Какво означава системата от линейни уравнения? Дефиниции, понятия, обозначения

Линейното уравнение се нарича хомогененако пресечната точка е нула, и нехомогенна в противен случай. Система, състояща се от хомогенни уравнения, се нарича хомогенна и има общ вид:

Очевидно всяка хомогенна система е последователна и има нулево (тривиално) решение. Следователно, по отношение на хомогенни системи от линейни уравнения, често трябва да се търси отговор на въпроса за съществуването на ненулеви решения. Отговорът на този въпрос може да се формулира като следната теорема.

Теорема . Хомогенна система от линейни уравнения има ненулево решение тогава и само ако нейният ранг е по-малък от броя на неизвестните .

Доказателство: Да предположим, че система, чийто ранг е равен, има ненулево решение. Очевидно не надвишава. В случая системата има уникално решение. Тъй като системата от хомогенни линейни уравнения винаги има нулево решение, точно нулевото решение ще бъде това уникално решение. Следователно ненулеви решения са възможни само за .

Следствие 1 : Хомогенна система от уравнения, в която броят на уравненията е по-малък от броя на неизвестните, винаги има ненулево решение.

Доказателство: Ако системата от уравнения има , то рангът на системата не надвишава броя на уравненията, т.е. . По този начин условието е изпълнено и следователно системата има ненулево решение.

Следствие 2 : Хомогенна система от уравнения с неизвестни има ненулево решение тогава и само ако нейният детерминант е нула.

Доказателство: Да предположим система от линейни хомогенни уравнения, чиято матрица с детерминанта има ненулево решение. Тогава, съгласно доказаната теорема, , което означава, че матрицата е изродена, т.е. .

Теорема на Кронекер-Капели: SLE е последователен тогава и само ако рангът на матрицата на системата е равен на ранга на разширената матрица на тази система. Една система ur-th се нарича съвместима, ако има поне едно решение.

Хомогенна система от линейни алгебрични уравнения.

Система от m линейни уравнения с n променливи се нарича система от линейни хомогенни уравнения, ако всички свободни членове са равни на 0. Система от линейни хомогенни уравнения винаги е съвместима, тъй като винаги има поне нулево решение. Система от линейни хомогенни уравнения има ненулево решение тогава и само ако рангът на нейната матрица от коефициенти при променливи е по-малък от броя на променливите, т.е. за ранг A (n. Всяка линейна комбинация

решения на системата от линии. хомогенен ur-ii също е решение на тази система.

Система от линейно независими решения e1, e2,…,ek се нарича фундаментална, ако всяко решение на системата е линейна комбинация от решения. Теорема: ако рангът r на матрицата на коефициентите при променливите на системата от линейни хомогенни уравнения е по-малък от броя на променливите n, тогава всяка фундаментална система от решения на системата се състои от n-r решения. Следователно общото решение на системата от линии. единичен ur-th има формата: c1e1+c2e2+…+ckek, където e1, e2,…, ek е всяка фундаментална система от решения, c1, c2,…,ck са произволни числа и k=n-r. Общото решение на система от m линейни уравнения с n променливи е равно на сумата

общото решение на съответстващата му система е хомогенно. линейни уравнения и произволно частно решение на тази система.

7. Линейни пространства. Подпространства. Основа, измерение. Линейна обвивка. Линейно пространство се нарича n-мерен, ако съдържа система от линейно независими вектори, а всяка система от повече вектори е линейно зависима. Номерът се нарича измерение (брой измервания)линейно пространство и се означава с . С други думи, измерението на едно пространство е максималния брой линейно независими вектори в това пространство. Ако такова число съществува, тогава се казва, че пространството е крайномерно. Ако за всяко естествено число n в пространството съществува система, състояща се от линейно независими вектори, тогава такова пространство се нарича безкрайномерно (напишете: ). В това, което следва, освен ако не е посочено друго, ще се разглеждат крайномерни пространства.

Основата на n-мерното линейно пространство е подреден набор от линейно независими вектори ( базисни вектори).

Теорема 8.1 за разлагането на вектор по базис. Ако е основа на n-мерно линейно пространство, тогава всеки вектор може да бъде представен като линейна комбинация от базисни вектори:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
и освен това по уникален начин, т.е. коефициентите са еднозначно определени.С други думи, всеки пространствен вектор може да бъде разширен в база и освен това по уникален начин.

Действително размерът на пространството е . Системата от вектори е линейно независима (това е основата). След присъединяването на произволен вектор към основата, получаваме линейно зависима система (тъй като тази система се състои от вектори в n-мерно пространство). Чрез свойството на 7 линейно зависими и линейно независими вектора получаваме заключението на теоремата.

Методът на Гаус има редица недостатъци: невъзможно е да се знае дали системата е последователна или не, докато не бъдат извършени всички трансформации, необходими в метода на Гаус; методът на Гаус не е подходящ за системи с буквени коефициенти.

Обмислете други методи за решаване на системи от линейни уравнения. Тези методи използват концепцията за ранг на матрица и намаляват решението на всяка съвместна система до решението на система, към която се прилага правилото на Крамър.

Пример 1Намерете общото решение на следната система от линейни уравнения, като използвате основната система от решения на редуцираната хомогенна система и конкретно решение на нехомогенната система.

1. Правим матрица Аи разширената матрица на системата (1)

2. Разгледайте системата (1) за съвместимост. За да направим това, намираме ранговете на матриците Аи https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Ако се окаже, че , тогава системата (1) несъвместими. Ако получим това , тогава тази система е последователна и ние ще я разрешим. (Изследването на последователността се основава на теоремата на Кронекер-Капели).

а. Намираме rA.

Да намеря rA, ще разгледаме последователно ненулеви второстепенни от първи, втори и т.н. ред на матрицата Аи непълнолетните около тях.

M1=1≠0 (1 се взема от горния ляв ъгъл на матрицата НО).

Гранични M1втория ред и втората колона на тази матрица. . Продължаваме към границата M1втория ред и третата колона..gif" width="37" height="20 src=">. Сега граничим с ненулевия минор М2′втора поръчка.

Ние имаме: (тъй като първите две колони са еднакви)

(защото вторият и третият ред са пропорционални).

Виждаме това rA=2, и е базисният минор на матрицата А.

b. Намираме .

Достатъчно основен минор М2′матрици Аграница с колона със свободни членове и всички редове (имаме само последния ред).

. От това следва, че М3′′остава основният минор на матрицата https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

защото М2′- базис минор на матрицата Асистеми (2) , тогава тази система е еквивалентна на системата (3) , състояща се от първите две уравнения на системата (2) (за М2′е в първите два реда на матрица A).

(3)

Тъй като основният минор е https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

В тази система две свободни неизвестни ( x2 и x4 ). Ето защо FSR системи (4) се състои от две решения. За да ги намерим, присвояваме безплатни неизвестни на (4) първо ценностите х2=1 , х4=0 , и тогава - х2=0 , x4=1 .

При х2=1 , х4=0 получаваме:

.

Тази система вече има единственото нещо решение (може да се намери по правилото на Крамер или по друг метод). Изваждайки първото уравнение от второто уравнение, получаваме:

Нейното решение ще бъде x1= -1 , х3=0 . Предвид стойностите x2 и x4 , което дадохме, получаваме първото фундаментално решение на системата (2) : .

Сега вкарваме (4) х2=0 , x4=1 . Получаваме:

.

Решаваме тази система с помощта на теоремата на Крамър:

.

Получаваме второто фундаментално решение на системата (2) : .

Решения β1 , β2 и се гримирайте FSR системи (2) . Тогава общото му решение ще бъде

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Тук C1 , C2 са произволни константи.

4. Намерете такъв частен решение разнородна система(1) . Както в параграф 3 , вместо системата (1) разгледайте еквивалентната система (5) , състояща се от първите две уравнения на системата (1) .

(5)

Прехвърляме свободните неизвестни в дясната страна x2и x4.

(6)

Нека дадем безплатни неизвестни x2 и x4 произволни стойности, напр. х2=2 , x4=1 и ги включете в (6) . Да вземем системата

Тази система има уникално решение (тъй като нейният детерминант М2′0). Решавайки го (използвайки теоремата на Крамер или метода на Гаус), получаваме х1=3 , х3=3 . Дадени са стойностите на свободните неизвестни x2 и x4 , получаваме конкретно решение на нехомогенна система(1)α1=(3,2,3,1).

5. Сега остава да напишем общо решение α на нехомогенна система(1) : равно е на сумата частно решениетази система и общо решение на неговата редуцирана хомогенна система (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Това означава: (7)

6. Преглед.За да проверите дали сте решили правилно системата (1) , имаме нужда от общо решение (7) заместник в (1) . Ако всяко уравнение се превърне в идентичност ( C1 и C2 трябва да бъде унищожен), тогава решението е намерено правилно.

Ние ще заместим (7) например само в последното уравнение на системата (1) (х1 + х2 + х3 ‑9 х4 =‑1) .

Получаваме: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Където -1=-1. Имаме самоличност. Правим това с всички други уравнения на системата (1) .

Коментирайте.Проверката обикновено е доста тромава. Можем да препоръчаме следната "частична проверка": в цялостното решение на системата (1) присвоете някои стойности на произволни константи и заменете полученото конкретно решение само в отхвърлените уравнения (т.е. в тези уравнения от (1) които не са включени в (5) ). Ако получите самоличности, тогава най-вероятно, решение на системата (1) намерени правилно (но такава проверка не дава пълна гаранция за коректност!). Например, ако в (7) слагам C2=- 1 , C1=1, тогава получаваме: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Замествайки в последното уравнение на системата (1), имаме: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , т.е. –1=–1. Имаме самоличност.

Пример 2Намерете общо решение на система от линейни уравнения (1) , изразяващи основните неизвестни чрез свободни.

Решение.Както в пример 1, съставяне на матрици Аи https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> от тези матрици. Сега оставяме само тези уравнения на системата (1) , чиито коефициенти са включени в този основен минор (т.е. имаме първите две уравнения) и разглеждаме системата, състояща се от тях, която е еквивалентна на система (1).

Нека прехвърлим свободните неизвестни в дясната страна на тези уравнения.

система (9) решаваме по метода на Гаус, като считаме правилните части за свободни членове.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Вариант 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Вариант 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Вариант 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Вариант 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Нарича се система от линейни уравнения, в която всички свободни членове са равни на нула хомогенен :

Всяка хомогенна система винаги е последователна, тъй като винаги е била нула (тривиален ) решение. Възниква въпросът при какви условия една хомогенна система ще има нетривиално решение.

Теорема 5.2.Една хомогенна система има нетривиално решение тогава и само ако рангът на основната матрица е по-малък от броя на нейните неизвестни.

Последица. Квадратна хомогенна система има нетривиално решение тогава и само ако детерминантата на основната матрица на системата не е равна на нула.

Пример 5.6.Определете стойностите на параметъра l, за които системата има нетривиални решения и намерете тези решения:

Решение. Тази система ще има нетривиално решение, когато детерминантата на основната матрица е равна на нула:

Следователно системата е нетривиална, когато l=3 или l=2. За l=3, рангът на основната матрица на системата е 1. След това, оставяйки само едно уравнение и приемайки, че г=аи z=b, получаваме х=b-a, т.е.

За l=2, рангът на основната матрица на системата е 2. След това, избирайки като основен минор:

получаваме опростена система

От тук намираме това x=z/4, y=z/2. Ако приемем z=4а, получаваме

Наборът от всички решения на една хомогенна система има много важно значение линейно свойство : ако X колони 1 и Х 2 - решения на хомогенната система AX = 0, тогава всяка линейна комбинация от тяха х 1+б х 2 също ще бъде решението на тази система. Наистина, тъй като БРАВИЛА 1 = 0 и БРАВИЛА 2 = 0 , тогава А(а х 1+б х 2) = а БРАВИЛА 1+б БРАВИЛА 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Поради това свойство, ако една линейна система има повече от едно решение, тогава ще има безкрайно много от тези решения.

Линейно независими колони д 1 , д 2 , E k, които са решения на хомогенна система, се нарича фундаментална система за вземане на решения хомогенна система от линейни уравнения, ако общото решение на тази система може да бъде записано като линейна комбинация от тези колони:

Ако една хомогенна система има нпроменливи, а рангът на основната матрица на системата е равен на r, тогава к = н-р.

Пример 5.7.Намерете основната система от решения на следната система от линейни уравнения:

Решение. Намерете ранга на основната матрица на системата:

По този начин наборът от решения на тази система от уравнения образува линейно подпространство на измерение n - r= 5 - 2 = 3. Избираме като основен минор

.

След това, оставяйки само основните уравнения (останалото ще бъде линейна комбинация от тези уравнения) и основните променливи (останалите, така наречените свободни променливи, прехвърляме вдясно), получаваме опростена система от уравнения:

Ако приемем х 3 = а, х 4 = b, х 5 = ° С, намираме

, .

Ако приемем а= 1, b=c= 0, получаваме първото основно решение; предполагайки b= 1, a = c= 0, получаваме второто основно решение; предполагайки ° С= 1, a = b= 0, получаваме третото основно решение. В резултат нормалната фундаментална система от решения приема формата

Използвайки фундаменталната система, общото решение на хомогенната система може да бъде написано като

х = аЕ 1 + бъда 2 + cE 3 . а

Нека отбележим някои свойства на решенията на нехомогенната система от линейни уравнения AX=Bи тяхната връзка със съответната хомогенна система от уравнения AX = 0.

Общо решение на нееднородна системае равно на сумата от общото решение на съответната хомогенна система AX = 0 и произволно частно решение на нехомогенната система. Наистина, нека Y 0 е произволно частно решение на нехомогенна система, т.е. AY 0 = б, и Yе общото решение на нехомогенна система, т.е. AY=B. Като извадим едното равенство от другото, получаваме
А(Y-Y 0) = 0, т.е. Y-Y 0 е общото решение на съответната хомогенна система БРАВИЛА=0. Следователно, Y-Y 0 = х, или Y=Y 0 + х. Q.E.D.

Нека една нехомогенна система има формата AX = B 1 + б 2 . Тогава общото решение на такава система може да бъде записано като X = X 1 + х 2 , където AX 1 = б 1 и AX 2 = б 2. Това свойство изразява универсалното свойство на всякакви линейни системи като цяло (алгебрични, диференциални, функционални и т.н.). Във физиката това свойство се нарича принцип на суперпозиция, по електротехника и радиотехника - принцип на наслагване. Например, в теорията на линейните електрически вериги токът във всяка верига може да се получи като алгебрична сума на токовете, причинени от всеки източник на енергия поотделно.

Матрични данни

Намерете: 1) aA - bB,

Решение: 1) Намираме последователно, използвайки правилата за умножаване на матрица по число и добавяне на матрици ..

2. Намерете A*B if

Решение: Използвайте правилото за умножение на матрици

Отговор:

3. За дадена матрица намерете второстепенното M 31 и изчислете детерминантата.

Решение: Малък M 31 е детерминантата на матрицата, която се получава от A

след изтриване на ред 3 и колона 1. Намерете

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Нека трансформираме матрицата A, без да променяме нейния детерминант (нека направим нули в ред 1)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

Сега изчисляваме детерминантата на матрица А чрез разширяване по ред 1

Отговор: M 31 = 0, detA = 0

Решете с помощта на метода на Гаус и метода на Крамер.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

Решение: Да проверим

Можете да използвате метода на Cramer

Системно решение: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Прилагаме метода на Гаус.

Редуцираме разширената матрица на системата до триъгълна форма.

За удобство на изчисленията разменяме редовете:

Умножете втория ред по (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) и добавете към 3-то:

	1 / 2		7 / 2

Умножете първия ред по (k = -2 / 2 = -1 ) и добавете към второто:

Сега оригиналната система може да бъде написана като:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

От 2-ри ред изразяваме

От 1-ви ред изразяваме

Решението е същото.

Отговор: (2; -5; 3)

Намерете общото решение на системата и FSR

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Решение: Приложете метода на Гаус. Редуцираме разширената матрица на системата до триъгълна форма.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
х 1	x2	х 3	x4	x5

Умножете първия ред по (-11). Умножете втория ред по (13). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:

	-2		-2	-3

Умножете втория ред по (-5). Умножете 3-тия ред по (11). Нека добавим третия ред към втория:

Умножете 3-тия ред по (-7). Умножете 4-тия ред по (5). Нека добавим 4-тия ред към 3-тия:

Второто уравнение е линейна комбинация от останалите

Намерете ранга на матрицата.

	-18	-24	-18	-27
х 1	x2	х 3	x4	x5

Избраният минор има най-висок ред (от всички възможни минори) и е различен от нула (равен е на произведението на елементите на реципрочния диагонал), следователно rang(A) = 2.

Този минор е основен. Той включва коефициенти за неизвестни x 1, x 2, което означава, че неизвестните x 1, x 2 са зависими (основни), а x 3, x 4, x 5 са ​​свободни.

Системата с коефициентите на тази матрица е еквивалентна на оригиналната система и има формата:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

По метода на елиминиране на неизвестни намираме общо решение:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Намираме фундаменталната система от решения (FSR), която се състои от (n-r) решения. В нашия случай n=5, r=2, следователно фундаменталната система от решения се състои от 3 решения и тези решения трябва да бъдат линейно независими.

За да бъдат редовете линейно независими, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата, съставена от елементите на редовете, да бъде равен на броя на редовете, т.е. 3.

Достатъчно е да зададете свободните неизвестни x 3 ,x 4 ,x 5 стойности от редовете на детерминанта от 3-ти ред, различни от нула, и да изчислите x 1 ,x 2 .

Най-простият ненулев детерминант е единичната матрица.

Но тук е по-удобно да се вземе

Ние намираме с помощта на общото решение:

а) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ

I FSR решение: (-2; -4; 6; 0; 0)

б) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ

II решение на FSR: (0; -6; 0; 6; 0)

в) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III решение на FSR: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. Дадено е: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Намерете: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

Решение: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Отговор: а) -3i б) 12+26i в) -1,4 - 0,3i

Хомогенна система от линейни уравнения над поле

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Фундаменталната система от решения на системата от уравнения (1) е непразна линейно независима система от нейните решения, чийто линеен обхват съвпада с множеството от всички решения на системата (1).

Имайте предвид, че хомогенна система от линейни уравнения, която има само нулево решение, няма фундаментална система от решения.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.11. Всякакви две фундаментални системи от решения на хомогенна система от линейни уравнения се състоят от еднакъв брой решения.

Доказателство. Наистина, всеки две основни системи от решения на хомогенната система от уравнения (1) са еквивалентни и линейно независими. Следователно, съгласно предложение 1.12, техните рангове са равни. Следователно броят на решенията, включени в една фундаментална система, е равен на броя на решенията, включени във всяка друга фундаментална система от решения.

Ако основната матрица A на хомогенната система от уравнения (1) е нула, тогава всеки вектор от е решение на система (1); в този случай всяка колекция от линейно независими вектори от е фундаментална система от решения. Ако колонният ранг на матрица A е , то системата (1) има само едно решение – нула; следователно в този случай системата от уравнения (1) няма фундаментална система от решения.

ТЕОРЕМА 3.12. Ако рангът на основната матрица на хомогенна система от линейни уравнения (1) е по-малък от броя на променливите, тогава системата (1) има фундаментална система от решения, състояща се от решения.

Доказателство. Ако рангът на главната матрица A на хомогенната система (1) е равен на нула или , тогава беше показано по-горе, че теоремата е вярна. Следователно по-долу се приема, че Ако приемем , ще приемем, че първите колони на матрицата A са линейно независими. В този случай матрицата A е редово еквивалентна на редуцираната стъпкова матрица, а системата (1) е еквивалентна на следната намалена стъпкова система от уравнения:

Лесно е да се провери, че всяка система от стойности на свободни променливи на система (2) съответства на едно и само едно решение на система (2) и следователно на система (1). По-специално, само нулевото решение на система (2) и система (1) съответства на системата от нулеви стойности.

В система (2) ще присвоим стойност, равна на 1, на една от свободните променливи и нулеви стойности на другите променливи. В резултат на това получаваме решения на системата от уравнения (2), които записваме като редове от следната матрица C:

Системата от редове на тази матрица е линейно независима. Наистина, за всякакви скалари от равенството

следва равенството

а оттам и равенството

Нека докажем, че линейният обхват на системата от редове на матрицата C съвпада с множеството от всички решения на система (1).

Произволно решение на система (1). След това векторът

също е решение на система (1) и