درس "كيفية رسم الدالة y = f (kx) إذا كان الرسم البياني للدالة y = f (x) معروفًا". تحولات الرسم البياني

المواد المقدمة في الفيديو التعليمي هي استمرار لموضوع وظائف الرسم من خلال التحولات المختلفة. سننظر في كيفية بناء التمثيل البياني للدالة. ص =F(ككس) إذا كان الرسم البياني للوظيفة معروفًا ص =F(x) . في هذه القضية ك- أي عدد حقيقي، لا يساوي الصفر.

دعونا أولا ننظر في القضية متى كهو رقم موجب. على سبيل المثال ، دعنا نرسم الدالة ص =F(3 x) , إذا كان الرسم البياني للوظيفة ص =F(X)نملك. في الشكل ، يُظهر محور الإحداثيات رسمًا بيانيًا ص =F(X) التي توجد عليها نقاط بإحداثيات A و B. اختيار قيم عشوائية Xواستبدالها بالوظيفة ص =F(3 x) ، ابحث عن القيم المقابلة للدالة في. وبالتالي ، يتم الحصول على نقاط الرسم البياني للوظيفة ص =F(3 x) A 1 و B 1 ، إحداثياتهما مماثلة لتلك الخاصة بالنقطتين A و B. أي يمكننا أن نقول ذلك من الرسم البياني للدالة ص =F(x) عن طريق الضغط بعامل كعلى المحور ص ، يمكنك الحصول على رسم بياني للوظيفة ص =F(ككس) . من المهم ملاحظة أن نقاط التقاطع مع المحور y تظل في نفس المكان أثناء الضغط.

في حالة متى ك- رقم سالب، الرسم البياني للدالة ص =F(ككس) من الرسم البياني للدالة ص =F(x) عن طريق التمدد من المحور الصادي بعامل 1/ ك.

1) أولاً ، يتم إنشاء جزء من موجة الرسم البياني للوظيفة ص =الخطيئةX(انظر الصورة)؛

2) لأن ك= 2 ، يتم ضغط الرسم البياني للوظيفة ص =sinxبالنسبة للمحور الإحداثي ، تكون نسبة الضغط 2. أوجد نقطة التقاطع مع المحور x. لان الرسم البياني للوظيفة ص =الخطيئةXيتقاطع مع المحور x عند النقطة π ، ثم الرسم البياني للدالة ص =الخطيئة 2Xيعبر المحور x عند النقطة π / k = π / 2. وبطريقة مماثلة ، تم العثور على جميع النقاط الأخرى في الرسم البياني للدالة ص =الخطيئة 2xوالرسم البياني بأكمله مبني على هذه النقاط.

ضع في اعتبارك المثال الثاني - رسم الرسم البياني للوظيفة ص =كوس (× / 2).

1) نبني جزءًا من موجة الرسم البياني للوظيفة y \ u003d cos X(انظر الصورة)؛

2) لأن ك= 1/2 ، قم بتمديد الرسم البياني للدالة ص =الخطيئةXمن المحور y بعامل ½.

أوجد نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور X. لان الرسم البياني للوظيفة ص =كوسXيتقاطع مع المحور x عند النقطة / 2 ، ثم الرسم البياني للدالة ص =كوس (× / 2)يتقاطع مع المحور x عند النقطة π. بنفس الطريقة ، نجد جميع النقاط الأخرى في التمثيل البياني للدالة ص =كوس (× / 2)، سنقوم ببناء الرسم البياني بأكمله باستخدام هذه النقاط.

بعد ذلك ، ضع في اعتبارك خيار إنشاء رسم بياني للوظيفة ذ= F(ككس), أين كهو رقم سالب. على سبيل المثال ، متى ك= -1 ميزة ذ= F(ككس) = F(- x). يوضح الشكل رسمًا بيانيًا ص =F(X) ،التي توجد عليها نقاط ذات الإحداثيين A و B. اختيار قيم عشوائية لـ x واستبدالها في الوظيفة ذ= F(- x), ابحث عن قيم الوظيفة المقابلة في. احصل على نقاط الرسم البياني للدالة ذ= F(- x) A 1 و B 1 ، اللذان سيكونان متماثلين مع النقطتين A و B بالنسبة للمحور y. أي عند استخدام التناظر حول المحور y من الرسم البياني للدالة ص =F(ككس) نحصل على الرسم البياني للدالة ص =F(- x).

دعنا ننتقل إلى رسم الرسم البياني للوظيفة ذ= F(ككس) شوكة<0 на примере функции у = 4 sin (- x/2).

1) بناء جزء من موجة الرسم البياني ص =الخطيئةX;

2) لأن ك= 4 ، سنقوم بتمديد نصف موجة الرسم البياني بالنسبة لمحور الإحداثي ، حيث يكون عامل التمدد 4 ؛

3) إجراء تحويل متماثل حول المحور السيني ؛

4) تمتد من المحور الصادي (عامل التمدد هو 2) ؛

5) أكمل بناء الرسم البياني بأكمله.

في هذا الفيديو التعليمي ، درسنا بالتفصيل كيفية إنشاء رسم بياني للوظائف خطوة بخطوة ص =F(ككس) بقيم مختلفة ك.

تفسير النص:

سنتعرف اليوم على التحول الذي سيساعدك على تعلم كيفية رسم الوظيفة y \ u003d f (kx)

(y تساوي ef من الوسيطة التي تمثل حاصل ضرب ka و x) ، إذا كان الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) معروفًا (y يساوي eff من x) ، حيث ka هو أي رقم حقيقي (باستثناء الصفر) ".

1) ضع في اعتبارك الحالة عندما يكون k رقمًا موجبًا في مثال محدد ، عندما تكون k = 3. أي أنك تحتاج إلى رسم بياني للدالة

y \ u003d f (3x) (y تساوي eff من ثلاثة x) ، إذا كان الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) معروفًا. دع الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) هناك نقطة A بإحداثيات (6 ؛ 5) و B بإحداثيات (-3 ؛ 2). هذا يعني أن f (6) \ u003d 5 و f (- 3) \ u003d 2 (ef من ستة يساوي خمسة و ef من ناقص ثلاثة يساوي اثنين). دعنا نتبع حركة هذه النقاط عند رسم الوظيفة y \ u003d f (3x).

خذ قيمة عشوائية x = 2 ، احسب y ، واستبدل قيمة x في الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (3x) ، نحصل على y \ u003d 5. (على الشاشة: y \ u003d f (3x) \ u003d f (3 2) \ u003d f (6) = 5.) أي على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (3x) توجد نقطة بإحداثيات A 1 (2 ؛ 5). إذا كانت x \ u003d - 1 ، فقم باستبدال قيمة x في الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (3x) ، نحصل على القيمة y \ u003d 2.

(على الشاشة: y = f (3x) = f (- 1 ∙ 3) = f (- 3) = 2.)

أي على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (3x) توجد نقطة بإحداثيات B 1 (- 1 ؛ 2). لذلك ، على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (3x) ، توجد نقاط بنفس التنسيق كما في الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) ، بينما الحد الفاصل للنقطة أقل مرتين في القيمة المطلقة .

سيكون الأمر نفسه صحيحًا بالنسبة للنقاط الأخرى في الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) ، عندما ننتقل إلى الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (3x).

عادةً ما يسمى هذا التحول بالضغط على المحور y (y) بعامل 3.

لذلك ، يتم الحصول على الرسم البياني للدالة y = f (kx) من الرسم البياني للدالة y = f (x) بالتقلص إلى المحور y (y) بمعامل k. لاحظ أنه مع هذا التحول ، تظل نقطة تقاطع الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) مع المحور y في مكانها.

إذا كانت k أقل من واحد ، فإنهم لا يتحدثون عن الضغط بمعامل k ، ولكن عن التمدد من المحور y بمعامل (أي ، إذا كانت k = ، فإنهم يتحدثون عن التمدد بمعامل 4).

مثال 1. ارسم الدالة y \ u003d sin 2x (y يساوي جيب اثنين x).

المحلول. أولاً ، لنقم ببناء نصف موجة من الرسم البياني y \ u003d sin x على الفترة من صفر إلى pi. نظرًا لأن المعامل يساوي اثنين ، مما يعني أن k رقم موجب أكبر من واحد ، فسنضغط الرسم البياني للدالة y \ u003d sin x على المحور الإحداثي بمعامل 2. أوجد نقطة التقاطع مع محور OX. إذا كان الرسم البياني للوظيفة y \ u003d sin x يتقاطع مع محور OX عند النقطة π ، فإن الرسم البياني للوظيفة y \ u003d sin 2x سيتقاطع عند النقطة (π: k \ u003d π: 2 \ u003d) (pi على ka يساوي pi على اثنين يساوي pi على اثنين). بطريقة مماثلة ، نجد جميع النقاط الأخرى في الرسم البياني للدالة y \ u003d sin2 x. لذا ، فإن نقطة الرسم البياني للوظيفة y \ u003d sin x بالإحداثيات (؛ 1) سوف تتوافق مع نقطة الرسم البياني للوظيفة y \ u003d sin 2x مع الإحداثيات (؛ 1). وبالتالي ، نحصل على نصف موجة من الرسم البياني للوظيفة y \ u003d sin 2x. باستخدام دورية الوظيفة ، نقوم ببناء الرسم البياني بأكمله.

مثال 2. ارسم الدالة y \ u003d cos (y يساوي جيب التمام الخاص بـ x واثنين).

المحلول. أولاً ، لنقم ببناء نصف موجة من الرسم البياني y \ u003d cos x. نظرًا لأن k رقم موجب أقل من وحدة e ، فسنقوم بتمديد الرسم البياني للدالة y \ u003d cos x من المحور y بعامل 2.

أوجد نقطة التقاطع مع المحور x. إذا كان الرسم البياني للوظيفة y \ u003d cos x يتقاطع مع محور OX عند نقطة ما ، فإن الرسم البياني للوظيفة y \ u003d cos سيتقاطع عند النقطة π. (: k = π: = π). بطريقة مماثلة ، نجد جميع النقاط الأخرى في الرسم البياني للدالة y \ u003d cos. وبالتالي ، نحصل على نصف موجة من الرسم البياني للوظيفة المطلوبة. باستخدام دورية الوظيفة ، نقوم ببناء الرسم البياني بأكمله.

ضع في اعتبارك الحالة عندما يكون k يساوي ناقص واحد. أي أنك تحتاج إلى رسم الدالة y \ u003d f (-x) (y تساوي eff من ناقص x) ، إذا كان الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) معروفًا. يجب أن تكون هناك النقطة A على الرسم البياني بالإحداثيات (4 ؛ 5) والنقطة B (-5 ؛ 1). هذا يعني أن f (4) = 5 و f (- 5) = 1.

منذ الاستبدال في الصيغة y \ u003d f (-x) بدلاً من x \ u003d - 4 نحصل على y \ u003d f (4) \ u003d 5 ، ثم على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (-x) هناك هي نقطة ذات إحداثيات A 1

(- 4 ؛ 5) (ناقص أربعة ، خمسة). وبالمثل ، فإن الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (-x) ينتمي إلى النقطة B 1 (5 ؛ 1) أي أن الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) ينتمي إلى النقاط A (4 ؛ 5) و B (-5 ؛ 1) ، والرسم البياني للوظائف y \ u003d f (-x) تنتمي إلى النقطتين A 1 (- 4 ؛ 5) و B 1 (5 ؛ 1). هذه الأزواج من النقاط متناظرة حول المحور ص.

لذلك ، يمكن الحصول على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (-x) باستخدام تحويل التناظر حول المحور y من الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x).

3) أخيرًا ، ضع في اعتبارك الحالة التي يكون فيها k رقمًا سالبًا. بالنظر إلى أن المساواة f (kx) = f (- | k | x) (ef من حاصل ضرب ka على x تساوي eff من المنتج مطروحًا منه معامل ka و x) عادلة ، إذن نحن نتكلمحول إنشاء رسم بياني للوظيفة y = f (- | k | x) ، والتي يمكن بناؤها على مراحل:

1) ارسم الدالة y \ u003d f (x) ؛

2) قم بإخضاع الرسم البياني المركب للضغط أو التمدد إلى المحور y بالمعامل | k | (وحدة)؛

3) إجراء تحويل التناظر حول المحور ص

(y) تم الحصول عليها في الفقرة الثانية من الرسم البياني.

مثال 3. ارسم الدالة y \ u003d 4 sin (-) (y تساوي أربعة أضعاف جيب حاصل القسمة ناقص x في اثنين).

المحلول. بادئ ذي بدء ، تذكر أن الخطيئة (- t) \ u003d -sint (جيب ناقص te يساوي ناقص جيب t) ، مما يعني أن y \ u003d 4 sin (-) \ u003d - 4 sin (y هو يساوي سالب أربعة في جيب الخاص x في اثنين). سوف نبني على مراحل:

1) لنقم ببناء نصف موجة من الرسم البياني للوظيفة y \ u003d sinx.

2) نقوم بتمديد الرسم البياني المركب من الحد الفاصل بعامل 4 ونحصل على نصف موجة من الرسم البياني للوظيفة

y \ u003d 4sinx (y يساوي أربعة أضعاف جيب x).

3) إلى نصف الموجة المركب من الرسم البياني للوظيفة y \ u003d 4sinx ، نطبق تحويل التناظر حول المحور x (x) ونحصل على نصف موجة الرسم البياني للوظيفة y \ u003d - 4sinx.

4) لنصف موجة من الرسم البياني للدالة y = - 4sinx ، سنمتد من المحور y بعامل 2 ؛ نحصل على نصف موجة من التمثيل البياني للدالة - 4 sin.

5) باستخدام نصف الموجة الناتج ، سنقوم ببناء الرسم البياني بأكمله.

>> كيفية رسم الدالة y = f (kx) إذا كان الرسم البياني للدالة معروفًا

§13. كيفية رسم الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (kx) ، إذا كان الرسم البياني للوظيفة معروفًا

في هذا القسم ، سوف نتعرف على تحول آخر يسمح ، بمعرفة برنامجالوظيفة y \ u003d / (x) ، من السهل جدًا إنشاء رسم بياني للوظيفة y \ u003d f (Ax) ، حيث k هو أي رقم حقيقي (باستثناء الصفر). دعونا ننظر في عدة حالات.

مهمة 1.بمعرفة الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) ، ارسم الدالة y - f (kx) ، حيث k هو رقم موجب.
لتسهيل فهم جوهر الأمر ، ضع في اعتبارك مثال محددعندما k = 2. كيف ترسم الدالة y \ u003d f (2x) ، إذا كان الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) معروفًا؟

يجب أن تكون هناك نقاط (4 ؛ 7) و (-2 ؛ 3) على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x). هذا يعني أن f (4) = 7 و f (-2) = 3. أين ستتحرك النقاط عندما نرسم الوظيفة y \ u003d f (2x)؟ انظر (الشكل 50): إذا كانت x \ u003d 2 ، ثم y \ u003d f (2x) \ u003d f (2 2) \ u003d f (4) \ u003d 7. لذلك ، على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (2x) هناك نقطة (2؛ 7). علاوة على ذلك ، إذا كانت x \ u003d -1 ، ثم y \ u003d f (2x) \ u003d D-1-2) \ u003d f (-2) \ u003d 3. لذلك ، على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (2x ) هناك نقطة (-1 ؛ 3). لذلك ، على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) توجد نقاط (4 ؛ 7) و (-2 ؛ 3) ، وعلى الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (2x) هناك نقاط (2 ؛ 7) و (- 1 ؛ 3) ، أي نقاط مع نفس الاحداثية.

ولكن ضعف الحد الأقصى الصغير (modulo). نفس الشيء هو الحال مع النقاط الأخرى في الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) ، عندما ننتقل إلى الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (2x) (الشكل 51). عادة ما يسمى هذا التحول بالضغط على المحور الصادي بعامل 2.

بشكل عام ، يتم الحصول على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) من الرسم البياني للوظيفة y-f (x) عن طريق الانكماش إلى المحور y بمعامل k. لاحظ أنه مع هذا التحويل ، تكون نقطة تقاطع الرسم البياني للدالة y \ u003d f (x) مع المحور y (إذا كانت x = 0 ، ثم kx = 0).

ومع ذلك ، إذا كان< 1, то предпочитают говорить не о сжатии с коэффициентом к, а о растяжении от оси у с коэффициентом

مثال 1بناء الرسوم البيانية للوظائف:

الحل: أ)دعونا نبني نصف موجة من الرسم البياني للوظيفة y \ u003d sin x ونمدها من المحور y بعامل 2 ؛ نحصل على نصف موجة من الرسم البياني المطلوب للوظيفة (الشكل 52). ثم سنقوم ببناء الرسم البياني بأكمله (الشكل 53).

ب)دعونا نبني نصف موجة من الرسم البياني للوظيفة y \ u003d cos x ونضغطها على المحور y بعامل 2 ؛ نحصل على نصف موجة من الرسم البياني المطلوب للوظيفة y \ u003d cos 2x (الشكل 54). ثم سنقوم ببناء الرسم البياني بأكمله (الشكل 55).

المهمة 2.بمعرفة الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) ، ارسم الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (kx) ، حيث k \ u003d -1. بمعنى آخر ، نحن نتحدث عن إنشاء رسم بياني للوظيفة y \ u003d f (-x).

افترض أنه على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) توجد نقاط (3 ؛ 5) و (-6 ؛ 1). هذا يعني أن f (З) = 5 ، و f (-6) = 1. وفقًا لذلك ، توجد نقطة (-3 ؛ 5) على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (-x) ، منذ ذلك الحين عند الاستبدال في معادلة y \ u003d f (-x) من القيمة x \ u003d -3 نحصل على y \ u003d f (3) \ u003d 5. وبالمثل ، نتأكد من أن الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (-x) ينتمي إلى النقطة (6 ؛ 1).

لذا ، فإن النقطة (3 ؛ 5) التي تنتمي إلى الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) تتوافق مع النقطة (-3 ؛ 5) التي تنتمي إلى الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (-x) ؛ النقطة (-6 ؛ 1) التي تنتمي إلى الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) تقابل النقطة (6 ؛ 1) التي تنتمي إلى الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (-x). هذه الأزواج من النقاط متناظرة حول المحور y (الشكل 56).

بتلخيص هذه الاعتبارات ، توصلنا إلى الاستنتاج التالي: يمكن الحصول على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (-x) من الرسم البياني للوظيفة "y \ u003d f (x) باستخدام تحويل التماثل حول المحور y.

تعليق.إذا كنا نتحدث عن رسم رسم بياني للدالة y = f (-x) ، فعادةً ما نتحقق أولاً مما إذا كانت الوظيفة y = f (x) زوجية أم فردية. إذا كان y \ u003d f (x) - دالة زوجية، بمعنى آخر. f (-x) \ u003d f (x) ، ثم يتطابق الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (-x) مع الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x). إذا كان y \ u003d f (x) - وظيفة غريبة، بمعنى آخر. f (-x) \ u003d -f (x) ، ثم بدلاً من الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (-x) ، يمكنك رسم الدالة y \ u003d -f (x).

المهمة 3.بمعرفة الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) ، ارسم الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (kx) ، حيث k هو رقم سالب.
نظرًا لأن المساواة f (kx) = f (- \ k \ x) صحيحة في هذه الحالة ، فإننا نتحدث عن رسم الوظيفة y = f (- \ k \ x). يمكن القيام بذلك في ثلاث خطوات:

1) بناء رسم بياني للوظيفة y \ u003d f (x) ؛
2) لتنفيذ ضغطها (أو تمددها) إلى المحور الصادي بالمعامل | إلى | ؛
3) قم بإخضاع الرسم البياني المضغوط (أو الممتد) لتحويل التناظر حول المحور الصادي.

مثال 2أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة y \ u003d -3 cos (~ 2x).

المحلول.لاحظ أولاً أن cos (-2x) = cos2x.
1) لننشئ رسمًا بيانيًا للوظيفة y \ u003d cosx ، بشكل أكثر دقة ، نصف موجة من الرسم البياني (الشكل 57 أ. يشار إلى جميع الإنشاءات الأولية بخطوط منقطة).
2) سنقوم بتمديد الرسم البياني المركب من المحور السيني بمعامل 3 ؛ نحصل على نصف موجة من الرسم البياني للوظيفة y \ u003d Zcos x.
3) دعونا نُخضع نصف الموجة المُنشأة للرسم البياني للوظيفة y \ u003d 3 cos x لتحويل التناظر حول المحور x ؛ نحصل على نصف موجة من الرسم البياني للوظيفة y \ u003d -3cos x.
4) دعنا ننفذ نصف موجة الرسم البياني للوظيفة y \ u003d -3cos x ضغط على المحور y بعامل 2 ؛ نحصل على نصف موجة من الرسم البياني للوظيفة y \ u003d -3cos2x (الخط الصلب في الشكل 57 أ).
5) باستخدام نصف الموجة الناتج ، سنقوم ببناء الرسم البياني بأكمله (الشكل 576).

اي جي. Mordkovich الجبر الصف 10

التقويم المواضيعي التخطيط في الرياضيات ، فيديوفي الرياضيات عبر الإنترنت ، تنزيل الرياضيات في المدرسة

محتوى الدرس ملخص الدرسدعم إطار عرض الدرس بأساليب متسارعة تقنيات تفاعلية يمارس مهام وتمارين امتحان ذاتي ورش عمل ، تدريبات ، حالات ، أسئلة أسئلة واجبات منزلية مناقشة أسئلة بلاغيةمن الطلاب الرسوم التوضيحية مقاطع الصوت والفيديو والوسائط المتعددةصور فوتوغرافية ، صور رسومات ، جداول ، مخططات فكاهة ، نوادر ، نكت ، أمثال كاريكاتورية ، أقوال ، ألغاز كلمات متقاطعة ، اقتباسات الإضافات الملخصاترقائق المقالات لأوراق الغش الفضولي والكتب المدرسية الأساسية والإضافية معجم مصطلحات أخرى تحسين الكتب المدرسية والدروستصحيح الأخطاء في الكتاب المدرسيتحديث جزء في الكتاب المدرسي من عناصر الابتكار في الدرس واستبدال المعرفة القديمة بأخرى جديدة فقط للمعلمين دروس مثالية خطة التقويملسنة القواعد الارشاديةبرامج المناقشة دروس متكاملة

2. إذا كان 0< k < 1, то точка лежит враз дальше от осиOY по сравнению с точкой
(الشكل 3.8). وهكذا ، فإن الرسم البياني للوظيفة مضغوط أو ممتد.

ذ

ذ

0 × × 0 × ×

أرز. 3.7 الشكل. 3.8

القاعدة 2دع k> 1. ثم يتم الحصول على الرسم البياني للوظيفة f (kx) من الرسم البياني للوظيفة f (x) عن طريق الضغط عليها على طول محور OX بمقدار k مرة (وإلا: عن طريق الضغط عليها إلى محور OY بمقدار k مرة ).

دع 0< k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.

أمثلة.بناء الرسوم البيانية للوظائف: 1)
و
;

2)
و
.

ص / 2 (2) (1) (3)

2-1 0 ½ 1 2 x 0 ص / 2 ص 2p x

أرز. 3.9 الشكل. 3.10

تعليق.يرجى ملاحظة ما يلي: الكذب على محور OY يبقى في مكانه. في الواقع ، أي نقطة N (0، y) من الرسم البياني f (x) تقابل نقطة
رسومات f (kx).

رسم بياني وظيفي
يتم الحصول عليها عن طريق تمديد الرسم البياني للدالة
من محور OY بمقدار مرتين. في هذه الحالة ، مرة أخرى النقطة لم يتغير (المنحنى (3) في الشكل 3.9).

التآمر على وظيفةص = و (-x).

تأخذ الدالتان f (x) و f (-x) قيمًا متساوية لقيم معاكسة للوسيطة x. لذلك ، فإن النقطتين N (x ؛ y) و M (-x ؛ y) من الرسوم البيانية الخاصة بهم ستكون متماثلة حول محور OY.

القاعدة 3لإنشاء رسم بياني f (-x) ، من الضروري عكس الرسم البياني للوظيفة f (x) حول محور OY.

أمثلة.وظائف المؤامرة
و
.

الحلول موضحة في الشكل. 3.11 و 3.12.

ص
ص

أرز. 3.11 تين. 3.12

التآمر على وظيفة y = f (-kx) ، حيث k> 0.

القاعدة 4نبني رسمًا بيانيًا للوظيفة y \ u003d f (kx) وفقًا للقاعدة 2. ينعكس الرسم البياني للوظيفة f (kx) من محور OY وفقًا للقاعدة

3. نتيجة لذلك ، نحصل على الرسم البياني للدالة f (-kx).

أمثلة.وظائف المؤامرة

الحلول موضحة في الشكل. 3.13 و 3.14.

1/2 0 1/2 x -p / 2 0 ص / 2 x

أرز. 3.13 الشكل. 3.14

التآمر على وظيفة
، حيث A> 0. إذا كانت A> 1 ، فكل قيمة
تنسيق وظيفة معينةمرات أكبر من إحداثيات الوظيفة الرئيسية f (x). في هذه الحالة ، يتم تمديد الرسم البياني f (x) بمقدار مرات على طول محور OY (خلاف ذلك: من محور OX).

إذا كان 0< A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в مرات على طول محور OY (أو بعيدًا عن محور OX).

القاعدة 5دع أ> 1. ثم الرسم البياني للوظيفة
يتم الحصول عليها من الرسم البياني f (x) عن طريق مده مرات على طول محور OY (أو بعيدًا عن محور OX).

دع 0< A < 1. Тогда график функции
يتم الحصول عليها من الرسم البياني f (x) بضغطها إلى مرات على طول محور OY (أو على محور OX).

أمثلة.بناء الرسوم البيانية للوظائف 1)
,
و 2)
,

ص
ص

1
0p / 2pp / 3 بكسل

أرز. 3.15 تين. 3.16

التآمر على وظيفة
.

للجميع
النقاط N (x ، y) للوظيفة f (x) و M (x، -y) للوظيفة -f (x) متناظرة فيما يتعلق بالمحور OX ، لذلك نحصل على القاعدة.

القاعدة 6لرسم وظيفة
بحاجة إلى جدول زمني
معكوسة حول المحور السيني.

أمثلة.وظائف المؤامرة
و
(الشكل 3.17 و 3.18).

0 1 × 0/2 3π / 2 2π س

أرز. 3.17 تين. 3.18

التآمر على وظيفة
، حيث أ> 0.

القاعدة 7نبني الرسم البياني للدالة
، حيث A> 0 ، وفقًا للقاعدة 5. ينعكس الرسم البياني الناتج من محور OX وفقًا للقاعدة 6.

التآمر على وظيفة
.

إذا كانت B> 0 ، فلكل منها
إحداثيات الدالة المعطاة هي وحدات B أكبر من إحداثيات الدالة f (x). إذا كان ب<0, то для каждого
إحداثي الوظيفة الأولى يقل بمقدار الوحدات بالمقارنة مع الإحداثي f (x). وهكذا نحصل على القاعدة.

المادة 8لرسم وظيفة
وفقًا للرسم البياني y = f (x) ، يجب تحريك هذا الرسم البياني على طول محور OY بمقدار وحدات B لأعلى إذا كانت B> 0 ، أو بواسطة وحدات أسفل إذا ب<0.

أمثلة.بناء الرسوم البيانية للوظائف: 1) و

2)
(الشكل 3.19 و 3.20).

0 × 0/2 3π / 2 2π س

أرز. 3.19 تين. 3.20

مخطط لإنشاء رسم بياني للدالة .

بادئ ذي بدء ، نكتب معادلة الدالة بالصيغة
والدلالة
. ثم يتم إنشاء الرسم البياني للوظيفة وفقًا للمخطط التالي.

نرسم الوظيفة الرئيسية f (x).

وفقًا للقاعدة 1 ، نرسم f (x-a).

من خلال ضغط أو تمديد الرسم البياني f (x-a) ، مع مراعاة علامة k ، وفقًا للقواعد 2-4 ، نقوم ببناء رسم بياني للدالة f.

يرجى ملاحظة: الرسم البياني f (x-a) يتقلص أو يمتد بالنسبة إلى الخط المستقيم x = a (لماذا؟)

يرجى ملاحظة: في كل خطوة من خطوات البناء ، يعمل الرسم البياني السابق كرسم بياني للوظيفة الرئيسية.

مثال.ارسم دالة
. هنا k = -2 ، لذا
. بالنظر إلى الغريب
، نملك
.

(الشكل 3.21).

π / 2

π / 2

1 0 1/2 3/2 x 0 1 3/2 2 x

-π / 2-/ 2

أرز. 3.21 تين. 3.22

π / 2

0 1 3/2 2 x-/ 2 0/2 x

أرز. 3.23 تين. 3.24

المهمة 2.

بناء الرسوم البيانية للوظائف التي تحتوي على علامة المعامل.

يتكون حل هذه المشكلة أيضًا من عدة مراحل. عند القيام بذلك ، تذكر تعريف الوحدة:

التآمر على وظيفة
.

لتلك القيم
، لأي منهم
، سوف يكون
. لذلك ، ها هي الرسوم البيانية للوظائف
و f (x) هي نفسها. للشىء نفسه
، والتي من أجلها f (x)<0, будет
. ولكن يتم الحصول على المؤامرة -f (x) من مخطط f (x) عن طريق عكس محور OX. نحصل على قاعدة إنشاء رسم بياني للدالة
.

القاعدة 9نبني رسمًا بيانيًا للدالة y = f (x). بعد ذلك ، هذا الجزء من الرسم البياني f (x) ، أين
، نتركه دون تغيير ، والجزء حيث f (x)<0, зеркально отражаем от оси OX.

تعليق.يرجى ملاحظة أن الرسم البياني
تقع دائمًا فوق أو تلامس محور OX.

أمثلة.وظائف المؤامرة

(الشكل 3.24 ، 3.25 ، 3.26).

أرز. 3.25 تين. 3.26

التآمر على وظيفة
.

لان
، ومن بعد
، أي يتم إعطاء دالة زوجية ، يكون رسمها البياني متماثلًا حول محور OY.

المادة 10نبني رسمًا بيانيًا للدالة y = f (x) باستخدامه
. نعكس الرسم البياني الذي تم إنشاؤه من محور OY. ثم سيعطي مجموع المنحنيين اللذين تم الحصول عليهما رسمًا بيانيًا للوظيفة
.

أمثلة.وظائف المؤامرة

(الشكل 3.27 ، 3.28 ، 3.29)

Y Y Y

-π / 2 0/2 x -2 0 2 x -1 1 x

أرز. 3.27 تين. 3.28 تين. 3.29

التآمر على وظيفة
.

نبني الرسم البياني للدالة
وفقًا للقاعدة 10.

نبني الرسم البياني للدالة
وفقًا للقاعدة 9.

أمثلة.وظائف المؤامرة
و
.

نعكس الجزء السلبي من الرسم البياني من محور OX. برنامج
هو مبين في الشكل. 3.30

2 0 2 x -1 0 1 x

أرز. 3.30 الشكل. 3.31

2. نحن نرسم الوظيفة
(الشكل 3.29).

نعكس الجزء السلبي من الرسم البياني من محور OX. برنامج
هو مبين في الشكل. 3.31.

عند إنشاء رسم بياني لوظيفة تحتوي على علامات الوحدة ، من المهم جدًا معرفة فترات ثبات إشارة الوظيفة. لذلك ، يجب أن يبدأ حل كل مشكلة بتعريف هذه الفواصل الزمنية.

مثال.ارسم دالة
.

اِختِصاص . يغير التعبيران x + 1 و x-1 إشاراتهما عند النقطتين x = -1 و x = 1. لذلك ، نقسم مجال التعريف إلى أربع فترات:

بمعلومية x + 1 و x-1 ، لدينا

;

وبالتالي ، يمكن كتابة الوظيفة بدون علامات modulo على النحو التالي:

المهام
تقابل الرموز الزائدة ، والوظائف y = 2 تتوافق مع خط مستقيم. يمكن تنفيذ المزيد من البناء بالنقاط (الشكل 3.32).

4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

تعليق.لاحظ أنه بالنسبة إلى x = 0 ، لم يتم تعريف الوظيفة. يقال أن الوظيفة تنقطع عند هذه النقطة. على التين. 3.32 تم تمييز هذا بالسهام.

المهمة 3.رسم دالة تعطى بواسطة عدة تعبيرات تحليلية.

في المثال السابق ، الوظيفة
لقد قدمنا العديد من التعبيرات التحليلية. نعم ، بينهما
يتغير وفقا لقانون المبالغة
؛ في هذه الأثناء
، باستثناء x = 0 ، هذه دالة خطية ؛ في هذه الأثناء
مرة أخرى لدينا غلو
. غالبًا ما تحدث وظائف مماثلة في المستقبل. لنفكر في مثال بسيط.

يتكون مسار القطار من المحطة A إلى المحطة B من ثلاثة أقسام. في القسم الأول ، يقوم بالتقاط السرعة ، أي في الفاصل الزمني
سرعته
، أين
. في القسم الثاني ، يتحرك بسرعة ثابتة ، أي v \ u003d c ، إذا
. أخيرًا ، عند الكبح ، ستكون سرعته
. وهكذا ، بين
تتغير سرعة الحركة حسب القانون

النقل الموازي.

النقل على طول المحور الصادي

و (س) => و (س) - ب
دع الأمر مطلوبًا لرسم الوظيفة y \ u003d f (x) - b. من السهل ملاحظة أن إحداثيات هذا الرسم البياني لجميع قيم x في | b | وحدات أقل من الإحداثيات المقابلة للرسم البياني للوظائف y = f (x) لـ b> 0 و | b | المزيد من الوحدات - عند b 0 أو أعلى عند b لرسم الدالة y + b = f (x) ، ارسم الدالة y = f (x) وانقل المحور x إلى | b | وحدات تصل لـ b> 0 أو بواسطة | b | وحدات أسفل ب

نقل على طول المحور X

و (س) => و (س + أ)
دع الأمر مطلوبًا لرسم الدالة y = f (x + a). ضع في اعتبارك دالة y = f (x) ، والتي تأخذ x = x1 القيمة y1 = f (x1) عند نقطة ما. من الواضح أن الوظيفة y = f (x + a) ستأخذ نفس القيمة عند النقطة x2 ، ويتم تحديد إحداثياتها من المساواة x2 + a = x1 ، أي x2 = x1 - a ، والمساواة قيد النظر صالحة لمجموع جميع القيم من مجال الوظيفة. لذلك ، يمكن الحصول على الرسم البياني للدالة y = f (x + a) عن طريق الإزاحة المتوازية للرسم البياني للدالة y = f (x) على طول المحور x إلى اليسار بواسطة | a | منها لـ> 0 أو جهة اليمين بواسطة | a | وحدات من أجل a لرسم الدالة y = f (x + a) ، ارسم الدالة y = f (x) وانقل المحور y إلى | a | وحدات إلى اليمين لـ> 0 أو | a | وحدات على اليسار ل

أمثلة:

1.ص = و (س + أ)

2.ص = و (س) + ب

انعكاس.

رسم إحدى وظائف العرض Y = F (-X)

و (س) => و (-x)
من الواضح أن الدالتين y = f (-x) و y = f (x) تأخذان قيمًا متساوية عند النقاط التي تتساوى فيها الخطوط العريضة قيمه مطلقه، ولكن العكس في تسجيل الدخول. بمعنى آخر ، إحداثيات الرسم البياني للدالة y = f (-x) في منطقة القيم الموجبة (السلبية) لـ x ستكون مساوية لإحداثيات الرسم البياني للدالة y = f (x) ذات قيم سالبة (موجبة) تقابل القيمة المطلقة. وهكذا نحصل على القاعدة التالية.
لرسم الدالة y = f (-x) ، يجب أن ترسم الدالة y = f (x) وتعكسها على طول المحور y. الرسم البياني الناتج هو الرسم البياني للدالة y = f (-x)

رسم إحدى وظائف العرض Y = - F (X)

و (س) => - و (س)
إحداثيات الرسم البياني للدالة y = - f (x) لجميع قيم الوسيطة متساوية في القيمة المطلقة ، ولكن عكسها في الإشارة إلى إحداثيات الرسم البياني للدالة y = f (x) لـ نفس قيم الحجة. وهكذا نحصل على القاعدة التالية.
لرسم الدالة y = - f (x) ، يجب أن ترسم الدالة y = f (x) وتعكسها حول المحور x.

أمثلة:

1.ص = - و (س)

2.ص = و (-س)

3.ص = -f (-x)

تشوه.

تشويه الرسم البياني على طول المحور الصادي

f (x) => kf (x)
ضع في اعتبارك دالة بالصيغة y = k f (x) ، حيث k> 0. من السهل رؤية ذلك قيم متساويةمن الوسيطة ، ستكون إحداثيات الرسم البياني لهذه الوظيفة أكبر بمقدار k مرة من إحداثيات الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) لـ k> 1 أو 1 / k مرات أقل من إحداثيات الرسم البياني لـ الدالة y = f (x) لـ k لرسم الرسم البياني للدالة y = k f (x) يجب عليك رسم الدالة y = f (x) وزيادة إحداثياتها بمقدار k مرات لـ k> 1 (قم بتمديد الرسم البياني على طول المحور الإحداثي) أو إنقاص إحداثياته بمقدار 1 / ك مرة لـ k
ك> 1- تمتد من محور الثور
0 - الضغط على محور OX

تشوه الرسم البياني على طول المحور X

و (س) => و (ككس)
دع الأمر مطلوبًا لرسم الدالة y = f (kx) ، حيث k> 0. ضع في اعتبارك دالة y = f (x) ، والتي توجد بها نقطة تعسفية x = x1 تأخذ القيمة y1 = f (x1). من الواضح أن الدالة y = f (kx) تأخذ نفس القيمة عند النقطة x = x2 ، ويتم تحديد إحداثياتها من خلال المساواة x1 = kx2 ، وهذه المساواة صالحة لمجموع جميع قيم x من مجال الوظيفة. وبالتالي ، فإن الرسم البياني للدالة y = f (kx) مضغوط (لـ k 1) على طول محور الإحداثي بالنسبة إلى الرسم البياني للدالة y = f (x). وهكذا نحصل على القاعدة.
لرسم الدالة y = f (kx) ، قم برسم الدالة y = f (x) وقلل من شكلها بمقدار k مرات لـ k> 1 (قم بضغط الرسم البياني على طول محور الإحداثي) أو قم بزيادة حدودها بمقدار 1 / k مرة من أجل ك
ك> 1- الضغط على محور Oy
0 - تمتد من محور OY