Дроби, действия с дроби. Действие с обикновени дроби

Дробите са обикновени и десетични. Когато ученикът научи за съществуването на последния, той започва при всяка възможност да превежда всичко възможно в десетична форма, дори ако това не се изисква.

Колкото и да е странно, предпочитанията на гимназистите и студентите се променят, защото е по-лесно да се извършват много аритметични операции с обикновени дроби. И стойностите, с които се занимават завършилите, понякога могат да бъдат просто невъзможни за преобразуване в десетична форма без загуба. В резултат на това и двата вида дроби са, по един или друг начин, адаптирани към случая и имат своите предимства и недостатъци. Нека да видим как да работим с тях.

Определение

Фракциите са еднакви акции. Ако в един портокал има десет резена и ви е дадена една, тогава имате 1/10 от плода в ръката си. С такава нотация, както в предходното изречение, дробта ще се нарича обикновена дроб. Ако пишете същото като 0,1 - десетична. И двата варианта са равни, но имат своите предимства. Първият вариант е по-удобен за умножение и деление, вторият - за събиране, изваждане и в редица други случаи.

Как да конвертирате дроб в друга форма

Да предположим, че имате обикновена дроб и искате да я преобразувате в десетична. Какво трябва да направя?

Между другото, трябва да решите предварително, че не всяко число може да бъде написано в десетична форма без проблеми. Понякога трябва да закръглите резултата, губейки определен брой десетични знаци, а в много области - например в точните науки - това е напълно непозволен лукс. В същото време действията с десетични и обикновени дроби в 5 клас позволяват да се извърши такова прехвърляне от един вид в друг без намеса, поне като обучение.

Ако от знаменателя чрез умножаване или деление на цяло число можете да получите стойност, кратна на 10, прехвърлянето ще премине без никакви затруднения: ¾ се превръща в 0,75, 13/20 - в 0,65.

Обратната процедура е още по-лесна, тъй като винаги можете да получите обикновена дроб от десетична дроб без загуба на точност. Например 0,2 става 1/5, а 0,08 става 4/25.

Вътрешни преобразувания

Преди да извършите съвместни действия с обикновени дроби, трябва да подготвите числата за възможни математически операции.

На първо място, трябва да приведете всички дроби в примера в една обща форма. Те трябва да са обикновени или десетични. Веднага направете резервация, че умножението и делението са по-удобни за изпълнение с първото.

При подготовката на числата за по-нататъшни действия ще ви помогне правило, известно като и използвано както в ранните години на изучаване на предмета, така и във висшата математика, която се изучава в университетите.

Свойства на дробите

Да предположим, че имате някаква стойност. Да кажем 2/3. Какво се случва, ако умножите числителя и знаменателя по 3? Вземете 6/9. Ами ако е милион? 2000000/3000000. Но почакайте, защото числото изобщо не се променя качествено - 2/3 остават равни на 2000000/3000000. Променя се само формата, но не и съдържанието. Същото се случва, когато и двете части се разделят на една и съща стойност. Това е основното свойство на дробта, което многократно ще ви помогне да извършвате действия с десетични и обикновени дроби на тестове и изпити.

Умножаването на числителя и знаменателя с едно и също число се нарича разширяване на дроб, а деленето се нарича съкращаване. Трябва да кажа, че зачеркването на едни и същи числа отгоре и отдолу при умножаване и деление на дроби е изненадващо приятна процедура (като част от урок по математика, разбира се). Изглежда, че отговорът вече е близо и примерът е практически решен.

Неправилни дроби

Неправилна дроб е тази, в която числителят е по-голям или равен на знаменателя. С други думи, ако от него може да се разграничи цяла част, тя попада в това определение.

Ако такова число (по-голямо или равно на единица) се представи като обикновена дроб, то ще се нарече неправилно. И ако числителят е по-малък от знаменателя - правилно. И двата вида са еднакво удобни при изпълнението на възможни действия с обикновени дроби. Те могат свободно да се умножават и делят, събират и изваждат.

Ако в същото време е избрана цяла част и в същото време има остатък под формата на дроб, полученото число ще се нарича смесено. В бъдеще ще срещнете различни начини за комбиниране на такива структури с променливи, както и решаване на уравнения, където това знание се изисква.

Аритметични операции

Ако всичко е ясно с основното свойство на фракцията, тогава как да се държим при умножаване на дроби? Действията с обикновени дроби в 5. клас включват всякакви аритметични действия, които се извършват по два различни начина.

Умножението и делението са много лесни. В първия случай числителите и знаменателите на две дроби просто се умножават. Във втория - същото, само на кръст. Така числителят на първата дроб се умножава по знаменателя на втората и обратно.

За да извършите събиране и изваждане, трябва да извършите допълнително действие - да приведете всички компоненти на израза към общ знаменател. Това означава, че долните части на дробите трябва да бъдат променени на една и съща стойност - кратно на двата налични знаменателя. Например за 2 и 5 ще бъде 10. За 3 и 6 - 6. Но тогава какво да правим с върха? Не можем да го оставим така, както беше, ако сменихме долния. Съгласно основното свойство на дробта, ние умножаваме числителя по същото число като знаменателя. Тази операция трябва да се извърши върху всяко от числата, които ще събираме или изваждаме. Но такива действия с обикновени дроби в 6-ти клас вече се извършват „на машината“ и трудностите възникват само в началния етап на изучаване на темата.

Сравнение

Ако две дроби имат еднакъв знаменател, тогава този с по-голям числител ще бъде по-голям. Ако горните части са еднакви, тогава тази с по-малък знаменател ще бъде по-голяма. Трябва да се има предвид, че такива успешни ситуации за сравнение рядко се случват. Най-вероятно както горната, така и долната част на изразите няма да съвпадат. След това трябва да запомните възможните действия с обикновени дроби и да използвате техниката, използвана при добавяне и изваждане. Освен това не забравяйте, че ако говорим за отрицателни числа, тогава по-голямата фракция в модула ще бъде по-малка.

Предимства на обикновените дроби

Случва се учителите да кажат на децата една фраза, чието съдържание може да се изрази по следния начин: колкото повече информация се дава при формулирането на задачата, толкова по-лесно ще бъде решението. Звучи ли странно? Но наистина: с голям брой известни стойности можете да използвате почти всяка формула, но ако са предоставени само няколко числа, може да са необходими допълнителни размисли, ще трябва да запомните и докажете теореми, да дадете аргументи в полза на вашата правота ...

Защо правим това? Освен това обикновените дроби, въпреки цялата им тромавост, могат значително да опростят живота на ученик, позволявайки ви да намалите цели редове от стойности при умножаване и деление, а при изчисляване на сумата и разликата да извадите общи аргументи и , отново ги намалете.

Когато е необходимо да се извършват съвместни действия с обикновени и десетични дроби, трансформациите се извършват в полза на първия: как да преведете 3/17 в десетична форма? Само със загуба на информация, иначе не. Но 0,1 може да бъде представено като 1/10 и след това като 17/170. И тогава двете получени числа могат да бъдат добавени или извадени: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Защо десетичните знаци са полезни?

Ако действията с обикновени дроби са по-удобни за извършване, тогава записването на всичко с тяхна помощ е изключително неудобно, десетичните знаци имат значително предимство тук. Сравнете: 1748/10000 и 0.1748. Това е една и съща стойност, представена в две различни версии. Разбира се, вторият начин е по-лесен!

Освен това десетичните знаци са по-лесни за представяне, тъй като всички данни имат обща база, която се различава само по порядъци. Да кажем, че можем лесно да разпознаем 30% отстъпка и дори да я оценим като значителна. Ще разберете ли веднага кое е повече - 30% или 137/379? По този начин десетичните дроби осигуряват стандартизация на изчисленията.

В гимназията учениците решават квадратни уравнения. Тук вече е изключително проблематично да се извършват действия с обикновени дроби, тъй като формулата за изчисляване на стойностите на променливата съдържа квадратния корен на сумата. При наличието на дроб, която не се свежда до десетична запетая, решението става толкова сложно, че става почти невъзможно да се изчисли точният отговор без калкулатор.

И така, всеки начин за представяне на дроби има своите предимства в подходящия контекст.

Форми за влизане

Има два начина за писане на действия с обикновени дроби: през хоризонтална линия, на две „нива“ и чрез наклонена черта (известна още като „наклонена черта“) - в линия. Когато ученикът пише в тетрадка, първият вариант обикновено е по-удобен и следователно по-често срещан. Разпределението на редица числа в клетки допринася за развитието на вниманието при изчисления и трансформации. Когато пишете в низ, можете неволно да объркате реда на действията, да загубите всякакви данни - тоест да направите грешка.

Доста често в наше време има нужда да отпечатате числа на компютър. Можете да разделяте фракции с традиционна хоризонтална лента, като използвате функция в Microsoft Word 2010 и по-нова версия. Факт е, че в тези версии на софтуера има опция, наречена "формула". Той показва правоъгълно трансформируемо поле, в което можете да комбинирате всякакви математически символи, съставяйки както двуетажни, така и „четириетажни“ фракции. В знаменателя и числителя можете да използвате скоби, знаци за операция. В резултат на това ще можете да запишете всякакви съвместни действия с обикновени и десетични дроби в традиционната форма, тоест по начина, по който ви учат да го правите в училище.

Ако използвате стандартния текстов редактор на Notepad, тогава всички дробни изрази ще трябва да бъдат написани чрез наклонена черта. За съжаление тук няма друг начин.

Заключение

Така че разгледахме всички основни действия с обикновени дроби, които, оказва се, не са толкова много.

Ако в началото може да изглежда, че това е сложен раздел от математиката, тогава това е само временно впечатление - не забравяйте, че някога сте мислили така за таблицата за умножение и дори по-рано - за обичайните тетрадки и броенето от едно до десет.

Важно е да се разбере, че дробите се използват навсякъде в ежедневието. Ще се занимаваш с пари и инженерни изчисления, информационни технологии и музикална грамотност, и навсякъде - навсякъде! - ще се появят дробни числа. Затова не бъдете мързеливи и изучете тази тема задълбочено - особено след като не е толкова трудно.

Умножение и деление на дроби.

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Тази операция е много по-хубава от събиране-изваждане! Защото е по-лесно. Напомням ви: за да умножите дроб по дроб, трябва да умножите числителите (това ще бъде числителят на резултата) и знаменателите (това ще бъде знаменателят). Това е:

Например:

Всичко е изключително просто. И моля, не търсете общ знаменател! Не ми трябва тук...

За да разделите дроб на дроб, трябва да обърнете второ(това е важно!) дроб и ги умножете, т.е.:

Например:

Ако се хване умножение или деление с цели числа и дроби, всичко е наред. Както при събирането, правим дроб от цяло число с единица в знаменателя - и тръгваме! Например:

В гимназията често трябва да се справяте с триетажни (или дори четириетажни!) фракции. Например:

Как да доведем тази фракция до прилична форма? Да, много лесно! Използвайте деление през две точки:

Но не забравяйте за реда на разделяне! За разлика от умножението, тук това е много важно! Разбира се, няма да бъркаме 4:2 или 2:4. Но в триетажна фракция е лесно да се направи грешка. Моля, обърнете внимание, например:

В първия случай (израз вляво):

Във втория (израз вдясно):

Почувствай разликата? 4 и 1/9!

Какъв е редът на разделяне? Или скоби, или (както тук) дължината на хоризонталните тирета. Развийте око. И ако няма скоби или тирета, като:

след това деление-умножение в ред, отляво надясно!

И още един много прост и важен трик. При действия с градуси ще ви е от полза! Нека разделим единицата на произволна дроб, например на 13/15:

Кадърът се обърна! И винаги се случва. При разделяне на 1 на която и да е дроб, резултатът е същата дроб, само обърната.

Това са всички действия с дроби. Нещото е доста просто, но дава повече от достатъчно грешки. Обърнете внимание на практическите съвети и ще има по-малко от тях (грешки)!

Практически съвети:

1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието! Това не са общи думи, не са добри пожелания! Това е сериозна нужда! Направете всички изчисления на изпита като пълноценна задача, с концентрация и яснота. По-добре е да напишете два допълнителни реда в чернова, отколкото да се объркате, когато изчислявате в главата си.

2. В примери с различни видове дроби - преминете към обикновени дроби.

3. Намаляваме всички дроби до крак.

4. Редуцираме многостепенните дробни изрази до обикновени, като използваме разделяне през две точки (следваме реда на разделяне!).

5. Разделяме единицата на дроб в ума си, просто като обърнем дробта.

Ето задачите, които трябва да изпълните. След всички задачи се дават отговори. Използвайте материалите от тази тема и практически съвети. Преценете колко примера можете да решите правилно. Първият път! Без калкулатор! И си направи правилните изводи...

Запомнете верния отговор получено от втори (особено трети) път - не се брои!Такъв е суровият живот.

Така, решаване в изпитен режим ! Между другото това е подготовка за изпита. Решаваме пример, проверяваме, решаваме следното. Решихме всичко - пак проверихме от първия до последния. Но само следвижте отговорите.

Изчисли:

решихте ли

Търсите отговори, които отговарят на вашите. Специално ги записах на бъркотия, далеч от изкушението, така да се каже... Ето ги и отговорите, записани с точка и запетая.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

И сега правим изводи. Ако всичко се получи - радвам се за вас! Елементарните изчисления с дроби не са ваш проблем! Можете да правите по-сериозни неща. Ако не...

Така че имате един от двата проблема. Или и двете наведнъж.) Липса на знания и (или) невнимание. Но това разрешими проблеми.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Нека се съгласим, че "действия с дроби" в нашия урок ще се разбират като действия с обикновени дроби. Дробта е дроб, която има атрибути като числител, дробна черта и знаменател. Това отличава обикновената дроб от десетичната дроб, която се получава от обикновена чрез редуциране на знаменателя до кратно на 10. Десетичната дроб се записва със запетая, която отделя цялата част от дробната. Ще говорим за операции с обикновени дроби, тъй като именно те създават най-големи трудности за учениците, които са забравили основите на тази тема, обхванати в първата половина на училищния курс по математика. В същото време при трансформирането на изрази във висшата математика се използват главно операции с обикновени дроби. Някои съкращения на дроби струват нещо! Десетичните дроби не създават големи затруднения. Така че давай!

Две фракции и се наричат равни, ако .

Например, защото

Дробите и (тъй като ), и (тъй като ) също са равни.

Очевидно и двете дроби и са равни. Това означава, че ако числителят и знаменателят на дадена дроб се умножат или разделят на едно и също естествено число, то ще се получи дроб, равна на дадената:.

Това свойство се нарича основно свойство на дроб.

Основното свойство на дроб може да се използва за промяна на знаците на числителя и знаменателя на дроб. Ако числителят и знаменателят на дробта се умножат по -1, тогава получаваме. Това означава, че стойността на една дроб няма да се промени, ако знаците на числителя и знаменателя се променят едновременно. Ако промените знака само на числителя или само на знаменателя, тогава дробта ще промени знака си:

Намаляване на фракцията

Използвайки основното свойство на дроб, можете да замените дадена дроб с друга, равна на дадената, но с по-малък числител и знаменател. Това заместване се нарича намаляване на дроба.

Нека например ни е дадена дроб. Числата 36 и 48 имат най-голям общ делител 12. Тогава

В общия случай съкращаването на дроби винаги е възможно, ако числителят и знаменателят не са взаимно прости числа. Ако числителят и знаменателят са относително прости числа, тогава дробта се нарича несъкратима.

И така, намаляването на дроб означава разделяне на числителя и знаменателя на дроб на общ множител. Всичко по-горе се отнася за дробни изрази, съдържащи променливи.

Пример 1Намалете фракцията

Решение. Да разложим числителя на множители, като преди това представим монома - 5 xyкато сбор - 2 xy - 3xy, получаваме

За да разложим знаменателя на множители, използваме формулата за разликата на квадратите:

Като резултат

Привеждане на дроби към общ знаменател

Нека две дроби и са дадени. Те имат различни знаменатели: 5 и 7. Използвайки основното свойство на дроб, можете да замените тези дроби с други, равни на тях, така че получените дроби да имат еднакви знаменатели. Умножавайки числителя и знаменателя на дробта по 7, получаваме

Умножавайки числителя и знаменателя по 5, получаваме

И така, дробите се свеждат до общ знаменател:

Но това не е единственото решение на проблема: например, тези дроби също могат да бъдат сведени до общ знаменател 70:

и като цяло към всеки знаменател, който се дели на 5 и 7.

Нека разгледаме още един пример: нека намалим дробта и до общ знаменател. Като се аргументираме както в предишния пример, получаваме

Но в този случай можете да приведете дробите към общ знаменател, по-малък от произведението на знаменателите на тези дроби. Намерете най-малкото общо кратно на 24 и 30: LCM(24, 30) = 120 .

Тъй като 120:4=5, за да се напише дроб със знаменател 120, и числителят, и знаменателят трябва да се умножат по 5, това число се нарича допълнителен множител. Средства .

Освен това получаваме 120:30=4. Умножавайки числителя и знаменателя на дробта с допълнителен коефициент 4, получаваме .

И така, тези дроби се свеждат до общ знаменател.

Най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби е възможно най-малкият общ знаменател.

За дробни изрази, които включват променливи, общият знаменател е полином, който се дели на знаменателя на всяка дроб.

Пример 2Намерете общия знаменател на дроби и .

Решение. Общият знаменател на тези дроби е полином, тъй като се дели на двете и на. Този полином обаче не е единственият, който може да бъде общ знаменател на тези дроби. Може да бъде и полином , и полином , и полином и т.н. Обикновено те вземат такъв общ знаменател, че всеки друг общ знаменател се дели на избрания без остатък. Такъв знаменател се нарича най-малък общ знаменател.

В нашия пример най-малкият общ знаменател е . Има:

;

Успяхме да приведем дробите към най-малкия общ знаменател. Това стана чрез умножаване на числителя и знаменателя на първата дроб по , а числителя и знаменателя на втората дроб по . Полиномите и се наричат допълнителни фактори, съответно за първата и втората фракция.

Събиране и изваждане на дроби

Добавянето на дроби се определя, както следва:

Например,

Ако b = д, тогава

Това означава, че за да добавите дроби с еднакъв знаменател, е достатъчно да добавите числителите и да оставите знаменателя същия. Например,

Ако се добавят дроби с различни знаменатели, тогава дробите обикновено се свеждат до най-малкия общ знаменател и след това се добавят числителите. Например,

Сега разгледайте пример за добавяне на дробни изрази с променливи.

Пример 3Преобразувайте израз в една дроб

Решение. Нека намерим най-малкия общ знаменател. За да направим това, първо разлагаме знаменателите на множители.

Дробите са обикновени числа, те също могат да се събират и изваждат. Но поради факта, че имат знаменател, тук са необходими по-сложни правила, отколкото за целите числа.

Разгледайте най-простия случай, когато има две дроби с еднакви знаменатели. Тогава:

За да добавите дроби с еднакви знаменатели, съберете техните числители и оставете знаменателя непроменен.

За да извадите дроби с еднакви знаменатели, е необходимо да извадите числителя на втората от числителя на първата дроб и отново да оставите знаменателя непроменен.

Във всеки израз знаменателите на дробите са равни. По дефиниция на събиране и изваждане на дроби получаваме:

Както можете да видите, нищо сложно: просто добавете или извадете числителите - и това е всичко.

Но дори и в такива прости действия хората успяват да направят грешки. Най-често забравят, че знаменателят не се променя. Например, когато ги добавяте, те също започват да се добавят и това е фундаментално погрешно.

Да се отървете от лошия навик да добавяте знаменатели е доста лесно. Опитайте се да направите същото, когато изваждате. В резултат на това знаменателят ще бъде нула и дробта (внезапно!) ще загуби значението си.

Затова запомнете веднъж завинаги: при събиране и изваждане знаменателят не се променя!

Освен това много хора правят грешки, когато събират няколко отрицателни дроби. Има объркване със знаците: къде да поставите минус и къде - плюс.

Този проблем също е много лесен за решаване. Достатъчно е да запомните, че минусът преди знака за дроб винаги може да бъде прехвърлен в числителя - и обратно. И разбира се, не забравяйте две прости правила:

Плюс по минус дава минус;
Две отрицания правят утвърдително.

Нека анализираме всичко това с конкретни примери:

Задача. Намерете стойността на израза:

В първия случай всичко е просто, а във втория ще добавим минуси към числителите на дроби:

Ами ако знаменателите са различни

Не можете директно да събирате дроби с различни знаменатели. Поне на мен този метод е непознат. Оригиналните дроби обаче винаги могат да бъдат пренаписани, така че знаменателите да станат еднакви.

Има много начини за преобразуване на дроби. Три от тях са разгледани в урока " Привеждане на дроби към общ знаменател", така че няма да се спираме на тях тук. Нека да разгледаме някои примери:

Задача. Намерете стойността на израза:

В първия случай привеждаме дробите към общ знаменател по метода "кръстосано". Във втория ще търсим LCM. Обърнете внимание, че 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Последните множители в тези разширения са равни, а първите са взаимнопрости. Следователно, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Ами ако дробта има цяло число

Мога да ви зарадвам: различните знаменатели на дробите не са най-голямото зло. Много повече грешки възникват, когато цялата част е подчертана в дробните членове.

Разбира се, за такива дроби има собствени алгоритми за събиране и изваждане, но те са доста сложни и изискват дълго проучване. По-добре използвайте простата диаграма по-долу:

Преобразувайте всички дроби, съдържащи цяло число, в неправилни. Получаваме нормални условия (дори и с различни знаменатели), които се изчисляват съгласно правилата, обсъдени по-горе;
Всъщност изчислете сумата или разликата на получените дроби. В резултат на това практически ще намерим отговора;
Ако това е всичко, което се изискваше в задачата, извършваме обратната трансформация, т.е. отърваваме се от неправилната дроб, като подчертаваме цялата част в нея.

Правилата за преминаване към неправилни дроби и подчертаване на цялата част са описани подробно в урока "Какво е числова дроб". Ако не си спомняте, не забравяйте да повторите. Примери:

Задача. Намерете стойността на израза:

Тук всичко е просто. Знаменателите във всеки израз са равни, така че остава да преобразувате всички дроби в неправилни и да преброите. Ние имаме:

За да опростя изчисленията, пропуснах някои очевидни стъпки в последните примери.

Малка забележка към последните два примера, където се изваждат дроби с подчертана цяла част. Минусът преди втората дроб означава, че се изважда цялата дроб, а не само цялата й част.

Прочетете отново това изречение, погледнете примерите и помислете върху него. Това е мястото, където начинаещите правят много грешки. Те обичат да дават такива задачи на контролна работа. Ще ги срещнете многократно и в тестовете за този урок, които ще бъдат публикувани скоро.

Резюме: Обща схема на изчисленията

В заключение ще дам общ алгоритъм, който ще ви помогне да намерите сумата или разликата на две или повече дроби:

Ако в една или повече дроби е подчертана цяла част, преобразувайте тези дроби в неправилни;
Приведете всички фракции до общ знаменател по всеки удобен за вас начин (освен ако, разбира се, компилаторите на проблемите не са направили това);
Съберете или извадете получените числа според правилата за събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели;
Намалете резултата, ако е възможно. Ако фракцията се окаже неправилна, изберете цялата част.

Не забравяйте, че е по-добре да подчертаете цялата част в самия край на задачата, точно преди да напишете отговора.