أنواع المصفوفات. عرض مصفوفة متدرجة
المساعدة الإنمائية الرسمية. طاولة مستطيلة مع رخطوط و صأعمدة الأعداد الحقيقية تسمى مصفوفةبحجم ر × ن. يتم الإشارة إلى المصفوفات بأحرف لاتينية كبيرة: A ، B ، ... ، وتتميز مجموعة من الأرقام بأقواس دائرية أو مربعة.
الأرقام المدرجة في الجدول تسمى عناصر المصفوفة ويتم الإشارة إليها بأحرف لاتينية صغيرة مع فهرس مزدوج ، حيث أنا- رقم السطر ي- رقم العمود عند التقاطع الذي يوجد به العنصر. بشكل عام ، المصفوفة مكتوبة على النحو التالي:
يتم النظر في اثنين من المصفوفات مساوإذا كانت العناصر المقابلة لها متساوية.
إذا كان عدد صفوف المصفوفة ريساوي عدد أعمدتها ص، ثم يسمى المصفوفة ميدان(مستطيل خلاف ذلك).
مصفوفة الحجم 
يسمى مصفوفة الصف. مصفوفة الحجم 
يسمى مصفوفة العمود.
عناصر المصفوفة بمؤشرات متساوية ( 
إلخ) ، شكل قطري رئيسيالمصفوفات. يُطلق على القطر الآخر اسم القطر الجانبي.
تسمى المصفوفة المربعة قطريإذا كانت جميع العناصر الموجودة خارج القطر الرئيسي تساوي صفرًا.
تسمى المصفوفة القطرية التي تكون مدخلاتها القطرية تساوي واحدًا غير مرتبطةمصفوفة ولها الترميز القياسي E:
إذا كانت جميع عناصر المصفوفة الموجودة أعلى (أو أسفل) القطر الرئيسي تساوي الصفر ، يُقال أن المصفوفة لها شكل مثلث:
§2. عمليات المصفوفة
1. تبديل المصفوفة - تحويل يتم فيه كتابة صفوف المصفوفة كأعمدة مع الحفاظ على ترتيبها. بالنسبة للمصفوفة المربعة ، فإن هذا التحويل يعادل رسم الخرائط المتماثل فيما يتعلق بالقطر الرئيسي:
.
2. يمكن تلخيص (طرح) مصفوفات من نفس البعد. مجموع (فرق) المصفوفات هو مصفوفة من نفس البعد ، كل عنصر منها يساوي مجموع (فرق) العناصر المقابلة للمصفوفات الأصلية:
3. يمكن ضرب أي مصفوفة برقم. حاصل ضرب المصفوفة برقم هو مصفوفة من نفس الترتيب ، كل عنصر فيها يساوي حاصل ضرب العنصر المقابل للمصفوفة الأصلية بهذا الرقم:
.
4. إذا كان عدد أعمدة إحدى المصفوفات يساوي عدد صفوف مصفوفة أخرى ، فيمكنك ضرب المصفوفة الأولى في الثانية. حاصل ضرب هذه المصفوفات هو مصفوفة ، كل عنصر منها يساوي مجموع حاصل الضرب الزوجي لعناصر الصف المقابل للمصفوفة الأولى وعناصر العمود المقابل في المصفوفة الثانية.
عاقبة. مصفوفة الأس إلى> 1 هو حاصل ضرب المصفوفة أ إلىذات مرة. تم تعريفه للمصفوفات المربعة فقط.
مثال.
خصائص العمليات على المصفوفات.
(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) ؛
ك (A + B) = kA + kV ؛
أ (ب + ج) = أب + أس ؛
(أ + ب) ج = أس + ق.
ك (أب) = (كا) ب = أ (كيلو فولت) ؛
أ (قبل الميلاد) = (أب) ج ؛
(كا) T = kA T ؛
(A + B) T \ u003d A T + B T ؛
(AB) T = B T A T ؛
الخصائص المذكورة أعلاه تشبه خصائص العمليات على الأرقام. هناك أيضًا خصائص محددة للمصفوفات. وتشمل هذه ، على سبيل المثال ، الخاصية المميزة لضرب المصفوفة. إذا كان المنتج AB موجودًا ، فسيكون المنتج BA
قد لا تكون موجودة
قد تختلف عن AB.
مثال. تقوم الشركة بتصنيع منتجات من نوعين A و B وتستخدم ثلاثة أنواع من المواد الخام S 1 و S 2 و S 3. يتم إعطاء معدلات استهلاك المواد الخام بواسطة المصفوفة N = 
، أين ن اي جاي- كمية المواد الخام يتنفق على إنتاج وحدة الإنتاج أنا. يتم إعطاء خطة الإنتاج بواسطة المصفوفة C = (100 200) ، ويتم إعطاء تكلفة الوحدة لكل نوع من المواد الخام بواسطة المصفوفة 
. تحديد تكلفة المواد الخام المطلوبة للمخرجات المخطط لها والتكلفة الإجمالية للمواد الخام.
المحلول. يتم تعريف تكلفة المواد الخام على أنها منتج المصفوفتين C و N:
نحسب التكلفة الإجمالية للمواد الخام كمنتج لـ S و P.
المصفوفة هي جدول أرقام مستطيل يتكون من م سلاسل من نفس الطول أو ن أعمدة من نفس الطول.
aij- عنصر المصفوفة الموجود في أنا -الخط و ي العمود.
للإيجاز ، يمكن الإشارة إلى المصفوفة بحرف كبير واحد ، على سبيل المثال ، لكنأو في.
بشكل عام ، مصفوفة الحجم م× ناكتب مثل هذا
أمثلة: 
إذا كان عدد الصفوف في المصفوفة يساوي عدد الأعمدة ، فسيتم استدعاء المصفوفة ميدان، ويتم استدعاء عدد صفوفه أو أعمدته مرتبالمصفوفات. في الأمثلة أعلاه ، المصفوفة الثانية مربعة - ترتيبها 3 ، والمصفوفة الرابعة - ترتيبها هو 1.
يتم استدعاء المصفوفة التي لا يساوي عدد الصفوف فيها عدد الأعمدة مستطيلي. في الأمثلة ، هذه هي المصفوفة الأولى والثالثة.
قطري رئيسيالمصفوفة المربعة هي القطر الذي ينتقل من الركن الأيسر العلوي إلى الركن الأيمن السفلي.
تسمى مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر الموجودة أسفل القطر الرئيسي مساوية للصفر الثلاثيمصفوفة.
.
تسمى مصفوفة مربعة تساوي فيها جميع العناصر ، باستثناء ربما تلك الموجودة على القطر الرئيسي ، الصفر قطريمصفوفة. على سبيل المثال ، أو.
تسمى المصفوفة القطرية التي فيها جميع المدخلات القطرية تساوي واحدًا غير مرتبطةالمصفوفة ويشار إليها بالحرف E. على سبيل المثال ، مصفوفة هوية الرتبة الثالثة لها الشكل.
العودة إلى المحتوى
(36) 85 ما هي العمليات الخطية على المصفوفات؟ أمثلة.
في جميع الحالات عند إدخال كائنات رياضية جديدة ، من الضروري الاتفاق على قواعد العمل عليها ، وكذلك تحديد الأشياء التي تعتبر متساوية مع بعضها البعض.
طبيعة الأشياء ليست ذات صلة. يمكن أن تكون أرقامًا حقيقية أو معقدة ، أو ناقلات ، أو مصفوفات ، أو سلاسل ، أو أي شيء آخر.
تشمل العمليات القياسية العمليات الخطية ، وهي: الضرب برقم والجمع ؛ في هذه الحالة بالذات - ضرب المصفوفات بعدد وإضافة المصفوفات.
عند ضرب مصفوفة برقم ، يتم ضرب كل عنصر مصفوفة بهذا الرقم ، وإضافة المصفوفة تعني إضافة زوجية للعناصر الموجودة في مواضع مكافئة.
تعبير اصطلاحي "تركيبة خطية<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.
المصفوفات أ = || أ اي جاي|| و ب = || أ اي جاي|| تعتبر متساوية إذا كانت لها نفس الأبعاد وكانت عناصر المصفوفة المقابلة لها متساوية زوجيًا:
إضافة مصفوفةيتم تعريف عملية الإضافة فقط للمصفوفات من نفس الحجم. نتيجة جمع المصفوفة أ = || أ اي جاي|| و ب = || ب اي جاي|| هي المصفوفة ج = || ج اي جاي|| ، التي تساوي عناصرها مجموع عناصر المصفوفة المقابلة.
يتم الإشارة إلى المصفوفة بأحرف لاتينية كبيرة ( لكن, في, من،...).
التعريف 1. طاولة مستطيلة الشكل ،
تتكون من مخطوط و نالأعمدة تسمى مصفوفة.
عنصر المصفوفة ، أنا - رقم الصف ، ي - رقم العمود.
أنواع المصفوفات:
العناصر الموجودة على القطر الرئيسي:
trA = a 11 + a 22 + a 33 +… + a nn.
§2. محددات الرتبة الثانية والثالثة والتاسعة
دعنا نعطي مصفوفتين مربعتين:
التعريف 1. محدد الرتبة الثانية من المصفوفة لكن 1
هو الرقم المشار إليه بـ ويساوي 
، أين
مثال. احسب محدد الترتيب الثاني:
التعريف 2. محدد الرتبة الثالثة لمصفوفة مربعة لكن 2 يسمى رقم النموذج:
هذه طريقة لحساب المحدد.
مثال. احسب
التعريف 3. إذا كان المحدد يتكون من n من الصفوف والأعمدة n ، فإنه يسمى محدد الترتيب n.
خصائص المحددات:
لا يتغير المحدد أثناء التحويل (على سبيل المثال ، إذا تم تبديل الصفوف والأعمدة فيه مع الحفاظ على الترتيب).
إذا تم تبادل أي صفين أو عمودين في المحدد ، فحينئذٍ يغير المحدد العلامة فقط.
يمكن إخراج العامل المشترك لأي صف (عمود) من علامة المحدد.
إذا كانت جميع عناصر أي صف (عمود) للمحدد تساوي صفرًا ، فإن المحدد يساوي صفرًا.
المحدد هو صفر إذا كانت عناصر أي صفين متساوية أو متناسبة.
لا يتغير المحدد إذا تمت إضافة العناصر المقابلة لصف آخر (عمود) مضروبًا في نفس الرقم إلى عناصر أي صف (عمود).
مثال.
التعريف 4.المحدد الذي تم الحصول عليه من معين عن طريق حذف عمود وصف يسمى تحت السن القانونيالعنصر المقابل. عنصر M ij a ij.
التعريف 5. الجمع الجبريالعنصر a ij يسمى التعبير
§3. إجراءات المصفوفة
العمليات الخطية
1) عند إضافة المصفوفات ، تضاف عناصرها التي تحمل الاسم نفسه.
عند طرح المصفوفات ، يتم طرح عناصرها التي تحمل الاسم نفسه.
عند ضرب مصفوفة في رقم ، يتم ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة بهذا الرقم:
3.2 ضرب المصفوفة.
عملالمصفوفات لكنإلى المصفوفة فيهي مصفوفة جديدة عناصرها مساوية لمجموع حاصل ضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة لكنإلى العناصر المقابلة للعمود j من المصفوفة في. منتج ماتريكس لكنإلى المصفوفة فييمكن العثور عليها فقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة لكنيساوي عدد صفوف المصفوفة في.خلاف ذلك ، فإن العمل مستحيل.
تعليق:
(لا تخضع لخاصية التبديل)
§ 4. معكوس المصفوفة
توجد المصفوفة العكسية فقط لمصفوفة مربعة ، ويجب أن تكون المصفوفة غير أحادية.
تعريف 1. مصفوفة لكناتصل غير منحطإذا كان محدد هذه المصفوفة لا يساوي صفرًا
التعريف 2. لكن-1 دعا مصفوفة معكوسةلمصفوفة مربعة غير مفردة لكن، إذا تم ضرب هذه المصفوفة في المصفوفة المعطاة على اليمين ، ثم على اليسار ، يتم الحصول على مصفوفة الوحدة.
خوارزمية لحساب معكوس المصفوفة
طريقة واحدة (باستخدام الإضافات الجبرية)
مثال 1:
المصفوفات. أنواع المصفوفات. العمليات على المصفوفات وخصائصها.
محدد مصفوفة من الرتبة n. N ، Z ، Q ، R ، C ،
المصفوفة ذات الترتيب m * n عبارة عن جدول مستطيل من الأرقام يحتوي على صفوف m وأعمدة n.
مصفوفة المساواة:
يتم استدعاء مصفوفتين متساويتين إذا كان عدد الصفوف والأعمدة في أحدهما يساوي ، على التوالي ، عدد الصفوف والأعمدة الأخرى ، على التوالي. عناصر هذه المصفوفات متساوية.
ملاحظة: العناصر التي لها نفس الفهارس متطابقة.
أنواع المصفوفات:
المصفوفة المربعة: يُقال أن المصفوفة تكون مربعة إذا كان عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة.
مستطيل: يُقال أن المصفوفة مستطيلة إذا كان عدد الصفوف لا يساوي عدد الأعمدة.
مصفوفة الصف: مصفوفة من الرتبة 1 * n (م = 1) لها الشكل a11 ، a12 ، a13 وتسمى مصفوفة الصف.
عمود المصفوفة: …………….
قطري: قطري المصفوفة المربعة ، من الزاوية اليسرى العلوية إلى الزاوية اليمنى السفلية ، أي المكونة من العناصر a11 ، a22 ...... - يسمى القطر الرئيسي. (التعريف: المصفوفة المربعة ، جميع عناصرها تساوي الصفر ، باستثناء العناصر الموجودة على القطر الرئيسي ، تسمى مصفوفة قطرية.
الهوية: تسمى المصفوفة القطرية الهوية إذا كانت جميع العناصر موجودة على القطر الرئيسي وتساوي 1.
مثلث علوي: A = || aij || تسمى مصفوفة مثلثة عليا إذا كانت aij = 0. المقدمة i> j.
المثلث السفلي: aij = 0. أنا صفر: هذه مصفوفة لها Els 0. العمليات على المصفوفات. 1. التحويل. 2. ضرب مصفوفة بعدد. 3. إضافة مصفوفة.
4. مصفوفة الضرب.
الإجراء الأساسي sv-va على المصفوفات.
1- أ + ب = ب + أ (تبادلية)
2- أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج (ارتباط)
3.a (A + B) = aA + aB (التوزيعية)
4. (أ + ب) أ = أأ + با (توزيعي)
5. (ab) A = a (bA) = b (aA) (asoots.)
6. AB ≠ BA (بدون اتصال)
7.A (BC) = (AB) C (ترابطية) - يتم تنفيذه إذا كان def. يتم تنفيذ منتجات المصفوفة.
8.A (B + C) = AB + AC (توزيعي)
(B + C) A = BA + CA (توزيعي)
9 أ (أ ب) = (أ أ) ب = (أ ب) أ
محدد المصفوفة المربعة - التعريف وخصائصها. تحلل المحدد في الصفوف والأعمدة. طرق حساب المحددات.
إذا كانت المصفوفة A لها الترتيب m> 1 ، فإن محدد هذه المصفوفة هو رقم.
المكمل الجبري Aij للعنصر aij للمصفوفة A هو Mij الصغير مضروبًا في الرقم
THEOREM1: محدد المصفوفة A يساوي مجموع حاصل ضرب كل عناصر الصف التعسفي (العمود) ومكملاتها الجبرية.
الخصائص الأساسية للمحددات.
1. لن يتغير محدد المصفوفة عند تغيير موضعها.
2. عند التبديل بين صفين (عمودين) ، يوقع المحدد التغييرات ، لكن قيمته المطلقة لا تتغير.
3. محدد مصفوفة تتكون من صفين متطابقين (عمودين) هو 0.
4. عند ضرب صف (عمود) مصفوفة في رقم ، يتم ضرب محددها في هذا الرقم.
5. إذا كان أحد صفوف (أعمدة) المصفوفة يتكون من 0 ، فإن محدد هذه المصفوفة هو 0.
6. إذا تم تقديم جميع عناصر الصف الأول (العمود) من المصفوفة كمجموع من فترتين ، فيمكن عندئذٍ تمثيل محددها كمجموع محددات مصفوفتين.
7. لن يتغير المحدد إذا تمت إضافة عناصر عمود واحد (صف) على التوالي إلى عناصر عمود آخر (صف) عن طريق الضرب المسبق. لنفس الرقم.
8. مجموع العناصر التعسفية لأي عمود (صف) من المحدد للمكمل الجبري المقابل لعناصر عمود آخر (صف) هو 0.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif "width =" 46 "height =" 27 ">
طرق حساب المحدد:
1. بحكم التعريف أو النظرية 1.
2. التخفيض إلى شكل مثلثي.
تعريف وخصائص معكوس المصفوفة. حساب معكوس المصفوفة. معادلات المصفوفة.
التعريف: تسمى المصفوفة المربعة من الرتبة n معكوس المصفوفة A من نفس الترتيب ويتم الإشارة إليها
لكي تحتوي المصفوفة A على مصفوفة معكوسة ، من الضروري والكافي أن يكون محدد المصفوفة A مختلفًا عن 0.
خصائص المصفوفة العكسية:
1. التفرد: بالنسبة لمصفوفة معينة A ، يكون معكوسها فريدًا.
2. محدد المصفوفة
3. عملية أخذ التحويل وأخذ المصفوفة المعكوسة.
معادلات المصفوفة:
لنفترض أن A و B مصفوفتان مربعتان من نفس الترتيب.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif "width =" 163 "height =" 11 src = ">
مفهوم التبعية الخطية واستقلالية أعمدة المصفوفة. خصائص الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي لنظام العمود.
الأعمدة А1 ، А2 ... تسمى الأعمدة التابعة خطيًا إذا كان هناك تركيبة خطية غير تافهة منهم تساوي العمود 0.
الأعمدة А1 ، А2 ... تسمى مستقلة خطيًا إذا كان هناك تركيبة خطية غير تافهة منهم تساوي العمود 0.
يُطلق على المجموعة الخطية اسم تافه إذا كانت جميع المعاملات С (l) تساوي 0 وغير تافهة على خلاف ذلك.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif "width =" 88 "height =" 24 ">
2. لكي تكون الأعمدة تابعة خطيًا ، من الضروري والكافي أن يكون بعض الأعمدة مزيجًا خطيًا من الأعمدة الأخرى.
لنفترض أن أحد الأعمدة https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif "width =" 13 "height =" 23 src = "> عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة الأخرى.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif "width =" 79 "height =" 24 "> تعتمد خطيًا ، ثم تكون جميع الأعمدة تابعة خطيًا.
4. إذا كان نظام الأعمدة مستقلاً خطيًا ، فإن أيًا من أنظمته الفرعية يكون أيضًا مستقلاً خطيًا.
(كل ما يقال عن الأعمدة ينطبق أيضًا على الصفوف).
مصفوفة القصر. القاصرون الأساس. رتبة المصفوفة. طريقة تهديب القصر لحساب رتبة المصفوفة.
الترتيب الصغرى للمصفوفة A هو المحدد الذي توجد عناصره عند تقاطع الصفوف k والصفوف k للمصفوفة A.
إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الرتبة k في المصفوفة A = 0 ، فإن أي رتبة ثانوية من الرتبة k + 1 تساوي أيضًا 0.
ثانوي أساسي.
رتبة المصفوفة (أ) هي ترتيب أساسها الثانوي.
طريقة حدود القاصرين: - نختار عنصرًا غير صفري من المصفوفة A (إذا كان هذا العنصر غير موجود ، فإن رتبة A \ u003d 0)
نحاذي القاصر السابق من الترتيب الأول مع القاصر من الدرجة الثانية. (إذا لم يكن هذا القاصر مساويًا لـ 0 ، فإن الرتبة> = 2) إذا كانت رتبة هذا القاصر = 0 ، فنحن نحد القاصر المختار من الدرجة الأولى مع قاصر آخر من الدرجة الثانية. (إذا كان جميع القاصرين من الرتبة الثانية = 0 ، فإن رتبة المصفوفة = 1).
رتبة المصفوفة. طرق إيجاد مرتبة المصفوفة.
رتبة المصفوفة (أ) هي ترتيب أساسها الثانوي.
طرق الحساب:
1) طريقة تحديد حدود القاصرين: - اختر عنصرًا غير صفري من المصفوفة A (إذا لم يكن هناك عنصر من هذا القبيل ، فترتيبها = 0) - ضع حدًا ثانويًا من الدرجة الأولى السابقة مع الدرجة الثانية الثانوية..gif "width = "40" الارتفاع = "22"> r + 1 السيد + 1 = 0.
2) إحضار مصفوفة إلى شكل متدرج: تعتمد هذه الطريقة على التحويلات الأولية. في ظل التحولات الأولية ، لا تتغير رتبة المصفوفة.
التحولات التالية تسمى التحولات الأولية:
تبديل صفين (عمودين).
ضرب جميع عناصر بعض الأعمدة (الصف) بعدد ليس = 0.
الإضافة إلى جميع عناصر عمود (صف) معين من عناصر عمود آخر (صف) ، مضروبة مسبقًا بنفس الرقم.
نظرية الأساس الصغرى. الشرط الضروري والكافي للمحدد ليكون مساوياً للصفر.
الأساس الصغرى للمصفوفة A هو الصغرى لأكبر رتبة k تختلف عن 0.
نظرية الأساس الصغرى:
الصفوف الأساسية (الأعمدة) مستقلة خطيًا. أي صف (عمود) من المصفوفة A هو تركيبة خطية من الصفوف الأساسية (الأعمدة).
ملاحظات: تسمى الصفوف والأعمدة عند التقاطع التي يوجد بها ثانوي أساسي بالصفوف والأعمدة الأساسية ، على التوالي.
a11 a12… a1r a1j
a21 a22… .a2r a2j
a31 a32…. a3r a3j
ar1 ar2… .arr arj
ak1 ak2… ..آكر akj
الشروط اللازمة والكافية للمحدد ليكون مساويا للصفر:
من أجل محدد الترتيب n = 0 ، من الضروري والكافي أن تكون صفوفه (أعمدته) تابعة خطيًا.
نظم المعادلات الخطية وتصنيفها وأشكال الترميز. حكم كرامر.
ضع في اعتبارك نظامًا من 3 معادلات خطية مع ثلاثة مجاهيل:
https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif "alt =" (! LANG: l14image048" width="64" height="38 id=">!}
يسمى محدد النظام.
نؤلف ثلاثة محددات أخرى على النحو التالي: نستبدل على التوالي 1 و 2 و 3 أعمدة في المحدد D بعمود من المصطلحات المجانية
https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif "alt =" (! LANG: l14image052" width="93" height="22 id=">!}
دليل - إثبات. لذلك ، ضع في اعتبارك نظامًا من 3 معادلات بها ثلاثة مجاهيل. نضرب المعادلة الأولى للنظام بالمكمل الجبري A11 للعنصر a11 ، والمعادلة الثانية بـ A21 والمعادلة الثالثة بـ A31:
https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif "alt =" (! LANG: l14image056" width="247" height="31 id=">!}
ضع في اعتبارك كل من القوسين والجانب الأيمن من هذه المعادلة. من خلال نظرية توسيع المحدد من حيث عناصر العمود الأول
https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif "alt =" (! LANG: l14image060" width="324" height="42 id=">!}
وبالمثل ، يمكن إثبات أن و.
أخيرًا ، من السهل رؤية ذلك 
وهكذا نحصل على المساواة:.
بالتالي، .
يتم اشتقاق المساواة وبالمثل ، ومن هنا يتبع تأكيد النظرية.
نظم المعادلات الخطية. شرط التوافق للمعادلات الخطية. نظرية كرونيكر كابيلي.
حل نظام المعادلات الجبرية هو مجموعة من n أرقام C1 ، C2 ، C3 …… Cn ، والتي عند استبدالها في النظام الأصلي بدلاً من x1 ، x2 ، x3 ... ..xn ، تحول جميع معادلات النظام في الهويات.
يُطلق على نظام المعادلات الجبرية الخطية اسم ثابت إذا كان يحتوي على حل واحد على الأقل.
يسمى نظام المفصل محددًا إذا كان لديه حل فريد ، ولأجل غير مسمى إذا كان يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.
شروط توافق أنظمة المعادلات الجبرية الخطية.
a11 a12 …… a1n x1 b1
a21 a22 …… a2n x2 b2
……………….. .. = ..
am1 am2… ..amn xn bn
النظرية: لكي يكون نظام المعادلات الخطية m ذات المجهول n متسقًا ، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة الممتدة مساوية لرتبة المصفوفة A.
ملاحظة: هذه النظرية تعطي فقط معايير لوجود حل ، لكنها لا تشير إلى طريقة لإيجاد حل.
10 سؤال.
نظم المعادلات الخطية. الطريقة الثانوية الأساسية هي طريقة عامة لإيجاد جميع الحلول لأنظمة المعادلات الخطية.
أ = a21 a22… .. a2n
طريقة الأساس البسيطة:
دع النظام يكون متوافقًا و RgA = RgA ’= r. دع القاصر الأساسي يرسم في الزاوية اليسرى العليا من المصفوفة أ.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif "width =" 22 "height =" 23 src = ">… ... gif" width = "23" height = "23 src = ">… ... gif" width = "22" height = "23 src =">… ... gif "width =" 46 "height =" 23 src = "> -… ..- أ
d2 b2-a (2r + 1) x (r + 1) -..- a (2n) x (n)
… = …………..
الدكتور br-a (rr + 1) x (r + 1) -..- a (rn) x (n)
https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif "width =" 33 "height =" 22 src = ">
ملاحظات: إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية والمعتبرة تساوي r = n ، ففي هذه الحالة dj = bj ويكون للنظام حل فريد.
أنظمة متجانسة من المعادلات الخطية.
يسمى نظام المعادلات الجبرية الخطية بالتجانس إذا كانت جميع شروطه الحرة تساوي الصفر.
AX = 0 نظام متجانس.
AX = B نظام غير متجانس.
الأنظمة المتجانسة متسقة دائمًا.
X1 = x2 = .. = xn = 0
نظرية 1.
تحتوي الأنظمة المتجانسة على حلول غير متجانسة عندما تكون مرتبة مصفوفة النظام أقل من عدد المجهول.
نظرية 2.
النظام المتجانس من المعادلات الخطية n ذات المجهول n له حل غير صفري عندما يكون محدد المصفوفة A يساوي صفرًا. (ديتا = 0)
خصائص حلول الأنظمة المتجانسة.
أي توليفة خطية من حل لنظام متجانس هي بحد ذاتها حل لهذا النظام.
α1C1 + α2C2 ؛ α1 و α2 هي بعض الأرقام.
A (α1C1 + α2C2) = A (α1C1) + A (α2C2) = α1 (A C1) + α2 (AC2) = 0 ، أي ك (أ C1) = 0 ؛ (AC2) = 0
بالنسبة للنظام غير المتجانس ، لا تصمد هذه الخاصية.
نظام القرار الأساسي.
نظرية 3.
إذا كانت رتبة نظام مصفوفة لمعادلة مع n-unknowns هي r ، فإن هذا النظام يحتوي على حلول مستقلة خطيًا n.
دع القاعدة الثانوية تكون في الزاوية اليسرى العليا. إذا كان r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr
C1 = (C11 C21 .. Cr1، 1.0..0)
C2 = (C21 C22 .. C2r، 0، 1..0)<= Линейно-независимы.
……………………..
Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr، 0، 0..1)
يسمى نظام الحلول المستقلة خطيًا n-r لنظام متجانس من المعادلات الخطية ذات المجهول n من الرتبة r بالنظام الأساسي للحلول.
نظرية 4.
أي حل لنظام المعادلات الخطية هو مزيج خطي من حل للنظام الأساسي.
С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r
إذا كان r 12 سؤال. الحل العام لنظام غير متجانس. سكون (عام غير منتظم) \ u003d COO + SCH (خاص) AX = B (نظام غير متجانس) ؛ AX = 0 (ASoo) + ASch = ASch = B ، لأن (ASoo) = 0 النوم \ u003d α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r + Mid طريقة جاوس. هذه طريقة للتخلص المتتالي من المجهول (المتغيرات) - وهي تتكون من حقيقة أنه بمساعدة التحولات الأولية ، يتم تقليل نظام المعادلات الأصلي إلى نظام مكافئ من شكل تدريجي ، حيث يتم العثور على جميع المتغيرات الأخرى بالتتابع ، بدءًا من المتغيرات الأخيرة. دع a ≠ 0 (إذا لم يكن الأمر كذلك ، فسيتم تحقيق ذلك عن طريق إعادة ترتيب المعادلات). 1) نستبعد المتغير x1 من المعادلة الثانية والثالثة ... n-th ، بضرب المعادلة الأولى بأرقام مناسبة وإضافة النتائج التي تم الحصول عليها إلى المعادلة الثانية والثالثة ... n-th ، ثم نحصل على: نحصل على نظام مكافئ للنظام الأصلي. 2) استبعد المتغير x2 3) نستبعد المتغير x3 ، إلخ. استمرار عملية الحذف المتسلسل للمتغيرات x4 ؛ x5 ... xr-1 نحصل على الخطوة (r-1) -th. الرقم صفر في آخر n-r في المعادلات يعني أن جانبهم الأيسر يبدو كما يلي: 0x1 + 0x2 + .. + 0xn إذا كان أحد الأرقام على الأقل вr + 1 ، вr + 2 ... لا يساوي الصفر ، فإن المساواة المقابلة غير متسقة والنظام (1) غير متسق. وبالتالي ، بالنسبة لأي نظام متسق ، فإن vr + 1… vm يساوي صفرًا. المعادلات n-r الأخيرة في النظام (1 ؛ r-1) هي هويات ويمكن تجاهلها. حالتان ممكنتان: أ) عدد معادلات النظام (1 ؛ r-1) يساوي عدد المجهول ، أي r \ u003d n (في هذه الحالة ، يكون للنظام شكل مثلث). ب) ص يُطلق على الانتقال من النظام (1) إلى النظام المكافئ (1 ؛ r-1) الانتقال المباشر لطريقة غاوس. حول إيجاد متغير من النظام (1 ؛ r-1) - بالمسار العكسي لطريقة غاوس. يتم تنفيذ تحويلات Gaussian بسهولة من خلال تنفيذها ليس باستخدام المعادلات ، ولكن باستخدام مصفوفة ممتدة لمعاملاتها. 13 سؤال. المصفوفات المتشابهة. سننظر فقط في المصفوفات المربعة للأمر n / يقال أن المصفوفة A تشبه المصفوفة B (A ~ B) إذا كانت هناك مصفوفة غير مفردة S مثل A = S-1BS. خصائص المصفوفات المتشابهة. 1) المصفوفة أ تشبه نفسها. (أ ~ أ) إذا كانت S = E ثم EAE = E-1AE = A 2) إذا كان A ~ B ، ثم B ~ A إذا كان A = S-1BS => SAS-1 = (SS-1) B (SS-1) = B 3) إذا كان A ~ B وفي نفس الوقت B ~ C ، ثم A ~ C بالنظر إلى أن A = S1-1BS1 ، و B = S2-1CS2 => A = (S1-1 S2-1) C (S2 S1) = (S2 S1) -1C (S2 S1) = S3-1CS3 ، حيث S3 = S2S1 4) محددات المصفوفات المتشابهة متساوية. بالنظر إلى أن A ~ B ، من الضروري إثبات أن detA = detB. A = S-1 BS ، detA = det (S-1 BS) = detS-1 * detB * detS = 1 / detS * detB * detS (تقليل) = detB. 5) رتب المصفوفات المتشابهة هي نفسها. المتجهات الذاتية والقيم الذاتية للمصفوفات. يسمى الرقم λ قيمة ذاتية للمصفوفة A إذا كان هناك متجه غير صفري X (عمود مصفوفة) مثل AX = λ X ، يسمى المتجه X المتجه الذاتي للمصفوفة A ، ومجموعة جميع القيم الذاتية يسمى طيف المصفوفة أ. خصائص المتجهات الذاتية. 1) عند ضرب المتجه الذاتي برقم ، نحصل على المتجه الذاتي بنفس القيمة الذاتية. AX \ u003d λ X ؛ Х ≠ 0 α X => A (α X) \ u003d α (AX) \ u003d α (λ X) \ u003d \ u003d λ (α X) 2) المتجهات الذاتية مع قيم ذاتية مختلفة زوجية مستقلة خطيًا λ1، λ2، .. k. دع النظام يتكون من المتجه الأول ، دعنا نتخذ خطوة استقرائية: C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - اضرب ب A. C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn \ u003d 0 С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. + Сn n n = 0 اضرب ب λn + 1 واطرح C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn + Cn + 1 Xn + 1 = 0 С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. + Сn n n + Сn + 1 n + 1 n + 1 = 0 C1 (λ1 –n + 1) X1 + C2 (λ2 –n + 1) X2 + .. + Cn (λn –n + 1) Xn + Cn + 1 (n + 1 –n + 1) Xn + 1 = 0 C1 (λ1 –n + 1) X1 + C2 (λ2 –n + 1) X2 + .. + Cn (n –n + 1) Xn = 0 من الضروري أن C1 \ u003d C2 \ u003d ... \ u003d Cn \ u003d 0 Cn + 1 Xn + 1 λn + 1 = 0 معادلة مميزة. يُطلق على A-λE المصفوفة المميزة للمصفوفة A. لكي يكون المتجه X غير الصفري متجهًا ذاتيًا للمصفوفة A ، يتوافق مع القيمة الذاتية λ ، من الضروري أن يكون حلاً لنظام متجانس من المعادلات الجبرية الخطية (A - E) X = 0 النظام لديه حل غير تافه عندما يكون det (A - XE) = 0 - هذه معادلة مميزة. بيان - تصريح! تتطابق المعادلات المميزة للمصفوفات المتشابهة. det (S-1AS - λЕ) = det (S-1AS - λ S-1ЕS) = det (S-1 (A - λЕ) S) = det S-1 det (A - λЕ) detS = det (A - λЕ) كثير الحدود المميز. det (A - λЕ) - وظيفة بالنسبة للمعامل λ det (A - λЕ) = (-1) n Xn + (- 1) n-1 (a11 + a22 + .. + ann) λn-1 + .. + detA يُطلق على كثير الحدود هذا اسم كثير الحدود المميز للمصفوفة أ. عاقبة: 1) إذا كانت المصفوفات هي A ~ B ، فإن مجموع عناصرها القطرية هو نفسه. a11 + a22 + .. + ann = в11 + в22 + .. + вnn 2) تتطابق مجموعة القيم الذاتية للمصفوفات المتشابهة. إذا كانت المعادلات المميزة للمصفوفات هي نفسها ، فلن تكون بالضرورة متشابهة. للمصفوفة أ للمصفوفة ب https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif "width =" 92 "height =" 38 "> Det (Ag-λE) = (λ11 - λ) (λ22 - λ) ... (nn - λ) = 0 لكي تكون المصفوفة A ذات الترتيب n قابلة للقياس قطريًا ، من الضروري وجود متجهات ذاتية مستقلة خطيًا للمصفوفة A. عاقبة. إذا كانت جميع قيم eigenvalues للمصفوفة A مختلفة ، فهي قابلة للتحديد قطريًا. خوارزمية لإيجاد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية. 1) يؤلف المعادلة المميزة 2) أوجد جذور المعادلات 3) يؤلف نظام معادلات لتحديد المتجه الذاتي. λi (A-λi E) X = 0 4) إيجاد النظام الأساسي للحلول x1 ، x2..xn-r ، حيث r هي رتبة المصفوفة المميزة. ص = Rg (A - i E) 5) eigenvector ، القيم الذاتية λi مكتوبة على النحو التالي: X \ u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r ، حيث C12 + C22 + ... C2n ≠ 0 6) نتحقق مما إذا كان من الممكن اختزال المصفوفة إلى شكل قطري. 7) ابحث عن Ag Ag = S-1AS S = 15 سؤال. أساس الخط والطائرة والفضاء. DIV_ADBLOCK410 "> وحدة المتجه هي طوله ، أي المسافة بين A و B (││ ، ││). معامل المتجه يساوي صفرًا ، عندما يكون هذا المتجه صفرًا (│ō│ = 0) 4-ناقل أورث. قيمة المتجه المعطى هي متجه له نفس اتجاه المتجه المحدد وله وحدة تساوي واحد. النواقل المتساوية لها أوجه القصور المتساوية. 5. الزاوية بين متجهين. هذا هو الجزء الأصغر من المنطقة ، يحده شعاعين ينبثقان من نفس النقطة ويوجهان في نفس اتجاه المتجهات المعطاة. إضافة نواقل. ضرب متجه برقم. 1) إضافة متجهين https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif "الارتفاع =" 11 "> + │≤│ │ + │ │ 2) ضرب متجه بواسطة عددي. حاصل ضرب المتجه والقياس القياسي هو متجه جديد يحتوي على: أ) = منتجات معامل المتجه المضاعف بالقيمة المطلقة للقياس. ب) الاتجاه هو نفسه المتجه المضاعف إذا كان العدد القياسي موجبًا ، ومعاكسًا إذا كان العدد القياسي سالبًا. λ أ (ناقل) => │ λ │ = │ λ │ = │ λ ││ │ خواص العمليات الخطية على المتجهات. 1. قانون الجماعة. 2. قانون الجمعيات. 3. الجمع بصفر. أ (متجه) + ō = أ (متجه) 4. الجمع مع العكس. 5. (αβ) = α (β) = β (α) 6 ؛ 7. قانون التوزيع. التعبير عن المتجه بدلالة معامله ومتجه الوحدة. يسمى الحد الأقصى لعدد النواقل المستقلة خطيًا بالأساس. الأساس على الخط هو أي متجه غير صفري. الأساس على المستوى هو أي متجهين غير مستدامين. الأساس في الفضاء هو نظام لأي ثلاثة نواقل غير متحد المستوى. يُطلق على معامل تمدد المتجه في بعض القواعد اسم مكونات أو إحداثيات المتجه في الأساس المحدد. https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif "height =" 11 src = ">. gif" height = "11 src ="> إجراء عمليات الجمع والضرب بواسطة عدد قياسي ، ثم ينتج عن أي عدد من هذه الإجراءات التي نحصل عليها: λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif "height =" 11 src = "> + ... gif" height = "11 src =">. gif "height =" 11 يُطلق على src = "> التابعين خطيًا إذا كان هناك تركيبة خطية غير تافهة تساوي ō. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif "height =" 11 src = "> + ... gif" height = "11 src =">. gif "height =" 11 src = "> تسمى مستقلة خطيًا إذا لم يكن هناك تركيبة خطية غير تافهة. خصائص المتجهات المعتمدة والمستقلة خطيًا: 1) يعتمد نظام المتجهات التي تحتوي على المتجه الصفري خطيًا. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif "height =" 11 src = "> + ... gif" height = "11 src =">. gif "height =" 11 src = "> تعتمد خطيًا ، يجب أن يكون بعض المتجه مزيجًا خطيًا من ناقلات أخرى. 3) إذا كانت بعض المتجهات من النظام a1 (المتجه) ، a2 (المتجه) ... ak (المتجه) تعتمد خطيًا ، فإن جميع النواقل تعتمد خطيًا. 4) إذا كانت جميع المتجهات https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif "height =" 11 src = ">. gif" width = "75" height = "11"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif "height =" 11 src = ">. gif" height = "11 src =">) العمليات الخطية في الإحداثيات. https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif "height =" 12 src = ">. gif" height = "11 src =">. gif "height =" 11 src = "> .gif "height =" 11 src = "> + (λа3) DIV_ADBLOCK413"> الناتج القياسي لمتجهين هو رقم يساوي حاصل ضرب المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما. https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif "width =" 48 "height =" 13 "> 3. (أ ؛ ب) = 0 إذا وفقط إذا كانت المتجهات متعامدة أو كان أي من المتجهات يساوي 0. 4. التوزيع (αa + βb؛ c) = α (a؛ c) + β (b؛ c) 5. التعبير عن الناتج العددي لـ a و b بدلالة إحداثياتهما https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif "width =" 40 "height =" 11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif "width =" 254 "height =" 13 src = "> عندما يكون الشرط () ، h ، l = 1،2،3 https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif "width =" 176 "height =" 21 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif "height =" 11 "> ويسمى المتجه الثالث الذي يحقق المعادلات التالية: 3. - الحق خصائص المنتج المتجه: 4. نتاج متجه لناقلات الإحداثيات أساس متعامد. https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif "width =" 41 "height =" 11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif "width =" 41 "height =" 11 src = "> غالبًا ما يتم استخدام 3 رموز للإشارة إلى أنواع الأساس المتعامد https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif "width =" 77 "height =" 11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif "width =" 549 "height =" 32 src = "> إذا كان أساسًا متعامدًا ، إذن DIV_ADBLOCK414 "> خط مستقيم على مستوى. الترتيب المتبادل لخطين مستقيمين. المسافة من نقطة إلى خط مستقيم. الزاوية بين خطين. حالة التوازي والعمودي لخطين مستقيمين. 1. حالة خاصة لموقع خطين مستقيمين على مستو. 1) - معادلة المحور الموازي المستقيم OX 2) - معادلة الخط المستقيم الموازي لمحور نظام التشغيل 2. الترتيب المتبادل لخطين مستقيمين. نظرية 1 دع معادلات الخطوط تعطى فيما يتعلق بنظام إحداثيات أفيني أ) فالشرط الضروري والكافي عند تقاطعهما هو: ب) ثم الشرط الضروري والكافي لكون الخطوط متوازية هو الشرط: ب) ثم الشرط الضروري والكافي للاندماج بين الخطوط في واحد هو الشرط: 3. المسافة من نقطة إلى خط. نظرية. المسافة من نقطة إلى خط بالنسبة إلى نظام الإحداثيات الديكارتية: https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif "width =" 34 "height =" 11 src = "> 4. الزاوية بين خطين مستقيمين. حالة عمودية. دعنا نعطي خطين مستقيمين فيما يتعلق بنظام الإحداثيات الديكارتية بواسطة المعادلات العامة. https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif "width =" 103 "height =" 11 src = "> إذا كانت الخطوط متعامدة. 24 سؤال. الطائرة في الفضاء. شرط التوافق للناقل والطائرة. المسافة من نقطة إلى مستوى. حالة التوازي والعمودي لطائرتين. 1. شرط التوافق للناقل والطائرة. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif "width =" 40 "height =" 11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg "alt =" (! LANG: Untitled4.jpg" width="111" height="39">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif "width =" 86 "height =" 11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif "width =" 148 "height =" 11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg "alt =" (! LANG: Untitled5.jpg" width="88" height="57">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif "width =" 31 "height =" 11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif "width =" 328 "height =" 24 src = "> 3. زاوية بين طائرتين. حالة عمودية. https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif "width =" 132 "height =" 11 src = "> إذا ، فإن الطائرات متعامدة. 25 سؤال. خط مستقيم في الفضاء. أنواع مختلفة من معادلات الخط المستقيم في الفراغ. https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif "width =" 111 "height =" 19 "> 2. معادلة المتجه لخط مستقيم في الفضاء. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif "width =" 40 "height =" 11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif "width =" 44 "height =" 29 src = "> 4. المعادلة الأساسية مباشرة. https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif "width =" 34 "height =" 18 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_EW "alt =" (! LANG: Untitled3.jpg" width="56" height="51">
!} 28 سؤال. الشكل البيضاوي. اشتقاق المعادلة الكنسية الناقص. الاستمارة. الخصائص القطع الناقص هو موضع النقاط التي يكون فيها مجموع المسافات من مسافتين ثابتتين ، تسمى البؤر ، رقمًا معينًا 2 أ أكبر من المسافة 2 ج بين البؤر. في الشكل 2 r1 = a + ex r2 = a-ex ظل الظل إلى القطع الناقص DIV_ADBLOCK417 "> المعادلة المتعارف عليها للقطع الزائد شكل وسانت. y = ± b / a اضرب بجذر (x2-a2) محور التناظر للقطع الزائد هو محاوره الجزء 2 أ - المحور الحقيقي للقطع الزائد الانحراف e = 2c / 2a = c / a إذا كان b = a نحصل على القطع الزائد متساوي الساقين الخط المقارب هو خط مستقيم إذا كانت المسافة من النقطة إلى الخط المستقيم تميل إلى الصفر مع إزالة غير محدودة للنقطة M1 على طول المنحنى. Lim d = 0 لـ x-> ∞ د = ba2 / (x1 + (x21-a2) 1/2 / ج) ظل القطع الزائد xx0 / a2 - yy0 / b2 = 1 القطع المكافئ - موقع النقاط على مسافة متساوية من نقطة تسمى البؤرة وخط معين يسمى الدليل معادلة القطع المكافئ الكنسي الخصائص يمر محور تناظر القطع المكافئ عبر بؤرته ويكون عموديًا على الدليل إذا قمت بتدوير القطع المكافئ ، تحصل على مكافئ بيضاوي جميع القطع المكافئة متشابهة السؤال 30. التحقيق في معادلة الشكل العام لمنحنى من الدرجة الثانية. منحنى نوع def. بالمصطلحات الأولية A1 ، B1 ، C1 A1x12 + 2Bx1y1 + C1y12 + 2D1x1 + 2E1y1 + F1 = 0 1. AC = 0 -> منحنى من النوع المكافئ أ = ج = 0 => 2Dx + 2Ey + F = 0 A ≠ 0 C = 0 => Ax2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 إذا كانت E = 0 => Ax2 + 2Dx + F = 0 ثم x1 = x2 - يندمج في واحد x1 ≠ x2 - الخطوط متوازية Oy x1 ≠ x2 والجذور التخيلية ليس لها صورة هندسية ج ≠ 0 أ = 0 => C1y12 + 2D1x1 + 2E1y1 + F1 = 0 الخلاصة: منحنى القطع المكافئ هو إما قطع مكافئ ، أو خطان متوازيان ، أو خيالي ، أو يندمج في واحد. 2.AC> 0 -> منحنى النوع الإهليلجي استكمالًا للمعادلة الأصلية بالمربع الكامل ، نقوم بتحويلها إلى المعادلة الأساسية ، ثم نحصل على الحالات (x-x0) 2 / a2 + (y-y0) 2 / b2 = 1 - القطع الناقص (x-x0) 2 / a2 + (y-y0) 2 / b2 = -1 - القطع الناقص التخيلي (x-x0) 2 / a2- (y-y0) 2 / b2 = 0 - النقطة ذات الإحداثيات x0 y0 الخلاصة: منحنى el. الكتابة هي إما قطع ناقص أو تخيلي أو نقطة 3. AC<0 - кривая гиперболического типа (x-x0) 2 / a2- (y-y0) 2 / b2 = 1 قطع زائد ، المحور الحقيقي موازٍ (x-x0) 2 / a2- (y-y0) 2 / b2 = -1 القطع الزائد ، المحور الحقيقي الموازي لـ Oy (x-x0) 2 / a2- (y-y0) 2 / b2 = 0 ur-e لخطين الخلاصة: منحنى النوع الزائدي هو إما القطع الزائد أو الخطين المستقيمين تعتبر المصفوفات في الرياضيات من أهم الأشياء ذات الأهمية التطبيقية. غالبًا ما تبدأ رحلة إلى نظرية المصفوفات بالكلمات: "المصفوفة هي جدول مستطيل ...". سنبدأ هذه الرحلة من زاوية مختلفة قليلاً. دفاتر الهاتف من أي حجم وأي عدد من بيانات المشترك ليست سوى مصفوفات. تبدو هذه المصفوفات كما يلي: من الواضح أننا جميعًا نستخدم مثل هذه المصفوفات كل يوم تقريبًا. تأتي هذه المصفوفات بأعداد مختلفة من الصفوف (مميزة كدليل صادر عن شركة الهاتف ، والتي يمكن أن تحتوي على آلاف ومئات الآلاف وحتى ملايين الأسطر ، ودفتر ملاحظات جديد بدأته للتو ، ويحتوي على أقل من عشرة أسطر) و الأعمدة (دليل المسؤولين في بعض المنظمات التي قد توجد فيها أعمدة مثل المنصب ورقم المكتب ونفس دفتر ملاحظاتك ، حيث قد لا توجد بيانات أخرى غير الاسم ، وبالتالي ، يحتوي على عمودين فقط - الاسم ورقم الهاتف). يمكن إضافة جميع أنواع المصفوفات وضربها ، ويمكن إجراء عمليات أخرى عليها ، ولكن لا داعي لإضافة أدلة الهاتف ومضاعفتها ، ولا فائدة من ذلك ، وإلى جانب ذلك ، يمكنك تحريك عقلك. ولكن يمكن بل وينبغي إضافة العديد من المصفوفات ومضاعفتها ويمكن حل العديد من المهام العاجلة بهذه الطريقة. فيما يلي أمثلة على هذه المصفوفات. المصفوفات التي تكون الأعمدة فيها ناتج وحدات لنوع معين من المنتجات ، والصفوف هي السنوات التي يتم فيها تسجيل ناتج هذا المنتج: يمكنك إضافة مصفوفات من هذا النوع ، والتي تأخذ في الاعتبار إنتاج منتجات مماثلة من قبل مختلف المؤسسات ، من أجل الحصول على بيانات موجزة عن الصناعة. أو المصفوفات ، التي تتكون ، على سبيل المثال ، من عمود واحد ، حيث تمثل الصفوف متوسط تكلفة نوع معين من المنتجات: يمكن ضرب مصفوفات النوعين الأخيرين ، والنتيجة هي مصفوفة صف تحتوي على تكلفة جميع أنواع المنتجات حسب السنوات. طاولة مستطيلة تتكون من أرقام مرتبة في مخطوط و نالأعمدة تسمى مليون مصفوفة
(أو ببساطة مصفوفة
) وكتب مثل هذا: في المصفوفة (1) تسمى الأرقام به عناصر
(كما هو الحال في المحدد ، يشير الفهرس الأول إلى رقم الصف ، والثاني - العمود ، الذي يوجد عند تقاطعه عنصر ؛ أنا = 1, 2, ..., م; ي = 1, 2, ن). تسمى المصفوفة مستطيلي
، إذا . إذا م = ن، ثم يسمى المصفوفة ميدان
، والرقم n هو مرتب
. محدد المصفوفة المربعة أ
يسمى المحدد الذي تكون عناصره عناصر المصفوفة أ. يُشار إليه بالرمز | أ|. تسمى المصفوفة المربعة غير خاص
(أو غير منحط
, غير مفرد
) إذا كان محدده لا يساوي صفرًا ، و خاص
(أو تتدهور
, صيغة المفرد
) إذا كان المحدد هو صفر. تسمى المصفوفات مساو
إذا كان لديهم نفس عدد الصفوف والأعمدة وجميع العناصر المتطابقة متشابهة. تسمى المصفوفة لا شيء
إذا كانت جميع عناصرها تساوي الصفر. سيتم الإشارة إلى المصفوفة الصفرية بالرمز 0
أو . فمثلا، مصفوفة الصف
(أو أحرف صغيرة
) يسمى 1 ن-مصفوفة و مصفوفة العمود
(أو عمودي
) – م 1-مصفوفة. مصفوفة أ"، التي تم الحصول عليها من المصفوفة أتبادل الصفوف والأعمدة يسمى منقول
فيما يتعلق بالمصفوفة أ. وبالتالي ، بالنسبة للمصفوفة (1) ، تكون المصفوفة المنقولة هي الانتقال إلى عملية المصفوفة أ"، منقول فيما يتعلق بالمصفوفة أ، يسمى تبديل المصفوفة أ. إلى عن على مليون-المصفوفة المنقولة هي نانومتر-مصفوفة. المصفوفة المنقولة بالنسبة للمصفوفة هي أ، هذا هو (أ")" = أ
. مثال 1ابحث عن ماتريكس أ"، منقول فيما يتعلق بالمصفوفة ومعرفة ما إذا كانت محددات المصفوفات الأصلية والمصفوفة المنقولة متساوية. قطري رئيسي
المصفوفة المربعة هي خط وهمي يربط بين عناصرها ، وكلا المؤشرين متماثلان. تسمى هذه العناصر قطري
. تسمى مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر خارج القطر الرئيسي مساوية للصفر قطري
. ليست كل العناصر القطرية لمصفوفة قطرية بالضرورة غير صفرية. قد يكون بعضها مساويًا للصفر. تسمى المصفوفة المربعة التي تكون فيها العناصر الموجودة على القطر الرئيسي مساوية لنفس العدد غير الصفري ، وكل العناصر الأخرى تساوي صفرًا ، المصفوفة العددية
. مصفوفة الهوية
تسمى مصفوفة قطرية تكون فيها جميع العناصر القطرية مساوية لواحد. على سبيل المثال ، مصفوفة الوحدة من الرتبة الثالثة هي المصفوفة مثال 2بيانات المصفوفة: المحلول. دعونا نحسب محددات هذه المصفوفات. باستخدام قاعدة المثلثات ، نجد محدد المصفوفة باحسب بالصيغة نحصل على ذلك بسهولة لذلك ، المصفوفات أوهي غير مفردة (غير منحلة ، غير مفردة) ، والمصفوفة ب- خاص (منحط ، مفرد). من الواضح أن محدد مصفوفة الهوية لأي ترتيب يساوي واحدًا. مثال 3بيانات المصفوفة تحديد أي منهم غير مفرد (غير منحط ، غير مفرد). في شكل مصفوفات ، تتم كتابة البيانات المنظمة حول كائن معين ببساطة وسهولة. يتم إنشاء نماذج المصفوفة ليس فقط لتخزين هذه البيانات المنظمة ، ولكن أيضًا لحل المشكلات المختلفة باستخدام هذه البيانات باستخدام الجبر الخطي. وبالتالي ، فإن نموذج المصفوفة المعروف للاقتصاد هو نموذج المدخلات والمخرجات الذي قدمه الاقتصادي الأمريكي من أصل روسي فاسيلي ليونتيف. يعتمد هذا النموذج على افتراض أن قطاع التصنيع بأكمله في الاقتصاد مقسم إلى نالصناعات النظيفة. تنتج كل صناعة نوعًا واحدًا فقط من المنتجات وتنتج الصناعات المختلفة منتجات مختلفة. بسبب هذا التقسيم للعمل بين الصناعات ، توجد علاقات بين الصناعات ، ومعنى ذلك أن يتم نقل جزء من إنتاج كل صناعة إلى صناعات أخرى كمورد إنتاج. حجم الإنتاج أنا- الصناعة (تقاس بوحدة قياس محددة) التي تم إنتاجها خلال الفترة المشمولة بالتقرير ، ويُشار إليها وتسمى الناتج الإجمالي أناالصناعة ال. يتم وضع المشكلات بشكل ملائم ن-صف مكون من المصفوفة. عدد وحدات المنتج أناالصناعة التي ستنفق ي- الصناعة لإنتاج وحدة من إنتاجها ، ويشار إليها وتسمى معامل التكاليف المباشرة.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif "alt =" (! LANG: image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="الصورة 043" width="81 height=44" height="44"> 0=!} 
المصفوفات والتعاريف الأساسية
(1)
قم بحل مشكلة المصفوفة بنفسك ، ثم انظر إلى الحل
,
,تطبيق المصفوفات في النمذجة الرياضية والاقتصادية
العم فانيا مؤامرة المسرحية. "العم إيفان. الموقف من أستاذ الآخرين
تساخيس الصغير ، الملقب بزينوبر
مايكوف ، أبولون نيكولايفيتش - سيرة ذاتية قصيرة