الكثير من- مجموعة من أي كائنات. يتم الإشارة إلى المجموعات بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية - من أقبل ض.

مجموعات الأرقام الأساسية: مجموعة الأعداد الطبيعية ومجموعة الأعداد الصحيحة ، يُرمز إليهما دائمًا بالحروف نفسها:

ن- مجموعة الأعداد الطبيعية

ض- مجموعة من الأعداد الصحيحة

تعيين العنصرهو أي كائن يمثل جزءًا من مجموعة. يتم الإشارة إلى انتماء كائن إلى مجموعة بالعلامة ∈. تسجيل

يقرأ مثل هذا: 5 تنتمي إلى المجموعة ضأو 5 - عنصر من عناصر المجموعة ض .

المجموعات مقسمة إلى نهائية ولانهائية. مجموعة محدودة- مجموعة تحتوي على عدد معين (محدود) من العناصر. مجموعة لانهائيةهي مجموعة تحتوي على عدد لا نهائي من العناصر. تتضمن المجموعات اللانهائية مجموعات من الأرقام الطبيعية والصحيحة.

لتحديد مجموعة ، يتم استخدام الأقواس المتعرجة ، حيث يتم سرد العناصر مفصولة بفواصل. على سبيل المثال ، الإدخال

إل = {2, 4, 6, 8}

يعني أن الكثير إليتكون من أربعة أعداد زوجية.

يتم استخدام مجموعة المصطلح بغض النظر عن عدد العناصر التي تحتوي عليها. يتم استدعاء المجموعات التي لا تحتوي على أي عنصر فارغة.

مجموعة فرعية

مجموعة فرعيةهي مجموعة جميع عناصرها جزء من مجموعة أخرى.

يمكنك توضيح العلاقة بصريًا بين المجموعة ومجموعتها الفرعية باستخدام دوائر أويلر. دوائر أويلر عبارة عن مخططات هندسية تساعد في تصور علاقات الكائنات المختلفة ، في حالتنا ، مجموعات.

ضع في اعتبارك مجموعتين:

إل= (2 ، 4 ، 6 ، 8) و م = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

كل عنصر من عناصر المجموعة إلينتمي إلى المجموعة م، يعني مجموعة إل م. يتم الإشارة إلى هذه العلاقة بين المجموعات بالعلامة ⊂:

إل⊂م

تسجيل إل⊂ميقرأ مثل هذا: كثير إلهي مجموعة فرعية من المجموعة م .

يتم استدعاء المجموعات التي تتكون من نفس العناصر ، بغض النظر عن ترتيبها مساوويشار إليها ب =.

ضع في اعتبارك مجموعتين:

إل= (2 ، 4 ، 6) و م = {4, 6, 2}

لأن كلا المجموعتين تتكون من نفس العناصر ، إذن إل = م.

التقاطع واتحاد المجموعات

تقاطع مجموعتينهي مجموعة من العناصر التي تنتمي إلى كل مجموعة من هذه المجموعات ، أي الجزء المشترك بينها. يُشار إلى التقاطع بعلامة ∩.

على سبيل المثال ، إذا

إل= (1 ، 3 ، 7 ، 11) و م= (3 ، 11 ، 17 ، 19) إذن إل∩م = {3, 11}.

تسجيل إل∩ميقرأ مثل هذا: تقاطع المجموعات إلو م .

من هذا المثال يتبع ذلك تقاطع المجموعات هو مجموعة تحتوي فقط على تلك العناصر التي تحدث في جميع المجموعات المتقاطعة..

اتحاد مجموعتينتسمى المجموعة التي تحتوي على جميع عناصر المجموعات الأصلية في نسخة واحدة ، أي إذا حدث نفس العنصر في كلتا المجموعتين ، فسيتم تضمين هذا العنصر في المجموعة الجديدة مرة واحدة فقط. الاتحاد هو الرمز ∪.

على سبيل المثال ، إذا

إل= (1 ، 3 ، 7 ، 11) و م = {3, 11, 17, 19},

ومن بعد إل∪م = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.

تسجيل إل∪ميقرأ مثل هذا: اتحاد المجموعات إلو م .

عند الجمع بين المجموعات المتساوية ، سيكون الاتحاد مساويًا لأي من المجموعات المحددة:

إذا إل = م، ومن بعد إل∪م = إلو إل∪م = م.

في الرياضيات ، يعتبر مفهوم المجموعة واحدًا من المفاهيم الأساسية والأساسية ، ولكن لا يوجد تعريف واحد للمجموعة. أحد التعريفات الأكثر رسوخًا للمجموعة هو ما يلي: المجموعة هي أي مجموعة من الكائنات المحددة والمميزة التي يمكن التفكير فيها ككل. قال مبتكر نظرية المجموعات ، عالم الرياضيات الألماني جورج كانتور (1845-1918): "المجموعة هي الكثير الذي نفكر فيه ككل."

كنوع بيانات ، أثبتت المجموعات أنها ملائمة جدًا لبرمجة مواقف الحياة المعقدة ، حيث يمكنها نمذجة كائنات العالم الحقيقي بدقة وعرض العلاقات المنطقية المعقدة بشكل مضغوط. تُستخدم المجموعات في لغة برمجة باسكال وسنقوم بتحليل أحد أمثلة الحلول أدناه. بالإضافة إلى ذلك ، على أساس نظرية المجموعات ، تم إنشاء مفهوم قواعد البيانات العلائقية ، وعلى أساس العمليات على مجموعات - الجبر العلائقي وعملياته- تستخدم في لغات استعلام قواعد البيانات ، على وجه الخصوص ، SQL.

مثال 0 (باسكال).هناك مجموعة من المنتجات تُباع في عدة متاجر بالمدينة. تحديد: ما هي المنتجات المتوفرة في جميع المحلات في المدينة ؛ مجموعة كاملة من المنتجات في المدينة.

المحلول. نحدد نوع البيانات الأساسية Food (المنتجات) ، ويمكن أن تأخذ قيمًا مقابلة لأسماء المنتجات (على سبيل المثال ، hleb). نعلن عن نوع المجموعة ، فهي تحدد جميع المجموعات الفرعية المكونة من مجموعات من قيم النوع الأساسي ، أي الطعام (المنتجات). ونشكل مجموعات فرعية: متاجر "Solnyshko" و "Veterok" و "Spark" بالإضافة إلى مجموعات فرعية مشتقة: MinFood (المنتجات الموجودة في جميع المتاجر) و MaxFood (مجموعة كاملة من المنتجات في المدينة). بعد ذلك ، نكتب عمليات للحصول على مجموعات فرعية مشتقة. يتم الحصول على المجموعة الفرعية MinFood نتيجة تقاطع المجموعات الفرعية Solnyshko و Veterok و Ogonyok وتشمل فقط تلك العناصر من هذه المجموعات الفرعية المضمنة في كل من هذه المجموعات الفرعية (في باسكال ، يُشار إلى تشغيل مجموعات التقاطع بواسطة علامة النجمة: A * B * C ، يرد أدناه تدوين رياضي لتقاطع المجموعات). يتم الحصول على المجموعة الفرعية MaxFood من خلال الجمع بين نفس المجموعات الفرعية وتتضمن العناصر التي تم تضمينها في جميع المجموعات الفرعية (في باسكال ، يتم الإشارة إلى تشغيل المجموعات المجمعة بعلامة زائد: A + B + C ، يتم إعطاء التدوين الرياضي لاتحاد المجموعات أقل).

كود باسكال

متاجر البرامج ؛ نوع الغذاء = (hleb، moloko، myaso، syr، sol، sahar، maslo، ryba) ؛ متجر = مجموعة طعام ؛ فار Solnyshko ، Veterok ، Ogonyok ، MinFood ، MaxFood: Shop ؛ يبدأ Solnyshko: = ؛ Veterok: = ؛ Ogonyok: = ؛ ... MinFood: = Solnyshko * Veterok * Ogonyok ؛ MaxFood: = Solnyshko + Veterok + Ogonyok ؛ نهاية.

ما هي المجموعات

الأشياء التي تتكون منها المجموعة - أشياء حدسنا أو عقولنا - يمكن أن تكون ذات طبيعة مختلفة تمامًا. في المثال الوارد في الفقرة الأولى ، تناولنا المجموعات التي تتضمن مجموعة من المنتجات. يمكن أن تتكون المجموعات ، على سبيل المثال ، من جميع أحرف الأبجدية الروسية. في الرياضيات ، تتم دراسة مجموعات من الأرقام ، على سبيل المثال ، تتكون من الكل:

الأعداد الطبيعية 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...

الأعداد الأولية

حتى الأعداد الصحيحة

إلخ. (تمت مناقشة المجموعات العددية الرئيسية في هذه المادة).

تسمى الكائنات التي تتكون منها مجموعة عناصرها. يمكننا القول أن المجموعة هي "كيس من العناصر". إنه مهم للغاية: لا توجد عناصر متطابقة في المجموعة.

المجموعات إما محدودة أو لانهائية. المجموعة المحدودة هي مجموعة يوجد لها عدد طبيعي يمثل عدد عناصرها. على سبيل المثال ، مجموعة أول خمسة أعداد صحيحة فردية غير سالبة هي مجموعة منتهية.المجموعة غير المحدودة تسمى اللانهائية. على سبيل المثال ، مجموعة جميع الأعداد الطبيعية هي مجموعة لا نهائية.

اذا كان م- مجموعة و أ- عنصرها ثم اكتب: أ∈ممما يعني " أينتمي إلى المجموعة م".

من المثال الأول (صفر) في باسكال مع المنتجات الموجودة في متاجر مختلفة:

hleb∈فيتيروك ,

وهو ما يعني أن العنصر "hleb" ينتمي إلى مجموعة المنتجات الموجودة في متجر "VETEROK".

هناك طريقتان رئيسيتان لتعريف المجموعات: التعداد والوصف.

يمكن تحديد مجموعة من خلال سرد جميع عناصرها ، على سبيل المثال:

فيتيروك = {hleb, سير, نفط} ,

أ = {7 , 14 , 28 } .

يمكن للتعداد تحديد مجموعة محدودة فقط. على الرغم من أنه يمكنك القيام بذلك مع الوصف. ولكن لا يمكن تحديد المجموعات اللانهائية إلا عن طريق الوصف.

تستخدم الطريقة التالية لوصف المجموعات. يترك ص(x) - بعض العبارات التي تصف خصائص متغير x، مداها هو المجموعة م. ثم من خلال م = {x | ص(x)} يشير إلى المجموعة التي تتكون من كل تلك العناصر التي تم البيان من أجلها فقط ص(x) صحيح. يقرأ هذا التعبير على النحو التالي: م، تتكون من كل هؤلاء x، ماذا او ما ص(x) ".

على سبيل المثال ، الإدخال

م = {x | x² - 3 x + 2 = 0}

مثال 6وفقًا لمسح شمل 100 من مشتري السوق الذين اشتروا ثمار الحمضيات ، تم شراء البرتقال من قبل 29 مشترًا ، والليمون - 30 مشترًا ، واليوسفي - 9 ، واليوسفي فقط - 1 ، والبرتقال والليمون - 10 ، والليمون واليوسفي - 4 ، الثلاثة جميعًا أنواع الفاكهة - 3 مشترين. كم عدد العملاء الذين لم يشتروا أيًا من ثمار الحمضيات المدرجة هنا؟ كم عدد المشترين الذين اشتروا الليمون فقط؟

عملية منتج المجموعة الديكارتية

لتحديد عملية مهمة أخرى على مجموعات - المنتج الديكارتي للمجموعاتنقدم مفهوم مجموعة مرتبة من الطول ن.

طول المجموعة هو الرقم نمكونه. يتم الإشارة إلى مجموعة مكونة من العناصر المأخوذة بهذا الترتيب . حيث أناط () مجموعة مكونة.

الآن سيتبع تعريف صارم ، والذي قد لا يكون واضحًا على الفور ، ولكن بعد هذا التعريف ستكون هناك صورة توضح كيفية الحصول على منتج ديكارتي للمجموعات.

منتج مجموعات ديكارتي (مباشر)يسمى المجموعة المشار إليها وتتكون من كل تلك المجموعات من الطول فقط ن, أنا-i المكون الذي ينتمي إليه .

على سبيل المثال ، إذا ، ، ​​،

مجموعات. العمليات في مجموعات.
ضبط العرض. ضبط السلطة

أرحب بكم في الدرس الأول في الجبر العالي ، والذي ظهر ... عشية الذكرى الخامسة للموقع ، بعد أن أنشأت بالفعل أكثر من 150 مقالاً في الرياضيات ، وبدأت المواد الخاصة بي تتشكل في دورة مكتملة . ومع ذلك ، آمل ألا أتأخر - بعد كل شيء ، يبدأ العديد من الطلاب في الخوض في المحاضرات فقط للامتحانات الحكومية =)

تعتمد الدورة الجامعية للفيشمات تقليديا على ثلاث ركائز:

- التحليل الرياضي (حدود, المشتقاتإلخ.)

- وأخيرًا ، يبدأ موسم العام الدراسي 2015/2016 بالدروس الجبر للدمى, عناصر المنطق الرياضي، حيث سنقوم بتحليل أساسيات القسم ، وكذلك التعرف على المفاهيم الرياضية الأساسية والترميز المشترك. يجب أن أقول إنني في مقالات أخرى لا أسيء استخدام كلمة "تمايل" ، ومع ذلك ، هذا مجرد أسلوب ، وبالطبع ، يجب التعرف عليهم في أي حالة =). أبلغ القراء الجدد أن دروسي موجهة نحو الممارسة ، وسيتم تقديم المواد التالية في هذا السياق. لمزيد من المعلومات الأكاديمية والأكاديمية ، يرجى الرجوع إلى الكتب المدرسية. يذهب:

الكثير من. ضع أمثلة

المجموعة هي مفهوم أساسي ليس فقط للرياضيات ، ولكن للعالم بأسره. خذ أي عنصر في يدك الآن. هنا لديك مجموعة تتكون من عنصر واحد.

بمعنى واسع ، المجموعة هي مجموعة من العناصر (العناصر) التي يتم فهمها ككل(حسب علامات أو معايير أو ظروف معينة). علاوة على ذلك ، فهذه ليست مجرد أشياء مادية ، بل هي أيضًا أحرف وأرقام ونظريات وأفكار وعواطف وما إلى ذلك.

عادة ما يتم الإشارة إلى المجموعات بأحرف لاتينية كبيرة. (كخيار ، مع الاشتراكات: إلخ.)، وعناصرها مكتوبة بأقواس معقوفة ، على سبيل المثال:

- مجموعة من الحروف الأبجدية الروسية ؛
هي مجموعة الأعداد الطبيعية ؛

حسنًا ، حان الوقت للتعرف قليلاً على بعضنا البعض:
- العديد من الطلاب في الصف الأول

... يسعدني أن أرى وجوهك الجادة والمركزة =)

مجموعات و نهائي(تتكون من عدد محدود من العناصر) ، والمجموعة هي مثال بلا نهايةمجموعات. بالإضافة إلى ذلك ، من الناحية النظرية والتطبيق ، ما يسمى ب مجموعة فارغة:

هي مجموعة لا تحتوي على أي عنصر.

المثال معروف لك - غالبًا ما تكون المجموعة في الاختبار فارغة =)

يُشار إلى عضوية عنصر في مجموعة بالرمز ، على سبيل المثال:

- ينتمي الحرف "be" إلى مجموعة أحرف الأبجدية الروسية ؛
- الحرف "بيتا" ليسينتمي إلى مجموعة أحرف الأبجدية الروسية ؛
- ينتمي الرقم 5 إلى مجموعة الأعداد الطبيعية ؛
- لكن الرقم 5.5 لم يعد موجودًا ؛
- Voldemar لا يجلس في الصف الأول (والأكثر من ذلك ، لا ينتمي إلى المجموعة أو =)).

في المجرد وليس الجبر ، يتم الإشارة إلى عناصر المجموعة بأحرف لاتينية صغيرة وبناءً عليه ، فإن حقيقة الانتماء تُصاغ على النحو التالي:

- ينتمي العنصر إلى المجموعة.

المجموعات المذكورة أعلاه مكتوبة تحويل مباشرالعناصر ، ولكن هذه ليست الطريقة الوحيدة. يتم تعريف العديد من المجموعات بشكل ملائم باستخدام البعض إشارة (س)، وهو متأصل لجميع عناصرها. فمثلا:

هي مجموعة الأعداد الطبيعية الأصغر من 100.

تذكر: عصا عمودية طويلة تعبر عن الدوران اللفظي "الذي" ، "مثل هذا". في كثير من الأحيان ، يتم استخدام النقطتين بدلاً من ذلك: - لنقرأ الإدخال بشكل أكثر رسمية: "مجموعة العناصر التي تنتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية ، مثل ذلك » . أحسنت!

يمكن أيضًا كتابة هذه المجموعة عن طريق التعداد المباشر:

مزيد من الأمثلة:
- وإذا كان هناك عدد كبير جدًا من الطلاب في الصف الأول ، فإن هذا السجل يكون أكثر ملاءمة من قائمتهم المباشرة.

هي مجموعة الأرقام التي تنتمي إلى الفترة. لاحظ أن هذا يشير إلى المجموعة صالحأعداد (عنهم لاحقًا)، والتي لم يعد من الممكن إدراجها مفصولة بفواصل.

وتجدر الإشارة إلى أن عناصر المجموعة لا يجب أن تكون "متجانسة" أو مرتبطة منطقيًا. خذ كيسًا كبيرًا وابدأ في وضع عناصر مختلفة فيه بشكل عشوائي. لا يوجد انتظام في هذا ، لكن مع ذلك ، نحن نتحدث عن مجموعة متنوعة من الموضوعات. من الناحية المجازية ، فإن المجموعة هي "حزمة" منفصلة حيث تبين أن مجموعة معينة من الأشياء كانت "بإرادة القدر".

مجموعات فرعية

كل شيء تقريبًا واضح من الاسم نفسه: المجموعة هي مجموعة فرعيةاضبط إذا كان كل عنصر من عناصر المجموعة ينتمي إلى المجموعة. بمعنى آخر ، يتم تضمين المجموعة في مجموعة:

الأيقونة تسمى الأيقونة تضمين.

لنعد إلى المثال الذي توجد فيه مجموعة أحرف الأبجدية الروسية. دلالة بواسطة - مجموعة أحرف العلة الخاصة بها. ثم:

من الممكن أيضًا تحديد مجموعة فرعية من الأحرف الساكنة ، وبشكل عام ، مجموعة فرعية عشوائية تتكون من أي عدد من الأحرف السيريلية العشوائية (أو غير العشوائية). على وجه الخصوص ، أي حرف سيريلي هو مجموعة فرعية من المجموعة.

يتم وصف العلاقات بين المجموعات الفرعية بشكل ملائم باستخدام مخطط هندسي شرطي يسمى دوائر أويلر.

كن مجموعة من الطلاب في الصف الأول ، وكن مجموعة من الطلاب ، وكن مجموعة من طلاب الجامعة. ثم يمكن تمثيل علاقة الادراج على النحو التالي:

يجب تصوير مجموعة طلاب جامعة أخرى على أنها دائرة لا تتقاطع مع الدائرة الخارجية ؛ العدد الكبير من طلاب البلد في دائرة تحتوي على هاتين الدائرتين ، وهكذا.

نرى مثالًا نموذجيًا للشوائب عند النظر في المجموعات العددية. دعنا نكرر المادة المدرسية ، والتي من المهم أن نأخذها في الاعتبار عند دراسة الرياضيات العليا:

مجموعات رقمية

كما تعلم ، تاريخيًا ، كانت الأرقام الطبيعية هي أول من ظهر ، وهي مصممة لعد الأشياء المادية (البشر ، والدجاج ، والأغنام ، والعملات المعدنية ، وما إلى ذلك). تم استيفاء هذه المجموعة بالفعل في المقالة ، والشيء الوحيد هو أننا نقوم الآن بتعديل تعيينها بشكل طفيف. الحقيقة هي أن المجموعات العددية يُشار إليها عادةً بأحرف غامقة أو منمقة أو سميكة. أفضل استخدام الخط العريض:

في بعض الأحيان يتم تضمين الصفر في مجموعة الأعداد الطبيعية.

إذا أضفنا نفس الأرقام مع الإشارة المعاكسة وصفر للمجموعة ، نحصل على مجموعة من الأعداد الصحيحة:

المنطقون والأشخاص الكسالى يكتبون عناصره بالأيقونات "زائد ناقص":))

من الواضح تمامًا أن مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة فرعية من مجموعة الأعداد الصحيحة:
- لأن كل عنصر من عناصر المجموعة ينتمي إلى المجموعة. وبالتالي ، يمكن تسمية أي عدد طبيعي بأمان بعدد صحيح.

اسم المجموعة أيضًا "يتحدث": الأعداد الصحيحة - وهذا يعني عدم وجود كسور.

وبمجرد أن تكون أعدادًا صحيحة ، فإننا نتذكر على الفور العلامات المهمة لقابليتها للقسمة على 2 و 3 و 4 و 5 و 10 ، والتي ستكون مطلوبة في الحسابات العملية كل يوم تقريبًا:

العدد الصحيح يقبل القسمة على 2 بدون باقيإذا كان ينتهي بـ 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8 (أي رقم زوجي). على سبيل المثال ، الأرقام:
400 ، -1502 ، -24 ، 66996 ، 818 - مقسومًا على 2 بدون باقي.

ودعنا نحلل على الفور العلامة "ذات الصلة": عدد صحيح يقبل القسمة على 4إذا كان الرقم مكونًا من آخر رقمين (بترتيبهم)يقبل القسمة على 4.

400 يقبل القسمة على 4 (لأن 00 (صفر) يقبل القسمة على 4);
-1502 - لا يقبل القسمة على 4 (لأن 02 (اثنان) لا تقبل القسمة على 4);
-24 ، بالطبع ، يقبل القسمة على 4 ؛
66996 - يقبل القسمة على 4 (لأن 96 يقبل القسمة على 4);
818 - لا يقبل القسمة على 4 (لأن 18 لا تقبل القسمة على 4).

ضع تبريرك البسيط لهذه الحقيقة.

تعد القابلية للقسمة على 3 أكثر صعوبة بقليل: عدد صحيح يقبل القسمة على 3 بدون باقي إذا مجموع أرقامهايقبل القسمة على 3.

دعنا نتحقق مما إذا كان الرقم 27901 يقبل القسمة على 3. للقيام بذلك ، نلخص أرقامه:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - غير قابلة للقسمة على 3
الخلاصة: 27901 لا يقبل القسمة على 3.

دعونا نجمع أرقام الرقم -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - يقبل القسمة على 3
الخلاصة: الرقم -825432 يقبل القسمة على 3

العدد الصحيح يقبل القسمة على 5، إذا انتهى بخمسة أو صفر:
775، -2390 - يقبل القسمة على 5

العدد الصحيح يقبل القسمة على 10إذا انتهى بصفر:
798400 - يقبل القسمة على 10 (ومن الواضح أنه عند 100). حسنًا ، ربما يتذكر الجميع - من أجل القسمة على 10 ، تحتاج فقط إلى إزالة صفر واحد: 79840

هناك أيضًا علامات على قابلية القسمة على 6 و 8 و 9 و 11 وما إلى ذلك ، ولكن لا يوجد أي معنى عملي منها =)

تجدر الإشارة إلى أن المعايير المدرجة (التي تبدو بسيطة جدًا) تم إثباتها بدقة في نظرية الأعداد. هذا القسم من الجبر مثير للاهتمام بشكل عام ، لكن نظرياته ... مجرد تنفيذ صيني حديث =) وكان فولديمار في المكتب الأخير كافياً ... لكن هذا جيد ، سنفعل قريبًا تمارين بدنية تنبض بالحياة =)

مجموعة الأرقام التالية هي تعيين الأرقام المنطقية:
- أي ، يمكن تمثيل أي عدد نسبي في صورة كسر بعدد صحيح البسطوطبيعية المقام - صفة مشتركة - حالة.

من الواضح أن مجموعة الأعداد الصحيحة هي مجموعة فرعيةمجموعات من الأرقام المنطقية:

وفي الحقيقة - بعد كل شيء ، يمكن تمثيل أي عدد صحيح ككسر كسري ، على سبيل المثال: إلخ. وبالتالي ، يمكن أن يسمى العدد الصحيح بشكل شرعي عددًا منطقيًا.

علامة "تحديد" المميزة للرقم المنطقي هي حقيقة أنه عند قسمة البسط على المقام ، يحصل المرء على إما
هو عدد صحيح ،

أو
– ذروةعدد عشري،

أو
- بلا نهاية دوريةعدد عشري (قد لا تبدأ إعادة التشغيل على الفور).

اعجب بالتقسيم وحاول القيام بهذا العمل بأقل قدر ممكن! في المادة التنظيمية الرياضيات العليا للدمىوفي دروس أخرى كررت مرارًا وتكرارًا وسأكرر هذا الشعار:

في الرياضيات العليا ، نسعى جاهدين لأداء جميع الإجراءات في الكسور العادية (الصحيحة وغير الصحيحة)

توافق على أن التعامل مع كسر أكثر ملاءمة من التعامل مع رقم عشري 0.375 (ناهيك عن الكسور اللانهائية).

لنذهب أبعد من ذلك. بالإضافة إلى الأعداد المنطقية ، هناك العديد من الأرقام غير المنطقية ، يمكن تمثيل كل منها على أنها لا نهائية غير دوريةكسر عشري. بعبارة أخرى ، لا يوجد انتظام في "ذيول اللانهائية" للأعداد غير المنطقية:
("سنة ميلاد ليو تولستوي" مرتين)
إلخ.

هناك الكثير من المعلومات حول الثوابت المشهورة "pi" و "e" ، لذا فأنا لا أسهب في الحديث عنها.

اتحاد أشكال الأعداد المنطقية وغير المنطقية مجموعة من الأرقام الحقيقية (الحقيقية):

- أيقونة ذات الصلةمجموعات.

التفسير الهندسي للمجموعة مألوف لك - إنه خط أرقام:


يتوافق كل رقم حقيقي مع نقطة معينة من خط الأعداد ، والعكس صحيح - كل نقطة من خط الأعداد تتوافق بالضرورة مع عدد حقيقي. في الأساس ، لقد قمت الآن بصياغة خاصية الاستمراريةالأعداد الحقيقية ، والتي ، على الرغم من أنها تبدو واضحة ، تم إثباتها بدقة في سياق التحليل الرياضي.

يُشار إلى خط الأعداد أيضًا بفاصل زمني لانهائي ، ويرمز الترميز أو الترميز المكافئ إلى حقيقة أنه ينتمي إلى مجموعة الأرقام الحقيقية (أو ببساطة "x" - رقم حقيقي).

في حفلات الزفاف ، كل شيء شفاف: مجموعة الأرقام المنطقية هي مجموعة فرعيةمجموعات من الأرقام الحقيقية:
وبالتالي ، يمكن تسمية أي رقم منطقي بأمان برقم حقيقي.

مجموعة الأعداد غير المنطقية هي أيضًا مجموعة فرعيةأرقام حقيقية:

في نفس الوقت ، مجموعات فرعية و لا تتقاطع- أي أنه لا يمكن تمثيل أي عدد غير نسبي ككسر نسبي.

هل توجد أنظمة أرقام أخرى؟ يوجد! هذا ، على سبيل المثال ، ارقام مركبةالذي أوصي به أن تقرأ حرفيًا في الأيام القادمة أو حتى الساعات.

في غضون ذلك ، ننتقل إلى دراسة العمليات المحددة ، والتي تحققت روحها بالفعل في نهاية هذا القسم:

الإجراءات على المجموعات. الرسوم البيانية فين

مخططات فين (على غرار دوائر أويلر) هي تمثيل تخطيطي للأفعال مع المجموعات. مرة أخرى ، أحذرك من أنني لن أغطي جميع العمليات:

1) تداخل وويتم تمييزها بـ

يُطلق على تقاطع المجموعات مجموعة ، ينتمي كل عنصر منها وتعيين ، وتعيين . بشكل تقريبي ، يعد التقاطع جزءًا شائعًا من المجموعات:

لذلك ، على سبيل المثال ، بالنسبة للمجموعات:

إذا لم تكن المجموعات تحتوي على عناصر متطابقة ، فسيكون تقاطعها فارغًا. لقد صادفنا للتو مثل هذا المثال عند التفكير في المجموعات العددية:

يمكن تمثيل مجموعات الأرقام المنطقية وغير المنطقية بشكل تخطيطي من خلال دائرتين غير متداخلتين.

عملية التقاطع قابلة للتطبيق على عدد أكبر من المجموعات ، على وجه الخصوص ، ويكيبيديا لديها سلعة مثال على تقاطع مجموعات الحروف المكونة من ثلاثة أبجديات.

2) جمعيةمجموعات تتميز باتصال منطقي أوويتم تمييزها بـ

اتحاد المجموعات هو مجموعة ، ينتمي كل عنصر منها إلى المجموعة أوتعيين :

لنكتب اتحاد المجموعات:
- بشكل تقريبي ، هنا تحتاج إلى سرد جميع عناصر المجموعات ونفس العناصر (في هذه الحالة ، الوحدة عند تقاطع المجموعات)يجب تحديده مرة واحدة.

لكن المجموعات ، بالطبع ، قد لا تتقاطع ، كما هو الحال مع الأرقام المنطقية وغير المنطقية:

في هذه الحالة ، يمكنك رسم دائرتين مظللتين غير متقاطعتين.

عملية الاتحاد قابلة للتطبيق على مجموعات أكثر ، على سبيل المثال ، إذا:

لا يجب أن تكون الأرقام بترتيب تصاعدي. (فعلت هذا لأسباب جمالية بحتة). بدون مزيد من اللغط ، يمكن كتابة النتيجة على النحو التالي:

3) فرق ولا تنتمي إلى المجموعة:

يُقرأ الاختلاف على النحو التالي: "بدون يكون". ويمكنك أن تجادل بنفس الطريقة بالضبط: فكر في المجموعات. لتدوين الفرق ، تحتاج إلى "التخلص" من جميع العناصر الموجودة في المجموعة من المجموعة:

مثال مع مجموعات رقمية:
- هنا يتم استبعاد جميع الأعداد الطبيعية من مجموعة الأعداد الصحيحة ، ويقرأ الترميز نفسه على النحو التالي: "مجموعة الأعداد الصحيحة بدون مجموعة القيم الطبيعية".

مرآة: فرقيضبط ويستدعي المجموعة ، كل عنصر منها ينتمي إلى المجموعة ولا تنتمي إلى المجموعة:

لنفس المجموعات
- من المجموعة "طرد" ما هو موجود في المجموعة.

لكن تبين أن هذا الاختلاف فارغ: . وفي الواقع - إذا تم استبعاد الأعداد الصحيحة من مجموعة الأعداد الطبيعية ، فلن يبقى شيء في الواقع :)

بالإضافة إلى ذلك ، تنظر في بعض الأحيان متماثلالفرق الذي يجمع بين "الهلالين":
- بعبارة أخرى ، إنها "كل شيء ما عدا تقاطع المجموعات".

4) منتج ديكارتي (مباشر)مجموعات وتسمى مجموعة الكل منظمأزواج فيها العنصر والعنصر

نكتب المنتج الديكارتي للمجموعات:
- من الملائم تعداد الأزواج وفقًا للخوارزمية التالية: "أولاً ، نربط بالتسلسل كل عنصر من عناصر المجموعة بالعنصر الأول من المجموعة ، ثم نربط كل عنصر من عناصر المجموعة بالعنصر الثاني من المجموعة ، ثم نقوم إرفاق كل عنصر من عناصر المجموعة بالعنصر الثالث من المجموعة »:

مرآة: المنتج الديكارتيمجموعات وتسمى مجموعة الكل منظمأزواج فيها. في مثالنا:
- هنا مخطط التسجيل مشابه: أولاً ، نربط بالتسلسل جميع عناصر المجموعة بـ "ناقص واحد" ، ثم بـ "de" - نفس العناصر:

ولكن هذا فقط للراحة - في كلتا الحالتين ، يمكن إدراج الأزواج بأي ترتيب - من المهم الكتابة هنا الكلالأزواج المحتملين.

والآن أهم ما يميز البرنامج: المنتج الديكارتي ليس سوى مجموعة من النقاط في بلدنا الأصلي نظام الإحداثيات الديكارتية .

ممارسه الرياضهلمواد التثبيت الذاتي:

قم بإجراء العمليات إذا:

الكثير من من الملائم وصفه من خلال سرد عناصره.

وبدعة بفواصل الأعداد الحقيقية:

تذكر أن القوس المربع يعني تضمينالأرقام في الفترة الزمنية ، وتقريبها استبعاد، أي "ناقص واحد" ينتمي إلى المجموعة ، و "ثلاثة" ليسينتمي إلى المجموعة. حاول معرفة ما هو المنتج الديكارتي لهذه المجموعات. إذا واجهت أي صعوبات ، فاتبع الرسم ؛)

حل موجز للمشكلة في نهاية الدرس.

ضبط العرض

عرضلتعيين هو قاعدة، وفقًا لذلك يرتبط كل عنصر من عناصر المجموعة بعنصر (أو عناصر) من المجموعة. في حال تطابقها الوحيدعنصر ، هذه القاعدة تسمى محددة بوضوحوظيفة أو فقط وظيفة.

غالبًا ما يتم الإشارة إلى الوظيفة ، كما يعرف الكثير من الناس ، بحرف - إنها مرتبطة لكلالعنصر هو القيمة الوحيدة التي تنتمي إلى المجموعة.

حسنًا ، سأقوم الآن مرة أخرى بإزعاج الكثير من طلاب الصف الأول وأعرض عليهم 6 موضوعات للملخصات (مجموعة):

المثبتة (طوعا أو كرها =))تربط القاعدة كل طالب في المجموعة بموضوع واحد من ملخص المجموعة.

... وربما لا يمكنك حتى تخيل أنك ستلعب دور وسيطة الوظيفة =) =)

عناصر شكل المجموعة نطاقالوظائف (المشار إليها بواسطة) ، وعناصر المجموعة - نطاقوظائف (يرمز لها).

رسم الخرائط المُنشأة للمجموعات له خاصية مهمة جدًا: إنه كذلك واحد لواحدأو متحيز(انحراف). في هذا المثال ، هذا يعني أن لكلالطالب محاذاة واحد فريدموضوع المقال والعكس صحيح - لكليتم تحديد طالب واحد فقط من خلال موضوع الملخص.

ومع ذلك ، لا ينبغي للمرء أن يعتقد أن كل رسم خرائط حيوي. إذا تمت إضافة الطالب السابع إلى الصف الأول (إلى المجموعة) ، فستختفي المراسلات الفردية - أو سيترك أحد الطلاب بدون موضوع (لا يوجد عرض على الإطلاق)، أو سيتم إرسال موضوع ما إلى طالبين في وقت واحد. الموقف المعاكس: إذا تمت إضافة موضوع سابع إلى المجموعة ، فسيتم أيضًا فقدان التعيين الفردي - سيظل أحد الموضوعات غير مطالب به.

أعزائي الطلاب ، في الصف الأول ، لا تنزعج - سيذهب العشرون شخصًا المتبقون بعد الفصل لتنظيف أراضي الجامعة من أوراق الشجر الخريفية. سيصدر مدير التوريد عشرين غوليكًا ، وبعد ذلك سيتم إنشاء مراسلة فردية بين الجزء الرئيسي من المجموعة والمكانس ... ، وسيكون لدى فولديمار أيضًا وقتًا للجري إلى المتجر =)). فريدة من نوعها"y" ، والعكس صحيح - لأي قيمة لـ "y" يمكننا بشكل لا لبس فيه استعادة "x". وبالتالي ، فهي وظيفة حيوية.

! فقط في حالة ، قمت بإزالة سوء فهم محتمل: تحفظي المستمر حول النطاق ليس عرضيًا! قد لا يتم تعريف الوظيفة لجميع "x" ، وعلاوة على ذلك ، قد تكون واحد لواحد في هذه الحالة أيضًا. مثال نموذجي:

لكن الوظيفة التربيعية ليس لها أي شيء مشابه ، أولاً:
- أي ، تم عرض قيم مختلفة لـ "x" في نفستعني "ذ" ؛ وثانياً: إذا قام شخص ما بحساب قيمة الوظيفة وأخبرنا بذلك ، فليس من الواضح - تم الحصول على "y" عند أو عند؟ وغني عن القول ، ليس هناك حتى رائحة الغموض المتبادل هنا.

المهمة 2: رأي الرسوم البيانية للوظائف الابتدائية الأساسيةواكتب وظائف حيوية على قطعة من الورق. قائمة التحقق في نهاية هذا الدرس.

ضبط السلطة

يقترح الحدس أن المصطلح يميز حجم المجموعة ، أي عدد عناصرها. والحدس لا يخدعنا!

عدد العناصر الأساسية للمجموعة الفارغة هو صفر.

أصل المجموعة هو ستة.

قوة مجموعة أحرف الأبجدية الروسية ثلاثة وثلاثون.

بشكل عام ، قوة أي نهائيالمجموعة تساوي عدد عناصر هذه المجموعة.

... ربما لا يفهم الجميع تمامًا ما هو عليه نهائيمجموعة - إذا بدأت في حساب عناصر هذه المجموعة ، فحينئذٍ سينتهي العد عاجلاً أم آجلاً. ما يسمى ، وسوف ينفد الصينيون يوما ما.

بالطبع ، يمكن مقارنة المجموعات في الأصل ، وتسمى مساواتها بهذا المعنى قوة متساوية. يتم تعريف المعادلة على النحو التالي:

مجموعتان متكافئتان إذا كان من الممكن إنشاء مراسلات واحد إلى واحد بينهما..

مجموعة الطلاب تعادل مجموعة الموضوعات المجردة ، ومجموعة أحرف الأبجدية الروسية تعادل أي مجموعة مكونة من 33 عنصرًا ، إلخ. لاحظ بالضبط ما أي واحدمجموعة من 33 عنصرًا - في هذه الحالة ، لا يهم سوى عددهم. يمكن مقارنة أحرف الأبجدية الروسية ليس فقط بالعديد من الأرقام
1 ، 2 ، 3 ، ... ، 32 ، 33 ، ولكن أيضًا بشكل عام مع قطيع من 33 بقرة.

الأشياء أكثر إثارة للاهتمام مع مجموعات لانهائية. اللانهايات هي أيضا مختلفة! ... الأخضر والأحمر المجموعات اللانهائية "الأصغر" هي عدمجموعات. إذا كان الأمر بسيطًا جدًا ، فيمكن ترقيم عناصر هذه المجموعة. المثال المرجعي هو مجموعة الأعداد الطبيعية . نعم - إنه لانهائي ، لكن كل عنصر من عناصره في PRINCIPLE له رقم.

هناك الكثير من الأمثلة. على وجه الخصوص ، مجموعة الأعداد الطبيعية كلها قابلة للعد. كيف تثبت ذلك؟ من الضروري إنشاء مراسلات فردية مع مجموعة الأرقام الطبيعية أو ببساطة ترقيم العناصر:

يتم إنشاء تطابق واحد لواحد ، وبالتالي ، فإن المجموعات متكافئة والمجموعة قابلة للعد. إنه أمر متناقض ، ولكن من وجهة نظر القوة - هناك عدد متساو من الأعداد الطبيعية مثل الأرقام الطبيعية!

مجموعة الأعداد الصحيحة قابلة للعد أيضًا. يمكن ترقيم عناصرها ، على سبيل المثال ، على النحو التالي:

علاوة على ذلك ، فإن مجموعة الأرقام المنطقية قابلة للعد أيضًا. . بما أن البسط عدد صحيح (وكما هو موضح للتو ، يمكن ترقيمها)، والمقام عدد طبيعي ، ثم عاجلاً أم آجلاً سوف "نحصل" على أي كسر كسري ونخصص له رقمًا.

لكن مجموعة الأعداد الحقيقية موجودة بالفعل لا يحصى، بمعنى آخر. لا يمكن ترقيم عناصرها. على الرغم من أن هذه الحقيقة واضحة ، فقد تم إثباتها بدقة في نظرية المجموعات. يُطلق أيضًا على أصل مجموعة الأعداد الحقيقية الأستمرارية، ومقارنة بالمجموعات المعدودة ، فهذه مجموعة "أكثر لانهائية".

نظرًا لوجود تطابق واحد لواحد بين المجموعة وخط الأعداد (أنظر فوق)، فإن مجموعة نقاط الخط الحقيقي هي أيضًا لا يحصى. وما هو أكثر من ذلك ، هناك نفس عدد النقاط في الكيلومتر والجزء المليمتر! مثال كلاسيكي:


من خلال تدوير الحزمة عكس اتجاه عقارب الساعة حتى تتزامن مع الحزمة ، سنقوم بإنشاء تطابق واحد لواحد بين نقاط المقاطع الزرقاء. وبالتالي ، هناك العديد من النقاط على المقطع كما هو الحال في الجزء و!

هذه المفارقة ، على ما يبدو ، مرتبطة بسر اللانهاية ... لكننا الآن لن نهتم بمشاكل الكون ، لأن الخطوة التالية هي

المهمة 2 وظائف واحد لواحد في الرسوم التوضيحية للدرس

يجبرنا حل بعض المسائل الرياضية على إيجادها تقاطع واتحاد مجموعات الأرقام. لقد تعرفنا بالفعل على التدوين المقبول للمجموعات العددية ، وفي هذه المقالة سوف نتعامل بعناية مع الأمثلة مع إيجاد تقاطع واتحاد المجموعات العددية. ستكون هذه المهارات مفيدة ، على وجه الخصوص ، في هذه العملية حل عدم المساواةمع متغير واحد وأنظمتها.

التنقل في الصفحة.

أبسط الحالات

في أبسط الحالات ، نعني إيجاد تقاطع واتحاد المجموعات العددية التي هي مجموعة من الأرقام الفردية. في هذه الحالات ، يكفي استخدامه تعريفات التقاطع واتحاد المجموعات.

أذكر ذلك

تعريف.

جمعيةمجموعتان عبارة عن مجموعة ، كل عنصر منها هو عنصر من إحدى المجموعات الأصلية ، و تداخلالمجموعات هي المجموعة التي تتكون من جميع العناصر المشتركة للمجموعات الأصلية.

من هذه التعريفات ، من السهل الحصول على القواعد التالية لإيجاد التقاطع واتحاد المجموعات:

• من أجل إنشاء اتحاد مجموعتين عدديتين تحتويان على عدد محدود من العناصر ، تحتاج إلى كتابة جميع عناصر مجموعة واحدة وإضافة العناصر المفقودة من المجموعة الثانية إليها.
• من أجل تكوين تقاطع بين مجموعتين عدديتين ، من الضروري أخذ عناصر المجموعة الأولى بالتسلسل والتحقق مما إذا كانت تنتمي إلى المجموعة الثانية ، أم لا ، فإن تلك العناصر التي ستشكل التقاطع.

في الواقع ، ستتألف المجموعة التي تم الحصول عليها وفقًا للقاعدة الأولى من جميع العناصر التي تنتمي إلى مجموعة واحدة على الأقل من المجموعات الأصلية ، وبالتالي سيكون اتحاد هذه المجموعات بحكم التعريف. وستحتوي المجموعة المكونة وفقًا للقاعدة الثانية على جميع العناصر المشتركة للمجموعات الأصلية ، أي أنها ستكون تقاطع المجموعات الأصلية.

دعنا نفكر في أمثلة محددة في تطبيق القواعد الصوتية لإيجاد تقاطع واتحاد المجموعات.

على سبيل المثال ، لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد اتحاد مجموعات الأعداد A = (3 ، 5 ، 7 ، 12) و B = (2 ، 5 ، 8 ، 11 ، 12 ، 13). نكتب جميع العناصر ، على سبيل المثال ، المجموعات A ، لدينا 3 ، 5 ، 7 ، 12 ، ونضيف إليها العناصر المفقودة من المجموعة B ، أي 2 ، 8 ، 11 و 13 ، نتيجة لذلك لدينا مجموعة عددية (3 ، 5 ، 7 ، 12 ، 2 ، 8 ، 11 ، 13). لا يضر طلب عناصر المجموعة الناتجة ، ونتيجة لذلك نحصل على الاتحاد المطلوب: A∪B = (2، 3، 5، 7، 8، 11، 12، 13).

لنجد الآن تقاطع المجموعتين العدديتين من المثال السابق A = (3 ، 5 ، 7 ، 12) و B = (2 ، 5 ، 8 ، 11 ، 12 ، 13). وفقًا للقاعدة ، سوف نكرر بالتسلسل عناصر المجموعة الأولى A ونتحقق مما إذا كانت متضمنة في المجموعة B. نأخذ العنصر الأول 3 ، فهو لا ينتمي إلى المجموعة B ، وبالتالي ، لن يكون عنصرًا في التقاطع المرغوب أيضًا. نأخذ العنصر الثاني من المجموعة A ، هذا هو الرقم 5. إنه ينتمي إلى المجموعة B ، لذلك فهو ينتمي أيضًا إلى تقاطع المجموعتين A و B. لذلك تم العثور على العنصر الأول من التقاطع المطلوب - الرقم 5. ننتقل إلى العنصر الثالث من المجموعة A ، هذا هو الرقم 7. إنه لا ينتمي إلى B ، لذا فهو لا ينتمي إلى التقاطع أيضًا. أخيرًا ، يبقى العنصر الأخير من المجموعة A - الرقم 12. إنه ينتمي إلى المجموعة B ، لذلك فهو أيضًا عنصر من عناصر التقاطع. إذن ، تقاطع المجموعات A = (3 ، 5 ، 7 ، 12) و B = (2 ، 5 ، 8 ، 11 ، 12 ، 13) عبارة عن مجموعة تتكون من عنصرين 5 و 12 ، أي A∩B = (5 ، 12).

كما لاحظت ، تحدثنا أعلاه عن إيجاد تقاطع واتحاد مجموعتين عدديتين. بالنسبة لتقاطع واتحاد ثلاث مجموعات أو أكثر ، يمكن اختزال العثور عليها لإيجاد تقاطع واتحاد مجموعتين على التوالي. على سبيل المثال ، للعثور على تقاطع ثلاث مجموعات A و B و D ، يمكنك أولاً العثور على تقاطع A و B ، ثم العثور على تقاطع النتيجة مع المجموعة D. والآن على وجه التحديد: خذ المجموعات العددية A = (3 ، 9 ، 4 ، 3 ، 5 ، 21) ، B = (2 ، 7 ، 9 ، 21) و D = (7 ، 9 ، 1 ، 3) وابحث عنهم تقاطع. لدينا A∩B = (9 ، 21) ، وتقاطع المجموعة الناتجة مع المجموعة D هو (9). وهكذا ، A∩B∩D = (9).

ومع ذلك ، من الناحية العملية ، لإيجاد تقاطع ثلاثة ، أربعة ، إلخ. أبسط المجموعات العددية ، التي تتكون من عدد محدود من الأرقام الفردية ، من الملائم استخدام قواعد مشابهة للقواعد المذكورة أعلاه.

لذلك ، من أجل الحصول على اتحاد ثلاث مجموعات أو أكثر من النوع المحدد ، من الضروري إضافة الأرقام المفقودة من الثانية إلى أرقام المجموعة العددية الأولى ، وإضافة الأرقام المفقودة من المجموعة الثالثة إلى الأرقام المسجلة ، وهلم جرا. لتوضيح هذه النقطة ، لنأخذ المجموعات العددية أ = (1 ، 2) ، ب = (2 ، 3) ود = (1 ، 3 ، 4 ، 5). إلى العنصرين 1 و 2 من المجموعة العددية A نضيف العدد المفقود 3 من المجموعة B ، ونحصل على 1 ، 2 ، 3 ، وإلى هذه الأرقام نضيف الأعداد المفقودة 4 و 5 من المجموعة D ، ونتيجة لذلك فإننا احصل على اتحاد ثلاث مجموعات نحتاجها: A∪B∪C = (1، 2، 3، 4، 5).

أما عن إيجاد تقاطع ثلاثة ، أربعة ، إلخ. المجموعات العددية التي تتكون من عدد محدود من الأرقام الفردية ، تحتاج إلى الانتقال بالتسلسل من خلال أرقام المجموعة الأولى والتحقق مما إذا كان الرقم الذي يتم التحقق منه ينتمي إلى كل مجموعة من المجموعات الأخرى. إذا كانت الإجابة بنعم ، فهذا الرقم هو عنصر تقاطع ، وإذا لم يكن كذلك ، فهو ليس كذلك. هنا نلاحظ فقط أنه من المناسب أن تأخذ المجموعة التي تحتوي على أقل عدد من العناصر كأول مجموعة. كمثال ، خذ أربع مجموعات عددية أ = (3 ، 1 ، 7 ، 12 ، 5 ، 2) ، ب = (1 ، 0 ، 2 ، 12) ، د = (7 ، 11 ، 2 ، 1 ، 6) ، E = (1، 7، 15، 8، 2، 6) وابحث عن تقاطعهم. من الواضح أن المجموعة B تحتوي على أقل عدد من العناصر ، لذلك للعثور على تقاطع المجموعات الأربع الأصلية ، سنأخذ عناصر المجموعة B ونتحقق مما إذا كانت متضمنة في المجموعات المتبقية. لذلك ، نأخذ 1 ، هذا الرقم هو عناصر كلتا المجموعتين A و D و E ، لذلك هذا هو العنصر الأول من التقاطع المطلوب. نأخذ العنصر الثاني من المجموعة B ، وهو صفر. هذا الرقم ليس عنصرًا في المجموعة A ، لذلك لن يكون عنصرًا من عناصر التقاطع أيضًا. نتحقق من العنصر الثالث للمجموعة B - الرقم 2. هذا الرقم هو عنصر من جميع المجموعات الأخرى ، وبالتالي ، هو العنصر الثاني من التقاطع الموجود. أخيرًا ، يبقى العنصر الرابع من المجموعة ب. هذا الرقم هو 12 ، وهو ليس عنصرًا في المجموعة D ، وبالتالي فهو ليس عنصرًا من التقاطع المرغوب أيضًا. نتيجة لذلك ، لدينا A∩B∩D∩E = (1، 2).

تنسيق فواصل الخط وعددها كوحدة لأجزائها

في مثالنا ، لدينا مداخل

و

لتقاطع واتحاد المجموعات العددية ، على التوالي.

بعد ذلك ، يتم تصوير خط إحداثيات آخر ، ومن الملائم وضعه تحت الخط الموجود. سيعرض التقاطع أو الاتحاد المطلوب. على خط الإحداثيات هذا ، يتم تمييز جميع النقاط الحدودية للمجموعات العددية الأصلية. في هذه الحالة ، يتم تمييز هذه النقاط أولاً بشرطة ، لاحقًا ، عندما يتم توضيح طبيعة النقاط بهذه الإحداثيات ، سيتم استبدال الشرطات بنقاط مثقوبة أو غير مثقوبة. في حالتنا ، هذه نقاط بإحداثياتها -3 و 7.
نملك

و

تسمح لنا النقاط الموضحة على خط الإحداثيات السفلي في الخطوة السابقة من الخوارزمية بالنظر في خط الإحداثيات كمجموعة من الفواصل والنقاط الرقمية ، والتي ناقشناها في. في حالتنا هذه ، نعتبر خط الإحداثيات مجموعة من المجموعات العددية الخمس التالية: (−∞، −3)، (−3)، (−3، 7)، (7)، (7، +).

ويبقى فقط للتحقق بدوره من حدوث كل مجموعة من المجموعات المسجلة في التقاطع أو الاتحاد المطلوب. يتم تمييز جميع الاستنتاجات المستخلصة خطوة بخطوة على خط الإحداثيات السفلي: إذا تم تضمين الفجوة في التقاطع أو الاتحاد ، فسيتم عرض التظليل أعلاه ، وإذا تم تضمين النقطة في التقاطع أو الاتحاد ، فإن السكتة الدماغية تشير إلى ذلك استبدالها بنقطة صلبة ، إذا لم يتم تضمينها ، فإننا نجعلها مثقوبة. في هذه الحالة ، يجب اتباع القواعد التالية:

• يتم تضمين فجوة في التقاطع إذا تم تضمينها في نفس الوقت في كل من المجموعة A والمجموعة B (بعبارة أخرى ، إذا كان هناك فتحة فوق هذه الفجوة على كلا خطي الإحداثيات العلويين المتوافقين مع المجموعتين A و B) ؛
• يتم تضمين نقطة في التقاطع إذا كانت تدخل في نفس الوقت كل من المجموعة A والمجموعة B (بمعنى آخر ، إذا لم يتم ثقب هذه النقطة أو كانت نقطة داخلية لأي فاصل زمني لكلتا المجموعتين العدديتين A و B) ؛
• يتم تضمين فجوة في الاتحاد إذا تم تضمينها في واحدة على الأقل من المجموعات A أو B (بمعنى آخر ، إذا كان هناك فتحة فوق هذه الفجوة على الأقل فوق أحد خطوط الإحداثيات المقابلة للمجموعتين A و B) ؛
• يتم تضمين نقطة في الاتحاد إذا تم تضمينها في واحدة على الأقل من المجموعتين A أو B (بمعنى آخر ، إذا لم يتم ثقب هذه النقطة أو نقطة داخلية لأي فاصل زمني واحد على الأقل من المجموعتين A و B) .

ببساطة ، تقاطع المجموعتين العدديتين A و B هو اتحاد كل الفترات العددية للمجموعتين A و B اللتين لهما تفقيس في نفس الوقت ، وجميع النقاط الفردية التي تنتمي إلى كل من A و B في نفس الوقت. واتحاد مجموعتين عدديتين هو اتحاد جميع الفجوات العددية التي يوجد بها فتحة واحدة على الأقل من المجموعتين A أو B ، بالإضافة إلى جميع النقاط الفردية التي لم يتم ثقبها.

لنعد إلى مثالنا. لننتهي من إيجاد تقاطع المجموعات. للقيام بذلك ، سوف نتحقق بالتسلسل من المجموعات (−∞ ، −3) ، (−3) ، (−3 ، 7) ، (7) ، (7 ، +). نبدأ بـ (−∞ ، −3) ، للتوضيح ، حددها في الرسم:

لا نقوم بتضمين هذه الفجوة في التقاطع المطلوب ، حيث إنها غير مدرجة في أي من A أو B (لا يوجد تظليل فوق هذه الفجوة). لذلك في هذه الخطوة ، لا نضع علامة على أي شيء في الرسم ويحتفظ بمظهره الأصلي:

دعنا ننتقل إلى المجموعة التالية (−3). ينتمي الرقم −3 إلى المجموعة B (وهي نقطة غير مثقوبة) ، ولكن من الواضح أنه لا ينتمي إلى المجموعة A ، وبالتالي لا ينتمي إلى التقاطع المرغوب أيضًا. لذلك ، في خط الإحداثيات السفلي ، نشير إلى نقطة مع الإحداثيات −3 مثقوبة:

نتحقق من المجموعة التالية (−3 ، 7).

يتم تضمينها في المجموعة B (يوجد فقس خلال هذه الفترة) ، ولكنها غير مدرجة في المجموعة A (لا يوجد تفقيس خلال هذه الفترة) ، وبالتالي ، لن يتم تضمينها في التقاطع أيضًا. لذلك ، لا نحدد أي شيء في خط الإحداثيات السفلي:

دعنا ننتقل إلى المجموعة (7). يتم تضمينها في المجموعة B (النقطة ذات الإحداثيات 7 هي نقطة داخلية للفاصل الزمني [3 ، + ∞)) ، ولكنها غير مدرجة في المجموعة أ (هذه النقطة مثقوبة) ، لذلك لن يتم تضمينها في إما التقاطع المطلوب. ضع علامة على النقطة ذات التنسيق 7 على أنها مثقوبة:

يبقى التحقق من الفاصل الزمني (7 ، + ∞).

يدخل كل من المجموعة A والمجموعة B (يوجد فتحة فوق هذه الفجوة) ، وبالتالي فهو يدخل أيضًا في التقاطع. نضع الفقس على هذه الفجوة:

نتيجة لذلك ، على خط الإحداثيات السفلي ، حصلنا على صورة التقاطع المطلوب للمجموعتين A = (7 ، + ∞) و B = [- 3 ، + ∞). من الواضح أنها مجموعة جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من سبعة ، أي A∩B = (7 ، + ∞).

لنجد الآن اتحاد المجموعتين A و B. نبدأ على التوالي في التحقق من المجموعات (−∞ ، −3) ، (−3) ، (−3 ، 7) ، (7) ، (7 ، + ∞) لإدراجها في الاتحاد المطلوب لمجموعتين عدديتين A و B .

لم يتم تضمين المجموعة الأولى (−∞ ، −3) في أي من A أو B (لا يوجد تظليل فوق هذه الفجوة) ، لذلك لن يتم تضمين هذه المجموعة في الاتحاد المطلوب أيضًا:

يتم تضمين المجموعة (−3) في المجموعة B ، لذلك سيتم تضمينها أيضًا في اتحاد المجموعتين A و B:

يتم تضمين الفاصل الزمني (−3 ، 7) أيضًا في B (هناك فتحة فوق هذه الفترة) ، وبالتالي ، ستكون جزءًا لا يتجزأ من الاتحاد المطلوب:

سيتم أيضًا تضمين المجموعة (7) في الاتحاد المطلوب ، حيث يتم تضمينه في المجموعة العددية ب:

أخيرًا ، يتم تضمين (7 ، + ∞) في كل من المجموعة A والمجموعة B ، وبالتالي ، سيتم تضمينها أيضًا في الاتحاد المطلوب:

من الصورة الناتجة لاتحاد المجموعتين A و B ، نستنتج أن A∩B = [- 3 ، + ∞).

بعد اكتساب بعض الخبرة العملية ، سيكون من الممكن التحقق من حدوث الفجوات والأرقام الفردية في تكوين التقاطع أو الاتحاد شفهياً. بفضل هذا ، ستتمكن من تسجيل النتيجة بسرعة كبيرة. سوف نوضح كيف سيبدو حل المثال ، إذا لم يتم تقديم تفسير.

مثال.

أوجد تقاطع واتحاد المجموعات أ = (- ∞ ، −15) ∪ (5) ∪∪ (12)و ب = (- 20 ، −10) ∪ (5) ∪ (2 ، 3) ∪ (17).

المحلول.

دعنا نصور هذه المجموعات العددية على خطوط الإحداثيات ، وهذا سيسمح لنا بالحصول على صور لتقاطعها واتحادها:

إجابه:

A∩B = (- 20، −15) ∪ (5) ∪ (2، 3)و A∪B = (- ∞، −10) ∪ (−5) ∪∪ (12، 17).

من الواضح أنه من خلال الفهم الصحيح ، يمكن تحسين الخوارزمية المذكورة أعلاه. على سبيل المثال ، عند العثور على تقاطع المجموعات ، ليست هناك حاجة للتحقق من جميع الفواصل الزمنية والمجموعات التي تتكون من أرقامها الفردية ، والتي يتم تقسيم نقاط حدود المجموعات الأصلية إليها بواسطة خط الإحداثيات. يمكنك قصر نفسك على التحقق فقط من تلك الفواصل الزمنية والأرقام التي تشكل المجموعة أ أو ب. لن يتم تضمين الفجوات المتبقية في التقاطع ، لأنها لا تنتمي إلى إحدى المجموعات الأصلية. دعونا نوضح ما قيل من خلال تحليل حل المثال.

مثال.

ما تقاطع مجموعة الأعداد أ = (- 2) ∪ (1 ، 5) و ب = [- 4 ، 3]؟

المحلول.

لنقم ببناء صور هندسية للمجموعات العددية A و B:

تقسم النقاط الحدودية للمجموعات المعطاة الخط الحقيقي إلى المجموعات التالية: (−∞، −4)، (−4)، (−4، −2)، (−2)، (2، 1)، ( 1) ، (1 ، 3) ، (3) ، (3 ، 5) ، (5) ، (5 ، +).

من السهل أن نرى أن المجموعة العددية أ يمكن "تجميعها" من المجموعات المكتوبة للتو عن طريق الجمع بين (−2) و (1 ، 3) ، (3) و (3 ، 5). للعثور على تقاطع المجموعتين A و B ، يكفي التحقق مما إذا كانت المجموعات الأخيرة مدرجة في المجموعة B. أولئك الذين تم تضمينهم في B سيشكلون التقاطع المطلوب. دعونا نجري الفحص المناسب.

من الواضح أن (−2) مدرج في المجموعة B (حيث أن النقطة ذات الإحداثيات −2 هي نقطة داخلية من المقطع [4 ، 3]). يتم تضمين الفاصل الزمني (1 ، 3) أيضًا في B (يوجد فتحة فوقه). يتم تضمين المجموعة (3) أيضًا في B (النقطة ذات الإحداثيات 3 هي مجموعة حدية وغير مثقوبة B). والفاصل الزمني (3 ، 5) غير مدرج في المجموعة العددية ب (لا يوجد تظليل فوقه). بعد ملاحظة النتائج المستخلصة من الرسم ، سوف يأخذ الشكل التالي

وبالتالي ، فإن التقاطع المرغوب بين المجموعتين العدديتين الأصليتين A و B هو اتحاد المجموعات التالية (−2) ، (1 ، 3) ، (3) ، والتي يمكن كتابتها كـ (2) ∪ (1 ، 3) ].

إجابه:

{−2}∪(1, 3] .

يبقى فقط لمناقشة كيفية العثور على تقاطع واتحاد ثلاث مجموعات عددية أو أكثر. يمكن اختزال هذه المشكلة لإيجاد تقاطع واتحاد مجموعتين بالتتابع: الأولى مع الثانية ، ثم النتيجة التي تم الحصول عليها مع المجموعة الثالثة ، ثم النتيجة التي تم الحصول عليها مع المجموعة الرابعة ، وهكذا. ويمكنك استخدام خوارزمية مشابهة لتلك التي تم التعبير عنها بالفعل. الفرق الوحيد هو أن التحقق من حدوث الفجوات والمجموعات المكونة من أرقام فردية يجب أن يتم إجراؤها ليس لاثنين ، ولكن لجميع المجموعات الأصلية. ضع في اعتبارك مثالًا لإيجاد تقاطع واتحاد ثلاث مجموعات.

مثال.

أوجد تقاطع واتحاد ثلاث مجموعات عددية أ = (- ∞ ، 12] ، ب = (- 3 ، 25] ، د = (- ∞ ، 25) ∪ (40).

المحلول.

أولاً ، كالعادة ، نصور مجموعات الأرقام على خطوط الإحداثيات ، ونضع قوسًا مجعدًا على يسارها ، للإشارة إلى التقاطع ، وقوسًا مربعًا من أجل الاتحاد ، وأسفلنا نرسم خطوط الإحداثيات بنقاط حد مجموعات الأرقام المميزة بضربات:

لذلك يتم تمثيل خط الإحداثيات بالمجموعات العددية (−∞ ، −3) ، (−3) ، (−3 ، 12) ، (12) ، (12 ، 25) ، (25) ، (25 ، 40) ، ( 40) ، (40 ، ∞).

نبدأ البحث عن التقاطع ، ولهذا فإننا نبحث بدورنا عما إذا كانت المجموعات المسجلة مضمنة في كل مجموعة من المجموعات A و B و D. تتضمن جميع المجموعات العددية الأولية الثلاثة الفاصل الزمني (−3 ، 12) والمجموعة (12). أنها تشكل التقاطع المطلوب للمجموعات A و B و D. لدينا A∩B∩D = (- 3 ، 12].

في المقابل ، سيتألف الاتحاد المطلوب من المجموعات (−∞ ، −3) (مضمنة في A) ، (−3) (مضمنة في A) ، (−3 ، 12) (مضمنة في A) ، (12) (مضمنة في أ) ، (12 ، 25) (مضمنة في ب) ، (25) (مدرجة في ب) ، و (40) (مدرجة في د). وهكذا ، A∪B∪D = (- ∞ ، 25] ∪ (40).

إجابه:

A∩B∩D = (- 3، 12]، A∪B∪D = (- ∞، 25] ∪ (40).

في الختام ، نلاحظ أن تقاطع المجموعات العددية غالبًا ما يكون المجموعة الفارغة. يتوافق هذا مع الحالات التي لا تحتوي فيها المجموعات الأصلية على عناصر تنتمي إليها جميعًا في نفس الوقت.

(10 ، 27) ، (27) ، (27 ، +). لا يتم تضمين أي من المجموعات المسجلة في نفس الوقت في المجموعات الأصلية الأربع ، مما يعني أن تقاطع المجموعات A و B و D و E عبارة عن مجموعة فارغة.

إجابه:

A∩B∩D∩E = ∅.

فهرس.

• الجبر:كتاب مدرسي لمدة 8 خلايا. تعليم عام المؤسسات / [Yu. ن. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، ك. آي. نيشكوف ، إس ب. سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة ال 16. - م: التربية والتعليم 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• مردكوفيتش أ.الجبر. الصف 9 الساعة 2 بعد الظهر الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية / A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - الطبعة 13 ، الأب. - م: Mnemosyne، 2011. - 222 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01752-3.