Физическото значение на вълновата функция.

вълнова функция
вълнова функция

вълнова функция (или вектор на състоянието) е сложна функция, която описва състоянието на квантово-механична система. Познаването му позволява да се получи най-пълната информация за системата, което е принципно постижимо в микросвета. Така че с негова помощ можете да изчислите всички измерими физически характеристики на системата, вероятността тя да бъде на определено място в пространството и еволюцията във времето. Вълновата функция може да се намери чрез решаване на вълновото уравнение на Шрьодингер.
Вълновата функция ψ (x, y, z, t) ≡ ψ (x, t) на точкова безструктурна частица е сложна функция на координатите на тази частица и времето. Най-простият пример за такава функция е вълновата функция на свободна частица с импулс и обща енергия E (плоска вълна)

.

Вълновата функция на системата A от частици съдържа координатите на всички частици: ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t).
Квадратният модул на вълновата функция на отделна частица | ψ (,t)| 2 = ψ *(,t) ψ (,t) дава вероятността за откриване на частица в момент t в точка в пространството, описана с координати, а именно | ψ (,t)| 2dv ≡ | ψ (x, y, z, t)| 2 dxdydz е вероятността за намиране на частица в област от пространството с обем dv = dxdydz около точка x, y, z. По същия начин, вероятността да се намери в момент t система A от частици с координати 1 , 2 ,..., A в обемен елемент на многомерно пространство се дава от | ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t)| 2 dv 1 dv 2 ...dv A .
Вълновата функция напълно определя всички физически характеристики на една квантова система. Така че средната наблюдавана стойност на физичната величина F за системата се дава от израза

,

където е операторът на тази величина и интегрирането се извършва върху цялата област на многомерното пространство.
Вместо координатите на частиците x, y, z, техните моменти p x , p y , p z или други набори от физически величини могат да бъдат избрани като независими променливи на вълновата функция. Този избор зависи от представянето (координата, импулс или друго).
Вълновата функция ψ (,t) на частица не отчита нейните вътрешни характеристики и степени на свобода, т.е. описва нейното движение като цял безструктурен (точков) обект по определена траектория (орбита) в пространството. Тези вътрешни характеристики на една частица могат да бъдат нейният спин, спиралност, изоспин (за силно взаимодействащи частици), цвят (за кварки и глуони) и някои други. Вътрешните характеристики на една частица се дават от специална вълнова функция на нейното вътрешно състояние φ. В този случай общата вълнова функция на частицата Ψ може да бъде представена като произведение на функцията на орбиталното движение ψ и вътрешната функция φ:

защото обикновено вътрешните характеристики на една частица и нейните степени на свобода, които описват орбиталното движение, не зависят една от друга.
Като пример, ние се ограничаваме до случая, когато единствената вътрешна характеристика, взета предвид от функцията, е спинът на частицата и този спин е равен на 1/2. Частица с такъв спин може да бъде в едно от двете състояния - със спинова проекция на оста z, равна на +1/2 (въртене нагоре), и със спинова проекция на оста z, равна на -1/2 (въртене надолу). Тази двойственост се описва от спинова функция, взета като двукомпонентен спинор:

Тогава вълновата функция Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ ще описва движението на частица със спин 1/2, насочен нагоре по траекторията, определена от функцията ψ , а вълновата функция Ψ -1/2 = χ -1/2 ψ ще опише движението по същата траектория на същата частица, но със спин, насочен надолу.
В заключение отбелязваме, че в квантовата механика са възможни такива състояния, които не могат да бъдат описани с помощта на вълновата функция. Такива състояния се наричат ​​смесени състояния и се описват от гледна точка на по-сложен подход, използвайки концепцията за матрица на плътността. Състоянията на квантовата система, описани от вълновата функция, се наричат ​​чисти.

Дифракционната картина, наблюдавана за микрочастиците, се характеризира с неравномерно разпределение на потоците от микрочастици в различни посоки - има минимуми и максимуми в други посоки. Наличието на максимуми в дифракционната картина означава, че вълните на де Бройл се разпространяват в тези посоки с най-висок интензитет. И интензитетът ще бъде максимален, ако максимален брой частици се разпространяват в тази посока. Тези. Дифракционната картина на микрочастиците е проява на статистическа (вероятностна) закономерност в разпределението на частиците: там, където интензитетът на вълната на де Бройл е максимален, има повече частици.

Разглеждат се вълните на Де Бройл в квантовата механика като вълни вероятност,тези. вероятността за откриване на частица в различни точки в пространството варира според вълновия закон (т.е.  д - iωt). Но за някои точки в пространството тази вероятност ще бъде отрицателна (т.е. частицата не попада в тази област). М. Борн (немски физик) предположи, че не самата вероятност се променя според вълновия закон, и амплитудата на вероятността,която се нарича още вълнова функция или -функция (psi-функция).

Вълновата функция е функция на координати и време.

Квадратът на модула на пси-функцията определя вероятността частицата ще бъдат намерени в обхватаdV - не самата пси-функция има физически смисъл, а квадратът на нейния модул.

Ψ * - комплексно спрегната функция на Ψ

(z= а +ib, z * =a-ib, z * - комплексно спрегнат)

Ако частицата е в краен обем V,тогава възможността за откриването му в този обем е равна на 1, (определено събитие)

Р= 1 

В квантовата механика се приема, че Ψ и AΨ, където A = конст, описват същото състояние на частицата. Следователно,

Състояние на нормализиране

интеграл върху , означава, че се изчислява върху безкраен обем (пространство).

 - функцията трябва да бъде

1) окончателен (защото Рне може да бъде повече от 1)

2) недвусмислено (невъзможно е да се открие частица при непроменени условия с вероятност от 0,01 и 0,9, например, тъй като вероятността трябва да е недвусмислена).

непрекъснат (следва от непрекъснатостта на пространството. Винаги има шанс да се намери частица в различни точки в пространството, но за различните точки тя ще бъде различна),

Вълновата функция удовлетворява принцип суперпозиции: ако системата може да бъде в различни състояния, описани от вълновите функции  1 , 2 ... n , тогава тя може да бъде в състояние , описано от линейна комбинация от тези функции:

С n (n=1,2...) - произволни числа.

С помощта на вълновата функция се изчисляват средните стойности на всяко физическо количество на частицата

§5 Уравнение на Шрьодингер

Уравнението на Шрьодингер, подобно на други основни уравнения на физиката (уравненията на Нютон, Максуел), не е изведено, а постулирано. То трябва да се разглежда като първоначално основно допускане, чиято валидност се доказва от факта, че всички произтичащи от него последствия съвпадат точно с експерименталните данни.

(1)

Време Уравнение на Шрьодингер.

Nabla - оператор на Лаплас

Потенциална функция на частица в силово поле,

Ψ(y,z,t) - желана функция

Ако силовото поле, в което се движи частицата, е неподвижно (т.е. не се променя с времето), тогава функцията Uне зависи от времето и има смисъл на потенциална енергия. В този случай решението на уравнението на Шрьодингер (т.е. Ψ е функция) може да бъде представено като произведение на два фактора - единият зависи само от координатите, а другият само от времето:

(2)

де общата енергия на частицата, която е постоянна в случай на стационарно поле.

Замествайки (2)  (1):

(3)

Уравнение на Шрьодингер за стационарни състояния.

Има безкрайно много решения. Чрез налагане на гранични условия се избират решения, които имат физически смисъл.

Гранични условия:

вълновите функции трябва да бъдат редовен, т.е.

1) окончателен;

2) недвусмислени;

3) непрекъснато.

Решенията, удовлетворяващи уравнението на Шрьодингер, се наричат собственфункции и съответстващите им енергийни стойности - енергийни собствени стойности. Наборът от собствени стойности се нарича спектърколичества. Ако д нприема дискретни стойности, тогава спектърът - отделен, ако непрекъснато - твърди или непрекъснати.

ВЪЛНОВА ФУНКЦИЯ, в КВАНТОВАТА МЕХАНИКА, функция, която ви позволява да намерите вероятността една квантова система да е в някакво състояние s в момент t. Обикновено се пише: (s) или (s, t). Вълновата функция се използва в уравнението на Шрьодингер... Научно-технически енциклопедичен речник

ВЪЛНОВА ФУНКЦИЯ Съвременна енциклопедия

вълнова функция- ВЪЛНОВА ФУНКЦИЯ, в квантовата механика, основното количество (в общия случай, сложно), описващо състоянието на системата и ви позволява да намерите вероятностите и средните стойности на физическите величини, характеризиращи тази система. Квадратът на вълновия модул ... ... Илюстрован енциклопедичен речник

ВЪЛНОВА ФУНКЦИЯ- (вектор на състоянието) в квантовата механика, основното количество, което описва състоянието на системата и ви позволява да намерите вероятностите и средните стойности на физическите величини, които я характеризират. Квадратът на модула на вълновата функция е равен на вероятността за даден ... ... Голям енциклопедичен речник

ВЪЛНОВА ФУНКЦИЯ- в квантовата механика (амплитуда на вероятността, вектор на състоянието), количество, което напълно описва състоянието на микрообект (електрон, протон, атом, молекула) и като цяло всеки квант. системи. Описание на състоянието на микрообект с помощта на V. f. То има… … Физическа енциклопедия

вълнова функция- - [Л. Г. Суменко. Английско-руски речник на информационните технологии. M .: GP TsNIIS, 2003.] Теми информационни технологии като цяло EN вълнова функция ... Наръчник за технически преводач

вълнова функция- (амплитуда на вероятността, вектор на състоянието), в квантовата механика, основното количество, което описва състоянието на системата и ви позволява да намерите вероятностите и средните стойности на физическите величини, които я характеризират. Квадратът на модула на вълновата функция е ... ... енциклопедичен речник

вълнова функция- banginė функция statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. вълнова функция vok. Wellenfunktion, рус. вълнова функция, f; вълнова функция, f пранц. fonction d’onde, f … Fizikos terminų žodynas

вълнова функция- banginė funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydis, apibūdinantis mikrodalelių ar jų sistemų fizikinę būseną. атитикменис: англ. вълнова функция. вълнова функция... Chemijes terminų aiskinamasis žodynas

ВЪЛНОВА ФУНКЦИЯе сложна функция, описваща състоянието на квантовия мех. системи и позволяващи да се намерят вероятности и вж. стойностите на характеризираните с него физични свойства. количества. Квадратен модул V. f. е равна на вероятността на даденото състояние, следователно V.f. Наречен също амплитуда ... ... Естествени науки. енциклопедичен речник

Книги

• , Б. К. Новосадов. Монографията е посветена на последователно представяне на квантовата теория на молекулярните системи, както и на решаването на вълнови уравнения в нерелативистичната и релативистката квантова механика на молекулите.… Купете за 882 UAH (само за Украйна)
• Методи на математическата физика на молекулярните системи, Новосадов Б.К.. Монографията е посветена на последователно представяне на квантовата теория на молекулярните системи, както и на решаването на вълнови уравнения в нерелативистичната и релативистката квантова механика на молекулите.…

Въз основа на идеята, че електронът има вълнови свойства. Шрьодингер през 1925 г. предложи състоянието на електрон, движещ се в атом, да се опише с уравнението на стояща електромагнитна вълна, известно във физиката. Замествайки в това уравнение вместо дължината на вълната нейната стойност от уравнението на де Бройл, той получава ново уравнение, свързващо енергията на електрона с пространствени координати и така наречената вълнова функция, съответстваща в това уравнение на амплитудата на триизмерна вълна процес.

От особено значение за характеризиране на състоянието на електрона е вълновата функция. Както амплитудата на всеки вълнов процес, тя може да приема както положителни, така и отрицателни стойности. Стойността обаче винаги е положителна. В същото време той има забележително свойство: колкото по-голяма е стойността в дадена област от пространството, толкова по-голяма е вероятността електронът да прояви своето действие тук, тоест съществуването му да бъде открито в някакъв физически процес.

Следното твърдение ще бъде по-точно: вероятността да се намери електрон в някакъв малък обем се изразява чрез произведението . По този начин самата стойност изразява плътността на вероятността за намиране на електрон в съответния регион на пространството.

Ориз. 5. Електронен облак на водородния атом.

За да разберете физическото значение на квадрата на вълновата функция, разгледайте Фиг. 5, която показва определен обем близо до ядрото на водороден атом. Плътността на разполагане на точките на фиг. 5 е пропорционална на стойността на съответното място: колкото по-голяма е стойността, толкова по-плътни са точките. Ако електронът имаше свойствата на материална точка, тогава Фиг. 5 може да се получи чрез многократно наблюдение на водородния атом и всеки път отбелязване на местоположението на електрона: плътността на точките във фигурата ще бъде толкова по-голяма, колкото по-често се намира електрон в съответния регион на пространството или в други думи, толкова по-голяма е вероятността да го намерите в този регион.

Знаем обаче, че идеята за електрона като материална точка не отговаря на истинската му физическа природа. Следователно фиг. По-правилно е да се разглежда 5 като схематично представяне на електрон, „размазан“ по целия обем на атома под формата на така наречения електронен облак: колкото по-плътни са точките на едно или друго място, толкова по-голяма е плътност на електронния облак тук. С други думи, плътността на електронния облак е пропорционална на квадрата на вълновата функция.

Идеята за състоянието на електрона като определен облак от електрически заряд се оказва много удобна, тя добре предава основните характеристики на поведението на електрона в атомите и молекулите и често ще се използва в следващото представяне. В този случай обаче трябва да се има предвид, че електронният облак няма определени, рязко определени граници: дори на голямо разстояние от ядрото има известна, макар и много малка, вероятност да се намери електрон. Следователно под електронен облак условно ще разбираме област от пространството в близост до ядрото на атома, в която е концентрирана преобладаващата част (например ) от заряда и масата на електрона. По-точно определение на тази област от пространството е дадено на страница 75.

4.4.1. Хипотезата на Де Бройл

Важна стъпка в създаването на квантовата механика беше откриването на вълновите свойства на микрочастиците. Идеята за свойствата на вълната първоначално е изложена като хипотеза от френския физик Луи дьо Бройл.

Във физиката дълги години доминираше теорията, според която светлината е електромагнитна вълна. Въпреки това, след работата на Планк (топлинно излъчване), Айнщайн (фотоелектричен ефект) и други, стана очевидно, че светлината има корпускулярни свойства.

За да се обяснят някои физически явления, е необходимо да се разглежда светлината като поток от фотонни частици. Корпускулярните свойства на светлината не отхвърлят, а допълват нейните вълнови свойства.

Така, фотонът е елементарна частица светлина с вълнови свойства.

Формула за импулса на фотона

.

(4.4.3)

Според де Бройл движението на частица, например електрон, е подобно на вълнов процес с дължина на вълната λ, определена от формула (4.4.3). Тези вълни се наричат вълни на де Бройл. Следователно частиците (електрони, неутрони, протони, йони, атоми, молекули) могат да проявяват дифракционни свойства.

К. Дейвисън и Л. Гермър са първите, които наблюдават електронна дифракция върху монокристал на никел.

Може да възникне въпросът: какво се случва с отделните частици, как се образуват максимумите и минимумите по време на дифракцията на отделните частици?

Експериментите върху дифракцията на електронни лъчи с много нисък интензитет, т.е. сякаш отделни частици, показаха, че в този случай електронът не се "размазва" в различни посоки, а се държи като цяла частица. Въпреки това, вероятността от отклонение на електрони в отделни посоки в резултат на взаимодействие с дифракционния обект е различна. Най-вероятно е електроните да попаднат в местата, които според изчислението съответстват на дифракционните максимуми, по-малко вероятно е попадението им в минимумите. По този начин вълновите свойства са присъщи не само на колектива от електрони, но и на всеки електрон поотделно.

4.4.2. Вълнова функция и нейното физическо значение

Тъй като вълновият процес е свързан с микрочастица, което съответства на нейното движение, състоянието на частиците в квантовата механика се описва с вълнова функция, която зависи от координатите и времето: .

Ако силовото поле, действащо върху частицата, е стационарно, т.е. не зависи от времето, тогава ψ-функцията може да бъде представена като произведение на два фактора, единият от които зависи от времето, а другият от координатите:

Това предполага физическия смисъл на вълновата функция:

4.4.3. Отношение на несигурност

Една от важните разпоредби на квантовата механика са отношенията на несигурност, предложени от В. Хайзенберг.

Нека позицията и импулсът на частицата се измерват едновременно, а неточностите в дефинициите на абсцисата и проекцията на импулса върху абсцисната ос са съответно Δx и Δр x .

В класическата физика няма ограничения, които да забраняват едновременното измерване на едното и другото количество с каквато и да е степен на точност, тоест Δx→0 и Δр x→ 0.

В квантовата механика ситуацията е коренно различна: Δx и Δр x , съответстващи на едновременното определяне на x и р x , са свързани чрез зависимостта

Извикват се формули (4.4.8), (4.4.9). отношения на несигурност.

Нека ги обясним с един моделен експеримент.

При изучаване на явлението дифракция беше обърнато внимание на факта, че намаляването на ширината на процепа по време на дифракция води до увеличаване на ширината на централния максимум. Подобно явление ще възникне и в случай на електронна дифракция от процеп в моделен експеримент. Намаляването на ширината на процепа означава намаляване на Δ x (фиг. 4.4.1), което води до по-голямо "размазване" на електронния лъч, тоест до по-голяма неопределеност в импулса и скоростта на частиците.

Ориз. 4.4.1 Обяснение на връзката на неопределеността.

Отношението на неопределеността може да бъде представено като

,

(4.4.10)

където ΔE е енергийната несигурност на някое състояние на системата; Δt е периодът от време, през който съществува. Връзката (4.4.10) означава, че колкото по-кратък е животът на всяко състояние на системата, толкова по-несигурна е неговата енергийна стойност. Енергийни нива E 1 , E 2 и др. имат определена ширина (фиг. 4.4.2)), в зависимост от времето, през което системата е в състояние, съответстващо на това ниво.

Ориз. 4.4.2 Енергийни нива E 1, E 2 и др. имат някаква ширина.

„Размиването“ на нивата води до несигурност на енергията ΔE на излъчения фотон и неговата честота Δν по време на прехода на системата от едно енергийно ниво към друго:

,

където m е масата на частицата; ; E и E n са неговата пълна и потенциална енергия (потенциалната енергия се определя от силовото поле, в което се намира частицата, и за стационарния случай не зависи от времето)

Ако частицата се движи само по определена линия, например по оста OX (едномерен случай), тогава уравнението на Шрьодингер е значително опростено и приема формата

(4.4.13)

Един от най-простите примери за използване на уравнението на Шрьодингер е решението на проблема за движението на частица в едномерна потенциална яма.

4.4.5. Приложение на уравнението на Шрьодингер към водородния атом. квантови числа

Описването на състоянията на атомите и молекулите с помощта на уравнението на Шрьодингер е доста трудна задача. Най-просто се решава за един електрон, намиращ се в полето на ядрото. Такива системи съответстват на водородния атом и водородоподобните йони (единично йонизиран хелиев атом, двойно йонизиран литиев атом и др.). В този случай обаче решението на проблема също е сложно, така че се ограничаваме до качествено представяне на проблема.

На първо място, потенциалната енергия трябва да бъде заменена в уравнението на Шрьодингер (4.4.12), което за два взаимодействащи точкови заряда - e (електрон) и Ze (ядро), - разположени на разстояние r във вакуум, се изразява по следния начин: :

Този израз е решение на уравнението на Шрьодингер и напълно съвпада със съответната формула на теорията на Бор (4.2.30)

Фигура 4.4.3 показва нивата на възможните стойности на общата енергия на водородния атом (E 1, E 2, E 3 и т.н.) и графика на потенциалната енергия E n спрямо разстоянието r между електрона и ядрото. С нарастването на главното квантово число n, r нараства (виж 4.2.26), а общата (4.4.15) и потенциалната енергия клонят към нула. Кинетичната енергия също клони към нула. Защрихованата област (E>0) съответства на състоянието на свободен електрон.

Ориз. 4.4.3. Показани са нивата на възможните стойности на общата енергия на водородния атом
и графика на потенциалната енергия спрямо разстоянието r между електрона и ядрото.

Второ квантово число - орбитален л, което за дадено n може да приема стойностите 0, 1, 2, ...., n-1. Това число характеризира орбиталния ъглов момент L i на електрона спрямо ядрото:

Четвърто квантово число - завъртане m s. Може да приема само две стойности (±1/2) и характеризира възможните стойности на проекцията на спина на електрона:

.(4.4.18)

Състоянието на електрона в атом с дадени n и l се означава по следния начин: 1s, 2s, 2p, 3s и т.н. Тук числото показва стойността на основното квантово число, а буквата - орбиталното квантово число: символите s, p, d, f съответстват на стойностите l=0, 1, 2. 3 и т.н.