4x + 4 = 0 بالتعويض عن 2x = t ، نحصل على t³ - 5t² - 2t + 4 = 0. بواسطة Terem 2 ، جميع الجذور المنطقية لهذا يجب أن تكون المعادلة المختزلة عددًا صحيحًا. يمكن إيجادها بين قواسم المصطلح الثابت: ± 1 ، ± 2 ، ± 4. في هذه الحالة ، t \ u003d - 1 مناسب. لذلك ، من خلال النتيجة الطبيعية لنظرية بيزوت ، كثير الحدود 2x³ - 5x² - x + 1 قابل للقسمة على (x + 0.5): 2x³ - 5x² - x + 1 = (x + 0.5) (2x² - 6x + 2) حل المعادلة التربيعية 2x² - 6x + 2 = 0 ، نجد الجذور المتبقية: الإجابة:

الإجابات والتعليمات: 1. إدخال متغير جديد. 2. وظيفية - طريقة رسومية. 3. استبدال المعادلة h (f (x)) = h (g (x)) بالمعادلة f (x) = g (x). 4. التخصيم. 5. اختيار الجذور. 6 وظيفيا - طريقة رسومية. 7. تطبيق صيغ فييتا. 8. اختيار الجذور. 9. استبدال المعادلة h (f (x)) = h (g (x)) بالمعادلة f (x) = g (x). 10. إدخال متغير جديد. 11. التخصيم. 12. إدخال متغير جديد. 13. اختيار الجذور. 14. تطبيق صيغ فييتا. 15. وظيفية - طريقة رسومية. 16. التخصيم. 17. إدخال متغير جديد. 18. التخصيم.

1. تعليمات. اكتب المعادلة كما يلي: 4 (x² + 17x + 60) (x + 16x + 60) = 3x² ، اقسم كلا الطرفين على x². أدخل إجابة متغيرة: × 1 = - 8 ؛ × 2 \ u003d - 7.5. 4. التعليمات. أضف 6y و - 6y إلى الجانب الأيسر من المعادلة واكتبها بالشكل (y³ - 2y²) + (- 3y² + 6y) + (- 8y + 16) = (y - 2) (y² - 3y - 8). إجابه:

14. التعليمات. وفقًا لنظرية فييتا ، بما أن الأعداد صحيحة ، فيمكن أن تكون جذور المعادلة فقط هي الأرقام -1 ، -2 ، -3 الإجابة: 15. الإجابة: - الإشارة. اقسم طرفي المعادلة على x² واكتبها على النحو التالي أدخل متغير الإجابة: 1؛ 1.5 ؛ 2 ؛ 3.

فهرس. Kolmogorov A. N. "الجبر وبداية التحليل ، 10-11" (م: التربية ، 2003). Bashmakov M. I. "الجبر وبداية التحليل ، 10-11" (م: التربية ، 1993). Mordkovich A. G. "الجبر وبداية التحليل ، 10-11" (M: Mnemozina ، 2003). Alimov Sh. A. ، Kolyagin Yu. M. et al. "الجبر وبدايات التحليل ، 10-11" (M.: Prosveshchenie ، 2000). Galitsky M. L.، Goldman A. M.، Zvavich L. I. "مجموعة مشاكل في الجبر ، 8 - 9" (M: Prosveshchenie ، 1997). كارب أ.ب. "مجموعة المسائل في الجبر وبدايات التحليل ، 10-11" (م: التربية ، 1999). Sharygin I. F. "مقرر اختياري في الرياضيات ، حل المشكلات ، 10" (م: التربية ، 1989). Skopets Z. A. "فصول إضافية في مسار الرياضيات ، 10" (م: التربية ، 1974). Litinsky GI "دروس في الرياضيات" (موسكو: أصلان ، 1994). Muravin G. K. "المعادلات وعدم المساواة وأنظمتها" (الرياضيات ، ملحق لصحيفة "الأول من سبتمبر" ، 2 ، 3 ، 2003). Kolyagin Yu. M. "كثيرات الحدود ومعادلات الدرجات العليا" (الرياضيات ، ملحق لصحيفة "Pervoe september" ، 3 ، 2005).

دعنا نعطي الدالة f ، والتي عند نقطة ما x 0 لها مشتق محدود f (x 0). ثم الخط المار بالنقطة (x 0 ؛ f (x 0)) ، الذي له ميل f '(x 0) ، يسمى المماس.

ولكن ماذا يحدث إذا كانت المشتقة عند النقطة x 0 غير موجودة؟ هناك خياران:

ظل الرسم البياني غير موجود أيضًا. المثال الكلاسيكي هو الوظيفة y = | x | عند النقطة (0 ؛ 0).
يصبح الظل عموديًا. هذا صحيح ، على سبيل المثال ، بالنسبة للدالة y = arcsin x عند النقطة (1 ؛ π / 2).

معادلة الظل

يتم الحصول على أي خط مستقيم غير عمودي بواسطة معادلة بالصيغة y = kx + b ، حيث k هو الميل. الظل ليس استثناءً ، ومن أجل تكوين معادلته عند نقطة ما × 0 ، يكفي معرفة قيمة الوظيفة والمشتق في هذه المرحلة.

لذلك ، دع الدالة تُعطى y \ u003d f (x) ، والتي لها مشتق y \ u003d f '(x) على المقطع. ثم في أي نقطة × 0 ∈ (أ ؛ ب) يمكن رسم الظل للرسم البياني لهذه الوظيفة ، والتي تعطى بالمعادلة:

y \ u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

هنا f '(x 0) هي قيمة المشتق عند النقطة x 0 ، و f (x 0) هي قيمة الوظيفة نفسها.

مهمة. بالنظر إلى الدالة y = x 3. اكتب معادلة لمماس الرسم البياني لهذه الدالة عند النقطة x 0 = 2.

معادلة الظل: y \ u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). النقطة x 0 = 2 معطاة لنا ، لكن القيم f (x 0) و f '(x 0) يجب أن تحسب.

أولًا ، لنجد قيمة الدالة. كل شيء سهل هنا: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8 ؛
الآن دعنا نجد المشتق: f '(x) \ u003d (x 3)' \ u003d 3x 2 ؛
عوّض في المشتق x 0 = 2: f '(x 0) = f' (2) = 3 2 2 = 12؛
فنحصل على: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
هذه هي معادلة الظل.

مهمة. قم بتكوين معادلة الظل للرسم البياني للوظيفة f (x) \ u003d 2sin x + 5 عند النقطة x 0 \ u003d π / 2.

هذه المرة لن نصف بالتفصيل كل إجراء - سنشير فقط إلى الخطوات الرئيسية. نملك:

و (س 0) \ u003d و (/ 2) \ u003d 2 ثانية (π / 2) + 5 \ u003d 2 + 5 \ u003d 7 ؛
و '(x) \ u003d (2sin x + 5)' \ u003d 2cos x ؛
f '(x 0) \ u003d f' (π / 2) \ u003d 2cos (π / 2) \ u003d 0 ؛

معادلة الظل:

ص = 0 (س - π / 2) + 7 ص = 7

في الحالة الأخيرة ، كان الخط أفقيًا ، لأن منحدره k = 0. لا حرج في ذلك - لقد عثرنا على نقطة قصوى.

لذلك ، هناك رغبة طبيعية في اختزال معادلة ترتيب أعلى من الأولى إلى معادلة ذات ترتيب أدنى. في بعض الحالات ، يمكن القيام بذلك. دعونا نفكر فيها.

1. يتم حل المعادلات بالصيغة y (n) = f (x) بالتكامل المتتالي n مرة
, ,… .
مثال. حل المعادلة س ص "" = 1. يمكننا كتابة y "= ln | x | + C 1 ، وبالتكامل مرة أخرى ، نحصل أخيرًا على y = ∫ln | x | + C 1 x + C 2

2. في المعادلات ذات الشكل F (x، y (k)، y (k +1)، ..، y (n)) = 0 (أي لا تحتوي صراحة على دالة غير معروفة وبعض مشتقاتها) ، يتم تقليل الطلب باستخدام تغيير المتغير y (k) = z (x). ثم y (k +1) = z "(x)،…، y (n) = z (n - k) (x) ونحصل على المعادلة F (x، z، z"، ..، z (n - ك)) من أجل n-k. حلها هو الدالة z = φ (x، C 1، C 2، ...، C n) أو تذكر ما هو z نحصل على المعادلة y (n- k) = φ (x، C 1، C 2، ...، C n - k) من النوع المعتبَر في الحالة 1.
مثال 1 . حل المعادلة x 2 y "" = (y ") 2. نجعل الاستبدال y" = z (x). ثم y "" = z "(x) ، بالتعويض في المعادلة الأصلية ، نحصل على x 2 z" = z 2. نحصل على فصل المتغيرات. التكامل ، لدينا ، أو ، وهو نفسه ،. يتم كتابة العلاقة الأخيرة من أين. بالتكامل ، نحصل أخيرًا
مثال 2. حل المعادلة x 3 y "" + x 2 y "= 1. نقوم بتغيير المتغيرات: y" = z؛ y "" = z "
x 3 z "+ x 2 z = 1. نقوم بتغيير المتغيرات: z = u / x؛ z" = (u "x-u) / x 2
x 3 (u "x-u) / x 2 + x 2 u / x = 1 أو u" x 2 -xu + xu = 1 أو u "x ^ 2 = 1. من: u" = 1 / x 2 أو du / dx = 1 / x 2 أو u = int (dx / x 2) = -1 / x + c 1
بما أن z = u / x ، إذن z = -1 / x 2 + c 1 / x. منذ y "= z ، ثم dy / dx \ u003d -1 / x 2 + c 1 / x
y = int (c 1 dx / x-dx / x 2) = c 1 ln (x) + 1 / x + c 2. الجواب: y = c 1 ln (x) + 1 / x + c 2

3. المعادلة التالية التي يمكن اختزالها بالترتيب هي معادلة بالصيغة F (y ، y "، y" "، ... ، y (n)) = 0 ، والتي لا تحتوي صراحةً على متغير مستقل. ترتيب يتم تقليل المعادلة عن طريق تغيير المتغير y "= p (y) ، حيث p هي الوظيفة الجديدة المطلوبة اعتمادًا على y. ثم
= وهكذا. بالاستقراء ، لدينا y (n) = φ (p، p "، ..، p (n-1)) وبالتعويض في المعادلة الأصلية ، نخفض ترتيبها بمقدار واحد.

مثال. حل المعادلة (y ") 2 + 2yy" "= 0. نجعل الاستبدال القياسي y" = p (y) ، ثم y ″ = p ′ · p. بالتعويض في المعادلة ، نحصل على عند فصل المتغيرات ، عند p 0 ، نحصل على تكامل أو الذي هو نفسه. ثم أو. دمج المساواة الأخيرة ، نحصل عليها في النهاية عند فصل المتغيرات ، يمكن أن نفقد الحل y = C ، الذي يتم الحصول عليه عند p = 0 ، أو ما هو نفسه ، عند y "= 0 ، ولكنه موجود في الحل الذي تم الحصول عليه أعلاه.

4. في بعض الأحيان يكون من الممكن ملاحظة ميزة تجعل من الممكن خفض ترتيب المعادلة بطرق مختلفة عن تلك المذكورة أعلاه. دعنا نظهر هذا مع الأمثلة.

أمثلة.
1. إذا كان كلا الجزأين من المعادلة yy "" "= y′y ″ مقسومًا على yy ″ ، فإننا نحصل على المعادلة ، والتي يمكن إعادة كتابتها كـ (lny ″) ′ = (lny) ′. من آخر علاقة لها يتبع ذلك lny ″ = lny + lnC ، أو ، ما هو نفسه ، y ″ = Cy ... والنتيجة هي معادلة بترتيب من حيث الحجم أقل ومن النوع الذي تم اعتباره سابقًا.
2. بالمثل ، بالنسبة للمعادلة yy ″ = y ′ (y ′ + 1) لدينا ، أو (ln (y "+1))" = (lny) ". ويتبع من العلاقة الأخيرة أن ln (y" + 1) = lny + lnC 1 ، أو y "= C 1 y-1. نحصل على فصل المتغيرات والتكامل ، ln (C 1 y-1) = C 1 x + C 2
قرر المعادلات ذات الترتيب الأدنىممكن بمساعدة خدمة خاصة

1. حوّل المعادلة الواردة بالصيغة F (x) = 0.

2. قم ببناء جدول قيم الدالة على فترة زمنية معينة.

3. ارسم الدالة F (x).

4. توطين الجذور ، أي إيجاد الفترات التي توجد فيها جذور المعادلة. يمكن أن تكون فترات توطين الجذور هذه فترات يكون في نهايتها للوظيفة علامات معاكسة.

5. حدد من الرسم البياني أول جذور المعادلة والمقطع الأول من توطين هذا الجذر.

6. باستخدام طريقة التقسيم ، أوجد جذر المعادلة بدقة e = 0.001.

7. كرر الخطوتين 5 و 6 لجذور المعادلة التالية.

يتم تحديد متغير المعادلة من خلال عدد الطالب في القائمة.

متغيرات المعادلات

1. أوجد جذور المعادلة الجبرية غير الخطية

2. أوجد جذور المعادلة الجبرية غير الخطية