Определение.Точка в безкрайност в комплексната равнина се нарича изолирана сингулярна точканедвусмислен аналитична функцияf(z), ако навънкръг с някакъв радиус Р,

тези. за , няма крайна особена точка на функцията f(z).

За да изследваме функцията в безкрайно отдалечена точка, правим промяната
функция

ще има сингулярност в точката ζ = 0 и тази точка ще бъде изолирана, тъй като

вътре в кръга
няма други особени точки по предположение. Да бъдеш аналитичен в това

кръг (с изключение на ζ = 0), функция
може да се разшири в серия на Лоран по мощности ζ . Класификацията, описана в предходния параграф, е напълно запазена.

Въпреки това, ако се върнем към първоначалната променлива z, след това серии в положителни и отрицателни степени z"разменете" местата. Тези. класификацията на точките в безкрайността ще изглежда така:

Примери. 1.
. Точка z = аз − полюс от 3-ти ред.

2.
. Точка z = ∞ е съществена сингулярна точка.

§осемнадесет. Остатък на аналитична функция в изолирана особена точка.

Нека точката z 0 е изолирана особена точка на еднозначна аналитична функция

f(z) . Според предходната, в съседство с тази точка f(z) може да бъде уникално представен от серия на Лоран:
където

Определение.приспаданеаналитична функция f(z) в изолирана особена точка z 0

Наречен комплексно число, равна на стойността на интеграла
взети в положителна посока за всяко затворена верига, който лежи в областта на аналитичност на функцията и съдържа вътре в себе си единствената сингулярна точка z 0 .

Остатъкът се обозначава със символа Res [f(z),z 0 ].

Лесно се вижда, че остатъкът в правилна или отстранима особена точка е равен на нула.

В полюс или съществена сингулярна точка, остатъкът равен на коеф с-1 Лорен ред:

.

Пример.Намерете остатъка на функция
.

(Нека е лесно да се види това

коефициент с-1 ще се получи чрез умножаване на членовете с н= 0:res[ f(z),аз ] =
}

Често е възможно да се изчислят остатъците на функции върху по прост начин. Нека функцията f(z) има вкл. z 0 е полюс от първи ред. В този случай разширението на функцията в редица на Лоран има формата (§16):. Умножаваме това равенство по (z − z 0) и преминаваме към границата при
. В резултат на това получаваме: Res[ f(z),z 0 ] =
Да, в

в последния пример имаме Res[ f(z),аз ] =
.

За да изчислите остатъците при полюсите от по-висок порядък, умножете функцията

на
(м− ред на полюса) и диференцирайте получената серия ( м − 1 път.

В този случай имаме: Res[ f(z),z 0 ]

Пример.Намерете остатъка на функция
в точка z= −1.

{Res[ f(z), −1] }

Ако някаква последователност се свежда до крайно число a , тогава пишем
.
По-рано въведохме безкрайно големи последователности под внимание. Приехме, че те са сходни и означихме границите им със символи и . Тези символи представляват безкрайно отдалечени точки . Те не принадлежат към множеството от реални числа. Но концепцията за граница позволява да се въведат такива точки и предоставя инструмент за изучаване на техните свойства с помощта на реални числа.

Определение
точка на безкрайността, или беззнакова безкрайност, е границата, към която клони една безкрайно голяма последователност.
точка в безкрайност плюс безкрайност, е границата, към която се стреми една безкрайно голяма редица с положителни членове.
точка в безкрайност минус безкрайност, е границата, към която се стреми една безкрайно голяма редица с отрицателни членове.

За всеки реално число a важат следните неравенства:
;
.

Използвайки реални числа, въведохме концепцията околност на безкрайна точка.
Околността на точка е множеството.
И накрая, околността на точката е множеството .
Тук M е произволно, произволно голямо реално число.

По този начин ние разширихме набора от реални числа, като въведохме нови елементи в него. В тази връзка има следното определение:

Разширена числова линияили разширен набор от реални числасе нарича набор от реални числа, допълнени от елементи и :
.

Първо, записваме свойствата, които имат точките и . След това разгледайте въпроса за строгия математическа дефиницияоперации за тези точки и доказателства за тези свойства.

Свойства на точки в безкрайност

Сбор и разлика.
; ;
; ;

Работно и лично.
; ; ;
;
;
; ; .

Връзка с реални числа.
Нека a е произволно реално число. Тогава
; ;
; ; ; .
Нека a > 0 . Тогава
; ; .
Нека a < 0 . Тогава
; .

Недефинирани операции.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Доказателства за свойства на безкрайни точки

Дефиниция на математическите операции

Вече сме дали дефиниции за точки в безкрайност. Сега трябва да дефинираме математически операции за тях. Тъй като сме дефинирали тези точки по отношение на последователности, операциите върху тези точки също трябва да бъдат дефинирани по отношение на последователности.

Така, сбор от две точки
c = a + b
принадлежащи към разширения набор от реални числа,
,
ще наречем границата
,
където и са произволни последователности с граници
и .

Операциите изваждане, умножение и деление са дефинирани по подобен начин. Само при деление елементите в знаменателя на дробта не трябва да са равни на нула.
Тогава разликата от две точки:
е границата: .
Точков продукт:
е границата: .
Частно:
е границата: .
Тук и са произволни последователности, чиито граници са съответно a и b . AT последен случай, .

Доказателства за собственост

За да докажем свойствата на точките в безкрайност, трябва да използваме свойствата на безкрайно големи последователности.

Помислете за имот:
.
За да го докажем, трябва да го покажем
,

С други думи, трябва да докажем, че сумата от две последователности, които се събират до плюс безкрайност, се събира до плюс безкрайност.

1 важат следните неравенства:
;
.
Тогава за и имаме:
.
Позволявам . Тогава
в ,
където .
Това означава, че .

Други свойства се доказват по подобен начин. Като пример представяме още едно доказателство.

Нека докажем, че:
.
За да направим това, трябва да го покажем
,
където и са произволни последователности с ограничения и .

Тоест трябва да докажем, че произведението на две безкрайно големи поредици е безкрайно голяма поредица.

Нека го докажем. Тъй като и , тогава има някои функции и , така че за всяко положително число M 1 важат следните неравенства:
;
.
Тогава за и имаме:
.
Позволявам . Тогава
в ,
където .
Това означава, че .

Недефинирани операции

Част математически операциис точки в безкрайност не са определени. За да покажем тяхната неопределеност, трябва да дадем няколко специални случая, когато резултатът от операцията зависи от избора на последователностите, включени в тях.

Помислете за тази операция:
.
Лесно е да се покаже, че ако и , тогава границата на сумата от последователности зависи от избора на последователности и .

Наистина, нека вземем. Границите на тези последователности са равни. Лимит на сумата

е равно на безкрайност.

Сега да вземем. Границите на тези последователности също са равни. Но границата на тяхната сума

е равно на нула.

Тоест, при условие че и , стойността на лимита на сумата може да приеме различни значения. Следователно операцията не е дефинирана.

По подобен начин може да се покаже несигурността на останалите операции, представени по-горе.

точка на безкрайността.

Нека функцията е аналитична в някаква околност на безкрайно отдалечена точка (с изключение на самата точка). Казват, че е такаподвижна особена точка, полюс или съществена особена точкафункции в зависимост откраен, безкраен или несъществуващ .

Нека и тогава са аналитични в някаква околност на точката.Последната ще бъде особена точка от същия тип като за for. Разширението на Лоран в съседство може да се получи чрез проста промяна в разширението на Лоран в съседство. Но при такава подмяна правилната част се заменя с основната и обратно. Така, справедливо

Теорема 1. В случай на отстранима сингулярност в безкрайна точка, разширението на Лоран на функция в околност на тази точка изобщо не съдържа положителни градуси, в случай на стълбсъдържа краен брой от тях, а в случаясъществена характеристика – безкраен.

Ако има в точкасменяем характеристика, обикновено се казва, че тяаналитично до безкрайности приемете. В този случай функцията очевидно е ограничена и в някаква околност на точката.

Нека функцията е аналитична в пълно пространство. От аналитичността на функция в безкрайна точка следва, че тя е ограничена в околност на тази точка; нека при. От друга страна, от аналитичността към порочен кръгследва своето ограничение в този кръг; пусни го вътре. Но тогава функцията е ограничена в цялата равнина: за всичко, което имаме. И така, теоремата на Лиувилможе да се даде следната форма.

Теорема 2. Ако една функция е аналитична в пълна равнина, тогава тя е постоянна.

Нека сега представим концепциятаостатък в безкрайност. Нека функцията е аналитична в някаква околност на точка (освен може би самата тази точка); подфункция приспадане в безкрайностразбирам

където е достатъчно голяма окръжност, пресечена по часовниковата стрелка (така че окръжността на точката да остане отляво).

Пряко от това определение следва, че остатъкът на функция в безкрайност е равен на коефициента на at в нейното разширение на Лоран в околността на точка, взета с обратен знак:

Теорема 3. Ако една функция има краен брой особени точки в пълната равнина, тогава сумата от всички нейни остатъци, включително остатъка в безкрайност, е равна на нула.

Доказателство. Наистина, нека a 1 ,...a n крайни особени точки на функцията и - окръжност, съдържаща всички тях вътре. Чрез свойството на интегралите, теоремата за остатъка и определението за остатък в безкрайно отдалечена точка имаме:

ч.т.д.

Приложения на теорията на остатъците за изчисляване на интеграли.

Нека се изисква да се изчисли интегралът на реална функцияпо някакъв (краен или безкраен) сегмент ( a, b) ос x. Допълнение (a, b ) някаква крива, ограничаваща заедно с ( a , b ) домейн и аналитично продължете към.

Прилагаме теоремата за остатъка към конструираното аналитично продължение:

(1)

Ако интегралът върху може да бъде изчислен или изразен чрез желания интеграл, тогава проблемът с изчислението е решен.

В случай на безкрайни сегменти ( a , b ) обикновено разглеждат семейства от безкрайно разширяващи се интеграционни контури, които са конструирани по такъв начин, че в резултат на преминаване към границата получаваме интеграл върху ( a , b ). В този случай интегралът по отношение (1) не може да бъде изчислен, а само неговата граница, която често се оказва равна на нула.

Следното е много полезно.

Лема (Йордания). Ако върху някаква последователност от дъги от окръжности, (,а фиксирана) функцията клони към нула равномерно по отношение на

. (2)

Доказателство. Обозначете

По условията на лемата as също клони към нула и Letа>0; върху дъгите AB и CD, които имаме.

Следователно интегралът по дъги AB, CD клони към нула при.

Тъй като неравенството е валидно за , то на дъгатаБЪДА

Следователно и по този начин също клони към нула при. Ако на дъгата CE Ако полярният ъгъл се брои по посока на часовниковата стрелка, тогава ще се получи същата оценка за. В случая, когато доказателството е опростено, тъй като ще бъде излишно да се оценява интегралът по дъги AB и CD. Лемата е доказана.

Забележка 1. Последователността от дъги от окръжности в лемата може да бъде замененадъгово семейство

тогава, ако функцията при клони към нула равномерно по отношение на тогава за

. (3)

Доказателството остава в сила.

Забележка 2. Нека променим променливата: iz=p , тогава дъгите на окръжностите на лемата се заменят с дъги и получаваме това за всяка функция F(стр ), клонящи към нула равномерно по отношение на и за всяко положително T

. (4)

Замяна на p в (4) с (-p ) получаваме това при същите условия за

, (5)

където е дъгата на окръжност (виж фиг.).

Разгледайте примери за изчисляване на интеграли.

Пример 1. .

Нека изберем спомагателна функция. защото функция на удовлетворява неравенството, тогава тя равномерно клони към нула като, и по лемата на Йордан, като

Защото имаме по теоремата за остатъка

В границата при получаваме:

Разделяйки реалните части и използвайки паритета на функцията, намираме

Пример 2. Да се ​​изчисли интеграл

Нека вземем помощна функция. Интеграционният контур заобикаля сингулярната точка z =0. По теоремата на Коши

Може да се види от лемата на Йордан, че За да оцените, помислете за разширението на Лоран в съседство на точката z=0

където е правилен в точката z =0 функция. От тук става ясно, че

По този начин теоремата на Коши може да бъде пренаписана като

Заместване в първия интегралх на х , получаваме, че е равно, така че имаме

В границата на и накрая:

. (7)

Пример 3. Изчислете интеграла

Въвеждаме спомагателна функция и избираме интеграционния контур по същия начин, както в предишния пример. Вътре в този контур логаритъмът допуска избор на клон с една стойност. Нека обозначим клона, който се определя от неравенството. Функцията има в точката z=i полюс от втори ред с остатък

Според теоремата за редукция.

При, започвайки от някои достатъчно големиР , Следователно, .

По същия начин, за започване от някои достатъчно малки r , следователно

В първия интеграл след замяната z=-x получаваме:

и по този начин в границата при имаме:

Сравняването на реалните и въображаемите части дава:

, .

Пример 4. За интеграла

изберете спомагателна функция и контура, показан на фигурата. Вътре контурът е недвусмислен, ако приемем, че.

На горния и долния бряг на разреза, включен в този контур, приема стойностите и съответно интегралите на взаимното отмяна, което прави възможно изчисляването на необходимия интеграл. Вътре в контура има два полюса от първи ред на функцията с остатъци, съответно равни на:

където. Прилагайки теоремата за остатъка, получаваме:

Според горното имаме:

Точно както в предишния пример, ще докажем това и след това в границата ще имаме:

От тук, сравнявайки въображаемите части, получаваме:

Пример 5. Изчислете главната стойност на специален интеграл

Нека изберем спомагателна функция и схемата, показана на фигурата. Вътре в контура функцията е правилна. На долния бряг на участъка по положителната полуос. Така според теоремата на Коши:

(8).

Очевидно е, че с и със. Заедно имаме съответно и, където варира съответно от 0 до и от до. Следователно,

Преминавайки в (8) до границата при , получаваме по този начин

откъдето желаният интеграл е равен на

Пример 6. Изчислете интеграла

Нека разгледаме функция. Да направим разрез*) .

Позволявам. Когато обикаляте затворена пътека обратно на часовниковата стрелка (вижте фигурата, пунктирана линия) и получавате увеличение,

следователно arg f (z )=( 1 +2  2 )/3 също се увеличава. Така във външната част на разреза функцията се разделя на 3 правилни клона, които се различават един от друг по избора на началния елемент на функцията, т.е. стойност в даден момент.

Ще разгледаме този клон на функцията, който се намира на горния бряг на разреза (-1,1). положителни стойностии вземете контура,

___________________

*) Всъщност бяха направени два разреза: и, обаче, по оста x вдясно от точка x =1 функцията е непрекъсната: над среза, под среза.

изобразен на снимката. На банка I имаме, т.е. , на бряг II (след обход на пункта z =1 по часовниковата стрелка) (т.е.), т.е. , докато интегралите върху окръжностите и очевидно клонят към нула**) при. Следователно, по теоремата на Коши за многосвързани области

За изчислението използваме разширението на клона 1/ в близост до точката в безкрайност. Изваждаме корена от под знака, след което получаваме къде и са клоновете на тези функции, положителни на сегмента (1,) на реалната ос.

върху сегмент от реалната ос. Разширяване на последното според биномната формула:

намираме остатъка на избрания клон 1/ в безкрайно отдалечена точка: (коефициентът при 1/ z с противоположен знак). Но интегралът е равен на този остатък, умножен по, т.е. имаме къде най-накрая

Пример 7. Разгледайте интеграла.

__________________

**) Да разгледаме например интеграла върху. Имаме, т.е.

Да предположим тогава, че

Вътре в окръжността интегрантът има един полюс II поръчка минус

По теоремата за остатъка имаме

Пример 8. По същия начин изчисляваме интеграла

След заместване имаме:

Един от полюсите на интегранта лежи вътре единична окръжност, а другият е извън него, защото по свойството на корените квадратно уравнение, докато по силата на условието тези корени са реални и различни. Така, по теоремата за остатъка

(9)

къде е полюсът вътре в кръга. защото дясна част(9) е реално, то дава търсения интеграл

Определение
Околност на реална точка x 0 Всеки отворен интервал, съдържащ тази точка, се нарича:
.
Тук ε 1 и ε 2 са произволни положителни числа.

Епсилон - околност на точка х 0 се нарича множеството от точки, разстоянието от които до точката х 0 по-малко от ε:
.

Пунктираната околност на точката x 0 се нарича околността на тази точка, от която е изключена самата точка x 0 :
.

Крайни точки на съседство

В самото начало беше дадено определение за околност на точка. Означава се като. Но можете изрично да посочите, че кварталът зависи от две числа, като използвате подходящите аргументи:
(1) .
Тоест околността е набор от точки, принадлежащи на отворен интервал.

Приравняване на ε 1 към ε 2 , получаваме епсилон - съседство:
(2) .
Епсилон - съседство - е набор от точки, принадлежащи на отворен интервал с равноотдалечени краища.
Разбира се, буквата епсилон може да бъде заменена с всяка друга и можем да разглеждаме δ - квартал, σ - квартал и т.н.

В теорията на границите може да се използва дефиницията на съседство, базирана както на множество (1), така и на множество (2). Използването на който и да е от тези квартали дава еквивалентни резултати (вижте ). Но определението (2) е по-просто, следователно често се използва епсилон - околността на точка, определена от (2).

Концепциите за лява, дясна и пунктирана околност на крайните точки също се използват широко. Представяме техните определения.

Лява околност на реална точка x 0 е полуотвореният интервал, разположен на реалната ос вляво от x 0 , включително самата точка:
;
.

Дясна околност на реална точка x 0 е полуотвореният интервал, разположен вдясно от x 0 , включително самата точка:
;
.

Пробити квартали на крайни точки

Пунктираните околности на точката x 0 са същите квартали, от които е изключена самата точка. Те се идентифицират с кръг над буквата. Представяме техните определения.

Пунктираната околност на точка x 0 :
.

Пробит епсилон - околност на точка x 0 :
;
.

Пробита лява махала:
;
.

Пробит десен квартал:
;
.

Окръжности на точки в безкрайност

Заедно с крайните точки се въвеждат и съседства на точки в безкрайност. Всички те са пробити, защото няма реално число в безкрайността (точката в безкрайността се определя като границата на безкрайността голяма последователност).

.
;
;
.

Възможно е да се определят околностите на безкрайно отдалечени точки и така:
.
Но вместо M, ние използваме, така че квартал с по-малко ε е подмножество на квартал с по-голямо ε, точно както за квартали на крайни точки.

квартален имот

След това използваме очевидното свойство на околността на точка (крайна или безкрайна). Той се крие във факта, че кварталите на точки с по-малки стойности на ε са подмножества на квартали с по-големи стойности на ε. Представяме по-строги формулировки.

Нека има крайна или безкрайно отдалечена точка. Остави .
Тогава
;
;
;
;
;
;
;
.

Обратните твърдения също са верни.

Еквивалентност на дефинициите на границата на функция по Коши

Сега ще покажем, че в дефиницията на границата на функция според Коши може да се използва както произволна околност, така и околност с равноотдалечени краища.

Теорема
Дефинициите на Коши за границата на функция, които използват произволни околности и околности с еднакво отдалечени краища, са еквивалентни.

Доказателство

Да формулираме първа дефиниция на границата на функция.
Числото a е границата на функцията в точка (крайна или безкрайна), ако има такава положителни числаима числа, зависещи от и такива, че за всички принадлежи към съответната околност на точка a:
.

Да формулираме второ определение на границата на функция.
Числото a е границата на функцията в точката, ако за всяко положително число съществува число, зависещо от, така че за всички:
.

Доказателство 1 ⇒ 2

Нека докажем, че ако числото a е границата на функцията по 1-ва дефиниция, то е и граница по 2-ра дефиниция.

Нека първото определение е валидно. Това означава, че има такива функции и , така че за всякакви положителни числа е валидно следното:
в , където .

Тъй като числата и са произволни, ние ги приравняваме:
.
След това има функции и , така че за всеки важи следното:
в , където .

Забележи това .
Позволявам е най-малкото положително число и . Тогава, както беше отбелязано по-горе,
.
Ако, тогава.

Тоест, намерихме такава функция, така че за всеки да е вярно следното:
в , където .
Това означава, че числото a е границата на функцията и по второто определение.

Доказателство 2 ⇒ 1

Нека докажем, че ако числото a е граница на функцията по 2-ра дефиниция, то е и граница по 1-ва дефиниция.

Нека второто определение е валидно. Вземете две положителни числа и . И нека бъде най-малкият от тях. Тогава, според второто определение, има такава функция , така че за всяко положително число и за всички , следва, че
.

Но според . Следователно от това, което следва,
.

Тогава за всякакви положителни числа и намерихме две числа, така че за всички:
.

Това означава, че числото a също е границата по първото определение.

Теоремата е доказана.

Препратки:
Л.Д. Кудрявцев. добре математически анализ. Том 1. Москва, 2003 г.

Дефинирахме околността на тази точка като външната страна на окръжности с център в началото: U (∞, ε ) = {z ∈ | |z | > ε). Точка z = ∞ е изолирана особена точка на аналитичната функция w = f (z ), ако няма други особени точки на тази функция в някаква околност на тази точка. За да определим вида на тази особена точка, правим промяна на променлива , докато точката z = ∞ отива към точката z 1 = 0, функция w = f (z ) приема формата . Тип сингулярна точка z = ∞ функции w = f (z ) ще наричаме типа на особената точка z 1 = 0 функции w = φ (z един). Ако разширяването на функцията w = f (z ) по степени z в близост до точката z = ∞, т.е. за достатъчно големи модулни стойности z , има формата , тогава замествайки z на, получаваме. По този начин, при такава промяна на променлива, главните и правилните части на реда на Лоран се разменят и типът на особената точка z = ∞ се определя от броя на членовете в правилната част от разширението на функцията в редица на Лоран по степени z в близост до точката z = 0. Следователно
1. Точка z = ∞ е подвижна особена точка, ако няма правилна част в това разширение (с възможното изключение на термина А 0);
2. Точка z = ∞ - полюс н -ти ред, ако правилната част завършва с член A n · z n ;
3. Точка z = ∞ е съществена особена точка, ако правилната част съдържа безкрайно много членове.

В същото време знаците на видовете сингулярни точки по стойност остават валидни: ако z= ∞ е подвижна особена точка, тогава тази граница съществува и е крайна, ако z= ∞ - полюс, тогава тази граница е безкрайна, ако z= ∞ е по същество особена точка, тогава тази граница не съществува (нито крайна, нито безкрайна).

Примери: 1. f (z ) = -5 + 3z 2 - z 6. Функцията вече е полином по степени z , най-високата степен е шестата, т.н z
Същият резултат може да се получи по различен начин. Да заменим z тогава . За функция φ (z 1) точка z 1 = 0 е полюс от шести ред, така че за f (z ) точка z = ∞ е полюс от шести ред.
2. . За тази функция вземете разширяването на правомощията z трудно, така че намираме: ; границата съществува и е крайна, така че точката z
3. . Правилна частразширения на мощността z съдържа безкрайно много термини, така че z = ∞ е съществена особена точка. В противен случай този факт може да се установи въз основа на факта, че не съществува.

Функционален остатък в безкрайно отдалечена особена точка.

За крайна особена точка а , където γ - контур, който не съдържа нищо друго освен а , особени точки, пресичани така, че областта, ограничена от него и съдържаща особената точка, остава отляво (обратно на часовниковата стрелка).

Нека го дефинираме по подобен начин: , където Γ − е контур, ограничаващ такава околност U (∞, r ) точки z = ∞, която не съдържа други особени точки и е обходима така, че тази околност остава отляво (т.е. по посока на часовниковата стрелка). Следователно всички други (крайни) особени точки на функцията трябва да са вътре в контура Γ − . Нека променим посоката на заобикаляне на контура Γ − : . Според основната теорема за остатъка , където сумирането е върху всички крайни особени точки. Следователно най-накрая

,

тези. остатък в безкрайно отдалечена особена точка е равно на суматаостатъци върху всички крайни особени точки, взети с обратен знак .

В резултат на това има теорема за пълно количествоудръжки: ако функция w = f (z ) е аналитичен навсякъде в равнината ОТ , с изключение на крайно числоособени точки z 1 , z 2 , z 3 , …,з к , тогава сумата от остатъците във всички крайни сингулярни точки и остатъка в безкрайността е нула.

Имайте предвид, че ако z = ∞ е подвижна особена точка, тогава остатъкът при нея може да е различен от нула. Така че за функцията, очевидно,; z = 0 е единствената крайна сингулярна точка на тази функция, така че , независимо че , т.е. z = ∞ е подвижна особена точка.