أنواع المعادلات الخطية. حل المعادلات الخطية البسيطة

نظام المعادلات الخطية هو اتحاد من المعادلات الخطية n ، كل منها يحتوي على متغيرات k. إنه مكتوب على هذا النحو:

يعتقد الكثيرون ، عند مواجهة الجبر العالي لأول مرة ، خطأً أن عدد المعادلات يجب أن يتطابق بالضرورة مع عدد المتغيرات. هذا هو الحال عادة في الجبر المدرسي ، ولكن بالنسبة للجبر العالي ، فهذا ليس صحيحًا بشكل عام.

حل نظام المعادلات هو سلسلة من الأرقام (ك 1 ، ك 2 ، ... ، ك ن) ، وهو الحل لكل معادلة في النظام ، أي عند الاستبدال في هذه المعادلة بدلاً من المتغيرات x 1 ، x 2 ، ... ، x n تعطي المساواة العددية الصحيحة.

وفقًا لذلك ، يعني حل نظام المعادلات إيجاد مجموعة جميع حلولها أو إثبات أن هذه المجموعة فارغة. نظرًا لأن عدد المعادلات وعدد المجهول قد لا يكونان متماثلين ، فهناك ثلاث حالات ممكنة:

1. النظام غير متسق ، أي مجموعة كل الحلول فارغة. حالة نادرة إلى حد ما يمكن اكتشافها بسهولة بغض النظر عن طريقة حل النظام.
2. النظام متسق ومحدد ، أي لديه حل واحد بالضبط. النسخة الكلاسيكية المعروفة منذ المدرسة.
3. النظام متسق وغير محدد ، أي عدد لا نهائي من الحلول. هذا هو الخيار الأصعب. لا يكفي القول بأن "النظام لديه مجموعة لا نهائية من الحلول" - من الضروري وصف كيفية ترتيب هذه المجموعة.

يسمى المتغير x i مسموح به إذا تم تضمينه في معادلة واحدة فقط من النظام ، ومع معامل 1. وبعبارة أخرى ، في المعادلات المتبقية ، يجب أن يكون معامل المتغير x i مساويًا للصفر.

إذا حددنا متغيرًا واحدًا مسموحًا به في كل معادلة ، فسنحصل على مجموعة من المتغيرات المسموح بها لنظام المعادلات بأكمله. سيتم أيضًا تسمية النظام نفسه ، المكتوب بهذا النموذج ، بالسماح. بشكل عام ، يمكن اختزال نفس النظام الأولي إلى أنظمة مختلفة مسموح بها ، لكن هذا لا يهمنا الآن. فيما يلي أمثلة على الأنظمة المسموح بها:

كلا النظامين مسموح بهما فيما يتعلق بالمتغيرات x 1 و x 3 و x 4. ومع ذلك ، مع نفس النجاح ، يمكن القول بأن النظام الثاني مسموح به فيما يتعلق بـ x 1 و x 3 و x 5. يكفي إعادة كتابة آخر معادلة بالصيغة x 5 = x 4.

فكر الآن في حالة أكثر عمومية. لنفترض أن لدينا متغيرات k في المجموع ، يُسمح لـ r. ثم هناك حالتان ممكنتان:

1. عدد المتغيرات المسموح بها r يساوي إجمالي عدد المتغيرات k: r = k. نحصل على نظام من معادلات k حيث r = k المتغيرات المسموح بها. مثل هذا النظام هو تعاوني ومحدد ، لأنه س 1 \ u003d ب 1 ، س 2 \ u003d ب 2 ، ... ، س ك \ u003d ب ك ؛
2. عدد المتغيرات المسموح بها r أقل من إجمالي عدد المتغيرات k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

لذلك ، في الأنظمة المذكورة أعلاه ، تكون المتغيرات x 2 و x 5 و x 6 (للنظام الأول) و x 2 و x 5 (بالنسبة للنظام الثاني) مجانية. الحالة عندما تكون هناك متغيرات حرة يتم صياغتها بشكل أفضل كنظرية:

يرجى ملاحظة: هذه نقطة مهمة للغاية! اعتمادًا على كيفية كتابة النظام النهائي ، يمكن أن يكون نفس المتغير مسموحًا به ومجانيًا. يوصي معظم مدرسي الرياضيات المتقدمين بكتابة المتغيرات بترتيب معجمي ، أي مؤشر تصاعدي. ومع ذلك ، لا يتعين عليك اتباع هذه النصيحة على الإطلاق.

نظرية. إذا كانت المتغيرات x 1 ، x 2 ، ... ، x r مسموح بها في نظام معادلات n ، و x r + 1 ، x r + 2 ، ... ، x k مجانية ، إذن:

1. إذا قمنا بتعيين قيم المتغيرات الحرة (x r + 1 = t r + 1، x r + 2 = t r + 2، ...، x k = t k) ، ثم أوجد القيم x 1، x 2،. .. ، س ص ، نحصل على أحد الحلول.
2. إذا كانت قيم المتغيرات المجانية في حلين هي نفسها ، فإن قيم المتغيرات المسموح بها هي نفسها أيضًا ، أي الحلول متساوية.

ما معنى هذه النظرية؟ للحصول على جميع حلول نظام المعادلات المسموح به ، يكفي تحديد المتغيرات الحرة. بعد ذلك ، من خلال تعيين قيم مختلفة للمتغيرات المجانية ، سنحصل على حلول جاهزة. هذا كل شيء - بهذه الطريقة يمكنك الحصول على جميع حلول النظام. لا توجد حلول أخرى.

الخلاصة: نظام المعادلات المسموح به ثابت دائمًا. إذا كان عدد المعادلات في النظام المسموح به يساوي عدد المتغيرات ، فسيكون النظام محددًا ؛ وإذا كان أقل ، فسيكون غير محدد.

وسيكون كل شيء على ما يرام ، لكن السؤال الذي يطرح نفسه: كيف نحصل على الحل من نظام المعادلات الأصلي؟ لهذا هناك

تحتاج أولاً إلى فهم ما هو عليه.

هناك تعريف بسيط معادلة خط مستقيم، والتي يتم تقديمها في مدرسة عادية: "معادلة يحدث فيها متغير في الدرجة الأولى فقط." لكن هذا ليس صحيحًا تمامًا: المعادلة ليست خطية ، ولا يتم اختزالها إلى هذا الحد ، بل يتم اختزالها إلى تربيعية.

التعريف الأكثر دقة هو: معادلة خط مستقيمهي المعادلة التي التحولات المكافئةيمكن اختزالها إلى الشكل حيث العنوان = "(! LANG: a، b in bbR، ~ a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

في الواقع ، لفهم ما إذا كانت المعادلة خطية أم لا ، يجب أولاً تبسيطها ، أي إحضارها إلى شكل يكون تصنيفها فيه لا لبس فيه. تذكر أنه يمكنك فعل أي شيء بالمعادلة التي لا تغير جذورها - هذا هو تحويل مكافئ. من أبسط التحولات المكافئة ، يمكننا التمييز بين:

1. توسيع الأقواس
2. جلب مماثلة
3. الضرب و / أو القسمة على طرفي المعادلة بعدد غير صفري
4. الجمع و / أو الطرح من كلا الجزأين لنفس الرقم أو التعبير *

يمكنك القيام بهذه التحولات بدون ألم ، دون التفكير فيما إذا كنت "تفسد" المعادلة أم لا.
* التفسير الخاص للتحول الأخير هو "نقل" المصطلحات من جزء إلى آخر مع تغيير العلامة.

مثال 1:
(بين قوسين مفتوحين)
(أضف إلى كلا الجزأين واطرح / نقل مع تغيير إشارة الرقم إلى اليسار والمتغيرات إلى اليمين)
(أعط مماثلة)
(اقسم على 3 طرفي المعادلة)

إذن ، حصلنا على معادلة لها نفس جذور الجذور الأصلية. نذكر القارئ بذلك "حل المعادلة"يعني البحث عن كل جذوره وإثبات عدم وجود آخرين ، و "جذر المعادلة"- هذا رقم ، عند استبداله بالمجهول ، سيحول المعادلة إلى مساواة حقيقية. حسنًا ، في المعادلة الأخيرة ، من السهل جدًا العثور على رقم يحول المعادلة إلى المساواة الصحيحة - هذا هو الرقم. لن يجعل أي رقم آخر هذه المعادلة هوية. إجابه:

المثال الثاني:
(اضرب طرفي المعادلة في ، مع التأكد من أننا لا نضرب بـ: title = "(! LANG: x3 / 2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(بين قوسين مفتوحين)
(شروط النقل)
(أعط مماثلة)
(قسّم كلا الجزأين على)

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل جميع المعادلات الخطية. بالنسبة للقراء الأصغر سنًا ، على الأرجح ، بدا هذا التفسير معقدًا ، لذلك نقدم الإصدار "المعادلات الخطية للصف الخامس"

تستخدم أنظمة المعادلات على نطاق واسع في الصناعة الاقتصادية في النمذجة الرياضية للعمليات المختلفة. على سبيل المثال ، عند حل مشاكل إدارة الإنتاج والتخطيط ، والطرق اللوجستية (مشكلة النقل) أو وضع المعدات.

تستخدم أنظمة المعادلات ليس فقط في مجال الرياضيات ، ولكن أيضًا في الفيزياء والكيمياء وعلم الأحياء ، عند حل مشاكل تحديد حجم السكان.

نظام المعادلات الخطية هو مصطلح لمعادلتين أو أكثر مع العديد من المتغيرات التي من الضروري إيجاد حل مشترك لها. مثل هذا التسلسل من الأرقام حيث تصبح جميع المعادلات مساواة حقيقية أو تثبت أن التسلسل غير موجود.

معادلة خط مستقيم

تسمى معادلات النموذج ax + by = c الخطية. التعيينات x ، y هي المجهول ، التي يجب إيجاد قيمتها ، b ، a هي معاملات المتغيرات ، c هو المصطلح المجاني للمعادلة.
سيبدو حل المعادلة برسم التمثيل البياني الخاص بها كخط مستقيم ، وجميع نقاطه تمثل حل كثير الحدود.

أنواع أنظمة المعادلات الخطية

أبسط أمثلة لأنظمة المعادلات الخطية بمتغيرين X و Y.

F1 (x، y) = 0 و F2 (x، y) = 0 حيث F1،2 هي دوال و (x، y) متغيرات دالة.

حل جملة معادلات - يعني العثور على هذه القيم (س ، ص) التي يصبح النظام مساواة حقيقية لها ، أو لإثبات عدم وجود قيم مناسبة لـ x و y.

زوج من القيم (س ، ص) ، مكتوب على هيئة إحداثيات نقطية ، يسمى حل لنظام المعادلات الخطية.

إذا كان للأنظمة حل واحد مشترك أو لا يوجد حل ، فإنها تسمى مكافئة.

الأنظمة المتجانسة للمعادلات الخطية هي الأنظمة التي يكون جانبها الأيمن مساويًا للصفر. إذا كان الجزء الأيمن بعد علامة "يساوي" له قيمة أو يتم التعبير عنه بواسطة دالة ، فإن هذا النظام ليس متجانسًا.

يمكن أن يكون عدد المتغيرات أكثر من متغيرين ، ثم يجب أن نتحدث عن مثال لنظام المعادلات الخطية مع ثلاثة متغيرات أو أكثر.

في مواجهة الأنظمة ، يفترض تلاميذ المدارس أن عدد المعادلات يجب أن يتطابق بالضرورة مع عدد المجهول ، لكن هذا ليس كذلك. لا يعتمد عدد المعادلات في النظام على المتغيرات ، يمكن أن يكون هناك عدد كبير منهم بشكل تعسفي.

طرق بسيطة ومعقدة لحل أنظمة المعادلات

لا توجد طريقة تحليلية عامة لحل مثل هذه الأنظمة ، كل الطرق تعتمد على الحلول العددية. يصف المقرر الدراسي للرياضيات بالتفصيل طرقًا مثل التقليب ، والإضافة الجبرية ، والاستبدال ، بالإضافة إلى الطريقة الرسومية والمصفوفة ، الحل بطريقة غاوس.

تتمثل المهمة الرئيسية في طرق التدريس في الحل في تعليم كيفية تحليل النظام بشكل صحيح وإيجاد خوارزمية الحل الأمثل لكل مثال. الشيء الرئيسي ليس حفظ نظام من القواعد والإجراءات لكل طريقة ، ولكن لفهم مبادئ تطبيق طريقة معينة.

إن حل أمثلة أنظمة المعادلات الخطية للصف السابع من برنامج مدرسة التعليم العام بسيط للغاية ويتم شرحه بتفصيل كبير. في أي كتاب مدرسي عن الرياضيات ، يحظى هذا القسم بالاهتمام الكافي. تمت دراسة حل أمثلة أنظمة المعادلات الخطية بطريقة Gauss و Cramer بمزيد من التفصيل في الدورات الأولى لمؤسسات التعليم العالي.

حل الأنظمة بطريقة الاستبدال

تهدف إجراءات طريقة الاستبدال إلى التعبير عن قيمة متغير واحد من خلال الثاني. يتم استبدال التعبير في المعادلة المتبقية ، ثم يتم تقليله إلى شكل متغير واحد. يتم تكرار الإجراء بناءً على عدد المجهول في النظام

دعنا نعطي مثالاً لنظام المعادلات الخطية من الفئة السابعة بطريقة الاستبدال:

كما يتضح من المثال ، تم التعبير عن المتغير x من خلال F (X) = 7 + Y. ساعد التعبير الناتج ، الذي تم استبداله في المعادلة الثانية للنظام بدلاً من X ، في الحصول على متغير واحد Y في المعادلة الثانية . لا يسبب حل هذا المثال صعوبات ويسمح لك بالحصول على قيمة Y. الخطوة الأخيرة هي التحقق من القيم التي تم الحصول عليها.

ليس من الممكن دائمًا حل مثال لنظام المعادلات الخطية بالتعويض. يمكن أن تكون المعادلات معقدة والتعبير عن المتغير من حيث المجهول الثاني سيكون مرهقًا جدًا لإجراء المزيد من العمليات الحسابية. عندما يكون هناك أكثر من 3 مجاهيل في النظام ، يكون حل الاستبدال غير عملي أيضًا.

حل مثال لنظام المعادلات الخطية غير المتجانسة:

الحل باستخدام الجمع الجبري

عند البحث عن حل للأنظمة عن طريق طريقة الجمع ، يتم إجراء عملية الجمع مصطلحًا بمصطلح وضرب المعادلات بأرقام مختلفة. الهدف النهائي للعمليات الحسابية هو معادلة ذات متغير واحد.

تتطلب تطبيقات هذه الطريقة الممارسة والمراقبة. ليس من السهل حل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة الجمع مع عدد المتغيرات 3 أو أكثر. تكون الجمع الجبري مفيدة عندما تحتوي المعادلات على كسور وأرقام عشرية.

خوارزمية عمل الحل:

1. اضرب طرفي المعادلة بعدد ما. نتيجة للعملية الحسابية ، يجب أن يصبح أحد معاملات المتغير مساويًا لـ 1.
2. أضف المصطلح الناتج عن طريق المصطلح وابحث عن أحد المجهولين.
3. عوّض بالقيمة الناتجة في المعادلة الثانية للنظام لإيجاد المتغير المتبقي.

طريقة الحل بإدخال متغير جديد

يمكن إدخال متغير جديد إذا احتاج النظام إلى إيجاد حل لما لا يزيد عن معادلتين ، كما يجب ألا يزيد عدد المجاهيل عن اثنين.

تُستخدم الطريقة لتبسيط إحدى المعادلات بإدخال متغير جديد. يتم حل المعادلة الجديدة فيما يتعلق بالمجهول الذي تم إدخاله ، ويتم استخدام القيمة الناتجة لتحديد المتغير الأصلي.

يمكن أن نرى من المثال أنه من خلال إدخال متغير جديد t ، كان من الممكن تقليل المعادلة الأولى للنظام إلى مربع قياسي ثلاثي الحدود. يمكنك حل كثير الحدود بإيجاد المميز.

من الضروري إيجاد قيمة المميز باستخدام الصيغة المعروفة: D = b2 - 4 * a * c ، حيث D هو المميز المطلوب ، b ، a ، c هي مضاعفات كثير الحدود. في المثال المعطى ، أ = 1 ، ب = 16 ، ج = 39 ، ومن ثم د = 100. إذا كان المميز أكبر من الصفر ، فهناك حلان: t = -b ± √D / 2 * a ، إذا كان المميز أقل من الصفر ، فهناك حل واحد فقط: x = -b / 2 * a.

تم العثور على حل الأنظمة الناتجة عن طريق طريقة الجمع.

طريقة بصرية لحل النظم

مناسب للأنظمة ذات 3 معادلات. تتكون الطريقة من رسم الرسوم البيانية لكل معادلة مدرجة في النظام على محور الإحداثيات. ستكون إحداثيات نقاط تقاطع المنحنيات هي الحل العام للنظام.

طريقة الرسم لديها عدد من الفروق الدقيقة. ضع في اعتبارك عدة أمثلة لحل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة مرئية.

كما يتضح من المثال ، تم إنشاء نقطتين لكل سطر ، تم اختيار قيم المتغير x بشكل عشوائي: 0 و 3. بناءً على قيم x ، تم العثور على قيم y: 3 و 0. تم تمييز النقاط ذات الإحداثيات (0 ، 3) و (3 ، 0) على الرسم البياني وتم توصيلها بخط.

يجب تكرار الخطوات للمعادلة الثانية. نقطة تقاطع الخطوط هي حل النظام.

في المثال التالي ، مطلوب إيجاد حل رسومي لنظام المعادلات الخطية: 0.5x-y + 2 = 0 and 0.5x-y-1 = 0.

كما يتضح من المثال ، ليس للنظام أي حل ، لأن الرسوم البيانية متوازية ولا تتقاطع بطولها بالكامل.

الأنظمة من الأمثلة 2 و 3 متشابهة ، ولكن عند بنائها ، يصبح من الواضح أن حلولها مختلفة. يجب أن نتذكر أنه ليس من الممكن دائمًا تحديد ما إذا كان النظام لديه حل أم لا ، فمن الضروري دائمًا إنشاء رسم بياني.

ماتريكس وأصنافها

تستخدم المصفوفات لكتابة نظام المعادلات الخطية بإيجاز. المصفوفة هي نوع خاص من الجداول المليئة بالأرقام. يحتوي n * m على n - صفوف و m - أعمدة.

تكون المصفوفة مربعة عندما يتساوى عدد الأعمدة والصفوف. متجه المصفوفة هو مصفوفة ذات عمود واحد مع عدد لا نهائي من الصفوف. تسمى المصفوفة التي تحتوي على وحدات على طول أحد الأقطار وعناصر صفرية أخرى متطابقة.

المصفوفة العكسية هي مثل هذه المصفوفة ، عندما يتم ضربها بحيث تتحول المصفوفة الأصلية إلى وحدة واحدة ، فإن مثل هذه المصفوفة توجد فقط للمربع الأصلي.

قواعد تحويل نظام المعادلات إلى مصفوفة

فيما يتعلق بأنظمة المعادلات ، تتم كتابة المعاملات والأعضاء الأحرار في المعادلات كأرقام من المصفوفة ، والمعادلة الواحدة هي صف واحد من المصفوفة.

يسمى صف المصفوفة non-zero إذا كان عنصر واحد على الأقل من الصف لا يساوي الصفر. لذلك ، إذا اختلف عدد المتغيرات في أي من المعادلات ، فمن الضروري إدخال صفر بدلاً من المجهول المفقود.

يجب أن تتوافق أعمدة المصفوفة بدقة مع المتغيرات. هذا يعني أنه لا يمكن كتابة معاملات المتغير x إلا في عمود واحد ، على سبيل المثال الأول ، معامل المجهول y - فقط في العمود الثاني.

عند ضرب مصفوفة ، يتم ضرب جميع عناصر المصفوفة بالتسلسل في رقم.

خيارات لإيجاد معكوس المصفوفة

صيغة إيجاد معكوس المصفوفة بسيطة للغاية: K -1 = 1 / | K | ، حيث K -1 هي معكوس المصفوفة و | K | - محدد المصفوفة. | ك | يجب ألا يكون مساويًا للصفر ، فإن النظام لديه حل.

يتم حساب المحدد بسهولة لمصفوفة 2 × 2 ، من الضروري فقط مضاعفة العناصر قطريًا ببعضها البعض. لخيار "ثلاثة في ثلاثة" ، توجد صيغة | K | = أ 1 ب 2 ج 3 + أ 1 ب 3 ج 2 + أ 3 ب 1 ج 2 + أ 2 ب 3 ج 1 + أ 2 ب 1 ج 3 + أ 3 ب 2 ج 1. يمكنك استخدام الصيغة ، أو تذكر أنك بحاجة إلى أخذ عنصر واحد من كل صف وكل عمود حتى لا تتكرر أرقام الأعمدة والصفوف الخاصة بالعناصر في المنتج.

حل أمثلة نظم المعادلات الخطية بطريقة المصفوفة

تتيح طريقة المصفوفة لإيجاد حل تقليل الإدخالات المرهقة عند حل الأنظمة التي تحتوي على عدد كبير من المتغيرات والمعادلات.

في هذا المثال ، nm هي معاملات المعادلات ، والمصفوفة متجه x n هي المتغيرات ، و b n هي المصطلحات المجانية.

حل الأنظمة بطريقة غاوس

في الرياضيات العليا ، تتم دراسة طريقة Gauss مع طريقة Cramer ، وتسمى عملية إيجاد حل للأنظمة طريقة Gauss-Cramer في الحل. تُستخدم هذه الطرق لإيجاد متغيرات الأنظمة التي تحتوي على عدد كبير من المعادلات الخطية.

الطريقة الغاوسية تشبه إلى حد بعيد حلول الاستبدال والجمع الجبرية ، ولكنها أكثر منهجية. في الدورة المدرسية ، يتم استخدام الحل Gaussian لأنظمة المعادلات 3 و 4. الغرض من هذه الطريقة هو تحويل النظام إلى شكل شبه منحرف مقلوب. من خلال عمليات التحويل والبدائل الجبرية ، تم العثور على قيمة متغير واحد في إحدى معادلات النظام. المعادلة الثانية عبارة عن تعبير به مجهولين ، و 3 و 4 - بمتغيرين 3 و 4 ، على التوالي.

بعد إحضار النظام إلى النموذج الموصوف ، يتم تقليل الحل الإضافي إلى الاستبدال المتسلسل للمتغيرات المعروفة في معادلات النظام.

في الكتب المدرسية للصف السابع ، يتم وصف مثال لحل غاوسي على النحو التالي:

كما يتضح من المثال ، في الخطوة (3) تم الحصول على معادلتين 3x3-2x 4 = 11 و 3x 3 + 2x 4 = 7. سيسمح لك حل أي من المعادلات بإيجاد أحد المتغيرات x n.

تنص النظرية 5 ، المذكورة في النص ، على أنه إذا تم استبدال إحدى معادلات النظام بمعادلة مكافئة ، فسيكون النظام الناتج أيضًا مكافئًا للنظام الأصلي.

يصعب على طلاب المدارس المتوسطة فهم طريقة Gaussian ، ولكنها واحدة من أكثر الطرق إثارة للاهتمام لتطوير براعة الأطفال الذين يدرسون في برنامج الدراسة المتقدم في فصول الرياضيات والفيزياء.

لسهولة تسجيل الحسابات ، من المعتاد القيام بما يلي:

تتم كتابة معاملات المعادلات والمصطلحات المجانية في شكل مصفوفة ، حيث يتوافق كل صف من المصفوفة مع إحدى معادلات النظام. يفصل الجانب الأيسر من المعادلة عن الجانب الأيمن. تشير الأرقام الرومانية إلى عدد المعادلات في النظام.

أولاً ، يكتبون المصفوفة التي يعملون بها ، ثم يتم تنفيذ جميع الإجراءات بأحد الصفوف. تتم كتابة المصفوفة الناتجة بعد علامة "السهم" وتستمر في إجراء العمليات الجبرية اللازمة حتى يتم تحقيق النتيجة.

نتيجة لذلك ، يجب الحصول على مصفوفة يكون فيها أحد الأقطار 1 ، وجميع المعاملات الأخرى تساوي الصفر ، أي يتم تقليل المصفوفة إلى شكل واحد. يجب ألا ننسى إجراء حسابات بأرقام طرفي المعادلة.

هذا الترميز أقل تعقيدًا ويسمح لك بعدم تشتيت انتباهك من خلال سرد العديد من الأشياء المجهولة.

سيتطلب التطبيق المجاني لأي طريقة حل عناية وقدرًا معينًا من الخبرة. لم يتم تطبيق جميع الطرق. بعض طرق إيجاد الحلول مفضلة أكثر في مجال معين من النشاط البشري ، بينما توجد طرق أخرى لغرض التعلم.

المعادلات الخطية. الحل أمثلة.

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

المعادلات الخطية.

المعادلات الخطية ليست أصعب موضوع في الرياضيات المدرسية. ولكن هناك بعض الحيل التي يمكن أن تحير حتى الطالب المدرب. هل سنكتشف ذلك؟)

عادة ما يتم تعريف المعادلة الخطية على أنها معادلة للصيغة:

فأس + ب = 0 أين أ و ب- أية أرقام.

2x + 7 = 0. هنا أ = 2 ، ب = 7

0.1x - 2.3 = 0 هنا أ = 0.1 ، ب = -2.3

12x + 1/2 = 0 هنا أ = 12 ، ب = 1/2

لا شيء معقد ، أليس كذلك؟ خاصة إذا لم تلاحظ الكلمات: "حيث a و b أي أرقام"... وإذا لاحظت ذلك ، ولكن فكر في الأمر بلا مبالاة؟) بعد كل شيء ، إذا أ = 0 ، ب = 0(هل من الممكن وجود أرقام؟) ، ثم نحصل على تعبير مضحك:

لكن هذا ليس كل شيء! إذا قل أ = 0 ،أ ب = 5 ،اتضح أن شيئًا سخيفًا تمامًا:

ما يجهد ويقوض الثقة في الرياضيات ، نعم ...) خاصة في الامتحانات. لكن من بين هذه التعبيرات الغريبة ، تحتاج أيضًا إلى إيجاد X! الذي لا وجود له على الإطلاق. والمثير للدهشة أنه من السهل جدًا العثور على هذا X. سوف نتعلم كيف نفعل ذلك. في هذا الدرس.

كيف تتعرف على المعادلة الخطية في المظهر؟ يعتمد ذلك على المظهر.) الحيلة هي أن المعادلات الخطية لا تسمى فقط معادلات النموذج فأس + ب = 0 ، ولكن أيضًا أي معادلات يتم اختزالها إلى هذا النموذج عن طريق عمليات التحويل والتبسيط. ومن يدري إذا تم تقليله أم لا؟)

يمكن التعرف على المعادلة الخطية بوضوح في بعض الحالات. لنفترض ، إذا كان لدينا معادلة لا يوجد فيها سوى مجاهيل في الدرجة الأولى ، نعم أرقام. والمعادلة لا الكسور مقسومة على مجهول , انه مهم! وقسمة على رقم،أو كسر رقمي - هذا كل شيء! فمثلا:

هذه معادلة خطية. توجد كسور هنا ، لكن لا يوجد x في المربع ، أو في المكعب ، وما إلى ذلك ، ولا يوجد x في المقامات ، أي. رقم القسمة على x. وهنا المعادلة

لا يمكن أن يسمى خطي. ها هي x كلها من الدرجة الأولى ، لكن هناك قسمة على التعبير مع x. بعد عمليات التبسيط والتحويل ، يمكنك الحصول على معادلة خطية ، ومعادلة تربيعية ، وأي شيء تريده.

اتضح أنه من المستحيل إيجاد معادلة خطية في بعض الأمثلة المعقدة حتى تكاد تحلها. إنه أمر مزعج. لكن في المهام ، كقاعدة عامة ، لا يسألون عن شكل المعادلة ، أليس كذلك؟ في المهام ، يتم ترتيب المعادلات قرر.هذا يجعلني سعيدا.)

حل المعادلات الخطية. أمثلة.

الحل الكامل للمعادلات الخطية يتكون من تحويلات متطابقة من المعادلات. بالمناسبة ، هذه التحولات (ما يصل إلى اثنين!) تكمن وراء الحلول كل معادلات الرياضيات.وبعبارة أخرى ، القرار أيتبدأ المعادلة بنفس هذه التحولات. في حالة المعادلات الخطية ، ينتهي (الحل) لهذه التحولات بإجابة كاملة. من المنطقي اتباع الرابط ، أليس كذلك؟) علاوة على ذلك ، هناك أيضًا أمثلة لحل المعادلات الخطية.

لنبدأ بأبسط مثال. بدون أي مطبات. لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة التالية.

س - 3 = 2 - 4x

هذه معادلة خطية. Xs كلها للقوة الأولى ، ولا يوجد قسمة على X. لكن في الواقع ، لا نهتم بماهية المعادلة. نحن بحاجة إلى حلها. المخطط هنا بسيط. اجمع كل شيء مع x على الجانب الأيسر من المعادلة ، كل شيء بدون x (أرقام) على اليمين.

للقيام بذلك ، تحتاج إلى نقل - 4x إلى الجانب الأيسر ، مع تغيير العلامة بالطبع ، لكن - 3 - إلى اليمين. بالمناسبة ، هذا هو أول تحول متطابق من المعادلات.متفاجئ؟ لذلك ، لم يتبعوا الرابط ، ولكن عبثًا ...) نحصل على:

س + 4x = 2 + 3

نعطي ما شابه ذلك ، نحن نعتبر:

ماذا نحتاج لنكون سعداء تماما؟ نعم ، حتى يكون هناك علامة X نظيفة على اليسار! خمسة يعيق الطريق. تخلص من الخمسة مع التحول المتطابق الثاني للمعادلات.وبالتحديد ، نقسم كلا الجزأين من المعادلة على 5. نحصل على إجابة جاهزة:

مثال أولي بالطبع. هذا من أجل الإحماء.) ليس من الواضح تمامًا لماذا تذكرت التحولات المتطابقة هنا؟ نعم. نأخذ الثور من قرونه.) لنقرر شيئًا أكثر إثارة للإعجاب.

على سبيل المثال ، هذه هي المعادلة:

من اين نبدأ؟ مع X - إلى اليسار ، بدون X - إلى اليمين؟ يمكن أن يكون كذلك. خطوات صغيرة على طول الطريق الطويل. ويمكنك على الفور وبطريقة عالمية وقوية. ما لم يكن هناك بالطبع في ترسانتك تحولات متطابقة في المعادلات.

أطرح عليك سؤالًا رئيسيًا: ما أكثر شيء لا يعجبك في هذه المعادلة؟

95 شخصًا من أصل 100 سيجيبون: كسور ! الجواب صحيح. لذلك دعونا نتخلص منهم. لذلك نبدأ على الفور مع التحول المتطابق الثاني. ما الذي تحتاجه لضرب الكسر على اليسار حتى يتم اختزال المقام تمامًا؟ هذا صحيح ، 3. وعلى اليمين؟ في 4. لكن الرياضيات تسمح لنا بضرب كلا الطرفين في نفس العدد. كيف نخرج؟ دعونا نضرب كلا الطرفين في 12! أولئك. إلى قاسم مشترك. ثم يتم اختزال الثلاثة والأربعة. لا تنس أنك تحتاج إلى مضاعفة كل جزء تماما. إليك ما تبدو عليه الخطوة الأولى:

توسيع الأقواس:

ملحوظة! البسط (x + 2)أخذت بين قوسين! هذا لأنه عند ضرب الكسور ، يتم ضرب البسط في الكل بالكامل! والآن يمكنك تقليل الكسور وتقليل:

فتح الأقواس المتبقية:

ليس مثالاً ، بل متعة خالصة!) الآن نتذكر التعويذة من الدرجات الدنيا: مع x - إلى اليسار ، بدون x - إلى اليمين!ونطبق هذا التحول:

فيما يلي بعض مثل:

ونقسم كلا الجزأين على 25 ، أي تطبيق التحول الثاني مرة أخرى:

هذا كل شئ. إجابه: X=0,16

انتبه: لإحضار المعادلة المربكة الأصلية إلى شكل لطيف ، استخدمنا اثنين (اثنان فقط!) تحولات متطابقة- الترجمة من اليسار إلى اليمين مع تغيير العلامة وضرب قسمة المعادلة بنفس الرقم. هذه هي الطريقة العالمية! سنعمل بهذه الطريقة أي معادلات! إطلاقا أي. لهذا السبب أستمر في تكرار هذه التحولات المتطابقة طوال الوقت).

كما ترى ، مبدأ حل المعادلات الخطية بسيط. نأخذ المعادلة ونبسطها بمساعدة تحويلات متطابقة حتى نحصل على الإجابة. المشاكل الرئيسية هنا تكمن في الحسابات وليس في مبدأ الحل.

لكن ... هناك مفاجآت في عملية حل معظم المعادلات الخطية الأولية التي يمكن أن تؤدي إلى ذهول قوي ...) لحسن الحظ ، يمكن أن يكون هناك اثنين فقط من هذه المفاجآت. دعنا نسميها حالات خاصة.

حالات خاصة في حل المعادلات الخطية.

المفاجأة أولا.

لنفترض أنك صادفت معادلة أولية ، شيء مثل:

2 س + 3 = 5 س + 5 - 3 س - 2

بالملل قليلاً ، ننتقل بـ X إلى اليسار ، بدون X - إلى اليمين ... مع تغيير العلامة ، كل شيء أصبح chin-chinar ... نحصل على:

2 س -5 س + 3 س = 5-2-3

نحن نؤمن و ... يا إلهي! نحن نحصل:

هذه المساواة في حد ذاتها ليست مرفوضة. الصفر هو حقا صفر. لكن X ذهب! ويجب أن نكتب في الجواب ما س يساوي.وإلا فالحل لا يهم ، نعم ...) طريق مسدود؟

هدوء! في مثل هذه الحالات المشكوك فيها ، يتم حفظ القواعد العامة. كيف تحل المعادلات؟ ماذا يعني حل المعادلة؟ هذا يعنى، أوجد جميع قيم x التي ، عند التعويض عنها في المعادلة الأصلية ، ستعطينا المساواة الصحيحة.

لكن لدينا المساواة الصحيحة سابقاحدث! 0 = 0 ، أين حقًا ؟! يبقى معرفة ما هو x هذا الذي تم الحصول عليه. ما هي قيم x التي يمكن التعويض بها أصليمعادلة إذا كانت هذه x لا يزال يتقلص إلى الصفر؟هيا؟)

نعم!!! يمكن استبدال Xs أي!ماذا تريد. 5 على الأقل ، 0.05 على الأقل ، على الأقل -220. سوف يستمرون في الانكماش. إذا كنت لا تصدقني ، يمكنك التحقق من ذلك.) استبدل أي قيم x في أصليالمعادلة والحساب. سيتم الحصول على الحقيقة الخالصة طوال الوقت: 0 = 0 ، 2 = 2 ، -7.1 = -7.1 وهكذا.

ها هي إجابتك: x هو أي رقم.

يمكن كتابة الإجابة برموز رياضية مختلفة ، لا يتغير الجوهر. هذه إجابة صحيحة وكاملة تمامًا.

مفاجأة ثانية.

لنأخذ نفس المعادلة الخطية الأولية ونغير فيها سوى رقم واحد. هذا ما سنقرره:

2 س + 1 = 5 س + 5 - 3 س - 2

بعد نفس التحولات المتطابقة ، حصلنا على شيء مثير للاهتمام:

مثله. حل معادلة خطية ، حصلت على مساواة غريبة. رياضيا ، لدينا مساواة خاطئة.وبعبارات بسيطة ، هذا ليس صحيحًا. الهذيان. لكن مع ذلك ، فإن هذا الهراء هو سبب وجيه للحل الصحيح للمعادلة.)

مرة أخرى ، نفكر على أساس القواعد العامة. ما ستعطينا س ، عند التعويض عنها في المعادلة الأصلية صحيحالمساواة؟ نعم لا شيء! لا توجد مثل هذه xes. مهما استبدلت ، سيتم تقليل كل شيء ، وسيبقى الهراء.)

ها هي إجابتك: لا توجد حلول.

هذه أيضًا إجابة صحيحة تمامًا. في الرياضيات ، تحدث مثل هذه الإجابات غالبًا.

مثله. الآن ، آمل أن فقدان Xs في عملية حل أي معادلة (وليس فقط خطية) لن يزعجك على الإطلاق. الأمر مألوف.)

الآن وقد تعاملنا مع جميع المخاطر في المعادلات الخطية ، فمن المنطقي حلها.

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

وهكذا ، فمن المنطقي التعرف على المعادلات من الأنواع الأخرى. التالي في الخط المعادلات الخطيةتبدأ الدراسة الهادفة في دروس الجبر في الصف السابع.

من الواضح أنك تحتاج أولاً إلى شرح ماهية المعادلة الخطية ، وإعطاء تعريف للمعادلة الخطية ، ومعاملاتها ، وإظهار شكلها العام. يمكنك بعد ذلك معرفة عدد الحلول التي تمتلكها المعادلة الخطية اعتمادًا على قيم المعاملات وكيفية إيجاد الجذور. سيسمح لك ذلك بالانتقال إلى حل الأمثلة ، وبالتالي توحيد النظرية المدروسة. في هذه المقالة سنفعل ذلك: سوف نتناول بالتفصيل جميع النقاط النظرية والعملية المتعلقة بالمعادلات الخطية وحلها.

دعنا نقول على الفور أننا هنا سننظر فقط في المعادلات الخطية بمتغير واحد ، وفي مقال منفصل سندرس مبادئ حل المعادلات الخطية في متغيرين.

التنقل في الصفحة.

ما هي المعادلة الخطية؟

يتم إعطاء تعريف المعادلة الخطية من خلال شكل تدوينها. علاوة على ذلك ، في الكتب المدرسية المختلفة للرياضيات والجبر ، تحتوي صياغة تعريفات المعادلات الخطية على بعض الاختلافات التي لا تؤثر على جوهر المسألة.

على سبيل المثال ، في كتاب الجبر للصف السابع بواسطة Yu. N. Makarycheva وآخرون ، يتم تعريف المعادلة الخطية على النحو التالي:

تعريف.

اكتب المعادلة الفأس = ب، حيث x متغير ، a و b بعض الأرقام ، يسمى معادلة خطية بمتغير واحد.

دعونا نعطي أمثلة على المعادلات الخطية المقابلة للتعريف الصوتي. على سبيل المثال ، 5 س = 10 معادلة خطية بمتغير واحد س ، وهنا المعامل أ هو 5 ، والعدد ب هو 10. مثال آخر: −2.3 y = 0 هي أيضًا معادلة خطية ، ولكن مع المتغير y ، حيث a = −2.3 و b = 0. وفي المعادلتين الخطيتين ، x = −2 و −x = 3.33 a غير موجودة بشكل صريح وتساوي 1 و 1 على التوالي ، بينما في المعادلة الأولى ب = −2 وفي الثانية - ب = 3.33.

قبل عام ، في الكتاب المدرسي للرياضيات بواسطة N. Ya. من المعادلة إلى أخرى بعلامة معاكسة ، وكذلك عن طريق اختزال الحدود المتشابهة. وفقًا لهذا التعريف ، المعادلات بالصيغة 5 x = 2 x + 6 ، إلخ. هي أيضا خطية.

بدوره ، تم تقديم التعريف التالي في كتاب الجبر المدرسي لـ 7 فصول بواسطة A.G.Mordkovich:

تعريف.

معادلة خطية بمتغير واحد xهي معادلة بالصيغة أ س + ب = 0 ، حيث أ و ب بعض الأرقام ، تسمى معاملات المعادلة الخطية.

على سبيل المثال ، المعادلات الخطية من هذا النوع هي 2 x − 12 = 0 ، وهنا المعامل a يساوي 2 ، و b يساوي −12 ، و 0.2 y + 4.6 = 0 مع المعاملين a = 0.2 و b = 4.6. لكن في الوقت نفسه ، هناك أمثلة على معادلات خطية ليس لها الشكل أ س + ب = 0 ، ولكن أ س = ب ، على سبيل المثال ، 3 س = 12.

دعنا ، حتى لا يكون لدينا أي تناقضات في المستقبل ، في ظل معادلة خطية ذات متغير واحد x والمعاملات a و b ، سنفهم معادلة بالصيغة a x + b = 0. يبدو أن هذا النوع من المعادلات الخطية هو الأكثر تبريرًا ، لأن المعادلات الخطية كذلك المعادلات الجبريةالدرجة الأولى. وسيتم استدعاء جميع المعادلات الأخرى الموضحة أعلاه ، وكذلك المعادلات التي يتم تقليلها إلى الصورة أ س + ب = 0 بمساعدة التحويلات المكافئة ، المعادلات المختزلة إلى المعادلات الخطية. مع هذا النهج ، فإن المعادلة 2 س + 6 = 0 هي معادلة خطية ، و 2 س = 6 ، 4 + 25 ص = 6 + 24 ص ، 4 (س + 5) = 12 ، إلخ. هي معادلات خطية.

كيف تحل المعادلات الخطية؟

حان الوقت الآن لمعرفة كيفية حل المعادلات الخطية أ س + ب = 0. بمعنى آخر ، حان الوقت لمعرفة ما إذا كانت المعادلة الخطية لها جذور ، وإذا كان الأمر كذلك ، فكم عددها وكيفية العثور عليها.

يعتمد وجود جذور المعادلة الخطية على قيم المعاملين a و b. في هذه الحالة ، فإن المعادلة الخطية أ س + ب = 0 لها

• الجذر الوحيد عند ≠ 0 ،
• ليس له جذور لـ a = 0 و b ≠ 0 ،
• عدد لا نهائي من الجذور لـ a = 0 و b = 0 ، وفي هذه الحالة يكون أي رقم جذرًا لمعادلة خطية.

دعونا نشرح كيف تم الحصول على هذه النتائج.

نعلم أنه لحل المعادلات ، من الممكن الانتقال من المعادلة الأصلية إلى المعادلات المكافئة ، أي إلى المعادلات التي لها نفس الجذور أو ، مثل المعادلة الأصلية ، بدون جذور. للقيام بذلك ، يمكنك استخدام التحويلات المكافئة التالية:

• نقل المصطلح من جزء من المعادلة إلى آخر مع الإشارة المعاكسة ،
• وكذلك ضرب أو قسمة طرفي المعادلة على نفس الرقم غير الصفري.

لذلك ، في معادلة خطية ذات متغير واحد على الشكل أ س + ب = 0 ، يمكننا تحريك المصطلح ب من الجانب الأيسر إلى الجانب الأيمن بإشارة معاكسة. في هذه الحالة ، ستأخذ المعادلة الصيغة a x = −b.

ثم قسمة كلا الجزأين من المعادلة على الرقم a توحي نفسها. لكن هناك شيء واحد: الرقم أ يمكن أن يساوي صفرًا ، وفي هذه الحالة يكون مثل هذا القسمة مستحيلًا. للتعامل مع هذه المشكلة ، سنفترض أولاً أن الرقم أ يختلف عن الصفر ، وننظر في حالة الصفر بشكل منفصل بعد ذلك بقليل.

لذلك ، عندما لا تساوي a صفرًا ، يمكننا قسمة جزأي المعادلة a x = −b على a ، وبعد ذلك يتم تحويلها إلى الصيغة x = (- b): a ، يمكن كتابة هذه النتيجة باستخدام خط صلب مثل.

وهكذا ، بالنسبة إلى أ 0 ، فإن المعادلة الخطية أ · س + ب = 0 تعادل المعادلة التي يظهر جذرها منها.

من السهل إظهار أن هذا الجذر فريد ، أي أن المعادلة الخطية ليس لها جذور أخرى. هذا يسمح لك بالقيام بالطريقة المعاكسة.

دعنا نشير إلى الجذر على أنه x 1. افترض أن هناك جذرًا آخر للمعادلة الخطية ، والذي نشير إليه x 2 و x 2 ≠ x 1 ، والذي يرجع إلى تعريفات الأعداد المتساوية من خلال الفرقيعادل الشرط x 1 - x 2 ≠ 0. بما أن x 1 و x 2 هما جذور المعادلة الخطية a x + b = 0 ، فإن المعادلات العددية a x 1 + b = 0 و a x 2 + b = 0 تحدث. يمكننا طرح الأجزاء المقابلة من هذه المساواة ، والتي تتيح لنا خصائص المساواة العددية القيام بها ، لدينا a x 1 + b− (a x 2 + b) = 0−0 ، حيث a (x 1 −x 2) + ( ب − ب) = 0 ثم أ (س 1 - س 2) = 0. وهذه المساواة مستحيلة ، لأن كلا من a 0 و x 1 - x 2 ≠ 0. لذلك توصلنا إلى تناقض ، مما يثبت تفرد جذر المعادلة الخطية أ · س + ب = 0 من أجل أ 0.

لذا فقد حللنا المعادلة الخطية أ س + ب = 0 مع أ 0. النتيجة الأولى المعطاة في بداية هذا القسم الفرعي لها ما يبررها. هناك نوعان آخران يفيان بالشرط أ = 0.

بالنسبة إلى أ = 0 ، فإن المعادلة الخطية أ · س + ب = 0 تصبح 0 · س + ب = 0. من هذه المعادلة وخاصية ضرب الأعداد في صفر ، يترتب على ذلك أنه بغض النظر عن العدد الذي نأخذه كـ x ، عندما نعوض به في المعادلة 0 x + b = 0 ، نحصل على المساواة العددية b = 0. تكون هذه المساواة صحيحة عندما تكون b = 0 ، وفي حالات أخرى عندما تكون b 0 هذه المساواة خاطئة.

لذلك ، بالنسبة إلى أ = 0 و ب = 0 ، فإن أي رقم هو جذر المعادلة الخطية أ س + ب = 0 ، لأنه في ظل هذه الظروف ، فإن استبدال أي رقم بدلاً من س يعطي المساواة العددية الصحيحة 0 = 0. وبالنسبة إلى أ = 0 و ب ≠ 0 ، فإن المعادلة الخطية أ س + ب = 0 ليس لها جذور ، لأنه في ظل هذه الظروف ، فإن استبدال أي رقم بدلاً من س يؤدي إلى مساواة عددية غير صحيحة ب = 0.

تجعل التبريرات المذكورة أعلاه من الممكن تشكيل سلسلة من الإجراءات التي تسمح بحل أي معادلة خطية. لذا، خوارزمية لحل معادلة خطيةهو:

• أولاً ، بكتابة معادلة خطية ، نجد قيم المعاملين أ وب.
• إذا كانت a = 0 و b = 0 ، فإن هذه المعادلة لها عدد لا نهائي من الجذور ، أي أن أي رقم هو جذر لهذه المعادلة الخطية.
• إذا كان a مختلفًا عن الصفر ، إذن
• يتم نقل المعامل b إلى الجانب الأيمن مع الإشارة المعاكسة ، بينما يتم تحويل المعادلة الخطية إلى الصيغة a x = −b ،
• بعد ذلك يتم تقسيم كلا الجزأين من المعادلة الناتجة على عدد غير صفري أ ، والذي يعطي الجذر المطلوب للمعادلة الخطية الأصلية.

الخوارزمية المكتوبة هي إجابة شاملة لمسألة كيفية حل المعادلات الخطية.

في ختام هذه الفقرة ، تجدر الإشارة إلى أنه يتم استخدام خوارزمية مماثلة لحل المعادلات بالصيغة أ س = ب. يكمن اختلافها في حقيقة أنه عندما يتم قسمة جزأين من المعادلة على هذا الرقم على الفور ، عندما يكون a 0 ، يكون هنا b بالفعل في الجزء المطلوب من المعادلة ولا يلزم نقله.

لحل المعادلات بالصيغة أ س = ب ، يتم استخدام الخوارزمية التالية:

• إذا كانت a = 0 و b = 0 ، فإن المعادلة لها عدد لا نهائي من الجذور ، وهي عبارة عن أي أرقام.
• إذا كانت a = 0 و b 0 ، فإن المعادلة الأصلية ليس لها جذور.
• إذا كانت a غير صفرية ، فسيتم قسمة طرفي المعادلة على عدد غير صفري a ، والذي من خلاله يتم إيجاد الجذر الوحيد للمعادلة الذي يساوي b / a.

أمثلة على حل المعادلات الخطية

دعنا ننتقل إلى الممارسة. دعونا نحلل كيفية تطبيق الخوارزمية لحل المعادلات الخطية. دعونا نقدم حلولاً لأمثلة نموذجية تتوافق مع قيم مختلفة لمعاملات المعادلات الخطية.

مثال.

حل المعادلة الخطية 0 س − 0 = 0.

المحلول.

في هذه المعادلة الخطية ، أ = 0 و ب = −0 ، وهو نفس ب = 0. لذلك ، هذه المعادلة لها عدد لا نهائي من الجذور ، أي رقم هو جذر هذه المعادلة.

إجابه:

x هو أي رقم.

مثال.

هل للمعادلة الخطية 0 س + 2.7 = 0 حلول؟

المحلول.

في هذه الحالة ، المعامل a يساوي صفرًا ، والمعامل b لهذه المعادلة الخطية يساوي 2.7 ، أي أنه يختلف عن الصفر. لذلك ، فإن المعادلة الخطية ليس لها جذور.