Елементи на поредица от точки, монотонно нарастващи по стойност. Теорема на Вайерщрас за границата на монотонна редица

Теорема на Вайерщрас за границата на монотонна редица

Всяка монотонна ограничена последователност ( x n )има крайна граница, равна на точната горна граница, sup (x n)за ненамаляваща и точна долна граница, inf (x n)за ненарастваща последователност.
Всяка монотонна неограничена последователност има безкрайна граница, равна на плюс безкрайност за ненамаляваща последователност и минус безкрайност за ненарастваща последователност.

Доказателство

1) ненамаляваща ограничена редица.

(1.1) .

Тъй като последователността е ограничена, тя има точна горна граница
.
Означава, че:

• за всички n,
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
Тук също използвахме (1.3). Комбинирайки с (1.2), намираме:
при .
От тогава
,
или
при .
Първата част на теоремата е доказана.

2) Сега нека бъде последователността ненарастваща ограничена последователност:
(2.1) за всички n.

Тъй като последователността е ограничена, тя има точна долна граница
.
Това означава следното:

• за всички n са валидни следните неравенства:
  (2.2) ;
• за всяко положително число , има число в зависимост от ε, за което
  (2.3) .

.
Тук също използвахме (2.3). Като вземем предвид (2.2), намираме:
при .
От тогава
,
или
при .
Това означава, че числото е границата на последователността.
Втората част на теоремата е доказана.

Сега разгледайте неограничените последователности.
3) Нека последователността бъде неограничена ненамаляваща последователност.

Тъй като последователността е ненамаляваща, следните неравенства са валидни за всички n:
(3.1) .

Тъй като редицата е ненамаляваща и неограничена, тя е неограничена от дясната страна. Тогава за всяко число M съществува число в зависимост от M, за което
(3.2) .

Тъй като последователността е ненамаляваща, тогава за имаме:
.
Тук също използвахме (3.2).

.
Това означава, че границата на последователността е плюс безкрайност:
.
Третата част на теоремата е доказана.

4) И накрая, разгледайте случая, когато неограничена ненарастваща последователност.

Както по-горе, тъй като последователността е ненарастваща, тогава
(4.1) за всички n.

Тъй като редицата е ненарастваща и неограничена, тя е неограничена от лявата страна. Тогава за всяко число M съществува число в зависимост от M, за което
(4.2) .

Тъй като последователността е ненарастваща, тогава за имаме:
.

И така, за всяко число M съществува естествено число, което зависи от M, така че следните неравенства са валидни за всички числа:
.
Това означава, че границата на редицата е минус безкрайност:
.
Теоремата е доказана.

Пример за решение на проблем

Използвайки теоремата на Вайерщрас, докажете сходимостта на редицата:
, , . . . , , . . .
След това намерете неговата граница.

Нека представим последователността под формата на повтарящи се формули:
,
.

Нека докажем, че дадената последователност е ограничена отгоре от стойността
(P1) .
Доказателството се извършва по метода на математическата индукция.
.
Позволявам . Тогава
.
Неравенството (A1) е доказано.

Нека докажем, че последователността е монотонно нарастваща.
;
(P2) .
Тъй като , тогава знаменателят на дробта и първият фактор в числителя са положителни. Тъй като членовете на редицата са ограничени от неравенство (P1), вторият фактор също е положителен. Ето защо
.
Тоест последователността е строго нарастваща.

Тъй като последователността е нарастваща и ограничена отгоре, тя е ограничена последователност. Следователно, според теоремата на Вайерщрас, той има граница.

Нека намерим тази граница. Нека го обозначим с:
.
Да използваме какво
.
Прилагаме това към (P2), използвайки аритметичните свойства на границите на конвергентни последователности:
.
Коренът отговаря на условието.

Определение 1. Последователността се извиква намаляващ (ненарастващ ) ако за всички
неравенството
.

Определение 2. Консистенция
Наречен повишаване на (ненамаляващ ) ако за всички
неравенството
.

Определение 3. Наричат ​​се намаляваща, ненарастваща, нарастваща и ненамаляваща редица монотонен последователности, намаляващи и нарастващи последователности също се наричат строго монотонен последователности.

Очевидно ненамаляваща редица е ограничена отдолу, ненарастваща редица е ограничена отгоре. Следователно всяка монотонна последователност очевидно е ограничена от едната страна.

Пример 1. Последователност
нарастване, а не намаляване
намалява
не се увеличава
е немонотонна последователност.

За монотонни последователности следното играе важна роля.

Теорема 1. Ако една ненамаляваща (ненарастваща) редица е ограничена отгоре (отдолу), то тя се събира.

Доказателство. Нека последователността
не намалява и е ограничен отгоре, т.е.
и много
ограничено отгоре. По теорема 1 от § 2 съществува
. Нека докажем това
.

Да вземем
произволно. Тъй като ае точната горна граница, има число н такова, че
. Тъй като последователността е ненамаляваща, за всички
имаме, т.е.
, Ето защо
за всички
, а това означава, че
.

За ненарастваща последователност, ограничена отдолу, доказателството е подобно на ( учениците могат сами да докажат това твърдение у дома). Теоремата е доказана.

Коментирайте. Теорема 1 може да се формулира по различен начин.

Теорема 2. За да сходи една монотонна редица, е необходимо и достатъчно тя да бъде ограничена.

Достатъчността е установена в теорема 1, необходимостта - в теорема 2 на § 5.

Условието за монотонност не е необходимо, за да се сближи последователността, тъй като конвергентната последователност не е необходимо да бъде монотонна. Например последователността
не е монотонна, а се свежда до нула.

Последица. Ако последователността
нараства (намалява) и се ограничава отгоре (отдолу), тогава
(
).

Наистина, по теорема 1
(
).

Определение 4. Ако и
при
, тогава последователността се извиква система за свиване на вложени сегменти .

Теорема 3 (принцип на вложените сегменти). Всяка свиваща система от вложени сегменти има една точка с, който принадлежи към всички сегменти на тази система.

Доказателство. Нека докажем това ссъществува. Тъй като
, тогава
а оттам и последователността
не намалява, а последователността
не се увеличава. При което
и
ограничен, защото. Тогава по теорема 1 съществуват
и
, но тъй като
, тогава
=
. Намерена точка спринадлежи на всички сегменти на системата, тъй като по следствие от теорема 1
,
, т.е.
за всички стойности н.

Нека сега покажем, че точката с- единствения. Да предположим, че има две такива точки: си ди нека за категоричност
. След това сегментът
принадлежи към всички сегменти
, т.е.
за всички н, което е невъзможно, защото
и следователно, започвайки от някакво число,
. Теоремата е доказана.

Обърнете внимание, че тук е важно да се вземат предвид затворени интервали, т.е. сегменти. Ако разгледаме система от съкращаващи интервали, тогава принципът е най-общо казано неправилен. Например интервали
очевидно се свива до точка
, но точката
не принадлежи към нито един интервал от тази система.

Разгледайте сега примери за конвергентни монотонни последователности.

1) Число д.

Помислете сега за последователността
. Как се държи? База

степен
, Ето защо
? От друга страна,
, а
, Ето защо
? Или няма ограничение?

За да отговорите на тези въпроси, разгледайте спомагателната последователност
. Нека докажем, че тя е намаляваща и ограничена отдолу. В същото време ще ни трябва

Лема. Ако
, след това за всички природни стойности нние имаме

(неравенството на Бернули).

Доказателство. Нека използваме метода на математическата индукция.

Ако
, тогава
, т.е. неравенството е вярно.

Да приемем, че е вярно за
и докаже своята валидност за
+1.

вярно
. Нека умножим това неравенство по
:

По този начин, . И така, според принципа на математическата индукция, неравенството на Бернули е вярно за всички естествени стойности н. Лемата е доказана.

Нека покажем, че последователността
намалява. Ние имаме

неравенството на бернули
, което означава, че последователността
намалява.

Ограничеността отдолу следва от неравенството
неравенството на бернули
за всички природни ценности н.

По теорема 1 съществува
, което се означава с буквата д. Ето защо
.

Номер дирационално и трансцендентно, д= 2,718281828… . Известно е, че е основата на естествените логаритми.

Забележки. 1) Неравенството на Бернули може да се използва за доказване на това
при
. Наистина, ако
, тогава
. След това, чрез неравенството на Бернули, за
. От тук на
ние имаме
, това е
при
.

2) В примера по-горе, основата на степента клони към 1, а показателят н- да се , тоест има несигурност на формата . Несигурност от този вид, както показахме, се разкрива от забележителната граница
.

2)
(*)

Нека докажем, че тази последователност се събира. За да направим това, показваме, че той е ограничен отдолу и не се увеличава. При това използваме неравенството
за всички
, което е следствие от неравенството
.

Ние имаме
виж неравенство по-горе
, т.е. последователността е ограничена отдолу с числото
.

Освен това,
защото

, т.е. последователността не се увеличава.

По теорема 1 съществува
, което обозначаваме х. Преминаване в равенство (*) до границата при
, получаваме

, т.е.
, където
(взимаме знака плюс, тъй като всички членове на редицата са положителни).

Последователността (*) се използва при изчисляване
приблизително. пер вземете произволно положително число. Например, да намерим
. Позволявам
. Тогава
,. По този начин,
.

3)
.

Ние имаме
. Тъй като
при
, има номер н, такава, че за всички
неравенството
. Така че последователността
, започвайки от някакво число н, намалява и е ограничен отдолу, тъй като
за всички стойности н. Следователно, съгласно теорема 1, съществува
. Тъй като
, ние имаме
.

Така,
.

4)
, на дясно - н корени.

Нека покажем чрез метода на математическата индукция, че
за всички стойности н. Ние имаме
. Позволявам
. Тогава оттук получаваме твърдението по принципа на математическата индукция. Използвайки този факт, намираме, т.е. подпоследователност
нараства и е ограничен отгоре. Следователно съществува, защото
.

По този начин,
.

Монотонност на последователността

монотонна последователност- последователност, която отговаря на едно от следните условия:

Сред монотонните последователности има строго монотоненпоследователности, които отговарят на едно от следните условия:

Понякога се използва вариант на терминологията, в който терминът "нарастваща последователност" се разглежда като синоним на термина "ненамаляваща последователност", а терминът "намаляваща последователност" се счита за синоним на термина "не- нарастваща последователност“. В такъв случай нарастващите и намаляващите последователности от горната дефиниция се наричат ​​съответно "строго нарастващи" и "стриктно намаляващи".

Някои обобщения

Може да се окаже, че горните условия не са изпълнени за всички числа, а само за числа от определен диапазон

(тук е възможно да обърнете дясната граница н+ до безкрайност). В този случай се извиква последователността монотонно на интервала аз , и обхвата азНаречен интервал на монотонностпоследователности.

Примери

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "Монотонност на последователността" в други речници:

Клон на математиката, занимаващ се с изучаването на свойствата на различни функции. Теорията на функциите е разделена на две области: теория на функциите на реална променлива и теория на функциите на комплексна променлива, разликата между които е толкова голяма, че ... ... Енциклопедия на Collier

Тестването на псевдослучайни последователности е набор от методи за определяне на мярката за близост на дадена псевдослучайна последователност до случайна. Такава мярка обикновено е наличието на равномерно разпределение, голяма ... ... Wikipedia

Този термин има други значения, вижте Мярка. Мярката на набор е неотрицателна стойност, интуитивно интерпретирана като размер (обем) на набора. Всъщност мярката е някаква числова функция, която съответства на всяка ... ... Уикипедия

Известен писател. Род. в Орел през 1871 г.; баща му беше геодезист. Учи в Орловската гимназия и в университетите в Санкт Петербург и Москва, в юридическия факултет. Имах остра нужда от ученик. Тогава той написва първия си разказ „за ... ... Голяма биографична енциклопедия

Числени методи за решаване на методи, които заместват решението на гранична задача с решение на дискретна задача (вижте Линейна гранична задача; числени методи за решаване и нелинейно уравнение; числени методи за решаване). В много случаи, особено когато се има предвид... Математическа енциклопедия

Ръкописът на Войнич е написан с неизвестна писмена система Ръкописът на Войнич (англ. Voyni ... Wikipedia

Написан с неизвестна писмена система Ръкописът на Войнич е мистериозна книга, написана преди около 500 години от неизвестен автор, на неизвестен език, използвайки неизвестна азбука. Ръкопис на Войнич ... ... Уикипедия

Сиджизмондо д'Индия (на италиански Sigismondo d India, ок. 1582, Палермо? до 19 април 1629, Модена) е италиански композитор. Съдържание 1 Биография 2 Творчество ... Wikipedia

Модернизация- (Модернизация) Модернизацията е процесът на промяна на нещо в съответствие с изискванията на модерността, преходът към по-напреднали условия, чрез въвеждане на различни нови актуализации Теория на модернизацията, видове модернизация, органични ... ... Енциклопедия на инвеститора

Едно от основните математически понятия, чийто смисъл с развитието на математиката е подложен на редица обобщения. I. Дори в „Елементите“ на Евклид (3 век пр. н. е.), свойствата на V. са ясно формулирани, сега наречени, за да се разграничат от ... ... Велика съветска енциклопедия

Ако всяко естествено число n е свързано с някакво реално число x n, тогава казваме това числова последователност

х 1 , х 2 , … x n , …

Номер х 1 се нарича член на редицата с номер 1 или първия член на редицата, номер х 2 - член на последователността с номер 2 или вторият член на последователността и т.н. Числото x n се нарича член на редицата с номерн.

Има два начина за указване на числови последователности - използване и използване повтаряща се формула.

Секвениране с последователност общи термини формулие последователност

х 1 , х 2 , … x n , …

използвайки формула, изразяваща зависимостта на члена x n от неговия номер n .

Пример 1 . Числова последователност

1, 4, 9, … н 2 , …

дадено от общата формула на термина

x n = н 2 , н = 1, 2, 3, …

Определянето на последователност с помощта на формула, която изразява член на последователност x n по отношение на членове на последователност с предшестващи числа, се нарича последователност, използваща повтаряща се формула.

х 1 , х 2 , … x n , …

Наречен възходяща последователност, Повече ▼предишен член.

С други думи, за всички н

х н + 1 >х н

Пример 3 . Редица от естествени числа

1, 2, 3, … н, …

е възходяща последователност.

Определение 2. Числова последователност

х 1 , х 2 , … x n , …

Наречен низходяща последователност,ако всеки член на тази последователност по-малкопредишен член.

С други думи, за всички н= 1, 2, 3, … неравенството

х н + 1 < х н

Пример 4 . Последователност

дадено от формулата

е низходяща последователност.

Пример 5 . Числова последователност

1, - 1, 1, - 1, …

дадено от формулата

x n = (- 1) н , н = 1, 2, 3, …

не е нито се увеличава, нито намалявапоследователност.

Определение 3. Нарастващи и намаляващи числови редици се наричат монотонни последователности.

Ограничени и неограничени последователности

Определение 4. Числова последователност

х 1 , х 2 , … x n , …

Наречен ограничено отгореако съществува число M такова, че всеки член на тази редица по-малкочисла М.

С други думи, за всички н= 1, 2, 3, … неравенството

Определение 5. Числова редица

х 1 , х 2 , … x n , …

Наречен ограничен отдолуако има число m такова, че всеки член на тази редица Повече ▼числа m.

С други думи, за всички н= 1, 2, 3, … неравенството

Определение 6. Числова последователност

х 1 , х 2 , … x n , …

наречен ограничен, ако го ограничени отгоре и отдолу.

С други думи, има такива числа M и m, че за всички н= 1, 2, 3, … неравенството

м< x n < M

Определение 7. Числови редици, които не са ограничени, Наречен неограничени последователности.

Пример 6 . Числова последователност

1, 4, 9, … н 2 , …

дадено от формулата

x n = н 2 , н = 1, 2, 3, … ,

ограничен отдолу, например числото 0. Тази последователност обаче неограничен отгоре.

Пример 7 . Последователност

дадено от формулата

е ограничена последователност, защото за всички н= 1, 2, 3, … неравенството

На нашия уебсайт можете да се запознаете и с учебните материали, разработени от учителите на учебния център Resolventa за подготовка за Единния държавен изпит и OGE по математика.

За ученици, които искат да се подготвят добре и да преминат ИЗПОЛЗВАНЕ по математика или руски езикза висок бал провежда учебен център "Резолвента".

Понякога такива последователности се наричат строго нарастващ и, и терминът "V. p." важи за последователности, удовлетворяващи за всички само условието Такива последователности се наричат. също не намалява. Всяка ненамаляваща последователност, ограничена отгоре, има крайна граница, а всяка последователност, която не е ограничена отгоре, има безкрайна граница, равна на + безкрайност. Л. Д. Кудрявцев.

Математическа енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985 г.

Вижте какво е "ASCREASING SEQUENCE" в други речници:

възходяща последователност- - [Л. Г. Суменко. Английско-руски речник на информационните технологии. M .: GP TsNIIS, 2003.] Теми информационни технологии като цяло EN възходяща последователност ... Наръчник за технически преводач

Задачата за намиране на най-голямата нарастваща подпоследователност е да се намери най-дългата нарастваща подпоследователност в дадена последователност от елементи. Съдържание 1 Постановка на проблема 2 Свързани алгоритми ... Wikipedia

Монотонна функция е функция, чието нарастване не променя знака, тоест тя винаги е неотрицателна или винаги неположителна. Ако в допълнение нарастването не е равно на нула, тогава се казва, че функцията е строго монотонна. Съдържание 1 Дефиниции 2 ... ... Wikipedia

Последователност Числовата последователност е последователност от елементи в числово пространство. Числени селища ... Уикипедия

Това е последователност, чиито елементи не намаляват с увеличаване на броя или, обратно, не се увеличават. Такива последователности често се срещат в изследванията и имат редица отличителни характеристики и допълнителни свойства. ... ... Wikipedia

Монотонна последователност е последователност, която отговаря на едно от следните условия: неравенството е валидно за всяко число (ненамаляваща редица), неравенството е валидно за произволно число (ненарастващо ... ... Wikipedia

Раздел от теорията на числата, в който се изучават и характеризират метрично (т.е. въз основа на теорията на мярката) наборите от числа, които имат определени аритметични характеристики. Имоти. M. h. е тясно свързана с теорията на вероятностите, което понякога прави възможно ... ... Математическа енциклопедия

Твърди, че всяка ограничена нарастваща последователност има граница и тази граница е равна на нейната най-малка горна граница. Въпреки простотата на доказателството, тази теорема се оказва много удобна за намиране на границите на много ... ... Wikipedia

Теорема, даваща оценка за плътността на сумата от две последователности. Нека A=(0, a 1, a.2,..., a i, ...) нарастваща последователност от цели числа и Плътността на последователността Anaz. стойност Аритметичният сбор от две ... ... Математическа енциклопедия

Пространството, дуално на пространството на основните (достатъчно добри) функции. Важна роля тук играят пространствата на Фреше (от тип FS) и пространствата, силно двойствени към тях (от тип DFS). Пространство от тип FS е проективната граница на компакт ... ... Математическа енциклопедия