حساب مشتقات الدوال الضمنية المعطاة من خلال نظام المعادلات.

بالنظر إلى نظام المعادلات

أو لفترة وجيزةF(x, ذ)=0 (1)

تعريف. النظام (1) يعرّف وظيفة محددة ضمنيًاذ= F(x) على الد ص ن

إذا x د : F(x , F(x)) = 0.

النظرية (الوجود والتفرد في التعيين المحدد ضمنيًا بواسطة نظام المعادلات). يترك

ثم في بعض الأحياءيو (x 0 ) هناك وظيفة فريدة (رسم خرائط) محددة في هذا الحيذ = F(x)، مثل ذلك

 x يو (x 0 ) : F(x, F(x)) = 0 وذ 0 = F(x 0 ).

هذه الوظيفة قابلة للتفاضل بشكل مستمر في بعض المناطق المجاورة للنقطةx 0 .

5. حساب مشتقات الدوال الضمنية المعطاة من خلال نظام المعادلات

نظام معين

(1)

سنفترض أنه تم استيفاء شروط نظرية الوجود والتفرد للوظيفة الضمنية التي يوفرها نظام المعادلات هذا. نشير إلى هذه الوظيفة ذ= F(x) . ثم في حي نقطة ما x 0 الهويات

(و (س ، و (س)) = 0) (2)

التفريق بين هذه الهويات فيما يتعلق x ي نحن نحصل

=0 (3)

يمكن كتابة هذه المساواة في شكل مصفوفة

, (3)

أو موسعة

لاحظ أن الانتقال من المساواة F(x, F(x))=0 إلى
, يتوافق مع قواعد التفاضل للحالة متى x و ذهي نقاط في الفضاء أحادي البعد. مصفوفة لا تتحلل بالافتراض ، لذا فإن معادلة المصفوفة
لديه حل
. وهكذا ، يمكن للمرء أن يجد مشتقات جزئية من الدرجة الأولى للوظائف الضمنية . لإيجاد الفروق ، نشير

دى = ,dx = ، التفريق بين المساواة (2) نحن نحصل

=0 ,

أو في شكل مصفوفة

. (4)

موسع

كما في حالة المشتقات الجزئية ، الصيغة (4) لدينا نفس الشكل كما في حالة المساحات أحادية البعد ن=1, ص=1. يمكن كتابة حل معادلة المصفوفة بالصيغة
. لإيجاد مشتقات جزئية من الرتبة الثانية ، سيكون من الضروري اشتقاق المتطابقات (3) (لحساب الفروق من الدرجة الثانية ، تحتاج إلى التفريق بين الهويات (4) ). وهكذا نحصل

حيث من خلال أ يشار إلى المصطلحات التي لا تحتوي على المصطلحات المطلوبة
.

مصفوفة معاملات هذا النظام لتحديد المشتقات
هي مصفوفة يعقوبية .

يمكن الحصول على صيغة مماثلة للتفاضل. في كل حالة من هذه الحالات ، سيتم الحصول على معادلة مصفوفة بنفس مصفوفة المعاملات في نظام المعادلات لتحديد المشتقات أو الفروق المرغوبة. سيحدث نفس الشيء في ظل الفروق التالية.

مثال 1. بحث ,,في هذه النقطة ش=1, الخامس=1.

المحلول. ميّز بين المعادلات المعطاة

(5)

لاحظ أنه وفقًا لصياغة المشكلة ، يجب أن نعتبرها متغيرات مستقلة x, ذ. ثم ستكون الوظائف ض, ش, الخامس. هكذا النظام (5) لاتخاذ قرار بشأن المجهول دو, دي في, دز . في شكل مصفوفة ، تبدو هكذا

لنحل هذا النظام باستخدام قاعدة كرامر. محدد مصفوفة المعامل

، المحدد الثالث "استبدال" ل دز سيكون مساويًا لـ (يتم حسابه بالتوسيع في العمود الأخير)

، ومن بعد

دز =
, و
,
.

التفريق (5) تكرارا ( x, ذ – المتغيرات المستقلة)

مصفوفة المعامل للنظام هي نفسها ، المحدد الثالث

لحل هذا النظام ، نحصل على تعبير لـ د 2 ض حيث يمكنك إيجاد المشتق المطلوب.

كما تعلم ، يتم تعريف دالة معطاة ضمنيًا لمتغير واحد على النحو التالي: تسمى دالة المتغير المستقل x ضمنيًا إذا تم تقديمها بواسطة معادلة لم يتم حلها فيما يتعلق بـ y:

المثال 1.11.

المعادلة

يحدد ضمنيًا وظيفتين:

والمعادلة

لا تحدد أي وظيفة.

النظرية 1.2 (وجود دالة ضمنية).

دع الدالة z \ u003d f (x، y) ومشتقاتها الجزئية f "x و f" y محددة ومستمرة في بعض الأحياء UM0 للنقطة M0 (x0y0). بالإضافة إلى ذلك ، f (x0، y0) = 0 و f "(x0، y0) ≠ 0، ثم المعادلة (1.33) تحدد في جوار UM0 دالة ضمنية y = y (x) ، متصلة وقابلة للتفاضل في بعض الفترات D مع المركز عند النقطة x0 ، و y (x0) = y0.

بدون دليل.

من Theorem 1.2 يتبع ذلك في هذه الفترة D:

وهذا يعني أن هناك هوية في

حيث يوجد المشتق "الإجمالي" وفقًا لـ (1.31)

أي أن (1.35) يعطي صيغة لإيجاد مشتقة دالة معينة ضمنيًا لمتغير واحد x.

يتم تعريف دالة ضمنية لمتغيرين أو أكثر بالمثل.

على سبيل المثال ، إذا كانت المعادلة التالية صحيحة في منطقة V من الفضاء Oxyz:

ثم في ظل ظروف معينة على الوظيفة F ، فإنها تحدد الوظيفة ضمنيًا

في نفس الوقت وقياسا على (1.35) توجد مشتقاته الجزئية على النحو التالي:

المثال 1.12. بافتراض أن المعادلة

يعرّف ضمنيًا وظيفة

أوجد z "x، z" y.

لذلك ، وفقًا لـ (1.37) ، نحصل على الإجابة.

11. استخدام المشتقات الجزئية في الهندسة.

12. Extrema لدالة من متغيرين.

تتشابه مفاهيم الحد الأقصى ، الأدنى ، الحد الأقصى لوظيفة متغيرين مع المفاهيم المقابلة لوظيفة متغير مستقل واحد (انظر القسم 25.4).

دع الوظيفة z = ƒ (х ؛ у) يتم تحديدها في بعض المجالات D ، النقطة N (x0 ؛ y0) н D.

النقطة (x0 ؛ y0) تسمى النقطة القصوى للدالة z = ƒ (x ؛ y) إذا كان هناك مثل هذا الجوار d للنقطة (x0 ؛ y0) لكل نقطة (x ؛ y) بخلاف (xo؛ yo) ، هذا الحي يلبي عدم المساواة ƒ (х ؛ у)<ƒ(хо;уо).

لكن يتم تحديد النقطة الدنيا للدالة منطقيًا: بالنسبة لجميع النقاط (x ؛ y) بخلاف (x0 ؛ y0) ، فإن عدم المساواة التالية تصمد من حي d- للنقطة (xo ؛ yo): ƒ (x ؛ y) > ƒ (x0 ؛ y0).

في الشكل 210: N1 هي النقطة القصوى ، و N2 هي النقطة الدنيا للدالة z = ƒ (x ؛ y).

تسمى قيمة الوظيفة عند نقطة الحد الأقصى (الحد الأدنى) الحد الأقصى (الأدنى) للدالة. يسمى الحد الأقصى والأدنى للدالة بالدرجة القصوى.

لاحظ أنه بموجب التعريف ، تقع النقطة القصوى للدالة داخل مجال الوظيفة ؛ الحد الأقصى والحد الأدنى لهما طابع محلي (محلي): تتم مقارنة قيمة الوظيفة عند النقطة (x0 ؛ y0) بقيمها عند نقاط قريبة بدرجة كافية من (x0 ؛ y0). في المنطقة D ، قد تحتوي الوظيفة على العديد من القيم القصوى أو لا شيء.

46.2. شروط ضرورية وكافية لأقصى حد

ضع في اعتبارك شروط وجود حد أقصى للدالة.

نظرية 46.1 (الشروط الضرورية للأقصى). إذا كانت الدالة القابلة للتفاضل z \ u003d ƒ (x؛ y) عند النقطة N (x0؛ y) لها حد أقصى ، فإن مشتقاتها الجزئية عند هذه النقطة تساوي الصفر: ƒ "x (x0 ؛ y0) \ u003d 0 ، ƒ "y (x0؛ y0) = 0.

نصلح أحد المتغيرات. افترض ، على سبيل المثال ، y = y0. ثم نحصل على الدالة ƒ (x ؛ y0) = φ (x) لمتغير واحد له حد أقصى عند x = x0. لذلك ، وفقًا للشرط الضروري للحد الأقصى لدالة متغير واحد (انظر الفقرة 25.4) ، φ "(x0) \ u003d 0 ، أي ƒ" x (x0 ؛ y0) \ u003d 0.

وبالمثل ، يمكن إظهار أن ƒ "y (x0 ؛ y0) \ u003d 0.

هندسيًا ، تعني المساواة ƒ "x (x0 ؛ y0) \ u003d 0 و ƒ" y (x0 ؛ y0) \ u003d 0 أنه عند النقطة القصوى للدالة z \ u003d ƒ (x ؛ y) ، المستوى المماس لـ السطح الذي يصور الوظيفة ƒ (x ؛ y) ، موازٍ لمستوى Oxy ، لأن معادلة مستوى الظل هي z = z0 (انظر الصيغة (45.2)).

ض ملاحظة. يمكن أن يكون للدالة حد أقصى عند النقاط التي لا توجد فيها مشتقات جزئية واحدة على الأقل. على سبيل المثال ، الوظيفة له حد أقصى عند النقطة O (0 ؛ 0) (انظر الشكل 211) ، لكن ليس له مشتقات جزئية في هذه المرحلة.

النقطة التي عندها تكون المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى للدالة z ≈ ƒ (x ؛ y) مساوية للصفر ، أي f "x = 0 ، f" y = 0 ، تسمى النقطة الثابتة للدالة z.

تسمى النقاط والنقاط الثابتة التي لا يوجد فيها مشتق جزئي واحد على الأقل بالنقاط الحرجة.

في النقاط الحرجة ، قد يكون أو لا يكون للوظيفة حد أقصى. تعتبر المساواة إلى الصفر في المشتقات الجزئية شرطًا ضروريًا ولكنه ليس شرطًا كافيًا لوجود حد أقصى. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، الوظيفة z = xy. بالنسبة لها ، النقطة O (0 ؛ 0) حرجة (فيها z "x \ u003d y و z" y - x تتلاشى). ومع ذلك ، فإن الوظيفة z = xy لا تحتوي على حد أقصى فيها ، لأنه في حي صغير بدرجة كافية من النقطة O (0 ؛ 0) توجد نقاط فيها z> 0 (النقطتان I و III من الأرباع) و z< 0 (точки II и IV четвертей).

وبالتالي ، من أجل العثور على الحد الأقصى للدالة في منطقة معينة ، من الضروري إخضاع كل نقطة حرجة للوظيفة لدراسة إضافية.

نظرية 46.2 (شرط كاف لأقصى حد). دع الوظيفة ƒ (x ؛ y) لها مشتقات جزئية مستمرة حتى الدرجة الثانية متضمنة عند نقطة ثابتة (xo ؛ yo) وبعض المناطق المجاورة لها. دعونا نحسب عند النقطة (x0؛ y0) القيم A = f "" xx (x0؛ y0)، B = ƒ "" xy (x0؛ y0)، C = ƒ "" yy (x0؛ y0) . دل

1. إذا كانت> 0 ، فإن الوظيفة ƒ (x ؛ y) عند النقطة (x0 ؛ y0) لها حد أقصى: الحد الأقصى إذا كان A< 0; минимум, если А > 0;

2. إذا Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

في حالة Δ = 0 ، قد يكون أو لا يوجد حد أقصى عند النقطة (x0 ؛ y0). هناك حاجة إلى مزيد من البحث.

مهام

مثال.أوجد فترات الزيادة والنقصان في الدالة. المحلول.الخطوة الأولى هي إيجاد منطقة تعريفات الوظائف. في مثالنا ، لا يجب أن يختفي التعبير الموجود في المقام. دعنا ننتقل إلى الدالة المشتقة: لتحديد فترات الزيادة والنقصان في دالة بمعيار كافٍ ، نقوم بحل المتباينات وفي مجال التعريف. دعونا نستخدم تعميم طريقة الفاصل. الجذر الحقيقي الوحيد للبسط هو س = 2، ويختفي المقام عند س = 0. تقسم هذه النقاط مجال التعريف إلى فترات يحتفظ فيها مشتق الوظيفة بعلامته. دعونا نحدد هذه النقاط على خط الأعداد. بالإيجابيات والسلبيات ، نشير شرطيًا إلى الفترات التي يكون فيها المشتق موجبًا أو سالبًا. توضح الأسهم أدناه بشكل تخطيطي زيادة أو نقصان الوظيفة في الفاصل الزمني المقابل. في هذا الطريق، و . في هذه النقطة س = 2يتم تعريف الوظيفة ومستمرة ، لذلك يجب إضافتها إلى كل من الفاصل الزمني المتزايد والفاصل الزمني المتناقص. في هذه النقطة س = 0لم يتم تعريف الوظيفة ، لذلك لم يتم تضمين هذه النقطة في الفترات الزمنية المطلوبة. نقدم الرسم البياني للدالة لمقارنة النتائج التي تم الحصول عليها معها. إجابه:تزيد الوظيفة مع ، ينخفض في الفترة (0; 2] .

أمثلة.

اضبط فترات انتفاخ وتقعر المنحنى ذ = 2 – x 2 .

لنجد ذ"" وحدد أين يكون المشتق الثاني موجبًا وأين يكون سالبًا. ذ" = –2x, ذ"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

ذ = ه x. لان ذ"" = ه x> 0 لأي x، فإن المنحنى مقعر في كل مكان.

ذ = x 3 . لان ذ"" = 6x، ومن بعد ذ"" < 0 при x < 0 и ذ""> 0 عندما x> 0. لذلك ، في x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 مقعر.

4. بالنظر إلى الدالة z = x ^ 2-y ^ 2 + 5x + 4y ، المتجه l = 3i-4j والنقطة A (3،2). أوجد dz / dl (كما أفهمها ، مشتق الدالة في اتجاه المتجه) ، gradz (A) ، | gradz (A) |. أوجد المشتقات الجزئية: z (في x) = 2x + 5 z (في y) = - 2y + 4 أوجد قيم المشتقات عند النقطة A (3،2): z (in x) (3،2) = 2 * 3 + 5 = 11 z (بواسطة y) (3،2) = - 2 * 2 + 4 = 0 ^ 2) = 11 مشتق من الدالة z في اتجاه المتجه l: dz / dl = z ( في x) * cosa + z (في y) * cosb ، a ، زوايا b للمتجه l مع محاور الإحداثيات. cosa = lх / | l | ، cosb = ly / | l | ، | l | = الجذر التربيعي (lx ^ 2 + ly ^ 2) lx = 3 ، ly = -4 ، | l | = 5. cosa = 3/5 ، cosb = (- 4) / 5. dz / dl = 11 * 3/5 + 0 * (- 4) /5=6.6.

سوف نتعلم كيفية إيجاد مشتقات الدوال المعطاة ضمنيًا ، أي المعطاة من خلال بعض المعادلات التي تربط المتغيرات ببعضها البعض xو ذ. أمثلة على الوظائف المحددة ضمنيًا:

من السهل العثور على مشتقات التوابع الضمنية أو مشتقات الدوال الضمنية. الآن دعنا نحلل القاعدة والمثال المقابل ، ثم نكتشف سبب الحاجة إلى ذلك على الإطلاق.

لإيجاد مشتقة دالة معطاة ضمنيًا ، من الضروري اشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى x. تلك المصطلحات التي يوجد فيها x فقط ستتحول إلى المشتق المعتاد لدالة x. ويجب اشتقاق الحدود مع y باستخدام قاعدة اشتقاق دالة معقدة ، لأن y دالة في x. إذا كان الأمر بسيطًا جدًا ، فيجب أن يظهر في المشتق الناتج من المصطلح مع x: مشتق الدالة من y ، مضروبًا في المشتق من y. على سبيل المثال ، ستتم كتابة مشتق المصطلح على أنه ، مشتق المصطلح سيتم كتابته كـ. علاوة على ذلك ، من كل هذا من الضروري التعبير عن "السكتة الدماغية y" وسيتم الحصول على المشتق المطلوب للوظيفة المعطاة ضمنيًا. لنلق نظرة على هذا بمثال.

مثال 1

المحلول. نفرق طرفي المعادلة بالنسبة إلى x ، بافتراض أن y دالة في x:

من هنا نحصل على المشتق المطلوب في المهمة:

الآن هناك شيء يتعلق بالخاصية الغامضة للوظائف المعرفة ضمنيًا ، ولماذا هناك حاجة إلى قواعد خاصة لتفاضلها. في بعض الحالات ، يمكنك التأكد من أن التعويض في معادلة معينة (انظر الأمثلة أعلاه) بدلاً من y من تعبيرها من خلال x يؤدي إلى حقيقة أن هذه المعادلة تتحول إلى متطابقة. لذا. تحدد المعادلة أعلاه ضمنيًا الوظائف التالية:

بعد استبدال التعبير y تربيع عبر x في المعادلة الأصلية ، نحصل على المتطابقة:

تم الحصول على التعبيرات التي استبدلناها عن طريق حل معادلة y.

إذا كان علينا اشتقاق الدالة الصريحة المقابلة

ثم نحصل على استجابة كما في المثال 1 - من وظيفة محددة ضمنيًا:

ولكن لا يمكن تمثيل كل وظيفة معطاة ضمنيًا في النموذج ذ = F(x) . لذلك ، على سبيل المثال ، الوظائف المحددة ضمنيًا

لا يتم التعبير عنها من حيث الوظائف الأولية ، أي أن هذه المعادلات لا يمكن حلها فيما يتعلق باللاعب. لذلك ، هناك قاعدة للتمييز بين وظيفة معينة ضمنيًا ، والتي درسناها بالفعل وسيتم تطبيقها باستمرار في أمثلة أخرى.

مثال 2أوجد مشتق دالة معطاة ضمنيًا:

نعبر عن y شرطة و - عند الإخراج - مشتق الدالة المعطاة ضمنيًا:

مثال 3أوجد مشتق دالة معطاة ضمنيًا:

المحلول. اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى x:

مثال 4أوجد مشتق دالة معطاة ضمنيًا:

المحلول. اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى x:

نعبر عن المشتق ونحصل عليه:

مثال 5أوجد مشتق دالة معطاة ضمنيًا:

المحلول. ننقل الحدود الموجودة في الجانب الأيمن من المعادلة إلى الطرف الأيسر ونترك صفرًا في الجانب الأيمن. اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى x.

الدوال الضمنية التي يحددها نظام المعادلات

بالنظر إلى نظام المعادلات

أو لفترة وجيزة F(س ، ص)= 0. (6.7)

تعريف. نظام(6.7)يعرف دالة ضمنية y = f(x)إلى DÌR n

إذا كان "xОD:F(س ، ص(x)) = 0.

النظرية (الوجود والتفرد في التعيين المحدد ضمنيًا بواسطة نظام المعادلات).يترك

1) واو(س ، ص)من (6.4) لها مشتقات جزئية مستمرة من الدرجة الأولى ، (i = 1، ... ، ف ، ك = 1،…، n، j = 1،…، p) في حي U(م 0)نقاط م 0 (x 0 ، ذ 0)، س 0 = ذ 0 =

2) و(م 0)=0,

ثم في حي U(x 0)هناك وظيفة فريدة (تعيين) محددة في هذا الحي y = f(x)، مثل ذلك

"xО يو(x 0) :F(س ، ص(x))=0و ذ 0 = و(x 0).

هذه الوظيفة قابلة للتفاضل بشكل مستمر في بعض المناطق المجاورة للنقطة x 0 .

نظام معين

سنفترض أنه تم استيفاء شروط نظرية الوجود والتفرد للوظيفة الضمنية التي يوفرها نظام المعادلات هذا. نشير إلى هذه الوظيفة ص = و(x) . ثم في حي نقطة ما x 0 الهويات صالحة

التفريق بين هذه الهويات فيما يتعلق س ينحن نحصل

= 0.(6.9)

يمكن كتابة هذه المساواة في شكل مصفوفة

أو موسعة

لاحظ أن الانتقال من المساواة F(س ، ص(x)) = 0 كيلو , يتوافق مع قواعد التفاضل للحالة متى xو ذهي نقاط في الفضاء أحادي البعد. لا تتحلل المصفوفة بالشرط ، لذا فإن معادلة المصفوفة لها حل. وبالتالي ، من الممكن إيجاد مشتقات جزئية من الدرجة الأولى للوظائف الضمنية. لإيجاد الفروق ، نشير

دى = , dx =، التفريق بين المساواة (6.8) ، نحصل عليها

أو في شكل مصفوفة

موسع

تمامًا كما في حالة المشتقات الجزئية ، فإن الصيغة (6.10) لها نفس الشكل كما في حالة المسافات أحادية البعد ن = 1، ص = 1. يمكن كتابة حل معادلة المصفوفة بالصيغة لإيجاد مشتقات جزئية من الدرجة الثانية ، سيكون من الضروري تمييز الهويات (6.9) (لحساب الفروق من الدرجة الثانية ، من الضروري التفريق بين الهويات (6.10)). وهكذا نحصل

حيث من خلال أيتم الإشارة إلى المصطلحات التي لا تحتوي على المصطلحات المطلوبة.

مصفوفة المعامل لهذا النظام لتحديد المشتقات هي مصفوفة جاكوبي.

مثال 1ابحث في نقطة ما ش = 1، v = 1.

المحلول. ميّز بين المعادلات المعطاة

لاحظ أنه ينبع من حالة المشكلة التي يجب أن نعتبرها متغيرات مستقلة س ، ص.ثم ستكون الوظائف z ، u ، v.وبالتالي ، يجب حل النظام (6.11) فيما يتعلق بالمجهول du، dv، dz.في شكل مصفوفة ، تبدو هكذا

لنحل هذا النظام باستخدام قاعدة كرامر. محدد مصفوفة المعامل

المحدد الثالث "استبدال" ل دزسيكون مساويًا لـ (يتم حسابه بالتوسيع في العمود الأخير)

دز = ،و، .

نفرق (6.11) مرة أخرى ( س ، ص-المتغيرات المستقلة)

مصفوفة المعامل للنظام هي نفسها ، المحدد الثالث

لحل هذا النظام ، نحصل على تعبير لـ d2zحيث يمكنك إيجاد المشتق المطلوب.

6.3 تعيينات مختلفة

تعيينات مشتقة. عروض منتظمة. الشروط اللازمة والكافية للاعتماد الوظيفي.

دع الدالة تُعطى ضمنيًا باستخدام المعادلة
(1) .
ولتكن هذه المعادلة ، لبعض القيمة ، لها حل فريد. دع الدالة تكون دالة قابلة للتفاضل عند النقطة ، و
.
بعد ذلك ، لهذه القيمة ، يوجد مشتق تحدده الصيغة:
(2) .

دليل - إثبات

للإثبات ، ضع في اعتبارك الوظيفة كدالة معقدة للمتغير:
.
نطبق قاعدة اشتقاق دالة معقدة ونجد المشتق فيما يتعلق بمتغير الجانبين الأيسر والأيمن للمعادلة
(3) :
.
بما أن مشتق الثابت يساوي صفرًا ، إذن
(4) ;
.

تم إثبات الصيغة.

مشتقات الطلبات الأعلى

دعونا نعيد كتابة المعادلة (4) باستخدام تدوين آخر:
(4) .
علاوة على ذلك ، وهي وظائف معقدة للمتغير:
;
.
يحدد الاعتماد المعادلة (1):
(1) .

نجد المشتقة بالنسبة إلى المتغير من طرفي المعادلة الأيسر والأيمن (4).
وفقًا لصيغة مشتق دالة معقدة ، لدينا:
;
.
وفقًا لصيغة المنتج المشتق:

.
وفقًا لصيغة المجموع المشتق:

.

بما أن مشتق الجانب الأيمن من المعادلة (4) يساوي صفرًا ، إذن
(5) .
بالتعويض عن المشتق هنا ، نحصل على قيمة المشتق من الدرجة الثانية بشكل ضمني.

تفريق المعادلة (5) بطريقة مماثلة ، نحصل على معادلة تحتوي على مشتق من الدرجة الثالثة:
.
بالتعويض هنا عن القيم الموجودة لمشتقات الأمرين الأول والثاني ، نجد قيمة مشتق الرتبة الثالثة.

استمرار الاشتقاق ، يمكن للمرء أن يجد مشتقًا من أي أمر.

أمثلة

مثال 1

أوجد المشتق الأول للدالة المعطاة ضمنيًا بالمعادلة:
(P1) .

محلول الفورمولا 2

نجد المشتق بالصيغة (2):
(2) .

دعنا ننتقل كل المتغيرات إلى الجانب الأيسر بحيث تأخذ المعادلة الشكل.
.
من هنا.

نجد المشتق بالنسبة إلى ، بافتراض أنه ثابت.
;
;
;
.

نجد المشتق فيما يتعلق بالمتغير ، بافتراض أن المتغير ثابت.
;
;
;
.

بالصيغة (2) نجد:
.

يمكننا تبسيط النتيجة إذا لاحظنا ذلك وفقًا للمعادلة الأصلية (أ 1). بديل :
.
اضرب البسط والمقام في:
.

الحل بالطريقة الثانية

لنحل هذا المثال بالطريقة الثانية. للقيام بذلك ، نجد المشتق بالنسبة لمتغير الجزأين الأيمن والأيسر من المعادلة الأصلية (P1).

نطبق:
.
نطبق صيغة مشتق الكسر:
;
.
نطبق صيغة مشتق دالة معقدة:
.
نفرق المعادلة الأصلية (P1).
(P1) ;
;
.
اضرب في المصطلحات وجمّعها.
;
.

البديل (من المعادلة (P1)):
.
لنضرب في:
.

إجابه

مثال 2

أوجد المشتق الثاني للدالة المعطاة ضمنيًا باستخدام المعادلة:
(P2.1) .

المحلول

ميّز المعادلة الأصلية فيما يتعلق بالمتغير ، بافتراض أنها دالة لـ:
;
.
نطبق صيغة مشتقة دالة معقدة.
.

نفرق المعادلة الأصلية (A2.1):
;
.
ويترتب على ذلك من المعادلة الأصلية (A2.1). بديل :
.
قم بتوسيع الأقواس وقم بتجميع الأعضاء:
;
(P2.2) .
نجد مشتق الرتبة الأولى:
(P2.3) .

لإيجاد المشتق من الدرجة الثانية ، نفرق المعادلة (A2.2).
;
;
;
.
نعوض التعبير عن المشتق من الدرجة الأولى (A2.3):
.
لنضرب في:

;
.
من هنا نجد مشتقة الرتبة الثانية.

إجابه

مثال 3

أوجد مشتق الرتبة الثالثة للدالة المعطاة ضمنيًا باستخدام المعادلة:
(P3.1) .

المحلول

اشتق المعادلة الأصلية فيما يتعلق بالمتغير ، بافتراض أن هذه دالة لـ.
;
;
;
;
;
;
(P3.2) ;

نفرق المعادلة (A3.2) فيما يتعلق بالمتغير.
;
;
;
;
;
(P3.3) .

نفرق المعادلة (A3.3).
;
;
;
;
;
(P3.4) .

من المعادلات (A3.2) و (A3.3) و (A3.4) نجد قيم المشتقات عند.
;
;
.