Теорема: Четириъгълникът е успоредник, ако:

1. противоположните му ъгли са равни;
2. противоположните му страни са равни по двойки;
3. неговите диагонали се разполовяват от пресечната точка;
4. двете му срещуположни страни са успоредни и равни.

Доказателство:

A. Нека ъглите K и M са равни един на друг и равни на a в четириъгълника KLMN, нека също ъглите L и N са равни един на друг и равни на p (фигура). Като се има предвид, че сумата от ъглите на четириъгълник е 360°, получаваме, че 2α + 2β = 360°, или α + β = 180°. Като се има предвид, че ъглите K и L, равни съответно на въздух, са вътрешни едностранни ъгли при правите KN и LM, пресечени от правата KL, заключаваме, че страните KN и LM са успоредни. От ъглите K и N също заключаваме, че страните KL и NM са успоредни. Сега, чрез дефиницията на успоредник, ние твърдим, че четириъгълникът KLMN е успоредник.

Б. Нека страните CD и FE, както и CF и DE са равни по двойки в четириъгълника CDEF (фигура). Нека начертаем един от диагоналите на четириъгълника, например CE. Триъгълниците CDE и EFC имат три равни страни. Следователно ъглите DEC и FCE са равни. Тъй като тези ъгли са вътрешни кръстове, лежащи на прави DE и CF, пресечени от права CE, страните DE и CF са успоредни. Освен това от равенството на ъглите DCE и FEC получаваме, че страните CD и FE са успоредни. Сега, чрез дефиницията на успоредник, ние твърдим, че четириъгълникът CDEF е успоредник.

C. Нека пресечната точка B на диагоналите IL и KM на четириъгълника IKLM разделя тези диагонали наполовина: IB = BL и KB = VM (фигура). Тогава триъгълниците KBL и MBI са равни по две страни и ъгъл между тях. Това ни позволява да твърдим, че ъглите 1MB и LKB са равни, което означава, че страните IM и KL са успоредни. По същия начин от равенството на триъгълниците KBI и MBL заключаваме, че страните IK и LM са успоредни. Сега, чрез дефиницията на успоредник, можем да твърдим, че четириъгълникът IKLM е успоредник. Много често трябва да знаете това, когато решавате олимпиадни задачи на училищни олимпиади.

D. Нека срещуположните страни OP и RQ са успоредни и равни в четириъгълника OPQR (фигура). Нека начертаем диагонала OQ. Получените ъгли POQ и RQO са равни, тъй като са вътрешни напречно лежащи на успоредни прави OP и RQ, пресечени от права OQ. Следователно триъгълниците OPQ и RQO са равни по двете страни и ъгъла между тях. Следователно техните съответни ъгли PQO и ROQ са равни.

И тъй като те са вътрешни напречни ъгли при прави PQ и OR, пресечени от права OQ, тогава страните на PQ и OR са успоредни. Като се има предвид успоредността на страните OP и RQ, по определението за успоредник твърдим, че четириъгълникът OPQR е успоредник.

Днес ще разгледаме геометрична фигура- четириъгълник. От името на тази фигура вече става ясно, че тази фигура има четири ъгъла. Но останалите характеристики и свойства на тази фигура ще разгледаме по-долу.

Какво е четириъгълник

Четириъгълникът е многоъгълник, състоящ се от четири точки (върхове) и четири сегмента (страни), свързващи тези точки по двойки. Площта на четириъгълника е половината от произведението на неговите диагонали и ъгъла между тях.

Четириъгълникът е многоъгълник с четири върха, три от които не лежат на една права.

Видове четириъгълници

• Четириъгълник, чиито срещуположни страни са по двойки успоредни, се нарича успоредник.
• Четириъгълник, в който две срещуположни страни са успоредни, а другите две не са, се нарича трапец.
• Четириъгълник с всички прави ъгли е правоъгълник.
• Четириъгълник с равни страни е ромб.
• Четириъгълник, в който всички страни са равни и всички ъгли са прави, се нарича квадрат.

Четириъгълникът може да бъде:

самопресичащи се

неизпъкнал

изпъкнал

Самопресичащ се четириъгълнике четириъгълник, в който всяка от страните му има пресечна точка (в синьо на фигурата).

Неизпъкнал четириъгълнике четириъгълник, в който един от вътрешни ъглиповече от 180 градуса (маркирани в оранжево на фигурата).

Сума от ъгливсеки четириъгълник, който не се пресича сам, винаги е равен на 360 градуса.

Специални видове четириъгълници

Четириъгълниците могат да имат допълнителни свойства, образувайки специални видове геометрични фигури:

• Успоредник
• Правоъгълник
• Квадрат
• Трапец
• Делтоид
• Контрауспоредник

Четириъгълник и кръг

Четириъгълник, вписан около окръжност (окръжност, вписана в четириъгълник).

Основното свойство на описания четириъгълник:

Четириъгълник може да бъде описан около окръжност тогава и само ако сумите от дължините противоположни страниса равни.

Четириъгълник, вписан в окръжност (окръжност, вписана около четириъгълник)

Основно свойство на вписан четириъгълник:

Четириъгълник може да бъде вписан в окръжност тогава и само ако сборът от противоположните му ъгли е 180 градуса.

Свойства на дължината на страната на четириъгълника

Модул на разликата на произволни две страни на четириъгълникне надвишава сумата от другите му две страни.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

важно. Неравенството е вярно за всяка комбинация от страни на четириъгълник. Фигурата е предоставена единствено за по-лесно разбиране.

Във всеки четириъгълник сума три дължинистраните му не са по-малки от дължината на четвъртата страна.

важно. При решаване на проблеми в рамките на училищна програмаможе да се използва строгото неравенство (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Javascript е деактивиран във вашия браузър.
ActiveX контролите трябва да са активирани, за да се правят изчисления!

Четириъгълник, чиито две страни са успоредни, а другите две не са успоредни, се нарича трапец. основата на Bo Страни и I страна I страна това е основата Паралелните страни се наричат ​​Основи. Страните, които не са успоредни, се наричат ​​страни.

Видове трапец Трапец, чиито страни са равни, се нарича равнобедрен. Трапец с един прав ъгъл се нарича трапец с прав ъгъл.

Кои четириъгълници от фигурата са трапеци? Назовете техните основи и страни. 1 B 2 C 110 R 0 S H T 70 0 A D M 3 A B K O C Q N R

Средната линия на трапеца B M A C MN е средната линия N на трапеца D

Свойства на равнобедрен трапец 1 2 Равнобедреният трапец има равни ъгли при основата. B C В равнобедрен трапец диагоналите са равни. AC=BD A D

Признаци на равнобедрен трапец 1 Ако ъглите в основата на трапеца са равни, то той е равнобедрен. 2 Ако диагоналите на трапец са равни, тогава той е равнобедрен.

Решаване на задачи 1 B C D A 2 AD=2 BC. Намерете ъглите на трапеца. В C ABCD е трапец. Намерете: ъгъл AOB O A D

3 B C D A B 4 C 75 A ABCD - трапец. Намерете: ъгли на трапец 40 E ABCD - трапец. BE||CD. Намерете ъглите на трапеца. д

Средно ниво

Успоредник, правоъгълник, ромб, квадрат (2019)

1. Успоредник

Сложна дума "успоредник"? А зад него стои много проста фигура.

Е, това означава, че взехме две успоредни линии:

Пресечен от още две:

А вътре - успоредник!

Какви са свойствата на успоредник?

Свойства на успоредник.

Тоест, какво може да се използва, ако в задачата е даден успоредник?

На този въпрос отговаря следната теорема:

Нека нарисуваме всичко подробно.

Какво прави първа точка от теоремата? И фактът, че ако ИМАТЕ успоредник, тогава със сигурност

Вторият параграф означава, че ако има успоредник, тогава, отново, непременно:

Е, и накрая, третата точка означава, че ако ИМАТЕ успоредник, тогава бъдете сигурни:

Вижте какво богатство на избор? Какво да използвате в задачата? Опитайте се да се съсредоточите върху въпроса за задачата или просто опитайте всичко на свой ред - някакъв „ключ“ ще свърши работа.

А сега нека си зададем още един въпрос: как да разпознаем успоредник "в лицето"? Какво трябва да се случи с един четириъгълник, за да имаме право да му дадем „титлата“ на успоредник?

На този въпрос отговарят няколко признака на успоредник.

Характеристики на успоредник.

внимание! Започнете.

Успоредник.

Обърнете внимание: ако сте намерили поне един знак в проблема си, тогава имате точно успоредник и можете да използвате всички свойства на успоредник.

2. Правоъгълник

Мисля, че изобщо няма да е новина за вас.

Първият въпрос е: успоредник ли е правоъгълникът?

Разбира се, че е! В края на краищата той има - помните ли, нашия знак 3?

И от тук, разбира се, следва, че за правоъгълник, както за всеки успоредник, и, и диагоналите са разделени от пресечната точка наполовина.

Но има правоъгълник и едно отличително свойство.

Свойство правоъгълник

Защо това свойство е отличително? Защото никой друг успоредник няма равни диагонали. Нека го формулираме по-ясно.

Обърнете внимание: за да стане правоъгълник, четириъгълникът трябва първо да се превърне в успоредник и след това да представи равенството на диагоналите.

3. Диамант

И отново въпросът е: ромбът успоредник ли е или не?

С пълно право - успоредник, защото има и (помнете нашия знак 2).

И отново, тъй като ромбът е успоредник, тогава той трябва да има всички свойства на успоредник. Това означава, че ромбът има равни противоположни ъгли, противоположните страни са успоредни и диагоналите се разделят на две от точката на пресичане.

Свойства на ромб

Погледни снимката:

Както в случая с правоъгълник, тези свойства са отличителни, тоест за всяко от тези свойства можем да заключим, че имаме не просто успоредник, а ромб.

Знаци на ромб

И отново обърнете внимание: трябва да има не просто четириъгълник с перпендикулярни диагонали, а успоредник. Уверете се, че:

Не, разбира се, че не, въпреки че неговите диагонали и са перпендикулярни, а диагоналът е ъглополовяща на ъгли u. Но ... диагоналите не се разделят, пресечната точка наполовина, следователно - НЕ е успоредник и следователно НЕ е ромб.

Тоест, квадратът е правоъгълник и ромб едновременно. Да видим какво ще излезе от това.

Ясно ли е защо? - ромб - ъглополовящата на ъгъл А, която е равна на. Така че той се разделя (и също) на два ъгъла.

Е, съвсем ясно е: диагоналите на правоъгълника са равни; диагоналите на ромба са перпендикулярни и като цяло - диагоналите на паралелограма се разделят от пресечната точка наполовина.

СРЕДНО НИВО

Свойства на четириъгълниците. Успоредник

Свойства на успоредник

внимание! Думите " свойства на успоредник» означава, че ако имате задача имауспоредник, тогава всички от следните могат да бъдат използвани.

Теорема за свойствата на успоредник.

Във всеки успоредник:

Нека да видим защо това е вярно, с други думи ЩЕ ДОКАЖЕМтеорема.

Така че защо 1) е вярно?

Тъй като е успоредник, тогава:

• като лежане на кръст
• като легнал напречно.

Следователно (на основание II: и - общо.)

Е, веднъж, тогава - това е! - доказано.

Но между другото! Ние също доказахме 2)!

Защо? Но в края на краищата (вижте снимката), това е, именно защото.

Остават само 3).

За да направите това, все още трябва да нарисувате втори диагонал.

И сега виждаме това - според знака II (ъгълът и страната "между" тях).

Доказани свойства! Да преминем към знаците.

Характеристики на успоредник

Спомнете си, че знакът на успоредник отговаря на въпроса "как да разберете?" Че фигурата е успоредник.

В иконите е така:

Защо? Би било хубаво да разберете защо - това е достатъчно. Но вижте:

Е, разбрахме защо знак 1 е верен.

Е, това е още по-лесно! Нека отново начертаем диагонал.

Което означава:

Исъщо е лесно. Но… различно!

Означава,. Еха! Но и - вътрешно едностранно при секуща!

Следователно фактът, който означава това.

И ако погледнете от другата страна, тогава те са вътрешни едностранни при секуща! И следователно.

Вижте колко е страхотно?!

И пак просто:

Абсолютно същото и.

Обърни внимание:ако сте намерили понеедин знак за успоредник във вашия проблем, значи имате точноуспоредник и можете да използвате всекисвойства на успоредник.

За пълна яснота вижте диаграмата:

Свойства на четириъгълниците. Правоъгълник.

Свойства на правоъгълника:

Точка 1) е съвсем очевидна - в крайна сметка знак 3 () е просто изпълнен

И точка 2) - много важно. Така че нека докажем това

И така, на два крака (и - общо).

Е, тъй като триъгълниците са равни, тогава техните хипотенузи също са равни.

Доказа това!

И представете си, равенството на диагоналите е отличително свойство на правоъгълника сред всички успоредници. Тоест вярно е следното твърдение

Да видим защо?

И така, (което означава ъглите на успоредника). Но още веднъж, запомнете това - успоредник, и следователно.

Означава,. И, разбира се, от това следва, че всеки от тях В крайна сметка в количеството, което трябва да дадат!

Тук доказахме, че ако успоредникизведнъж (!) ще бъдат равни диагонали, тогава това точно правоъгълник.

Но! Обърни внимание!Става въпрос за успоредници! Не всекичетириъгълник с равни диагонали е правоъгълник и самоуспоредник!

Свойства на четириъгълниците. Ромб

И отново въпросът е: ромбът успоредник ли е или не?

С пълно право - успоредник, защото има и (Запомнете нашия знак 2).

И отново, тъй като ромбът е успоредник, той трябва да има всички свойства на успоредник. Това означава, че ромбът има равни противоположни ъгли, противоположните страни са успоредни и диагоналите се разделят на две от точката на пресичане.

Но има и специални свойства. Ние формулираме.

Свойства на ромб

Защо? Е, тъй като ромбът е успоредник, тогава неговите диагонали са разделени наполовина.

Защо? Да, точно затова!

С други думи, диагоналите и се оказаха ъглополовящи на ъглите на ромба.

Както в случая с правоъгълник, тези свойства са отличителен, всеки от тях също е знак на ромб.

Ромбови знаци.

Защо така? И виж

Следователно и и двететези триъгълници са равнобедрени.

За да бъде ромб, четириъгълникът трябва първо да "стане" успоредник и след това вече да демонстрира характеристика 1 или характеристика 2.

Свойства на четириъгълниците. Квадрат

Тоест, квадратът е правоъгълник и ромб едновременно. Да видим какво ще излезе от това.

Ясно ли е защо? Квадрат - ромб - ъглополовяща на ъгъла, който е равен на. Така че той се разделя (и също) на два ъгъла.

Е, съвсем ясно е: диагоналите на правоъгълника са равни; диагоналите на ромба са перпендикулярни и като цяло - диагоналите на паралелограма се разделят от пресечната точка наполовина.

Защо? Е, просто приложете Питагоровата теорема към.

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Свойства на паралелограма:

1. Противоположните страни са равни: , .
2. Противоположните ъгли са: , .
3. Ъглите при едната страна се събират до: , .
4. Диагоналите са разделени от пресечната точка наполовина: .

Свойства на правоъгълника:

1. Диагоналите на правоъгълник са: .
2. Правоъгълникът е успоредник (всички свойства на успоредник са изпълнени за правоъгълник).

Свойства на ромб:

1. Диагоналите на ромба са перпендикулярни: .
2. Диагоналите на ромба са ъглополовящи на неговите ъгли: ; ; ; .
3. Ромбът е успоредник (всички свойства на успоредник са изпълнени за ромб).

Квадратни свойства:

Квадратът е едновременно ромб и правоъгълник, следователно за квадрата са изпълнени всички свойства на правоъгълник и ромб. Както и:

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е ... просто е супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешното полагане на изпита, за прием в института на бюджета и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка ... по-щастливи?

НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

На изпита няма да ви питат теория.

Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.

Това е като в спорта - трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекция навсякъде, където пожелаете задължително с решения, подробен анализи решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (не е необходимо) и ние със сигурност ги препоръчваме.

За да получите ръка с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има две възможности:

1. Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия - 299 търкайте.
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на урока - 999 търкайте.

Да, имаме 99 такива статии в учебника и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Във втория случай ние ще ви дадемсимулатор "6000 задачи с решения и отговори, за всяка тема, за всички нива на сложност." Определено е достатъчно, за да се сдобиете с решаването на задачи по всякаква тема.

Всъщност това е много повече от симулатор - цяла програма за обучение. Ако е необходимо, можете да го използвате и БЕЗПЛАТНО.

Осигурен е достъп до всички текстове и програми за целия живот на сайта.

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.

„Разбрах“ и „Знам как да решавам“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и решете!

Един от признаците на успоредник е, че ако две страни на четириъгълник са равни и успоредни, то такъв четириъгълник е успоредник. Тоест, ако четириъгълникът има две страни, равни и успоредни, тогава другите две страни също се оказват равни една на друга и успоредни една на друга, тъй като този факт е определение и свойство на успоредник.

По този начин успоредникът може да бъде определен само от две страни, които са равни и успоредни една на друга.

Тази особеност на успоредника може да се формулира като теорема и да се докаже. В този случай ни е даден четириъгълник, в който две страни са равни и успоредни една на друга. Необходимо е да се докаже, че такъв четириъгълник е успоредник (т.е. другите му две страни са равни и успоредни една на друга).

Нека даденият четириъгълник ABCD, а в него страните AB || CD и AB=CD.

Даден ни е четириъгълник. Нищо не се казва дали е изпъкнал или не (въпреки че само изпъкналите четириъгълници могат да бъдат успоредници). Но дори и в неизпъкнал четириъгълник винаги има един диагонал, който го разделя на два триъгълника. Ако това е диагоналът AC, тогава получаваме два триъгълника ABC и ADC. Ако е BD диагонал, тогава ще има ∆ABD и ∆BCD.

Да кажем, че имаме триъгълници ABC и ADC. Те имат една обща страна (диагонал AC), страната AB на единия триъгълник е равна на страната CD на другия (по условие), ъгълът BAC е равен на ъгъла ACD (като лежащ на кръст между секущата и успоредните прави) . Така че ∆ABC = ∆ADC на двете страни и ъгъла между тях.

От равенството на триъгълниците следва, че другите им страни и ъгли съответно са равни. Но страната BC на триъгълник ABC съответства на страната AD на триъгълник ADC, така че BC = AD. Ъгъл B съответства на ъгъл D, така че ∠B = ∠D. Тези ъгли могат да бъдат равни един на друг, ако BC || AD (тъй като AB || CD, тези редове могат да бъдат комбинирани чрез паралелна транслация, тогава ∠B ще стане кръстосано ∠D и тяхното равенство може да бъде само за BC || AD).

По дефиниция успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са равни и успоредни една на друга.

Така беше доказано, че ако страните AB и CD на четириъгълника ABCD са равни и успоредни и диагоналът AC го разделя на два триъгълника, то другата му двойка страни се оказва равна една на друга и успоредна.

Ако четириъгълник ABCD беше разделен на два триъгълника с друг диагонал (BD), тогава триъгълниците ABD и BCD ще бъдат разгледани. Тяхното равенство ще се докаже подобно на предишното. Ще се окаже, че BC = AD и ∠A = ∠C, което означава, че BC || AD.