По-сложни примери за уравнения. Научно доказано: Как да решаваме сложни проблеми, докато сме в полусън

52. По-сложни примери за уравнения.
Пример 1 .

5 / (x - 1) - 3 / (x + 1) \u003d 15 / (x 2 - 1)

Общият знаменател е x 2 - 1, тъй като x 2 - 1 \u003d (x + 1) (x - 1). Умножете двете страни на това уравнение по x 2 - 1. Получаваме:

или след намаляване,

5(x + 1) - 3(x - 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x=7 и x=3½

Помислете за друго уравнение:

5 / (x-1) - 3 / (x + 1) \u003d 4 (x 2 - 1)

Решавайки както по-горе, получаваме:

5(x + 1) - 3(x - 1) = 4
5x + 5 - 3x - 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.

Нека видим дали нашите равенства са оправдани, ако заместим x във всяко от разглежданите уравнения с намереното число.

За първия пример получаваме:

Виждаме, че тук няма място за никакви съмнения: намерихме такова число за x, че изискваното равенство е оправдано.

За втория пример получаваме:

5/(1-1) - 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 - 3/2 = 15/0

Тук възникват съмнения: тук се срещаме с деление на нула, което е невъзможно. Ако в бъдеще успеем да придадем определен, макар и косвен, смисъл на това разделение, тогава можем да се съгласим, че намереното решение x - 1 удовлетворява нашето уравнение. Дотогава трябва да признаем, че нашето уравнение изобщо няма решение, което да има пряк смисъл.

Такива случаи могат да възникнат, когато неизвестното по някакъв начин е включено в знаменателите на дробите в уравнението и някои от тези знаменатели, когато се намери решението, изчезват.

Пример 2 .

Веднага можете да видите, че това уравнение има формата на пропорция: отношението на числото x + 3 към числото x - 1 е равно на отношението на числото 2x + 3 към числото 2x - 2. Нека някой, в предвид това обстоятелство, решите да приложите тук, за да освободите уравнението от дроби, които са основното свойство на пропорцията (произведението на екстремните членове е равно на произведението на средните). Тогава той ще получи:

(x + 3) (2x - 2) = (2x + 3) (x - 1)

2x 2 + 6x - 2x - 6 = 2x 2 + 3x - 2x - 3.

Тук може да предизвика опасения, че няма да се справим с това уравнение, фактът, че уравнението включва членове с x 2 . Въпреки това можем да извадим 2x 2 от двете страни на уравнението - това няма да наруши уравнението; тогава членовете с x 2 ще бъдат унищожени и получаваме:

6x - 2x - 6 = 3x - 2x - 3

Нека преместим неизвестните членове наляво, известните надясно - получаваме:

3x=3 или x=1

Спомняйки си това уравнение

(x + 3)/(x - 1) = (2x + 3)/(2x - 2)

веднага ще забележим, че намерената стойност за x (x = 1) прави нула знаменателите на всяка дроб; трябва да изоставим такова решение, докато не разгледаме въпроса за делението на нула.

Ако отбележим също, че прилагането на свойството на пропорцията усложнява нещата и че може да се получи по-просто уравнение чрез умножаване на двете части на даденото по общ знаменател, а именно по 2(x - 1) - в крайна сметка 2x - 2 = 2 (x - 1), тогава получаваме:

2(x + 3) = 2x - 3 или 2x + 6 = 2x - 3 или 6 = -3,

което е невъзможно.

Това обстоятелство показва, че това уравнение няма решения, които имат пряк смисъл, което не би превърнало знаменателите на това уравнение в нула.
Нека решим уравнението сега:

(3x + 5)/(x - 1) = (2x + 18)/(2x - 2)

Умножаваме двете части на уравнението 2(x - 1), т.е. по общ знаменател, получаваме:

6x + 10 = 2x + 18

Намереното решение не анулира знаменателя и има пряко значение:

или 11 = 11

Ако някой, вместо да умножи двете части по 2(x - 1), използва свойството пропорция, той ще получи:

(3x + 5)(2x - 2) = (2x + 18)(x - 1) или
6x 2 + 4x - 10 = 2x 2 + 16x - 18.

Тук вече членовете с x 2 няма да бъдат анихилирани. Като прехвърлим всички неизвестни членове в лявата страна и известните в дясната, ще получим

4x 2 - 12x = -8

x 2 - 3x = -2

Не можем да решим това уравнение сега. В бъдеще ще се научим как да решаваме такива уравнения и ще намерим две решения за тях: 1) можем да вземем x = 2 и 2) можем да вземем x = 1. Лесно е да проверим и двете решения:

1) 2 2 - 3 2 = -2 и 2) 1 2 - 3 1 = -2

Ако си спомним първоначалното уравнение

(3x + 5) / (x - 1) = (2x + 18) / (2x - 2),

ще видим, че сега получаваме и двете му решения: 1) x = 2 е решението, което има пряко значение и не превръща знаменателя в нула, 2) x = 1 е решението, което превръща знаменателя в нула и прави нямат пряко значение.

Пример 3 .

Нека намерим общия знаменател на дробите, включени в това уравнение, за което разлагаме всеки от знаменателите на множители:

1) x 2 - 5x + 6 \u003d x 2 - 3x - 2x + 6 \u003d x (x - 3) - 2 (x - 3) \u003d (x - 3) (x - 2),

2) x 2 - x - 2 \u003d x 2 - 2x + x - 2 \u003d x (x - 2) + (x - 2) \u003d (x - 2) (x + 1),

3) x 2 - 2x - 3 \u003d x 2 - 3x + x - 3 \u003d x (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x + 1).

Общият знаменател е (x - 3)(x - 2)(x + 1).

Умножете двете страни на това уравнение (и сега можем да го пренапишем като:

към общ знаменател (x - 3) (x - 2) (x + 1). Тогава, след намаляване на всяка фракция, получаваме:

3(x + 1) - 2(x - 3) = 2(x - 2) или
3x + 3 - 2x + 6 = 2x - 4.

От тук получаваме:

–x = –13 и x = 13.

Това решение има пряко значение: то не поставя нито един от знаменателите на нула.

Ако вземем уравнението:

тогава, процедирайки точно по същия начин, както по-горе, ще получим

3(x + 1) - 2(x - 3) = x - 2

3x + 3 - 2x + 6 = x - 2

3x - 2x - x = -3 - 6 - 2,

къде ще вземеш

което е невъзможно. Това обстоятелство показва, че е невъзможно да се намери решение за последното уравнение, което има пряк смисъл.

Как да се научим да решаваме прости и сложни уравнения

Скъпи родители!

Без основно математическо обучение е невъзможно да се създаде образованието на съвременния човек. В училище математиката служи като помощен предмет за много свързани дисциплини. В следучилищния живот непрекъснатото образование се превръща в реална необходимост, което изисква основно обучение в училище, включително математика.

В началното училище се полагат не само знания по основни теми, но се развиват логическо мислене, въображение и пространствени представи и се формира интерес към този предмет.

Спазвайки принципа на непрекъснатост, ще се съсредоточим върху най-важната тема, а именно „Връзката на компонентите на действие при решаване на съставни уравнения“.

С помощта на този урок можете лесно да научите как да решавате сложни уравнения. В урока ще се запознаете подробно с инструкции стъпка по стъпка за решаване на сложни уравнения.

Много родители са объркани от въпроса - как да накараме децата да се научат да решават прости и сложни уравнения. Ако уравненията са прости - това все още е половината от проблемите, но има и сложни - например интегрални. Между другото, за информация има и такива уравнения, за решението на които се борят най-добрите умове на нашата планета и за чието решение се издават много значителни парични награди. Например, ако си спомнятеПерелмани непотърсен паричен бонус от няколко милиона.

Нека обаче се върнем в началото на простите математически уравнения и повторим видовете уравнения и имената на компонентите. Малко загряване:

_________________________________________________________________________

ЗАГРЯВКА

Намерете допълнителното число във всяка колона:

2) Коя дума липсва във всяка колона?

3) Свържете думите от първата колона с думите от втората колона.

"Уравнение" "Равенство"

4) Как обяснявате какво е „равенство“?

5) А "уравнението"? Равенство ли е? Какво му е специалното?

срочна сума

намалена разлика

субтрахенден продукт

факторравенство

дивидент

уравнението

Заключение: Уравнението е равенство с променлива, чиято стойност трябва да се намери.

_______________________________________________________________________

Предлагам всяка група да напише уравнението на лист хартия с флумастер: (на дъската)

група 1 - с неизвестен термин; група 2 - с неизвестно намаление; група 3 - с неизвестен субтрахенд; група 4 - с неизвестен делител; група 5 - с неизвестно делимо; 6-та група - с неизвестен множител.

1 група x + 8 = 15 2 група x - 8 = 7 3 група 48 - x = 36 4-та група 540: x = 9 5 група x: 15 = 9 6 група x * 10 = 360

Един от групата трябва да прочете тяхното уравнение на математически език и да коментира тяхното решение, т.е. да произнесе операцията, която се извършва с известни компоненти на действие (алгоритъм).

Заключение: Ние можем да решаваме прости уравнения от всякакъв вид според алгоритъма, да четем и записваме буквални изрази.

Предлагам да реша задача, в която се появява нов тип уравнения.

Заключение: Запознахме се с решението на уравнения, една от частите на които съдържа числен израз, чиято стойност трябва да се намери и да се получи просто уравнение.

________________________________________________________________________

Помислете за друга версия на уравнението, чието решение се свежда до решаване на верига от прости уравнения. Ето едно от въвеждането на съставни уравнения.

a + b * c (x - y): 3 2 * d + (m - n) Записни уравнения ли са? Защо? Как се наричат ​​тези действия? Прочетете ги, като посочите последното действие:

Не. Това не са уравнения, защото уравнението трябва да съдържа знака „=“. Изрази a + b * c - сумата от числото a и произведението на числата b и c; (x - y): 3 - частно на разликата между числата x и y; 2 * d + (m - n) - сумата от удвоеното число d и разликата между числата m и n.

Предлагам на всеки да напише изречение на математически език:

Произведението от разликата между числата x и 4 и числото 3 е 15.

ИЗВОД: Възникналата проблемна ситуация мотивира поставянето на целта на урока: да се научим да решаваме уравнения, в които неизвестният компонент е израз. Такива уравнения са съставни уравнения.

__________________________________________________________________________

Или може би вече изучените видове уравнения ще ни помогнат? (алгоритми)

Кое от известните уравнения е подобно на нашето? X * a = в

МНОГО ВАЖЕН ВЪПРОС: Какъв е изразът от лявата страна - сбор, разлика, произведение или частно?

(x - 4) * 3 = 15 (продукт)

Защо? (тъй като последното действие е умножение)

Заключение:Такива уравнения все още не са разглеждани. Но можем да решим дали изразътх - 4насложете карта (y - y) и получавате уравнение, което може лесно да бъде решено с помощта на прост алгоритъм за намиране на неизвестен компонент.

При решаване на съставни уравнения е необходимо на всяка стъпка да се избира действие на автоматизирано ниво, коментиране, назоваване на компонентите на действието.

Опростете частта

Не ↓ да

(y - 5) * 4 = 28
y - 5 = 28: 4
y - 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (и)

Заключение:В класове с различна подготовка тази работа може да се организира по различни начини. В по-подготвени класове, дори за първично затвърдяване, могат да се използват изрази, в които не две, а три или повече действия, но тяхното решаване изисква повече стъпки, като всяка стъпка опростява уравнението, докато се получи просто уравнение. И всеки път можете да наблюдавате как се променя неизвестният компонент на действията.

_____________________________________________________________________________

ЗАКЛЮЧЕНИЕ:

Когато става въпрос за нещо много просто, разбираемо, често казваме: „Работата е ясна, като две по две – четири!“.

Но преди да се замислите за факта, че две по две е четири, хората трябваше да учат много, много хиляди години.

Много правила от училищните учебници по аритметика и геометрия са били известни на древните гърци преди повече от две хиляди години.

Навсякъде, където трябва да преброите, измерите, сравните нещо, не можете без математика.

Трудно е да си представим как биха живели хората, ако не знаеха как да броят, измерват, сравняват. Математиката учи това.

Днес вие се потопихте в училищния живот, бяхте в ролята на ученици и ви предлагам, скъпи родители, да оцените уменията си по скала.

Моите умения	Дата и оценка
Компоненти за действие.
Съставяне на уравнение с неизвестен компонент.
Изрази за четене и писане.
Намерете корена на уравнение в просто уравнение.
Намерете корена на уравнение, една от частите на което съдържа числов израз.
Намерете корена на уравнение, в което неизвестният компонент на действието е израз.

Има моменти в живота, когато пред вас се появява привидно безнадеждна ситуация - или проблем, чието решение обещава да не е във ваша полза. Не бързайте да се отказвате от реализирането на мечтите си, да постигнете целта си или да се паникьосвате. Един мъдър човек от древността е казал: "Изберете време за размисъл - това е източникът на сила." Е, трудно е да не се съглася с него, защото умът е мощно оръжие. Дори и най-сложният проблем има десетки решения и е скрит от погледа, защото хората са свикнали да мислят в определени рамки. За да разрешите сложен проблем, е необходимо да координирате работата на съзнанието и подсъзнанието - това ще разшири вашия "хоризонт" и ще ви позволи да видите нови възможности.

Техника "100 идеи"

За да усвоите техниката 100 идеи, ще ви трябват само 1-2 часа свободно време, удобен личен кът, където никой няма да ви безпокои, както и хартия и молив. Помолете роднини и приятели предварително да не ви въвличат по време на „медитацията“, изключете телефона и просто се отпуснете. В горната част на лист формулирайте и запишете вашия въпрос или дилема. Номерирайте списъка от едно до 100 и започнете да генерирате идеи.

Отначало идеите идват една след друга, но, уви, те не са нови - ще опишете всичките си "козове", включително умения, познанства, връзки, финансови ресурси, време, което можете да отделите за решаване на проблема. Тогава все още ще изглежда невероятно да намерите сто отговора и ако се спрете на 20-30 точки, ще се почувствате празни. Очаква ви малка засечка, естествено образувана, когато съзнанието, вървейки в омагьосан кръг, е изчерпало възможностите, с които разполага и е преминало през всичко, което вече е срещало в личния си опит.

Втората фаза от вашето пътуване до вашето подсъзнание е още 40 точки, където все още използвате съзнанието си, но вашите скрити сили започват да се събуждат и вашият втори вятър се отваря. На този етап се появява образът на вашето мислене. Ще забележите, че идеите ви започват да се повтарят, а в тях има всякакви клишета и нагласи. Вашата цел не е да ги отхвърлите, а внимателно да ги запишете на хартия и ето защо: именно тези печати са рамките, от които не можете да излезете и да се огледате. Това може да бъде обществено мнение, недоволство от властите, липса на самочувствие и всякакви други "неравности" в психиката ви. В същото време може да откриете своите скрити проблеми или страхове, които ви пречат да продължите напред. Този етап ще изисква най-голяма издръжливост от вас - в края на краищата не е никак лесно да отхвърлите първите тридесет точки, които очевидно са в зоната ви на комфорт, и да поемете нови, непознати и следователно понякога плашещи идеи - това е нормално, основното е да не се отказвате. В допълнение, тази вътрешна борба само помага да се премине към третата фаза на пътуването.

Именно последните 30 точки ще отворят кутията на Пандора пред вас, защото числото 100 не е избрано случайно. Именно тя позволява на интуицията ви да се отвори напълно и да изненадате себе си с неочаквани „прозрения отгоре“ - импровизирано пробуждащо се подсъзнание, откъдето идеите се появяват без никаква обработка и филтриране от ума. В търсенето си вече сте изоставили логиката, забелязвайки колко квадратна е тя в действителност, и разбирате, че начинът ви на мислене е само в една равнина - и светът, оказва се, е триизмерен (без да се брои времето). Сега, когато умът спре да ви диктува какво е „възможно“ и какво „не“, вратата към подсъзнанието се отваря. Лесно можете да измислите нещо необичайно и на пръв поглед напълно абсурдно. Може дори да ви се струва, че не трябва да записвате идея, която очевидно е неподходяща за вас, не е ясно какви образи са се появили в главата ви. Но точно странни, понякога глупави фрази могат да се окажат нерафинирани диаманти. Спомнете си как хората смятаха Земята за плоска и се страхуваха да не паднат от ръба й и как идеята, че планетата е кръгла и се върти, някога беше наречена ерес. Налудничавите идеи може да не са ви ясни в началото, но ще усетите, че има нещо в тях – това ще ви послужи като капка, която ще ви подскаже правилната посока.

Може също така да се случи, след като сте изложили толкова много идеи, изведнъж да осъзнаете, че това изобщо не е проблем - или сте видели само върха на айсберга, така че трябва да направите нов списък, за да отговорите на съвсем различен въпрос.

Има още няколко правила, които трябва да се спазват при работа с тази техника. На първо място, списъкът трябва да бъде съставен наведнъж, без прекъсвания - в противен случай вашите дремещи гениални идеи ще останат дремещи под тежестта на ежедневното мислене. Докато работите, не препрочитайте списъка и преценявайте колко вече е направено и колко точки остават - това ще ви разсее и ще попречи на мислите ви да се повтарят естествено - и следователно няма да ви позволи да видите собствените си спънки. Включете се веднага: ще оцените и критикувате идеите си, след като изготвите всичките стотици точки - и докато процесът е в ход, трябва да запишете всякакви мисли (в края на краищата не сте длъжни да показвате този документ на никого, ако не искаш да). Ако работата е в разгара си, съкратете думите, най-важното е, че след това можете да прочетете какво имате предвид. Можете, разбира се, да използвате лаптоп вместо молив и хартия, но помнете: източникът на електромагнитни вълни, поне на теория, пречи на вашия мозък, аура и, ако искате, чакри да се свържат с универсалния ум - и като цяло е страхотно да функционира. Но това е по лична преценка.

„Вкусните“ бонуси на техниката „100 идеи“ са не само във възможността за дълбока интроспекция и намиране на оригинални решения на техните трудни ситуации, но и във факта, че с нея можете да се развивате разнообразно и да планирате бъдещето си, да намерите нови стимули. за саморазвитие и израстване над себе си. За да направите това, в свободното си време помислете върху отговорите на следните (и всяка ваша собствена) теми:

• Как да се образовате
• Как да подобрим взаимоотношенията
• Как да подобрите живота си
• Как да печелите пари
• Как да подобрим бизнеса
• Как да помогнем на хората
• Как да увеличим личната ефективност
• Как да станем по-здрави
• Неща, които все отлагам за утре
• Нещата, които правя най-добре
• Неща, които ме демотивират
• Качества, които искам да развия в себе си
• Въпроси, на които трябва да намеря отговор
• Ценности, в които вярвам
• Нещата, които ценя в живота
• Професии, в които искам да се пробвам
• Неща (хора), които ме забавят в постигането на целта ми
• Неща, които ме ободряват
• Изводи, на които животът ме е научил
• Неща, от които да се отървете
• Места, които бих искал да посетя
• Грешки, за които прощавам на себе си (на другите)
• Начини да мислим по-креативно

В това видео ще анализираме цял набор от линейни уравнения, които се решават с помощта на един и същ алгоритъм - затова се наричат ​​най-простите.

Като начало, нека дефинираме: какво е линейно уравнение и кое от тях трябва да се нарече най-простото?

Линейно уравнение е това, в което има само една променлива и то само на първа степен.

Най-простото уравнение означава конструкцията:

Всички останали линейни уравнения се свеждат до най-простите с помощта на алгоритъма:

1. Отворени скоби, ако има такива;
2. Преместете термини, съдържащи променлива от едната страна на знака за равенство, и термини без променлива от другата;
3. Преместете подобни термини отляво и отдясно на знака за равенство;
4. Разделете полученото уравнение на коефициента на променливата $x$.

Разбира се, този алгоритъм не винаги помага. Факт е, че понякога след всички тези машинации коефициентът на променливата $x$ се оказва равен на нула. В този случай са възможни два варианта:

1. Уравнението изобщо няма решения. Например, когато получите нещо като $0\cdot x=8$, т.е. отляво е нула, а отдясно е различно от нула число. Във видеото по-долу ще разгледаме няколко причини, поради които тази ситуация е възможна.
2. Решението е всички числа. Единственият случай, когато това е възможно, е когато уравнението е сведено до конструкцията $0\cdot x=0$. Съвсем логично е, че каквито и $x$ да заместим, пак ще се получи „нула е равна на нула“, т.е. правилно числово равенство.

А сега нека да видим как всичко работи на примера на реални проблеми.

Примери за решаване на уравнения

Днес се занимаваме с линейни уравнения и то само с най-простите. Най-общо линейно уравнение означава всяко равенство, което съдържа точно една променлива и то само на първа степен.

Такива конструкции се решават приблизително по същия начин:

1. На първо място, трябва да отворите скобите, ако има такива (както в последния ни пример);
2. След това донесете подобни
3. Накрая изолирайте променливата, т.е. всичко, което е свързано с променливата - термините, в които се съдържа - се прехвърля от едната страна, а всичко, което остава без нея, се прехвърля от другата страна.

След това, като правило, трябва да донесете подобни от всяка страна на полученото равенство и след това остава само да се раздели на коефициента при "x" и ще получим окончателния отговор.

На теория това изглежда хубаво и просто, но на практика дори опитни гимназисти могат да направят обидни грешки в доста прости линейни уравнения. Обикновено се допускат грешки или при отваряне на скоби, или при броене на "плюсове" и "минуси".

Освен това се случва линейното уравнение изобщо да няма решения или така че решението да е цялата числова линия, т.е. произволен брой. Ще анализираме тези тънкости в днешния урок. Но ще започнем, както вече разбрахте, с най-простите задачи.

Схема за решаване на прости линейни уравнения

Като начало нека отново напиша цялата схема за решаване на най-простите линейни уравнения:

1. Разгънете скобите, ако има такива.
2. Отделете променливите, т.е. всичко, което съдържа "х" се прехвърля на едната страна, а без "х" - на другата.
3. Представяме подобни условия.
4. Разделяме всичко на коефициента при "х".

Разбира се, тази схема не винаги работи, има някои тънкости и трикове и сега ще се запознаем с тях.

Решаване на реални примери на прости линейни уравнения

Задача №1

В първата стъпка се изисква да отворим скобите. Но те не са в този пример, така че пропускаме тази стъпка. Във втората стъпка трябва да изолираме променливите. Моля, обърнете внимание: говорим само за индивидуални условия. нека напишем:

Даваме подобни термини отляво и отдясно, но това вече е направено тук. Затова преминаваме към четвъртата стъпка: разделяне на коефициент:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Тук получихме отговора.

Задача №2

В тази задача можем да наблюдаваме скобите, така че нека ги разширим:

И отляво, и отдясно виждаме приблизително една и съща конструкция, но нека действаме според алгоритъма, т.е. секвестр променливи:

Ето някои като:

В какви корени работи това? Отговор: за всякакви. Следователно можем да напишем, че $x$ е произволно число.

Задача №3

Третото линейно уравнение вече е по-интересно:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тук има няколко скоби, но те не се умножават по нищо, а просто имат различни знаци пред тях. Нека ги разделим:

Извършваме втората стъпка, която вече ни е известна:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Нека изчислим:

Извършваме последната стъпка - разделяме всичко на коефициента при "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Неща, които трябва да запомните, когато решавате линейни уравнения

Ако пренебрегнем твърде простите задачи, бих искал да кажа следното:

• Както казах по-горе, не всяко линейно уравнение има решение - понякога просто няма корени;
• Дори да има корени, между тях може да влезе нула - в това няма нищо лошо.

Нулата е същото число като останалите, не трябва по някакъв начин да го дискриминирате или да предполагате, че ако получите нула, значи сте направили нещо нередно.

Друга особеност е свързана с разширяването на скобите. Моля, обърнете внимание: когато има „минус“ пред тях, ние го премахваме, но в скоби променяме знаците на противоположност. И тогава можем да го отворим според стандартните алгоритми: ще получим това, което видяхме в изчисленията по-горе.

Разбирането на този прост факт ще ви помогне да избегнете глупави и болезнени грешки в гимназията, когато извършването на подобни действия се приема за даденост.

Решаване на сложни линейни уравнения

Нека да преминем към по-сложни уравнения. Сега конструкциите ще станат по-сложни и ще се появи квадратична функция при извършване на различни трансформации. Но не трябва да се страхувате от това, защото ако, според намерението на автора, решим линейно уравнение, тогава в процеса на трансформация всички мономи, съдържащи квадратична функция, задължително ще бъдат намалени.

Пример #1

Очевидно първата стъпка е отварянето на скобите. Нека направим това много внимателно:

Сега да вземем поверителността:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Ето някои като:

Очевидно това уравнение няма решения, така че в отговора пишем следното:

\[\сорт \]

или без корени.

Пример #2

Изпълняваме същите стъпки. Първа стъпка:

Нека преместим всичко с променлива наляво, а без нея - надясно:

Ето някои като:

Очевидно това линейно уравнение няма решение, така че го записваме така:

\[\varnothing\],

или без корени.

Нюанси на решението

И двете уравнения са напълно решени. На примера на тези два израза отново се уверихме, че дори в най-простите линейни уравнения всичко може да не е толкова просто: може да има или едно, или нито едно, или безкрайно много. В нашия случай разгледахме две уравнения, и в двете просто няма корени.

Но бих искал да обърна внимание на друг факт: как да работите със скоби и как да ги разгънете, ако пред тях има знак минус. Помислете за този израз:

Преди да отворите, трябва да умножите всичко по "x". Моля, обърнете внимание: умножете всеки отделен термин. Вътре има два термина - съответно два термина и се умножава.

И едва след като тези на пръв поглед елементарни, но много важни и опасни трансформации са завършени, може да се отвори скобата от гледна точка на това, че след нея има знак минус. Да, да: едва сега, когато трансформациите са направени, ние си спомняме, че има знак минус пред скобите, което означава, че всичко отдолу просто променя знаците. В същото време самите скоби изчезват и, най-важното, предният „минус“ също изчезва.

Правим същото с второто уравнение:

Неслучайно обръщам внимание на тези дребни, на пръв поглед незначителни факти. Защото решаването на уравнения винаги е последователност от елементарни трансформации, където невъзможността за ясно и компетентно извършване на прости действия води до факта, че учениците от гимназията идват при мен и се учат да решават такива прости уравнения отново.

Разбира се, ще дойде ден, когато ще усъвършенствате тези умения до автоматизм. Вече не е нужно да извършвате толкова много трансформации всеки път, ще пишете всичко на един ред. Но докато просто учите, трябва да напишете всяко действие отделно.

Решаване на още по-сложни линейни уравнения

Това, което ще решим сега, трудно може да се нарече най-простата задача, но смисълът остава същият.

Задача №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Нека умножим всички елементи от първата част:

Да направим отстъпление:

Ето някои като:

Нека направим последната стъпка:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ето нашия окончателен отговор. И въпреки факта, че в процеса на решаване имахме коефициенти с квадратична функция, обаче, те взаимно се компенсират, което прави уравнението точно линейно, а не квадратно.

Задача №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Нека направим първата стъпка внимателно: умножете всеки елемент в първата скоба по всеки елемент във втората. Общо четири нови члена трябва да бъдат получени след трансформации:

А сега внимателно изпълнете умножението във всеки член:

Нека преместим членовете с "x" наляво, а без - надясно:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ето подобни термини:

Получихме категоричен отговор.

Нюанси на решението

Най-важната забележка за тези две уравнения е следната: веднага щом започнем да умножаваме скоби, в които има повече от член, тогава това се прави по следното правило: вземаме първия член от първия и умножаваме с всеки елемент от втория; след това вземаме втория елемент от първия и по подобен начин умножаваме с всеки елемент от втория. В резултат на това получаваме четири термина.

На алгебричната сума

С последния пример бих искал да напомня на учениците какво е алгебрична сума. В класическата математика под $1-7$ имаме предвид проста конструкция: изваждаме седем от едно. В алгебрата под това разбираме следното: към числото „едно“ добавяме друго число, а именно „минус седем“. Тази алгебрична сума се различава от обичайната аритметична сума.

Веднага щом при извършване на всички трансформации, всяко добавяне и умножение започнете да виждате конструкции, подобни на описаните по-горе, просто няма да имате проблеми в алгебрата, когато работите с полиноми и уравнения.

В заключение, нека да разгледаме още няколко примера, които ще бъдат още по-сложни от тези, които току-що разгледахме, и за да ги решим, ще трябва леко да разширим нашия стандартен алгоритъм.

Решаване на уравнения с дроб

За решаването на такива задачи ще трябва да добавим още една стъпка към нашия алгоритъм. Но първо ще напомня нашия алгоритъм:

1. отворени скоби.
2. Отделни променливи.
3. Донесете подобни.
4. Разделете на коефициент.

Уви, този прекрасен алгоритъм, въпреки цялата му ефективност, не е напълно подходящ, когато имаме дроби пред нас. И в това, което ще видим по-долу, имаме дроб отляво и отдясно и в двете уравнения.

Как да работим в този случай? Да, много е просто! За да направите това, трябва да добавите още една стъпка към алгоритъма, която може да се извърши както преди първото действие, така и след него, а именно да се отървете от дроби. Така алгоритъмът ще бъде както следва:

1. Отървете се от дробите.
2. отворени скоби.
3. Отделни променливи.
4. Донесете подобни.
5. Разделете на коефициент.

Какво означава „да се отървем от дробите“? И защо е възможно това да се прави както след, така и преди първата стандартна стъпка? Всъщност в нашия случай всички дроби са числови по отношение на знаменателя, т.е. навсякъде знаменателят е просто число. Следователно, ако умножим и двете части на уравнението по това число, тогава ще се отървем от дроби.

Пример #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Нека се отървем от дробите в това уравнение:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot четири\]

Моля, обърнете внимание: всичко се умножава по „четири“ веднъж, т.е. това, че имате две скоби, не означава, че трябва да умножите всяка от тях по "четири". нека напишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Сега нека го отворим:

Извършваме изолиране на променлива:

Ние извършваме намаляване на подобни условия:

\[-4x=-1\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Получихме окончателното решение, преминаваме към второто уравнение.

Пример #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тук извършваме всички същите действия:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Проблема решен.

Това всъщност е всичко, което исках да кажа днес.

Ключови точки

Основните констатации са следните:

• Познаване на алгоритъма за решаване на линейни уравнения.
• Възможност за отваряне на скоби.
• Не се притеснявайте, ако някъде имате квадратични функции, най-вероятно в процеса на по-нататъшни трансформации те ще бъдат намалени.
• Корените в линейните уравнения, дори и най-простите, са три вида: един единствен корен, цялата числова линия е корен, корени изобщо няма.

Надявам се, че този урок ще ви помогне да овладеете проста, но много важна тема за по-нататъшно разбиране на цялата математика. Ако нещо не е ясно, отидете на сайта, решете представените там примери. Очаквайте още много интересни неща!

Седите в ресторант и прелиствате менюто. Всички ястия изглеждат толкова вкусни, че не знаете какво да изберете. Може би да ги поръчате всички?

Със сигурност сте се сблъсквали с подобни проблеми. Ако не в храната, то в нещо друго. Прекарваме огромно количество време и енергия, опитвайки се да направим избор между еднакво привлекателни опции. Но, от друга страна, опциите не могат да бъдат еднакви, защото всеки от тях е привлекателен по свой начин.

След като направите избор, вие сте изправени пред нов избор. Това е безкрайна поредица от важни решения, които са страх от грешен избор. Тези три метода ще ви помогнат да вземете по-добри решения на всички нива от живота си.

Създайте навици да избягвате ежедневните решения

Въпросът е, че ако придобиете навик да ядете салата за обяд, няма да ви се налага да решавате какво да поръчате в кафенето.

Развивайки навици за справяне с такива прости ежедневни задачи, вие спестявате енергия за вземане на по-сложни и важни решения. Освен това, ако придобиете навика да закусвате салата, няма да се налага да хабите волята си, за да не хапнете нещо мазно и пържено вместо салата.

Но това важи за предвидимите случаи. Какво ще кажете за неочакваните решения?

„Ако – тогава“: метод за непредвидими решения

Например, някой постоянно прекъсва речта ви и вие не сте сигурни как да реагирате на това и дали изобщо да реагирате. Според метода ако-тогава вие решавате: ако той ви прекъсне още два пъти, тогава ще му направите учтива забележка, а ако това не работи, тогава в по-груба форма.

Тези два метода ни помагат да вземем повечето решения, пред които сме изправени всеки ден. Но когато става дума за въпросите на стратегическото планиране, като например как да се отговори на заплахата от конкурентите, в кои продукти да се инвестира повече, къде да се намали бюджетът, те са безсилни.

Това са решения, които могат да се забавят със седмица, месец или дори година, спъвайки развитието на компанията. С тях не може да се работи чрез навик и методът ако-тогава също няма да работи тук. По правило на такива въпроси няма ясни и правилни отговори.

Често ръководният екип забавя приемането на подобни решения. Той събира информация, претегля плюсовете и минусите, продължава да чака и да наблюдава ситуацията, надявайки се, че ще се появи нещо, което ще насочи към правилното решение.

И ако приемем, че няма правилен отговор, това ще помогне ли за бързото вземане на решение?

Представете си, че трябва да вземете решение в следващите 15 минути. Нито утре, нито другата седмица, когато съберете достатъчно информация, и не след месец, когато говорите с всички, които имат отношение към проблема.

Имате четвърт час, за да вземете решение. Предприемам действие.

Това е третият начин, който помага да се вземат трудни решения по отношение на дългосрочното планиране.

Използвайте времето

Ако сте проучили даден проблем и сте установили, че възможностите за разрешаването му са еднакво привлекателни, приемете, че няма правилен отговор, задайте си времево ограничение и просто изберете всяка опция. Ако тестването на едно от решенията изисква минимална инвестиция, изберете го и го тествайте. Но ако това не е възможно, тогава изберете който и да е и възможно най-скоро: времето, което отделяте за безполезни мисли, може да се използва по-добре.

Разбира се, може да не сте съгласни: "Ако изчакам, може да се появи правилният отговор." Може, но, първо, губите ценно време в очакване да се изясни ситуацията. Второ, чакането ви кара да протакате и отлагате други решения, свързани с него, намалява производителността и забавя развитието на компанията.

Опитайте веднага. Ако имате въпрос, който сте отлагали дълго време, отделете си три минути и го направете. Ако имате твърде много подобни, напишете списък и задайте време за всяко решение.

Ще видите, че с всяко решение, което вземете, ще се чувствате малко по-добре, тревожността ви ще намалее, ще почувствате, че вървите напред.

И така, избирате лека салата. Беше ли правилният избор? Кой знае... Поне си ял и не си седял гладен над менюто от ястия.