Идентификационната квадратна матрица. (35) 84. Какво представляват правоъгълните и квадратните матрици? Примери

ОПР. Правоъгълна маса с Tлинии и Пколони от реални числа се нарича матрицаразмер t×n. Матриците се означават с главни латински букви: A, B, ..., а масивът от числа се отличава с кръгли или квадратни скоби.

Числата, включени в таблицата, се наричат ​​матрични елементи и се означават с малки латински букви с двоен индекс, където аз- номер на ред й– номер на колоната, в пресечната точка на която се намира елементът. Като цяло матрицата се записва по следния начин:

Разглеждат се две матрици равенако съответните им елементи са равни.

Ако броят на редовете на матрицата Tравен на броя на неговите колони П, тогава се извиква матрицата квадрат(в противен случай правоъгълен).

Матрица на размера
се нарича редова матрица. Матрица на размера

се нарича колонна матрица.

Матрични елементи с еднакви индекси (
и т.н.), форма главен диагоналматрици. Другият диагонал се нарича страничен диагонал.

Квадратната матрица се нарича диагоналако всички негови елементи, разположени извън главния диагонал, са равни на нула.

Извиква се диагонална матрица, чиито диагонални елементи са равни на единица единиченматрица и има стандартната нотация E:

Ако всички елементи на матрица, разположени над (или под) главния диагонал, са равни на нула, се казва, че матрицата има триъгълна форма:

§2. Матрични операции

1. Транспониране на матрица - трансформация, при която редовете на матрицата се записват като колони, като се запазва редът им. За квадратна матрица тази трансформация е еквивалентна на симетрично картографиране по отношение на главния диагонал:

.

2. Матрици с една и съща размерност могат да бъдат сумирани (извадени). Сумата (разликата) на матриците е матрица с една и съща размерност, всеки елемент от която е равен на сумата (разликата) на съответните елементи на оригиналните матрици:

3. Всяка матрица може да бъде умножена по число. Произведението на матрица по число е матрица от същия ред, всеки елемент от която е равен на произведението на съответния елемент на оригиналната матрица по това число:

.

4. Ако броят на колоните на една матрица е равен на броя на редовете на друга, тогава можете да умножите първата матрица по втората. Продуктът на такива матрици е матрица, всеки елемент от която е равен на сумата от произведенията по двойки на елементите на съответния ред на първата матрица и елементите на съответната колона на втората матрица.

Последица. Матрично степенуване да се>1 е произведението на матрицата A да севеднъж. Дефинирано само за квадратни матрици.

Пример.

Свойства на операциите върху матрици.

1. (A+B)+C=A+(B+C);

   k(A+B)=kA+kV;

   A(B+C)=AB+AC;

   (A+B)C=AC+BC;

   k(AB)=(kA)B=A(kV);

   A(BC)=(AB)C;

2. (kA) T =kA T;

   (A + B) T \u003d A T + B T;

   (AB) T = B T A T;

Свойствата, изброени по-горе, са подобни на свойствата на операциите с числа. Има и специфични свойства на матриците. Те включват, например, отличителното свойство на матричното умножение. Ако продуктът AB съществува, то продуктът BA

Може и да не съществува

Може да се различава от AB.

Пример. Фирмата произвежда продукти от два вида А и В и използва три вида суровини S 1 , S 2 и S 3 . Разходните норми на суровините се дават с матрицата N=
, където н ij- количество суровини йизразходвани за производството на единица продукция аз. Производственият план е даден с матрицата C = (100 200), а единичната себестойност на всеки вид суровина е дадена с матрицата . Определете разходите за суровини, необходими за планираната продукция и общите разходи за суровини.

Решение. Цената на суровините се определя като произведение на матрици C и N:

Изчисляваме общата цена на суровините като произведение на S и P.

В тази тема ще разгледаме понятието матрица, както и видовете матрици. Тъй като в тази тема има много термини, ще добавя резюме, за да улесня навигацията в материала.

Дефиниция на матрица и нейния елемент. Нотация.

Матрицае таблица с $m$ реда и $n$ колони. Елементите на матрицата могат да бъдат обекти от напълно различно естество: числа, променливи или, например, други матрици. Например, матрицата $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ има 3 реда и 2 колони; неговите елементи са цели числа. Матрицата $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ съдържа 2 реда и 4 колони.

Различни начини за писане на матрици: показване\скриване

Матрицата може да бъде написана не само в кръгли скоби, но и в квадратни или двойни прави скоби. Тоест записите по-долу означават една и съща матрица:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(масив) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(масив) \right \Vert $$

Продуктът $m\times n$ се ​​нарича размер на матрицата. Например, ако матрицата съдържа 5 реда и 3 колони, тогава се говори за матрица $5\times 3$. Матрицата $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ има размер $3 \times 2$.

Матриците обикновено се обозначават с главни букви на латинската азбука: $A$, $B$, $C$ и т.н. Например $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Номерирането на редовете върви отгоре надолу; колони - отляво надясно. Например първият ред на матрицата $B$ съдържа елементи 5 и 3, а втората колона съдържа елементи 3, -87, 0.

Елементите на матриците обикновено се означават с малки букви. Например елементите на матрицата $A$ се означават с $a_(ij)$. Двойният индекс $ij$ съдържа информация за позицията на елемента в матрицата. Числото $i$ е номерът на реда, а числото $j$ е номерът на колоната, в пресечната точка на която се намира елементът $a_(ij)$. Например, в пресечната точка на втория ред и петата колона на матрицата $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ елемент $ a_(25)= $59:

По същия начин, в пресечната точка на първия ред и първата колона, имаме елемента $a_(11)=51$; в пресечната точка на третия ред и втората колона - елемента $a_(32)=-15$ и т.н. Имайте предвид, че $a_(32)$ се чете като "а три две", но не и "а тридесет и две".

За съкратеното означение на матрицата $A$, чийто размер е равен на $m\times n$, се използва обозначението $A_(m\times n)$. Можете да напишете малко по-подробно:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

където обозначението $(a_(ij))$ означава елементите на матрицата $A$. В напълно разширен вид матрицата $A_(m\times n)=(a_(ij))$ може да бъде записана по следния начин:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Нека въведем още един термин - равни матрици.

Две матрици с еднакъв размер $A_(m\times n)=(a_(ij))$ и $B_(m\times n)=(b_(ij))$ се наричат равенако съответните им елементи са равни, т.е. $a_(ij)=b_(ij)$ за всички $i=\overline(1,m)$ и $j=\overline(1,n)$.

Обяснение за записа $i=\overline(1,m)$: покажи\скрий

Записът "$i=\overline(1,m)$" означава, че параметърът $i$ се променя от 1 на m. Например записът $i=\overline(1,5)$ казва, че параметърът $i$ приема стойностите 1, 2, 3, 4, 5.

И така, за равенството на матриците са необходими две условия: съвпадение на размерите и равенство на съответните елементи. Например матрицата $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ не е равна на матрицата $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$, защото матрицата $A$ е $3\пъти 2$, а матрицата $B$ е $2\пъти по 2$. Също така матрицата $A$ не е равна на матрицата $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right) $ защото $a_( 21)\neq c_(21)$ (т.е. $0\neq 98$). Но за матрицата $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$, можем спокойно да напишем $A =F$, защото както размерите, така и съответните елементи на матриците $A$ и $F$ съвпадат.

Пример #1

Определете размера на матрицата $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Посочете на какво са равни елементите $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Тази матрица съдържа 5 реда и 3 колони, така че нейният размер е $5\умножено по 3$. Нотацията $A_(5\times 3)$ също може да се използва за тази матрица.

Елементът $a_(12)$ е в пресечната точка на първия ред и втората колона, така че $a_(12)=-2$. Елементът $a_(33)$ е в пресечната точка на третия ред и третата колона, така че $a_(33)=23$. Елементът $a_(43)$ е в пресечната точка на четвъртия ред и третата колона, така че $a_(43)=-5$.

Отговор: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Видове матрици в зависимост от размера им. Главни и странични диагонали. Матрична следа.

Нека е дадена някаква матрица $A_(m\times n)$. Ако $m=1$ (матрицата се състои от един ред), тогава дадената матрица се нарича матрица-ред. Ако $n=1$ (матрицата се състои от една колона), тогава такава матрица се нарича колонна матрица. Например $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ е матрица на ред и $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ - матрица на колона.

Ако условието $m\neq n$ е вярно за матрицата $A_(m\times n)$ (т.е. броят на редовете не е равен на броя на колоните), тогава често се казва, че $A$ е правоъгълна матрица. Например матрицата $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ има размер $2\times 4 $, тези. съдържа 2 реда и 4 колони. Тъй като броят на редовете не е равен на броя на колоните, тази матрица е правоъгълна.

Ако условието $m=n$ е вярно за матрицата $A_(m\times n)$ (т.е. броят на редовете е равен на броя на колоните), тогава се казва, че $A$ е квадратна матрица на поръчка $n$. Например $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ е квадратна матрица от втори ред; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ е квадратна матрица от 3-ти ред. Най-общо квадратната матрица $A_(n\times n)$ може да бъде записана по следния начин:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Твърди се, че елементите $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ са на главен диагоналматрици $A_(n\умножено по n)$. Тези елементи се наричат основни диагонални елементи(или само диагонални елементи). Елементите $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ са на страничен (вторичен) диагонал; те се наричат вторични диагонални елементи. Например за матрицата $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( масив) \right)$ имаме:

Елементите $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ са основните диагонални елементи; елементите $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ са второстепенни диагонални елементи.

Сумата от главните диагонални елементи се нарича последвано от матрицаи се обозначава с $\Tr A$ (или $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Например за матрицата $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ имаме:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Концепцията за диагонални елементи се използва и за неквадратни матрици. Например за матрицата $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ главните диагонални елементи ще бъдат $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Видове матрици в зависимост от стойностите на техните елементи.

Ако всички елементи на матрицата $A_(m\times n)$ са равни на нула, тогава такава матрица се нарича нулаи обикновено се обозначава с буквата $O$. Например $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ са нулеви матрици.

Нека матрицата $A_(m\times n)$ изглежда така:

Тогава тази матрица се извиква трапецовидна. Може да не съдържа нула редове, но ако има, те се намират в долната част на матрицата. В по-обща форма трапецовидна матрица може да бъде написана като:

Отново крайните нулеви низове не са задължителни. Тези. формално можем да отделим следните условия за трапецовидна матрица:

1. Всички елементи под главния диагонал са равни на нула.
2. Всички елементи от $a_(11)$ до $a_(rr)$, лежащи на главния диагонал, не са равни на нула: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. Или всички елементи от последните $m-r$ редове са равни на нула, или $m=r$ (т.е. изобщо няма нулеви редове).

Примери за трапецовидни матрици:

Да преминем към следващото определение. Извиква се матрицата $A_(m\times n)$ стъпилако отговаря на следните условия:

Например стъпковите матрици биха били:

За сравнение, матрицата $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ не е стъпало, защото третият ред има същата нулева част като втория ред. Тоест принципът "колкото по-ниска е линията - толкова по-голяма е нулевата част" е нарушен. Ще добавя, че трапецовидната матрица е специален случай на стъпаловидна матрица.

Да преминем към следващото определение. Ако всички елементи на квадратна матрица, разположени под главния диагонал, са равни на нула, тогава такава матрица се нарича горна триъгълна матрица. Например $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - горна триъгълна матрица. Имайте предвид, че дефиницията на горната триъгълна матрица не казва нищо за стойностите на елементите, разположени над главния диагонал или върху главния диагонал. Те могат или не могат да бъдат нула, няма значение. Например $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ също е горна триъгълна матрица.

Ако всички елементи на квадратна матрица, разположени над главния диагонал, са равни на нула, тогава такава матрица се нарича долна триъгълна матрица. Например, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - долна триъгълна матрица. Имайте предвид, че дефиницията на долна триъгълна матрица не казва нищо за стойностите на елементите под или на главния диагонал. Те могат или не могат да бъдат нулеви, няма значение. Например $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ и $\left(\ начало (масив) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(масив) \right)$ също са долни триъгълни матрици.

Квадратната матрица се нарича диагоналако всички елементи на тази матрица, които не са на главния диагонал, са равни на нула. Пример: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ край (масив)\десен)$. Елементите на главния диагонал могат да бъдат всякакви (равни на нула или не) - това не е от съществено значение.

Диагоналната матрица се нарича единиченако всички елементи на тази матрица, разположени на главния диагонал, са равни на 1. Например $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - Матрица за идентичност от 4-ти ред; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ е идентичната матрица от втори ред.

Матриците в математиката са един от най-важните обекти с приложно значение. Често една екскурзия в теорията на матриците започва с думите: "Матрицата е правоъгълна маса ...". Ще започнем тази екскурзия от малко по-различен ъгъл.

Телефонните указатели с всякакъв размер и с произволен брой абонатни данни не са нищо друго освен матрици. Тези матрици изглеждат така:

Ясно е, че всички ние използваме такива матрици почти всеки ден. Тези матрици се предлагат в различен брой редове (разграничават се като указател, издаден от телефонната компания, който може да съдържа хиляди, стотици хиляди и дори милиони редове, и нов бележник, който току-що сте започнали, който има по-малко от десет реда) и колони (директория на длъжностни лица на някаква организация, в която може да има колони като длъжност и номер на офис и същият вашия бележник, където може да няма други данни освен името, и по този начин има само две колони - име и телефонен номер).

Могат да се добавят и умножават всякакви матрици и да се извършват други операции върху тях, но няма нужда да добавяте и умножавате телефонни указатели, няма полза от това, а освен това можете да раздвижите ума си.

Но много матрици могат и трябва да се добавят и умножават и по този начин могат да се решават различни спешни задачи. По-долу са дадени примери за такива матрици.

Матрици, в които колоните са продукцията на единици от определен вид продукт, а редовете са годините, в които е записана продукцията на този продукт:

Можете да добавите матрици от този вид, които отчитат производството на подобни продукти от различни предприятия, за да получите обобщени данни за индустрията.

Или матрици, състоящи се например от една колона, в която редовете са средната цена на определен вид продукт:

Матриците от последните два вида могат да се умножават, като резултатът е редова матрица, съдържаща себестойността на всички видове продукти по години.

Матрици, основни определения

Правоъгълна таблица, състояща се от числа, подредени в млинии и нколони се нарича mn-матрица (или просто матрица ) и написано така:

(1)

В матрица (1) числата се наричат ​​нейни елементи (както в детерминанта, първият индекс означава номера на реда, вторият - колоната, в пресечната точка на която има елемент; аз = 1, 2, ..., м; й = 1, 2, н).

Матрицата се нарича правоъгълен , ако .

Ако м = н, тогава се извиква матрицата квадрат , а числото n е неговото в ред .

Детерминантата на квадратната матрица А се нарича детерминантата, чиито елементи са елементите на матрицата А. Означава се със символа | А|.

Квадратната матрица се нарича неспециални (или неизродени , неединствен ), ако неговата детерминанта не е равна на нула, и специален (или изродени , единствено число ), ако неговата детерминанта е нула.

Матриците се наричат равен ако имат еднакъв брой редове и колони и всички съвпадащи елементи са еднакви.

Матрицата се нарича нула ако всички негови елементи са равни на нула. Нулевата матрица ще бъде обозначена със символа 0 или .

Например,

редова матрица (или малка буква ) се нарича 1 н-матрица и колонна матрица (или колонен ) – м 1-матрица.

Матрица А“, който се получава от матрицата Аразмяна на редове и колони в него се извиква транспониран по отношение на матрицата А. По този начин, за матрица (1), транспонираната матрица е

Преход към матрична работа А", транспониран по отношение на матрицата А, се нарича транспониране на матрицата А. За мн-транспонирана матрица е nm- матрица.

Матрицата, транспонирана по отношение на матрицата, е А, това е

(А")" = А .

Пример 1Намерете Матрицата А", транспониран по отношение на матрицата

и разберете дали детерминантите на оригиналната и транспонираната матрици са равни.

главен диагонал Квадратната матрица е въображаема линия, свързваща нейните елементи, за които и двата индекса са еднакви. Тези елементи се наричат диагонал .

Нарича се квадратна матрица, в която всички елементи извън главния диагонал са равни на нула диагонал . Не всички диагонални елементи на диагонална матрица непременно са различни от нула. Някои от тях може да са равни на нула.

Квадратна матрица, в която елементите на главния диагонал са равни на едно и също ненулево число, а всички останали са равни на нула, се нарича скаларна матрица .

матрица на идентичността се нарича диагонална матрица, в която всички диагонални елементи са равни на единица. Например матрицата на идентичност от трети ред е матрицата

Пример 2Матрични данни:

Решение. Нека изчислим детерминантите на тези матрици. Използвайки правилото на триъгълниците, намираме

Матрична детерминанта бизчислете по формулата

Лесно го получаваме

Следователно матриците Аи са неединични (неизродени, неединични), и матрицата б- специални (изродени, единични).

Детерминантата на единична матрица от всякакъв ред очевидно е равна на единица.

Решете сами проблема с матрицата и след това вижте решението

Пример 3Матрични данни

,

,

Определете кои от тях са неединични (неизродени, неединични).

Приложение на матриците в математическото и икономическо моделиране

Под формата на матрици структурираните данни за конкретен обект са написани просто и удобно. Матричните модели се създават не само за съхраняване на тези структурирани данни, но и за решаване на различни проблеми с тези данни с помощта на линейна алгебра.

Така добре познатият матричен модел на икономиката е моделът входно-изходен продукт, въведен от американския икономист от руски произход Василий Леонтиев. Този модел се основава на предположението, че целият производствен сектор на икономиката е разделен на нчисти индустрии. Всяка от индустриите произвежда само един вид продукт и различните индустрии произвеждат различни продукти. Поради това разделение на труда между отраслите съществуват междуотраслови отношения, чийто смисъл е, че част от продукцията на всяка индустрия се прехвърля в други отрасли като производствен ресурс.

Обем на производство аз-та индустрия (измерена с конкретна мерна единица), която е произведена през отчетния период, обозначена с и се нарича обща продукция азта индустрия. Изданията са удобно поставени в н-компонентен ред на матрицата.

Брой продуктови единици аз-та индустрия, която ще бъде изразходвана й-ти отрасъл за производство на единица продукция от него, се обозначава и нарича коефициент на преките разходи.

Точки в пространството, продукт Rvдава друг вектор, който определя позицията на точката след въртенето. Ако vе вектор ред, същата трансформация може да се получи с помощта на vRТ, къде Р T - транспониран към Рматрица.

Енциклопедичен YouTube

1 / 5

C# - Конзола - Олимпийски игри - Квадратна спирала

Матрица: определение и основни понятия

Къде да получите сила и вдъхновение Презареждане 4 квадратна матрица

Сума и разлика на матрици, умножение на матрица с число

Транспонирана матрица / Транспонирана матрица

субтитри

Главен диагонал

Елементи а ii (аз = 1, ..., н) образуват главния диагонал на квадратна матрица. Тези елементи лежат на въображаема права линия, минаваща от горния ляв ъгъл до долния десен ъгъл на матрицата. Например главният диагонал на матрицата 4x4 на фигурата съдържа елементите а 11 = 9, а 22 = 11, а 33 = 4, а 44 = 10.

Диагоналът на квадратна матрица, минаващ през долния ляв и горния десен ъгъл, се нарича страна.

Специални видове

Име	Пример с н = 3
Диагонална матрица	[ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\0&a_(22)&0\\0&0&a_(33)\end(bmatrix)))
Долна триъгълна матрица	[ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\a_(21)&a_(22)&0\\a_(31)&a_( 32)&a_(33)\end(bmatrix)))
Горна триъгълна матрица	[ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&a_(12)&a_(13)\\0&a_(22)&a_(23)\\ 0&0&a_(33)\end(bmatrix)))

Диагонални и триъгълни матрици

Ако всички елементи извън главния диагонал са нула, Анаречен диагонал. Ако всички елементи над (под) главния диагонал са нула, Асе нарича долна (горна) триъгълна матрица.

Идентификационна матрица

Q(х) = х T брадва

приема само положителни стойности (съответно отрицателни стойности или и двете). Ако квадратичната форма приема само неотрицателни (съответно само неположителни) стойности, симетричната матрица се казва, че е положителна полуопределена (съответно отрицателна полуопределена). Една матрица е неопределена, ако не е нито положителна, нито отрицателна полуопределена.

Симетричната матрица е положително определена тогава и само ако всички нейни собствени стойности са положителни. Таблицата вдясно показва два възможни случая за 2×2 матрици.

Ако използваме два различни вектора, получаваме билинейна форма, свързана с А:

б А (х, г) = х T да.

ортогонална матрица

ортогонална матрицае квадратна матрица с реални елементи, чиито колони и редове са ортогонални единични вектори (т.е. ортонормални). Човек може също да дефинира ортогонална матрица като матрица, чиято обратна е равна на транспонирането:

A T = A − 1 , (\displaystyle A^(\mathrm (T) )=A^(-1),)

откъде следва

A T A = A A T = E (\displaystyle A^(T)A=AA^(T)=E),

ортогонална матрица Авинаги обратимо ( А −1 = А T), унитарен ( А −1 = А*) и нормално ( А*А = АА*). Детерминантата на всяка ортонормална матрица е или +1, или −1. Като линейна карта всяка ортонормална матрица с детерминанта +1 е проста ротация, докато всяка ортонормална матрица с детерминанта −1 е или просто отражение, или композиция от отражение и ротация.

Операции

Писта

Определящо det( А) или | А| квадратна матрица Ае число, което определя някои свойства на матрицата. Една матрица е обратима тогава и само тогава, когато нейният детерминант е различен от нула.

ДЕФИНИЦИЯ НА МАТРИЦА. ВИДОВЕ МАТРИЦИ

Размер на матрицата m× нсе нарича съвкупност m nчисла, подредени в правоъгълна таблица от млинии и нколони. Тази таблица обикновено е оградена в скоби. Например, матрицата може да изглежда така:

За краткост матрицата може да се обозначи с една главна буква, напр. НОили AT.

Като цяло, матрица на размера м× нпиши така

.

Числата, които съставляват една матрица, се наричат матрични елементи. Удобно е да се доставят матрични елементи с два индекса aij: Първото показва номера на реда, а второто показва номера на колоната. Например, а 23– елементът е на 2-ри ред, 3-та колона.

Ако броят на редовете в една матрица е равен на броя на колоните, тогава матрицата се нарича квадрат, и се извиква броят на неговите редове или колони в редматрици. В примерите по-горе втората матрица е квадратна - редът й е 3, а четвъртата матрица - редът й е 1.

Извиква се матрица, в която броят на редовете не е равен на броя на колоните правоъгълен. В примерите това е първата матрица и третата.

Има и матрици, които имат само един ред или една колона.

Извиква се матрица само с един ред матрица - ред(или низ) и матрица, която има само една колона, матрица - колона.

Нарича се матрица, в която всички елементи са равни на нула нулаи се означава с (0) или просто 0. Например,

.

главен диагоналКвадратната матрица е диагоналът, преминаващ от горния ляв до долния десен ъгъл.

Нарича се квадратна матрица, в която всички елементи под главния диагонал са равни на нула триъгълнаматрица.

.

Квадратна матрица, в която всички елементи, с изключение може би тези на главния диагонал, са равни на нула, се нарича диагоналматрица. Например, или.

Извиква се диагонална матрица, в която всички диагонални записи са равни на единица единиченматрица и се обозначава с буквата E. Например матрицата за идентичност от 3-ти ред има формата .

ДЕЙСТВИЯ ВЪРХУ МАТРИЦИ

Матрично равенство. Две матрици Аи бсе казват, че са равни, ако имат еднакъв брой редове и колони и съответните им елементи са равни aij = b ij. Така че, ако и , тогава А=Б, ако a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21и a 22 = b 22.

Транспониране. Да разгледаме произволна матрица Аот млинии и нколони. Може да се свърже със следната матрица бот нлинии и мколони, където всеки ред е колона от матрицата Асъс същия номер (следователно всяка колона е ред от матрицата Асъс същия номер). Така че, ако , тогава .

Тази матрица бНаречен транспониранматрица А, и преходът от Ада се Б транспониране.

По този начин транспонирането е обръщане на ролите на редове и колони на матрица. Матрица, транспонирана в матрица А, обикновено обозначаван А Т.

Комуникация между матрицата Аи неговото транспониране може да бъде записано като .

Например.Намерете матрицата, транспонирана към дадената.

Събиране на матрица.Нека матрици Аи бсе състоят от еднакъв брой редове и еднакъв брой колони, т.е. имат еднакви размери. След това, за да добавите матриците Аи бнеобходимост от матрични елементи Адобавете матрични елементи бстоящи на същите места. Така сумата от две матрици Аи бнаречена матрица ° С, което се определя от правилото, напр.

Примери.Намерете сумата на матриците:

Лесно се проверява, че събирането на матрици се подчинява на следните закони: комутативно A+B=B+Aи асоциативни ( A+B)+° С=А+(B+C).

Умножение на матрица по число.За умножаване на матрица Ана брой кнужда от всеки елемент от матрицата Аумножете по това число. И така, матричният продукт Ана брой кима нова матрица, която се определя от правилото или .

За всякакви числа аи bи матрици Аи бса изпълнени равенства:

Примери.

Матрично умножение.Тази операция се извършва по особен закон. На първо място, отбелязваме, че размерите на матричните фактори трябва да бъдат последователни. Можете да умножавате само онези матрици, чийто брой колони на първата матрица съвпада с броя на редовете на втората матрица (т.е. дължината на първия ред е равна на височината на втората колона). работаматрици Ане е матрица бнаречена новата матрица C=AB, чиито елементи са съставени както следва:

Така, например, за да получите продукта (т.е. в матрицата ° С) елементът в 1-ви ред и 3-та колона от 13, трябва да вземете 1-вия ред в 1-вата матрица, 3-тата колона във 2-рата и след това да умножите елементите на реда по съответните елементи на колоната и да добавите получените продукти. И други елементи от матрицата на продукта се получават с помощта на подобно произведение на редовете на първата матрица по колоните на втората матрица.

Като цяло, ако умножим матрицата A = (aij)размер м× нда се матрица B = (bij)размер н× стр, тогава получаваме матрицата ° Сразмер м× стр, чиито елементи се изчисляват както следва: елемент c ijсе получава в резултат на произведението на елементите азред на матрицата Авърху съответните елементи й-та колона на матрицата би тяхното сумиране.

От това правило следва, че винаги можете да умножите две квадратни матрици от един и същи ред, като в резултат получаваме квадратна матрица от същия ред. По-специално, квадратната матрица винаги може да бъде умножена сама по себе си, т.е. квадрат нагоре.

Друг важен случай е умножаването на матрица-ред с матрица-колона, като ширината на първата трябва да е равна на височината на втората, в резултат на което получаваме матрица от първи ред (т.е. един елемент). Наистина ли,

.

Примери.

По този начин тези прости примери показват, че матриците, най-общо казано, не комутират една с друга, т.е. A∙B ≠ B∙A . Следователно, когато умножавате матрици, трябва внимателно да следите реда на факторите.

Може да се провери, че умножението на матрицата се подчинява на асоциативните и разпределителните закони, т.е. (AB)C=A(BC)и (A+B)C=AC+BC.

Също така е лесно да се провери това при умножаване на квадратна матрица Акъм матрицата на идентичността дот същия ред, отново получаваме матрицата А, освен това AE=EA=A.

Може да се отбележи следният любопитен факт. Както е известно, произведението на 2 ненулеви числа не е равно на 0. При матриците това може да не е така, т.е. произведението на 2 ненулеви матрици може да бъде равно на нулевата матрица.

Например, ако , тогава

.

ПОНЯТИЕТО ЗА ДЕТЕРМИНАРИ

Нека е дадена матрица от втори ред - квадратна матрица, състояща се от два реда и две колони .

Детерминанта от втори редсъответстващо на тази матрица е числото, получено както следва: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Детерминантата се обозначава със символа .

И така, за да намерите детерминанта от втори ред, трябва да извадите произведението на елементите по втория диагонал от произведението на елементите на главния диагонал.

Примери.Изчислете детерминанти от втори ред.

По подобен начин можем да разгледаме матрица от трети ред и съответния детерминант.

Детерминанта от трети ред, съответстващо на дадена квадратна матрица от трети ред, е число, обозначено и получено по следния начин:

.

По този начин тази формула дава разширение на детерминанта от трети ред по отношение на елементите на първия ред а 11, а 12, а 13и редуцира изчисляването на детерминанта от трети ред до изчисляване на детерминанти от втори ред.

Примери.Изчислете детерминанта от трети ред.

По същия начин могат да се въведат понятията детерминанти на четвъртата, петата и т.н. порядъци, като понижават порядъка си чрез разширяване върху елементите от 1-ви ред, като знаците "+" и "-" за термините се редуват.

Така че, за разлика от матрицата, която е таблица с числа, детерминантата е число, което е присвоено по определен начин на матрицата.