Формули за аритметична прогресия как се намира д. Самостоятелна работа по двойки

Аритметични и геометрични прогресии

Теоретична информация

Теоретична информация

	Аритметична прогресия	Геометрична прогресия
Определение	Аритметична прогресия a nизвиква се редица, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предходния член, добавен със същото число д (д- разлика в прогресията)	геометрична прогресия b nсе нарича поредица от ненулеви числа, всеки член от който, започвайки от втория, е равен на предходния член, умножен по същото число р (р- знаменател на прогресията)
Повтаряща се формула	За всеки естествен н a n + 1 = a n + d	За всеки естествен н b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
формула за n-ти член	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
характерно свойство
Сума от първите n члена

Примерни задачи с коментари

Упражнение 1

В аритметична прогресия ( a n) а 1 = -6, а 2

Според формулата на n-тия член:

а 22 = а 1+ d (22 - 1) = а 1+ 21г

По условие:

а 1= -6, така че а 22= -6 + 21d.

Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:

d= а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Отговор : а 22 = -48.

Задача 2

Намерете петия член на геометричната прогресия: -3; 6;....

1-ви начин (използване на n-членна формула)

Според формулата на n-тия член на геометрична прогресия:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

защото b 1 = -3,

2-ри начин (използване на рекурсивна формула)

Тъй като знаменателят на прогресията е -2 (q = -2), тогава:

б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Отговор : б 5 = -48.

Задача 3

В аритметична прогресия ( a n) a 74 = 34; 76= 156. Намерете седемдесет и петия член на тази прогресия.

За аритметична прогресия характеристичното свойство има формата .

Следователно:

.

Заместете данните във формулата:

Отговор: 95.

Задача 4

В аритметична прогресия ( a n ) a n= 3n - 4. Намерете сбора на първите седемнадесет члена.

За да се намери сумата от първите n членове на аритметична прогресия, се използват две формули:

.

Кой от тях е по-удобен за прилагане в този случай?

По условие формулата на n-тия член на първоначалната прогресия е известна ( a n) a n= 3n - 4. Може да се намери веднага и а 1, и а 16без намиране d . Затова използваме първата формула.

Отговор: 368.

Задача 5

В аритметична прогресия a n) а 1 = -6; а 2= -8. Намерете двадесет и втория член на прогресията.

Според формулата на n-тия член:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = а 1+ 21г.

По условие, ако а 1= -6, тогава а 22= -6 + 21d. Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:

d= а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Отговор : а 22 = -48.

Задача 6

Записват се няколко последователни члена на геометрична прогресия:

Намерете члена на прогресията, означен с буквата x .

При решаването използваме формулата за n-тия член b n \u003d b 1 ∙ q n - 1за геометрични прогресии. Първият член на прогресията. За да намерите знаменателя на прогресията q, трябва да вземете който и да е от тези членове на прогресията и да разделите на предишния. В нашия пример можете да вземете и да разделите на. Получаваме, че q \u003d 3. Вместо n заместваме 3 във формулата, тъй като е необходимо да се намери третият член на дадена геометрична прогресия.

Замествайки намерените стойности във формулата, получаваме:

.

Отговор : .

Задача 7

От аритметичните прогресии, дадени от формулата на n-тия член, изберете тази, за която е изпълнено условието а 27 > 9:

Тъй като определеното условие трябва да бъде изпълнено за 27-ия член на прогресията, ние заместваме 27 вместо n във всяка от четирите прогресии. В 4-та прогресия получаваме:

.

Отговор: 4.

Задача 8

В аритметична прогресия а 1= 3, d = -1,5. Посочете най-голямата стойност на n, за която е валидно неравенството a n > -6.

Преди да започнем да решаваме задачи с аритметична прогресия, помислете какво е числова последователност, тъй като аритметичната прогресия е специален случай на числова последователност.

Числовата последователност е цифров набор, всеки елемент от който има свой собствен сериен номер. Елементите на това множество се наричат ​​членове на редицата. Поредният номер на елемент от последователността се обозначава с индекс:

Първият елемент от последователността;

Петият елемент от последователността;

- "n-ти" елемент от редицата, т.е. елементът "стоящ на опашката" под номер n.

Съществува зависимост между стойността на елемент на последователност и нейния пореден номер. Следователно можем да разглеждаме редицата като функция, чийто аргумент е поредният номер на елемент от редицата. С други думи, може да се каже така последователността е функция на естествения аргумент:

Последователността може да бъде определена по три начина:

1 . Последователността може да бъде определена с помощта на таблица.В този случай ние просто задаваме стойността на всеки член на последователността.

Например, Някой реши да направи лично управление на времето и като начало да изчисли колко време прекарва във VKontakte през седмицата. Като напише времето в таблица, той ще получи последователност, състояща се от седем елемента:

Първият ред на таблицата съдържа номера на деня от седмицата, вторият - времето в минути. Виждаме, че в понеделник някой е прекарал 125 минути във VKontakte, тоест в четвъртък - 248 минути, а в петък - само 15.

2 . Последователността може да бъде определена с помощта на формулата за n-тия член.

В този случай зависимостта на стойността на елемент от последователност от неговия номер се изразява директно като формула.

Например, ако , тогава

За да намерим стойността на елемент от последователност с даден номер, заместваме номера на елемента във формулата за n-тия член.

Правим същото, ако трябва да намерим стойността на функция, ако стойността на аргумента е известна. Вместо това заместваме стойността на аргумента в уравнението на функцията:

ако напр. , тогава

Още веднъж отбелязвам, че в редица, за разлика от произволна числова функция, само естествено число може да бъде аргумент.

3 . Последователността може да се уточни с помощта на формула, която изразява зависимостта на стойността на члена на редицата с номер n от стойността на предходните членове. В този случай не е достатъчно да знаем само номера на член на последователност, за да намерим стойността му. Трябва да посочим първия член или първите няколко члена на последователността.

Например, помислете за последователността ,

Можем да намерим стойностите на членовете на последователност в последователност, започвайки от третия:

Тоест всеки път, за да намерим стойността на n-тия член на редицата, се връщаме към предишните два. Този начин на последователност се нарича рецидивиращ, от латинската дума повтарящо се- Върни се.

Сега можем да дефинираме аритметична прогресия. Аритметичната прогресия е прост специален случай на числова последователност.

Аритметична прогресия се нарича числова редица, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предходния, добавен със същото число.

Номерът се нарича разликата на аритметична прогресия. Разликата на аритметичната прогресия може да бъде положителна, отрицателна или нула.

Ако title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} повишаване на.

Например, 2; 5; осем; единадесет;...

Ако , тогава всеки член на аритметичната прогресия е по-малък от предишния, а прогресията е намаляващ.

Например, 2; -един; -четири; -7;...

Ако , тогава всички членове на прогресията са равни на едно и също число, а прогресията е стационарен.

Например 2;2;2;2;...

Основното свойство на аритметичната прогресия:

Нека погледнем снимката.

Виждаме това

, и в същото време

Събирайки тези две равенства, получаваме:

.

Разделете двете страни на уравнението на 2:

И така, всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на две съседни:

Освен това, тъй като

, и в същото време

, тогава

, и следователно

Всеки член на аритметичната прогресия, започващ с title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

формула на член.

Виждаме, че за членовете на аритметичната прогресия са валидни следните отношения:

и накрая

Имаме формула на n-тия член.

ВАЖНО!Всеки член на аритметична прогресия може да бъде изразен чрез и . Познавайки първия член и разликата на аритметичната прогресия, можете да намерите всеки от нейните членове.

Сумата от n членове на аритметична прогресия.

В произволна аритметична прогресия сумите на членовете, разположени на еднакво разстояние от крайните, са равни една на друга:

Да разгледаме аритметична прогресия с n членове. Нека сумата от n членове на тази прогресия е равна на .

Подредете условията на прогресията първо във възходящ ред на числата, а след това в низходящ ред:

Нека го сдвоим:

Сумата във всяка скоба е , броят на двойките е n.

Получаваме:

Така, сумата от n членове на аритметична прогресия може да се намери с помощта на формулите:

Обмисли решаване на задачи с аритметична прогресия.

1 . Последователността е дадена с формулата на n-тия член: . Докажете, че тази редица е аритметична прогресия.

Нека докажем, че разликата между два съседни члена на редицата е равна на едно и също число.

Получихме, че разликата на два съседни члена на редицата не зависи от техния брой и е константа. Следователно, по дефиниция, тази последователност е аритметична прогресия.

2 . При аритметична прогресия -31; -27;...

а) Намерете 31 члена на прогресията.

b) Определете дали числото 41 е включено в тази прогресия.

а)Виждаме това;

Нека запишем формулата за n-тия член за нашата прогресия.

Общо взето

В нашия случай , Ето защо

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Аритметичната прогресия е поредица от числа, в която всяко число е по-голямо (или по-малко) от предишното с еднаква стойност.

Тази тема често е трудна и неразбираема. Буквени индекси, n-тият член на прогресията, разликата на прогресията - всичко това е някак объркващо, да ... Нека разберем значението на аритметичната прогресия и всичко ще се получи веднага.)

Концепцията за аритметична прогресия.

Аритметичната прогресия е много проста и ясна концепция. Съмнение? Напразно.) Вижте сами.

Ще напиша незавършена поредица от числа:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Можете ли да удължите тази линия? Кои числа ще са следващите след петицата? Всеки ... ъъъ ..., накратко, всеки ще разбере, че числата 6, 7, 8, 9 и т.н. ще отидат по-далеч.

Нека да усложним задачата. Давам незавършена поредица от числа:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Можете да хванете модела, да разширите серията и да дадете име седмономер на ред?

Ако сте разбрали, че това число е 20 - поздравявам ви! Ти не само усети ключови точки на аритметичната прогресия,но и успешно ги използва в бизнеса! Ако не разбирате, прочетете.

Сега нека преведем ключовите точки от усещанията в математика.)

Първата ключова точка.

Аритметичната прогресия работи с серии от числа.Това е объркващо в началото. Свикнали сме да решаваме уравнения, да изграждаме графики и всичко това ... И след това разширете серията, намерете номера на серията ...

ОК е. Просто прогресиите са първото запознанство с нов клон на математиката. Секцията се нарича "Поредици" и работи с поредици от числа и изрази. Свиквай.)

Втора ключова точка.

В аритметична прогресия всяко число се различава от предишното със същата сума.

В първия пример тази разлика е една. Което и число да вземете, то е с едно повече от предишното. Във втория - три. Всяко число е три пъти по-голямо от предишното. Всъщност именно този момент ни дава възможност да хванем закономерността и да изчислим следващите числа.

Трети ключов момент.

Този момент не е поразителен, да ... Но много, много важен. Ето го: всяко число на прогресията е на мястото си.Има първото число, има седмото, има четиридесет и петото и т.н. Ако ги объркате случайно, моделът ще изчезне. Аритметичната прогресия също ще изчезне. Това е просто поредица от числа.

Това е целият смисъл.

Разбира се, в новата тема се появяват нови термини и означения. Те трябва да знаят. В противен случай няма да разберете задачата. Например, трябва да решите нещо като:

Запишете първите шест члена на аритметичната прогресия (a n), ако a 2 = 5, d = -2,5.

Вдъхновява ли?) Писма, някои индекси... И задачата, между другото, не може да бъде по-лесна. Просто трябва да разберете значението на термините и нотацията. Сега ще овладеем този въпрос и ще се върнем към задачата.

Термини и обозначения.

Аритметична прогресияе поредица от числа, в която всяко число е различно от предишното със същата сума.

Тази стойност се нарича . Нека разгледаме тази концепция по-подробно.

Разлика в аритметична прогресия.

Разлика в аритметична прогресияе сумата, с която всяко число на прогресия Повече ▼предишния.

Един важен момент. Моля, обърнете внимание на думата "Повече ▼".Математически това означава, че се получава всяко число на прогресията добавянеразликата на аритметична прогресия спрямо предходното число.

Да изчислим, да речем второномера на реда, е необходимо да се първиномер добавететочно тази разлика на аритметична прогресия. За изчисление пети- разликата е необходима добаветеда се четвъртодобре и т.н.

Разлика в аритметична прогресияможе би положителентогава всяко число от серията ще се окаже истинско повече от предишния.Тази прогресия се нарича повишаване на.Например:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Тук е всяко число добавянеположително число, +5 към предишното.

Разликата може да бъде отрицателентогава всяко число в серията ще бъде по-малко от предишния.Тази прогресия се нарича (няма да повярвате!) намаляващи.

Например:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Тук също се получава всяко число добавянекъм предишното, но вече отрицателно число, -5.

Между другото, когато работите с прогресия, е много полезно веднага да определите нейния характер - дали се увеличава или намалява. Помага много да се ориентирате в решението, да откриете грешките си и да ги коригирате, преди да е станало твърде късно.

Разлика в аритметична прогресияобикновено се обозначава с буквата д.

Как да намеря д? Много просто. Необходимо е да се извади от произволно число от серията предишенномер. Извадете. Между другото, резултатът от изваждането се нарича "разлика".)

Да дефинираме например дза нарастваща аритметична прогресия:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Взимаме произволен номер от реда, който искаме, например 11. Изваждаме от него предишния номертези. осем:

Това е правилният отговор. За тази аритметична прогресия разликата е три.

Можете просто да вземете произволен брой прогресии,защото за конкретна прогресия д-винаги същото.Поне някъде в началото на редицата, поне в средата, поне навсякъде. Не можете да вземете само първото число. Просто защото първото число няма предишни.)

Между другото, знаейки това d=3, намирането на седмото число от тази прогресия е много лесно. Добавяме 3 към петото число - получаваме шестото, ще бъде 17. Добавяме три към шестото число, получаваме седмото число - двадесет.

Да дефинираме дза намаляваща аритметична прогресия:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Напомням ви, че независимо от знаците, за да определите днеобходими от произволен номер отнеме предишния.Избираме произволен номер на прогресия, например -7. Предишното му число е -2. Тогава:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Разликата на аритметичната прогресия може да бъде произволно число: цяло число, дробна, ирационална, всякаква.

Други термини и обозначения.

Всяко число от серията се нарича член на аритметична прогресия.

Всеки член на прогресията има неговия номер.Цифрите са строго подредени, без уловки. Първо, второ, трето, четвърто и т.н. Например, в прогресията 2, 5, 8, 11, 14, ... две е първият член, пет е вторият, единадесет е четвъртият, добре, разбирате ...) Моля, разберете ясно - самите числаможе да бъде абсолютно всякакво, цяло, дробно, отрицателно, каквото и да е, но номериране- строго по ред!

Как да напиша прогресия в общ вид? Няма проблем! Всяко число от серията е изписано като буква. За означаване на аритметична прогресия по правило се използва буквата а. Членският номер се обозначава с индекса долу вдясно. Членовете се пишат разделени със запетаи (или точка и запетая), както следва:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

а 1е първото число а 3- трети и т.н. Нищо сложно. Можете да напишете тази серия накратко така: (a n).

Има прогресии крайно и безкрайно.

Ultimateпрогресията има ограничен брой членове. Пет, тридесет и осем, каквото и да е. Но това е краен брой.

Безкраенпрогресия - има безкраен брой членове, както можете да предположите.)

Можете да напишете окончателна прогресия през поредица като тази, всички членове и точка в края:

а 1, а 2, а 3, а 4, а 5.

Или така, ако има много членове:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

В кратък запис ще трябва допълнително да посочите броя на членовете. Например (за двадесет членове), така:

(a n), n = 20

Една безкрайна прогресия може да бъде разпозната по многоточието в края на реда, както в примерите в този урок.

Сега вече можете да решавате задачи. Задачите са прости, чисто за разбиране смисъла на аритметичната прогресия.

Примерни задачи за аритметична прогресия.

Нека разгледаме по-отблизо задачата по-горе:

1. Запишете първите шест члена на аритметичната прогресия (a n), ако a 2 = 5, d = -2,5.

Превеждаме задачата на разбираем език. Дадена е безкрайна аритметична прогресия. Второто число на тази прогресия е известно: а 2 = 5.Известна разлика в прогресията: d = -2,5.Трябва да намерим първия, третия, четвъртия, петия и шестия член на тази прогресия.

За по-голяма яснота ще запиша серия според условието на задачата. Първите шест члена, където вторият член е пет:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

а 3 = а 2 + д

Заменяме в израза а 2 = 5и d=-2,5. Не забравяйте минуса!

а 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Третият член е по-малък от втория. Всичко е логично. Ако числото е по-голямо от предишното отрицателенстойност, така че самото число ще бъде по-малко от предишното. Прогресията намалява. Добре, нека го вземем предвид.) Ние считаме четвъртия член на нашата поредица:

а 4 = а 3 + д

а 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

а 5 = а 4 + д

а 5=0+(-2,5)= - 2,5

а 6 = а 5 + д

а 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

И така, членовете от трети до шести са изчислени. Това доведе до серия:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Остава да намерим първия член а 1според известното второ. Това е стъпка в другата посока, наляво.) Следователно разликата в аритметичната прогресия дне трябва да се добавя към а 2, а за вкъщи:

а 1 = а 2 - д

а 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Това е всичко. Отговор на задачата:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Мимоходом отбелязвам, че решихме тази задача рецидивиращначин. Тази ужасна дума означава само търсене на член на прогресията по предходния (съседен) номер.Други начини за работа с прогресия ще бъдат обсъдени по-късно.

От тази проста задача може да се направи един важен извод.

Помня:

Ако знаем поне един член и разликата на аритметична прогресия, можем да намерим всеки член на тази прогресия.

Помня? Това просто заключение ни позволява да решим повечето от проблемите на училищния курс по тази тема. Всички задачи се въртят около три основни параметъра: член на аритметична прогресия, разлика на прогресия, номер на член на прогресия.Всичко.

Разбира се, цялата предишна алгебра не се отменя.) Неравенствата, уравненията и други неща са прикрепени към прогресията. Но според прогресията- всичко се върти около три параметъра.

Например, помислете за някои популярни задачи по тази тема.

2. Запишете крайната аритметична прогресия като серия, ако n=5, d=0,4 и a 1=3,6.

Тук всичко е просто. Всичко вече е дадено. Трябва да запомните как се изчисляват, преброяват и записват членовете на една аритметична прогресия. Препоръчително е да не пропускате думите в условието на задачата: "окончателен" и " n=5". За да не броите, докато не сте напълно посинели.) В тази прогресия има само 5 (пет) члена:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

а 4 = а 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

а 5 = а 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Остава да напиша отговора:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Друга задача:

3. Определете дали числото 7 ще бъде член на аритметична прогресия (a n), ако a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Хм... Кой знае? Как да дефинираме нещо?

Как-как ... Да, запишете прогресията под формата на серия и вижте дали ще има седем или не! Ние вярваме:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

а 4 = а 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Сега ясно се вижда, че сме само седем се промъкнамежду 6.5 и 7.7! Седемте не попаднаха в нашата серия от числа и следователно седемте няма да бъдат член на дадената прогресия.

Отговор: не.

И ето задача, базирана на реална версия на GIA:

4. Изписват се няколко последователни члена на аритметичната прогресия:

...; петнадесет; Х; 9; 6; ...

Ето една поредица без край и начало. Няма номера на членове, няма разлика д. ОК е. За да разрешите проблема, е достатъчно да разберете значението на аритметичната прогресия. Да видим и да видим какво можем да знамот тази линия? Какви са параметрите на трите основни?

Членски номера? Тук няма нито едно число.

Но има три числа и - внимание! - дума "последователен"в състояние. Това означава, че числата са строго подредени, без пропуски. Има ли двама в този ред? съседниизвестни числа? Да, има! Това са 9 и 6. Така че можем да изчислим разликата на аритметична прогресия! Изваждаме от шестицата предишенномер, т.е. девет:

Остават празни места. Кое число ще бъде предишното за x? Петнадесет. Така че x може лесно да се намери чрез просто събиране. Към 15 добавете разликата на аритметична прогресия:

Това е всичко. Отговор: х=12

Ние решаваме следните проблеми сами. Забележка: тези пъзели не са за формули. Чисто за разбиране на значението на аритметичната прогресия.) Просто записваме поредица от цифри-букви, гледаме и мислим.

5. Намерете първия положителен член от аритметичната прогресия, ако a 5 = -3; d = 1,1.

6. Известно е, че числото 5,5 е член на аритметичната прогресия (a n), където a 1 = 1,6; d = 1,3. Определете числото n на този член.

7. Известно е, че в аритметична прогресия a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Намерете 3.

8. Изписани са няколко последователни члена на аритметичната прогресия:

...; 15,6; Х; 3.4; ...

Намерете члена на прогресията, означен с буквата x.

9. Влакът тръгна от гарата, като постепенно увеличи скоростта си с 30 метра в минута. Каква ще бъде скоростта на влака след пет минути? Дайте своя отговор в км/ч.

10. Известно е, че в аритметична прогресия a 2 = 5; а 6 = -5. Намерете 1.

Отговори (в безпорядък): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; четири.

Всичко се получи? Чудесен! Можете да научите аритметичната прогресия на по-високо ниво в следващите уроци.

Не се ли получи всичко? Няма проблем. В специален раздел 555 всички тези пъзели са разбити парче по парче.) И, разбира се, е описана проста практическа техника, която веднага подчертава решението на такива задачи ясно, ясно, като в дланта на ръката ви!

Между другото, в пъзела за влака има два проблема, на които хората често се спъват. Единият - чисто по прогресия, а вторият - общ за всякакви задачи по математика, а и по физика. Това е превод на измеренията от едно в друго. Показва как трябва да се решават тези проблеми.

В този урок разгледахме елементарното значение на аритметичната прогресия и нейните основни параметри. Това е достатъчно за решаване на почти всички проблеми по тази тема. Добавете дкъм числата, напишете серия, всичко ще се реши.

Решението с пръсти работи добре за много кратки части от поредицата, както в примерите в този урок. Ако серията е по-дълга, изчисленията стават по-сложни. Например, ако в задача 9 във въпроса заменете "пет минути"на "тридесет и пет минути"проблемът ще стане много по-лош.)

Има и задачи, които са прости по същество, но напълно абсурдни от гледна точка на изчисления, например:

Дадена е аритметична прогресия (a n). Намерете 121, ако a 1 =3 и d=1/6.

И какво, ще добавяме 1/6 много, много пъти?! Възможно ли е да се самоубиеш!?

Можете.) Ако не знаете проста формула, по която можете да решите такива задачи за минута. Тази формула ще бъде в следващия урок. И този проблем е решен там. След минутка.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Сумата от аритметична прогресия.

Сборът на аритметичната прогресия е просто нещо. И като смисъл, и като формула. Но по тази тема има всякакви задачи. От елементарно до доста солидно.

Първо, нека да разгледаме значението и формулата на сумата. И тогава ще решим. За ваше собствено удоволствие.) Значението на сумата е просто като мъка. За да намерите сумата на една аритметична прогресия, просто трябва внимателно да съберете всички нейни членове. Ако тези термини са малко, можете да добавите без никакви формули. Но ако има много или много ... добавянето е досадно.) В този случай формулата спестява.

Формулата за сумиране е проста:

Нека да разберем какъв вид букви са включени във формулата. Това ще изясни много.

S n е сумата от аритметична прогресия. Резултат от добавянето всичкочленове, с първиНа последно.Важно е. Съберете точно всичкочленове подред, без пропуски и скокове. И точно, започвайки от първи.При проблеми като намирането на сумата от третия и осмия член или сбора от членовете от пет до двадесети, директното прилагане на формулата ще бъде разочароващо.)

а 1 - първиятчлен на прогресията. Тук всичко е ясно, просто е първиномер на ред.

a n- последночлен на прогресията. Последното число на реда. Името не е много познато, но приложено към количеството е много подходящо. Тогава ще се убедите сами.

н е номерът на последния член. Важно е да се разбере, че във формулата това число съвпада с броя на добавените термини.

Нека дефинираме понятието последночлен a n. Въпрос за попълване: какъв член ще последно,ако е дадено безкраенаритметична прогресия?

За уверен отговор трябва да разберете елементарното значение на аритметичната прогресия и ... прочетете внимателно заданието!)

В задачата за намиране на сумата от аритметична прогресия последният член винаги се появява (пряко или косвено), които трябва да бъдат ограничени.Иначе ограничена, конкретна сума просто не съществува.За решението няма значение какъв вид прогресия е дадена: крайна или безкрайна. Няма значение как е дадено: чрез поредица от числа или чрез формулата на n-тия член.

Най-важното е да разберете, че формулата работи от първия член на прогресията до члена с числото н.Всъщност пълното име на формулата изглежда така: сумата от първите n члена на аритметична прогресия.Броят на тези най-първи членове, т.е. н, се определя единствено от задачата. В задачата цялата тази ценна информация често е криптирана, да ... Но нищо, в примерите по-долу ще разкрием тези тайни.)

Примерни задачи за сбор от аритметична прогресия.

Първо полезна информация:

Основната трудност при задачите за сумата от аритметична прогресия е правилното определяне на елементите на формулата.

Авторите на задачите шифроват тези елементи с безгранично въображение.) Основното тук е да не се страхувате. Разбирайки същността на елементите, достатъчно е просто да ги дешифрирате. Нека да разгледаме няколко примера в детайли. Нека започнем със задача, базирана на реален GIA.

1. Аритметичната прогресия се дава от условието: a n = 2n-3,5. Намерете сумата на първите 10 члена.

Добра работа. Лесно.) За да определим количеството по формулата, какво трябва да знаем? Първи член а 1, последен срок a n, да номерът на последния термин н.

Къде да вземем последния членски номер н? Да, на същото място, в състоянието! Пише намерете сумата първите 10 членове.Ами кой номер ще е последно,десети член?) Няма да повярвате, номерът му е десети!) Следователно, вместо a nще заместим във формулата а 10, но вместо това н- десет. Отново, номерът на последния член е същият като броя на членовете.

Остава да се определи а 1и а 10. Това се изчислява лесно по формулата на n-тия член, която е дадена в постановката на задачата. Не знаете как да го направите? Посетете предишния урок, без този - нищо.

а 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

а 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Открихме значението на всички елементи на формулата за сумата от аритметична прогресия. Остава да ги замените и да преброите:

Това е всичко. Отговор: 75.

Друга задача, базирана на GIA. Малко по-сложно:

2. Дадена е аритметична прогресия (a n), чиято разлика е 3,7; a 1 \u003d 2.3. Намерете сумата на първите 15 члена.

Веднага записваме формулата за сумата:

Тази формула ни позволява да намерим стойността на всеки член по неговия номер. Търсим проста замяна:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Остава да заменим всички елементи във формулата за сумата от аритметична прогресия и да изчислим отговора:

Отговор: 423.

Между другото, ако във формулата за сумата вместо a nпросто заместваме формулата на n-тия член, получаваме:

Даваме подобни, получаваме нова формула за сбора на членовете на аритметична прогресия:

Както можете да видите, n-тият член не е необходим тук. a n. В някои задачи тази формула помага много, да ... Можете да запомните тази формула. И можете просто да го изтеглите в точното време, както тук. В крайна сметка формулата за сумата и формулата за n-тия член трябва да се запомнят по всякакъв начин.)

Сега задачата под формата на кратко криптиране):

3. Намерете сбора на всички положителни двуцифрени числа, кратни на три.

Как! Без първи член, без последен, без прогресия изобщо... Как да живея!?

Ще трябва да помислите с главата си и да извадите от условието всички елементи на сумата на аритметичната прогресия. Какво представляват двуцифрените числа - знаем. Те се състоят от две числа.) Какво двуцифрено число ще първи? 10, вероятно.) последно нещодвуцифрено число? 99, разбира се! Трицифрените ще го последват...

Кратни на три... Хм... Това са числа, които се делят равномерно на три, тук! Десет не се дели на три, 11 не се дели... 12... се дели! И така, нещо се очертава. Вече можете да напишете серия според условието на проблема:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Тази поредица ще бъде ли аритметична прогресия? Разбира се! Всеки термин се различава от предишния строго с три. Ако 2 или 4 се добави към термина, да речем, резултатът, т.е. ново число вече няма да се дели на 3. Можете веднага да определите разликата на аритметичната прогресия към купчината: d = 3.Полезен!)

Така че можем спокойно да запишем някои параметри на прогресията:

Какъв ще е номерът нпоследен член? Който си мисли, че 99, греши фатално... Числата – те винаги вървят подред, а нашите членове прескачат тройката. Те не съвпадат.

Тук има две решения. Един от начините е за супер трудолюбивите. Можете да нарисувате прогресията, цялата поредица от числа и да преброите броя на членовете с пръст.) Вторият начин е за замислените. Трябва да запомните формулата за n-тия член. Ако формулата се приложи към нашия проблем, получаваме, че 99 е тридесетият член на прогресията. Тези. n = 30.

Разглеждаме формулата за сумата от аритметична прогресия:

Гледаме и се радваме.) Извадихме всичко необходимо за изчисляване на сумата от условието на проблема:

а 1= 12.

а 30= 99.

S n = S 30.

Остава елементарна аритметика. Заменете числата във формулата и изчислете:

Отговор: 1665

Друг вид популярни пъзели:

4. Дадена е аритметична прогресия:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Намерете сбора на членовете от двадесети до тридесет и четвърти.

Гледаме формулата на сумата и ... сме разстроени.) Формулата, нека ви напомня, изчислява сумата от първиячлен. И в задачата трябва да изчислите сумата от двадесети...Формулата няма да работи.

Можете, разбира се, да рисувате цялата прогресия в ред и да поставите членовете от 20 до 34. Но ... някак си се оказва глупаво и за дълго време, нали?)

Има и по-елегантно решение. Нека разделим нашата серия на две части. Първата част ще от първия мандат до деветнадесетия.Втора част - двадесет до тридесет и четири.Ясно е, че ако изчислим сумата от членовете на първата част S 1-19, нека го добавим към сбора на членовете на втората част S 20-34, получаваме сумата от прогресията от първия член до тридесет и четвъртия S 1-34. Като този:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Това показва, че за намиране на сумата S 20-34може да се направи чрез просто изваждане

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Разглеждат се и двете суми от дясната страна от първиячлен, т.е. стандартната формула за сумиране е напълно приложима за тях. Започваме ли?

Извличаме параметрите на прогресията от условието на задачата:

d = 1,5.

а 1= -21,5.

За да изчислим сумите на първите 19 и първите 34 члена, ще ни трябват 19-ти и 34-ти член. Преброяваме ги по формулата на n-ия член, както в задача 2:

а 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

а 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Нищо не остана. Извадете сбора на 19 члена от сбора на 34 члена:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Отговор: 262,5

Една важна забележка! Има много полезна функция за решаване на този проблем. Вместо директно изчисление от какво се нуждаете (S 20-34),преброихме какво, изглежда, не е необходимо - S 1-19.И тогава те определиха S 20-34, изхвърляйки ненужното от пълния резултат. Такъв „финт с ушите“ често спестява в зли пъзели.)

В този урок разгледахме задачи, за които е достатъчно да разберем значението на сумата от аритметична прогресия. Е, трябва да знаете няколко формули.)

Практически съвети:

Когато решавате каквато и да е задача за сумата от аритметична прогресия, препоръчвам незабавно да напишете двете основни формули от тази тема.

Формула на n-тия член:

Тези формули веднага ще ви кажат какво да търсите, в каква посока да мислите, за да разрешите проблема. Помага.

А сега задачите за самостоятелно решаване.

5. Намерете сбора на всички двуцифрени числа, които не се делят на три.

Страхотно?) Подсказката е скрита в бележката към проблем 4. Е, проблем 3 ще помогне.

6. Аритметичната прогресия се дава от условието: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Намерете сумата на първите 24 члена.

Необичайно?) Това е повтаряща се формула. Можете да прочетете за това в предишния урок. Не пренебрегвайте връзката, такива пъзели често се срещат в GIA.

7. Вася спести пари за празника. До 4550 рубли! И реших да подаря на най-любимия човек (себе си) няколко дни щастие). Живейте красиво, без да си отказвате нищо. Похарчете 500 рубли на първия ден и похарчете с 50 рубли повече на всеки следващ ден, отколкото на предишния! Докато свършат парите. Колко дни на щастие имаше Вася?

Трудно ли е?) Ще помогне допълнителна формула от задача 2.

Отговори (в безпорядък): 7, 3240, 6.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Ако всяко естествено число н съответства на реално число a n , тогава те казват, че дадено числова последователност :

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .

И така, числовата последователност е функция на естествен аргумент.

Номер а 1 Наречен първия член на редицата , номер а 2 — вторият член на редицата , номер а 3 — трети и така нататък. Номер a n Наречен n-ти член на редицата , и естественото число н — номера му .

От два съседни члена a n и a n +1 членни последователности a n +1 Наречен последващи (към a n ), а a n — предишен (към a n +1 ).

За да посочите последователност, трябва да посочите метод, който ви позволява да намерите член на последователност с произволен номер.

Често последователността се дава с n-ти член формули , тоест формула, която ви позволява да определите член на последователност по неговия номер.

Например,

последователността от положителни нечетни числа може да бъде дадена с формулата

a n= 2н- 1,

и последователността на редуване 1 и -1 - формула

bн = (-1)н +1 . ◄

Последователността може да се определи повтаряща се формула, това е формула, която изразява всеки член на последователността, започвайки с някои, през предходните (един или повече) членове.

Например,

ако а 1 = 1 , а a n +1 = a n + 5

а 1 = 1,

а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ако а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , тогава първите седем члена на числовата последователност са зададени както следва:

а 1 = 1,

а 2 = 1,

а 3 = а 1 + а 2 = 1 + 1 = 2,

а 4 = а 2 + а 3 = 1 + 2 = 3,

а 5 = а 3 + а 4 = 2 + 3 = 5,

а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,

а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Последователностите могат да бъдат финал и безкраен .

Последователността се нарича крайна ако има краен брой членове. Последователността се нарича безкраен ако има безкрайно много членове.

Например,

поредица от двуцифрени естествени числа:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

финал.

Поредица от прости числа:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

безкраен. ◄

Последователността се нарича повишаване на , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-голям от предходния.

Последователността се нарича намаляващ , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-малък от предходния.

Например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2н, . . . е възходяща последователност;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /н, . . . е низходяща последователност. ◄

Нарича се последователност, чиито елементи не намаляват с увеличаване на броя или, обратно, не се увеличават монотонна последователност .

Монотонните последователности, по-специално, са нарастващи последователности и намаляващи последователности.

Аритметична прогресия

Аритметична прогресия извиква се редица, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предходния, към който се добавя същото число.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .

е аритметична прогресия, ако за всяко естествено число н условието е изпълнено:

a n +1 = a n + д,

където д - някакво число.

По този начин разликата между следващите и предходните членове на дадена аритметична прогресия е винаги постоянна:

а 2 - а 1 = а 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = д.

Номер д Наречен разликата на аритметична прогресия.

За да зададете аритметична прогресия, достатъчно е да посочите нейния първи член и разлика.

Например,

ако а 1 = 3, д = 4 , тогава първите пет члена на редицата се намират, както следва:

а 1 =3,

а 2 = а 1 + д = 3 + 4 = 7,

а 3 = а 2 + д= 7 + 4 = 11,

а 4 = а 3 + д= 11 + 4 = 15,

а 5 = а 4 + д= 15 + 4 = 19. ◄

За аритметична прогресия с първия член а 1 и разлика д нея н

a n = а 1 + (н- 1)д.

Например,

намерете тридесетия член на аритметичната прогресия

1, 4, 7, 10, . . .

а 1 =1, д = 3,

а 30 = а 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = а 1 + (н- 2)д,

a n= а 1 + (н- 1)д,

a n +1 = а 1 + nd,

тогава очевидно

a n=	a n-1 + a n+1
	2

всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на предходния и следващите членове.

числата a, b и c са последователни членове на някаква аритметична прогресия тогава и само ако едно от тях е равно на средното аритметично на другите две.

Например,

a n = 2н- 7 , е аритметична прогресия.

Нека използваме твърдението по-горе. Ние имаме:

a n = 2н- 7,

n-1 = 2(н- 1) - 7 = 2н- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2н- 5.

Следователно,

a n+1 + a n-1	=	2н- 5 + 2н- 9	= 2н- 7 = a n,
2		2

◄

Забележи, че н -тият член на аритметичната прогресия може да бъде намерен не само чрез а 1 , но и всички предишни a k

a n = a k + (н- к)д.

Например,

за а 5 може да се напише

а 5 = а 1 + 4д,

а 5 = а 2 + 3д,

а 5 = а 3 + 2д,

а 5 = а 4 + д. ◄

a n = един н-к + kd,

a n = a n+k - kd,

тогава очевидно

a n=	а н-к +a n+k
	2

всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на половината от сбора на членовете на тази аритметична прогресия, разположени на еднакво разстояние от нея.

В допълнение, за всяка аритметична прогресия е вярно равенството:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Например,

в аритметична прогресия

1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;

2) 28 = а 10 = а 3 + 7д= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, защото

а 2 + а 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

първи н членове на аритметична прогресия е равно на произведението на половината от сумата на екстремните членове по броя на членовете:

От това по-специално следва, че ако е необходимо да се сумират условията

a k, a k +1 , . . . , a n,

тогава предишната формула запазва своята структура:

Например,

в аритметична прогресия 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ако е дадена аритметична прогресия, тогава количествата а 1 , a n, д, ниС н свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на три от тези величини, тогава съответните стойности на другите две величини се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

Аритметичната прогресия е монотонна последователност. при което:

• ако д > 0 , след това се увеличава;
• ако д < 0 , тогава намалява;
• ако д = 0 , тогава последователността ще бъде неподвижна.

Геометрична прогресия

геометрична прогресия се нарича редица, всеки член от която, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

е геометрична прогресия, ако за всяко естествено число н условието е изпълнено:

b n +1 = b n · р,

където р ≠ 0 - някакво число.

По този начин съотношението на следващия член на тази геометрична прогресия към предишния е постоянно число:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = р.

Номер р Наречен знаменател на геометрична прогресия.

За да зададете геометрична прогресия, достатъчно е да посочите нейния първи член и знаменател.

Например,

ако b 1 = 1, р = -3 , тогава първите пет члена на редицата се намират, както следва:

b 1 = 1,

б 2 = b 1 · р = 1 · (-3) = -3,

б 3 = б 2 · р= -3 · (-3) = 9,

b 4 = б 3 · р= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · р= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 и знаменател р нея н -ти член може да се намери по формулата:

b n = b 1 · q n -1 .

Например,

намерете седмия член на геометрична прогресия 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, р = 2,

b 7 = b 1 · р 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

тогава очевидно

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

всеки член на геометричната прогресия, започвайки от втория, е равен на средното геометрично (пропорционално) на предходния и следващите членове.

Тъй като обратното също е вярно, важи следното твърдение:

числата a, b и c са последователни членове на някаква геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на едно от тях е равен на произведението на другите две, т.е. едно от числата е средно геометрично на другите две.

Например,

нека докажем, че последователността, дадена от формулата b n= -3 2 н , е геометрична прогресия. Нека използваме твърдението по-горе. Ние имаме:

b n= -3 2 н,

b n -1 = -3 2 н -1 ,

b n +1 = -3 2 н +1 .

Следователно,

b n 2 = (-3 2 н) 2 = (-3 2 н -1 ) (-3 2 н +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

което доказва търсеното твърдение. ◄

Забележи, че н членът на геометричната прогресия може да се намери не само чрез b 1 , но и всеки предишен мандат b k , за което е достатъчно да се използва формулата

b n = b k · q n - к.

Например,

за b 5 може да се напише

б 5 = b 1 · р 4 ,

б 5 = б 2 · р 3,

б 5 = б 3 · q2,

б 5 = b 4 · р. ◄

b n = b k · q n - к,

b n = b n - к · q k,

тогава очевидно

b n 2 = b n - к· b n + к

квадратът на всеки член на геометрична прогресия, започвайки от втория, е равен на произведението на членовете на тази прогресия, равноотдалечени от нея.

В допълнение, за всяка геометрична прогресия е вярно равенството:

b m· b n= b k· b l,

м+ н= к+ л.

Например,

експоненциално

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · р 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , защото

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

първи н членове на геометрична прогресия със знаменател р ≠ 0 изчислено по формулата:

И когато р = 1 - по формулата

S n= n.b. 1

Имайте предвид, че ако трябва да сумираме членовете

b k, b k +1 , . . . , b n,

тогава се използва формулата:

S n- ск -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - к +1	.
	1 - р

Например,

експоненциално 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ако е дадена геометрична прогресия, тогава количествата b 1 , b n, р, ни S n свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на всеки три от тези количества, тогава съответните стойности на другите две количества се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

За геометрична прогресия с първия член b 1 и знаменател р се случва следното свойства на монотонност :

• прогресията се увеличава, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 и р> 1;

b 1 < 0 и 0 < р< 1;

• Прогресията намалява, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 и 0 < р< 1;

b 1 < 0 и р> 1.

Ако р< 0 , тогава геометричната прогресия е знакоредуваща: нейните нечетни членове имат същия знак като първия член, а четните имат противоположен знак. Ясно е, че променливата геометрична прогресия не е монотонна.

Продукт на първия н членовете на геометрична прогресия могат да се изчислят по формулата:

P n= b 1 · б 2 · б 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) н / 2 .

Например,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия се нарича безкрайна геометрична прогресия, чийто модул на знаменателя е по-малък от 1 , това е

|р| < 1 .

Имайте предвид, че една безкрайно намаляваща геометрична прогресия може да не е намаляваща последователност. Това отговаря на случая

1 < р< 0 .

С такъв знаменател последователността е знакоредуваща се. Например,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия назовете числото, на което е сумата от първото н условия на прогресията с неограничено увеличение на броя н . Това число винаги е крайно и се изразява с формулата

С= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - р

Например,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Връзка между аритметична и геометрична прогресии

Аритметичната и геометричната прогресия са тясно свързани. Нека разгледаме само два примера.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . д , тогава

б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . b d .

Например,

1, 3, 5, . . . — аритметична прогресия с разлика 2 и

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . е геометрична прогресия със знаменател 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . е геометрична прогресия със знаменател р , тогава

дневник a b 1, дневник a b 2, дневник a b 3, . . . — аритметична прогресия с разлика дневник ар .

Например,

2, 12, 72, . . . е геометрична прогресия със знаменател 6 и

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — аритметична прогресия с разлика lg 6 . ◄