أنواع كثيرات الحدود. متعدد الحدود وشكله القياسي ودرجته ومعاملات المصطلحات

- كثيرات الحدود. في هذه المقالة ، سوف نقدم جميع المعلومات الأولية والضرورية حول كثيرات الحدود. تتضمن هذه ، أولاً ، تعريف كثير الحدود مع التعريفات المصاحبة لمصطلحات كثيرة الحدود ، على وجه الخصوص ، المصطلح المجاني والمصطلحات المماثلة. ثانيًا ، نتناول كثيرات الحدود في النموذج القياسي ، ونعطي التعريف المقابل ونعطي أمثلة عليها. أخيرًا ، نقدم تعريف درجة كثير الحدود ، ونكتشف كيفية العثور عليها ، ونتحدث عن معاملات مصطلحات كثيرة الحدود.

التنقل في الصفحة.

متعدد الحدود وأعضائه - تعريفات وأمثلة

في الصف السابع ، تتم دراسة كثيرات الحدود مباشرة بعد المونومرات ، وهذا أمر مفهوم ، منذ ذلك الحين تعريف متعدد الحدودمن حيث monomials. لنقدم هذا التعريف لشرح ما هي كثيرة الحدود.

تعريف.

متعدد الحدودهو مجموع monomials. يعتبر المونومال حالة خاصة لكثير الحدود.

يسمح لك التعريف المكتوب بإعطاء أكبر عدد تريده من الأمثلة على كثير الحدود. أي من الأحاديات 5 ، 0 ، −1 ، x ، 5 أ ب 3 ، × 2 0.6 × (2) ص 12 ، إلخ. هي كثيرة الحدود. أيضًا حسب التعريف 1 + س ، أ 2 + ب 2 وكثيرات الحدود.

لتسهيل وصف كثيرات الحدود ، تم تقديم تعريف مصطلح متعدد الحدود.

تعريف.

شروط كثيرة الحدودهي monomials التي تشكل كثير الحدود.

على سبيل المثال ، كثير الحدود 3 × 4 2 × ص + 3 − ص 3 له أربعة حدود: 3 × 4 ، −2 × ص ، 3 ، − ص 3. يعتبر المونومال متعدد الحدود يتكون من عضو واحد.

تعريف.

كثيرات الحدود التي تتكون من عضوين وثلاثة أعضاء لها أسماء خاصة - ذات الحدينو ثلاثي الحدودعلى التوالى.

إذن ، x + y هي ذات الحدين ، و 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b عبارة عن ثلاثية.

في المدرسة ، غالبًا ما يتعين عليك العمل معه ذات الحدين الخطيأ س + ب ، حيث أ وب بعض الأرقام و س متغير ، ومع ثلاثي الحدود مربعأ س 2 + ب س + ج ، حيث أ وب وج بعض الأرقام و س متغير. فيما يلي أمثلة على القيم ذات الحدين الخطي: x + 1 ، x 7،2−4 ، وإليك أمثلة لثلاثيات الحدود المربعة: x 2 +3 x − 5 و .

كثيرات الحدود في تدوينها يمكن أن يكون لها مصطلحات متشابهة. على سبيل المثال ، في كثير الحدود 1 + 5 x − 3 + y + 2 x ، تكون المصطلحات المتشابهة 1 و 3 ، وكذلك 5 x و 2 x. لديهم اسم خاص بهم - أعضاء متشابهين في كثير الحدود.

تعريف.

أعضاء متشابهون في كثير الحدودتسمى المصطلحات المتشابهة في كثير الحدود.

في المثال السابق ، 1 و 3 ، وكذلك الزوجان 5 x و 2 x ، تشبهان مصطلحات كثيرة الحدود. في كثيرات الحدود ذات الأعضاء المتشابهة ، من الممكن إجراء تصغير للأعضاء المتشابهة لتبسيط شكلهم.

متعدد الحدود النموذج القياسي

بالنسبة لكثيرات الحدود ، وكذلك بالنسبة للأحادية ، هناك ما يسمى بالشكل القياسي. دعونا ننظر في التعريف المقابل.

بناءً على هذا التعريف ، يمكننا إعطاء أمثلة على كثيرات الحدود في النموذج القياسي. إذن ، كثيرات الحدود 3 x 2 −x y + 1 و مكتوبة في شكل قياسي. والتعبيرات 5 + 3 x 2 −x 2 +2 x z و x + x y 3 x z 2 +3 z ليست كثيرة الحدود بالصيغة القياسية ، لأن أولهما يحتوي على مصطلحات متشابهة 3 x 2 و −x 2 ، وفي الثاني ، أحادي x · y 3 · x · z 2 ، الذي يختلف شكله عن النموذج القياسي.

لاحظ أنه إذا لزم الأمر ، يمكنك دائمًا إحضار كثير الحدود إلى النموذج القياسي.

مفهوم آخر ينتمي إلى كثيرات الحدود للصيغة القياسية - مفهوم المصطلح الحر لكثير الحدود.

تعريف.

عضو مجاني في كثير الحدوداستدعاء عضو متعدد الحدود من النموذج القياسي بدون جزء حرف.

بعبارة أخرى ، إذا كان هناك رقم في الشكل القياسي لكثيرات الحدود ، فإنه يسمى عضوًا حرًا. على سبيل المثال ، 5 هو مصطلح مجاني لكثير الحدود x 2 z + 5 ، بينما كثير الحدود 7 a + 4 a b + b 3 ليس له حد حر.

درجة كثيرة الحدود - كيف تجدها؟

تعريف آخر مهم ذو صلة هو تعريف درجة كثير الحدود. أولاً ، نحدد درجة كثير الحدود للشكل القياسي ، ويستند هذا التعريف إلى درجات monomials الموجودة في تكوينها.

تعريف.

درجة نموذجية كثيرة الحدودهي أكبر قوى monomials المدرجة في تدوينها.

دعنا نعطي أمثلة. درجة كثير الحدود 5 × 3 4 تساوي 3 ، حيث أن الأحاديات 5 × 3 و 4 المتضمنة فيها لها درجات 3 و 0 ، على التوالي ، أكبر هذه الأرقام هي 3 ، وهي درجة كثير الحدود حسب التعريف. ودرجة كثير الحدود 4 × 2 ص 3 5 × 4 ص + 6 سيساوي أكبر عدد من الأعداد 2 + 3 = 5 ، 4 + 1 = 5 و 1 ، أي 5.

الآن دعنا نتعرف على كيفية إيجاد درجة كثير الحدود لصيغة عشوائية.

تعريف.

درجة متعددة الحدود لشكل تعسفيهي درجة كثيرة الحدود المقابلة للشكل القياسي.

لذلك ، إذا لم تتم كتابة كثير الحدود في الشكل القياسي ، وتريد معرفة درجتها ، فأنت بحاجة إلى إحضار كثير الحدود الأصلي إلى النموذج القياسي ، والعثور على درجة كثير الحدود الناتجة - ستكون هي الدرجة المطلوبة. لنفكر في مثال للحل.

مثال.

أوجد درجة كثير الحدود 3 a 12 −2 a b c a c b + y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

المحلول.

تحتاج أولاً إلى تمثيل كثير الحدود في النموذج القياسي:
3 أ 12 −2 أ ب ج أ ج ب + ص 2 ع 2 −2 أ 12 أ 12 = = (3 أ 12 2 أ 12 − أ 12) - 2 (أ) (ب ب) (ج ج) + ص 2 ع 2 = = −2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2.

يتضمن كثير الحدود الناتج من النموذج القياسي اثنين من الأحاديات −2 · a 2 · b 2 · c 2 و y 2 · z 2. لنجد درجاتهم: 2 + 2 + 2 = 6 و 2 + 2 = 4. من الواضح أن أكبر هذه القوى هي 6 ، وهي حسب التعريف درجة متعددة الحدود للصيغة القياسية −2 أ 2 ب 2 ص 2 + ص 2 ع 2، ومن ثم درجة كثير الحدود الأصلي.، 3 x و 7 من كثير الحدود 2 x − 0.5 x y + 3 x + 7.

فهرس.

• الجبر:كتاب مدرسي لمدة 7 خلايا. تعليم عام المؤسسات / [Yu. ن. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، ك. آي. نيشكوف ، إس ب. سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة 17. - م: التربية والتعليم 2008. - 240 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019315-3.
• مردكوفيتش أ.الجبر. الصف السابع. الساعة 2 بعد الظهر الجزء 1. كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية / أ. ج. مردكوفيتش. - الطبعة 17 ، إضافة. - م: Mnemozina، 2013. - 175 ص: م. ردمك 978-5-346-02432-3.
• الجبروبداية التحليل الرياضي. الصف العاشر: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات: الأساسية والملف الشخصي. المستويات / [Yu. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M. I. Shabunin]؛ إد. A. B. Zhizhchenko. - الطبعة الثالثة. - م: التنوير ، 2010. - 368 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-022771-1.
• جوسيف ف.أ ، مردكوفيتش أ.الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية): Proc. بدل. - م ؛ أعلى المدرسة ، 1984. - 351 ص. ، مريض.

مفهوم كثير الحدود

تعريف كثير الحدود: كثير الحدود هو مجموع monomials. مثال متعدد الحدود:

هنا نرى مجموع اثنين من المونوميرات ، وهذا هو كثير الحدود ، أي مجموع مونومال.

تسمى المصطلحات التي تشكل كثير الحدود أعضاء كثير الحدود.

هل الفرق بين المونوميل كثير الحدود؟ نعم ، لأنه يتم تقليل الفرق بسهولة إلى المجموع ، على سبيل المثال: 5 أ - 2 ب = 5 أ + (-2 ب).

تعتبر الأحاديات أيضًا متعددة الحدود. لكن لا يوجد مجموع في أحادية ، فلماذا تعتبر كثيرة الحدود؟ ويمكنك إضافة صفر إليها والحصول على مجموعها بصفر واحد. إذن ، المونومال هو حالة خاصة لكثير الحدود ، فهو يتكون من عضو واحد.

الرقم صفر هو صفر كثير الحدود.

الشكل القياسي لكثيرات الحدود

ما هي صيغة معيارية كثيرة الحدود؟ كثير الحدود هو مجموع المونوميرات ، وإذا كانت كل هذه المونومرات التي تشكل كثير الحدود مكتوبة في شكل قياسي ، بالإضافة إلى ذلك ، لا ينبغي أن يكون هناك متشابهين بينهم ، فإن كثير الحدود مكتوب في الشكل القياسي.

مثال على كثير الحدود في الشكل القياسي:

هنا يتكون كثير الحدود من 2 مونومال ، كل منهما له شكل قياسي ، من بين المونومال لا توجد مثل هذه.

الآن مثال على كثير الحدود ليس لها شكل قياسي:

هنا نوعان من الأحاديات: 2 أ و 4 أ متشابهان. نحتاج إلى إضافتهم ، ثم تحصل كثير الحدود على شكل قياسي:

مثال آخر:

هل هذا كثير الحدود مختزل إلى النموذج القياسي؟ لا ، العضو الثاني غير مكتوب في النموذج القياسي. عند كتابتها في الشكل القياسي ، نحصل على صيغة معيارية متعددة الحدود:

درجة كثيرة الحدود

ما هي درجة كثير الحدود؟

تعريف درجة متعددة الحدود:

درجة كثير الحدود هي أكبر درجة تمتلكها المونومرات التي تشكل كثير الحدود المعطى للصيغة القياسية.

مثال. ما هي درجة 5 س كثير الحدود؟ درجة كثير الحدود 5 س تساوي واحدًا ، لأن كثير الحدود هذا يحتوي على أحادية واحدة فقط ودرجته تساوي واحدًا.

مثال آخر. ما درجة كثير الحدود 5a 2 h 3 s 4 +1؟ درجة كثير الحدود 5a 2 h 3 s 4 + 1 هي تسعة ، لأن هذا كثير الحدود يتضمن اثنين من الأحاديين ، الأول هو 5a 2 h 3 s 4 له أعلى درجة ، ودرجته هي 9.

مثال آخر. ما هي درجة كثير الحدود 5؟ درجة كثير الحدود 5 هي صفر. إذن ، درجة كثير الحدود تتكون فقط من رقم ، أي بدون أحرف يساوي الصفر.

المثال الأخير. ما هي درجة الصفر كثير الحدود ، أي؟ صفر؟ لم يتم تعريف درجة الصفر كثير الحدود.

بعد دراسة المونومرات ، ننتقل إلى كثيرات الحدود. ستخبرك هذه المقالة بجميع المعلومات الضرورية اللازمة لتنفيذ الإجراءات عليها. سنقوم بتعريف كثير الحدود مع التعريفات المصاحبة لمصطلح متعدد الحدود ، أي مجاني ومتشابه ، وننظر في كثير الحدود من نموذج قياسي ، ونقدم درجة ونتعلم كيفية العثور عليها ، والعمل مع معاملاتها.

Yandex.RTB R-A-339285-1

متعدد الحدود وأعضائه - تعريفات وأمثلة

كان تعريف كثير الحدود مطلوبًا في 7 فئة بعد دراسة monomials. دعونا نلقي نظرة على تعريفه الكامل.

التعريف 1

متعدد الحدوديتم اعتبار مجموع المونوميرات ، ومونومال نفسه هو حالة خاصة لكثير الحدود.

ويترتب على التعريف أن أمثلة كثيرات الحدود يمكن أن تكون مختلفة: 5 , 0 , − 1 , x, 5 أ ب 3، x 2 0 ، 6 x (- 2) y 12 ، - 2 13 x y 2 3 2 3 x x 3 y z وهكذا. من التعريف لدينا ذلك 1 + س، أ 2 + ب 2 والتعبير x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5، 2 · y · x هي كثيرة الحدود.

دعونا نلقي نظرة على المزيد من التعريفات.

التعريف 2

أعضاء كثير الحدودتسمى monomials المكونة لها.

ضع في اعتبارك هذا المثال ، حيث لدينا كثيرة الحدود 3 × 4 - 2 × ص + 3 - ص 3 ، تتكون من 4 أعضاء: 3 × 4 ، - 2 × ص ، 3 و - ص 3. يمكن اعتبار مثل هذا الأحادي متعدد الحدود ، والذي يتكون من مصطلح واحد.

التعريف 3

كثيرات الحدود التي لها 2 ، 3 ثلاثي الحدود في تكوينها لها الاسم المقابل - ذات الحدينو ثلاثي الحدود.

ويترتب على ذلك أن تعبيرًا عن النموذج س + ص- ذات حدين ، والتعبير 2 x 3 q - q x x + 7 b ثلاثي الحدود.

وفقًا للمنهج المدرسي ، فقد عملوا مع خطية ذات الحدين على شكل أ س + ب ، حيث أ و ب بعض الأرقام ، و س متغير. ضع في اعتبارك أمثلة ذات الحدين الخطي بالشكل: x + 1 ، x · 7 ، 2-4 مع أمثلة لثلاثيات الحدود المربعة x 2 + 3 · x - 5 و 2 5 · x 2 - 3 x + 11.

للتحول والحل ، من الضروري إيجاد وإحضار مصطلحات مماثلة. على سبيل المثال ، كثيرة الحدود بالصيغة 1 + 5 x - 3 + y + 2 x لها حدود متشابهة 1 و - 3 و 5 x و 2 x. يتم تقسيمهم إلى مجموعة خاصة تسمى أعضاء متشابهين في كثير الحدود.

التعريف 4

أعضاء متشابهون في كثير الحدودتشبه المصطلحات في كثير الحدود.

في المثال أعلاه ، لدينا أن 1 و - 3 و 5 x و 2 x هي مصطلحات متشابهة في كثير الحدود أو مصطلحات متشابهة. لتبسيط التعبير ، أوجد المصطلحات المتشابهة واختزلها.

متعدد الحدود النموذج القياسي

جميع المونومرات ومتعددة الحدود لها أسماء خاصة بها.

التعريف 5

متعدد الحدود النموذج القياسييتم استدعاء كثير الحدود حيث يكون لكل عضو فيها أحادي الحدود من النموذج القياسي ولا يحتوي على أعضاء متشابهين.

يمكن أن نرى من التعريف أنه من الممكن تقليل كثيرات الحدود للصيغة القياسية ، على سبيل المثال ، 3 x 2 - x y + 1 و __صيغة__ ، والسجل في شكل قياسي. التعبيرات 5 + 3 x 2 - x 2 + 2 x z و 5 + 3 x 2 - x 2 + 2 x z ليست متعددة الحدود للصيغة القياسية ، لأن أولهما له مصطلحات متشابهة في الشكل 3 x 2 و - x2، والثاني يحتوي على monomial بالصيغة x · y 3 · x · z 2 ، والذي يختلف عن كثير الحدود القياسي.

إذا اقتضت الظروف ذلك ، في بعض الأحيان يتم تقليل كثير الحدود إلى نموذج قياسي. يعتبر مفهوم المصطلح الحر لكثير الحدود أيضًا متعدد الحدود للشكل القياسي.

التعريف 6

عضو مجاني في كثير الحدودهو نموذج قياسي متعدد الحدود بدون حرف جزء.

بمعنى آخر ، عندما يكون لتدوين كثير الحدود في النموذج القياسي رقمًا ، فإنه يطلق عليه عضو حر. ثم الرقم 5 هو عضو حر في كثير الحدود x 2 · z + 5 ، وكثير الحدود 7 · a + 4 · a · b + b 3 ليس له عضو مجاني.

درجة كثيرة الحدود - كيف تجدها؟

يعتمد تعريف درجة كثير الحدود على تعريف متعدد الحدود للصيغة القياسية وعلى درجات المونومرات التي تشكل مكوناتها.

التعريف 7

درجة نموذجية كثيرة الحدوداسم أكبر القوى المدرجة في تدوينها.

لنلقي نظرة على مثال. درجة كثير الحدود 5 × 3 - 4 تساوي 3 ، لأن المونوميرات المتضمنة في تكوينها لها درجات 3 و 0 ، وأكبرها 3 ، على التوالي. تعريف الدرجة من كثير الحدود 4 × 2 ص 3 - 5 × 4 ص + 6 س يساوي أكبر الأرقام ، أي 2 + 3 = 5 ، 4 + 1 = 5 و 1 ، إذن 5.

من الضروري معرفة كيفية العثور على الدرجة نفسها.

التعريف 8

درجة كثيرة الحدود لرقم عشوائيهي درجة كثيرة الحدود المقابلة في الشكل القياسي.

عندما لا تتم كتابة كثير الحدود في النموذج القياسي ، ولكنك تحتاج إلى إيجاد درجتها ، فأنت بحاجة إلى تصغيرها إلى النموذج القياسي ، ثم إيجاد الدرجة المطلوبة.

مثال 1

أوجد درجة كثير الحدود 3 أ 12 - 2 أ ب ج أ ج ب + ص 2 ض 2 - 2 أ 12 - أ 12.

المحلول

أولاً ، نقدم كثير الحدود في الصورة القياسية. نحصل على تعبير مثل:

3 أ 12 - 2 أ ب ج أ ج ب + ص 2 ع 2 - 2 أ 12 - أ 12 = = (3 أ 12 - 2 أ 12 - أ 12) - 2 (أ أ) (ب ب) (ج ج) + ص 2 ض 2 = = - 2 أ 2 ب 2 ج 2 + ص 2 ع 2

عند الحصول على كثير الحدود للصيغة القياسية ، نجد أن اثنين منهم مميزان بوضوح - 2 · a 2 · b 2 · c 2 و y 2 · z 2. لإيجاد الدرجات نحسب ونحصل على 2 + 2 + 2 = 6 و 2 + 2 = 4. يمكن ملاحظة أن أكبرها يساوي 6. ويترتب على التعريف أن 6 بالضبط هي درجة كثيرة الحدود - 2 · أ 2 · ب 2 · ج 2 + ص 2 · ع 2 ، ومن هنا جاءت القيمة الأصلية.

إجابه: 6 .

معاملات شروط كثير الحدود

التعريف 9

عندما تكون جميع مصطلحات كثير الحدود أحادية الشكل من النموذج القياسي ، في هذه الحالة يكون لها الاسم معاملات شروط كثير الحدود.بعبارة أخرى ، يمكن تسميتها معاملات كثيرة الحدود.

عند النظر في المثال ، يمكن ملاحظة أن كثير الحدود بالصيغة 2 x - 0 ، 5 x y + 3 x + 7 بها 4 كثيرات حدود في تكوينها: 2 x ، - 0 ، 5 x y ، 3 x و 7 مع كل منها المعاملات 2 ، - 0 ، 5 ، 3 و 7. ومن ثم ، 2 ، - 0 ، 5 ، 3 و 7 تعتبر معاملات شروط كثير الحدود المعطى للصيغة 2 · س - 0 ، 5 · س · ص + 3 · س + 7. عند التحويل ، من المهم الانتباه إلى المعاملات أمام المتغيرات.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

أو ، بشكل صارم ، مجموع رسمي محدود للنموذج

∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\ displaystyle \ sum _ (I) c_ (I) x_ (1) ^ (i_ (1)) x_ (2) ^ (i_ (2)) \ cdots x_ (n) ^ (i_ (n)))، أين

على وجه الخصوص ، كثير الحدود في متغير واحد هو مجموع رسمي محدود من النموذج

ص 0 + ص 1 × 1 + ⋯ + ج م × م (displaystyle c_ (0) + c_ (1) x ^ (1) + dots + c_ (m) x ^ (m))، أين

بمساعدة كثير الحدود ، تم اشتقاق مفهومي "المعادلة الجبرية" و "الوظيفة الجبرية".

الدراسة والتطبيق[ | ]

كانت دراسة المعادلات متعددة الحدود وحلولها تقريبًا الهدف الرئيسي لـ "الجبر الكلاسيكي".

يرتبط عدد من التحولات في الرياضيات بدراسة كثيرات الحدود: مقدمة في اعتبار الأعداد الصفرية والسالبة ثم المعقدة ، وكذلك ظهور نظرية المجموعة كفرع للرياضيات وتخصيص فئات من الوظائف الخاصة في التحليل.

البساطة التقنية للحسابات التي تنطوي على كثيرات الحدود مقارنة بفئات الوظائف الأكثر تعقيدًا ، بالإضافة إلى حقيقة أن مجموعة كثيرات الحدود كثيفة في مساحة الوظائف المستمرة على مجموعات فرعية مضغوطة من الفضاء الإقليدي (انظر نظرية التقريب Weierstrass) ، ساهمت في تطوير طرق التوسيع المتسلسلة والاستيفاء متعدد الحدود في حساب التفاضل والتكامل.

تلعب متعددات الحدود أيضًا دورًا رئيسيًا في الهندسة الجبرية ، التي يتم تحديد كائناتها على أنها حلول لأنظمة متعددة الحدود.

تُستخدم الخصائص الخاصة لمعاملات التحويل في الضرب متعدد الحدود في الهندسة الجبرية والجبر ونظرية العقدة وفروع الرياضيات الأخرى لتشفير أو التعبير عن خصائص كائنات مختلفة بواسطة كثير الحدود.

التعريفات ذات الصلة[ | ]

• نوع متعدد الحدود ج x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (displaystyle cx_ (1) ^ (i_ (1)) x_ (2) ^ (i_ (2)) cdots x_ (n) ^ (i_ (n)))اتصل أحاديأو أحاديمتعدد الفهرس أنا = (أنا 1 ، ... ، أنا n) (displaystyle I = (i_ (1) ، dots ، ، i_ (n))).
• أحادي المطابق لمؤشر متعدد أنا = (0، ...، 0) (displaystyle I = (0، dots،، 0))اتصل عضو مجاني.
• درجة كاملة(غير صفري) أحادي ج I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (displaystyle c_ (I) x_ (1) ^ (i_ (1)) x_ (2) ^ (i_ (2)) cdots x_ (n) ^ (i_ (ن)))يسمى عدد صحيح | أنا | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (displaystyle | I | = i_ (1) + i_ (2) + dots + i_ (n)).
• العديد من الفهارس المتعددة أناالتي من أجلها معاملات ج أنا (displaystyle c_ (I))غير الصفر يسمى الناقل متعدد الحدود، وهيكلها المحدب هو نيوتن متعدد السطوح.
• درجة كثير الحدودهو الحد الأقصى لقوى monomials الخاصة به. يتم تحديد درجة الصفر المتطابق من خلال القيمة - ∞ (displaystyle - infty).
• يسمى كثير الحدود الذي هو مجموع اثنين من monomials ذات الحدينأو ذات الحدين,
• يسمى كثير الحدود الذي هو مجموع ثلاثة مونومال ثلاثي.
• عادة ما تؤخذ معاملات كثير الحدود من حلقة تبادلية معينة ص (displaystyle R)(غالبًا الحقول ، مثل حقول الأرقام الحقيقية أو المركبة). في هذه الحالة ، فيما يتعلق بعمليات الجمع والضرب ، تشكل كثيرات الحدود حلقة (علاوة على ذلك ، الجبر الترابطي التبادلي على الحلقة ص (displaystyle R)بدون قواسم صفرية) والتي يتم الإشارة إليها R [x 1، x 2،…، x n]. (displaystyle R.)
• لكثير الحدود * * (displaystyle p (x))متغير واحد حل المعادلة * * = 0 (displaystyle p (x) = 0)يسمى جذرها.

وظائف كثيرة الحدود[ | ]

يترك أ (displaystyle A)هناك الجبر على الحلبة ص (displaystyle R). متعدد الحدود التعسفي * (س) ∈ R [x 1، x 2، ...، x n] (displaystyle p (x) in R)يحدد وظيفة كثيرة الحدود

* R: A → A (displaystyle p_ (R): A to A).

الحالة الأكثر دراسة أ = ص (displaystyle A = R).

إذا ص (displaystyle R)هو حقل من الأعداد الحقيقية أو المعقدة (مثل أي مجال آخر مع عدد لا حصر له من العناصر) ، الوظيفة و *: R n → R (displaystyle f_ (p): R ^ (n) to R)يحدد تماما كثير الحدود ص. ومع ذلك ، هذا ليس صحيحًا بشكل عام ، على سبيل المثال: كثيرات الحدود * * * (displaystyle p_ (1) (x) equiv x)و * 2 (x) ≡ x 2 (displaystyle p_ (2) (x) equiv x ^ (2))من Z 2 [x] (displaystyle mathbb (Z) _ (2) [x])تحديد وظائف متساوية بشكل مماثل Z 2 → Z 2 (displaystyle mathbb (Z) _ (2) to mathbb (Z) _ (2)).

تسمى دالة كثيرة الحدود لمتغير حقيقي واحد دالة كسرية كاملة.

أنواع كثيرات الحدود[ | ]

الخصائص [ | ]

قابلية التجزئة [ | ]

يشبه دور كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال في الحلقة متعددة الحدود دور الأعداد الأولية في حلقة الأعداد الصحيحة. على سبيل المثال ، النظرية صحيحة: إذا كان حاصل ضرب كثيرات الحدود pq (displaystyle pq)غير قابل للقسمة على كثير حدود غير قابل للاختزال ، إذن صأو فمقسومة على λ (displaystyle lambda). تتحلل كل كثير حدود بدرجة أكبر من الصفر في حقل معين إلى منتج من العوامل غير القابلة للاختزال بطريقة فريدة (حتى عوامل الدرجة صفر).

على سبيل المثال ، كثير الحدود × 4 - 2 (\ displaystyle x ^ (4) -2)، وهو أمر غير قابل للاختزال في مجال الأعداد المنطقية ، يتحلل إلى ثلاثة عوامل في مجال الأعداد الحقيقية وإلى أربعة عوامل في مجال الأعداد المركبة.

بشكل عام ، كل كثير الحدود في متغير واحد س (displaystyle x)يتحلل في مجال الأعداد الحقيقية إلى عوامل من الدرجة الأولى والثانية ، في مجال الأعداد المركبة - إلى عوامل من الدرجة الأولى (النظرية الرئيسية في الجبر).

بالنسبة لمتغيرين أو أكثر ، لم يعد من الممكن تأكيد ذلك. فوق أي مجال لأي n> 2 (displaystyle n> 2)هناك كثيرات الحدود من n (displaystyle n)المتغيرات غير القابلة للاختزال في أي امتداد لهذا المجال. تسمى كثيرات الحدود هذه بأنها غير قابلة للاختزال على الإطلاق.

بحكم التعريف ، كثير الحدود هو تعبير جبري يمثل مجموع المونوميرات.

على سبيل المثال: 2 * أ ^ 2 + 4 * أ * س ^ 7 - 3 * أ * ب ^ 3 + 4 ؛ 6 + 4 * b ^ 3 هي كثيرة الحدود ، والتعبير z / (x - x * y ^ 2 + 4) ليس كثير الحدود لأنه ليس مجموعًا من monomials. أحيانًا ما يُطلق على كثير الحدود أيضًا اسم متعدد الحدود ، وتكون أحادية الحدود جزءًا من كثير الحدود هي أعضاء في كثيرات الحدود أو أحادية الحدود.

المفهوم المعقد لكثير الحدود

إذا كانت كثيرة الحدود تتكون من مصطلحين ، فإنها تسمى ذات الحدين ، إذا كانت تتكون من ثلاثة - ثلاثي الحدود. لا يتم استخدام الأسماء ذات المصطلحات الأربعة وخمسة المصطلحات وغيرها ، وفي مثل هذه الحالات يقولون ببساطة ، متعدد الحدود. هذه الأسماء ، اعتمادًا على عدد المصطلحات ، تضع كل شيء في مكانه.

ويصبح المصطلح monomial بديهيًا. من وجهة نظر الرياضيات ، المونومال هو حالة خاصة لكثير الحدود. المونومال هو متعدد الحدود له مصطلح واحد فقط.

تمامًا مثل أحادي الحدود ، فإن كثيرة الحدود لها شكلها القياسي الخاص بها. الشكل القياسي لكثير الحدود هو تدوين متعدد الحدود حيث يتم كتابة جميع المونومرات المضمنة فيه كمصطلحات في شكل قياسي ويتم إعطاء مصطلحات مماثلة.

الشكل القياسي لكثيرات الحدود

يتمثل الإجراء الخاص بجلب كثير الحدود إلى النموذج القياسي في إحضار كل من المونوميرات إلى النموذج القياسي ، ثم إضافة كل هذه المونوميرات معًا. تسمى إضافة أعضاء متشابهين في كثير الحدود اختزال المصطلحات المتشابهة.
على سبيل المثال ، دعنا نعطي مصطلحات مماثلة في كثير الحدود 4 * a * b ^ 2 * c ^ 3 + 6 * a * b ^ 2 * c ^ 3 - a * b.

المصطلحات 4 * a * b ^ 2 * c ^ 3 و 6 * a * b ^ 2 * c ^ 3 متشابهة هنا. سيكون مجموع هذه الشروط هو الأحادي 10 * أ * ب ^ 2 * ج ^ 3. لذلك ، يمكن إعادة كتابة كثير الحدود الأصلي 4 * a * b ^ 2 * c ^ 3 + 6 * a * b ^ 2 * c ^ 3 - a * b كـ 10 * a * b ^ 2 * c ^ 3 - a * ب. سيكون هذا الإدخال هو الشكل القياسي لكثير الحدود.

من حقيقة أنه يمكن اختزال أي أحادية إلى الشكل القياسي ، فإنه يترتب على ذلك أيضًا أنه يمكن اختزال أي متعدد الحدود إلى الشكل القياسي.

عندما يتم تقليل كثير الحدود إلى الصيغة القياسية ، يمكننا التحدث عن مفهوم مثل درجة كثير الحدود. درجة كثير الحدود هي أكبر درجة من أحادية الحدود متضمنة في كثير حدود معين.
لذلك ، على سبيل المثال ، 1 + 4 * x ^ 3 - 5 * x ^ 3 * y ^ 2 هي كثيرة الحدود من الدرجة الخامسة ، نظرًا لأن الحد الأقصى لدرجات أحادية متضمنة في كثير الحدود (5 * x ^ 3 * y ^ 2) هي الخامسة.