معدات الطبقة: ملاحظات المحاضرة.

معيار التقييم

أمر العمل

التمرين 1.

قراءة المحاضرة 9

المهمة 2.

المحاضرة 9

تكامل غير محدد من هذه الوظيفة:

10 .

( dx) "= د ( dx) = f (x) dx

20. إن التكامل غير المحدود لتفاضل دالة ما يساوي هذه الدالة بالإضافة إلى ثابت تعسفي:

30. يمكن إخراج عامل ثابت من علامة التكامل غير المحدود.

40. التكامل غير المحدد لمجموع الوظائف الجبرية يساوي المجموع الجبري للتكاملات غير المحددة لشروط الوظائف:

50. إذا كان a ثابتًا ، فإن الصيغة صحيحة

عرض محتوى الوثيقة
"تقنية التكامل التكامل المباشر"

العمل التطبيقي№ 7

الموضوع: تقنية التكامل. التكامل المباشر

الأهداف:

دراسة الصيغ والقواعد لحساب التكامل غير المحدد

تعلم كيفية حل الأمثلة للتكامل المباشر

معدات الطبقة: ملاحظات المحاضرة.

معيار التقييم

تم تعيين الدرجة "5" للتنفيذ الصحيح لجميع مهام العمل

يتم إعطاء علامة "4" لإكمال المهمة 1 والحل الصحيح لأي عشرة أمثلة من المهمة 2.

يتم إعطاء العلامة "3" لإكمال المهمة 1 والحل الصحيح لأي سبعة أمثلة من المهمة 2.

أمر العمل

التمرين 1.

قراءة المحاضرة 9

باستخدام المحاضرات ، أجب عن الأسئلة واكتب الإجابات في دفتر ملاحظاتك:

1. ما هي خصائص التكامل غير المحدد التي تعرفها؟

2. اكتب معادلات التكامل الرئيسية

3. ما هي الحالات الممكنة مع الاندماج المباشر؟

المهمة 2.

حل أمثلة لحل الذات

المحاضرة 9

موضوع "متكامل لأجل غير مسمى. التكامل المباشر »

تسمى الدالة F (x) المشتقة العكسية للدالة f (x) إذا كانت F "(x) = f (x).

أي دالة مستمرة f (x) لها مجموعة لا نهائية من المشتقات العكسية التي تختلف عن بعضها البعض بحد ثابت.

يُطلق على التعبير العام F (x) + C لإجمالي جميع المشتقات العكسية للدالة f (x) تكامل غير محدد من هذه الوظيفة:

dx \ u003d F (x) + C ، إذا كانت d (F (x) + C) \ u003d dx

الخصائص الأساسية للتكامل غير المحدد

1 0 .مشتق التكامل غير المحدد يساوي التكامل والمشتق منه يساوي التكامل:

( dx) "= د ( dx) = f (x) dx

2 0 . التكامل غير المحدود لتفاضل دالة ما يساوي تلك الدالة بالإضافة إلى ثابت تعسفي:

3 0 . يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل غير المحدود.

4 0 يساوي التكامل غير المحدد لمجموع الوظائف الجبرية المجموع الجبري للتكاملات غير المحددة لشروط الوظائف:

+ dx

5 0 . إذا كان a ثابتًا ، فإن الصيغة صالحة

صيغ التكامل الأساسية (التكاملات الجدولية)

4.

5.

7.

9 - = - كتجكس + ج

12. = arcsin + C

عند تطبيق الصيغ (3) ، (10). (11) تكتب علامة القيمة المطلقة فقط في الحالات التي يكون فيها التعبير تحت علامة اللوغاريتم ذو قيمة سالبة.

من السهل التحقق من كل من الصيغ. نتيجة لتفاضل الجانب الأيمن ، يتم الحصول على تكامل و.

التكامل المباشر.

يعتمد التكامل المباشر على الاستخدام المباشر لجدول التكاملات. فيما يلي الحالات التالية:

1) تم العثور على هذا التكامل مباشرة من خلال التكامل الجدولي المقابل ؛

2) بعد تطبيق الخواص 3 0 و 4 0 يتم اختزال هذا التكامل إلى تكامل جدول واحد أو أكثر ؛

3) بعد التحويلات الأولية المتطابقة على التكامل وتطبيق الخواص 3 0 و 4 0 ، يتم تقليل هذا التكامل إلى تكامل جدول واحد أو أكثر.

أمثلة.

بناءً على الخاصية 3 0 ، يتم إخراج العامل الثابت 5 من علامة التكامل ونحصل عليها باستخدام الصيغة 1

المحلول. باستخدام الخاصية 3 0 والصيغة 2 ، نحصل عليها

6

المحلول. باستخدام الخاصيتين 3 0 و 4 0 والصيغتين 1 و 2 ، لدينا

س + 3) = 4 + 12 = 4 - 4 + 12 س + ج = + 12 س + ج

ثابت التكامل C يساوي المجموع الجبري لثلاثة ثوابت تكامل ، لأن كل تكامل له ثابت تعسفي خاص به (C 1 - C 2 + C 3 \ u003d C)

المحلول. تربيع ودمج كل مصطلح ، لدينا

باستخدام الصيغة المثلثية 1 + ctg 2 x =

= = - كتجكس - س + ج

المحلول. نحصل على طرح وإضافة الرقم 9 في بسط التكامل

= = + = - =

X + 9 + C = - x +

أمثلة على الحل الذاتي

حساب التكاملات باستخدام التكامل المباشر:

السيطرة على معرفة الطلاب:

تحقق من العمل العملي

متطلبات تصميم العمل العملي:

يجب إكمال المهمة في دفتر ملاحظات للعمل العملي.

إرسال العمل بعد الفصل

تعتمد طريقة التكامل المباشر على تحويل التكامل ، وتطبيق خصائص التكامل غير المحدد ، وتقليل التكامل إلى شكل جدولي.

فمثلا:

فحص

فحص

2. طريقة الاستبدال (الاستبدال المتغير)

تعتمد هذه الطريقة على إدخال متغير جديد. لنقم بالتعويض في التكامل:

;

لذلك ، نحصل على:

فمثلا:

1)

فحص:

2)

فحص(بناءً على الخاصية رقم 2 للتكامل غير المحدد):

تكامل اجزاء

يترك ش و الخامس هي وظائف قابلة للتفاضل. دعونا نكشف عن تفاضل ناتج هذه الوظائف:

,

أين

ندمج التعبير الناتج:

فمثلا:

فحص(بناءً على الخاصية رقم 1 للتكامل غير المحدد):

2)

نحن نقرر

فحص(بناءً على الخاصية رقم 1 للتكامل غير المحدد):

الجزء العملي

مهام لحل المنزل

أوجد التكامل:

أ) ؛ ه) ;

في) ؛ ح)

ز) ؛ و)

ه) ؛ إلى)

أ) ؛ ه) ;

في) ؛ ح) ;

ه) ؛ إلى) .

أ) ؛ في) ؛ ه)

ب) ؛ ز) ؛ ه)

مهام الحل في الفصول العملية:

طريقة التكامل المباشر

أ) ؛ و) ؛

ب) ؛ ح) ؛

في) ؛ و)

ز) ؛ إلى)

ه) ؛ م)

ثانيًا. طريقة الاستبدال (الاستبدال المتغير)

ز) ؛ إلى) ;

ه) ؛ ل) ؛

ثالثا. طريقة التكامل بالأجزاء

الموضوع # 4

حدد التكامل

في الحسابات الرياضية ، غالبًا ما يكون مطلوبًا إيجاد زيادة الدالة العكسية عندما تتغير حجتها ضمن حدود معينة. يجب حل هذه المشكلة عند حساب مساحات وأحجام الأشكال المختلفة ، عند تحديد متوسط ​​قيمة دالة ، عند حساب عمل قوة متغيرة. يمكن حل هذه المسائل بحساب التكاملات المحددة المقابلة.

الغرض من الدرس:

1. تعلم كيفية حساب تكامل محدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز.

2. أن يكون قادراً على تطبيق مفهوم التكامل المحدد لحل المشكلات التطبيقية.

الجزء النظري

مفهوم التكامل المحدد ومعناه الهندسي

ضع في اعتبارك مشكلة إيجاد مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع.

دع بعض الوظائف تعطى ص = و (س) ، الذي يظهر الرسم البياني في الشكل.

الشكل 1. المعنى الهندسي لتكامل محدد.

على المحور 0x حدد النقاط “أ" و "في" واستعادة الخطوط العمودية منها على التقاطع مع المنحنى. الشكل يحده منحنى وعمودي ومحور 0x يسمى شبه منحني منحني الخطوط. دعنا نقسم الفاصل الزمني إلى عدد من الأجزاء الصغيرة. دعنا نختار شريحة عشوائية. نكمل شبه منحني منحني الخط المقابل لهذا المقطع إلى مستطيل. يتم تعريف مساحة هذا المستطيل على النحو التالي:

ثم مساحة جميع المستطيلات المكتملة في الفترة الزمنية ستكون مساوية لـ:

;

إذا كان كل جزء صغيرًا بدرجة كافية ويميل إلى الصفر ، فإن المساحة الإجمالية للمستطيلات ستميل إلى منطقة شبه المنحني المنحني:

;

لذلك ، يتم تقليل مشكلة حساب مساحة شبه منحرف منحني الخطوط إلى تحديد حد المجموع.

المجموع المتكامل هو مجموع حاصل ضرب زيادة الوسيطة بقيمة الدالة و (خ) مأخوذة في وقت ما من الفترة الزمنية التي تتغير فيها الحجة. رياضيا ، مشكلة إيجاد حد المجموع المتكامل ، إذا كانت الزيادة في المتغير المستقل تميل إلى الصفر ، تؤدي إلى مفهوم التكامل المحدد.

دور و (x ) بعض الفاصل الزمني من س = أ قبل س = ت قابل للتكامل إذا كان هناك رقم يميل إليه المجموع المتكامل Dх®0 . في هذه الحالة ، الرقم ي اتصل لا يتجزأ المهام و (خ) في الفاصل الزمني:

;

أين ] أ ، في[ هي منطقة التكامل ،

أهو الحد الأدنى للتكامل ،

فيهو الحد الأعلى للتكامل.

وبالتالي ، من وجهة نظر الهندسة ، فإن التكامل المحدد هو مساحة الشكل الذي يحده الرسم البياني للوظيفة في فترة زمنية معينة] أ ، في [والمحور السيني.

في هذا الموضوع ، سنتحدث بالتفصيل عن خصائص التكامل غير المحدد وعن إيجاد التكاملات نفسها باستخدام الخصائص المذكورة. سنعمل أيضًا مع جدول التكاملات غير المحددة. المواد المقدمة هنا هي استمرار لموضوع "تكامل غير محدد. البداية". لكي نكون صادقين ، نادرًا ما توجد التكاملات في الاختبارات التي يمكن إجراؤها باستخدام جداول نموذجية و (أو) خصائص بسيطة. يمكن مقارنة هذه الخصائص مع الأبجدية ، والمعرفة والفهم ضروريان لفهم آلية حل التكاملات في مواضيع أخرى. غالبًا ما يسمى التكامل باستخدام جداول التكاملات وخصائص التكامل غير المحدد التكامل المباشر.

ما أقصده: تتغير الدوال ، لكن صيغة إيجاد المشتق تظل دون تغيير ، على عكس التكامل ، الذي تم بالفعل إدراج طريقتين له.

لنذهب أبعد من ذلك. لإيجاد المشتق $ y = x ^ (- \ frac (1) (2)) \ cdot (1 + x ^ (\ frac (1) (4))) ^ \ frac (1) (3) $ all the ينطبق نفس الشيء على الصيغة $ (u \ cdot v) "= u" \ cdot v + u \ cdot v "$ ، حيث يتعين عليك استبدال $ u = x ^ (- \ frac (1) (2)) $، $ v = (1 + x ^ (\ frac (1) (4))) ^ \ frac (1) (3) $. لكن لإيجاد التكامل $ \ int x ^ (- \ frac (1) (2) ) \ cdot (1 + x ^ (\ frac (1) (4))) ^ \ frac (1) (3) dx $ يتطلب طريقة جديدة - استبدالات Chebyshev.

وأخيرًا: لإيجاد مشتق الدالة $ y = \ sin x \ cdot \ frac (1) (x) $ ، الصيغة $ (u \ cdot v) "= u" \ cdot v + u \ cdot v " $ مرة أخرى قابل للتطبيق ، حيث نستبدل $ \ sin x $ و $ \ frac (1) (x) $ بدلاً من $ u $ و $ v $ على التوالي ، بينما $ \ int \ sin x \ cdot \ frac (1 ) (x) dx $ لا تؤخذ في. بتعبير أدق ، لا يتم التعبير عنها من حيث عدد محدد من الوظائف الأولية.

للتلخيص: عندما كانت هناك حاجة إلى صيغة واحدة للعثور على المشتق ، كانت هناك حاجة لأربعة للتكامل (وهذا ليس الحد) ، وفي الحالة الأخيرة ، رفض التكامل أن يتم العثور عليه على الإطلاق. قمنا بتغيير الوظيفة - كانت هناك حاجة إلى طريقة تكامل جديدة. من هنا لدينا جداول متعددة الصفحات في الكتب المرجعية. يؤدي عدم وجود طريقة عامة (مناسبة للحل "يدويًا") إلى وفرة من الأساليب الخاصة التي يمكن تطبيقها فقط لدمج فئة وظائفها المحدودة للغاية (في مواضيع أخرى سنتعامل مع هذه الأساليب بالتفصيل). على الرغم من أنني لا أستطيع أن أفشل في ملاحظة وجود خوارزمية Risch (أنصحك بقراءة الوصف على ويكيبيديا) ، إلا أنها مناسبة فقط للمعالجة البرمجية للتكاملات غير المحددة.

السؤال 3

لكن إذا كان هناك الكثير من هذه الخصائص ، كيف يمكنني تعلم أخذ التكاملات؟ مع المشتقات كان أسهل!

حتى الآن ، هناك طريقة واحدة فقط للشخص: لحل أكبر عدد ممكن من الأمثلة باستخدام طرق تكامل مختلفة ، بحيث عندما يظهر تكامل جديد غير محدد ، يمكنك اختيار طريقة حل له ، بناءً على خبرتك. أفهم أن الإجابة ليست مشجعة للغاية ، لكن لا توجد طريقة أخرى.

خصائص التكامل غير المحدود

خاصية # 1

مشتق التكامل غير المحدد يساوي التكامل ، أي $ \ left (\ int f (x) dx \ right) "= f (x) $.

هذه الخاصية طبيعية تمامًا ، لأن التكامل والمشتق عمليتان معكوستان بشكل متبادل. على سبيل المثال ، $ \ left (\ int \ sin 3x dx \ right) "= \ sin 3x $، $ \ left (\ int \ left (3x ^ 2 + \ frac (4) (\ arccos x) \ right) dx \ right) "= 3x ^ 2 + \ frac (4) (\ arccos x) $ وهكذا.

الخاصية # 2

التكامل غير المحدود لتفاضل بعض الوظائف يساوي هذه الوظيفة ، أي $ \ int \ mathrm d F (x) = F (x) + C $.

عادة ، تعتبر هذه الخاصية صعبة نوعًا ما ، حيث يبدو أنه لا يوجد "لا شيء" تحت التكامل. لتجنب ذلك ، يمكنك كتابة الخاصية المحددة على النحو التالي: $ \ int 1 \ mathrm d F (x) = F (x) + C $. مثال على استخدام هذه الخاصية: $ \ int \ mathrm d (3x ^ 2 + e ^ x + 4) = 3x ^ 2 + e ^ x + 4 + C $ أو ، إذا أردت ، بهذا الشكل: $ \ int 1 \ ؛ \ mathrm د (3x ^ 2 + e ^ x + 4) = 3x ^ 2 + e ^ x + 4 + C $.

الخاصية # 3

يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل ، أي $ \ int a \ cdot f (x) dx = a \ cdot \ int f (x) dx $ (نفترض أن $ a \ neq 0 $).

الخاصية بسيطة للغاية ، وربما لا تتطلب تعليقات. أمثلة: $ \ int 3x ^ 5 dx = 3 \ cdot \ int x ^ 5 dx $، $ \ int (2x + 4e ^ (7x)) dx = 2 \ cdot \ int (x + 2e ^ (7x)) dx $، $ \ int kx ^ 2dx = k \ cdot \ int x ^ 2dx $ ($ k \ neq 0 $).

الخاصية # 4

تكامل مجموع (فرق) وظيفتين يساوي مجموع (فرق) تكاملات هاتين الدالتين:

$$ \ int (f_1 (x) \ pm f_2 (x)) dx = \ int f_1 (x) dx \ pm \ int f_2 (x) dx $$

أمثلة: $ \ int (\ cos x + x ^ 2) dx = \ int \ cos xdx + \ int x ^ 2 dx $، $ \ int (e ^ x - \ sin x) dx = \ int e ^ xdx - \ int \ sin x dx $.

في الاختبارات القياسية ، عادةً ما يتم استخدام الخصائص رقم 3 ورقم 4 ، لذلك سوف نتناولها بمزيد من التفصيل.

المثال رقم 3

أوجد $ \ int 3 e ^ x dx $.

نستخدم الخاصية رقم 3 ونخرج الثابت ، أي الرقم $ 3 $ لعلامة التكامل: $ \ int 3 e ^ x dx = 3 \ cdot \ int e ^ x dx $. الآن لنفتح جدول التكاملات واستبدال $ u = x $ في الصيغة رقم 4 نحصل على: $ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $. هذا يعني أن $ \ int 3 e ^ x dx = 3 \ cdot \ int e ^ x dx = 3e ^ x + C $. أفترض أن القارئ سيكون لديه سؤال على الفور ، لذلك سأصوغ هذا السؤال بشكل منفصل:

السؤال رقم 4

إذا كان $ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $ فإن $ \ int 3 e ^ x dx = 3 \ cdot \ int e ^ x dx = 3 \ cdot \ left (e ^ x + C \ right) = 3e ^ x + 3C $! لماذا تمت كتابته $ 3e ^ x + C $ فقط بدلاً من $ 3e ^ x + 3C $؟

السؤال معقول تماما. النقطة المهمة هي أنه يمكن تمثيل ثابت متكامل (أي نفس الرقم $ C $) كأي تعبير: الشيء الرئيسي هو أن هذا التعبير "يمر عبر" المجموعة الكاملة من الأرقام الحقيقية ، أي تم تغييره من $ - \ infty $ إلى $ + \ infty $. على سبيل المثال ، إذا كان $ - \ infty≤ C ≤ + \ infty $ ، ثم $ - \ infty≤ \ frac (C) (3) ≤ + \ infty $ ، لذلك يمكن تمثيل الثابت $ C $ كـ $ \ frac ( ج) (3) $. يمكننا كتابة هذا $ \ int e ^ x dx = e ^ x + \ frac (C) (3) $ ثم $ \ int 3 e ^ x dx = 3 \ cdot \ int e ^ x dx = 3 \ cdot \ left (e ^ x + \ frac (C) (3) \ right) = 3e ^ x + C $. كما ترى ، لا يوجد تناقض هنا ، ولكن يجب توخي الحذر عند تغيير شكل الثابت المتكامل. على سبيل المثال ، إذا قمت بتمثيل الثابت $ C $ كـ $ C ^ 2 $ ، فسيكون ذلك خطأ. النقطة المهمة هي أن $ C ^ 2 ≥ 0 $ ، أي لا يتغير $ C ^ 2 $ من $ - \ infty $ إلى $ + \ infty $ ، ولا "يمر عبر" جميع الأرقام الحقيقية. وبالمثل ، سيكون من الخطأ تمثيل ثابت مثل $ \ sin C $ ، لأن $ -1≤ \ sin C ≤ 1 $ ، أي $ \ sin C $ لا "يمر عبر" كل قيم المحور الحقيقي. في المستقبل ، لن نناقش هذه المشكلة تحديدًا ، ولكننا سنكتب ببساطة $ C $ الثابت لكل تكامل غير محدد.

المثال رقم 4

أوجد $ \ int \ left (4 \ sin x- \ frac (17) (x ^ 2 + 9) -8x ^ 3 \ right) dx $.

نستخدم الخاصية رقم 4:

$$ \ int \ left (4 \ sin x- \ frac (17) (x ^ 2 + 9) -8x ^ 3 \ right) dx = \ int 4 \ sin x dx- \ int \ frac (17) (x ^ 2 + 9) dx- \ int8x ^ 3dx $$

نخرج الآن الثوابت (الأرقام) من علامات التكاملات:

$$ \ int 4 \ sin x dx- \ int \ frac (17) (x ^ 2 + 9) dx- \ int8x ^ 3dx = 4 \ int \ sin x dx-17 \ int \ frac (dx) (x ^ 2 + 9) -8 \ int x ^ 3dx $$

بعد ذلك ، نتعامل مع كل جزء متكامل تم الحصول عليه بشكل منفصل. التكامل الأول ، أي من السهل العثور على $ \ int \ sin x dx $ في جدول التكاملات تحت رقم 5. بالتعويض عن $ u = x $ في الصيغة رقم 5 ، نحصل على: $ \ int \ sin x dx = - \ cos x + C $.

لإيجاد التكامل الثاني $ \ int \ frac (dx) (x ^ 2 + 9) $ ، عليك تطبيق الصيغة رقم 11 من جدول التكاملات. استبدال $ u = x $ و $ a = 3 $ فيه ، نحصل على: $ \ int \ frac (dx) (x ^ 2 + 9) = \ frac (1) (3) \ cdot \ arctg \ frac (x ) (3) + C $.

وأخيرًا ، للعثور على $ \ int x ^ 3dx $ ، نستخدم الصيغة رقم 1 من الجدول ، مع استبدال $ u = x $ و $ \ alpha = 3 $ بداخلها: $ \ int x ^ 3dx = \ frac ( x ^ (3 +1)) (3 + 1) + C = \ frac (x ^ 4) (4) + C $.

تم العثور على جميع التكاملات المضمنة في التعبير $ 4 \ int \ sin x dx-17 \ int \ frac (dx) (x ^ 2 + 9) -8 \ int x ^ 3dx $. يبقى فقط استبدالهم:

$$ 4 \ int \ sin x dx-17 \ int \ frac (dx) (x ^ 2 + 9) -8 \ int x ^ 3dx = 4 \ cdot (- \ cos x) -17 \ cdot \ frac (1) (3) \ cdot \ arctg \ frac (x) (3) -8 \ cdot \ frac (x ^ 4) (4) + C = \\ = -4 \ cdot \ cos x- \ frac (17) (3 ) \ cdot \ arctg \ frac (x) (3) -2 \ cdot x ^ 4 + C. $$

تم حل المشكلة ، الإجابة هي: $ \ int \ left (4 \ sin x- \ frac (17) (x ^ 2 + 9) -8x ^ 3 \ right) dx = -4 \ cdot \ cos x- \ frac (17 ) (3) \ cdot \ arctg \ frac (x) (3) -2 \ cdot x ^ 4 + C $. اسمحوا لي أن أضيف ملاحظة صغيرة واحدة لهذه المشكلة:

مجرد ملاحظة صغيرة

ربما لن يحتاج أحد إلى هذا الإدخال ، لكني سأذكر أن $ \ frac (1) (x ^ 2 + 9) \ cdot dx = \ frac (dx) (x ^ 2 + 9) $. أولئك. $ \ int \ frac (17) (x ^ 2 + 9) dx = 17 \ cdot \ int \ frac (1) (x ^ 2 + 9) dx = 17 \ cdot \ int \ frac (dx) (x ^ 2 +9) دولار.

لنلقِ نظرة على مثال نستخدم فيه الصيغة رقم 1 من جدول التكاملات لتقريب اللاعقلانية (الجذور ، بعبارة أخرى).

المثال الخامس

أوجد $ \ int \ left (5 \ cdot \ sqrt (x ^ 4) - \ frac (14) (\ sqrt (x ^ 6)) \ right) dx $.

بادئ ذي بدء ، سنفعل نفس الإجراءات كما في المثال رقم 3 ، وهي: نحلل التكامل إلى قسمين ونخرج الثوابت من علامات التكاملات:

$$ \ int \ left (5 \ cdot \ sqrt (x ^ 4) - \ frac (14) (\ sqrt (x ^ 6)) \ right) dx = \ int \ left (5 \ cdot \ sqrt (x ^ 4) \ يمين) dx- \ int \ frac (14) (\ sqrt (x ^ 6)) dx = \\ = 5 \ cdot \ int \ sqrt (x ^ 4) dx-14 \ cdot \ int \ frac ( dx) (\ sqrt (x ^ 6)) $$

بما أن $ \ sqrt (x ^ 4) = x ^ (\ frac (4) (7)) $ ، ثم $ \ int \ sqrt (x ^ 4) dx = \ int x ^ (\ frac (4) (7) ) dx $. للعثور على هذا التكامل ، نطبق الصيغة رقم 1 ، مع استبدال $ u = x $ و $ \ alpha = \ frac (4) (7) $ بداخله: $ \ int x ^ (\ frac (4) (7)) dx = \ frac (x ^ (\ frac (4) (7) +1)) (\ frac (4) (7) +1) + C = \ frac (x ^ (\ frac (11) (7)) ) (\ frac (11) (7)) + C = \ frac (7 \ cdot \ sqrt (x ^ (11))) (11) + C $. يمكنك اختياريًا تمثيل $ \ sqrt (x ^ (11)) $ كـ $ x \ cdot \ sqrt (x ^ (4)) $ ، لكن هذا ليس مطلوبًا.

دعونا ننتقل الآن إلى التكامل الثاني ، أي $ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ 6)) $. بما أن $ \ frac (1) (\ sqrt (x ^ 6)) = \ frac (1) (x ^ (\ frac (6) (11))) = x ^ (- \ frac (6) (11)) $ ، ثم يمكن تمثيل التكامل المدروس بالصيغة التالية: $ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ 6)) = \ int x ^ (- \ frac (6) (11)) dx $. لإيجاد التكامل الناتج ، نطبق الصيغة رقم 1 من جدول التكاملات ، مع استبدال $ u = x $ و $ \ alpha = - \ frac (6) (11) $ بداخله: $ \ int x ^ (- \ frac (6) (11)) dx = \ frac (x ^ (- \ frac (6) (11) +1)) (- \ frac (6) (11) +1) + C = \ frac (x ^ (\ frac (5) (11))) (\ frac (5) (11)) + C = \ frac (11 \ cdot \ sqrt (x ^ (5))) (5) + C $.

باستبدال النتائج التي تم الحصول عليها ، نحصل على الإجابة:

$$ 5 \ cdot \ int \ sqrt (x ^ 4) dx-14 \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ 6)) = 5 \ cdot \ frac (7 \ cdot \ sqrt (x ^ ( 11))) (11) -14 \ cdot \ frac (11 \ cdot \ sqrt (x ^ (5))) (5) + C = \ frac (35 \ cdot \ sqrt (x ^ (11))) ( 11) - \ frac (154 \ cdot \ sqrt (x ^ (5))) (5) + C. $$

إجابه: $ \ int \ left (5 \ cdot \ sqrt (x ^ 4) - \ frac (14) (\ sqrt (x ^ 6)) \ right) dx = \ frac (35 \ cdot \ sqrt (x ^ (11 ))) (11) - \ frac (154 \ cdot \ sqrt (x ^ (5))) (5) + C $.

وأخيرًا ، لنأخذ التكامل الذي يقع تحت الصيغة رقم 9 في جدول التكاملات. يمكن حل المثال 6 ، الذي سننتقل إليه الآن ، بطريقة أخرى ، ولكن سيتم مناقشة هذا في الموضوعات اللاحقة. في الوقت الحالي ، سنبقى ضمن إطار تطبيق الجدول.

المثال رقم 6

أوجد $ \ int \ frac (12) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) dx $.

لنبدأ بالعملية نفسها كما في السابق: إخراج الثابت (الرقم $ 12 $) من علامة التكامل:

$$ \ int \ frac (12) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) dx = 12 \ cdot \ int \ frac (1) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) dx = 12 \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) $$

التكامل الناتج $ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) $ قريب بالفعل من التكامل الجدولي $ \ int \ frac (du) (\ sqrt (a ^ 2-u ^ 2) ) $ (الصيغة رقم 9 من جدول التكاملات). الفرق في التكامل هو أنه قبل $ x ^ 2 $ تحت الجذر يوجد معامل $ 7 $ ، والذي لا يسمح به تكامل الجدول. لذلك ، تحتاج إلى التخلص من هؤلاء السبعة بنقلها إلى ما بعد علامة الجذر:

$$ 12 \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) = 12 \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (7 \ cdot \ left (\ frac (15) ( 7) -x ^ 2 \ right))) = 12 \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (7) \ cdot \ sqrt (\ frac (15) (7) -x ^ 2)) = \ frac (12) (\ sqrt (7)) \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (\ frac (15) (7) -x ^ 2)) $$

إذا قارنا الجدول لا يتجزأ $ \ int \ frac (du) (\ sqrt (a ^ 2-u ^ 2)) $ و $ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (\ frac (15) (7) - x ^ 2)) $ يصبح من الواضح أن لديهم نفس البنية. فقط في التكامل $ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (\ frac (15) (7) -x ^ 2)) $ بدلاً من $ u $ هو $ x $ ، وبدلاً من $ a ^ 2 $ يكون $ \ frac (15) (7) $. حسنًا ، إذا كان $ a ^ 2 = \ frac (15) (7) $ فإن $ a = \ sqrt (\ frac (15) (7)) $. استبدال $ u = x $ و $ a = \ sqrt (\ frac (15) (7)) $ في الصيغة $ \ int \ frac (du) (\ sqrt (a ^ 2-u ^ 2)) = \ arcsin \ frac (u) (a) + C $ ، نحصل على النتيجة التالية:

$$ \ frac (12) (\ sqrt (7)) \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (\ frac (15) (7) -x ^ 2)) = \ frac (12) (\ sqrt (7)) \ cdot \ arcsin \ frac (x) (\ sqrt (\ frac (15) (7))) + C $$

إذا أخذنا في الاعتبار أن $ \ sqrt (\ frac (15) (7)) = \ frac (\ sqrt (15)) (\ sqrt (7)) $ ، فيمكن إعادة كتابة النتيجة بدون "ثلاثة طوابق" كسور:

$$ \ frac (12) (\ sqrt (7)) \ cdot \ arcsin \ frac (x) (\ sqrt (\ frac (15) (7))) + C = \ frac (12) (\ sqrt (7) )) \ cdot \ arcsin \ frac (x) (\ frac (\ sqrt (15)) (\ sqrt (7))) + C = \ frac (12) (\ sqrt (7)) \ cdot \ arcsin \ frac (\ sqrt (7) \؛ x) (\ sqrt (15)) + C $$

تم حل المشكلة ، وردت الإجابة.

إجابه: $ \ int \ frac (12) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) dx = \ frac (12) (\ sqrt (7)) \ cdot \ arcsin \ frac (\ sqrt (7) \ ؛ x) (\ sqrt (15)) + C $.

المثال رقم 7

ابحث عن $ \ int \ tg ^ 2xdx $.

هناك طرق لدمج الدوال المثلثية. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، يمكنك الحصول على معرفة بالصيغ المثلثية البسيطة. بما أن $ \ tg x = \ frac (\ sin x) (\ cos x) $ ، ثم $ \ left (\ tg x \ right) ^ 2 = \ left (\ frac (\ sin x) (\ cos x) \ يمين) ^ 2 = \ frac (\ sin ^ 2x) (\ cos ^ 2x) $. بالنظر إلى $ \ sin ^ 2x = 1- \ cos ^ 2x $ ، نحصل على:

$$ \ frac (\ sin ^ 2x) (\ cos ^ 2x) = \ frac (1- \ cos ^ 2x) (\ cos ^ 2x) = \ frac (1) (\ cos ^ 2x) - \ frac (\ cos ^ 2x) (\ cos ^ 2x) = \ frac (1) (\ cos ^ 2x) -1 $$

وبالتالي $ \ int \ tg ^ 2xdx = \ int \ left (\ frac (1) (\ cos ^ 2x) -1 \ right) dx $. بتوسيع التكامل الناتج إلى مجموع التكاملات وتطبيق الصيغ الجدولية ، سيكون لدينا:

$$ \ int \ left (\ frac (1) (\ cos ^ 2x) -1 \ يمين) dx = \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2x) - \ int 1dx = \ tg x-x + C . $$

إجابه: $ \ int \ tg ^ 2xdx = \ tg x-x + C $.

بما أننا الآن سنتحدث فقط عن التكامل غير المحدد ، فسوف نحذف مصطلح "غير محدد" للإيجاز.

لكي تتعلم كيفية حساب التكاملات (أو ، كما يقولون ، تكامل الدوال) ، يجب أن تتعلم أولاً جدول التكاملات:

الجدول 1. جدول التكاملات

2. ( ),ش>0. 2 أ. (α=0); 2 ب. (α = 1) ؛ 2 ج. (α= ). 3. 3 أ. 4. 5. 5 أ) 6 أ. 7. 7 أ.

8. 9. 10. 10 أ. 11. 11 أ. 12. 13. 13 أ.

بالإضافة إلى ذلك ، ستحتاج إلى القدرة على حساب مشتق دالة معينة ، مما يعني أنك بحاجة إلى تذكر قواعد التفاضل وجدول مشتقات الوظائف الأساسية الرئيسية:

الجدول 2. جدول المشتقات وقواعد التفاضل:

6.أ .

(الخطيئة و)  = كوس و  و (كوس ش)  = - الخطيئة و و

ونحتاج أيضًا إلى القدرة على إيجاد تفاضل دالة. أذكر أن تفاضل الوظيفة
تجد بالصيغة
، بمعنى آخر. تفاضل الدالة يساوي حاصل ضرب مشتق هذه الدالة وتفاضل حجتها. من المفيد أن تضع في اعتبارك العلاقات المعروفة التالية:

الجدول 3. جدول الفروق

1. (ب= مقدار ثابت) 2. ( ) 3. 4. 5. (ب= مقدار ثابت) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

علاوة على ذلك ، يمكنك استخدام هذه الصيغ ، سواء قراءتها من اليسار إلى اليمين ، ومن اليمين إلى اليسار.

دعونا نفكر على التوالي في ثلاث طرق أساسية لحساب التكامل. أول واحد يسمى طريقة التكامل المباشر.يعتمد على استخدام خصائص التكامل غير المحدد ويتضمن تقنيتين رئيسيتين: توسيع التكامل في مجموع جبريأبسط و وضع تحت علامة التفاضل، ويمكن استخدام هذه الطرق بشكل مستقل أو مجتمعة.

لكن)انصح تحلل مجموع جبري- تتضمن هذه التقنية استخدام تحويلات متطابقة للتكامل وخصائص الخطية للتكامل غير المحدد:
و.

مثال 1 البحث عن التكاملات:

أ)
; ب)
;

في)
ز)

ه)
.

المحلول.

أ)نقوم بتحويل التكامل من خلال قسمة المصطلح على البسط على المقام:

هنا يتم استخدام خاصية الدرجات:
.

ب) أولاً ، نقوم بتحويل بسط الكسر ، ثم نقسم البسط على حد المقام على حد:

تُستخدم خاصية الدرجات هنا أيضًا:
.

هذه هي الخاصية المستخدمة:
,
.

.

يتم استخدام الصيغتين 2 و 5 من الجدول 1 هنا.

مثال 2 البحث عن التكاملات:

أ)
; ب)
;

في)
ز)

ه)
.

المحلول.

أ)نقوم بتحويل التكامل باستخدام الهوية المثلثية:

.

هنا ، يتم استخدام قسمة البسط على أساس كل مصطلح على أساس المقام والصيغتين 8 و 9 من الجدول 1 مرة أخرى.

ب) نحن نتحول بالمثل باستخدام الهوية
:

.

ج) أولاً ، نقسم البسط على حد المقام على حد ونخرج الثوابت من علامة التكامل ، ثم نستخدم المتطابقة المثلثية
:

د) تطبيق معادلة تخفيض الدرجة:

,

ه) باستخدام الهويات المثلثية ، نقوم بتحويل:

ب)ضع في اعتبارك تقنية التكامل ، والتي تسمى p طرح تحت علامة التفاضل. تعتمد هذه التقنية على خاصية الثبات للتكامل غير المحدد:

إذا
، ثم لأي دالة تفاضلية و=و(X) يحدث:
.

تتيح لك هذه الخاصية توسيع جدول أبسط التكاملات بشكل كبير ، نظرًا لأن الصيغ الموجودة في الجدول 1 ، بحكم هذه الخاصية ، صالحة ليس فقط للمتغير المستقل و، ولكن أيضًا في حالة متى وهي دالة قابلة للتفاضل لبعض المتغيرات الأخرى.

فمثلا،
، ولكن أيضا
، و
، و
.

أو
و
، و
.

يتمثل جوهر الطريقة في استخراج تفاضل وظيفة معينة في تكامل معين بحيث يشكل هذا التفاضل المميز ، مع باقي التعبير ، صيغة جدولية لهذه الوظيفة. إذا لزم الأمر ، يمكن إضافة الثوابت بشكل مناسب لمثل هذا التحويل. فمثلا:

(في المثال الأخير مكتوب ln (3 + x 2) بدلاً من ln | 3 + x 2 | ، منذ التعبير 3 + x 2 دائما موجب).

مثال 3 البحث عن التكاملات:

أ)
; ب)
؛ في)
;

ز)
؛ ه)
؛ ه)
;

و)
؛ ح)
.

المحلول.

أ).

هنا ، يتم استخدام الصيغ 2 أ و 5 أ و 7 أ من الجدول 1 ، ويتم الحصول على الصيغتين الأخيرتين فقط عن طريق الاستبدال تحت العلامة التفاضلية:

دمج وظائف العرض
يحدث كثيرًا في حساب تكاملات الدوال الأكثر تعقيدًا. من أجل عدم تكرار الخطوات الموضحة أعلاه في كل مرة ، نوصيك بتذكر الصيغ المقابلة الواردة في الجدول 1.

.

يتم استخدام الصيغة 3 من الجدول 1 هنا.

ج) وبالمثل ، مع مراعاة ذلك ، نقوم بتحويل:

.

يتم استخدام الصيغة 2 في الجدول 1 هنا.

ز)

.

ه) ؛

ه)

.

و) ؛

ح)

.

مثال 4 البحث عن التكاملات:

أ)
ب)

في)
.

المحلول.

أ) دعونا نتحول:

تُستخدم هنا أيضًا الصيغة 3 من الجدول 1.

ب) استخدم صيغة التخفيض
:

يتم استخدام الصيغتين 2 أ و 7 أ في الجدول 1 هنا.

هنا ، جنبًا إلى جنب مع الصيغتين 2 و 8 من الجدول 1 ، تُستخدم الصيغ الواردة في الجدول 3 أيضًا:
,
.

مثال 5 البحث عن التكاملات:

أ)
; ب)

في)
؛ ز)
.

المحلول.

أ) العمل
يمكن استكمالها (انظر الصيغتين 4 و 5 من الجدول 3) لتفاضل الوظيفة
، أين أو ب- أي ثوابت ،
. في الواقع ، أين
.

إذن لدينا:

.

ب) باستخدام الصيغة 6 من الجدول 3 ، لدينا
، إلى جانب
، مما يعني أن التواجد في تكامل المنتج
يعني تلميحًا: تحت العلامة التفاضلية ، تحتاج إلى إضافة تعبير
. لذلك ، نحصل عليه

ج) كما في الفقرة ب) المنتج
يمكن أن تستكمل لتفاضل الوظيفة
. ثم نحصل على:

.

د) أولاً ، نستخدم الخصائص الخطية للتكامل:

مثال 6 البحث عن التكاملات:

أ)
; ب)
;

في)
؛ ز)
.

المحلول.

أ)بشرط
(الصيغة 9 من الجدول 3) ، نحول:

ب) باستخدام الصيغة 12 من الجدول 3 ، نحصل عليها

ج) مع الأخذ في الاعتبار الصيغة 11 من الجدول 3 ، نقوم بالتحويل

د) باستخدام الصيغة 16 من الجدول 3 ، نحصل على:

.

مثال 7 البحث عن التكاملات:

أ)
; ب)
;

في)
; ز)
.

المحلول.

أ)جميع التكاملات الواردة في هذا المثال لها سمة مشتركة: Integrand تحتوي على ثلاثي مربع. لذلك ، ستعتمد طريقة حساب هذه التكاملات على نفس التحويل - اختيار المربع الكامل في هذا المربع ثلاثي الحدود.

.

ب)

.

في)

ز)

طريقة الجمع تحت علامة التفاضل هي تنفيذ شفهي لطريقة أكثر عمومية لحساب التكامل ، تسمى طريقة الاستبدال أو تغيير المتغير. في الواقع ، في كل مرة ، باختيار الصيغة المناسبة للجدول 1 للوظيفة التي تم الحصول عليها نتيجة الإدماج تحت العلامة التفاضلية ، استبدلنا ذهنيًا بالحرف وتعمل تحت العلامة التفاضلية. لذلك ، إذا لم ينجح التكامل عن طريق الدمج تحت علامة التفاضل جيدًا ، فيمكنك إجراء تغيير مباشر في المتغير. المزيد عن هذا في الفقرة التالية.