Аритметични действия с цели и рационални числа. Добавяне на нула към ненулево рационално число

Тогава a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c.

Добавянето на нула не променя числото, а сумата от противоположните числа е нула.

Следователно за всяко рационално число имаме: a + 0 = a, a + (- a) = 0.

Умножението на рационални числа също има комутативни и асоциативни свойства. С други думи, ако a, b и c са произволни рационални числа, тогава ab - ba, a(bc) - (ab)c.

Умножението по 1 не променя рационално число, но произведението на число и неговата реципрочна стойност е 1.

Така че за всяко рационално число a имаме:

а) х + 8 - х - 22; в) a-m + 7-8+m;
б) -x-a + 12 + a -12; г) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - p.

1190. След като изберете удобен ред на изчисления, намерете стойността на израза:

1191. Формулирайте с думи комутативното свойство на умножението ab = ba и го проверете за:

1192. Формулирайте с думи асоциативното свойство на умножението a(bc)=(ab)c и го проверете за:

1193. Избирайки удобен ред на изчисления, намерете стойността на израза:

1194. Какво ще бъде числото (положително или отрицателно), ако умножите:

а) едно отрицателно число и две положителни числа;
б) две отрицателни и една положително число;
в) 7 отрицателни и няколко положителни числа;
г) 20 отрицателни и няколко положителни? Направете заключение.

1195. Определете знака на продукта:

а) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
б) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.

а) Витя, Коля, Петя, Серьожа и Максим се събраха във фитнеса (фиг. 91, а). Оказа се, че всяко от момчетата познава само по две други. Кой кого познава? (Ръбът на графиката означава „ние се познаваме.“)

б) В двора се разхождат братя и сестри от едно семейство. Кои от тези деца са момчета и кои са момичета (фиг. 91, б)? (Пунктираните ръбове на графиката означават - "Аз съм сестра", а плътните - "Аз съм брат".)

1205. Изчислете:

1206. Сравнете:

а) 2 3 и 3 2 ; б) (-2) 3 и (-3) 2; в) 1 3 и 1 2 ; г) (-1) 3 и (-1) 2.

1207. Закръглете 5,2853 до хилядни; преди стотни; до десети; до единици.

1208. Решете задачата:

1) Мотоциклетистът настига велосипедиста. Сега между тях 23,4 км. Скоростта на мотоциклетист е 3,6 пъти по-голяма от тази на велосипедист. Намерете скоростите на велосипедиста и мотоциклетиста, ако е известно, че мотоциклетистът ще изпревари велосипедиста след часове.
2) Кола настига автобус. Сега между тях 18 км. Скоростта на автобуса е скоростта на автомобил. Намерете скоростите на автобуса и на автомобила, ако е известно, че автомобилът ще изпревари автобуса след часове.

1209. Намерете стойността на израза:

1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).

Проверете изчисленията си с калкулатор.
1210. След като изберете удобен ред на изчисления, намерете стойността на израза:

1211. Опростете израза:

1212. Намерете стойността на израза:

1213. Направете следното:

1214. Учениците получиха задача да съберат 2,5 тона метален скрап. Те събраха 3,2 тона метален скрап. С колко процента учениците са изпълнили задачата и с колко са преизпълнили задачата?

1215. Автомобилът е изминал 240 км. От тях 180 км тя е изминала по селски път, а останалата част от пътя - по магистрала. Разход на бензин на всеки 10 км селски пътвъзлиза на 1,6 литра, а на магистралата - 25% по-малко. Колко литра бензин са изразходвани средно за всеки 10 км пътуване?

1216. Излизайки от селото, велосипедистът забеляза пешеходец, който вървеше в същата посока по моста, и го настигна след 12 минути. Намерете скоростта на пешеходеца, ако скоростта на велосипедиста е 15 км/ч, а разстоянието от селото до моста е 1 км 800 м?

1217. Направете следното:

а) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
б) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
в) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).

Както знаете, хората се запознаха с рационалните числа постепенно. Отначало при броенето на предмети възникват естествени числа. Отначало те бяха малко. Така доскоро сред местните жители на островите в протока Торес (отделящ Нова Гвинеяот Австралия) бяха в езика имената само на две числа: "урапун" (едно) и "оказа" (две). Островитяните смятали така: „оказа-урапун” (три), „оказа-оказа” (четири) и т.н. Всички числа, започвайки от седем, местните наричали думата, означаваща „много”.

Учените смятат, че думата за сто се е появила преди повече от 7000 години, за хиляда – преди 6000 години, а преди 5000 години в Древен Египети в Древен Вавилонима имена за огромни числа - до милион. Но дълго време естествената редица от числа се смяташе за крайна: хората смятаха, че има най-много голямо число.

Най-великият древногръцки математик и физик Архимед (287-212 г. пр. н. е.) е измислил начин да опише огромни числа. Най-голямото число, което Архимед знаеше как да назове, беше толкова голямо, че цифровият му запис би изисквал лента, две хиляди пъти по-дълга от разстоянието от Земята до Слънцето.

Но те все още не знаеха как да запишат такива огромни числа. Това става възможно едва след като индийските математици през 6 век. е изобретено числото нула и то започва да обозначава липсата на единици в цифрите десетичен записчисла.

При разделянето на плячката и по-късно при измерването на количествата и в други подобни случаи хората се срещали с необходимостта да въведат „разбити числа” – обикновени дроби. Действията върху дроби се смятаха за най-трудната област на математиката през Средновековието. Досега германците казват за човек, който е в трудна ситуация, че е "попаднал на фракции".

За да се улесни работата с дроби, бяха измислени десетични знаци. дроби. В Европа те са въведени през X585 г. от холандския математик и инженер Саймън Стевин.

Отрицателните числа се появиха по-късно от дробите. Дълго време такива числа се смятаха за „несъществуващи“, „фалшиви“ главно поради факта, че приетата интерпретация за положителни и отрицателни числа"собственост - дълг" доведе до недоумение: можете да добавите или извадите "собственост" или "дългове", но как да разберете работата или частната "собственост" и "дълг"?

Но въпреки подобни съмнения и недоумения, правилата за умножение и деление на положителни и отрицателни числа са предложени през 3 век. от гръцкия математик Диофант (във формата: „Изваденото, умножено по добавеното, дава изваденото; изваденото от изваденото дава добавеното“ и т.н.), а по-късно индийският математик Бхаскара (XII век) изразява същото правила в понятията „имущество“, „дълг“ („Продуктът от два имота или два дълга е имущество; произведението от имущество и дълг е дълг.“ Същото правило важи и за делбата).

Установено е, че свойствата на действията върху отрицателни числа са същите като тези върху положителни (например събирането и умножението имат комутативно свойство). И накрая, от началото на миналия век отрицателните числа се изравниха с положителните.

По-късно в математиката се появяват нови числа – ирационални, комплексни и др. Ще научите за тях в гимназията.

Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбург, В. И. Жохов, Математика за 6 клас, Учебник за гимназия

Книги и учебници по календарен план по математика 6 клас изтегли помагай на ученика онлайн

Съдържание на урока резюме на урокаопорна рамка презентация на уроци ускорителни методи интерактивни технологии Практикувайте задачи и упражнения самопроверка работилници, обучения, казуси, куестове въпроси за домашна работа дискусия риторични въпросиот студенти Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки графики, таблици, схеми хумор, анекдоти, вицове, комикси притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии чипове за любознателни измамни листове учебници основни и допълнителни речник на термините други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебника елементи на иновация в урока замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроци календарен планза година насокидискусионни програми Интегрирани уроци

AT този урокразглеждат се събиране и изваждане на рационални числа. Темата е класифицирана като комплексна. Тук е необходимо да се използва целият арсенал от предварително придобити знания.

Правилата за събиране и изваждане на цели числа са валидни и за рационални числа. Спомнете си, че рационалните числа са числа, които могат да бъдат представени като дроб, където а -е числителят на дроб bе знаменателят на дробта. при което, bне трябва да е нула.

В този урок все повече ще говорим за дроби и смесени числа като една обща фраза - рационални числа.

Навигация в урока:

Пример 1Намерете стойността на израз:

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му. Имаме предвид, че плюсът, който е даден в израза, е знакът на операцията и не се отнася за дроби. Тази дроб има свой знак плюс, който е невидим поради факта, че не е записан. Но ще го запишем за яснота:

Това е събирането на рационални числа с различни знаци. За да добавите рационални числа с различни знаци, трябва да извадите по-малък модул от по-голям модул и да поставите знака на рационалното число, чийто модул е ​​по-голям пред отговора. И за да разберете кой модул е ​​по-голям и кой е по-малък, трябва да можете да сравните модулите на тези дроби, преди да ги изчислите:

Модулът на рационално число е по-голям от модула на рационално число. Следователно извадихме от . Имам отговор. След това, намалявайки тази дроб с 2, получаваме крайния отговор.

Някои примитивни действия, като поставяне на числа в скоби и поставяне на модули, могат да бъдат пропуснати. Този пример може да бъде написан по-кратко:

Пример 2Намерете стойността на израз:

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му. Имаме предвид, че минусът между рационалните числа и е знакът на операцията и не важи за дробите. Тази дроб има свой знак плюс, който е невидим поради факта, че не е записан. Но ще го запишем за яснота:

Нека заменим изваждането със събиране. Спомнете си, че за това трябва да добавите към умаленото числото, противоположно на субтрахенда:

Получихме събирането на отрицателни рационални числа. За да добавите отрицателни рационални числа, трябва да съберете техните модули и да поставите минус пред отговора:

Забележка.Не е необходимо всяко рационално число да се поставя в скоби. Това се прави за удобство, за да се види ясно какви знаци имат рационалните числа.

Пример 3Намерете стойността на израз:

В този израз дробите имат различни знаменатели. За да направим нещата по-лесни за себе си, намаляваме тези дроби до общ знаменател. Няма да навлизаме в подробности как да направите това. Ако изпитвате трудности, не забравяйте да повторите урока.

След привеждане на дробите към общ знаменател изразът ще приеме следната форма:

Това е събиране на рационални числа с различни знаци. Изваждаме по-малкия модул от по-големия модул и пред получения отговор поставяме знака на рационалното число, чийто модул е ​​по-голям:

Нека запишем решението на този пример по-кратко:

Пример 4Намерете стойността на израз

Изчисляваме този израз по следния начин: събираме рационалните числа и , след което изваждаме рационалното число от получения резултат.

Първо действие:

Второ действие:

Пример 5. Намерете стойността на израз:

Нека представим цялото число −1 като дроб и преведем смесеното число в неправилна дроб:

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му:

Получихме събиране на рационални числа с различни знаци. Изваждаме по-малкия модул от по-големия модул и пред получения отговор поставяме знака на рационалното число, чийто модул е ​​по-голям:

Имам отговор.

Има и второ решение. Състои се в сглобяване на цели части поотделно.

И така, обратно към оригиналния израз:

Оградете всяко число в скоби. За този смесен номер временно:

Нека изчислим целите части:

(−1) + (+2) = 1

В основния израз, вместо (−1) + (+2), записваме получената единица:

Полученият израз. За да направите това, напишете единицата и дробта заедно:

Нека напишем решението по този начин по-кратко:

Пример 6Намерете стойността на израз

Преобразувайте смесеното число в неправилна дроб. Пренаписваме останалото без промяна:

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му:

Нека заменим изваждането със събиране:

Нека запишем решението на този пример по-кратко:

Пример 7Намерете стойностен израз

Нека представим цялото число −5 като дроб и преведем смесеното число в неправилна дроб:

Нека приведем тези дроби към общ знаменател. След като ги приведем към общ знаменател, те ще приемат следната форма:

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му:

Нека заменим изваждането със събиране:

Получихме събирането на отрицателни рационални числа. Събираме модулите на тези числа и поставяме минус пред получения отговор:

Така стойността на израза е .

Ние ще решим даден примервторият начин. Да се ​​върнем към оригиналния израз:

Нека запишем смесеното число в разгъната форма. Пренаписваме останалото без промени:

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му:

Нека изчислим целите части:

В основния израз, вместо да напишете полученото число −7

Изразът е разширена форма на запис на смесено число. Нека напишем заедно числото −7 и дробта, образувайки крайния отговор:

Нека накратко напишем това решение:

Пример 8Намерете стойността на израз

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му:

Нека заменим изваждането със събиране:

Получихме събирането на отрицателни рационални числа. Събираме модулите на тези числа и поставяме минус пред получения отговор:

По този начин стойността на израза е

Този пример може да се реши по втория начин. Състои се в добавяне на целите и дробните части поотделно. Да се ​​върнем към оригиналния израз:

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му:

Нека заменим изваждането със събиране:

Получихме събирането на отрицателни рационални числа. Събираме модулите на тези числа и поставяме минус пред получения отговор. Но този път добавяме отделно целите части (−1 и −2) и дробните и

Нека накратко напишем това решение:

Пример 9Намерете изразни изрази

Преобразуване на смесени числа в неправилни дроби:

Ограждаме рационалното число в скоби заедно със знака му. Рационалното число не е необходимо да бъде ограждано в скоби, тъй като то вече е в скоби:

Получихме събирането на отрицателни рационални числа. Събираме модулите на тези числа и поставяме минус пред получения отговор:

По този начин стойността на израза е

Сега нека се опитаме да решим същия пример по втория начин, а именно чрез събиране на целите и дробните части поотделно.

Този път, за да получим кратко решение, нека се опитаме да пропуснем някои действия, като писане на смесено число в разширена форма и замяна на изваждане със събиране:

Имайте предвид, че дробните части са сведени до общ знаменател.

Пример 10Намерете стойността на израз

Нека заменим изваждането със събиране:

Полученият израз не съдържа отрицателни числа, които са основната причина за грешки. И тъй като няма отрицателни числа, можем да премахнем плюса пред субтрахенда, както и да премахнем скобите:

Резултатът е прост израз, който е лесен за изчисляване. Нека го изчислим по всеки удобен за нас начин:

Пример 11.Намерете стойността на израз

Това е събиране на рационални числа с различни знаци. Нека извадим по-малкия модул от по-големия модул и поставим знака на рационалното число, чийто модул е ​​по-голям, пред получените отговори:

Пример 12.Намерете стойността на израз

Изразът се състои от няколко рационални числа. Според, на първо място, трябва да извършите действията в скоби.

Първо изчисляваме израза , след това израза Събираме получените резултати.

Първо действие:

Второ действие:

Трето действие:

Отговор:стойност на израза се равнява

Пример 13Намерете стойността на израз

Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби:

Ограждаме рационалното число в скоби заедно със знака му. Рационалното число не е необходимо да бъде ограждано в скоби, тъй като то вече е в скоби:

Нека дадем тези дроби в общ знаменател. След като ги приведем към общ знаменател, те ще приемат следната форма:

Нека заменим изваждането със събиране:

Получихме събиране на рационални числа с различни знаци. Нека извадим по-малкия модул от по-големия модул и поставим знака на рационалното число, чийто модул е ​​по-голям, пред получените отговори:

По този начин стойността на израза се равнява

Помислете за събирането и изваждането на десетични дроби, които също са рационални числа и могат да бъдат както положителни, така и отрицателни.

Пример 14Намерете стойността на израза −3,2 + 4,3

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му. Имаме предвид, че плюсът, който е даден в израза, е знакът на операцията и не се отнася за десетичната дроб 4.3. Този десетичен знак има свой знак плюс, който е невидим поради факта, че не се записва. Но ще го запишем за яснота:

(−3,2) + (+4,3)

Това е събиране на рационални числа с различни знаци. За да добавите рационални числа с различни знаци, трябва да извадите по-малък модул от по-голям модул и да поставите рационалното число, чийто модул е ​​по-голям пред отговора. И за да разберете кой модул е ​​по-голям и кой е по-малък, трябва да можете да сравните модулите на тези десетични дроби, преди да ги изчислите:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Модулът на 4,3 е по-голям от модула на −3,2, така че извадихме 3,2 от 4,3. Получих отговор 1.1. Отговорът е да, тъй като отговорът трябва да бъде предшестван от знака на рационалното число, чийто модул е ​​по-голям. И модулът от 4,3 е по-голям от модула от −3,2

Така стойността на израза −3,2 + (+4,3) е 1,1

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Пример 15Намерете стойността на израза 3,5 + (−8,3)

Това е събиране на рационални числа с различни знаци. Както в предишния пример, изваждаме по-малкия от по-големия модул и поставяме знака на рационалното число, чийто модул е ​​по-голям, пред отговора:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Така стойността на израза 3,5 + (−8,3) е равна на −4,8

Този пример може да бъде написан по-кратко:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Пример 16Намерете стойността на израза −7,2 + (−3,11)

Това е събирането на отрицателни рационални числа. За да добавите отрицателни рационални числа, трябва да съберете техните модули и да поставите минус пред отговора.

Можете да пропуснете записа с модули, за да избегнете претрупването на израза:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Така стойността на израза −7,2 + (−3,11) е равна на −10,31

Този пример може да бъде написан по-кратко:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Пример 17.Намерете стойността на израза −0,48 + (−2,7)

Това е събирането на отрицателни рационални числа. Добавяме техните модули и поставяме минус пред получения отговор. Можете да пропуснете записа с модули, за да избегнете претрупването на израза:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Пример 18.Намерете стойността на израза −4,9 − 5,9

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му. Имаме предвид, че минусът, който се намира между рационалните числа −4,9 и 5,9, е знакът на операцията и не се отнася за числото 5,9. Това рационално число има свой знак плюс, който е невидим поради факта, че не е записан. Но ще го запишем за яснота:

(−4,9) − (+5,9)

Нека заменим изваждането със събиране:

(−4,9) + (−5,9)

Получихме събирането на отрицателни рационални числа. Добавяме техните модули и поставяме минус пред получения отговор:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Така стойността на израза −4,9 − 5,9 е равна на −10,8

−4,9 − 5,9 = −10,8

Пример 19.Намерете стойността на израза 7 − 9.3

Оградете в скоби всяко число заедно със знаците му

(+7) − (+9,3)

Нека заменим изваждането със събиране

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Така стойността на израза 7 − 9,3 е −2,3

Нека запишем решението на този пример по-кратко:

7 − 9,3 = −2,3

Пример 20.Намерете стойността на израза −0,25 − (−1,2)

Нека заменим изваждането със събиране:

−0,25 + (+1,2)

Получихме събиране на рационални числа с различни знаци. Изваждаме по-малкия модул от по-големия и пред отговора поставяме знака на числото, чийто модул е ​​по-голям:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Нека запишем решението на този пример по-кратко:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Пример 21.Намерете стойността на израза -3,5 + (4,1 - 7,1)

Изпълнете действията в скобите, след което добавете получения отговор с числото −3,5

Първо действие:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Второ действие:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Отговор:стойността на израза −3,5 + (4,1 − 7,1) е −6,5.

Пример 22.Намерете стойността на израза (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1)

Нека направим скобите. След това от числото, което е резултат от изпълнението на първите скоби, извадете числото, което е резултат от изпълнението на вторите скоби:

Първо действие:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Второ действие:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Трето действие

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Отговор:стойността на израза (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1) е 6.

Пример 23.Намерете стойността на израз −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Оградете в скоби всяко рационално число заедно със знаците му

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Нека заменим изваждането със събиране, където е възможно:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Изразът се състои от няколко термина. Според асоциативния закон за добавяне, ако изразът се състои от няколко члена, тогава сумата няма да зависи от реда на действията. Това означава, че условията могат да се добавят в произволен ред.

Няма да преоткриваме колелото, а добавяме всички термини отляво надясно в реда, в който се появяват:

Първо действие:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Второ действие:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Трето действие:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Отговор:стойността на израза −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 е равна на 1.

Пример 24.Намерете стойността на израз

Нека преобразуваме десетичната дроб -1,8 в смесено число. Ще пренапишем останалото без промяна:

Операции с десетични знаци.
 Събиране и изваждане на десетични знаци.
1. Изравнете броя на цифрите след десетичната запетая.
2. Събиране или изваждане десетични знацизапетая под запетая по цифри.
 Умножение на десетични знаци.
1. Умножете без да обръщате внимание на запетаите.
2. В произведението на запетая отделете толкова цифри отдясно, колкото има във всички множители
заедно след запетая.
 Десетично деление.
1. В делителя и делителя преместете запетаите надясно с толкова цифри, колкото има след десетичната запетая
в разделителя.
2. Разделете цялата част, поставете запетая в частната част. (Ако цяла част по-малък делител, тогава
частното започва от нула цели числа)
3. Продължете с разделянето.
Действия с положителни и отрицателни числа.
Събиране и изваждане на положителни и отрицателни числа.
a - (- c) \u003d a + c
Всички останали случаи се считат за събиране на числа.
 Добавяне на две отрицателни числа:
1. записваме резултата със знака “-”;
2. добавете модулите.
 Събиране на числа с различни знаци:
1. поставете знака на по-големия модул;
2. извадете по-малкото от по-голямото.
 Умножение и деление на положителни и отрицателни числа.
1. При умножение и деление на числа с различни знаци резултатът се записва със знак
минус.
2. При умножение и деление на числа със същите знацирезултатът се записва със знак
плюс.
Действия с обикновени дроби.
Събиране и изваждане.
1. Приведете дробите към общ знаменател.
2. Добавете или извадете числителите и оставете знаменателя непроменен.
Умножете числителя по числителя и знаменателя по знаменателя (намалете, ако е възможно).
Делителят (втората дроб) се „обръща” и се умножава.
дивизия.
Умножение.
Извличане на цяла част от неправилна дроб.
38
5 \u003d 38: 5 \u003d 7 (ост. 3) \u003d 7
3
5
Преобразуване на смесено число в неправилна дроб.
2
7 + =
4
4 7+2
7
30
7
=

1
.
+
Намаляване на фракцията.
Намалете дроб - разделете числителя и знаменателя на едно и също число.
6
7
6
7. Може и по-кратко:
30:5
35:5 =
30
35 =
Например:
30
35 =
.
1.
Разгънете знаменателите на дробите в прости
фактори.
Привеждане на дроби към общ знаменател.
5 4
7
16 +

36
80 =
71
80
2. Задраскайте същите множители.
3. Останалите множители от знаменателя на първия
умножете дроби и запишете като
допълнителен множител за втората дроб и
от втората фракция към първата фракция.
2∙2∙2∙2 2∙2∙5
4. Умножете числителя и знаменателя на всяка дроб
към неговия допълнителен множител.
9
20 =
35
80 +
Събиране и изваждане смесени числа.
Добавяне или изваждане на цели части отделно, дробни части отделно.
„Специални“ случаи:
„Превърнете“ 1 в дроб, чийто числител и

2
2
5
6
3
5 =
3
5 = 2
1
1
Вземете 1 и го "превърнете" в дроб, чийто числител и
знаменателят е равен на знаменателя на дадената дроб.
Вземете 1 и добавете знаменателя към числителя.
3
5 =
3
5 = 2
5
5 ‒
5
5 ‒
‒
1
‒
3
2
5
1 ‒
3
3
5 = 2
5
5 1 ‒
3
5 = 1
2
5
1
5
1 ‒
3
5 = 2
6
5 1‒
3
3
5 = 1
3
5
Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби и извършвайте умножение или деление.
Умножение и деление на смесени числа.

2
7 + ∙ 2
4
4
5 + =
30
7 ∙
14
5 =
30 14
7 5
6 2
1 1 =
12
1 = 12
=
∙ ∙
6
7

В този урок ще си припомним основните свойства на действията с числа. Не само ще повторим основните свойства, но и ще научим как да ги прилагаме към рационални числа. Ще консолидираме всички получени знания чрез решаване на примери.

Основни свойствадействия с числа:

Първите две свойства са свойства на събиране, следващите две са свойства на умножение. Петото свойство се отнася и за двете операции.

Няма нищо ново в тези имоти. Те бяха валидни както за естествени, така и за цели числа. Те са верни и за рационални числа и ще бъдат верни за числа, които ще изучаваме по-нататък (например ирационални числа).

Пермутационни свойства:

От пренареждането на членове или фактори резултатът не се променя.

Комбинирани свойства:, .

Добавянето или умножаването на множество числа може да се извърши в произволен ред.

Свойство за разпределение:.

Свойството свързва двете операции - събиране и умножение. Освен това, ако го прочетете отляво надясно, тогава се нарича правило за отваряне на скоби, а ако в обратна страна- правилото за изваждане на общия множител извън скоби.

Следващите две свойства описват неутрални елементиза събиране и умножение: добавянето на нула и умножаването по едно не променя оригиналното число.

Още два имота, които описват симетрични елементипри събиране и умножение сборът на противоположните числа е нула; произведението на реципрочните стойности е равно на едно.

Следващ имот: . Ако едно число се умножи по нула, резултатът винаги ще бъде нула.

Последното свойство, което ще разгледаме, е.

Умножавайки числото по , получаваме противоположно число. Този имот има особеност. Всички останали разглеждани свойства не могат да бъдат доказани с помощта на останалите. Същото свойство може да се докаже с помощта на предишните.

Умножение по

Доказваме, че ако умножим число по , получаваме обратното число. Използваме свойството разпределение за това: .

Вярно е за всякакви числа. Заместете вместо числото и :

Отляво в скоби е сумата от взаимно противоположни числа. Сборът им е нула (имаме такова свойство). Остави сега. Отдясно получаваме: .

Сега имаме нула отляво и сумата от две числа отдясно. Но ако сборът на две числа е нула, тогава тези числа са взаимно противоположни. Но числото има само едно противоположно число: . И така - това е: .

Имотът е доказан.

Такова свойство, което може да се докаже с предходните свойства, се нарича теорема

Защо тук няма свойства за изваждане и деление? Например, може да се напише разпределителното свойство за изваждане: .

Но тъй като:

• изваждането на всяко число може да бъде еквивалентно написано като добавяне, замествайки числото с неговата противоположност:

• делението може да се запише като умножение по реципрочната стойност на число:

Това означава, че свойствата на събиране и умножение могат да бъдат приложени към изваждане и деление. В резултат на това списъкът от свойства, които трябва да се запомнят, е по-кратък.

Всички свойства, които разгледахме, не са изключително свойства на рационални числа. Всички тези правила са предмет на други числа, например ирационални. Например сборът и противоположното му число е равно на нула:.

Сега ще преминем към практическата част, ще решим няколко примера.

Рационални числа в живота

Тези свойства на обектите, които можем да опишем количествено, означим с някакво число, се наричат количества: дължина, тегло, температура, количество.

Една и съща стойност може да бъде означена както с цяло число, така и с дробно число, положително или отрицателно.

Например височината ви е m - дробно число. Но можете да кажете, че е равно на cm - това вече е цяло число (фиг. 1).

Ориз. 1. Илюстрация например

Още един пример. Отрицателна температура по скалата на Целзий ще бъде положителна по скалата на Келвин (фиг. 2).

Ориз. 2. Илюстрация например

При изграждането на стена на къща един човек може да измери ширината и височината в метри. Той произвежда дробни стойности. Всички по-нататъшни изчисления той ще извършва с дробни (рационални) числа. Друг човек може да измери всичко в броя на тухлите по ширина и височина. След като получи само цели числа, той ще извърши изчисления с цели числа.

Самите стойности не са нито цели, нито дробни, нито отрицателни, нито положителни. Но числото, с което описваме стойността на дадено количество, вече е доста специфично (например отрицателно и дробно). Зависи от скалата на измерване. И когато преминем от реални стойности към математически модел, тогава работим с определен тип числа

Да започнем с добавянето. Термините могат да се пренареждат както желаем и действията могат да се извършват в произволен ред. Ако условията на различни знаци завършват с една цифра, тогава е удобно първо да извършвате действия с тях. За да направим това, разменяме условията. Например:

Обикновени дроби с същите знаменателилесен за сгъване.

Сборът на противоположните числа дава нула. Числата с еднакви десетични "опашки" се изваждат лесно. Използвайки тези свойства, както и комутативния закон за добавяне, е възможно да се улесни изчисляването на стойност, например следния израз:

Числата с допълващи се десетични опашки се събират лесно. Удобно е да се работи отделно с цели и дробни части от смесени числа. Ние използваме тези свойства, когато оценяваме стойността на следния израз:

Да преминем към умножението. Има двойки числа, които лесно се умножават. Използвайки комутативното свойство, можете да пренаредите факторите така, че да са един до друг. Броят на минусите в продукта може да се изчисли веднага и да се направи заключение за знака на резултата.

Помислете за този пример:

Ако един от множителите е равен на нула, то произведението е равно на нула, например: .

Произведението на реципрочните числа е равно на едно и умножението по едно не променя стойността на продукта. Помислете за този пример:

Помислете за пример, използващ свойството разпределение. Ако отворите скобите, тогава всяко умножение се извършва лесно.