الرقم العشري يتكون من جزأين مفصول بينهما بفاصلات. الجزء الأول عبارة عن وحدة عدد صحيح ، والجزء الثاني عبارة عن عشرات (إذا كان الرقم بعد الفاصلة العشرية واحدًا) ، ومئات (رقمان بعد الفاصلة العشرية ، مثل صفرين في المائة) ، وألفًا ، إلخ. لنلقِ نظرة على أمثلة الكسور العشرية: 0 ، 2 ؛ 7 ، 54 ؛ 235.448 ؛ 5.1 ؛ 6.32 ؛ 0.5 هذه كلها كسور عشرية. كيف تقوم بتحويل كسر عشري إلى كسر مشترك؟

مثال واحد

لدينا كسر ، على سبيل المثال ، 0.5. كما ذكر أعلاه ، يتكون من جزأين. الرقم الأول ، 0 ، يوضح عدد الوحدات الصحيحة في الكسر. في حالتنا ، هم ليسوا كذلك. الرقم الثاني يظهر العشرات. يقرأ الكسر حتى صفر فاصلة خمسة أعشار. عدد عشري تحويل إلى كسرالآن لن يكون الأمر صعبًا ، نكتب 5/10. إذا رأيت أن الأرقام لها قاسم مشترك ، فيمكنك تقليل الكسر. لدينا هذا الرقم 5 ، بقسمة كلا الجزأين من الكسر على 5 ، نحصل على - 1/2.

المثال الثاني

لنأخذ كسرًا أكثر تعقيدًا - 2.25. يُقرأ على هذا النحو - اثنان كامل وخمسة وعشرون جزءًا من مائة. انتبه - المئات ، حيث يوجد رقمان بعد الفاصلة العشرية. يمكنك الآن التحويل إلى كسر مشترك. نكتب - 2 25/100. الجزء الصحيح هو 2 ، والجزء الكسري 25/100. كما في المثال الأول ، يمكن تقصير هذا الجزء. المقسوم المشترك على 25 و 100 هو 25. لاحظ أننا نختار دائمًا القاسم المشترك الأكبر. بقسمة كلا الجزأين من الكسر على GCD ، حصلنا على 1/4. 2 ، 25 هي 2 1/4.

المثال الثالث

ولدمج المادة ، لنأخذ الكسر العشري 4.112 - أربعة أجزاء كاملة ومائة واثنا عشر ألفًا. أعتقد أن سبب ظهور جزء من الألف واضح. نكتب الآن 4 112/1000. وفقًا للخوارزمية ، نجد GCD للأرقام 112 و 1000. في حالتنا ، هذا هو الرقم 6. نحصل على 4 14/125.

استنتاج

1. نقوم بتقسيم الكسر إلى عدد صحيح وأجزاء كسرية.
2. ننظر إلى عدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية. إذا كان واحد عشرات ، اثنان هو مئات ، ثلاثة هو جزء من الألف ، إلخ.
3. نكتب الكسر بالشكل المعتاد.
4. نختزل بسط الكسر ومقامه.
5. اكتب الكسر الناتج.
6. نجري فحصًا ، ونقسم الجزء العلوي من الكسر على الجزء السفلي. إذا كان هناك جزء صحيح ، أضفه إلى الكسر العشري الناتج. اتضح أن النسخة الأصلية - رائعة ، لذلك فعلت كل شيء بشكل صحيح.

باستخدام الأمثلة ، أوضحت كيف يمكنك تحويل كسر عشري إلى كسر عادي. كما ترى ، من السهل جدًا القيام بذلك.

الكسور

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

الكسور في المدرسة الثانوية ليست مزعجة للغاية. في الوقت الحاضر. حتى تصادف الأسس ذات الأسس المنطقية واللوغاريتمات. و هناك…. تضغط ، تضغط على الآلة الحاسبة ، وتعرض جميع لوحة النتائج الكاملة لبعض الأرقام. عليك التفكير برأسك ، كما في الصف الثالث.

دعونا نتعامل مع الكسور ، أخيرًا! حسنًا ، كم يمكن أن تشعر بالارتباك فيهم !؟ علاوة على ذلك ، كل شيء بسيط ومنطقي. لذا، ما هي الكسور؟

أنواع الكسور. التحولات.

الكسور من ثلاثة أنواع.

1. الكسور المشتركة ، فمثلا:

في بعض الأحيان ، بدلاً من الخط الأفقي ، يضعون شرطة مائلة: 1/2 ، 3/4 ، 19/5 ، حسنًا ، وهكذا. هنا سنستخدم هذا التهجئة غالبًا. أعلى رقم يسمى البسط، أدنى - المقام - صفة مشتركة - حالة.إذا كنت تخلط بين هذه الأسماء باستمرار (يحدث ...) ، أخبر نفسك العبارة بالتعبير: " ززززتذكر! ززززالمقام - خارج zzzz u! "انظر ، كل شيء سوف يتم تذكره.)

الشرطة الأفقية المائلة تعني قطاعالرقم العلوي (البسط) إلى الرقم السفلي (المقام). وهذا كل شيء! بدلاً من الشرطة ، من الممكن تمامًا وضع علامة قسمة - نقطتان.

عندما يكون الانقسام ممكنًا تمامًا ، يجب أن يتم ذلك. لذلك ، بدلاً من الكسر "32/8" ، من الأفضل كتابة الرقم "4". أولئك. 32 تقسم ببساطة على 8.

32/8 = 32: 8 = 4

أنا لا أتحدث عن الكسر "4/1". وهو أيضًا "4" فقط. وإذا لم تنقسم بشكل كامل ، نتركها على شكل كسر. في بعض الأحيان عليك أن تفعل العكس. اصنع كسرًا من عدد صحيح. ولكن أكثر عن ذلك لاحقا.

2. الكسور العشرية ، فمثلا:

في هذا الشكل سيكون من الضروري تدوين الإجابات على المهام "ب".

3. أعداد مختلطة ، فمثلا:

لا يتم استخدام الأرقام المختلطة عمليًا في المدرسة الثانوية. من أجل العمل معهم ، يجب تحويلهم إلى كسور عادية. لكنك بالتأكيد بحاجة إلى معرفة كيفية القيام بذلك! وبعد ذلك سيظهر هذا الرقم في اللغز ويتدلى ... من الصفر. لكننا نتذكر هذا الإجراء! أقل قليلا.

أكثر تنوعا الكسور المشتركة. لنبدأ معهم. بالمناسبة ، إذا كان هناك كل أنواع اللوغاريتمات والجيب والحروف الأخرى في الكسر ، فهذا لا يغير شيئًا. بمعنى أن كل شيء لا تختلف الإجراءات ذات التعبيرات الكسرية عن الإجراءات ذات الكسور العادية!

الخاصية الأساسية لكسر.

إذا هيا بنا! بادئ ذي بدء ، سأفاجئك. يتم توفير مجموعة كاملة من تحويلات الكسور من خلال خاصية واحدة! هذا ما يسمى الخاصية الأساسية لكسر. تذكر: إذا تم ضرب (قسمة) بسط الكسر في نفس العدد ، فلن يتغير الكسر.أولئك:

من الواضح أنه يمكنك الكتابة أكثر حتى يصبح وجهك أزرق. لا تدع الجيوب واللوغاريتمات تربكك ، وسنتعامل معها بشكل أكبر. الشيء الرئيسي الذي يجب فهمه هو أن كل هذه التعبيرات المختلفة نفس الكسر . 2/3.

ونحن بحاجة إليها ، كل هذه التحولات؟ وكيف! الآن سترى بنفسك. أولًا ، دعنا نستخدم الخاصية الأساسية لكسر من أجل اختصارات الكسر. يبدو أن الشيء بدائي. نقسم البسط والمقام على نفس العدد وهذا كل شيء! من المستحيل أن تخطئ! لكن ... الإنسان كائن مبدع. يمكنك ارتكاب الأخطاء في كل مكان! خاصة إذا كان عليك تقليل ليس كسرًا مثل 5/10 ، ولكن تعبيرًا كسريًا بجميع أنواع الأحرف.

يمكن العثور على كيفية تقليل الكسور بشكل صحيح وسريع دون القيام بعمل غير ضروري في القسم الخاص 555.

الطالب العادي لا يكلف نفسه عناء قسمة البسط والمقام على نفس الرقم (أو التعبير)! إنه يشطب كل شيء كما هو من أعلى وأسفل! هذا هو المكان الذي يكمن فيه خطأ نموذجي ، خطأ فادح ، إذا أردت.

على سبيل المثال ، تحتاج إلى تبسيط التعبير:

لا يوجد شيء للتفكير فيه ، نقوم بشطب الحرف "أ" من الأعلى والشيطان من الأسفل! نحن نحصل:

كل شيء صحيح. لكن في الحقيقة أنت تشارك الكل البسط و الكل المقام "أ". إذا كنت معتادًا على الشطب ، فعندئذٍ ، على عجل ، يمكنك شطب "أ" في التعبير

واحصل مرة أخرى

الذي سيكون خاطئًا بشكل قاطع. لأن هنا الكلبسط على "أ" بالفعل غير مشارك! لا يمكن اختزال هذا الكسر. بالمناسبة ، هذا الاختصار يمثل تحديًا خطيرًا للمعلم. هذا لا يغفر! تذكر؟ عند التقليل ، من الضروري الانقسام الكل البسط و الكل المقام - صفة مشتركة - حالة!

اختزال الكسور يجعل الحياة أسهل كثيرًا. ستحصل على كسر في مكان ما ، على سبيل المثال 375/1000. وكيف تعمل معها الآن؟ بدون آلة حاسبة؟ اضرب ، قل ، أضف ، تربيع !؟ وإذا لم تكن كسولًا جدًا ، فعليك التقليل بعناية بمقدار خمسة ، وحتى خمسة ، وحتى ... أثناء تقليله ، باختصار. نحصل على 3/8! أجمل بكثير ، أليس كذلك؟

تسمح لك الخاصية الأساسية للكسر بتحويل الكسور العادية إلى الكسور العشرية والعكس صحيح بدون آلة حاسبة! هذا مهم للامتحان ، صحيح؟

كيفية تحويل الكسور من شكل إلى آخر.

إنه سهل مع الكسور العشرية. كما يسمع هكذا هو مكتوب! لنفترض 0.25. إنها نقطة الصفر ، خمسة وعشرون جزءًا من مائة. لذلك نكتب: 25/100. نخفض (نقسم البسط والمقام على 25) ، نحصل على الكسر المعتاد: 1/4. كل شىء. يحدث ذلك ، ولا يتم تقليل أي شيء. مثل 0.3. هذه ثلاثة أعشار أي. 3/10.

ماذا لو كانت الأعداد الصحيحة ليست صفرية؟ كل شيء على مايرام. اكتب الكسر كله بدون أي فواصلفي البسط وفي المقام - ما يسمع. على سبيل المثال: 3.17. هذا هو ثلاثة أجزاء كاملة ، وسبعة عشر جزء من مائة. نكتب 317 في البسط و 100 في المقام ، ونحصل على 317/100. لا شيء يتم اختزاله ، هذا يعني كل شيء. هذا هو الجواب. الابتدائية واتسون! من كل ما سبق ، استنتاج مفيد: يمكن تحويل أي كسر عشري إلى كسر مشترك .

لكن التحويل العكسي ، العادي إلى العشري ، لا يستطيع البعض الاستغناء عن الآلة الحاسبة. لكن يتوجب عليك! كيف ستكتب الإجابة في الامتحان !؟ نقرأ بعناية ونتقن هذه العملية.

ما هو الكسر العشري؟ لديها في المقام دائماًتساوي 10 أو 100 أو 1000 أو 10000 وما إلى ذلك. إذا كان للكسر المعتاد مثل هذا المقام ، فلا توجد مشكلة. على سبيل المثال ، 4/10 = 0.4. أو 7/100 = 0.07. أو 12/10 = 1.2. وإذا كان في الإجابة على مهمة القسم "ب" اتضح 1/2؟ ماذا نكتب ردا على ذلك؟ الكسور العشرية مطلوبة ...

نحن نتذكر الخاصية الأساسية لكسر ! تسمح لك الرياضيات بشكل إيجابي بضرب البسط والمقام في نفس الرقم. بالمناسبة لأي شخص! ماعدا صفر بالطبع. دعونا نستخدم هذه الميزة لصالحنا! بماذا يضرب المقام أي. 2 بحيث تصبح 10 أو 100 أو 1000 (الأصغر أفضل بالطبع ...)؟ 5 ، من الواضح. لا تتردد في ضرب المقام (هذا نحنضروري) في 5. ولكن ، يجب أيضًا ضرب البسط في 5. هذا بالفعل رياضياتحفز! نحصل على 1/2 \ u003d 1x5 / 2x5 \ u003d 5/10 \ u003d 0.5. هذا كل شئ.

ومع ذلك ، تأتي جميع أنواع القواسم. على سبيل المثال ، يقع الكسر 3/16. جربها ، واكتشف ما الذي ستضربه في 16 لتحصل على 100 ، أو 1000 ... لا تعمل؟ ثم يمكنك ببساطة قسمة 3 على 16. في حالة عدم وجود آلة حاسبة ، سيتعين عليك التقسيم في زاوية ، على قطعة من الورق ، كما درسوا في الصفوف الابتدائية. حصلنا على 0.1875.

وهناك بعض القواسم السيئة للغاية. على سبيل المثال ، لا يمكن تحويل الكسر 1/3 إلى رقم عشري جيد. نحصل على 0.3333333 على الآلة الحاسبة وعلى قطعة من الورق ... وهذا يعني أن 1/3 في كسر عشري دقيق لا يترجم. تمامًا مثل 1/7 و 5/6 وما إلى ذلك. كثير منها غير قابل للترجمة. ومن ثم استنتاج آخر مفيد. لا يتم تحويل كل كسر مشترك إلى عدد عشري. !

بالمناسبة ، هذه معلومات مفيدة للفحص الذاتي. في القسم "ب" ردًا على ذلك ، تحتاج إلى كتابة كسر عشري. وحصلت ، على سبيل المثال ، على 4/3. لم يتم تحويل هذا الكسر إلى رقم عشري. هذا يعني أنك ارتكبت خطأ في مكان ما على طول الطريق! تعال ، تحقق من الحل.

لذلك ، مع الكسور العادية والعشرية مرتبة. يبقى التعامل مع الأرقام المختلطة. للعمل معهم ، يجب تحويلهم جميعًا إلى كسور عادية. كيف افعلها؟ يمكنك أن تلحق بطالب في الصف السادس وتسأله. ولكن لن يكون هناك دائمًا طالب بالصف السادس في متناول اليد ... سيتعين علينا القيام بذلك بأنفسنا. هذا ليس بالأمر الصعب. اضرب مقام الجزء الكسري في الجزء الصحيح وأضف بسط الجزء الكسري. سيكون هذا هو بسط الكسر المشترك. ماذا عن المقام؟ سيبقى المقام كما هو. يبدو الأمر معقدًا ، لكنه في الواقع بسيط للغاية. دعونا نرى مثالا.

دع المشكلة التي رأيتها برعب الرقم:

بهدوء ، دون ذعر ، نحن نفهم. الجزء الكامل هو 1. واحد. الجزء الكسري 3/7. إذن ، مقام الجزء الكسري هو 7. هذا المقام سيكون مقام الكسر العادي. نحسب البسط. نضرب 7 في 1 (الجزء الصحيح) ونضيف 3 (بسط الجزء الكسري). نحصل على 10. سيكون هذا هو بسط الكسر العادي. هذا كل شئ. يبدو أبسط في التدوين الرياضي:

بوضوح؟ ثم اضمن نجاحك! حوّل إلى كسور مشتركة. يجب أن تحصل على 10/7 و 7/2 و 23/10 و 21/4.

نادراً ما تكون العملية العكسية - تحويل جزء غير لائق إلى رقم مختلط - مطلوبة في المدرسة الثانوية. حسنًا ، إذا ... وإذا كنت - لست في المدرسة الثانوية - يمكنك النظر في القسم 555 الخاص. بالمناسبة ، في نفس المكان ، ستتعرف على الكسور غير الصحيحة.

حسنًا ، كل شيء تقريبًا. لقد تذكرت أنواع الكسور وفهمت كيف تحويلها من نوع إلى آخر. يبقى السؤال: لماذا افعلها؟ أين ومتى تطبق هذه المعرفة العميقة؟

أجيب. أي مثال في حد ذاته يقترح الإجراءات اللازمة. إذا تم خلط الكسور العادية والأعداد العشرية وحتى الأعداد المختلطة في المثال في مجموعة ، فإننا نترجم كل شيء إلى كسور عادية. يمكن دائما القيام به. حسنًا ، إذا تمت كتابة شيء مثل 0.8 + 0.3 ، فإننا نعتقد ذلك ، بدون أي ترجمة. لماذا نحتاج إلى عمل إضافي؟ نختار الحل المناسب نحن !

إذا كانت المهمة مليئة بالكسور العشرية ، لكن ... نوعًا من الأشرار ، انتقل إلى الكسور العادية ، جربها! انظر ، كل شيء سيكون على ما يرام. على سبيل المثال ، عليك تربيع الرقم 0.125. ليس بهذه السهولة إذا لم تفقد عادة الآلة الحاسبة! لا تحتاج فقط إلى مضاعفة الأرقام في عمود ، ولكن عليك أيضًا التفكير في مكان إدراج الفاصلة! بالتأكيد لا يعمل في ذهني! وإذا ذهبت إلى كسر عادي؟

0.125 = 125/1000. نخفض بمقدار 5 (هذا بالنسبة للمبتدئين). نحصل على 25/200. مرة أخرى في 5. نحصل على 5/40. أوه ، إنه يتقلص! العودة إلى 5! نحصل على 1/8. تربيع بسهولة (في عقلك!) واحصل على 1/64. كل شىء!

دعونا نلخص هذا الدرس.

1. هناك ثلاثة أنواع من الكسور. الأعداد العادية والعشرية والمختلطة.

2. الكسور العشرية والأعداد الكسرية دائماًيمكن تحويلها إلى كسور مشتركة. الترجمة العكسية ليس دائمامتوفرة.

3. اختيار نوع الكسور للعمل مع المهمة يعتمد على هذه المهمة بالذات. إذا كانت هناك أنواع مختلفة من الكسور في مهمة واحدة ، فإن الشيء الأكثر موثوقية هو التبديل إلى الكسور العادية.

الآن يمكنك التدرب. أولاً ، قم بتحويل هذه الكسور العشرية إلى كسور عادية:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

يجب أن تحصل على إجابات مثل هذه (في حالة فوضى!):

على هذا سننتهي. في هذا الدرس ، صقلنا النقاط الأساسية في الكسور. يحدث ، مع ذلك ، أنه لا يوجد شيء خاص للتحديث ...) إذا نسي شخص ما ذلك تمامًا ، أو لم يتقن ذلك بعد ... يمكن أن يذهب هؤلاء إلى القسم 555 الخاص. يتم تفصيل جميع الأساسيات هناك. فجأة الكثير يفهم كل شئتبدأ. ويحلون الكسور على الطاير).

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

إذا احتجنا إلى قسمة 497 على 4 ، فعند القسمة ، سنرى أن 497 لا تقبل القسمة على 4 ، أي يبقى ما تبقى من الانقسام. في مثل هذه الحالات ، يقال أن قسمة مع الباقي، والحل مكتوب على النحو التالي:
497: 4 = 124 (باقٍ واحد).

تسمى مكونات القسمة على الجانب الأيسر من المساواة كما هو الحال في القسمة دون الباقي: 497 - توزيعات ارباح, 4 - مقسم. يتم استدعاء نتيجة القسمة عند القسمة على الباقي خاص غير مكتمل. في حالتنا ، هذا الرقم هو 124. وأخيرًا ، العنصر الأخير ، الذي ليس في القسمة المعتادة ، هو بقية. عندما لا يوجد باق ، يقال أن أحد الأرقام مقسوم على آخر. بدون أثر ، أو كليًا. يُعتقد أنه مع هذا التقسيم ، يكون الباقي صفرًا. في حالتنا ، الباقي هو 1.

الباقي دائمًا أقل من المقسوم عليه.

يمكنك التحقق عند القسمة بالضرب. إذا كان هناك ، على سبيل المثال ، مساواة 64: 32 = 2 ، فيمكن إجراء الفحص على النحو التالي: 64 = 32 * 2.

في كثير من الأحيان في الحالات التي يتم فيها التقسيم مع الباقي ، يكون من المناسب استخدام المساواة
أ \ u003d ب * n + ص ،
حيث a هو المقسوم ، b هو القاسم ، n هو حاصل القسمة الجزئي ، r هو الباقي.

يمكن كتابة حاصل قسمة الأعداد الطبيعية في صورة كسر.

بسط الكسر هو المقسوم ، والمقام هو المقسوم عليه.

بما أن بسط الكسر هو المقسوم والمقام هو المقسوم عليه ، نعتقد أن خط الكسر يعني فعل القسمة. أحيانًا يكون من المناسب كتابة القسمة على شكل كسر بدون استخدام علامة ":".

يمكن كتابة حاصل قسمة الأعداد الطبيعية m و n في صورة كسر \ (\ frac (m) (n) \) ، حيث يكون البسط m هو المقسوم ، والمقام n هو القاسم:
\ (م: n = \ فارك (م) (ن) \)

القواعد التالية صحيحة:

للحصول على كسر \ (\ frac (m) (n) \) ، تحتاج إلى تقسيم الوحدة إلى n أجزاء متساوية (مشاركات) واتخاذ m هذه الأجزاء.

للحصول على الكسر \ (\ frac (m) (n) \) ، تحتاج إلى قسمة الرقم م على الرقم ن.

لإيجاد جزء من الكل ، عليك قسمة الرقم المقابل للكل على المقام وضرب الناتج في بسط الكسر الذي يعبر عن هذا الجزء.

لإيجاد الكل من أجزائه ، عليك قسمة الرقم المقابل لهذا الجزء على البسط وضرب الناتج في مقام الكسر الذي يعبر عن هذا الجزء.

إذا تم ضرب كل من البسط والمقام في نفس الرقم (باستثناء الصفر) ، فلن تتغير قيمة الكسر:
\ (\ كبير \ frac (أ) (ب) = \ فارك (a \ cdot n) (ب \ cdot n) \)

إذا تم تقسيم كل من البسط والمقام على نفس الرقم (باستثناء الصفر) ، فلن تتغير قيمة الكسر:
\ (\ كبير \ فارك (أ) (ب) = \ فارك (أ: م) (ب: م) \)
هذه الخاصية تسمى الخاصية الأساسية لكسر.

يتم استدعاء التحولين الأخيرين تخفيض الكسر.

إذا كانت الكسور بحاجة إلى تمثيلها ككسور لها نفس المقام ، فسيتم استدعاء هذا الإجراء اختزال الكسور إلى قاسم مشترك.

الكسور الصحيحة وغير الصحيحة. أعداد مختلطة

أنت تعلم بالفعل أنه يمكن الحصول على كسر بتقسيم الكل إلى أجزاء متساوية وأخذ عدة أجزاء من هذا القبيل. على سبيل المثال ، الكسر \ (\ frac (3) (4) \) يعني ثلاثة أرباع واحد. في العديد من المشاكل في القسم السابق ، تم استخدام الكسور للإشارة إلى جزء من الكل. يفرض الفطرة السليمة أن الجزء يجب أن يكون دائمًا أقل من الكل ، ولكن ماذا عن الكسور مثل \ (\ frac (5) (5) \) أو \ (\ frac (8) (5) \)؟ من الواضح أن هذا لم يعد جزءًا من الوحدة. ربما هذا هو سبب استدعاء هذه الكسور ، التي يكون فيها البسط أكبر من المقام أو مساويًا له الكسور غير الصحيحة. تسمى الكسور المتبقية ، أي الكسور التي يكون فيها البسط أقل من المقام الكسور المناسبة.

كما تعلم ، يمكن اعتبار أي كسر عادي ، سواء كان صحيحًا أو غير مناسب ، نتيجة قسمة البسط على المقام. لذلك ، في الرياضيات ، على عكس اللغة العادية ، لا يعني مصطلح "الكسر غير المناسب" أننا ارتكبنا شيئًا خاطئًا ، ولكن فقط أن هذا الكسر به بسط أكبر من مقامه أو مساويًا له.

إذا كان الرقم يتكون من جزء صحيح وكسر ، إذن هذا تسمى الكسور مختلطة.

فمثلا:
\ (5: 3 = 1 \ frac (2) (3) \): 1 هو الجزء الصحيح و \ (\ frac (2) (3) \) هو الجزء الكسري.

إذا كان بسط الكسر \ (\ frac (a) (b) \) قابلاً للقسمة على رقم طبيعي n ، فيجب قسمة البسط على هذا الرقم:
\ (\ كبير \ فارك (أ) (ب): n = \ فارك (أ: n) (ب) \)

إذا كان بسط الكسر \ (\ frac (a) (b) \) غير قابل للقسمة على رقم طبيعي n ، فعند قسمة هذا الكسر على n ، تحتاج إلى ضرب مقامه بهذا الرقم:
\ (\ كبير \ فارك (أ) (ب): n = \ فارك (أ) (مليار دولار) \)

لاحظ أن القاعدة الثانية صالحة أيضًا عندما يكون البسط قابلاً للقسمة على n. لذلك ، يمكننا استخدامه عندما يصعب للوهلة الأولى تحديد ما إذا كان بسط الكسر يقبل القسمة على n أم لا.

الأفعال مع الكسور. جمع الكسور.

باستخدام الأعداد الكسرية ، كما هو الحال مع الأعداد الطبيعية ، يمكنك إجراء عمليات حسابية. لنلق نظرة على جمع الكسور أولًا. من السهل إضافة كسور لها نفس القواسم. ابحث ، على سبيل المثال ، عن مجموع \ (\ frac (2) (7) \) و \ (\ frac (3) (7) \). من السهل رؤية ذلك \ (\ frac (2) (7) + \ frac (2) (7) = \ frac (5) (7) \)

لإضافة كسور لها نفس المقامات ، عليك أن تجمع البسط وتترك المقام كما هو.

باستخدام الحروف ، يمكن كتابة قاعدة جمع الكسور بنفس القواسم على النحو التالي:
\ (\ كبير \ فارك (أ) (ج) + \ فارك (ب) (ج) = \ فارك (أ + ب) (ج) \)

إذا كنت تريد جمع كسور ذات مقامات مختلفة ، فيجب أولاً اختزالها إلى مقام مشترك. فمثلا:
\ (\ كبير \ frac (2) (3) + \ frac (4) (5) = \ frac (2 \ cdot 5) (3 \ cdot 5) + \ frac (4 \ cdot 3) (5 \ cdot 3 ) = \ frac (10) (15) + \ frac (12) (15) = \ frac (10 + 12) (15) = \ frac (22) (15) \)

بالنسبة للكسور ، وكذلك للأعداد الطبيعية ، فإن الخواص التبادلية والترابطية للإضافة صالحة.

إضافة الكسور المختلطة

يتم استدعاء التسجيلات مثل \ (2 \ frac (2) (3) \) كسور مختلطة. الرقم 2 يسمى الجزء الكاملكسر مختلط ، والرقم \ (\ frac (2) (3) \) هو رقمه الجزء الكسري. يُقرأ الإدخال \ (2 \ frac (2) (3) \) على النحو التالي: "ثلثان وثلثا".

ينتج عن قسمة الرقم 8 على الرقم 3 إجابتين: \ (\ frac (8) (3) \) و \ (2 \ frac (2) (3) \). يعبرون عن نفس العدد الكسري ، أي \ (\ frac (8) (3) = 2 \ frac (2) (3) \)

وبالتالي ، يتم تمثيل الكسر غير الصحيح \ (\ frac (8) (3) \) ككسر مختلط \ (2 \ frac (2) (3) \). في مثل هذه الحالات ، يقولون ذلك من كسر غير حقيقي خص بكامل.

طرح الكسور (أعداد كسرية)

يتم تحديد طرح الأعداد الكسرية ، وكذلك الأعداد الطبيعية ، على أساس إجراء الجمع: يعني طرح آخر من رقم واحد إيجاد رقم يعطي الأول ، عند إضافته إلى الثاني. فمثلا:
\ (\ frac (8) (9) - \ frac (1) (9) = \ frac (7) (9) \) منذ \ (\ frac (7) (9) + \ frac (1) (9) = \ فارك (8) (9) \)

قاعدة طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة مشابهة لقاعدة إضافة هذه الكسور:
لإيجاد الفرق بين الكسور ذات المقامات نفسها ، اطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول واترك المقام كما هو.

باستخدام الحروف ، تتم كتابة هذه القاعدة على النحو التالي:
\ (\ كبير \ فارك (أ) (ج) - \ فارك (ب) (ج) = \ فارك (أ-ب) (ج) \)

ضرب الكسور

لضرب كسر في كسر ، عليك ضرب البسط والمقام وكتابة المنتج الأول كبسط والثاني في المقام.

باستخدام الحروف ، يمكن كتابة قاعدة ضرب الكسور على النحو التالي:
\ (\ كبير \ فارك (أ) (ب) \ cdot \ فارك (ج) (د) = \ فارك (أ \ cdot ج) (ب \ قرص د) \)

باستخدام القاعدة المصاغة ، من الممكن ضرب كسر في عدد طبيعي ، في كسر مختلط ، وكذلك ضرب الكسور المختلطة. للقيام بذلك ، عليك كتابة عدد طبيعي في صورة كسر مقامه 1 ، وكسر مختلط ككسر غير فعلي.

يجب تبسيط نتيجة الضرب (إن أمكن) عن طريق تقليل الكسر وإبراز الجزء الصحيح من الكسر غير الصحيح.

بالنسبة للكسور ، وكذلك للأعداد الطبيعية ، فإن الخصائص التبادلية والترابطية للضرب صحيحة ، بالإضافة إلى خاصية التوزيع للضرب فيما يتعلق بالإضافة.

قسمة الكسور

خذ الكسر \ (\ frac (2) (3) \) و "اقلبه" بتبديل البسط والمقام. نحصل على الكسر \ (\ frac (3) (2) \). هذا الكسر يسمى يعكسالكسور \ (\ frac (2) (3) \).

إذا "عكسنا" الكسر \ (\ frac (3) (2) \) ، فسنحصل على الكسر الأصلي \ (\ frac (2) (3) \). لذلك ، يتم استدعاء الكسور مثل \ (\ frac (2) (3) \) و \ (\ frac (3) (2) \) متبادل معكوس.

على سبيل المثال ، الكسور \ (\ frac (6) (5) \) و \ (\ frac (5) (6) \) ، \ (\ frac (7) (18) \) و \ (\ frac (18) ) (7) \).

باستخدام الأحرف ، يمكن كتابة الكسور العكسية على النحو التالي: \ (\ frac (a) (b) \) و \ (\ frac (b) (a) \)

فمن الواضح أن حاصل ضرب الكسور المقلوبة هو 1. على سبيل المثال: \ (\ frac (2) (3) \ cdot \ frac (3) (2) = 1 \)

باستخدام الكسور المقلوبة ، يمكن اختزال قسمة الكسور إلى عملية الضرب.

قاعدة قسمة الكسر على الكسر:
لقسمة كسر على آخر ، تحتاج إلى ضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه.

باستخدام الحروف ، يمكن كتابة قاعدة قسمة الكسور على النحو التالي:
\ (\ كبير \ فارك (أ) (ب): \ فارك (ج) (د) = \ فارك (أ) (ب) \ cdot \ فارك (د) (ج) \)

إذا كان المقسوم أو المقسوم عددًا طبيعيًا أو كسرًا مختلطًا ، فمن أجل استخدام قاعدة قسمة الكسور ، يجب أولاً تمثيله ككسر غير لائق.

للإجابة على هذا السؤال ، من الضروري دراسة قدر معين من المادة النظرية. سأجيب على السؤال في شكل خوارزمية ، ولتحسين الفهم ، سأقدم مثالاً.

ما هو الكسر العشري والمختلط

الكسر العشري هو رقم به باقي ، والباقي مكتوب على نفس السطر مثل الجزء الصحيح ، بعد الفاصلة العشرية. مثال عشري: 3.5. الكسر المختلط هو رقم به باقي ، ولكن على عكس الكسر العشري ، يتم كتابة الباقي في صورة كسر بسيط. كقاعدة عامة ، يتم ترك الرقم في كسر مختلط بسبب استحالة تحويل الرقم إلى كسر عشري ، أو لأنه من الأسهل حل المشكلة بهذه الطريقة. مثال على الكسر المختلط: 2 1/3.

كيفية تحويل كسر مختلط إلى كسر عشري؟

كما قلت في البداية ، من أجل شرح أكثر قابلية للفهم ، سأستخدم خوارزمية ويمكن القيام بذلك بطريقتين.

الطريقة الأولى:

1. أولاً ، قم بتحويل الكسر المختلط إلى كسر غير مناسب ، أي اضرب الجزء كله في المقام وأضف البسط إلى هذا الرقم.
2. ثم اقسم البسط على المقام.
3. اكتب الجواب.

الطريقة الثانية:

1. اقسم البسط على المقام دون لمس الجزء كله.
2. بعد الجزء الصحيح ، أضف فاصلة واكتب الرقم الذي تم الحصول عليه نتيجة القسمة في الفقرة الأولى. ولكن إذا حصلت أثناء عملية القسمة على رقم به جزء صحيح ، فستحتاج إلى إضافته إلى الجزء الصحيح الوارد في المثال.
3. اكتب الجواب.

مثال على تحويل كسر مختلط إلى كسر عشري

على سبيل المثال ، سأستخدم الطريقة الأولى:

1. 4 1/4= 17/3;
2. 17/4= 4,25.
3. الجواب: 4.25.

جميع الكسور مقسمة إلى نوعين: عادي وعشري. تسمى الكسور من هذا النوع عادية: 9 / 8.3 / 4.1 / 2.1 3/4. يميزان الرقم العلوي (البسط) والرقم السفلي (المقام). عندما يكون البسط أقل من المقام ، يسمى الكسر مناسبًا ، وإلا فسيكون الكسر غير صحيح. تتكون الكسور مثل 1 7/8 من جزء صحيح (1) وجزء كسري (7/8) وتسمى مختلطة.

إذن الكسور هي:

1. عادي
   1. صحيح
   2. خاطئ - ظلم - يظلم
   3. مختلط
2. عدد عشري

كيفية تحويل كسر مشترك إلى كسر عشري

كيفية تحويل كسر عادي إلى كسر عشري ، يقوم بتدريس مقرر رياضيات المدرسة الأساسية. كل شيء بسيط للغاية: تحتاج إلى تقسيم البسط على المقام "يدويًا" أو ، إذا كنت كسولًا تمامًا ، فعندئذٍ على آلة حاسبة صغيرة. هذا مثال: 2/5 = 0.4 ؛ 3/4 = 0.75 ؛ 1/2 = 0.5. ليس من الصعب التحويل إلى كسر عشري غير فعلي. مثال: 1/3/4 = 7/4 = 1.75. يمكن الحصول على النتيجة الأخيرة بدون قسمة ، إذا أخذنا في الاعتبار أن 3/4 = 0.75 وأضفنا واحدًا: 1 ​​+ 0.75 = 1.75.

ومع ذلك ، ليست كل الكسور العادية بهذه البساطة. على سبيل المثال ، لنحاول تحويل 1/3 من الكسور العادية إلى الكسور العشرية. حتى أولئك الذين لديهم ثلاثية في الرياضيات (وفقًا لنظام من خمس نقاط) سيلاحظون أنه ، بغض النظر عن المدة التي يستمر فيها التقسيم ، بعد الصفر والفاصلة سيكون هناك عدد لا حصر له من الثلاثيات 1/3 = 0.3333 ... . . من المعتاد أن تقرأ ما يلي: صفر أعداد صحيحة ، ثلاثة في فترة. هو مكتوب على النحو التالي: 1/3 = 0 ، (3). سيحدث موقف مشابه إذا حاولت تحويل 5/6 إلى كسر عشري: 5/6 = 0.8 (3). تسمى هذه الكسور دورية لانهائية. فيما يلي مثال للكسر 3/7: 3/7 = 0.... ، أي 3/7 = 0 ، (428571).

لذلك ، نتيجة لتحويل الكسر العادي إلى عدد عشري ، يمكن للمرء الحصول على:

1. عشري غير دوري
2. عشري دوري.

وتجدر الإشارة إلى أن هناك أيضًا كسورًا غير دورية لا نهائية ، يتم الحصول عليها من خلال تنفيذ مثل هذه الإجراءات: أخذ جذر الدرجة n ، وأخذ اللوغاريتمات ، وتقوية. على سبيل المثال ، √3 = 1.732050807568877…. الرقم الشهير π≈ 3.1415926535897932384626433832795…. .

لنضرب الآن 3 في 0 ، (3): 3 × 0 ، (3) = 0 ، (9) = 1. اتضح أن 0 ، (9) هو شكل مختلف لكتابة الوحدة. وبالمثل ، 9 = 9 / 9.16 = 16.0 ، إلخ.

السؤال المقابل للسؤال الوارد في عنوان هذه المقالة مشروع أيضًا: "كيفية تحويل كسر عشري إلى كسر عادي". الإجابة على هذا السؤال تعطي مثالاً: 0.5 = 5/10 = 1/2. في المثال الأخير ، قمنا بخفض بسط ومقام الكسر 5/10 بمقدار 5. أي لتحويل الكسر العشري إلى كسر عادي ، عليك تمثيله في صورة كسر مقامه 10.

سيكون من الممتع مشاهدة مقطع فيديو حول الكسور بشكل عام:

لمعرفة كيفية تحويل عدد عشري إلى كسر مشترك ، انظر هنا: