جميع الحلول الصحيحة للمتباينة. المتباينات الخطية ، الأمثلة ، الحلول

عدم المساواةهو تعبير به أو ≥. على سبيل المثال ، 3x - 5 لحل متباينة يعني إيجاد جميع قيم المتغيرات التي تكون هذه المتباينة صحيحة. كل من هذه الأرقام هو حل للمتباينة ، ومجموعة كل هذه الحلول هي لها العديد من الحلول. تسمى المتباينات التي لها نفس مجموعة الحلول عدم المساواة المكافئة.

المتباينات الخطية

مبادئ حل عدم المساواة مماثلة لمبادئ حل المعادلات.

مبادئ حل عدم المساواة
لأية أعداد حقيقية أ ، ب ، ج:
مبدأ إضافة المتباينات: اذا كان مبدأ الضرب لعدم المساواة: إذا كان 0 صحيحًا ، فعندئذٍ ac إذا كان bc صحيحًا أيضًا.
تنطبق عبارات مماثلة أيضًا على أ ≤ ب.

عندما يتم ضرب طرفي المتباينة في عدد سالب ، يجب عكس علامة المتباينة.
يتم استدعاء المتباينات من المستوى الأول ، كما في المثال 1 (أدناه) المتباينات الخطية.

مثال 1حل كل من المتباينات التالية. ثم ارسم مجموعة من الحلول.
أ) 3 س - 5 ب) 13-7 س ≥ 10x - 4
المحلول
أي عدد أقل من 11/5 هو حل.
مجموعة الحلول هي (x | x
لإجراء فحص ، يمكننا رسم y 1 = 3x - 5 و y 2 = 6 - 2x. ثم يمكن ملاحظة ذلك من هنا بالنسبة لـ x
مجموعة الحلول هي (x | x ≤ 1) أو (-، 1] الرسم البياني لمجموعة الحلول موضح أدناه.

ازدواج عدم المساواة

عندما يتم ربط اثنين من المتباينات بواسطة كلمة و, أو، ثم يتم تشكيلها عدم المساواة المزدوجة. ضعف عدم المساواة مثل
-3 و 2 س + 5 7
اتصل متصللأنه يستخدم و. سجل -3 يمكن حل المتباينات المزدوجة باستخدام مبادئ جمع وضرب المتباينات.

مثال 2حل -3 المحلولنملك

مجموعة حلول (x | x ≤ -1 أوس> 3). يمكننا أيضًا كتابة الحل باستخدام تدوين المسافات ورمز ذات الصلةأو شوائب كلتا المجموعتين: (--1] (3، ∞) ويرد أدناه الرسم البياني لمجموعة الحلول.

للاختبار ، ارسم y 1 = 2x - 5 ، y 2 = -7 ، و y 3 = 1. لاحظ أنه من أجل (x | x ≤ -1 أوس> 3) ، ص 1 ص 2 أوص 1> ص 3.

المتباينات ذات القيمة المطلقة (المعامل)

تحتوي عدم المساواة أحيانًا على وحدات. الخصائص التالية تستخدم لحلها.
بالنسبة إلى> 0 والتعبير الجبري x:
| س | | س | > a يكافئ x أو x> a.
عبارات مشابهة لـ | x | ≤ أ و | س | ≥ أ.

فمثلا،
| س | | ذ | ≥ 1 تعادل y ≤ -1 أوص ≥ 1 ؛
و | 2x + 3 | ≤ 4 تعادل -4 2x + 3 ≤ 4.

مثال 4حل كل من المتباينات التالية. ارسم مجموعة الحلول.
أ) | 3x + 2 | ب) | 5 - 2x | ≥ 1

المحلول
أ) | 3x + 2 |

مجموعة الحلول هي (x | -7/3
ب) | 5 - 2x | ≥ 1
مجموعة الحل هي (x | x ≤ 2 أو x ≥ 3) أو (-∞، 2] الأعداد الصحيحة المضمنة في هذا الفاصل هي -3؛ -2؛ -1؛ 0؛ 1. يوجد 5 منهم.

4) كم عدد الأعداد الصحيحة حلول نظام عدم المساواة؟

على سبيل المثال ، التعبير \ (x> 5 \) هو متباينة.

أنواع عدم المساواة:

إذا كان \ (أ \) و \ (ب \) أرقامًا أو ، فسيتم استدعاء عدم المساواة عددي. في الواقع ، هذه مجرد مقارنة بين رقمين. تنقسم هذه التفاوتات إلى مخلصو غير مخلص.

فمثلا:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\ (17 + 3 \ geq 115 \) هو عدم مساواة عددية غير صالحة لأن \ (17 + 3 = 20 \) و \ (20 \) أقل من \ (115 \) (ليس أكبر من أو يساوي).

إذا كانت \ (أ \) و \ (ب \) تعابير تحتوي على متغير ، إذن لدينا عدم المساواة مع المتغير. تنقسم هذه التفاوتات إلى أنواع حسب المحتوى:

\ (2x + 1 \ geq4 (5-x) \)				متغير فقط للقوة الأولى
\ (3 س ^ 2-س + 5> 0 \)				يوجد متغير في القوة الثانية (مربع) ، لكن لا توجد قوى أعلى (الثالثة ، الرابعة ، إلخ.)
\ (\ log_ (4) ((س + 1))<3\)
\ (2 ^ (س) \ leq8 ^ (5x-2) \)

... وهلم جرا.

ما هو حل لعدم المساواة؟

إذا تم استبدال أي رقم في المتباينة بدلاً من المتغير ، فسوف يتحول إلى رقم رقمي.

إذا كانت القيمة المعطاة لـ x تجعل المتباينة الأصلية عددية صحيحة ، فإنها تسمى حل عدم المساواة. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فهذه القيمة ليست حلاً. و ل حل عدم المساواة- تحتاج إلى إيجاد كل الحلول الخاصة به (أو إظهار عدم وجودها).

فمثلا،إذا كنا في المتباينة الخطية \ (x + 6> 10 \) ، فإننا نعوض بالرقم \ (7 \) بدلاً من x ، نحصل على المتباينة العددية الصحيحة: \ (13> 10 \). وإذا عوضنا عن \ (2 \) ، فسيكون هناك متباينة عددية غير صحيحة \ (8> 10 \). وهذا يعني أن \ (7 \) هو حل للمتباينة الأصلية ، لكن \ (2 \) ليس كذلك.

لكن المتباينة \ (x + 6> 10 \) لها حلول أخرى. في الواقع ، سنحصل على المتباينات العددية الصحيحة عند استبدال و \ (5 \) و \ (12 \) و \ (138 \) ... وكيف يمكننا إيجاد كل الحلول الممكنة؟ للقيام بذلك ، استخدم في حالتنا ، لدينا:

\ (س + 6> 10 \) \ (| -6 \)
\ (س> 4 \)

أي يمكننا استخدام أي عدد أكبر من أربعة. الآن نحن بحاجة إلى كتابة الإجابة. تتم كتابة حلول المتباينات ، كقاعدة عامة ، رقميًا ، بالإضافة إلى تمييزها على المحور العددي باستخدام التظليل. بالنسبة لحالتنا لدينا:

إجابه: \ (س \ في (4 ؛ + \ infty) \)

متى تتغير العلامة في عدم المساواة؟

هناك فخ كبير في عدم المساواة ، والذي "يحب" الطلاب حقًا الوقوع فيه:

عند ضرب (أو قسمة) عدم المساواة على رقم سالب ، يتم عكسها ("أكبر من" بـ "أقل" ، "أكبر من أو يساوي" بـ "أقل من أو يساوي" ، وهكذا)

لماذا يحدث هذا؟ لفهم هذا ، لنلقِ نظرة على تحويلات المتباينة العددية \ (3> 1 \). هذا صحيح ، الثلاثي هو في الحقيقة أكثر من واحد. أولاً ، لنحاول ضربه بأي رقم موجب ، على سبيل المثال ، اثنان:

\ (3> 1 \) \ (| \ cdot2 \)
\(6>2\)

كما ترى ، بعد الضرب ، تظل المتباينة صحيحة. وبغض النظر عن العدد الموجب الذي نضربه ، سنحصل دائمًا على المتباينة الصحيحة. والآن دعونا نحاول الضرب في عدد سالب ، على سبيل المثال ، ناقص ثلاثة:

\ (3> 1 \) \ (| \ cdot (-3) \)
\(-9>-3\)

اتضح أنها متباينة غير صحيحة ، لأن سالب تسعة أقل من ناقص ثلاثة! أي ، لكي تصبح عدم المساواة صحيحة (مما يعني أن تحويل الضرب بالسالب كان "قانونيًا") ، تحتاج إلى قلب علامة المقارنة ، على النحو التالي: \ (- 9<− 3\).
مع التقسيم ، سيظهر بالمثل ، يمكنك التحقق منه بنفسك.

تنطبق القاعدة المكتوبة أعلاه على جميع أنواع المتباينات ، وليس فقط على المتباينات العددية.

مثال: حل المتباينة \ (2 (x + 1) -1<7+8x\)
المحلول:

\ (2 س + 2-1<7+8x\)	لننتقل \ (8x \) إلى اليسار و \ (2 \) و \ (- 1 \) إلى اليمين ، دون أن ننسى تغيير العلامات
\ (2x-8x<7-2+1\)
\ (- 6x<6\) \(|:(-6)\)	قسّم طرفي عدم المساواة على \ (- 6 \) ، مع عدم نسيان التغيير من "الأقل" إلى "الأكبر"
	دعنا نحدد فاصلًا رقميًا على المحور. عدم المساواة ، لذا فإن القيمة \ (- 1 \) "متقطعة" ولا نأخذها ردًا
	لنكتب الإجابة في صورة فترة

إجابه: \ (س \ في (-1 ؛ \ infty) \)

عدم المساواة و DHS

يمكن أن يكون للمتباينات ، وكذلك المعادلات ، قيود على قيم x. وفقًا لذلك ، يجب استبعاد القيم غير المقبولة وفقًا لـ ODZ من الفاصل الزمني للحل.

مثال: حل المتباينة \ (\ sqrt (x + 1)<3\)

المحلول: من الواضح أنه لكي يكون الجانب الأيسر أقل من \ (3 \) ، يجب أن يكون تعبير الجذر أقل من \ (9 \) (بعد كل شيء ، من \ (9 \) فقط \ (3 \)). نحن نحصل:

\ (س + 1<9\) \(|-1\)
\ (x<8\)

الجميع؟ أي قيمة س أقل من \ (8 \) تناسبنا؟ لا! لأننا إذا أخذنا ، على سبيل المثال ، القيمة \ (- 5 \) التي تبدو مناسبة للمتطلبات ، فلن تكون حلاً للمتباينة الأصلية ، لأنها ستقودنا إلى حساب جذر عدد سالب.

\ (\ الجذر التربيعي (-5 + 1)<3\)
\ (\ الجذر التربيعي (-4)<3\)

لذلك ، يجب أن نأخذ في الاعتبار أيضًا القيود المفروضة على قيم x - لا يمكن أن يكون هناك رقم سالب تحت الجذر. وبالتالي ، لدينا المتطلب الثاني لـ x:

\ (س + 1 \ geq0 \)
\ (س \ جيك -1 \)

ولكي يكون x حلاً نهائيًا ، يجب أن يلبي كلا المطلبين في وقت واحد: يجب أن يكون أقل من \ (8 \) (ليكون حلاً) وأكبر من \ (- 1 \) (ليكون صالحًا من حيث المبدأ). بالتخطيط على خط الأعداد ، لدينا الإجابة النهائية:

إجابه: \ (\ يسار [-1 ؛ 8 \ يمين) \)

بعد تلقي المعلومات الأولية حول المتباينات ذات المتغيرات ، ننتقل إلى مسألة حلها. دعنا نحلل حل المتباينات الخطية بمتغير واحد وجميع طرق حلها باستخدام الخوارزميات والأمثلة. سيتم النظر فقط في المعادلات الخطية مع متغير واحد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ما هي المتباينة الخطية؟

تحتاج أولاً إلى تحديد معادلة خطية ومعرفة شكلها القياسي وكيف ستختلف عن غيرها. من الدورة المدرسية لدينا أن عدم المساواة ليس لها اختلاف جوهري ، لذلك يجب استخدام العديد من التعريفات.

التعريف 1

المتباينة الخطية بمتغير واحد x هي متباينة بالصيغة a x + b> 0 عند استخدام أي علامة متباينة بدلاً من>< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

التعريف 2

المتباينات أ س< c или a · x >c ، حيث x متغير و a و c بعض الأرقام تسمى المتباينات الخطية بمتغير واحد.

بما أنه لم يتم ذكر أي شيء حول ما إذا كان المعامل يمكن أن يساوي 0 أم لا ، فإن عدم المساواة الصارمة بالصيغة 0 x> c و 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

اختلافاتهم هي:

• التدوين a · x + b> 0 في الأول ، و a · x> c - في الثانية ؛
• مقبولية معامل الصفر a ، a ≠ 0 - في الأول ، و a = 0 - في الثانية.

يُعتقد أن المتباينات a x + b> 0 و a x> c متكافئة ، لأنه يتم الحصول عليها عن طريق نقل المصطلح من جزء إلى آخر. سيؤدي حل المتباينة 0 · x + 5> 0 إلى حقيقة أنه يجب حلها ، ولن تنجح الحالة a = 0.

التعريف 3

يعتبر أن المتباينات الخطية في متغير واحد x هي متباينات في النموذج أ س + ب< 0 , a · x + b >0 ، أ س + ب ≤ 0و أ س + ب ≥ 0، حيث أ و ب أرقام حقيقية. بدلاً من x ، يمكن أن يكون هناك عدد عادي.

بناءً على القاعدة ، لدينا 4 x - 1> 0 ، 0 z + 2 ، 3 ≤ 0 ، - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 ، - 0 ، 5 · ص ≤ - 1 ، 2 تسمى خطية.

كيفية حل المتباينة الخطية

الطريقة الرئيسية لحل مثل هذه التفاوتات هي استخدام تحويلات مكافئة لإيجاد المتباينات الأولية x< p (≤ , >، ≥) ، p يمثل عددًا ما ، لـ a 0 ، وللشكل a< p (≤ , >، ≥) ل = 0.

لحل متباينة ذات متغير واحد ، يمكنك تطبيق طريقة الفترة أو تمثيلها بيانياً. يمكن استخدام أي منهم بشكل منفصل.

استخدام تحويلات مكافئة

لحل متباينة خطية بالصيغة أ س + ب< 0 (≤ , >، ≥) ، من الضروري تطبيق تحويلات مكافئة لعدم المساواة. قد يكون المعامل صفراً وقد لا يكون. دعونا ننظر في كلتا الحالتين. للتوضيح ، من الضروري الالتزام بمخطط يتكون من 3 نقاط: جوهر العملية ، الخوارزمية ، الحل نفسه.

التعريف 4

خوارزمية لحل المتباينة الخطية أ س + ب< 0 (≤ , >، ≥) لـ ≠ 0

• سيتم نقل الرقم ب إلى الجانب الأيمن من المتباينة مع الإشارة المعاكسة ، مما سيسمح لنا بالوصول إلى المكافئ a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• سيتم قسمة جزأي المتباينة على عدد لا يساوي 0. علاوة على ذلك ، عندما تكون a موجبة ، تظل الإشارة ، وعندما تكون a سالبة ، فإنها تتغير إلى العكس.

ضع في اعتبارك تطبيق هذه الخوارزمية لحل الأمثلة.

مثال 1

حل متباينة بالصيغة 3 · س + 12 ≤ 0.

المحلول

هذه المتباينة الخطية لها أ = 3 و ب = 12. ومن ثم ، فإن المعامل a في المتغير x لا يساوي صفرًا. دعونا نطبق الخوارزميات المذكورة أعلاه ونحلها.

من الضروري نقل المصطلح 12 إلى جزء آخر من المتباينة مع تغيير علامة أمامه. ثم نحصل على متباينة بالصورة 3 · x ≤ - 12. من الضروري تقسيم كلا الجزأين على 3. لن تتغير العلامة لأن الرقم 3 هو رقم موجب. نحصل على (3 x): 3 ≤ (- 12): 3 ، وهو ما سيعطي النتيجة x ≤ - 4.

المتباينة بالصيغة x ≤ - 4 مكافئة. أي أن حل 3 س + 12 ≤ 0 هو أي عدد حقيقي أصغر من أو يساوي 4. تكتب الإجابة في صورة متباينة x ≤ - 4 ، أو فاصل رقمي على الصورة (- ∞ ، - 4].

تتم كتابة الخوارزمية الكاملة الموضحة أعلاه على النحو التالي:

3 × + 12 0 ؛ 3 × ≤ - 12 ؛ س ≤ - 4.

إجابه:س ≤ - 4 أو (- ∞ ، - 4].

مثال 2

حدد جميع الحلول المتاحة للمتباينة - 2 ، 7 · z> 0.

المحلول

من الشرط ، نرى أن المعامل a عند z يساوي - 2 ، 7 ، و b غير موجود بشكل صريح أو يساوي صفرًا. لا يمكنك استخدام الخطوة الأولى من الخوارزمية ، ولكن انتقل على الفور إلى الخطوة الثانية.

نقسم كلا الجزأين من المعادلة على الرقم - 2 ، 7. بما أن الرقم سالب ، فمن الضروري تغيير علامة عدم المساواة إلى العكس. أي أننا حصلنا على (- 2 ، 7 ض): (- 2 ، 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

نكتب الخوارزمية بأكملها في شكل قصير:

- 2 ، 7 ض> 0 ؛ ض< 0 .

إجابه:ض< 0 или (− ∞ , 0) .

مثال 3

حل المتباينة - 5 · س - 15 22 ≤ 0.

المحلول

وفقًا للشرط ، نرى أنه من الضروري حل المتباينة باستخدام المعامل a للمتغير x ، والذي يساوي - 5 ، مع المعامل b الذي يقابل الكسر - 15 22. من الضروري حل عدم المساواة باتباع الخوارزمية ، أي: نقل - 15 22 إلى جزء آخر بعلامة معاكسة ، قسمة كلا الجزأين على - 5 ، قم بتغيير علامة عدم المساواة:

5 × 15 22 ؛ - 5 ×: - 5 15 22: - 5 × ≥ - 3 22

في الانتقال الأخير ، بالنسبة للجانب الأيمن ، يتم استخدام قاعدة قسمة رقم بعلامات مختلفة 15 22: - 5 \ u003d - 15 22: 5 ، وبعد ذلك نقسم الكسر العادي على رقم طبيعي - 15 22: 5 = - 15 22 1 5 \ u003d - 15 1 22 5 = - 3 22.

إجابه:س ≥ - 3 22 و [- 3 22 +).

ضع في اعتبارك الحالة عندما يكون a = 0. التعبير الخطي للصيغة أ س + ب< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

كل شيء يعتمد على تعريف حل عدم المساواة. لأي قيمة لـ x ، نحصل على متباينة عددية للصيغة b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

نحن نعتبر جميع الأحكام في شكل خوارزمية لحل المتباينات الخطية 0 س + ب< 0 (≤ , > , ≥) :

التعريف 5

عدم المساواة العددية من النموذج ب< 0 (≤ , >، ≥) صحيحة ، إذن المتباينة الأصلية لها حل لأي قيمة ، وخطأ عندما لا يكون للمتباينة الأصلية حلول.

مثال 4

حل المتباينة 0 · x + 7> 0.

المحلول

هذه المتباينة الخطية 0 · x + 7> 0 يمكن أن تأخذ أي قيمة x. ثم نحصل على متباينة بالصيغة 7> 0. تعتبر المتباينة الأخيرة صحيحة ، لذا يمكن أن يكون حلها أي رقم.

إجابه: الفاصل الزمني (- ∞ ، + ∞).

مثال 5

أوجد حلًا للمتباينة 0 · س - 12 ، 7 0.

المحلول

بالتعويض بالمتغير x لأي عدد ، نحصل على أن المتباينة ستأخذ الصورة - 12، 7 ≥ 0. هذا غير صحيح. أي ، 0 · س - 12 ، 7 0 ليس لها حلول.

إجابه:لا توجد حلول.

ضع في اعتبارك حل المتباينات الخطية ، حيث يساوي كلا المعاملين صفرًا.

مثال 6

حدد متباينة غير قابلة للحل من 0 · x + 0> 0 و 0 · x + 0 ≥ 0.

المحلول

عند التعويض بأي عدد بدلاً من x ، نحصل على متباينتين بالصيغة 0> 0 و 0 0. الأول غير صحيح. هذا يعني أن 0 x + 0> 0 ليس له حلول ، و 0 x + 0 ≥ 0 له عدد لا نهائي من الحلول ، أي أي رقم.

إجابه: المتباينة 0 x + 0> 0 ليس لها حلول ، و 0 x + 0 ≥ 0 لها حلول.

تعتبر هذه الطريقة في دورة الرياضيات المدرسية. طريقة الفاصل قادرة على حل أنواع مختلفة من عدم المساواة ، بما في ذلك المتباينات الخطية.

تُستخدم طريقة الفاصل الزمني للتباينات الخطية عندما لا تساوي قيمة المعامل x 0. خلاف ذلك ، سيكون عليك إجراء الحساب باستخدام طريقة أخرى.

التعريف 6

طريقة التباعد هي:

• مقدمة للوظيفة y = a x + b ؛
• البحث عن الأصفار لتقسيم مجال التعريف إلى فترات ؛
• تحديد العلامات لمفهومها على فترات.

لنجمع خوارزمية لحل المعادلات الخطية أ س + ب< 0 (≤ , >، ≥) لـ ≠ 0 باستخدام طريقة الفاصل الزمني:

• إيجاد أصفار الدالة y = a · x + b لحل معادلة بالصيغة a · x + b = 0. إذا كانت a ≠ 0 ، فسيكون الحل هو الجذر الوحيد الذي سيأخذ التعيين x 0 ؛
• بناء خط إحداثي مع صورة نقطة ذات إحداثي x 0 ، مع عدم مساواة صارمة ، يتم الإشارة إلى النقطة بواسطة مثقوبة ، مع عدم مساواة غير صارمة ، تكون مظللة ؛
• تحديد علامات الدالة y = a x + b على الفواصل الزمنية ، لذلك من الضروري إيجاد قيم الوظيفة عند نقاط في الفترة الزمنية ؛
• حل عدم المساواة مع> أو على خط الإحداثيات ، يضاف الفقس فوق الفجوة الإيجابية ،< или ≤ над отрицательным промежутком.

ضع في اعتبارك عدة أمثلة لحل متباينة خطية باستخدام طريقة الفترة.

مثال 6

حل المتباينة - 3 · س + 12> 0.

المحلول

يتبع من الخوارزمية أنك تحتاج أولاً إلى إيجاد جذر المعادلة - 3 · س + 12 = 0. حصلنا على ذلك - 3 · س = - 12 ، س = 4. من الضروري تصوير خط الإحداثيات ، حيث نحتفل بالنقطة 4. سيتم ثقبها لأن عدم المساواة صارم. ضع في اعتبارك الرسم أدناه.

من الضروري تحديد العلامات على فترات. لتحديده على الفترة الزمنية (- ∞ ، 4) ، من الضروري حساب الدالة y = - 3 · x + 12 لـ x = 3. من هنا نحصل على ذلك - 3 3 + 12 = 3> 0. العلامة الموجودة على الفجوة موجبة.

نحدد العلامة من الفاصل الزمني (4 ، + ∞) ، ثم نستبدل القيمة x \ u003d 5. لدينا - 3 5 + 12 = - 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

نقوم بحل المتباينة بالعلامة> ، ويتم إجراء الفقس على الفجوة الموجبة. ضع في اعتبارك الرسم أدناه.

يمكن أن نرى من الرسم أن الحل المطلوب له الشكل (- ∞ ، 4) أو س< 4 .

إجابه: (- ∞ ، 4) أو x< 4 .

لفهم كيفية التمثيل البياني ، من الضروري اعتبار 4 متباينات خطية كمثال: 0 ، 5 × - 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 و 0 ، 5 س - 1 0. ستكون حلولهم x< 2 , x ≤ 2 , x >2 و x 2. للقيام بذلك ، ارسم رسمًا بيانيًا للدالة الخطية y = 0 ، 5 · x - 1 أدناه.

انه واضح

التعريف 7

• حل المتباينة 0، 5 س - 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• الحل 0، 5 x - 1 ≤ 0 هو الفترة التي تكون فيها الدالة y = 0، 5 x - 1 أقل من 0 x أو تتزامن ؛
• يعتبر الحل 0 ، 5 x - 1> 0 هو الفاصل الزمني ، حيث تقع الوظيفة فوق O x ؛
• الحل 0؛ 5 x - 1 0 هو الفترة التي يكون فيها الرسم البياني أعلى من O x أو يتزامن.

معنى الحل الرسومي للتباينات هو إيجاد الفجوات التي يجب تصويرها على الرسم البياني. في هذه الحالة ، نحصل على أن الجانب الأيسر به y \ u003d a x + b ، والجانب الأيمن y \ u003d 0 ، ويتزامن مع حوالي x.

التعريف 8

يتم تنفيذ رسم الدالة y = a x + b:

• أثناء حل المتباينة أ س + ب< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• أثناء حل المتباينة a x + b ≤ 0 ، يتم تحديد الفاصل الزمني حيث يتم عرض الرسم البياني أسفل المحور O x أو يتزامن ؛
• أثناء حل المتباينة أ س + ب> 0 ، يتم تحديد الفترة الزمنية ، حيث يتم عرض الرسم البياني أعلاه O x ؛
• أثناء حل المتباينة a x + b ≥ 0 ، يتم تحديد الفترة حيث يكون الرسم البياني أعلى من O x أو يتزامن.

مثال 7

حل المتباينة - ٥ · س - ٣> ٠ باستخدام التمثيل البياني.

المحلول

من الضروري بناء رسم بياني لوظيفة خطية - 5 · س - 3> 0. هذا الخط آخذ في التناقص لأن معامل x سالب. لتحديد إحداثيات نقطة تقاطعها مع O x - 5 · x - 3> 0 ، نحصل على القيمة - 3 5. دعونا نرسمها.

حل المتباينة بعلامة> ، فأنت بحاجة إلى الانتباه إلى الفترة فوق O x. نبرز الجزء الضروري من الطائرة باللون الأحمر ونحصل على ذلك

الفجوة المطلوبة هي الجزء O x من اللون الأحمر. ومن ثم ، فإن شعاع العدد المفتوح - ∞ ، - 3 5 سيكون حل المتباينة. إذا كان لديهم ، بشرط ، متباينة غير صارمة ، فإن قيمة النقطة - 3 5 ستكون أيضًا حلًا للمتباينة. وسوف يتطابق مع O x.

إجابه: - ، - 3 5 أو x< - 3 5 .

يتم استخدام الحل الرسومي عندما يتوافق الطرف الأيسر مع الوظيفة y = 0 x + b ، أي y = b. ثم سيكون الخط موازٍ لـ O x أو متزامن عند b \ u003d 0. توضح هذه الحالات أن المتباينة قد لا يكون لها حلول ، أو يمكن أن يكون أي رقم حلاً.

المثال 8

أوجد من المتباينات 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

المحلول

التمثيل y = 0 x + 7 هو y = 7 ، ثم نحصل على مستوى إحداثي بخط مستقيم يوازي O x وأعلى O x. إذن 0 × + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

يعتبر الرسم البياني للوظيفة y \ u003d 0 x + 0 y \ u003d 0 ، أي أن الخط يتزامن مع O x. ومن ثم ، فإن المتباينة 0 · x + 0 0 لها العديد من الحلول.

إجابه: المتباينة الثانية لها حل لأي قيمة لـ x.

المتباينات الخطية

يمكن اختزال حل المتباينات إلى حل المعادلة الخطية ، والتي تسمى المتباينات الخطية.

تم أخذ هذه التفاوتات في الاعتبار في الدورة المدرسية ، لأنها كانت حالة خاصة لحل التفاوتات ، مما أدى إلى فتح الأقواس وتقليل المصطلحات المماثلة. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك أن 5-2 x> 0 ، 7 (x - 1) + 3 ≤ 4 x - 2 + x ، x - 3 5 - 2 x + 1> 2 7 x.

دائمًا ما يتم تقليل المتباينات المذكورة أعلاه إلى شكل معادلة خطية. بعد ذلك ، يتم فتح الأقواس وإعطاء المصطلحات المماثلة ، ونقلها من أجزاء مختلفة ، وتغيير الإشارة إلى العكس.

عند تقليل المتباينة 5 - 2 x> 0 إلى متباينة خطية ، فإننا نمثلها على النحو التالي - 2 x + 5> 0 ، ولتقليل الثانية نحصل على 7 (x - 1) + 3 ≤ 4 x - 2 + x. من الضروري فتح الأقواس ، وإحضار المصطلحات المتشابهة ، ونقل جميع المصطلحات إلى الجانب الأيسر وإحضار المصطلحات المتشابهة. تبدو هكذا:

7 س - 7 + 3 ≤ 4 س - 2 + س 7 س - 4 ≤ 5 س - 2 7 س - 4-5 س + 2 ≤ 0 2 س - 2 0

هذا يقودنا إلى حل المتباينة الخطية.

تعتبر هذه التفاوتات خطية ، لأن لها نفس مبدأ الحل ، وبعد ذلك يمكن اختزالها إلى متباينات أولية.

لحل هذا النوع من عدم المساواة من هذا النوع ، من الضروري اختزاله إلى متباينة خطية. يجب أن يتم ذلك على النحو التالي:

التعريف 9

• بين قوسين
• اجمع المتغيرات على اليسار والأرقام على اليمين ؛
• جلب شروط مماثلة
• اقسم كلا الجزأين على معامل x.

المثال 9

حل المتباينة 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x - 3) + 1.

المحلول

نفك الأقواس ، ثم نحصل على متباينة بالصيغة 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x - 18 + 1. بعد اختزال الحدود المتشابهة ، لدينا 6 · س + 15 6 · س - 17. بعد تحريك الحدود من اليسار إلى اليمين ، نحصل على 6 x + 15-6 x + 17 0. ومن ثم ، فإن لها متباينة على شكل 32 ≤ 0 من النتيجة التي تم الحصول عليها في الحساب 0 × + 32 0. يمكن ملاحظة أن عدم المساواة خاطئة ، مما يعني أن عدم المساواة التي يوفرها الشرط ليس لها حلول.

إجابه: لا توجد حلول.

من الجدير بالذكر أن هناك العديد من عدم المساواة من نوع آخر ، والتي يمكن اختزالها إلى متباينة خطية أو متباينة من النوع الموضح أعلاه. على سبيل المثال ، 5 2 x - 1 ≥ 1 هي معادلة أسية تختزل إلى حل خطي 2 × - 1 0. سيتم النظر في هذه الحالات عند حل عدم المساواة من هذا النوع.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

معلومات أولية

التعريف 1

المتباينة بالصيغة $ f (x)> (≥) g (x) $ ، حيث $ f (x) $ و $ g (x) $ تعبيران منطقيان صحيحان ، تسمى المتباينة المنطقية الصحيحة.

من أمثلة المتباينات المنطقية الصحيحة المتباينات الخطية والتربيعية والتكعيبية ذات المتغيرين.

التعريف 2

تسمى القيمة $ x $ التي تتحقق فيها المتباينة من تعريف $ 1 $ جذر المعادلة.

مثال على حل مثل هذه التفاوتات:

مثال 1

حل المتباينة الصحيحة $ 4x + 3> 38-x $.

المحلول.

لنبسط هذه المتباينة:

حصلنا على متباينة خطية. لنجد حلها:

الجواب: $ (7، ∞) $.

في هذه المقالة ، سننظر في الطرق التالية لحل المتباينات المنطقية بالكامل.

طريقة العوملة

ستكون هذه الطريقة على النحو التالي: تتم كتابة معادلة بالصيغة $ f (x) = g (x) $. يتم تقليل هذه المعادلة إلى الشكل $ φ (x) = 0 $ (حيث $ φ (x) = f (x) -g (x) $). ثم يتم تحليل الدالة $ φ (x) $ باستخدام أصغر قوى ممكنة. تنطبق القاعدة:يكون حاصل ضرب كثيرات الحدود صفرًا عندما يكون أحدهما صفرًا. علاوة على ذلك ، يتم تمييز الجذور التي تم العثور عليها على خط الأعداد ويتم إنشاء منحنى للعلامات. اعتمادًا على علامة عدم المساواة الأولية ، تتم كتابة الإجابة.

فيما يلي أمثلة على الحلول بهذه الطريقة:

مثال 2

حل بالتحليل إلى عوامل. $ y ^ 2-9

المحلول.

حل المعادلة $ y ^ 2-9

باستخدام صيغة الفرق بين المربعات ، لدينا

باستخدام قاعدة المساواة إلى الصفر من حاصل ضرب العوامل ، نحصل على الجذور التالية: $ 3 $ و $ -3 $.

لنرسم منحنى العلامات:

بما أن العلامة "أقل من" في المتباينة الأولية ، نحصل عليها

إجابه: $(-3,3)$.

مثال 3

حل بالتحليل إلى عوامل.

$ x ^ 3 + 3x + 2x ^ 2 + 6 ≥0 دولار

المحلول.

لنحل المعادلة التالية:

$ x ^ 3 + 3x + 2x ^ 2 + 6 = 0 دولار

نخرج من الأقواس العوامل المشتركة من أول حدين ومن الأخيرين

$ x (x ^ 2 + 3) +2 (x ^ 2 + 3) = 0 دولار

أخرج العامل المشترك $ (x ^ 2 + 3) $

$ (x ^ 2 + 3) (x + 2) = 0 $

باستخدام قاعدة المساواة إلى الصفر من ناتج العوامل ، نحصل على:

$ x + 2 = 0 \ و \ x ^ 2 + 3 = 0 دولار

$ x = -2 $ و "بلا جذور"

لنرسم منحنى العلامات:

نظرًا لأن العلامة في المتباينة الأولية "أكبر من أو تساوي" ، نحصل عليها

إجابه: $(-∞,-2]$.

كيفية إدخال متغير جديد

هذه الطريقة كالتالي: تتم كتابة معادلة بالصيغة $ f (x) = g (x) $. نحلها على النحو التالي: نقدم متغيرًا جديدًا من أجل الحصول على معادلة معروف حلها بالفعل. نحلها لاحقًا ونعود إلى البديل. منه نجد حل المعادلة الأولى. علاوة على ذلك ، يتم تمييز الجذور التي تم العثور عليها على خط الأعداد ويتم إنشاء منحنى للعلامات. اعتمادًا على علامة عدم المساواة الأولية ، تتم كتابة الإجابة.