За разлика от ортографските и аксонометричните проекции, при които проекторите са перпендикулярни на проекционната равнина, наклонената проекция се формира от успоредни проектори с център, разположен в безкрайност и разположен под наклонен ъгъл спрямо проекционната равнина. Общата проекционна схема е показана на фиг. 3-20.

Наклонените проекции показват общата триизмерна форма на обект. Истинският размер и форма обаче се показват само за лицата на обекта, които са успоредни на проекционната равнина, т.е. ъглите и дължините се запазват само за такива лица. Наистина наклонената проекция на тези лица е еквивалентна на ортографичния изглед отпред. Лицата, които не са успоредни на проекционната равнина, са изкривени.

Особен интерес представляват две наклонени проекции - кавалерът и пилотската кабина. Кавалерска проекция се получава, когато ъгълът между проекторите и проекционната равнина е . В тази проекция коефициентите на изкривяване и за трите главни посоки са еднакви. Резултатът от тази проекция изглежда неестествено удебелен. За "коригиране" на този недостатък се използва проекцията на пилотската кабина.

Проекцията на пилотската кабина е такава наклонена проекция, в която коефициентът на изкривяване за ръбовете, перпендикулярни на проекционната равнина, е 1/2. Както ще бъде показано по-долу, за проекцията на пилотската кабина ъгълът между проекторите и равнината на проекцията е .

Ориз. 3-20 Наклонена проекция.

Ориз. 3-21 Построяване на наклонена проекция.

За да конструирате трансформационната матрица за наклонената проекция, разгледайте единичния вектор по протежение на оста, показана на фиг. 3-21. За ортографска или аксонометрична проекция върху равнина векторът определя посоката на проекцията. При наклонена проекция проекторите сключват ъгъл с проекционната равнина. На фиг. 3-21 показва типични наклонени проектори и . Проектори и образуват ъгъл с проекционната равнина. Обърнете внимание, че всички възможни проекции, минаващи през точката или и образуващи ъгъл с равнината, лежат върху повърхността на конус с връх при или . Така за даден ъгъл има безкраен брой наклонени проекции.

Проекторът може да бъде получен чрез използване на превод от точка до точка. В двумерна равнина, минаваща перпендикулярно на оста, трансформационната матрица е равна на

.

В три измерения тази двумерна трансформация е еквивалентна на изместване на вектора в посоките и . Това изисква трансформация

.

Проектирането върху равнина дава

.

От фиг. 3-21 получаваме това

където е дължината на проектирания единичен вектор върху оста, т.е. коефициент на изкривяване, a е ъгълът между хоризонталата и проектираната ос. От фиг. 3-21 също е ясно, че - ъгълът между наклонените проектори и проекционната равнина е

Така трансформацията за наклонената проекция е:

. (3-44)

За , получаваме ортографична проекция. Ако , тогава ръбовете, перпендикулярни на проекционната равнина, не са изкривени. И това е условието на кавалерската проекция. От равенство (3-43) имаме:

.

Имайте предвид, че в проекцията кавалерът все още е свободен параметър. На фиг. 3-22 показва кавалерски проекции за някои стойности на . Най-често използваните стойности са равни на и . Стойността също се прилага.

Проекцията на пилотската кабина може да се получи при коефициент на изкривяване от . Оттук

В този случай отново ъгълът е променлива, както е показано на фиг. 3.23. Най-често срещаните стойности са и , използва се и стойността.

Ориз. 3-22 проекции на Кавалер. Отгоре надолу ъгълът се променя от на с интервал , ъгъл .

Ориз. 3-23 Изгледи от пилотската кабина. Отгоре надолу ъгълът варира от до с интервал от , коефициентът на изкривяване .

Ориз. 3-24 Наклонени проекции. Отляво надясно при.

Ориз. 3-25 Наклонено изкривяване, , . (a) Кръглото лице е успоредно на проекционната равнина; б) кръглото лице е перпендикулярно на проекционната равнина; в) дългата страна е перпендикулярна на равнината на проекцията; г) дългата страна е успоредна на проекционната равнина.

На фиг. 3-24 показва наклонени проекции за коефициенти на изкривяване с ъгъл .

Тъй като се изобразява истинската форма на един фасет, наклонените проекции са особено подходящи за илюстриране на обекти с кръгли или по друг начин извити лица. Такива ръбове трябва да са успоредни на проекционната равнина, за да се избегне нежелано изкривяване. Точно както при паралелните проекции, обекти с едно измерение значително по-голямо от другите са обект на значително изкривяване, освен ако това измерение не е успоредно на проекционната равнина. Такива ефекти са показани на фиг. 3-25.

Наклонена диметрична проекция (фронтална)

Ако подредим координатните оси хи Yуспоредна на равнината П¢, тогава индикаторите за изкривяване по тези оси ще станат равни на единица (k = t=1). Индекс на изкривяване на осите Yобикновено се приема равно на 0,5. Аксонометрични оси х" и Z"образуват прав ъгъл, ос Y"обикновено се чертае като ъглополовяща на този ъгъл. ос хможе да бъде насочен както вдясно от оста З“, и наляво.

За предпочитане е да използвате правилната система, тъй като е по-удобно да изобразявате обекти в разчленена форма. При този вид аксонометрия е добре да се чертаят детайли, които имат формата на цилиндър или конус.

За удобство на изображението на тази част, оста Yтрябва да бъде подравнен с оста на въртене на повърхностите на цилиндрите. Тогава всички кръгове ще бъдат изобразени в пълен размер, а дължината на всяка повърхност ще бъде намалена наполовина (фиг. 10.21).

Наклонени участъци.

Когато правите чертежи на машинни части, често е необходимо да използвате наклонени сечения.

При решаването на такива проблеми е необходимо преди всичко да се разбере: как трябва да бъде разположена равнината на рязане и кои повърхности са включени в сечението, за да може частта да се чете по-добре. Разгледайте примери.

Дадена е тетраедрична пирамида, която е разчленена от наклонена фронтално изпъкнала равнина А-А(фиг.11.1). Разрезът ще бъде четириъгълник.

Първо конструираме неговите проекции върху П 1и на П 2. Челната проекция съвпада с проекцията на равнината, а хоризонталната проекция на четириъгълника изграждаме по принадлежност към пирамидата.

След това изграждаме естествения размер на сечението. За това се въвежда допълнителна проекционна равнина P 4, успоредна на дадената сечаща равнина А-А, проектирайте четириъгълник върху него и след това го комбинирайте с чертожната равнина.

Това е четвъртата основна задача от сложната трансформация на чертеж (модул #4, страница 15 или задача #117 от учебника по дескриптивна геометрия).

Конструкциите се извършват в следната последователност (фиг. 11.2):

1. 1. В свободното пространство на чертежа начертаваме аксиална линия, успоредна на равнината А-А.

2. 2. От точките на пресичане на ръбовете на пирамидата с равнината изчертаваме изпъкнали лъчи, перпендикулярни на сечещата равнина. точки 1 и 3 ще лежи на права, перпендикулярна на оста.

3. 3. Разстояние между точките 2 и 4 пренесени от хоризонтална проекция.

4. По същия начин се конструира истинската стойност на напречното сечение на повърхността на въртене - елипса.

Разстояние между точките 1 и 5 голямата ос на елипсата. Малката ос на елипсата трябва да бъде изградена чрез разделяне на голямата ос наполовина ( 3-3 ).

Разстояние между точките 2-2, 3-3, 4-4 пренесени от хоризонтална проекция.

Помислете за по-сложен пример, включващ полиедрични повърхности и повърхности на въртене (фиг. 11.3)

Дадена е четиристранна призма. В него има два отвора: призматичен, разположен хоризонтално, и цилиндричен, чиято ос съвпада с височината на призмата.

Режещата равнина е фронтално проектирана, следователно челната проекция на сечението съвпада с проекцията на тази равнина.

Четириъгълна призма, проектирана към хоризонталната равнина на проекциите, и следователно хоризонталната проекция на сечението също е на чертежа, тя съвпада с хоризонталната проекция на призмата.

Естественият размер на сечението, в което попадат двете призми и цилиндърът, изграждаме върху равнина, успоредна на секущата А-А(фиг.11.3).

Последователността на изпълнение на наклонения участък:

1. В свободното поле на чертежа се начертава оста на сечението, успоредна на сечещата равнина.

2. Изгражда се разрез на външната призма: дължината й се пренася от фронталната проекция, а разстоянието между точките от хоризонталата.

За 3D обекти и панорами.

Ограничения на аксонометричната проекция

Изометрична проекция в компютърните игри и пикселното изкуство

Рисуване на телевизор в почти изометрично пикселно изкуство. Пикселният шаблон има съотношение 2:1

Бележки

1. Съгласно GOST 2 .317-69 - Единна система за конструкторска документация. Аксонометрични проекции.
2. Тук хоризонталната равнина е равнината, перпендикулярна на оста Z (която е прототипът на оста Z).
3. Ингрид Карлбом, Джоузеф Пасиорек.Планарни геометрични проекции и визуални трансформации // ACM Computing Surveys (CSUR): сп. - ACM, декември 1978 г. - Т. 10. - № 4. - С. 465-502. - ISSN 0360-0300. - DOI:10.1145/356744.356750
4. Джеф Грийн.Преглед на GameSpot: Arcanum (английски) . GameSpot (29 февруари 2000 г.). (недостъпна връзка - история) Посетен на 29 септември 2008.
5. Стив Бътс. SimCity 4: Преглед на часа пик. IGN (9 септември 2003 г.). Архивирано
6. GDC 2004: Историята на Zelda (английски). IGN (25 март 2004 г.). Архивиран от оригинала на 19 февруари 2012 г. Посетен на 29 септември 2008 г.
7. Дейв Грийли, Бен Сойер.

За визуално представяне на обекти (продукти или техни компоненти) се препоръчва използването на аксонометрични проекции, като се избира най-подходящата за всеки отделен случай.

Същността на метода на аксонометричната проекция се състои в това, че даден обект, заедно с координатната система, към която се отнася в пространството, се проектира върху определена равнина чрез паралелен лъч от лъчи. Посоката на проекцията върху аксонометричната равнина не съвпада с никоя от координатните оси и не е успоредна на никоя от координатните равнини.

Всички видове аксонометрични проекции се характеризират с два параметъра: посоката на аксонометричните оси и коефициентите на изкривяване по тези оси. Под коефициента на изкривяване се разбира съотношението на размера на изображението в аксонометричната проекция към размера на изображението в ортогоналната проекция.

В зависимост от съотношението на коефициентите на изкривяване аксонометричните проекции се разделят на:

Изометричен, когато и трите коефициента на изкривяване са еднакви (k x =k y =k z);

Диметричен, когато коефициентите на изкривяване са еднакви по две оси, а третата не е равна на тях (k x = k z ≠k y);

Триметрично, когато и трите коефициента на изкривяване не са равни един на друг (k x ≠k y ≠k z).

В зависимост от посоката на проектиращите лъчи аксонометричните проекции се делят на правоъгълни и наклонени. Ако проектиращите лъчи са перпендикулярни на равнината на аксонометричната проекция, тогава такава проекция се нарича правоъгълна. Правоъгълните аксонометрични проекции включват изометрични и диметрични. Ако проектиращите лъчи са насочени под ъгъл към равнината на аксонометричната проекция, тогава такава проекция се нарича наклонена. Наклонените аксонометрични проекции включват фронтални изометрични, хоризонтални изометрични и фронтални диметрични проекции.

При правоъгълната изометрия ъглите между осите са 120°. Действителният коефициент на изкривяване по аксонометричните оси е 0,82, но на практика, за удобство на конструкцията, индикаторът се приема равен на 1. В резултат на това аксонометричното изображение се увеличава с коефициент.

Изометричните оси са показани на фигура 57.

Фигура 57

Изграждането на изометрични оси може да се извърши с помощта на компас (Фигура 58). За да направите това, първо начертайте хоризонтална линия и начертайте перпендикулярно на нея оста Z. От точката на пресичане на оста Z с хоризонталната линия (точка O) начертайте спомагателна окръжност с произволен радиус, която пресича оста Z в точка А. От точка А със същия радиус начертайте втора окръжност до пресичане с първата в точки В и С. Получената точка В се свързва с точка О - получава се посоката на оста X. По същия начин , точката C се свързва с точката O - получава се посоката на оста Y.

Фигура 58

Конструкцията на изометрична проекция на шестоъгълника е показана на фигура 59. За да направите това, е необходимо да начертаете радиуса на описаната окръжност на шестоъгълника по оста X в двете посоки спрямо началото. След това по оста Y заделяме размера на ключа, от получените точки начертаваме линии, успоредни на оста X и заделяме размера на страната на шестоъгълника по тях.

Фигура 59

Построяване на окръжност в правоъгълна изометрична проекция

Най-трудната плоска фигура за рисуване в аксонометрията е кръг. Както знаете, кръгът в изометрията се проектира в елипса, но изграждането на елипса е доста трудно, така че GOST 2.317-69 препоръчва използването на овали вместо елипси. Има няколко начина за конструиране на изометрични овали. Нека да разгледаме един от най-често срещаните.

Размерът на голямата ос на елипсата е 1.22d, на малката е 0.7d, където d е диаметърът на кръга, чиято изометрия се изгражда. Фигура 60 показва графичен начин за дефиниране на голямата и малката ос на изометрична елипса. За да се определи малката ос на елипсата, се свързват точки C и D. От точки C и D, както от центрове, се изчертават дъги с радиуси, равни на CD, докато се пресекат. Отсечката AB е голямата ос на елипсата.

Фигура 60

След установяване на посоката на голямата и малката ос на овала, в зависимост от това към коя координатна равнина принадлежи кръгът, се изчертават два концентрични кръга по размерите на голямата и малката ос, в пресечната точка на които с осите те маркират точки O 1, O 2, O 3, O 4, които са центрове на овални дъги (Фигура 61).

За да се определят точките на свързване, се начертават линии на центрове, свързващи O 1, O 2, O 3, O 4. от получените центрове O 1, O 2, O 3, O 4 се изчертават дъги с радиуси R и R 1. размерите на радиусите се виждат на чертежа.

Фигура 61

Посоката на осите на елипсата или овала зависи от положението на проектирания кръг. Има следното правило: голямата ос на елипсата винаги е перпендикулярна на аксонометричната ос, която се проектира върху дадена равнина до точка, а малката ос съвпада с посоката на тази ос (Фигура 62).

Фигура 62

Щриховка и изометричен изглед

Линиите за люпене на секции в изометрична проекция, съгласно GOST 2.317-69, трябва да имат посока, успоредна или само на големите диагонали на квадрата, или само на малките.

Правоъгълната диметрия е аксонометрична проекция с равни показатели на изкривяване по двете оси X и Z, а по оста Y показателят на изкривяване е наполовина по-малък.

Съгласно GOST 2.317-69, оста Z се използва в правоъгълна диметрия, разположена вертикално, оста X е наклонена под ъгъл от 7 °, а оста Y е под ъгъл от 41 ° спрямо линията на хоризонта. Изкривяването по осите X и Z е 0,94, а по оста Y е 0,47. Обикновено се използват приведените коефициенти k x =k z =1, k y =0,5, т.е. по осите X и Z или в посоки, успоредни на тях, действителните размери се оставят настрана, а по оста Y размерите се намаляват наполовина.

За да изградите диметрични оси, използвайте метода, показан на Фигура 63, който е както следва:

На хоризонтална линия, минаваща през точка O, са положени осем равни произволни сегмента в двете посоки. От крайните точки на тези сегменти един такъв сегмент е положен вертикално отляво и седем отдясно. Получените точки се свързват с точка O и получават посоката на аксонометричните оси X и Y в правоъгълна диметрия.

Фигура 63

Построяване на диметрична проекция на шестоъгълник

Помислете за конструкцията в диметрия на правилен шестоъгълник, разположен в равнината P 1 (Фигура 64).

Фигура 64

На оста X отделяме сегмент, равен на стойността b, да го имам средата беше в точка О, а по оста Y - сегмент а, който е намален наполовина по размер. Чрез получените точки 1 и 2 изчертаваме прави линии, успоредни на оста OX, върху които отделяме сегменти, равни на страната на шестоъгълника в пълен размер със средата в точки 1 и 2. Свързваме получените върхове. На фигура 65а е показан шестоъгълник в диметрия, разположен успоредно на фронталната равнина, а на фигура 66b, успореден на профилната равнина на проекцията.

Фигура 65

Построяване на окръжност в диметрия

В правоъгълната диметрия всички кръгове са представени от елипси,

Дължината на голямата ос за всички елипси е една и съща и е равна на 1,06d. Стойността на малката ос е различна: за фронталната равнина е 0,95d, за хоризонталната и профилната равнина - 0,35d.

На практика елипсата се заменя с четирицентричен овал. Помислете за конструкцията на овал, който замества проекцията на кръг, лежащ в хоризонталната и профилната равнина (Фигура 66).

През точката O - началото на аксонометричните оси, прекарваме две взаимно перпендикулярни прави линии и нанасяме по хоризонталата стойността на голямата ос AB=1,06d, а по вертикалата - стойността на малката ос CD=0,35d. линия. Нагоре и надолу от O вертикално отделяме сегменти OO 1 и OO 2, равни по стойност на 1,06d. Точките O 1 и O 2 са център на големи дъги на овала. За да определим още два центъра (O 3 и O 4), отлагаме сегментите AO 3 и BO 4 на хоризонтална линия от точки A и B, равна на ¼ от размера на малката ос на елипсата, т.е. д.

Фигура 66

След това от точки O1 и O2 изчертаваме дъги, чийто радиус е равен на разстоянието до точки C и D, а от точки O3 и O4 - с радиус до точки A и B (Фигура 67).

Фигура 67

Конструкцията на овал, който замества елипсата, от кръг, разположен в равнината P 2, ще разгледаме на фигура 68. Начертаваме осите на диметрията: X, Y, Z. Малката ос на елипсата съвпада с посоката на оста Y, а голямата е перпендикулярна на нея. По осите X и Z отделяме радиуса на окръжността от началото и получаваме точките M, N, K, L, които са точките на конюгиране на овалните дъги. От точки M и N изчертаваме хоризонтални прави линии, които в пресечната точка с оста Y и перпендикулярно на нея дават точки O 1, O 2, O 3, O 4 - центровете на дъгите на овала (Фигура 68 ).

От центровете O 3 и O 4 те описват дъга с радиус R 2 \u003d O 3 M, а от центровете O 1 и O 2 - дъга с радиус R 1 \u003d O 2 N

Фигура 68

Щриховка на правоъгълен диметър

Линиите на люпене на разрези и сечения в аксонометрични проекции са направени успоредно на един от диагоналите на квадрата, чиито страни са разположени в съответните равнини, успоредни на аксонометричните оси (Фигура 69).

Фигура 69

1. Какви видове аксонометрични проекции познавате?
2. Под какъв ъгъл са осите в изометрията?
3. Каква фигура представлява изометрична проекция на кръг?
4. Как е разположена голямата ос на елипсата за окръжност, принадлежаща на профилната равнина на проекциите?
5. Какви са приетите коефициенти на изкривяване по осите X, Y, Z за конструиране на диметрична проекция?
6. Под какви ъгли са осите в диметъра?
7. Каква фигура ще бъде диметричната проекция на квадрат?
8. Как да изградим диметрична проекция на кръг, разположен в пространството на предната проекция?
9. Основни правила за щриховка в аксонометрични проекции.

GOST 2.317-69* (ST SEV 1979-79) установява правоъгълни и наклонени аксонометрични проекции. Правоъгълнапроекциите са разделени на изометрични и диметрични, косо- фронтална изометрия, хоризонтална изометрия и фронтална диметрия.

Правоъгълни проекции

Правоъгълен изометричен изглед. Позицията на аксонометричните оси е показана на фигурата горе вляво. Коефициентът на изкривяване по осите x, y, z е 0,82; като правило се закръгля до 1. Окръжности, лежащи в равнини, успоредни на проекционните равнини, се проектират върху тези равнини в елипси (вижте същата фигура по-долу). Главните оси на елипсите 1, 2, 3 са перпендикулярни съответно на осите y, z, x. Ако коефициентът на изкривяване по осите се приеме равен на 1, тогава големите оси на елипсите са 1,22, а малките оси са 0,71 от диаметъра на кръга.

Правоъгълна диметрична проекция. Позицията на аксонометричните оси е показана на фигурата вдясно. Коефициентът на изкривяване по оста y е 0,47, по осите x и z - 0,94; като правило, коефициентът на изкривяване по оста y се закръгля до 0,5, по осите x и z - до 1. Кръговете, разположени в равнини, успоредни на проекционните равнини, се проектират върху тези равнини в елипси, големите оси на които са перпендикулярни съответно на осите y, z. , X. Ако коефициентът на изкривяване по осите x и y се приеме равен на 1, тогава големите оси на елипсите са 1,06 от диаметъра на кръга, малката ос на елипсата 1 е 0,95, а елипсите 2 и 3 са 0,35 от диаметъра на кръга. диаметър на кръга.

наклонени проекции

наклонен фронтален изометричен изглед. Позицията на аксонометричните оси е показана на фигурата по-долу (a). Ъгълът на наклона на оста y спрямо хоризонталната линия е 45°, разрешен е ъгъл от 30° или 60°. Коефициентът на изкривяване по осите x, y, 2 е 1.

Наклонен хоризонтален изометричен изглед.Позицията на аксонометричните оси е показана на фигура (b). Ъгълът на наклона на оста y спрямо хоризонталната линия е 30° Допуска се ъгъл от 45° и 60°. Коефициентът на изкривяване по осите x, y, z е 1.

. Позицията на аксонометричните оси е показана на фигурата по-горе (c). Коефициентът на изкривяване по оста y е 0,5, по осите x и z - 1. Кръгове, лежащи в равнини, успоредни на равнината на предната проекция, се проектират в кръгове; в равнини, успоредни на хоризонталните и профилни равнини на проекциите - в елипси (фиг. 5.31). Голямата ос на елипсата 2 сключва ъгъл 7°14" с оста x, голямата ос на елипсата 3 с оста z сключва ъгъл 7° 14". Главните оси на елипси 2 и 3 са равни на 1,07, малките оси са 0,33 от диаметъра на кръга.

Щриховка и оразмеряване

Линиите на люпене на секции в аксонометрични проекции се прилагат успоредно на един от диагоналите на квадратите, лежащи в съответните координатни равнини, чиито страни са успоредни на аксонометричните оси (фигура по-долу). Укрепващите елементи, спиците на маховика и подобни елементи, които попадат в равнината на рязане, са щриховани.

Примери за изображения на детайли в аксонометрични проекции

Линии на щриховка в аксонометрични проекции: а - в правоъгълна изометрия; 6 - в правоъгълен диметр; c - в наклонен челен диметр

Изображение на част в правоъгълен изометричен изглед

Детайлно изображение в правоъгълна диметрична проекция

Детайлно изображение в наклонена фронтална диметрична проекция

Нанасяне на размери в аксонометрични проекции

При прилагане на размери удължителните линии се изчертават успоредно на координатните оси, размерните линии - успоредни на измерения сегмент (фигура по-горе).