حساب التكاملات باستخدام البقايا. حل التكاملات عبر الإنترنت

نسخة طبق الأصل

1 وزارة التعليم والعلوم من الوكالة الفيدرالية للاتحاد الروسي للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي "جامعة ولاية أورينبورغ" قسم الرياضيات التطبيقية IE VASILEGGO CALCULATION OF INTEGRALS WITH THE HELP OF DEDUCTION METHODOLOGICAL INSTRUCTICAL INSTRUCTURAL مجلس التعليم العالي المهني "جامعة ولاية أورينبورغ" جامعة أورينبورغ

2 بنك البحرين والكويت 6 y7 V 9 UDC 7 (7 مرشح مراجع للعلوم الفيزيائية والرياضية ، أستاذ مشارك ، رئيس قسم التحليل الرياضي Nevostruev LM Vasilego IP حساب التكاملات باستخدام المخلفات: تعليمات منهجية B9 أورينبورغ: GOU OGU، s التعليمات المنهجية هي مخصص لطلاب التخصصات الاقتصادية والتخصصات الهندسية التقنية على أساس النظرية الرئيسية لنظرية المخلفات ، يتم الحصول على خوارزميات لحساب التكاملات المحددة للوظائف المثلثية والتكاملات غير الصحيحة من نوعين LBC 6 y7 IP Vasilego ، GOU OSU ،

3 مقدمة حل العديد من مشاكل الفيزياء والميكانيكا وبعض فروع الرياضيات مرتبط بحساب التكاملات المحددة أو غير الصحيحة.تدرس الورقة طرق حساب مثل هذه التكاملات باستخدام نظرية البقايا.يوفر القسم معلومات أساسية من نظرية البقايا. القسم ، باستخدام الأمثلة ، يحلل طرق حساب التكاملات المحددة وغير الصحيحة وأمثلة للدراسة الذاتية

4 الحقائق الأساسية لنظرية المخلفات إلزامية للكتب (و (يجب أن يتعرف القارئ على المفاهيم الأساسية لنظرية وظائف المتغير المعقد: دالة تحليلية ، تكامل دالة لمتغير معقد على طول منحنى و خصائصها ، سلسلة تايلور ولورنت ، إلخ. التعريف يطلق على صفر الدالة التحليلية f نقطة ، والتي لها f (إذا لم تكن f تساوي صفرًا في أي منطقة مجاورة للنقطة ، فمن الممكن وصف دائرة بما فيه الكفاية نصف قطر صغير متمركز في النقطة التي لن يكون بداخلها أصفار أخرى باستثناء المركز. k> k يطلق عليه تعريف متعدد تسمى النقاط التي تتوقف عندها الوظيفة f عن أن تكون تحليلية بالنقاط المفردة للوظيفة f التعريف تسمى النقطة نقطة مفردة معزولة للوظيفة f إذا كانت الوظيفة f تحليلية في بعض الثقوب حي (الدائري (ج< < r}, а в самой точке или не определена, или определена, но не дифференцируема Определение Ряд вида a (a a где { a } - последовательность комплексных чисел, называется рядом Лорана с центром в точке a Ряд (частью ряда Лорана Ряд a, сходящемся в круге < r, называется правильной, сходящийся в области >، يسمى الجزء الرئيسي من سلسلة Laurent حسب التعريف ، فإن سلسلة Laurent تتقارب إذا تقاربت أجزائها الرئيسية والصحيحة في وقت واحد. لذلك ، تتقارب سلسلة Laurent في الحلقة:< < r Изолированные особые точки бывают трех типов: устранимая особая точка, полюс, существенно особая точка Определение Изолированная особая точка функции f lm f f называется устранимой, если существует конечный предел

5 ثم f إذا وفقط إذا كان الجزء الرئيسي من سلسلة Laurent المتمركزة عند النقطة غائبًا التعريف 6 النقطة المفردة المعزولة للدالة f lm f هي نقطة مفردة قابلة للإزالة للوظيفة تسمى القطب إذا ثم f ، إذا و فقط إذا كان الجزء الرئيسي من سلسلة Laurent المتمركزة في نقطة ما يتكون من m (عدد محدود من المصطلحات: f هو قطب الوظيفة أ أ م م أ م م م م (((، أ ، م يسمى الرقم م ترتيب القطب إذا كان م ، ثم يسمى القطب بسيط إذا كانت النقطة بالنسبة للدالة f قطبًا من الرتبة m ، فإن النقطة بالنسبة للدالة هي صفر من الرتبة m f التعريف 7 لا توجد نقطة مفردة معزولة للدالة f lm f A نقطة تسمى نقطة مفردة أساسية إذا كانت f فقط إذا وفقط إذا كان الجزء الرئيسي من سلسلة Laurent المتمحورة حول النقطة يحتوي على عدد لا نهائي من المصطلحات هي نقطة مفردة أساسية للوظيفة على سبيل المثال ، النقطة - نقطة أساسية مفردة للوظيفة بالفعل ، e! لاحظ أن النقطة المفردة المعزولة للدالة f هي قطب من الرتبة k إذا وفقط إذا كانت بعض الجوار المثقوب من النقطة:< < r, f причем аналитична (k в круге < r и (Вычет функции и правила вычисления его Определение 8 Вычетом однозначной аналитической функции f в изолированной особой точке (в том числе называется значение интеграла f γ d Re s f e

6 حيث يتم تنفيذ التكامل على كفاف الأردن مغلق متعدد التعريف يحتوي على نقطة بداخله ولا يحتوي على نقاط مفردة أخرى للدالة f في هذه الحالة ، يتم تنفيذ التكامل في اتجاه إيجابي بالنسبة للمنطقة التي تحتوي على النقطة إذا كان Re s f a هو المعامل عند (في سلسلة Laurent If ، إذن ، Re s f a في توسعة Laurent للدالة ، بقايا f عند نقطة ، حيث a هو المعامل عند f بالقرب من تم العثور على النقطة ، بشكل أساسي ، مباشرة من خلال التعريف ، والدائرة R ذات نصف قطر كبير بما فيه الكفاية تؤخذ على أنها كفاف قواعد لحساب البقايا عند نقطة ما إذا كانت النقطة نقطة مفردة قابلة للإزالة للوظيفة f ، ثم Re s f Let النقطة هي قطب من الدرجة الأولى (قطب بسيط لـ Re s f lm f f ثم (على وجه الخصوص ، إذا كانت f ، أين هي الوظائف و ψ ، (، ψ (، ψ (، ثم مجاورات النقطة Re s f ψ (( إذا كانت النقطة قطب ترتيب> m ، فإن الوظائف f ψ تكون تحليلية ، ثم Re s f! (m lm m (m f) المجال المغلق G يحده منحنى الأردن C القابل للتصحيح المغلق ، باستثناء عدد محدود من النقاط المفردة المعزولة a ، a ، a الموجودة داخل C ، ثم الصيغة f d Re s f ak c k 6

7 حساب تكاملات الدوال المثلثية. تكامل دائرة وحدة وظائف متغير معقد ، دع e ثم باستخدام صيغ أويلر: e cos s نحصل على e e e s ، cos أو s ، cos (من هنا d e d أو عند التغيير من d d d ، يمر المتغير عبر الدائرة ، ~ ~ إذن R d (حيث R R، بما أن الدالة الكسرية R ~ على الدائرة ، إذن يوجد r> مثل ذلك في الدائرة< r функция R ~ определена и аналитична всюду за исключением быть может конечного числа изолированных особых точек, находящихся в круге < Взяв в качестве контура С окружность и применяя теорему, получим ~ Re s R, (k a k где таков:, k - полюсы функции a a, a R ~, лежащие в круге < Таким образом, алгоритм вычисления интеграла R(cos,s d надо доказать, что функция R(cos, s s и непрерывна на [ ;]; делаем замену e при которой отрезок [ ;] cos или рациональна относительно переводится в d M C ; s, cos t, d и t множество { } 7

8 ~ RD ؛ نتحقق من حالة النظرية. للقيام بذلك ، نجد نقاط مفردة معزولة ، k للدالة R ~ تنتمي إلى المجموعة C< R ~ аналитична на замкнутом множестве { } { C } G Теперь функция ограниченном окружностью за исключением точек, k ; вычисляем ориентируясь на следующие возможные случаи: ~ а R P многочлен относительно Так как изолированных особых точек нет, то; ~ a б R P (P - многочлен Тогда точка простой R ~ ~ и Re s R a (по определению вычета, поэтому полюс функции a a ; ~ в R причем ψ(, (, ψ (Тогда по правилу ψ ~ ((Re s R и по формуле (; ψ (ψ (~ P г R, где P и Q - многочлены Q Особые точки, k ищутся среди корней (нулей многочлена Q Точки, k могут быть только полюсами (простыми или порядка m Вычет функции R ~ точек, k находят по правилу или по правилу Тогда k ~ Re sr Рассмотрим примеры: dt (cos t Решение Функция cost и непрерывной на [ ;] Полагая f (t является рациональной функцией (cos t t e имеем d cos t, dt 8

9 9 الآن d d d d< за исключением точки Следовательно, по теореме имеем: (Re 8 (Re g s g s d Пользуясь формулой правила вычисления вычета имеем: lm lm lm lm lm! ((Re g s Таким образом 8 Вычислить s cos d Решение Используя формулы понижения степени: cos s, cos cos получим, что cos cos d Сделаем замену t, тогда cos cos dt t t Функция t t cos cos является рациональной функцией относительно cost и непрерывной на ; Теперь после замены t e имеем 6 8 d

10 دالة (~ R لها نقاط مفردة 8 (6 نقاط تقع داخل الدائرة علاوة على ذلك ، إنه قطب من الدرجة الثانية ، نجد بقاياه وفقًا للقاعدة ~ (6 (6 Re lm s R lm 8 (6 8 (6 8 نقطة هي قطب بسيط بقايا Re s R ~ أوجد بالقاعدة ~ Re s R (lm 8 (((وفقًا للصيغة (لدينا (8 ((cos احسب d a cos a R ،> 8 (8 (8 8 بشرط< a < и s Решение Рассмотрим интеграл d a cos a поскольку подынтегральная функция нечетна, а пределы интегрирования симметричны Тогда cos s e d d a cos a a cos a После замены e d, cos, d будем иметь d d a a a(a a a ~ Подынтегральная функция R (аналитична на множестве кроме ~ нуля знаменателя а, который является простым полюсом функции R (Особая точка не принадлежит множеству По формуле (и a ~ a a правилу имеем, что Re s R(lm a a a a a a a a

11 (d احسب (s α s e الحل لنغير (s α d (s α e) ثم d d s و d و s α (يكون التكامل تحليليًا في المجموعة باستثناء المقام صفر ، وهو قطب بسيط من التكامل) من خلال الصيغة (والقاعدة ، نحصل على (s α (Re lm (s s α (((أمثلة للحل المستقل احسب التكاملات: d dt ؛ cos s t s d d ؛ ، ؛ cos a> a cos cos d ،< a < ; as 7 (cos cos d,; cos cos d 9, a < ; a cos a s d 6, < a < ; a s a, s 8, a >؛ أ كوس أ د (أ ب كوس ، أ> ب> د

12 حساب التكاملات غير الصحيحة عند حساب بعض أنواع التكاملات غير الصحيحة ، سنستخدم الإثنين التاليين من Jordan lemmas Lemma دع الدالة f (تكون مستمرة في المجال D C R ، m لبعض R> و lm R M (R ، حيث () max f ، C (C R ، m) M (R C R R R ثم lm f d R C R (x R (x دالة كسرية ، Q (x ومتعدد الحدود Q (لا تختفي x على المحور الحقيقي ودرجتها أكبر من وحدتين على الأقل درجة كثير الحدود Р (x) ، سوف نسميها جزء لا يتجزأ من النوع الأول بسبب الشروط المفروضة أعلاه ، على R (x ، c) عدم المساواة R (x مع بعض ثابت C> راضٍ وبالتالي x تقارب متكامل. نشتق صيغة لحساب هذا التكامل باستخدام البقايا. للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك كفاف مغلق K τ يتكون من نصف دائرة C τ (C τ، m) وقطعة [τ، τ] من المحور الحقيقي (انظر الشكل . noc y C τ-τ x الشكل يظهر اتجاه تجاوز الكفاف K τ في الشكل ضع في اعتبارك وظيفة المتغير المعقد R (وليكن أقطاب هذا

13 دالة تقع في النصف العلوي من المستوى نأخذ العدد τ كبيرًا جدًا بحيث تكون جميع النقاط داخل K τ تحليليًا في G باستثناء فقط للنقاط ، المجال G ، كفاف K τ والوظيفة R (يلبي شروط النظرية ، لذلك ، أو τ τ K τ R (d Re sr (k R (x R (d Re sr (C R k k)) في المساواة الأخيرة ، دعنا ننتقل إلى الحد عند τ لاحظ أنه في هذه الحالة لا يتغير جانبه الأيمن ، و على الجانب الأيسر R d بواسطة الأول τ Jordan lemma ، والتكامل R (x R (x) وهكذا ، حصلنا على الصيغة τ k k R (x Re s R (، (وبالتالي ، فإن الخوارزمية لحل تكاملات غير صحيحة من النوع الأول هو كما يلي: نوضح أن المقام Q (x لا يختفي على المحور الحقيقي وأن درجته أكبر بوحدتين على الأقل من درجة كثير الحدود P (x ؛ P (انتقل إلى متغير الوظيفة المعقدة R ؛ Q (أوجد الجذور المعقدة لكثير الحدود Q (، والتي هي أقطاب الوظيفة R ( ؛ من الأقطاب التي تم العثور عليها للدالة R (نختار فقط تلك التي تقع في نصف المستوى العلوي ، على سبيل المثال ؛ وفقًا للقواعد (أو (احسب البقايا Re s R (، k ، ؛ 6 وفقًا للصيغة ( احسب التكامل) أحيانًا يتم تنفيذ النقاط و 6 في وقت واحد. ضع في اعتبارك الأمثلة احسب (x k k C R

14 الحل بما أن التكامل (x زوجي ، إذن (x بما أن (x لا تتلاشى على المحور الحقيقي ودرجة كثير الحدود (x أكبر بأربعة من درجة البسط (x ، فإن التكامل (x هو جزء لا يتجزأ من النوع الأول) ضع في اعتبارك وظيفة Roots متعددة الحدود ((هي ، - النقاط و - أعمدة الترتيب الثاني للدالة R (سقط القطب في نصف المستوى العلوي وفقًا للقاعدة ، نحسب البقايا باستخدام فيما يتعلق بـ: Re s R (! lm 8 ((lm ((! (وفقًا للصيغة (احسب التكامل احسب التكامل x (x (x 9 lm ((الحل واضح ، تكامل النوع الأول الوظيفة R تحليلي في كل مكان في المستوى ، باستثناء ((9 نقاط ، هذه النقاط هي أقطاب بسيطة للدالة R (اثنان منهم (وتقعان في النصف العلوي من المستوى)) وفقًا للصيغة (لدينا حسب القاعدة Re s R (lm Re s R (lm (R (x Re s R (Re s R (lm (((9 ((9 (9 (lm ((((((9

15 ومن ثم 6 6 احسب التكامل x، a> (x a الحل بما أن التكامل و الزوج زوجي إذن x (x a من الواضح أن تكامل الترتيب الأول للدالة R (أحدهما (a في النصف العلوي من المستوى) بالصيغة (والقاعدة التي لدينا (a Re s R (lm lm a a! a a a (a lm a (a (a (a 6a) احسب التكامل ، a> ، (a x Solution - تكامل النوع الأول الوظيفة R ( له قطب a p (ترتيب في الجزء العلوي (a (نصف مستوى)) باستخدام القاعدة والصيغة (نحصل على Re lm a lm s R a (! a (! a a a! (((((a (a ( ((!! أمثلة للحل المستقل احسب التكاملات: x؛ x x؛ x

16 ؛ 7x ؛ x x 6 x (bx a، a، b>؛ (x a (x b، a، b>؛ 7 9 x؛ x x؛ x 8 8 x 6 (x a، a>؛ (x x a، a> 6) تكاملات الثانية اكتب تكاملات على شكل R (x s αx ، R (x cos αx تسمى التكاملات P (x من النوع الثاني ، إذا كانت R (x دالة عقلانية ، و Q (x ليس لها Q (x جذور حقيقية)) والدرجة من Q (x هو واحد على الأقل أكبر من درجة P (x دعنا نظهر أن كلا التكاملات تتقارب في ظل هذه الظروف بالتكامل بالأجزاء مع الأخذ في الاعتبار أن lm R (x) ، نحصل على R (xsαx R (xcosαx α x α R (xcosαx α R (x cosαx) التكامل R (x cos αx يتقارب تمامًا ، نظرًا لأن الدالة R (x لديها درجة البسط أقل من وحدتين على الأقل من درجة المقام. وهذا يعني تقارب تكامل R (x s αx وبالمثل ، نثبت تقارب تكامل الوظيفة المساعدة بحكم النظرية ، نحصل على e على طول الكفاف K τ (انظر الشكل في α R (x e R (e d Re s f ، حيث τ هي كبير جدًا لدرجة أن k k جميع أقطاب R (تقع داخل K τ) نصل إلى المساواة وو سي τ

17 R e α d Re s f k k معادلة الجزأين الحقيقي والتخيلي ، نحصل على الكذب في نصف المستوى العلوي انظر إلى الأمثلة (x s x x x احسب الحل المتكامل من الواضح أن تكامل النوع الثاني D 8< x x x R, и степень знаменателя на меньше степени числителя (s (s Рассмотрим функцию R(((((Функция R(имеет в верхней полуплоскости один простой полюс в точке По формуле (/ имеем m Re s(R(e Используя правило, получаем (e (((e Re s e R(Re s lm ((((lm (e ((e (e e e (cos s Таким образом m e (cos s cos e cos x Вычислить интеграл, a >x a الحل بما أن هناك دالة زوجية تحت علامة التكامل ، إذن cos x و R (x، α x a x a

18 من النوع الثاني (a، ψ (a and ψ (a بنفس الطريقة a ψ ((أ كان من الممكن حساب المتبقي في المثال أمثلة للحل المستقل حساب التكاملات (x s x x s x؛ x x (x 9 x s x؛ x x x s x، a>؛ x a x x x x s x 6 7؛ x x s x 9؛ x x 9 6 cosx (x a (x b cos x (x b a>؛ cos ax 8، a>؛ x x a x cos x x x a>، b> a b؛ 8

19 قائمة المراجع Aleksandrov IA، Sobolev VV الدالات التحليلية لمتغير معقد M: Vysshaya Shkola، 98 9 s Bitsadze AV أساسيات نظرية الدوال التحليلية لمتغير معقد M: Nauka، 969 s Evgrafov MA، Sidorov YuV ، Fedoryuk MV ، Shabunin MI ، Bezhanov KA Collection مشاكل في نظرية الدوال التحليلية M: Nauka ، s Ershova VV وظائف الاندفاع وظائف حساب التفاضل والتكامل المتغير المعقد مينسك: المدرسة العليا ، كراسنوف ملل ، كيسيليف إيه آي ، ماكارينكو جي. حساب التفاضل والتكامل معقد متغير نظرية الاستقرار M: Nauka، 987 p 6 Markushevich AI Kratkiy course in the theory of Analytial function M: Nauka، p.7 Privalov II مقدمة لنظرية وظائف المتغير المعقد M: Nauka، 977 ص. AG ، Tikhonov AN نظرية وظائف المتغير المعقد M: Nauka ، s Sidorov YuV ، Fedoruk MV ، Shabunin MI محاضرات حول نظرية وظائف المتغير المعقد حول المتغير M: Nauka، s Solomentsev ED وظائف متغير معقد وتطبيقها M: المدرسة العليا Shabat BV مقدمة للتحليل المركب M: Nauka ، p 9

ممارسة 8 المخلفات 8 تحديد المخلفات 8 حساب المخلفات 8 المخلفات اللوغاريتمية 8 تحديد المخلفات

وزارة التعليم في جمهورية بيلاروسيا جامعة الدولة البيلاروسية NI Ilyinkov، OAKononova، NKFilippova تطبيق نظرية المخلفات لحساب التكامل مينسك UDC 575/55 (75) قرار

تكامل دالة المتغير المعقد لا يتجزأ من FKP

ستاركوف ف. مواد للمحاضرة التمهيدية السؤال 9. تحليل الوظائف التحليلية في سلسلة الطاقة التعريف. سلسلة وظيفية من النموذج (((... (... ، حيث الثوابت المركبة (معاملات السلسلة

التطوير المنهجي حل المشكلات على الأعداد المركبة TFKP العمليات على الأعداد المركبة المستوى المركب يمكن تمثيل العدد المركب في الأسي الجبري والمثلثي

الفصل 1 العمليات الحسابية. 1. تعريف تحويل لابلاس. يربط تحويل لابلاس الوظيفة f (t) مع المتغير الحقيقي t بالدالة F () للمتغير المعقد = x + iy

المحاضرة N38. سلوك دالة تحليلية عند اللانهاية. نقاط خاصة. مخلفات الوظيفة .. حي نقطة في اللانهاية ..... توسع لوران في حي نقطة عند اللانهاية .... 3. السلوك

I الملخص الغرض والأهداف من الانضباط (الوحدة النمطية) الغرض من إتقان التخصص: إعطاء الطلاب معرفة منهجية بأساليب التحليل المعقد وتعليمهم تطبيق هذه المعرفة لحل مشاكل الرياضيات

Bagachuk A.V. Bushueva N.A. بولياكوفا آي. تروتنيف ف. نظرية وظائف متغيرة معقدة المبادئ التوجيهية لتنفيذ العمل المستقل كراسنويارسك 2007 المحتويات. معلومات عامة 3 2. المهام

8 متسلسلة الأرقام المركبة انظر في سلسلة أعداد بها أعداد مركبة بالصيغة k a ، (46) حيث (a k) عبارة عن تسلسل رقمي معطى بشروط مركبة k

وزارة التعليم في المؤسسة التعليمية لجمهورية بيلاروسيا "الجامعة التربوية الحكومية البيلاروسية تحمل اسم ماكسيم تانك" إن تي ستيلماشوك ، في إيه شيلينيتس

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي National Research جامعة ولاية نيجني نوفغورود التي سميت على اسم NI Lobachevsky NP Semerikova AA Dubkov AA Kharcheva سلسلة من الوظائف التحليلية

عناصر نظرية وظائف حساب تشغيلي متغير معقد

جامعة ولاية داغستان للاقتصاد الوطني ، قسم الرياضيات ، موخيدينوف ماغوميد جوسينجادجييفيتش إيسباجيفا آسياات دالغاتوفنا ، التعليم الأساسي المتكامل ماخاتشكالا 2017 موخيدينوف

سلسلة المحاضرة 7 Taylor and Laurent 7. سلسلة تايلور في هذا الجزء ، سنرى أن مفاهيم سلسلة الطاقة والدالة التحليلية تحدد الشيء نفسه: أي سلسلة قوى ذات نصف قطر تقارب موجب

مقدمة العنوان. المفاهيم الأساسية ... 4 1. معادلات فولتيرا التكاملية ... 5 خيارات الواجب المنزلي ... 8 2. حل معادلة فولتيرا التكاملية. 10 خيارات الواجب المنزلي ... 11

~ ~ FCF مشتق من دالة من متغير معقد FCF لشرط Cauchy-Riemann مفهوم انتظام تصوير FCF وشكل رقم مركب شكل FCF: حيث تكون الوظيفة الحقيقية لمتغيرين حقيقيين

MV Deikalova COMPLEX ANALYSIS أسئلة للامتحان (مجموعة МХ-21 ، 215) أسئلة الحلقة الأولى 1 1. قابلية تمييز دالة لمتغير معقد عند نقطة ما. شروط كوشي ريمان (دالمبرت أويلر).

عناصر الحساب التشغيلي للنشر TGTU وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي GOU VPO "جامعة تامبوف التقنية الحكومية" عناصر الحساب التشغيلي

مشاكل في نظرية وظائف المتغير المركب

جامعة ولاية موسكو لهم. م. كلية لومونوسوف للرياضيات V.T. فولكوف ، أ. كرافتسوف ، دي. ميناييف ، في يو. بوبوف ، ن. شابكين. أسئلة ومهام لـ

صندوق أدوات التقييم لإجراء الشهادة المتوسطة للطلاب في تخصص (وحدة) معلومات عامة قسم الرياضيات والفيزياء وتكنولوجيا المعلومات اتجاه الدراسة 0030 الرياضيات

نظرية دوال المتغير المركب المحاضر الكسندر سيرجيفيتش رومانوف 1. الدوال التحليلية لمتغير معقد الأعداد المركبة. الأشكال المثلثية والأسية للعدد المركب.

وزارة التعليم في جمهورية بيلاروسيا مؤسسة التعليم "جامعة فرانسيسك سكورينا غوميل الحكومية" أ ب ستاروفويتوف جي إن كازيميروف زه إن كولباكوفا

المحاضرة N37. سلسلة من الوظائف التحليلية. تحلل دالة تحليلية في متسلسلة القدرة. سلسلة تايلور. سلسلة لوران .. توسيع دالة تحليلية في سلسلة باور ..... سلسلة تايلور .... 3. توسيع نطاق تحليلي

أوافق نائب رئيس الجامعة للشؤون الأكاديمية Yu.A. Samara 10 يونيو 2010 البرنامج والمهام نظرية الوظائف في التخصص: متغير معقد في مجال الدراسة: 010600 كلية: لجميع الكليات

المحاضرة 9 عناصر نظرية المخلفات 9.1 تعريف المخلفات في هذا القسم ، نقدم مفهوم بقايا دالة تحليلية عند نقطة مفردة معزولة ، وهو أمر مهم للتطبيقات. قليلا عن المصطلح نفسه. العد،

المحاضرة 5 نوع كوشي متكامل 5.1 نوع كوشي متكامل ، دع C يكون منحنى متعدد الجوانب سلس ، f دالة مستمرة محددة على المنحنى. لأي نقطة z C \ تكون الدالة t f (t) z مستمرة في المتغير

كلية المعادن قسم الرياضيات العليا

المهام النموذجية مع الحلول. مثال على دالة جاما. البحث عن المنتج = 3. الحل. بادئ ذي بدء ، سنعيد فهرسة + بحيث يبدأ المنتج من واحد. نتيجة لذلك ، نحصل على +. 3 بعد ذلك ، نوسع

مهمة الخيار لحساب قيمة الوظيفة (أعط الإجابة في شكل جبري: a قوس ؛ ب الحل A سنحسب ARH باستخدام FORMULA Arch (L (في هذا المثال ZI ، وبالتالي ، قوس L (± L (± أيضًا نحن استعمال

سلسلة Laurent نوع أكثر عمومية من سلاسل الطاقة هي سلاسل تحتوي على قوى موجبة وسالبة لـ z z 0. مثل سلسلة تايلور ، تلعب دورًا مهمًا في نظرية الوظائف التحليلية.

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي مؤسسة تعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "جامعة سيبيريا الصناعية الحكومية"

صفحة من الدرس 9. حساب التكاملات الحقيقية بمساعدة البقايا مات. تحليل التطبيق. الرياضيات ، الفصل الرابع أوجد التكاملات المثلثية التالية باستخدام البقايا: A π + cos ϕ. أ π 3

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي GUBKIN RUSSIAN STATE UNIVERSITY OF OIL AND GAS في ميلنيكوف ، لا توجد نظرية Fastovets لوظائف عملية متغيرة معقدة

حل الخيارات القياسية للتحكم في العمل حول هذا الموضوع تكاملات دالة ذات متغير واحد إرشادات UDC 517.91 تحتوي الإرشادات على حلول مفصلة للخيارات القياسية لأعمال التحكم

الفصل في حساب الاختلافات محاضرة 9 مقدمة

القسم 5 حساب التفاضل والتكامل المتكامل لوظائف متغير واحد

مبادئ توجيهية للفصول العملية (ندوة) الهدف الرئيسي للفصول العملية (ندوة) في تخصص "نظرية وظائف متغير معقد" هو

وزارة التربية والتعليم في جامعة ولاية باكو في أذربيجان تم تجميع البرنامج في قسم نظرية الوظائف والتحليل الوظيفي في جامعة ولاية باكو

قسم التحليل الرياضي: حساب العمليات الموضوع: تحويل لابلاس وخصائصه المحاضر باخوموفا إي. 2011 11. الأصل والصورة. تعريف نظرية الانعكاس 1. دعنا: R C. الوظيفة

S A Lavrenchenko wwwwrckoru محاضرة تحويل فورييه مفهوم التحويل المتكامل طريقة التحولات المتكاملة هي إحدى الطرق القوية للفيزياء الرياضية وهي حل قوي

محاضرة 6 الموضوع الخامس من السلسلة الرباعية توسيع وظيفة دورية في سلسلة فورييه العديد من العمليات التي تحدث في الطبيعة والتكنولوجيا لها خصائص لتكرارها على فترات زمنية معينة مثل هذه العمليات

وزارة العلوم والتعليم في الاتحاد الروسي فتح جامعة ولاية موسكو سميت على اسم معهد VS Chernomyrdin KOLOMENSKY قسم الرياضيات والفيزياء العليا EF KALINICHENKTA LECTURES

Bagachuk A.V. Bushueva N.A. بولياكوفا آي. تروتنيف ف. نظرية وظائف متغير معقد المبادئ التوجيهية التنظيمية والمنهجية لإتقان الانضباط كراسنويارسك 2007 1. معلومات عامة

أساسيات التحليل الوظيفي ونظرية وظائف المحاضر سيرجي أندريفيتش تريسكوف الفصل الدراسي الثالث. سلسلة فورييه. بيان مشكلة توسيع دالة دورية من حيث أبسط التوافقيات. معاملات فورييه

3724 سلسلة من التكاملات المتعددة والمتداخلة 1 برنامج العمل للقطاعات "سلسلة التكاملات المتعددة والمتداخلة" 11 متسلسلة رقمية مفهوم السلسلة الرقمية خصائص المتسلسلة الرقمية معيار ضروري للتقارب

الحساب التشغيلي يشير حساب التفاضل والتكامل التشغيلي إلى حساب رمزي قائم على بناء التحليل الرياضي كنظام رسمي

الأعداد المركبة والوظائف والعمليات عليها y الوحدة R العدد الحقيقي للجزء الحقيقي ، yim الجزء التخيلي العدد الحقيقي i التدوين الجبري للرقم المركب القيمة الرئيسية للوسيطة

تكامل فورييه للصيغ الحقيقية والمعقدة لكتابة تكامل فورييه دع f () وظيفة غير دورية محددة على المحور الحقيقي بأكمله وتلبية شروط Dirichlet على أي فترة زمنية محدودة

الوكالة الفيدرالية للتعليم ، جامعة أرخانجيلسك الحكومية التقنية ، سلسلة كلية الهندسة المدنية ، إرشادات لاستكمال مهام العمل المستقل أرخانجيلسك

أساسيات نظرية الدوال الخاصة ترتبط الحاجة إلى دراسة وظائف خاصة للفيزياء الرياضية بظروف رئيسية. أولاً ، عند تطوير نموذج رياضي فيزيائي

المحاضرة 11 حساب التكاملات ذات الأوزان الأسرية واللوغاريتمية 11.1 التكاملات ذات الأوزان الطاقية تعتبر جزءًا لا يتجزأ من الشكل x α 1 f (x) dx ، (11.1)

وزارة التربية والتعليم في جمهورية بيلاروسيا جامعة فيتيبسك الحكومية التكنولوجية الموضوع. "الصفوف" قسم الرياضيات النظرية والتطبيقية. تم تطويره بواسطة Assoc. إ. ب. دنينا. رئيسي

موضوع الوحدة المتتاليات والمتسلسلات الوظيفية خصائص التقارب المنتظم للمتواليات والمتسلسلات محاضرة سلسلة الطاقة تعريفات متواليات وسلسلة الوظائف بشكل موحد

قسم التحليل الرياضي: تكامل FNP الموضوع: تكامل منحني من النوع الثاني محاضر Pakhomova E.G. 2013 10 10. Curvilinear Curvilinear جزء لا يتجزأ من النوع الثاني من النوع الثاني على الإحداثيات

MA EVDOKIMOV LA MURATOVA LV LIMANOVA مجموعة من المشاكل في الرياضيات العالية طرق اختبار التحكم في المعرفة المجلد الثالث دليل الدراسة جامعة سامارا التقنية الحكومية وزارة التربية والتعليم

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "جامعة ولاية كيميروفو"

مجلة الفيزياء التجريبية والنظرية. 948 ضد 8 إصدار. أ. تيخونوف أ. سمارة. على مبدأ الإشعاع تمت صياغة المبدأ العام للإشعاع لمعادلة الموجة بمعنى أن الحلول

المحاضرة ن 7

صفحة من 9 درس 6. النقاط الفردية المعزولة ذات الطابع الفردي (ISOS) حصيرة. تحليل التطبيق. math. ، 4th semester A قم بتوسيع الوظيفة ln z + 2 z 3 في سلسلة Laurent في منطقة مجاورة لنقطة ما. الجذور والتعدد

الوكالة الفيدرالية للتعليم مؤسسة حكومية تعليمية للتعليم المهني العالي "جامعة ولاية سامراء التقنية" قسم الرياضيات التطبيقية

وزارة التعليم في جمهورية بيلاروسيا المؤسسة التعليمية "جامعة بيلاروسيا الحكومية للمعلوماتية والإلكترونيات الراديوية" كلية أنظمة الكمبيوتر والشبكات قسم الرياضيات العليا

تمايز الوظائف بين الوظائف 1 قواعد التمايز حيث يتم تعريف مشتق الوظيفة كما هو الحال في المنطقة الحقيقية ، أي كحد ، إذن ، باستخدام هذا التعريف وخصائص الحدود ،

الموضوع CURVILINEAR INTEGRALS Lecture CURVILINEAR INTEGRALS OF THE FIRST KIND المشاكل التي تؤدي إلى مفهوم تكامل منحني من النوع الأول تعريف وخصائص منحنى منحني متكامل من النوع الأول.

نظرية وظائف المتغير المعقد S.G Bugaeva. كلية الفيزياء بجامعة ولاية نوفوسيبيرسك.

1. حساب التكاملات على كفاف مغلق. دع الوظيفة و (ض)لديه فقط نقاط مفردة معزولة داخل الكفاف المغلق Γ. ثم تكامل و (ض)على طول الكفاف يمكن إيجادها من خلال تطبيق نظرية 27.1 على البقايا: من خلال حساب البقايا في نقاط مفردة موجودة داخل الكنتور Γ ، وإضافة هذه البقايا وضرب المجموع في 2mr ، نحصل على التكامل المطلوب.

المثال G1 28.1. احسب التكامل

الحل: داخل الدائرة ض = 2 هناك نقطتان منفردتان للوظيفة و (ض) = ( 2 2+ أنا) (^ + 3) 2 'أي ض ط = يوz2= -Cالنقطة المفردة الثالثة ض٪= - 3 خارج هذه الدائرة. تم العثور على المخلفات عند النقاط ± r في المثال 27.5: الدقة * / = 0.01 (7-N) ، الدقة _ * / = 0.01 (7- ز).بتطبيق الصيغة (27.2) ، لدينا:

إذا كانت الوظيفة و (ض)يحتوي فقط على نقاط مفردة معزولة في المستوى المركب الممتد C ، ثم بدلاً من حساب مجموع البقايا عند نقاط مفردة محدودة ، يكون من الأسهل العثور على البقايا عند اللانهاية واستخدام نظرية 27.10 في مجموع البقايا.

مثال 28.2. احسب التكامل

المحلول. دور و (ض)= يحتوي على ثماني نقاط مفردة

حلول المعادلات ض س 4-1 = 0. كل نقطة من هذه النقاط Zkهو قطب من الدرجة الثانية ، لأنه يقع في منطقة مجاورة للنقطة Zkوظيفة و (ض)لديه الشكل و (ض)= أين ح (ض)تحليلي في الجوار

نقاط Zkو ح (زك) و 0. جميع النقاط الفردية تقع داخل الدائرة ض= 2. حساب البقايا في كل هذه النقاط شاق للغاية. تنطبق النظرية 27.10 على هذه الوظيفة ، والتي تعطي

لذلك ، يكفي إيجاد البقايا عند النقطة zq = eo. لنستخدم الصيغة (27.13). هنا

دور ز (ث)تمثيل في الشكل = - 1 ^ ^. أين ح (ث) = --

دبليو(1 + W ب)

بسبب ال مرحبا (ث)تحليلي في منطقة مجاورة للنقطة وك = 0 و ح(0) F 0 ، فيمكن العثور بسهولة على القيمة المتبقية reso $ باستخدام الصيغة (27.6 /): reso # = ح (0) = 1. من (27.2) و (28.1) و (27.13) نحصل على:

2. حساب تكاملات النموذج / R (كوس ip ،الخطيئة موانئ دبيأين ص-

دالة منطقية لـ cos R ،الخطيئة تم العثور على R.تنشأ مثل هذه التكاملات في عدد من التطبيقات (على سبيل المثال ، في حل مشاكل القيمة الحدية). يتم تقليلها إلى التكاملات التي تم النظر فيها في القسم الفرعي السابق عن طريق تغيير المتغير 2 = البريد ز ثم dz = نصيحة البريد idp = zidp، أين

(انظر الصيغ (12.2)). عندما يتغير صمن 0 إلى 2 م تصف النقطة ص دائرة ض= 1. لذلك ، بعد المرور إلى المتغير 2 ، نحصل على تكامل على دائرة الوحدة للدالة التي يمكن تمثيلها كنسبة من اثنين من كثيرات الحدود ؛ تسمى هذه الوظائف الكسور المنطقيةأو التوابع المنطقية الكسرية.

المثال 28.3. احسب التكامل

تم حلها و e. عند إجراء عمليات الاستبدال المذكورة أعلاه ، نحصل على أن هذا التكامل يساوي

نحلل المقام إلى عوامل نجد لها جذور المعادلة من الألف إلى الياء 2 - (أ 2 + ) ض + أ= 0. مميزة

لذلك ، فإن التكامل و (ض)نقطتان فرديتان ض - أو 22 = 1 / أ ، كل منها عبارة عن قطب من الدرجة الأولى. منذ الشرط | أ | يقع Z داخل الدائرة ض= 1 و G؟خارجها. بواسطة Theorem 27.1

لحساب البقايا عند نقطة ما ض = أيمكن استخدام أي من الصيغ (27.5) ، (27.6) ، (27.6 بوصة). دعونا نطبق ، على سبيل المثال ، الصيغة (27.6). هنا

3. حساب التكاملات غير الصحيحة. يترك و (خ)

تعيين وظيفة على المحور كله أوه.دعونا نفكر في حساب

تكاملات حقيقية و و (س) دكس ،المعرفة على النحو التالي:

التكامل المحدد بالمساواة (28.2) يسمى تكامل غير لائق من حيث القيمة الأساسية.إذا خان في (28.2)

موجود ، ثم التكامل ي و (س) دكساتصل متقاربة؛ إذا قبل-

حالات لا وجود لها متشعب.

إذا تقارب كل من التكاملات

(على سبيل المثال ، كلا الحدين المتناظرين موجودان) ، ثم التكامل غير الصحيح في (28.2) يتقارب أيضًا ويساوي مجموع هذه التكاملات.

لكن العكس ليس صحيحًا: من تقارب التكامل / و (س) دكسبأى منطق

القيمة الرئيسية (أي من وجود الحد في (28.2))

تقارب التكاملات / و (س) دكسو / و (س) دكس.على سبيل المثال ، inte-

-المحدودة

/ xdx

- ^ يتقارب بمعنى القيمة الأساسية ويساوي الصفر ،
1 + X *

بسبب ال

في نفس الوقت ، كل من التكاملات يتباعد.

حساب العديد من التكاملات غير الصحيحة

(بمعنى القيمة الأساسية) يقوم على النظرية التالية.

نظرية 28.4. دع الدالة f (x) ، x 6 (-oo ، + نظام التشغيل) ، يستوفي الشرطين التاليين:

1) الوظيفة f (z), تم الحصول عليها عن طريق استبدال x بمتغير معقد z ، في المستوى المركبمن فقط نقاط مفردة معزولة, ولا أحد منهم يقع على المحور السيني;
2) إذا 7 (أنا) - نصف دائرة نصف قطرها R متمركزة في الأصل, الكذب في نصف المستوى العلوي (أو السفلي), ومن بعد

في الخاص

ثم تكامل. ي و (س) دكسيساوي مجموع مخلفات الدالة f (z)

نقاط الكذب في النصف العلوي منبسط مضروبة في 2 / ص (على التوالي ،] هو مجموع البقايا عند نقاط مفردة من نصف المستوى السفلي ، مضروبًا في pa -2 إل جي).

دليل - إثبات. دعونا نفكر أولاً في الحالة عندما يقع نصف الدائرة 7 (R) في النصف العلوي من المستوى. لنأخذ كفاف مغلق Г ، يتكون من مقطع [-I ، I] ونصف دائرة 7 (I) ، مع تجاوز عقارب الساعة (الشكل 49). بواسطة Theorem 27.1

حيث يمتد المجموع إلى جميع النقاط الفردية Zkالكذب داخل كفاف G. دعونا ننتقل إلى الحد مثل R -> س.باستخدام العلاقات (28.2) و (28.3) ، نحصل على المساواة المطلوبة:

حيث يتم أخذ المجموع على جميع النقاط الفردية من النصف العلوي من المستوى.

إذا كان نصف الدائرة 7 (R) يقع في النصف السفلي من المستوى ، فإن الكفاف المقابل G "سوف يسير في اتجاه عقارب الساعة (ينشأ هذا الاتجاه لأن المقطع [-R ، R] في أي حال يجب أن يتم تمريره من اليسار إلى اليمين ، أي في اتجاه الزيادة X).لذلك ، ستتم إضافة علامة الطرح إلى الجانب الأيمن من (28.4). تم إثبات النظرية 28.4.

المثال 28.5. احسب التكامل

المحلول. في هذه الحالة و (ض) = ^+ yy تحقق من صحة الشرط (28.3):

أين ح (ض) = --§- الذي - التي.منذ ليم ح (ض)= 1 ، ثم كبير بما فيه الكفاية

القيم ضسوف يكون ح (ض)

بالتالي.

(هنا fdz= tg ص- طول نصف دائرة ص (ص)).التمرير إلى ما قبل 7 («)

في حالة ص-> س س. نحصل على (28.3). التقديرات التي تم إجراؤها صالحة لكل من أنصاف الدائرة العلوية والسفلية. لذلك ، يمكن اختيار أي منهم على أنه 7 (أ). يترك ص (ص) -نصف دائرة العلوي. لان

ومن بعد و (ض)نقطتان فرديتان ض- 3 جرام ، zo= -Zr ، وهي أعمدة من الدرجة الثانية. من هؤلاء ، في النصف العلوي من المستوى هو فقط ض= Zg. يمكن إيجاد البقايا عند هذه النقطة بالصيغة (27.7) حيث m = 2:

لاحظ أنه كان من الممكن حساب هذا التكامل دون اللجوء إلى طرق التحليل المركب ، ولكن بإيجاد المشتقة العكسية للمتكامل. لكن الحساب أعلاه أبسط بكثير.

الحجة التي أجريناها في المثال 28.5 للتحقق من الشرط (28.3) تنطبق دون تغيير على أي دالة و (ض) ،يمكن تمثيله كنسبة من كثيرات الحدود (أي كسر منطقي) إذا كانت درجة كثير الحدود في المقام أكبر بوحدتين أو أكثر من درجة كثير الحدود في البسط. (في المثال 28.5 ، درجة كثير الحدود في البسط هي 2 ، وفي المقام - 4.) توضح النظرية التالية أن الشرط (28.3) يتم استيفائه أيضًا من خلال فئة مهمة أخرى من الدوال التي تنشأ تكاملاتها ، على سبيل المثال ، في حساب العمليات (انظر الفصل الثامن).

نظرية 28.6 (ليما الأردن). دع الدالة F (z) غير سياسية في نصف المستوى lm z ^-أ، باستثناء عدد محدود من النقاط الفردية المعزولة, وليم و (ض) = 0. اذا كان 7(R) - القوس

دائرة ض = 7?, نصف الطائرة Ini 2 ^ -أ إذن

أرز. خمسون

دليل - إثبات. لنتأمل الحالة أولاً أ> 0. تدل من قبل م(7؟) وحدة كحد أقصى و (ض)على القوس 7 (7؟). لأن الليرة F (ض) = 0 ، إذن

ليم السيد) = 0.

قمنا بتقسيم 7 (7؟) إلى ثلاثة أجزاء 7i (L) ، 72 (7؟) و 7 ز (T؟) (الشكل 50): أقواس 7 أنا (ص)و 72 (ط) بين السطر ص = -أوالمحور OA "، و 73 (T؟) هو نصف دائرة يقع في نصف المستوى Im ض^ 0. من الواضح أن التكامل على 7 (7؟) يساوي مجموع التكاملات على هذه الأقواس الثلاثة. دعونا نقيم كل منهم على حدة.

في بعض النقاط ض = س + أناالأقواس 71 (7؟) و 72 (7؟) ستكون -Y لذلك

دعونا نشير بواسطة / (7؟) الأطوال ، و y؟ (7؟) الزوايا المركزية للأقواس 7i (T؟) و 72 (7؟) (بالتقدير الدائري). من السهل أن نرى (انظر الشكل 50) هذا أمر ضئيل؟ =

أين؟> (7؟) = arcsin -. إذن / (7؟) = ص

7؟ arcsin -. من هنا وصلنا

وهكذا ، في القضية أ> 0 تم إثبات النظرية. اذا كان أ^ 0 ، ثم القوس "y (R)تقع في نصف مستوى ايم ض^ 0 وهو جزء من القوس 73 (ص) ؛أجزاء 7i (ص)و 7 r (R) غائبان في هذه الحالة. لمدة 7 (ص)الحجج أعلاه لـ 73 (7؟) صحيحة ، والنظرية 28.G مثبتة تمامًا.

معنى نظرية 28.6 هو أن. ما هي الوظيفة و (ض)يمكن أن تميل إلى الصفر بشكل تعسفي ببطء (لاحظ أنه في المثال 28.5 ، النقص في الدالة و (ض)في ض-؟ oo كانت سريعة بما يكفي كـ | z | “2). لكن الضرب به البريد ltzيضمن أن التكامل على 7 (ص)إلى الصفر.

تعليق. لهذه المناسبة رض = /؟ الكذب في نصف الطائرة إم ض ^ -أ(كما هو موضح في الخط المنقط في الشكل 50). الدليل في هذه الحالة مشابه للدليل أعلاه لـ ر> 0. في حالة ر- 0 نظرية 28.6 ليست صحيحة.

مثال 28.7. احسب التكاملات

وبالتالي ، الأجزاء الحقيقية والخيالية للوظيفة و (خ)وهي الوظائف التي يجب إيجاد تكاملاتها. لهذا

هي تلك الدوال التي يمكن إيجاد تكاملاتها. لهذا

/ X € * ^ x

--- dxوتأخذ منه الإجراءات +9

الأجزاء الحقيقية والخيالية ، ثم نحصل على القيم المرغوبة.

دور و (ض) = .د يستوفي شروط نظرية 28.6: عليه ض"و 9

له نقطتان فرديتان فقط ض> = ± 3t و lim - = 0. Es-

ض-> سحول ض + 9

سواء 7 (/؟) قوس من دائرة ض = ص ،تقع في نصف الطائرة Im ض> 0. ثم حسب tcodcmc 28.6

(استقبلنا (28.5) ر= 2). لذلك يمكننا تطبيق النظرية 28.4 ،

على أساسها لا يتجزأ / - dxيساوي مجموع بقايا الوظيفة

Jxz 4- 9

نشوئها و (ض) = -- عند نقاط فردية من نصف المستوى العلوي 1 ر ض> ضاي جاي

يا مضروبة 2 ت.في نصف الطائرة Im ض> 0تقع فقط

Z e i2z

نقطة فردية ض= وظائف Zr و (ض).لان و (ض) = ------,

(ض - أوي) (ض+ Zg)

ومن بعد ض= Zr هو قطب من الدرجة الأولى. يمكن العثور على البقايا في هذه المرحلة من أي من كومول (27.، "V. (27.6L (27.63. Ppimenim (27.63. Zles

الأجزاء الحقيقية والخيالية للعدد الناتج وستكون هي المطلوب وأنا ggegral و:

(لاحظ أن اختفاء أول هذه التكاملات يأتي مباشرة من حقيقة أنها جزء لا يتجزأ من دالة فردية على فاصل زمني متماثل فيما يتعلق بالأصل.)

تكامل دالة كسرية.

ضع في اعتبارك تكاملًا غير لائق لدالة عقلانية - نسبة اثنين من كثيرات الحدود P (x) و Q (x) (مع المعاملات المعقدة):

يتقارب إذا لم يكن للمقام جذور حقيقية وكانت درجة البسط أقل بمقدار اثنين على الأقل من درجة المقام.

كيف تحسب قيمة هذا التكامل؟

يمكننا بالطبع أن نأخذ التكامل غير المحدود للدالة الكسرية والتعويض عن النهايتين. لكن اتضح أنه في بعض الأحيان يكون من الأسرع تطبيق الأساليب المتعلقة بالطبيعة التحليلية للوظيفة.

دالة المتغير المركب z التي تساويها هي دالة تحليلية في كل مكان في مستوى المتغير z ، باستثناء عدد محدود من النقاط ، جذور المقام. ضع في اعتبارك في نصف المستوى العلوي كفافًا مغلقًا متعدد العناصر وسلسًا L يتكون من المقطع [-R ، R] من المحور الحقيقي ونصف الدائرة

حيث R كبيرة جدًا بحيث لم يعد هناك جذر واحد للمقام في النصف العلوي من المستوى خارج نصف الدائرة الناتج.

داخل هذا القوس ، بشكل عام ، يوجد عدد معين من جذور المقام ، على سبيل المثال (الشكل 1.3.1).

بسبب الصيغة

نحصل على التعبير

دعونا الآن ندع R c. في نصف الدائرة لدينا ، بحكم الشرط على درجات كثيرات الحدود P (z) و Q (z) ، حيث A هو بعض الثابت ؛ لهذا

ويترتب على ذلك أن التكامل

له حد بقيمة (1.3.1.2). ولكن بما أن التكامل (1.3.1.1) يتقارب ، فيجب أن يتطابق مع حد التكامل (1.3.1.3). لذا،

أ. إذا كانت الجذور بسيطة ، ثم بالصيغة

وبالتالي

ب. تعليق. لقد قللنا تكاملها إلى مجموع البقايا (مضروبة في) للوظيفة في النصف العلوي من المستوى ، مع الأخذ في الاعتبار الكفاف L ، المكون من المقطع [-R ، R] ونصف الدائرة.

ولكن يمكن للمرء أن يفكر بنفس الطريقة مع كفاف يتكون من مقطع (يتم اجتيازه من اليمين إلى اليسار) ونصف دائرة في النصف السفلي من المستوى ؛ سوف نحضر

أين تقع جذور كثير الحدود Q (z) في النصف السفلي من المستوى.

بالانتقال إلى الحد عند ، نجد

النتيجة التي تم الحصول عليها تختلف في الشكل عن النتيجة (1.3.1.4). في الواقع ، بالطبع ، يتطابقان ، بحيث يكون الفرق بين هذه النتائج ، أي مضروبًا في مجموع بقايا الوظيفة في جميع جذور Q (z) ، في كل من النصف العلوي والسفلي ، متساوي حتى 0.

يمكن أيضًا عرض هذا بشكل مباشر. كما نعلم ، يتطابق مجموع البقايا مع التكامل

على طول دائرة نصف قطرها R كبيرة بما يكفي لاحتواء جميع جذور Q (z) بالداخل. هذا التكامل لا يعتمد على R وفي نفس الوقت يعترف بالتقدير

وبالتالي ، فإن التكامل (8) يساوي 0. ومن ثم

أ. تكاملات فورييه. غالبًا ما تكون هناك تكاملات في النموذج

إذا تم استيفاء الشرط

ثم تتقارب تكاملات فورييه الثلاثة بشكل مطلق. إذا كانت الدالة f (x) حقيقية وتميل بشكل رتيب إلى الصفر ، فإن التكاملات (1.3.2.2) و (1.3.2.3) تتقارب بشكل عام ولكن ليس بشكل مطلق. بالإضافة إلى ذلك ، إذا كانت f (- x) f (x) (أي الدالة f (x) زوجية) ، فإن التكامل (1.3.2.3) يساوي صفرًا ، إذا كانت f (- x) = -f ( x) (الدالة f (x) فردية) ، ثم يختفي التكامل (1.3.2.2). علاوة على ذلك ، هناك علاقة واضحة

بحيث في حالة f (x) الحقيقية ، تمثل التكاملات (1.3.2.2) و (1.3.2.3) الأجزاء الحقيقية والخيالية من التكامل (1.3.2.1).

ب. غالبًا ما تكون طرق تكامل الكنتور مفيدة. يترك. هي دالة منطقية ومتعددة الحدود Q (x) لها درجة واحدة على الأقل أكبر من درجة كثيرة الحدود P (x) ولا تختفي بالنسبة إلى x الحقيقي. في هذه الحالة ، تتقارب التكاملات (1.3.2.1) - (1.3.2.3)

اسمحوا أن تكون جذور كثير الحدود Q (x) الكذب في النصف العلوي من المستوى. نشكل كفافًا مغلقًا يتكون من مقطع [-R ، R] من المحور الحقيقي ونصف دائرة. ثم

دعونا نظهر ذلك متى

إذا ، إذن || = || =. لذلك ، إذا كانت درجة كثير الحدود Q (z) أعلى بوحدتين على الأقل من درجة كثير الحدود P (z) ، يمكن إثبات العلاقة (1.3.2.5) بنفس الطريقة تمامًا كما في 1.3 .1.

في. إذا كانت درجة كثير الحدود Q (z) أكبر من درجة كثيرة الحدود P (z) ، فإن الوسيطة 1.3.1 تفشل. في هذه الحالة ، نؤسس اللمة التالية.

ليما. ل ، عدم المساواة

(ج - ثابت).

دليل - إثبات. لأنه يكفي النظر في التكامل

يساوي نصف السابق. لدينا في

نظرًا لأن وظيفة u> 0 محدودة. ثبت أن اللمة.

بقايا الدالة f (z) عند نقطة مفردة معزولة z0 هي الرقم حيث يمثل 7 دائرة صغيرة بدرجة كافية ولا توجد نقاط مفردة أخرى للدالة f (z). يتبع مباشرة من صيغة معاملات سلسلة Laurent أن بقايا الوظيفة f (r) عند نقطة مفردة معزولة zo تساوي المعامل عند (r - zq) ~] في توسعة Laurent لهذا تعمل عند النقطة z0. هذا يعني ، على وجه الخصوص ، أن البقايا عند نقطة مفردة قابلة للإزالة تساوي صفرًا. دعنا نشير إلى بعض الصيغ لحساب البقايا عند عمود الوظيفة f (r). 1. zq - قطب من الدرجة الأولى: 00 نضرب كلا الجزأين من هذه المساواة في z - zo ، وبالانتقال إلى النهاية عند z zo ، نحصل على ذلك إذا كان من الممكن تمثيل الوظيفة f (z) ككسر حيث و f (z) هي دوال تحليلية ، وقطب بسيط ، ثم من الصيغة (3) يتبع المثال 1. لنفترض أن النقاط المفردة »وظائف ، BE gyulus بسيطة. لذلك ، 2. zo هو قطب الترتيب m: لإزالة القوى السلبية لـ z - z0 ، اضرب كلا جانبي هذه المساواة في (z-Zo) m ، المخلفات نظرية المخلفات الأساسية تطبيق البقايا على حساب التكاملات بقايا دالة فيما يتعلق بنقطة عند تكاملات اللانهاية تكاملات الدوال المنطقية في الأردن حساب Lemma لتكاملات فرينل دعنا نفرق العلاقة التي تم الحصول عليها m - 1 مرة ، وننتقل إلى الحد عند ، نحصل على المثال 2. دعنا 4 النقاط الفردية لهذا الوظيفة هي النقاط r = ± i. هذه أعمدة من الدرجة الثانية. لنحسب ، على سبيل المثال ، res / (i). لدينا Theorem 21i دع الدالة f (z) تحليلية في كل مكان في المجال D باستثناء عدد محدود من النقاط المفردة المعزولة 7then لأي مجال مغلق G يقع في D ويحتوي على نقاط zn بالداخل ، وتثبت المساواة التالية. تتبع النظرية من نظرية كوشي لمجال متصل مضاعف. دعونا نبني دوائر من هذا الشعاع الصغير r بحيث أن الدوائر التي تحدها موجودة في المجال G ولا تتقاطع مع بعضها البعض (الشكل 29). قم بالإشارة بواسطة G * إلى المجال الذي تم الحصول عليه من المجال G عن طريق إزالة الدوائر Ui ...، U „. الوظيفة f (z) تحليلية في G * ومستمرة في إغلاقها G7. لذلك ، من خلال نظرية كوشي لمجال متصل مضاعف ، لدينا من هذه الصيغة ، باستخدام تعريف البقايا ، نحصل على المساواة المطلوبة (5). 6.1 يقال أن بقايا دالة فيما يتعلق بالنقطة عند اللانهاية A دالة f (z) تحليلية عند النقطة اللانهائية z = oo إذا كانت الوظيفة تحليلية عند النقطة C = 0. يجب أن يُفهم هذا على النحو التالي: يمكن تمديد الوظيفة g (0 = f (f) إلى وظيفة تحليلية عن طريق الضبط على سبيل المثال ، الوظيفة تحليلية عند النقطة z = oo ، نظرًا لأن الوظيفة تحليلية عند النقطة C = 0. دع الدالة f (z) تحليلية في بعض المناطق المجاورة لنقطة ما عند اللانهاية (باستثناء النقطة z = oo نفسها). النقطة z = oo تسمى النقطة المفردة المعزولة f (z) إذا لم تكن هناك نقاط مفردة أخرى لـ f (z) في بعض المناطق المجاورة لهذه النقطة. الوظيفة لها تفرد غير معزول عند اللانهاية: الأقطاب zk = k-k لهذه الوظيفة تتراكم عند اللانهاية إذا k oo. يُقال أن z - oo هي نقطة رفيعة مفردة قابلة للإزالة ، أو قطب ، أو نقطة مفردة أساسية للوظيفة f (z) ، اعتمادًا على ما إذا كانت lim f (z) محدودة ، أو غير محدودة ، أو غير موجودة على الإطلاق. تختلف معايير نوع النقطة عند اللانهاية المرتبطة بتحلل لوران عن تلك الخاصة بالنقاط المفردة المحدودة. النظرية 22. إذا كانت z - oo نقطة مفردة قابلة للإزالة للوظيفة / (z) ، فإن توسع Laurent لـ f (z) في حي من هذه النقطة لا يحتوي على قوى موجبة لـ z ؛ eaiu z - oo هو عمود ، إذن هذا التوسع يحتوي على عدد محدود من القوى الموجبة لـ z ، في حالة التفرد الأساسي ، عدد لا حصر له من القوى الموجبة لـ z. توسع لوران للدالة / (ض) في منطقة مجاورة لنقطة عند اللانهاية هو توسع سلسلة لوران الذي يتقارب في كل مكان خارج دائرة نصف قطرها كبير بما فيه الكفاية R المتمركزة عند النقطة z - 0 (باستثناء ، ربما ، النقطة z - س نفسه). دع الدالة f (z) تحليلية في بعض المناطق المجاورة للنقطة z = oo (ربما باستثناء هذه النقطة نفسها). بقايا الوظيفة / (ض) عند اللانهاية هي الكمية pae 7 - دائرة كبيرة بدرجة كافية \ z \ u003d p ، يتم اجتيازها في اتجاه عقارب الساعة (بحيث يظل حي النقطة z - oo على اليسار ، كما في الحالة من نقطة النهاية r \ u003d r0). ومن هذا التعريف ، يترتب على ذلك أن بقايا الدالة عند اللانهاية تساوي المعامل عند z ~! في توسعة Laurent / (z) بالقرب من النقطة z - oo ، مأخوذة بعلامة معاكسة: مثال 3. بالنسبة للوظيفة f (z) = لدينا f (z) = 1 + j. يمكن اعتبار هذا التعبير على أنه توسع لوران في المنطقة المجاورة + النقاط z = oo. من السهل رؤية ذلك بحيث تكون النقطة z = oo نقطة مفردة قابلة للإزالة ، وقمنا بتعيين ، كالعادة ، / (oo) = 1. هنا ، من هذا المثال ، يتبع ذلك أن بقايا الوظيفة التحليلية مع فيما يتعلق بالنقطة المفردة القابلة للإزالة البعيدة بلا حدود (عند الاختلاف عن نقطة مفردة قابلة للإزالة محدودة) قد تكون مختلفة عن الصفر. يمكن أيضًا اعتبار توسعات تايلور المعروفة للوظائف e1 و cosz و sinz و chz و shz توسعات لوران بالقرب من النقطة z - oo. نظرًا لأن كل هذه التوسعات تحتوي على مجموعة لا حصر لها من القوى الإيجابية لـ z ، فإن الوظائف التي تم تعدادها لها تفرد أساسي عند النقطة z = oo. نظرية 23. إذا كان للدالة f (z) عدد محدد من النقاط المفردة في المستوى المركب الممتد ، فإن مجموع كل بقاياها ، بما في ذلك البقايا عند اللانهاية ، يساوي صفرًا. لذلك ، إذا كانت هذه هي النقاط الفردية النهائية للدالة f (z) ، فيمكن استخدام العلاقة الأخيرة بسهولة عند حساب بعض التكاملات. مثال 4. احسب التكامل أقطاب التكامل (المنتهية) هي جذور zt للمعادلة rn = -1 ، والتي تقع جميعها داخل الدائرة. في المنطقة المجاورة للنقطة r = oo ، فإن الدالة f (z) لها التوسيع التالي: تطبيق البقايا في حساب التكاملات المحددة. تكاملات نظرية الدوال العقلانية 24. لنفترض أن f (x) تكون دالة عقلانية ، أي أين توجد كثيرات الحدود للدرجات nm ، على التوالي. إذا كانت الدالة f (x) متصلة على المحور الحقيقي بأكمله (. درجة المقام أكبر بوحدتين على الأقل من درجة البسط ، ثم p. (*) Qm (z) في جميع الأقطاب الموجودة في لا توجد دالة عقلانية لنصف المستوى العلوي) .4 ضع في اعتبارك كفاف مغلق 7 يتكون من جزء من المحور الحقيقي لنصف الدائرة العلوي ، ويمكننا أن نفترض أن R تم اختياره كبيرًا لدرجة أن الجزء الداخلي من المنطقة يحده المحيط 7 يحتوي على جميع أقطاب الوظيفة الموجودة في النصف العلوي من المستوى (الشكل 30) بحكم نظرية البقايا الأساسية I دعونا نقدر J. بحكم الشرط على درجات كثيرات الحدود ، هناك أرقام موجبة D0 و M بحيث بالنسبة للخاصية 6 من تكاملات دالة المتغير المعقد لدينا R 00. لاحظ أن الجانب الأيمن لا يعتمد على R ، وأن المصطلح الثاني على الجانب الأيسر يميل إلى 0. ويترتب على ذلك أن الحد من المصطلح الأول موجود ويساوي وضعت في النصف العلوي من الطائرة. مثال 5. احسب التكامل بما أن التكامل هو دالة زوجية ، ضع في اعتبارك الوظيفة المخلفات النظرية الرئيسية حول المخلفات تطبيق البقايا لحساب التكاملات بقايا دالة فيما يتعلق بنقطة عند اللانهاية تطبيق البقايا لحساب التكاملات المحددة تكاملات الدوال العقلانية lemma في الأردن حساب تكاملات فريسنل ، أي بالنسبة إلى r = x ، يتزامن مع f (x). تحتوي الوظيفة / (z) على نقطة مفردة واحدة معزولة في النصف العلوي من المستوى z - ai - قطب من الدرجة الثانية. المتبقي f (r) عند النقطة z = v "متساوي. باستخدام الصيغة (10) ، نحصل على تكامل الصيغة حيث A (m، r) دالة منطقية للوسيطتين u و v. دعونا نقدم متغير معقد z = etx. ثم يتضح ذلك في هذه الحالة. وهكذا ، يتحول التكامل الأصلي إلى جزء لا يتجزأ من دالة لمتغير معقد على طول محيط مغلق: حيث 7 عبارة عن دائرة نصف قطرها مركز في الأصل: وفقًا لنظرية البقايا الرئيسية ، يكون التكامل الناتج ، حيث يكون المجموع من بقايا التكامل و F (z) عند القطبين الموجودين داخل الدائرة 7. مثال 6. احسب التكامل باستخدام التعويض z = e، r. بعد التحولات البسيطة (انظر الصيغ (II)) نحصل على ذلك داخل دائرة الوحدة ، تحت الشرط ، يوجد قطب واحد فقط (من الدرجة الثانية) عند حساب مثل هذه التكاملات ، غالبًا ما يكون اللما التالي مفيدًا. الأردن ليما. اجعل الدالة f (z) تحليلية في نصف المستوى العلوي باستثناء عدد محدود من النقاط المفردة المعزولة ، وكما \ تميل إلى الصفر بشكل موحد فيما يتعلق بـ arg z. ثم بالنسبة لأي موجب a حيث 7n هو نصف الدائرة العلوي.الشرط الذي تميل f (r) إلى الصفر بشكل موحد يعني أنه في نصف الدائرة 7R دعونا نقدر intefal قيد الدراسة. مع ملاحظة أنه في 7 أ في ضوء عدم المساواة المعروفة (انظر الشكل 31) والتي تكون صالحة لـ (لإثبات ذلك ، يكفي أن نلاحظ أن u ، وبالتالي ، فإن الوظيفة ^ تتناقص في نصف الفترة. مقارنة الصيغ (13 ) و (14) ، نستنتج أن 4 قدمنا دالة مساعدة مثال 7. حساب التكامل من السهل أن نرى أنه إذا كانت r = x ، فإن Jmh (z) يتطابق مع lemma الخاص بالأردن من خلال نظرية المخلفات الرئيسية لأي لقد تجاوزنا حد المساواة (16) وأخذنا في الاعتبار العلاقة (15) ، نحصل على ذلك بفصل الأجزاء الحقيقية والخيالية عن اليسار واليمين ، نظرًا لحقيقة أن التكامل و f (x) - حتى ، نحصل أخيرًا في المثال قيد الدراسة على أن الوظيفة f (z) ليس لها نقاط مفردة على المحور الحقيقي ، ومع ذلك ، فإن تغييرًا طفيفًا في الطريقة الموصوفة يسمح لنا بتطبيقها في الحالة عندما نقاط المفرد المحاور (أعمدة بسيطة). دعنا نظهر كيف يتم ذلك. مثال 8. احسب التكامل 4 ، فإن الوظيفة لها الخصائص التالية: للتزامن مع التكامل ؛ 2) لديه تفرد على المحور الحقيقي - قطب بسيط عند النقطة z \ u003d 0. ضع في اعتبارك في نصف المستوى العلوي Im z ^ 0 كفاف مغلق Γ ، يتكون من مقاطع من المحور الحقيقي [-R ، -r ) ، (ص ، ص) وأقواس نصف دائرة (أرز. 33). يوجد داخل هذا الكفاف قطب واحد فقط للدالة h (z) - النقطة z = Ы. وفقًا لنظرية البقايا الأساسية ، دعونا أولاً نحول مجموع التكاملات على المقاطع (-I ، -r | و | r ، R) للمحور الحقيقي. استبدال x بـ ~ x في المصطلح الأول على الجانب الأيمن من المساواة (18) ودمجها مع المصطلح الثالث ، نحصل على دعونا ننتقل إلى المصطلح الثاني في الصيغة (18). حيث أن lim g (z) = 0. ثم يمكن تمثيل التكامل h (z) بالشكل التالي: ثم الافتراض. نحصل على أن المصطلح الرابع في المساواة (18) يميل إلى الصفر مثل λ - »oo ، وفقًا لـ lemma الأردني ، لأن الوظيفة ^ تميل إلى الصفر كـ | r | س. وهكذا ، فإن المساواة (18) تأخذ شكل 6.3. حساب تكاملات فرينل تكاملات فرينل: ضع في اعتبارك الوظيفة المساعدة / (r) \ u003d c "والمحيط Γ المشار إليه في الشكل. داخل الكنتور Γ ، تكون الوظيفة f (z) تحليلية ، ومن خلال نظرية كوشي نوضح ذلك أين Гг2 هو نصف دائرة نصف قطرها r2. الوظيفة 0 (0 = تفي بشروط الأردن lemma ، وبالتالي ، عند تمرير الصيغة (20) إلى الحد مثل r - * oo ، نحصل على تلك المحاور في التعيين: إثبات أن الوظيفة مستمرة على المستوى المعقد بأكمله: باستخدام شروط كوشي-ريمان ، اكتشف ما إذا كانت الوظيفة تحليلية على الأقل في نقطة واحدة أم لا: استعادة الوظيفة f (r) التحليلية في منطقة مجاورة للنقطة 20 من الجزء الحقيقي المعروف و (أو بالنظر إلى الجزء التخيلي المعروف v (x ، y)) والقيمة f (z0): أظهر أن الوظائف التالية متناسقة: هل يمكن أن تكون الوظيفة المعطاة هي الجزء الحقيقي أو التخيلي من دالة تحليلية أوجد ما هو حقيقي الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة: أوجد المعامل والقيمة الرئيسية لوسيطة الوظيفة عند النقطة المحددة zq: أوجد لوغاريتمات الأرقام التالية: حل المعادلة: 38. احسب التكامل / - الخط الذي يربط بين النقاط z \ u003d 0 مقطوع إلى خط مستقيم ، ب) قوس القطع المكافئ مكسور 39 احسب التكامل - نصف الدائرة احسب التكاملات: 43. احسب التكامل / حيث 7 هو النصف العلوي من المحيط | z | = 1 (اختر نظرية المخلفات الأساسية لتطبيق المخلفات لحساب تكاملات بقايا دالة فيما يتعلق بنقطة في اللانهاية تطبيق المخلفات لحساب تكاملات محددة تكاملات وظائف عقلانية dz ، حيث 7 عبارة عن مقطع خط مستقيم ينتقل من النقطة z = 1 إلى النقطة احسب التكاملات: أوجد نصف قطر تقارب السلسلة: وسّع الدالة إلى سلسلة تايلور وابحث عن نصف قطر تقارب السلسلة الناتجة: في قوى z + I. 55. cosz لقوى 56. --- لقوى z + 2. 57 .- ^ - لقوى z. 58. sh2 z إلى قوى z. ابحث عن أصفار الدالة وحدد ترتيبها: z حدد منطقة التقارب في السلسلة: قم بالتوسيع إلى سلسلة Laurent المجاورة للنقطة r = 0: قم بالتوسيع إلى سلسلة Laurent في الحلقة المحددة: ابحث عن نقاط فردية و تحديد طابعها: أوجد بقايا الوظيفة عند نقاط مفردة: حساب التكاملات: تحديد طبيعة النقطة عند اللانهاية: حساب التكاملات: الإجابات z تذهب فوق المحور y ، عندما يتغير z من -oo إلى + oo و يتغير من -oo ومن + oo إلى +1 (تم استبعاد النقطة +1) ، ينتقل المحور y إلى دائرة ويمر المحور x إلى المحور ، وكما هو الحال في التمرين u 5 ، يمر المحور y إلى الخط المستقيم u ~ 1 ، يمتد من النقطة 1 إلى 1 + أيضًا ومن 1 - »oo إلى النقطة 1 (النقطة 1 نفسها مستبعدة

تعريف. يتم استدعاء نقاط المستوى المعقد الذي تكون فيه الوظيفة أحادية القيمة f (z) تحليلية صحيحنقاط هذه الوظيفة ، ويتم استدعاء النقاط التي لا تكون فيها f (z) تحليلية خاصالنقاط (على وجه الخصوص ، النقاط التي لم يتم فيها تعريف f (z)).

تعريف. النقطة z 0 تسمى صفر (جذر) الترتيب (تعدد)الدالة التحليلية f (z) ، إذا:

ب) موجود ومحدود ولا يساوي الصفر.

إذا كان عددًا صحيحًا موجبًا) ، إذن - أصفار (جذور) من هذا كثير الحدود ، والتي لها أوامر (تعدد) على التوالي.

تعريف. يترك F(ض) دالة تحليلية بالقرب من النقطة z 0 ، باستثناء النقطة نفسها ض 0. في هذه الحالة ، النقطة ض 0 يسمى نقطة مفردة معزولةالمهام F(ض).

هناك نقاط مفردة معزولة للدالة أحادية القيمة من ثلاثة أنواع :

1) نقطة مفردة قابلة للإزالة - نقطة مفردة معزولة ض 0 ، حيث يوجد حد محدد:

2) القطب من الرتبة k هو نقطة مفردة معزولة z 0 ، حيث يوجد حد منتهي لا يساوي الصفر:

(2.41)

إذا ، إذن z 0 هو قطب من الدرجة الأولى (قطب بسيط) ؛

3) نقطة مفردة بشكل أساسي - نقطة مفردة معزولة z 0 غير قابلة للإزالة ولا قطب. أي أنها غير موجودة ، ليست محدودة ولا غير محدودة.

نظرية (حول العلاقة بين الصفر والقطب). إذا كانت النقطة z 0 هي صفر من رتبة k للدالة f (z) ، فإن هذه النقطة بالنسبة للوظيفة 1 / f (z) هي قطب من رتبة k.

لنفترض أن f (z) دالة تحليلية في كل نقطة من المجال D ، باستثناء عدد محدود من النقاط المفردة المعزولة ، و L يكون كفافًا مغلقًا متعدد العناصر يقع بالكامل في المجال D ولا يمر عبره النقاط الفردية للدالة f (z).

إذا كان المجال الذي يحده الكفاف L لا يحتوي على نقاط مفردة للوظيفة f (z) ، عندئذٍ بواسطة نظرية كوشي الرئيسية

ومع ذلك ، إذا كانت هناك نقاط مفردة للدالة f (z) في المنطقة التي يحدها الكفاف L ، فإن قيمة هذا التكامل ، بشكل عام ، لا تساوي صفرًا.

تعريف. بقايا دالة تحليلية f (z) فيما يتعلق بنقطة مفردة معزولة z 0 (أو عند نقطة z 0) هي رقم مركب مساوٍ لقيمة التكامل ، حيث L هي أي كفاف مغلق متعدد الأجزاء يقع في المنطقة التحليلية للدالة f (z) والتي تحتوي داخل النقطة الفريدة الفريدة z 0 للدالة f (z).

يُشار إلى المتبقي f (z) فيما يتعلق بالنقطة z 0 بالرمز resf (z 0) (Resf (z 0)) أو بحيث يكون لدينا:

. (2.42)

بقايا الوظيفة فيما يتعلق بنقطة مفردة قابلة للإزالة تساوي صفرًا:

يمكن العثور على البقايا f (z) فيما يتعلق بقطب بسيط بالصيغة:

تم العثور على المتبقي f (z) فيما يتعلق بقطب الترتيب k بالصيغة:

إذا كانت النقطة عبارة عن صفر بسيط وليست صفراً من أجل:

. (2.46)

نظرية المخلفات الأساسية لكوشي. إذا كانت الوظيفة f (z) تحليلية في منطقة مغلقة يحدها المحيط L ، باستثناء عدد محدود من النقاط الفردية الموجودة بالداخل ، إذن:

هذه النظرية لها أهمية كبيرة للتطبيقات.

واحد منهم هو حساب بعض تكاملات دالة لمتغير معقد.

تعليق. في الاعتبارات السابقة حول البقايا ، تم افتراض ضمنيًا أن النقاط المفردة المعزولة المحدودة تؤخذ في الاعتبار (وهذا واضح من حقيقة أن التكامل على كفاف مغلق تم أخذه افتراضيًا في الاتجاه الإيجابي ، أي عكس اتجاه عقارب الساعة ، والنقطة المفردة في هذا العلبة تقع داخل الكفاف فقط عندما تكون محدودة). في حالة النظر في نقطة بعيدة بشكل لا نهائي ، يكون الوضع مختلفًا إلى حد ما. بتعبير أدق ، دعنا نضع الأمر على هذا النحو.

تعريفبقايا الدالة f (z) فيما يتعلق بنقطة عند اللانهاية تسمى التكامل:

حيث L عبارة عن كفاف مغلق متعدد العناصر يقع بالكامل في المنطقة المجاورة للنقطة التي تكون فيها الوظيفة f (z) تحليلية. يتم تنفيذ التكامل على L في الاتجاه السلبي لهذا الكفاف ، أي بحيث عند اجتياز المحيط ، تظل النقطة عند اللانهاية إلى اليسار. في هذا الطريق:

مثال 1

أوجد تكامل دالة لمتغير معقد باستخدام نظرية Cauchy المتبقية: