Уравнението

където и са непрекъснати функции в интервала се нарича нехомогенно линейно диференциално уравнение от втори ред, функциите и са неговите коефициенти. Ако в този интервал, тогава уравнението приема формата:

и се нарича хомогенно линейно диференциално уравнение от втори ред. Ако уравнение (**) има същите коефициенти и като уравнение (*), то се нарича хомогенно уравнение, съответстващо на нехомогенно уравнение (*).

Хомогенни линейни диференциални уравнения от втори ред

Пуснете линейното уравнение

И са постоянни реални числа.

Ще търсим конкретно решение на уравнението под формата на функция , където е реално или комплексно число, което трябва да се определи. Диференцирайки по отношение на , получаваме:

Замествайки в оригиналното диференциално уравнение, получаваме:

Следователно, като се има предвид, че имаме:

Това уравнение се нарича характеристично уравнение на хомогенно линейно диференциално уравнение. Характеристичното уравнение също позволява да се намери . Това е уравнение от втора степен, така че има два корена. Нека ги обозначим с и . Възможни са три случая:

1) Корените са реални и различни. В такъв случай общо решениеуравнения:

Пример 1

2) Корените са реални и равни. В този случай общото решение на уравнението е:

Пример2

Попаднахте на тази страница, докато се опитвахте да решите задача на изпит или тест? Ако все още не можете да издържите изпита - следващия път, уговорете предварително на уебсайта за онлайн помощ по висша математика.

Характеристичното уравнение има формата:

Решение на характеристичното уравнение:

Общо решение на първоначалното диференциално уравнение:

3) Сложни корени. В този случай общото решение на уравнението е:

Пример 3

Характеристичното уравнение има формата:

Решение на характеристичното уравнение:

Общо решение на първоначалното диференциално уравнение:

Нееднородни линейни диференциални уравнения от втори ред

Помислете сега за решението на някои видове линейни нехомогенно уравнениевтори ред с постоянни коефициенти

където и са постоянни реални числа, е известна непрекъсната функция в интервала . За да се намери общото решение на такова диференциално уравнение, е необходимо да се знае общото решение на съответното хомогенно диференциално уравнение и конкретното решение. Нека разгледаме някои случаи:

Също така търсим конкретно решение на диференциалното уравнение под формата на квадратен трином:

Ако 0 е единичен корен на характеристичното уравнение, тогава

Ако 0 е двоен корен на характеристичното уравнение, тогава

Ситуацията е подобна, ако е полином с произволна степен

Пример 4

Ние ще решим съответните хомогенно уравнение.

Характеристично уравнение:

Общото решение на хомогенното уравнение:

Нека намерим частно решение на нехомогенното диф-уравнение:

Замествайки намерените производни в оригиналното диференциално уравнение, получаваме:

Желаното конкретно решение:

Общо решение на първоначалното диференциално уравнение:

Търсим конкретно решение във формата , където е неопределен коефициент.

Замествайки и в първоначалното диференциално уравнение, получаваме идентичност, от която намираме коефициента.

Ако е коренът на характеристичното уравнение, тогава търсим конкретно решение на първоначалното диференциално уравнение във формата , когато е единичен корен и , когато е двоен корен.

Пример 5

Характеристично уравнение:

Общото решение на съответното хомогенно диференциално уравнение е:

Нека намерим конкретно решение на съответното нехомогенно диференциално уравнение:

Общото решение на диференциалното уравнение:

В този случай ние търсим конкретно решение под формата на тригонометричен бином:

където и са несигурни коефициенти

Замествайки и в първоначалното диференциално уравнение, получаваме идентичност, от която намираме коефициентите.

Тези уравнения определят коефициентите и с изключение на случая, когато (или когато са корените на характеристичното уравнение). В последния случай търсим конкретно решение на диференциалното уравнение във формата:

Пример6

Характеристично уравнение:

Общото решение на съответното хомогенно диференциално уравнение е:

Нека намерим частно решение на нехомогенното диф-уравнение

Замествайки в оригиналното диференциално уравнение, получаваме:

Общо решение на първоначалното диференциално уравнение:

Сходимост на числови редове
Дава се дефиницията на сходимостта на редицата и се разглеждат подробно проблемите за изследване на сходимостта числова серия- критерии за сравнение, критерий за сходимост на d'Alembert, критерий за сходимост на Коши и интегрален критерий за сходимост на Коши⁡.

Абсолютна и условна сходимост на редица
Страницата разглежда редуващи се редове, тяхната условна и абсолютна сходимост, теста за сходимост на Лайбниц за редуващи се редове - съдържа кратка теорияпо темата и пример за решаване на проблема.

Линейно диференциално уравнение от втори ред се нарича уравнение от вида

г"" + стр(х)г" + р(х)г = f(х) ,

където ге функцията, която трябва да се намери, и стр(х) , р(х) и f(х) са непрекъснати функции на някакъв интервал ( а, б) .

Ако дясната страна на уравнението е нула ( f(х) = 0 ), тогава уравнението се извиква линейно хомогенно уравнение . Такива уравнения ще бъдат посветени главно на практическата част на този урок. Ако дясната страна на уравнението не е равна на нула ( f(х) ≠ 0 ), тогава уравнението се нарича .

В задачите се изисква да решим уравнението по отношение на г"" :

г"" = −стр(х)г" − р(х)г + f(х) .

Линейните диференциални уравнения от втори ред имат уникално решение Проблеми на Коши .

Линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред и неговото решение

Разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред:

г"" + стр(х)г" + р(х)г = 0 .

Ако г1 (х) и г2 (х) са конкретни решения на това уравнение, тогава следните твърдения са верни:

1) г1 (х) + г 2 (х) - също е решение на това уравнение;

2) Cy1 (х) , където ° С- произволна константа (константа), също е решение на това уравнение.

От тези две твърдения следва, че функцията

° С1 г 1 (х) + ° С 2 г 2 (х)

също е решение на това уравнение.

Възниква справедлив въпрос: това решение ли е общо решение на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред , тоест такова решение, в което за различни стойности ° С1 и ° С2 възможно ли е да се получат всички възможни решения на уравнението?

Отговорът на този въпрос е: може, но при определени условия. то условие какви свойства трябва да притежават конкретните решения г1 (х) и г2 (х) .

И това състояние се нарича условие линейна независимостчастни решения.

Теорема. функция ° С1 г 1 (х) + ° С 2 г 2 (х) е общо решение на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред, ако функциите г1 (х) и г2 (х) са линейно независими.

Определение. Функции г1 (х) и г2 (х) се наричат ​​линейно независими, ако съотношението им е различна от нула константа:

г1 (х)/г 2 (х) = к ; к = конст ; к ≠ 0 .

Въпреки това, установяването по дефиниция дали тези функции са линейно независими често е много трудно. Има начин да се установи линейна независимост, като се използва детерминантата на Wronsky У(х) :

Ако детерминантата на Wronsky не е равна на нула, тогава решенията са линейно независими . Ако детерминантата на Wronsky е равна на нула, тогава решенията са линейно зависими.

Пример 1Намерете общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение.

Решение. Интегрираме два пъти и, както е лесно да се види, за да бъде разликата на втората производна на функцията и самата функция равна на нула, решенията трябва да бъдат свързани с експонента, чиято производна е равна на себе си. Тоест частните решения са и .

От детерминанта Вронски

не е равно на нула, тогава тези решения са линейно независими. Следователно общото решение на това уравнение може да бъде написано като

.

Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти: теория и практика

Линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти се нарича уравнение от вида

г"" + py" + qy = 0 ,

където стри рса постоянни стойности.

Фактът, че това е уравнение от втори ред, се показва от наличието на втората производна на желаната функция, а нейната хомогенност е обозначена с нула от дясната страна. Вече споменатите по-горе величини се наричат ​​постоянни коефициенти.

Да се решаване на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти , първо трябва да се реши т.нар характеристично уравнениемил

к² + pq + р = 0 ,

което, както се вижда, е обикновено квадратно уравнение.

В зависимост от решението на характеристичното уравнение са възможни три различни варианта решение на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти , които сега ще анализираме. За пълна сигурност ще приемем, че всички отделни решения са тествани от детерминантата на Вронски и във всички случаи тя не е равна на нула. Съмняващите се обаче могат да го проверят сами.

Корени на характеристичното уравнение - реални и различни

С други думи, . В този случай решението на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти има формата

.

Пример 2. Решаване на линейно хомогенно диференциално уравнение

.

Пример 3. Решаване на линейно хомогенно диференциално уравнение

.

Решение. Характеристичното уравнение има формата , неговите корени и са реални и различни. Съответните частни решения на уравнението: и . Общото решение на това диференциално уравнение има формата

.

Корени на характеристичното уравнение - реални и равни

Това е, . В този случай решението на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти има формата

.

Пример 4. Решаване на линейно хомогенно диференциално уравнение

.

Решение. Характеристично уравнение То има равни корени. Съответните частни решения на уравнението: и . Общото решение на това диференциално уравнение има формата

Пример 5. Решаване на линейно хомогенно диференциално уравнение

.

Решение. Характеристичното уравнение има равни корени. Съответните частни решения на уравнението: и . Общото решение на това диференциално уравнение има формата

Тази статия разкрива въпроса за решаване на линейни нехомогенни диференциални уравнениявтори ред с постоянни коефициенти. Теорията ще бъде разгледана заедно с примери за дадените задачи. За да дешифрирате неразбираеми термини, е необходимо да се обърнете към темата за основните определения и понятия на теорията на диференциалните уравнения.

Разгледайте линейно диференциално уравнение (LDE) от втори ред с постоянни коефициенти под формата y "" + p y " + q y \u003d f (x) , където p и q са произволни числа, а съществуващата функция f (x) е непрекъснат на интервала на интегриране x .

Нека преминем към формулирането на общата теорема за решение за LIDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Обща теорема за решение за LDNU

Теорема 1

Общото решение, разположено в интервала x, на нехомогенно диференциално уравнение от вида y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) с коефициенти на непрекъснато интегриране на x интервал f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) и непрекъсната функция f (x) е равно на сумата от общото решение y 0 , което съответства на LODE и някое конкретно решение y ~ , където първоначалното нехомогенно уравнение е y = y 0 + y ~ .

Това показва, че решението на такова уравнение от втори ред има формата y = y 0 + y ~ . Алгоритъмът за намиране на y 0 е разгледан в статията за линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. След това трябва да се пристъпи към дефиницията на y ~ .

Изборът на конкретно решение на LIDE зависи от типа на наличната функция f (x), разположена от дясната страна на уравнението. За да направите това, е необходимо да се разгледат отделно решенията на линейни нееднородни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Когато f (x) се счита за полином от n-та степен f (x) = P n (x) , следва, че определено решение на LIDE се намира по формула от вида y ~ = Q n (x ) x γ , където Q n ( x) е полином от степен n, r е броят на нулевите корени на характеристичното уравнение. Стойността на y ~ е конкретно решение y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , тогава наличните коефициенти, които се определят от полинома
Q n (x) , намираме с помощта на метода на неопределените коефициенти от равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Пример 1

Изчислете с помощта на теоремата на Коши y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Решение

С други думи, необходимо е да се премине към конкретно решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти y "" - 2 y " = x 2 + 1 , което ще отговаря на дадените условия y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Общото решение на линейно нехомогенно уравнение е сумата от общото решение, което съответства на уравнението y 0 или конкретно решение на нехомогенното уравнение y ~ , тоест y = y 0 + y ~ .

Първо, нека намерим общо решение за LNDE, а след това конкретно.

Нека да преминем към намирането на y 0 . Написването на характеристичното уравнение ще помогне да се намерят корените. Разбираме това

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 \u003d 2

Открихме, че корените са различни и реални. Затова пишем

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

Нека намерим y ~ . Вижда се, че дясната страна пер дадено уравнениее полином от втора степен, тогава един от корените е равен на нула. От тук получаваме, че определено решение за y ~ ще бъде

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, където стойностите на A, B, C вземете неопределени коефициенти.

Нека ги намерим от равенство от вида y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Тогава получаваме това:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Приравнявайки коефициентите с еднакви показатели x , получаваме система от линейни изрази - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Когато решаваме по някой от начините, намираме коефициентите и записваме: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 и y ~ = A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Този запис се нарича общо решение на оригиналното линейно нехомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти.

За да се намери конкретно решение, което отговаря на условията y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , е необходимо да се определят стойностите C1и C2, основано на равенство от вида y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Получаваме това:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Работим с получената система от уравнения от вида C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , където C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Прилагайки теоремата на Коши, имаме това

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Отговор: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Когато функцията f (x) е представена като произведение на полином със степен n и експонента f (x) = P n (x) e a x , тогава от тук получаваме, че определено решение на LIDE от втори ред ще бъде уравнение от вида y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , където Q n (x) е полином от n-та степен, а r е броят на корените на характеристичното уравнение, равен на α .

Коефициентите, принадлежащи на Q n (x), се намират чрез равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Пример 2

Намерете общото решение на диференциално уравнение от вида y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Решение

Уравнението общ изглед y = y 0 + y ~ . Определено уравнениесъответства на LOD y "" - 2 y " = 0. Предишният пример показва, че неговите корени са равни на k1 = 0и k 2 = 2 и y 0 = C 1 + C 2 e 2 x съгласно характеристичното уравнение.

Това е ясно правилната странана уравнението е x 2 + 1 · e x . От тук LNDE се намира чрез y ~ = e a x Q n (x) x γ, където Q n (x) , което е полином от втора степен, където α = 1 и r = 0, тъй като характеристичното уравнение не имат корен, равен на 1. Следователно получаваме това

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C са неизвестни коефициенти, които могат да бъдат намерени от равенството y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Разбрах това

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Приравняваме показателите за едни и същи коефициенти и получаваме система от линейни уравнения. От тук намираме A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Отговор:може да се види, че y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 е конкретно решение на LIDE и y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Когато функцията е записана като f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x и A 1и В 1са числа, тогава уравнение от формата y ~ = A cos β x + B sin β x x γ, където A и B се считат за неопределени коефициенти, а r броят на комплексно спрегнатите корени, свързани с характеристичното уравнение, равно на ± i β . В този случай търсенето на коефициенти се извършва чрез равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Пример 3

Намерете общото решение на диференциално уравнение под формата y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Решение

Преди да напишем характеристичното уравнение, намираме y 0 . Тогава

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 = - 2 i

Имаме двойка комплексно спрегнати корени. Нека трансформираме и получаваме:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Корените от характеристичното уравнение се считат за спрегната двойка ± 2 i , тогава f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Това показва, че търсенето на y ~ ще бъде направено от y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Неизвестни коефициентите A и B ще се търсят от равенство от формата y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Нека трансформираме:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Тогава се вижда, че

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

Необходимо е да се приравнят коефициентите на синусите и косинусите. Получаваме система от вида:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

От това следва, че y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

Отговор:общото решение на оригиналния LIDE от втори ред с постоянни коефициенти се счита за

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Когато f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , тогава y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ Имаме, че r е броят на комплексно спрегнатите двойки корени, свързани с характеристичното уравнение, равен на α ± i β , където P n (x) , Q k (x) , L m ( x) и N m (x)са полиноми от степен n, k, m, където m = m a x (n, k). Намиране на коефициенти L m (x)и N m (x)се получава въз основа на равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Пример 4

Намерете общото решение y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Решение

От условието става ясно, че

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Тогава m = m a x (n , k) = 1 . Намираме y 0, като първо напишем характеристичното уравнение във формата:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Открихме, че корените са реални и различни. Следователно y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . След това е необходимо да се търси общо решение, основано на нехомогенно уравнение y ~ от формата

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Известно е, че A, B, C са коефициенти, r = 0, тъй като няма двойка спрегнати корени, свързани с характеристичното уравнение с α ± i β = 3 ± 5 · i . Тези коефициенти се намират от полученото равенство:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Намиране на производната и подобни условиядава

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

След приравняване на коефициентите се получава система от вида

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

От всичко следва, че

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1) грях (5x))

Отговор:сега е получено общото решение на даденото линейно уравнение:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Алгоритъм за решаване на LDNU

Определение 1

Всеки друг вид функция f (x) за решението осигурява алгоритъма за решение:

• намиране на общото решение на съответното линейно хомогенно уравнение, където y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , където y 1и y2са линейно независими отделни решения на LODE, от 1и От 2се считат за произволни константи;
• приемане като общо решение на LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• дефиниция на производни на функция чрез система от формата C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) и функции за намиране C 1 (x)и C 2 (x) чрез интегриране.

Пример 5

Намерете общото решение за y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Решение

Пристъпваме към писане на характеристичното уравнение, като преди това сме написали y 0 , y "" + 36 y = 0 . Нека напишем и решим:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Имаме, че записът на общото решение на даденото уравнение ще приеме формата y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Необходимо е да се премине към дефиницията на производните функции C 1 (x)и C2(x)по системата с уравнения:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Необходимо е да се вземе решение относно C 1 "(x)и C2" (x)използвайки всеки метод. Тогава пишем:

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Всяко от уравненията трябва да бъде интегрирано. След това записваме получените уравнения:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

От това следва, че общото решение ще има формата:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Отговор: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Този параграф ще разгледа специален случайлинейни уравнения от втори ред, когато коефициентите на уравнението са постоянни, т.е. те са числа. Такива уравнения се наричат ​​уравнения с постоянни коефициенти. Този тип уравнение намира особено широко приложение.

1. Линейни хомогенни диференциални уравнения

втори ред с постоянни коефициенти

Помислете за уравнението

където коефициентите са постоянни. Ако приемем, че разделяйки всички членове на уравнението с и обозначавайки

записваме това уравнение във формата

Както е известно, за да се намери общото решение на линейно хомогенно уравнение от втори ред, е достатъчно да се знае неговото фундаментална системачастни решения. Нека да покажем как се намира фундаменталната система от конкретни решения за хомогенно линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. Ще търсим конкретно решение на това уравнение във формата

Диференцирайки тази функция два пъти и замествайки изразите за в уравнение (59), получаваме

Тъй като , тогава, намаляване на получаваме уравнението

От това уравнение се определят онези стойности на k, за които функцията ще бъде решение на уравнение (59).

Алгебричното уравнение (61) за определяне на коефициента k се нарича характеристично уравнение на даденото диференциално уравнение (59).

Характеристичното уравнение е уравнение от втора степен и следователно има два корена. Тези корени могат да бъдат или реално различни, или реални и равни, или комплексно спрегнати.

Нека разгледаме формата на фундаменталната система от частични решения във всеки от тези случаи.

1. Корените на характеристичното уравнение са реални и различни: . В този случай, съгласно формула (60), намираме две конкретни решения:

Тези две конкретни решения образуват фундаментална система от решения на цялата числова ос, тъй като детерминантата на Wronsky никога не изчезва:

Следователно общото решение на уравнението по формула (48) има вида

2. Корените на характеристичното уравнение са равни: . В този случай и двата корена ще бъдат истински. По формула (60) получаваме само едно конкретно решение

Нека покажем, че второто конкретно решение, което заедно с първото образува фундаментална система, има формата

Първо, проверяваме дали функцията е решение на уравнение (59). Наистина ли,

Но тъй като е коренът на характеристичното уравнение (61). Освен това, съгласно теоремата на Виета, следователно . Следователно, , т.е. функцията наистина е решение на уравнение (59).

Нека сега покажем, че намерените частни решения образуват фундаментална система от решения. Наистина ли,

Така в този случай общото решение на хомогенното линейно уравнение има формата

3. Корените на характеристичното уравнение са комплексни. Както е известно, комплексните корени на квадратно уравнение с реални коефициенти са спрегнати комплексни числа, т.е. имат формата: . В този случай частните решения на уравнение (59), съгласно формула (60), ще имат формата:

Използвайки формулите на Ойлер (виж гл. XI, § 5, стр. 3), изразите за могат да бъдат записани във формата:

Тези решения са комплексни. За да получите реални решения, помислете за новите функции

Те са линейни комбинации от решения и следователно самите те са решения на уравнение (59) (виж § 3, т. 2, теорема 1).

Лесно е да се покаже, че детерминантът на Вронски за тези решения е различен от нула и следователно решенията образуват фундаментална система от решения.

По този начин общото решение на хомогенно линейно диференциално уравнение в случай на комплексни корени на характеристичното уравнение има формата

В заключение даваме таблица с формули за общото решение на уравнение (59) в зависимост от формата на корените на характеристичното уравнение.

Диференциални уравнения от втори и по-високи редове.
Линейни DE от втори ред с постоянни коефициенти.
Примери за решения.

Преминаваме към разглеждането на диференциални уравнения от втори ред и диференциални уравнения от по-високи редове. Ако имате неясна представа какво е диференциално уравнение (или изобщо не разбирате какво е), тогава препоръчвам да започнете с урока Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения. Много принципи на вземане на решения и основни понятиядифуранти от първи ред автоматично се разширяват до диференциални уравнения от по-висок ред, така че много е важно първо да разберете уравненията от първи ред.

Много читатели може да имат предубеждение, че DE от 2-ри, 3-ти и други разряди е нещо много трудно и недостъпно за овладяване. Това не е вярно . Научете се да решавате дифузи по-висок редедва ли по-сложно от "обикновените" DE от 1-ви ред. А на места е дори по-лесно, тъй като материалът от училищната програма се използва активно в решенията.

Най - известен диференциални уравнения от втори ред. В диференциално уравнение от втори ред непременновключва втората производна и които не са включени

Трябва да се отбележи, че някои от бебетата (и дори всички наведнъж) може да липсват от уравнението, важно е бащата да е вкъщи. Най-примитивното диференциално уравнение от втори ред изглежда така:

Диференциални уравнения от трети ред в практически задачисе срещат много по-рядко, по мои субективни наблюдения в Държавна думаще получат около 3-4% от гласовете.

В диференциално уравнение от трети ред непременновключва третата производна и които не са включенипроизводни от по-високи разряди:

Най-простото диференциално уравнение от трети ред изглежда така: - татко е вкъщи, всички деца са на разходка.

По подобен начин могат да се дефинират диференциални уравнения от 4-ти, 5-ти и по-високи редове. В практическите задачи такива DE се подхлъзват изключително рядко, но ще се опитам да дам подходящи примери.

Диференциалните уравнения от по-висок ред, които се предлагат в практически задачи, могат да бъдат разделени на две основни групи.

1) Първата група – т.нар уравнения от по-нисък ред. Влетете!

2) Втората група - линейни уравненияпо-високи порядки с постоянни коефициенти. Което ще започнем да разглеждаме точно сега.

Линейни диференциални уравнения от втори ред
с постоянни коефициенти

В теорията и практиката се разграничават два вида такива уравнения - хомогенно уравнениеи нехомогенно уравнение.

Хомогенна DE от втори ред с постоянни коефициентиТо има следващ изглед:
, където и са константи (числа), а от дясната страна - строгонула.

Както можете да видите, няма специални трудности с хомогенни уравнения, основното е това реши правилно квадратно уравнение .

Понякога има нестандартни хомогенни уравнения, например уравнение във формата , където при втората производна има някаква константа , различна от единица (и, разбира се, различна от нула). Алгоритъмът за решение изобщо не се променя, трябва спокойно да съставите характеристичното уравнение и да намерите неговите корени. Ако характеристичното уравнение ще има два различни реални корена, например: , тогава общото решение може да бъде написано по обичайния начин: .

В някои случаи, поради печатна грешка в условието, могат да се окажат „лоши“ корени, нещо подобно . Какво да правя, отговорът ще трябва да бъде написан така:

С "лоши" спрегнати сложни корени като също няма проблем, общо решение:

Това е, общо решение съществува във всеки случай. Защото всяко квадратно уравнение има два корена.

В последния параграф, както обещах, ще разгледаме накратко:

Линейни хомогенни уравнения от по-висок ред

Всичко е много, много подобно.

Линейното хомогенно уравнение от трети ред има следната форма:
, където са константи.
За това уравнение също трябва да съставите характеристично уравнение и да намерите неговите корени. Характеристичното уравнение, както мнозина предположиха, изглежда така:
, и то така или иначеТо има точно трикорен.

Нека, например, всички корени са реални и различни: , тогава общото решение може да се запише по следния начин:

Ако единият корен е реален, а другите два са спрегнат комплекс, тогава записваме общото решение, както следва:

Специален случайкогато и трите корена са кратни (еднакви). Нека разгледаме най-простата хомогенна DE от 3-ти ред със самотен баща: . Характеристичното уравнение има три съвпадащи нулеви корена. Записваме общото решение, както следва:

Ако характеристичното уравнение има, например, три кратни корена, тогава общото решение съответно е:

Пример 9

Решете хомогенно диференциално уравнение от трети ред

Решение:Съставяме и решаваме характеристичното уравнение:

, - получават се един реален корен и два спрегнати комплексни корена.

Отговор:общо решение

По подобен начин можем да разгледаме линейно хомогенно уравнение от четвърти ред с постоянни коефициенти: , където са константи.