Ако всяко естествено число н съответства на реално число a n , тогава те казват, че дадено числова последователност :

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .

И така, числовата последователност е функция на естествен аргумент.

Номер а 1 Наречен първия член на редицата , номер а 2 — вторият член на редицата , номер а 3 — трети и така нататък. Номер a n Наречен n-ти член на редицата , и естественото число н — номера му .

От два съседни члена a n и a n +1 членни последователности a n +1 Наречен последващи (към a n ), а a n — предишен (към a n +1 ).

За да посочите последователност, трябва да посочите метод, който ви позволява да намерите член на последователност с произволен номер.

Често последователността се дава с n-ти член формули , тоест формула, която ви позволява да определите член на последователност по неговия номер.

Например,

последователността от положителни нечетни числа може да бъде дадена с формулата

a n= 2н- 1,

и последователността на редуване 1 и -1 - формула

bн = (-1)н +1 . ◄

Последователността може да се определи повтаряща се формула, това е формула, която изразява всеки член на последователността, започвайки с някои, през предходните (един или повече) членове.

Например,

ако а 1 = 1 , а a n +1 = a n + 5

а 1 = 1,

а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ако а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , тогава първите седем члена на числовата последователност са зададени както следва:

а 1 = 1,

а 2 = 1,

а 3 = а 1 + а 2 = 1 + 1 = 2,

а 4 = а 2 + а 3 = 1 + 2 = 3,

а 5 = а 3 + а 4 = 2 + 3 = 5,

а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,

а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Последователностите могат да бъдат финал и безкраен .

Последователността се нарича крайна ако има краен брой членове. Последователността се нарича безкраен ако има безкрайно много членове.

Например,

поредица от двуцифрени естествени числа:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

финал.

Поредица от прости числа:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

безкраен. ◄

Последователността се нарича повишаване на , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-голям от предходния.

Последователността се нарича намаляващ , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-малък от предходния.

Например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2н, . . . е възходяща последователност;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /н, . . . е низходяща последователност. ◄

Нарича се последователност, чиито елементи не намаляват с увеличаване на броя или, обратно, не се увеличават монотонна последователност .

Монотонните последователности, по-специално, са нарастващи последователности и намаляващи последователности.

Аритметична прогресия

Аритметична прогресия извиква се редица, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предходния, към който се добавя същото число.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .

е аритметична прогресия, ако за всяко естествено число н условието е изпълнено:

a n +1 = a n + д,

където д - някакво число.

По този начин разликата между следващите и предходните членове на дадена аритметична прогресия е винаги постоянна:

а 2 - а 1 = а 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = д.

Номер д Наречен разликата на аритметична прогресия.

За да зададете аритметична прогресия, достатъчно е да посочите нейния първи член и разлика.

Например,

ако а 1 = 3, д = 4 , тогава първите пет члена на редицата се намират, както следва:

а 1 =3,

а 2 = а 1 + д = 3 + 4 = 7,

а 3 = а 2 + д= 7 + 4 = 11,

а 4 = а 3 + д= 11 + 4 = 15,

а 5 = а 4 + д= 15 + 4 = 19. ◄

За аритметична прогресия с първия член а 1 и разлика д нея н

a n = а 1 + (н- 1)д.

Например,

намерете тридесетия член на аритметичната прогресия

1, 4, 7, 10, . . .

а 1 =1, д = 3,

а 30 = а 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = а 1 + (н- 2)д,

a n= а 1 + (н- 1)д,

a n +1 = а 1 + nd,

тогава очевидно

a n=	a n-1 + a n+1
	2

всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на предходния и следващите членове.

числата a, b и c са последователни членове на някаква аритметична прогресия тогава и само ако едно от тях е равно на средното аритметично на другите две.

Например,

a n = 2н- 7 , е аритметична прогресия.

Нека използваме твърдението по-горе. Ние имаме:

a n = 2н- 7,

n-1 = 2(н- 1) - 7 = 2н- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2н- 5.

Следователно,

a n+1 + a n-1	=	2н- 5 + 2н- 9	= 2н- 7 = a n,
2		2

◄

Забележи, че н -тият член на аритметичната прогресия може да бъде намерен не само чрез а 1 , но и всички предишни a k

a n = a k + (н- к)д.

Например,

за а 5 може да се напише

а 5 = а 1 + 4д,

а 5 = а 2 + 3д,

а 5 = а 3 + 2д,

а 5 = а 4 + д. ◄

a n = един н-к + kd,

a n = a n+k - kd,

тогава очевидно

a n=	а н-к +a n+k
	2

всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на половината от сбора на членовете на тази аритметична прогресия, разположени на еднакво разстояние от нея.

В допълнение, за всяка аритметична прогресия е вярно равенството:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Например,

в аритметична прогресия

1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;

2) 28 = а 10 = а 3 + 7д= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, защото

а 2 + а 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

първи н членове на аритметична прогресия е равно на произведението на половината от сумата на екстремните членове по броя на членовете:

От това по-специално следва, че ако е необходимо да се сумират условията

a k, a k +1 , . . . , a n,

тогава предишната формула запазва своята структура:

Например,

в аритметична прогресия 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ако е дадена аритметична прогресия, тогава количествата а 1 , a n, д, ниС н свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на три от тези величини, тогава съответните стойности на другите две величини се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

Аритметичната прогресия е монотонна последователност. при което:

• ако д > 0 , след това се увеличава;
• ако д < 0 , тогава намалява;
• ако д = 0 , тогава последователността ще бъде неподвижна.

Геометрична прогресия

геометрична прогресия се нарича редица, всеки член от която, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

е геометрична прогресия, ако за всяко естествено число н условието е изпълнено:

b n +1 = b n · р,

където р ≠ 0 - някакво число.

По този начин съотношението на следващия член на тази геометрична прогресия към предишния е постоянно число:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = р.

Номер р Наречен знаменател на геометрична прогресия.

За да зададете геометрична прогресия, достатъчно е да посочите нейния първи член и знаменател.

Например,

ако b 1 = 1, р = -3 , тогава първите пет члена на редицата се намират, както следва:

b 1 = 1,

б 2 = b 1 · р = 1 · (-3) = -3,

б 3 = б 2 · р= -3 · (-3) = 9,

b 4 = б 3 · р= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · р= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 и знаменател р нея н -ти член може да се намери по формулата:

b n = b 1 · q n -1 .

Например,

намерете седмия член на геометрична прогресия 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, р = 2,

b 7 = b 1 · р 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

тогава очевидно

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

всеки член на геометричната прогресия, започвайки от втория, е равен на средното геометрично (пропорционално) на предходния и следващите членове.

Тъй като обратното също е вярно, важи следното твърдение:

числата a, b и c са последователни членове на някаква геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на едно от тях е равен на произведението на другите две, т.е. едно от числата е средно геометрично на другите две.

Например,

нека докажем, че последователността, дадена от формулата b n= -3 2 н , е геометрична прогресия. Нека използваме твърдението по-горе. Ние имаме:

b n= -3 2 н,

b n -1 = -3 2 н -1 ,

b n +1 = -3 2 н +1 .

Следователно,

b n 2 = (-3 2 н) 2 = (-3 2 н -1 ) (-3 2 н +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

което доказва търсеното твърдение. ◄

Забележи, че н членът на геометричната прогресия може да се намери не само чрез b 1 , но и всеки предишен мандат b k , за което е достатъчно да се използва формулата

b n = b k · q n - к.

Например,

за b 5 може да се напише

б 5 = b 1 · р 4 ,

б 5 = б 2 · р 3,

б 5 = б 3 · q2,

б 5 = b 4 · р. ◄

b n = b k · q n - к,

b n = b n - к · q k,

тогава очевидно

b n 2 = b n - к· b n + к

квадратът на всеки член на геометрична прогресия, започвайки от втория, е равен на произведението на членовете на тази прогресия, равноотдалечени от нея.

В допълнение, за всяка геометрична прогресия е вярно равенството:

b m· b n= b k· b l,

м+ н= к+ л.

Например,

експоненциално

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · р 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , защото

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

първи н членове на геометрична прогресия със знаменател р ≠ 0 изчислено по формулата:

И когато р = 1 - по формулата

S n= n.b. 1

Имайте предвид, че ако трябва да сумираме членовете

b k, b k +1 , . . . , b n,

тогава се използва формулата:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - к +1	.
	1 - р

Например,

експоненциално 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ако е дадена геометрична прогресия, тогава количествата b 1 , b n, р, ни S n свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на всеки три от тези количества, тогава съответните стойности на другите две количества се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

За геометрична прогресия с първия член b 1 и знаменател р се случва следното свойства на монотонност :

• прогресията се увеличава, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 и р> 1;

b 1 < 0 и 0 < р< 1;

• Прогресията намалява, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 и 0 < р< 1;

b 1 < 0 и р> 1.

Ако р< 0 , тогава геометричната прогресия е знакоредуваща: нейните нечетни членове имат същия знак като първия член, а четните имат противоположен знак. Ясно е, че променливата геометрична прогресия не е монотонна.

Продукт на първия н членовете на геометрична прогресия могат да се изчислят по формулата:

P n= b 1 · б 2 · б 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) н / 2 .

Например,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия се нарича безкрайна геометрична прогресия, чийто модул на знаменателя е по-малък от 1 , това е

|р| < 1 .

Имайте предвид, че една безкрайно намаляваща геометрична прогресия може да не е намаляваща последователност. Това отговаря на случая

1 < р< 0 .

С такъв знаменател последователността е знакоредуваща се. Например,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия назовете числото, на което е сумата от първото н условия на прогресията с неограничено увеличение на броя н . Това число винаги е крайно и се изразява с формулата

С= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - р

Например,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Връзка между аритметична и геометрична прогресии

Аритметичната и геометричната прогресия са тясно свързани. Нека разгледаме само два примера.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . д , тогава

б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . b d .

Например,

1, 3, 5, . . . — аритметична прогресия с разлика 2 и

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . е геометрична прогресия със знаменател 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . е геометрична прогресия със знаменател р , тогава

дневник a b 1, дневник a b 2, дневник a b 3, . . . — аритметична прогресия с разлика дневник ар .

Например,

2, 12, 72, . . . е геометрична прогресия със знаменател 6 и

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — аритметична прогресия с разлика lg 6 . ◄

Първо ниво

Аритметична прогресия. Подробна теория с примери (2019)

Числова последователност

И така, нека седнем и започнем да записваме някои числа. Например:
Можете да пишете произволни числа и може да са колкото искате (в нашия случай те). Колкото и числа да пишем, винаги можем да кажем кое от тях е първото, кое второто и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност:

Числова последователност
Например за нашата последователност:

Присвоеният номер е специфичен само за един пореден номер. С други думи, в редицата няма три втори числа. Второто число (като -тото число) винаги е едно и също.
Числото с числото се нарича -тият член на редицата.

Обикновено наричаме цялата последователност някаква буква (например,), а всеки член на тази последователност - една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

В нашия случай:

Да кажем, че имаме числова редица, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.
Например:

и т.н.
Такава числова последователност се нарича аритметична прогресия.
Терминът "прогресия" е въведен от римския автор Боеций още през 6 век и се разбира в по-широк смисъл като безкрайна числова последователност. Името "аритметика" е прехвърлено от теорията за непрекъснатите пропорции, с която са се занимавали древните гърци.

Това е числова редица, всеки член на която е равен на предходния, добавен със същото число. Това число се нарича разлика на аритметична прогресия и се обозначава.

Опитайте се да определите кои числови последователности са аритметична прогресия и кои не са:

а)
б)
° С)
д)

Схванах го? Сравнете нашите отговори:
Еаритметична прогресия - b, c.
Не еаритметична прогресия - a, d.

Нека се върнем към дадената прогресия () и се опитаме да намерим стойността на нейния th член. Съществува двеначин да го намерите.

1. Метод

Можем да добавяме към предишната стойност на числото на прогресията, докато стигнем до члена на прогресията. Добре е, че няма много за обобщаване - само три стойности:

И така, -тият член на описаната аритметична прогресия е равен на.

2. Начин

Какво ще стане, ако трябва да намерим стойността на тия член на прогресията? Сумирането щеше да ни отнеме повече от час и не е факт, че нямаше да допуснем грешки при събирането на числата.
Разбира се, математиците са измислили начин, по който не е необходимо да добавяте разликата на аритметична прогресия към предишната стойност. Погледнете внимателно нарисуваната картина ... Със сигурност вече сте забелязали определен модел, а именно:

Например, нека да видим какво съставлява стойността на -тия член на тази аритметична прогресия:


С други думи:

Опитайте се самостоятелно да намерите по този начин стойността на член на тази аритметична прогресия.

Изчислено? Сравнете вашите записи с отговора:

Обърнете внимание, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно добавихме членовете на аритметична прогресия към предишната стойност.
Нека се опитаме да "деперсонализираме" тази формула - привеждаме я в общ вид и получаваме:

Уравнение на аритметична прогресия.

Аритметичните прогресии се увеличават или намаляват.

Повишаване на- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по-голяма от предходната.
Например:

Спускане- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по-малка от предходната.
Например:

Изведената формула се използва при изчисляването на членове както в нарастващи, така и в намаляващи членове на аритметична прогресия.
Нека да го проверим на практика.
Дадена ни е аритметична прогресия, състояща се от следните числа:

От тогава:

Така се убедихме, че формулата работи както в намаляваща, така и в нарастваща аритметична прогресия.
Опитайте се сами да намерите -тия и -тия членове на тази аритметична прогресия.

Нека сравним резултатите:

Свойство на аритметична прогресия

Нека усложним задачата - извеждаме свойството на аритметична прогресия.
Да предположим, че ни е дадено следното условие:
- аритметична прогресия, намерете стойността.
Лесно е, казвате вие ​​и започвате да броите по формулата, която вече знаете:

Нека, а, тогава:

Абсолютно прав. Оказва се, че първо намираме, след това го добавяме към първото число и получаваме това, което търсим. Ако прогресията е представена с малки стойности, тогава няма нищо сложно в това, но какво ще стане, ако в условието ни бъдат дадени числа? Съгласете се, има вероятност да направите грешки в изчисленията.
Сега помислете, възможно ли е да се реши този проблем в една стъпка, като се използва някаква формула? Разбира се, да, и ние ще се опитаме да го изведем сега.

Нека означим желания член от аритметичната прогресия като, знаем формулата за намирането му - това е същата формула, която изведехме в началото:
, тогава:

• предишният член на прогресията е:
• следващият член на прогресията е:

Нека сумираме предишните и следващите членове на прогресията:

Оказва се, че сумата от предишния и следващите членове на прогресията е два пъти по-голяма от стойността на члена на прогресията, разположен между тях. С други думи, за да се намери стойността на член на прогресията с известни предишни и последователни стойности, е необходимо да се съберат и разделят на.

Точно така, имаме едно и също число. Да оправим материала. Изчислете сами стойността за прогресията, защото не е никак трудно.

Много добре! Знаете почти всичко за прогресията! Остава да открием само една формула, която според легендата един от най-великите математици на всички времена, "кралят на математиците" - Карл Гаус, лесно извежда за себе си ...

Когато Карл Гаус беше на 9 години, учителят, зает да проверява работата на ученици от други класове, зададе следната задача в урока: „Изчислете сумата на всички естествени числа от до (според други източници до) включително. " Каква беше изненадата на учителя, когато един от неговите ученици (това беше Карл Гаус) след минута даде правилния отговор на задачата, докато повечето от съучениците на смелчага след дълги изчисления получиха грешен резултат ...

Младият Карл Гаус забеляза модел, който можете лесно да забележите.
Да кажем, че имаме аритметична прогресия, състояща се от -ti членове: Трябва да намерим сумата от дадените членове на аритметичната прогресия. Разбира се, можем ръчно да сумираме всички стойности, но какво ще стане, ако трябва да намерим сбора на неговите членове в задачата, както търсеше Гаус?

Нека изобразим прогресията, която ни е дадена. Погледнете внимателно маркираните числа и се опитайте да извършите различни математически операции с тях.


Опитах? Какво забелязахте? Правилно! Сумите им са равни

Сега отговорете колко такива двойки ще има в дадената ни прогресия? Разбира се, точно половината от всички числа, т.е.
Въз основа на факта, че сумата от два члена на аритметична прогресия е равна и подобни равни двойки, получаваме, че общата сума е равна на:
.
По този начин формулата за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

В някои задачи не знаем тия член, но знаем разликата в прогресията. Опитайте се да замените във формулата на сумата формулата на th член.
Какво получи?

Много добре! Сега да се върнем към задачата, дадена на Карл Гаус: изчислете сами колко е сумата от числата, започващи от -тото, и сумата от числата, започващи от -тото.

Колко получихте?
Гаус се оказа, че сумата от членовете е равна и сумата от членовете. Така ли реши?

Всъщност формулата за сбора на членовете на аритметичната прогресия е доказана от древногръцкия учен Диофант още през 3-ти век и през цялото това време остроумни хора са използвали свойствата на аритметичната прогресия с всички сили.
Например, представете си Древен Египет и най-голямата строителна площадка от онова време - изграждането на пирамида ... Фигурата показва едната й страна.

Къде е прогресията тук, казвате? Погледнете внимателно и намерете модел в броя на пясъчните блокове във всеки ред на стената на пирамидата.


Защо не аритметична прогресия? Пребройте колко блока са необходими за изграждането на една стена, ако в основата са поставени блокови тухли. Надявам се, че няма да броите, като движите пръста си по монитора, помните ли последната формула и всичко, което казахме за аритметичната прогресия?

В този случай прогресията изглежда така:
Разлика в аритметична прогресия.
Броят на членовете на аритметична прогресия.
Нека заместим нашите данни в последните формули (ние броим броя на блоковете по 2 начина).

Метод 1.

Метод 2.

И сега можете да изчислите и на монитора: сравнете получените стойности с броя на блоковете, които са в нашата пирамида. Съгласно ли е? Браво, усвоихте сумата от th-ия член на аритметичната прогресия.
Разбира се, не можете да построите пирамида от блоковете в основата, но от? Опитайте се да изчислите колко пясъчни тухли са необходими за изграждане на стена с това условие.
успяхте ли
Правилният отговор е блокове:

Тренировка

Задачи:

1. Маша влиза във форма за лятото. Всеки ден тя увеличава броя на кляканията с. Колко пъти ще кляка Маша за седмици, ако направи клякания на първата тренировка.
2. Какъв е сборът на всички нечетни числа, съдържащи се в.
3. Когато съхраняват трупи, дървосекачите ги подреждат по такъв начин, че всеки горен слой да съдържа един труп по-малко от предишния. Колко трупи има в една зидария, ако основата на зидарията е трупи.

Отговори:

1. Нека дефинираме параметрите на аритметичната прогресия. В такъв случай
   (седмици = дни).

   Отговор:След две седмици Маша трябва да кляка веднъж на ден.

2. Първо нечетно число, последно число.
   Разлика в аритметична прогресия.
   Броят на нечетните числа в - половината обаче проверете този факт, като използвате формулата за намиране на -тия член на аритметична прогресия:

   Числата съдържат нечетни числа.
   Заменяме наличните данни във формулата:

   Отговор:Сборът от всички нечетни числа, съдържащи се в е равен на.

3. Припомнете си задачата за пирамидите. За нашия случай, тъй като всеки горен слой е намален с един дневник, има само куп слоеве, т.е.
   Заместете данните във формулата:

   Отговор:В зидарията има трупи.

Обобщаване

1. - числова редица, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна. Увеличава се и намалява.
2. Намиране на формулачлен на аритметичната прогресия се записва по формулата - , където е броят на числата в прогресията.
3. Свойство на членове на аритметична прогресия- - където - броят на числата в прогресията.
4. Сумата от членовете на аритметична прогресияможе да се намери по два начина:
   
   , където е броят на стойностите.

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. СРЕДНО НИВО

Числова последователност

Нека седнем и започнем да пишем някои числа. Например:

Можете да пишете произволни числа и могат да бъдат колкото искате. Но винаги можете да кажете кой от тях е първият, кой вторият и т.н., тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност.

Числова последователносте набор от числа, на всяко от които може да бъде присвоен уникален номер.

С други думи, всяко число може да бъде свързано с определено естествено число и само с едно. И ние няма да присвоим този номер на друг номер от този набор.

Числото с числото се нарича -тият член на редицата.

Обикновено наричаме цялата последователност някаква буква (например,), а всеки член на тази последователност - една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

Много е удобно, ако -тият член на редицата може да бъде даден с някаква формула. Например формулата

задава последователността:

А формулата е следната последователност:

Например аритметичната прогресия е последователност (първият член тук е равен, а разликата). Или (, разлика).

формула за n-ти член

Наричаме повтаряща се формула, в която, за да разберете -тия член, трябва да знаете предишния или няколко предишни:

За да намерим, например, члена на прогресията, използвайки такава формула, трябва да изчислим предходните девет. Например, нека. Тогава:

Е, сега е ясно каква е формулата?

Във всеки ред добавяме към, умножено по някакво число. За какво? Много просто: това е номерът на текущия член минус:

Много по-удобно сега, нали? Ние проверяваме:

Решете сами:

В аритметична прогресия намерете формулата за n-тия член и намерете стотния член.

Решение:

Първият член е равен. И каква е разликата? И ето какво:

(в крайна сметка се нарича разлика, защото е равна на разликата на последователните членове на прогресията).

Така че формулата е:

Тогава стотният член е:

Какъв е сборът на всички естествени числа от до?

Според легендата великият математик Карл Гаус, като 9-годишно момче, изчислил тази сума за няколко минути. Той забеляза, че сборът на първото и последното число е равен, сборът на второто и предпоследното е еднакъв, сборът на третото и 3-то от края е еднакъв и т.н. Колко такива двойки има? Точно така, точно половината от броя на всички числа, т.е. Така,

Общата формула за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

Пример:
Намерете сбора на всички двуцифрени кратни.

Решение:

Първото такова число е това. Всеки следващ се получава чрез добавяне на число към предишния. По този начин числата, които ни интересуват, образуват аритметична прогресия с първия член и разликата.

Формулата за тия член за тази прогресия е:

Колко члена има в прогресията, ако всички те трябва да са двуцифрени?

Много лесно: .

Последният член на прогресията ще бъде равен. След това сумата:

Отговор: .

Сега решете сами:

1. Всеки ден атлетът бяга с 1 м повече от предишния ден. Колко километра ще пробяга след седмици, ако пробяга km m през първия ден?
2. Велосипедист изминава повече мили всеки ден от предишния. Първия ден измина км. Колко дни трябва да кара, за да измине един километър? Колко километра ще измине в последния ден от пътуването?
3. Всяка година цената на хладилника в магазина се намалява с една и съща сума. Определете колко намалява цената на хладилника всяка година, ако, пуснат за продажба за рубли, шест години по-късно е продаден за рубли.

Отговори:

1. Най-важното тук е да разпознаете аритметичната прогресия и да определите нейните параметри. В този случай (седмици = дни). Трябва да определите сумата от първите членове на тази прогресия:
   .
   Отговор:
2. Тук е дадено:, необходимо е да се намери.
   Очевидно е, че трябва да използвате същата формула за сумиране, както в предишния проблем:
   .
   Заменете стойностите:

   Коренът очевидно не пасва, така че отговорът.
   Нека изчислим изминатото разстояние през последния ден, като използваме формулата на -тия член:
   (км).
   Отговор:

3. Дадено: . Намирам: .
   Не става по-лесно:
   (търкайте).
   Отговор:

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Това е числова редица, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.

Аритметичната прогресия е нарастваща () и намаляваща ().

Например:

Формулата за намиране на n-тия член на аритметична прогресия

се записва като формула, където е броят на числата в прогресията.

Свойство на членове на аритметична прогресия

Това улеснява намирането на член на прогресията, ако съседните му членове са известни - къде е броят на числата в прогресията.

Сумата от членовете на аритметична прогресия

Има два начина да намерите сумата:

Къде е броят на стойностите.

Къде е броят на стойностите.

Концепцията за числова последователност предполага, че всяко естествено число съответства на някаква реална стойност. Такава поредица от числа може да бъде както произволна, така и да има определени свойства - прогресия. В последния случай всеки следващ елемент (член) на редицата може да бъде изчислен с помощта на предишния.

Аритметичната прогресия е поредица от числени стойности, в които нейните съседни членове се различават един от друг с едно и също число (всички елементи на серията, започвайки от 2-ри, имат подобно свойство). Това число - разликата между предишния и следващия член - е постоянно и се нарича прогресивна разлика.

Разлика в прогресията: Определение

Помислете за последователност, състояща се от j стойности A = a (1), a (2), a (3), a (4) … a (j), j принадлежи към набора от естествени числа N. Аритметична прогресия, според дефиницията си е последователност, в която a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. Стойността на d е желаната разлика на тази прогресия.

d = a(j) - a(j-1).

Разпределете:

• Нарастваща прогресия, в който случай d > 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, …
• намаляваща прогресия, след това d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Разлика на прогресията и нейните произволни елементи

Ако са известни 2 произволни члена на прогресията (i-ти, k-ти), тогава разликата за тази последователност може да се установи въз основа на връзката:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, така че d = (a(i) - a(k))/(i-k).

Разликата в прогресията и нейния първи член

Този израз ще помогне да се определи неизвестната стойност само в случаите, когато номерът на елемента на последователността е известен.

Прогресивна разлика и нейната сума

Сборът на една прогресия е сумата от нейните членове. За да изчислите общата стойност на първите му j елемента, използвайте съответната формула:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, но тъй като a(j) = a(1) + d(j – 1), тогава S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

При изучаването на алгебра в средното училище (9 клас) една от важните теми е изучаването на числови редици, които включват прогресии - геометрични и аритметични. В тази статия ще разгледаме аритметична прогресия и примери с решения.

Какво е аритметична прогресия?

За да се разбере това, е необходимо да се даде определение на разглежданата прогресия, както и да се дадат основните формули, които ще бъдат използвани по-нататък при решаването на проблеми.

Аритметиката или е такъв набор от подредени рационални числа, всеки член на който се различава от предишния с някаква постоянна стойност. Тази стойност се нарича разлика. Тоест, познавайки всеки член на подредена серия от числа и разликата, можете да възстановите цялата аритметична прогресия.

Да вземем пример. Следващата последователност от числа ще бъде аритметична прогресия: 4, 8, 12, 16, ..., тъй като разликата в този случай е 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Но наборът от числа 3, 5, 8, 12, 17 вече не може да се припише на разглеждания тип прогресия, тъй като разликата за него не е постоянна стойност (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Важни формули

Сега даваме основните формули, които ще са необходими за решаване на проблеми с помощта на аритметична прогресия. Нека n означава n-тия член на редицата, където n е цяло число. Разликата се обозначава с латинската буква d. Тогава са верни следните изрази:

1. За определяне на стойността на n-тия член е подходяща формулата: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. За да се определи сумата от първите n члена: S n = (a n + a 1)*n/2.

За да разберете всички примери за аритметична прогресия с решение в 9 клас, достатъчно е да запомните тези две формули, тъй като всички проблеми от разглеждания тип се основават на тяхното използване. Освен това не забравяйте, че разликата в прогресията се определя по формулата: d = a n - a n-1 .

Пример #1: Намиране на неизвестен член

Даваме прост пример за аритметична прогресия и формулите, които трябва да се използват за решаване.

Нека е дадена редицата 10, 8, 6, 4, ..., необходимо е да се намерят пет члена в нея.

От условията на задачата вече следва, че първите 4 члена са известни. Петият може да се дефинира по два начина:

1. Нека първо изчислим разликата. Имаме: d = 8 - 10 = -2. По подобен начин може да се вземат всеки два други термина, стоящи един до друг. Например d = 4 - 6 = -2. Тъй като е известно, че d \u003d a n - a n-1, тогава d \u003d a 5 - a 4, откъдето получаваме: a 5 \u003d a 4 + d. Заменяме известните стойности: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Вторият метод също изисква познаване на разликата във въпросната прогресия, така че първо трябва да я определите, както е показано по-горе (d = -2). Знаейки, че първият член a 1 = 10, използваме формулата за числото n на редицата. Имаме: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Като заместим n = 5 в последния израз, получаваме: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Както можете да видите, и двете решения водят до един и същ резултат. Обърнете внимание, че в този пример разликата d на прогресията е отрицателна. Такива последователности се наричат ​​намаляващи, защото всеки следващ член е по-малък от предходния.

Пример #2: разлика в прогресията

Сега нека усложним задачата малко, дайте пример как да намерите разликата на аритметична прогресия.

Известно е, че в някаква алгебрична прогресия първият член е равен на 6, а 7-ият член е равен на 18. Необходимо е да се намери разликата и да се възстанови тази последователност до 7-ия член.

Нека използваме формулата, за да определим неизвестния член: a n = (n - 1) * d + a 1 . Заменяме известните данни от условието в него, тоест числата a 1 и a 7, имаме: 18 \u003d 6 + 6 * d. От този израз можете лесно да изчислите разликата: d = (18 - 6) / 6 = 2. Така първата част от задачата е решена.

За да възстановите последователността до 7-ия член, трябва да използвате дефиницията на алгебрична прогресия, тоест a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d и т.н. В резултат на това възстановяваме цялата последователност: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 и 7 = 18.

Пример #3: извършване на прогресия

Нека усложним още повече условието на задачата. Сега трябва да отговорите на въпроса как да намерите аритметична прогресия. Можем да дадем следния пример: дадени са две числа, например 4 и 5. Необходимо е да се направи алгебрична прогресия, така че между тях да се поберат още три члена.

Преди да започнете да решавате този проблем, е необходимо да разберете какво място ще заемат дадените числа в бъдещата прогресия. Тъй като ще има още три термина между тях, след това 1 \u003d -4 и 5 \u003d 5. След като установихме това, преминаваме към задача, подобна на предишната. Отново за n-тия член използваме формулата, получаваме: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. От: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Тук разликата не е цяло число, а е рационално число, така че формулите за алгебричната прогресия остават същите.

Сега нека добавим намерената разлика към 1 и да възстановим липсващите членове на прогресията. Получаваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, което съвпадаше с условието на задачата.

Пример #4: Първият член на прогресията

Продължаваме да даваме примери за аритметична прогресия с решение. Във всички предишни задачи първото число от алгебричната прогресия беше известно. Сега разгледайте задача от различен тип: нека са дадени две числа, където 15 = 50 и 43 = 37. Необходимо е да се намери от кое число започва тази редица.

Формулите, които са използвани досега, предполагат познаване на 1 и d. За тези числа в условието на задачата не се знае нищо. Въпреки това, нека напишем изразите за всеки член, за който имаме информация: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Получихме две уравнения, в които има 2 неизвестни величини (a 1 и d). Това означава, че задачата се свежда до решаване на система от линейни уравнения.

Посочената система е най-лесна за решаване, ако изразите 1 във всяко уравнение и след това сравните получените изрази. Първо уравнение: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; второ уравнение: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Приравнявайки тези изрази, получаваме: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, откъдето разликата d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (дадени са само 3 знака след десетичната запетая).

Като знаете d, можете да използвате който и да е от двата израза по-горе за 1. Например, първо: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ако има съмнения относно резултата, можете да го проверите, например да определите 43-ия член на прогресията, който е посочен в условието. Получаваме: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Малка грешка се дължи на факта, че при изчисленията е използвано закръгляване до хилядни.

Пример #5: Сума

Сега нека да разгледаме някои примери с решения за сумата на аритметична прогресия.

Нека е дадена числова прогресия от следния вид: 1, 2, 3, 4, ...,. Как да изчислим сбора на 100 от тези числа?

Благодарение на развитието на компютърните технологии този проблем може да бъде решен, тоест последователно да се съберат всички числа, което компютърът ще направи веднага щом човек натисне клавиша Enter. Задачата обаче може да бъде решена мислено, ако обърнете внимание, че представената редица от числа е алгебрична прогресия и нейната разлика е 1. Прилагайки формулата за сумата, получаваме: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Любопитно е да се отбележи, че тази задача се нарича "Гаусова", тъй като в началото на 18 век известният германец, едва 10-годишен, успява да я реши наум за няколко секунди. Момчето не знаеше формулата за сумата на алгебрична прогресия, но забеляза, че ако съберете двойки числа, разположени в краищата на редицата, винаги получавате един и същ резултат, тоест 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... и тъй като тези суми ще бъдат точно 50 (100 / 2), тогава, за да получите правилния отговор, е достатъчно да умножите 50 по 101.

Пример #6: сбор от членове от n до m

Друг типичен пример за сумата на аритметична прогресия е следният: дадена е поредица от числа: 3, 7, 11, 15, ..., трябва да намерите каква ще бъде сумата от нейните членове от 8 до 14.

Проблемът се решава по два начина. Първият от тях включва намиране на неизвестни членове от 8 до 14 и след това последователното им сумиране. Тъй като има малко термини, този метод не е достатъчно трудоемък. Въпреки това се предлага да се реши този проблем чрез втория метод, който е по-универсален.

Идеята е да се получи формула за сумата на алгебрична прогресия между членове m и n, където n > m са цели числа. И в двата случая записваме два израза за сумата:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Тъй като n > m, очевидно е, че сумата 2 включва първата. Последният извод означава, че ако вземем разликата между тези суми и добавим члена a m към нея (в случай на вземане на разликата, тя се изважда от сумата S n), тогава получаваме необходимия отговор на проблема. Имаме: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Необходимо е да се заменят формули за n и m в този израз. Тогава получаваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Получената формула е донякъде тромава, но сумата S mn зависи само от n, m, a 1 и d. В нашия случай a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Замествайки тези числа, получаваме: S mn = 301.

Както може да се види от горните решения, всички задачи се основават на познаването на израза за n-тия член и формулата за сумата от множеството от първите членове. Преди да започнете да решавате някой от тези проблеми, се препоръчва внимателно да прочетете условието, ясно да разберете какво искате да намерите и едва след това да продължите с решението.

Друг съвет е да се стремите към простота, тоест ако можете да отговорите на въпроса, без да използвате сложни математически изчисления, тогава трябва да направите точно това, тъй като в този случай вероятността да направите грешка е по-малка. Например в примера за аритметична прогресия с решение № 6 може да се спре на формулата S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, и разбийте общата задача на отделни подзадачи (в този случай първо намерете термините a n и a m).

Ако има съмнения относно получения резултат, препоръчително е да го проверите, както беше направено в някои от дадените примери. Разбрахме как да намерим аритметична прогресия. След като го разберете, не е толкова трудно.

Мнозина са чували за аритметична прогресия, но не всеки е наясно какво е това. В тази статия ще дадем съответното определение, а също така ще разгледаме въпроса как да намерим разликата на аритметична прогресия и ще дадем редица примери.

Математическа дефиниция

Така че, ако говорим за аритметична или алгебрична прогресия (тези понятия дефинират едно и също нещо), това означава, че има някаква числова серия, която отговаря на следния закон: всеки две съседни числа в серията се различават с една и съща стойност. Математически това се записва така:

Тук n означава номера на елемента a n в редицата, а числото d е разликата на прогресията (името му следва от представената формула).

Какво означава да знаеш разликата d? За това колко далеч са съседните числа. Но познаването на d е необходимо, но не достатъчно условие за определяне (възстановяване) на цялата прогресия. Трябва да знаете още едно число, което може да бъде абсолютно всеки елемент от разглежданата серия, например 4, a10, но като правило се използва първото число, т.е. 1.

Формули за определяне на елементите на прогресията

Като цяло информацията по-горе вече е достатъчна, за да преминете към решаване на конкретни проблеми. Въпреки това, преди да бъде дадена аритметична прогресия и ще е необходимо да се намери нейната разлика, ние представяме няколко полезни формули, като по този начин улесняваме последващия процес на решаване на проблеми.

Лесно е да се покаже, че всеки елемент от редицата с номер n може да бъде намерен, както следва:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Всъщност всеки може да провери тази формула чрез просто изброяване: ако заместим n = 1, тогава получаваме първия елемент, ако заместим n = 2, тогава изразът дава сумата от първото число и разликата и т.н.

Условията на много проблеми са съставени по такъв начин, че за известна двойка числа, чиито числа също са дадени в последователността, е необходимо да се възстанови цялата редица от числа (намерете разликата и първия елемент). Сега ще решим този проблем по общ начин.

И така, да кажем, че са ни дадени два елемента с числа n и m. Използвайки формулата, получена по-горе, можем да съставим система от две уравнения:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

За да намерим неизвестни количества, използваме добре познат прост метод за решаване на такава система: изваждаме лявата и дясната част по двойки, като равенството остава в сила. Ние имаме:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Така елиминирахме едно неизвестно (a 1). Сега можем да напишем крайния израз за определяне на d:

d = (a n - a m) / (n - m), където n > m

Получихме много проста формула: за да изчислим разликата d в ​​съответствие с условията на задачата, е необходимо само да вземем съотношението на разликите между самите елементи и техните серийни номера. Трябва да се обърне внимание на един важен момент: разликите се вземат между "старшите" и "младшите" членове, т.е. n\u003e m ("старши" - което означава, че стои по-далеч от началото на последователността, неговата абсолютна стойност може бъдете повече или по-малко по-„по-млад“ елемент).

Изразът за разликата d на прогресията трябва да бъде заменен в някое от уравненията в началото на решението на задачата, за да се получи стойността на първия член.

В нашата епоха на развитие на компютърните технологии много ученици се опитват да намерят решения за своите задачи в Интернет, така че често възникват въпроси от този тип: намерете разликата на аритметичната прогресия онлайн. При такава заявка търсачката ще покаже няколко уеб страници, като отидете на които, ще трябва да въведете данните, известни от условието (може да са два члена на прогресията или сумата на някои от тях ) и веднага ще получите отговор. Въпреки това, такъв подход към решаването на проблема е непродуктивен по отношение на развитието на ученика и разбирането на същността на задачата, която му е възложена.

Решение без използване на формули

Нека решим първия проблем, като няма да използваме нито една от горните формули. Нека са дадени елементите на редицата: a6 = 3, a9 = 18. Намерете разликата на аритметичната прогресия.

Известните елементи са близо един до друг в редица. Колко пъти трябва да се добави разликата d към най-малкото, за да се получи най-голямото? Три пъти (първият път, добавяйки d, получаваме 7-ия елемент, втория път - осмия, накрая, третия път - деветия). Кое число трябва да се добави към три три пъти, за да се получи 18? Това е числото пет. Наистина ли:

Така неизвестната разлика е d = 5.

Разбира се, решението може да се направи с помощта на подходящата формула, но това не е направено умишлено. Подробно обяснение на решението на проблема трябва да стане ясен и ярък пример за това какво е аритметична прогресия.

Задача, подобна на предишната

Сега нека решим подобен проблем, но да променим входните данни. Така че трябва да намерите дали a3 = 2, a9 = 19.

Разбира се, можете да прибегнете отново до метода на решаване "на челото". Но тъй като са дадени елементите на серията, които са относително далеч един от друг, такъв метод не става много удобен. Но използването на получената формула бързо ще ни доведе до отговора:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83

Тук сме закръглили крайното число. Доколко това закръгляване е довело до грешка може да се прецени чрез проверка на резултата:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Този резултат се различава само с 0,1% от стойността, дадена в условието. Следователно използваното закръгляване до стотни може да се счита за добър избор.

Задачи за прилагане на формулата за член

Нека разгледаме класически пример за задачата за определяне на неизвестното d: намерете разликата в аритметичната прогресия, ако a1 = 12, a5 = 40.

Когато са дадени две числа от неизвестна алгебрична редица и едно от тях е елементът a 1 , тогава не е нужно да мислите дълго, а веднага трябва да приложите формулата за член a n. В този случай имаме:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Получихме точното число при разделяне, така че няма смисъл да проверяваме точността на изчисления резултат, както беше направено в предишния параграф.

Нека решим друга подобна задача: трябва да намерим разликата на аритметичната прогресия, ако a1 = 16, a8 = 37.

Използваме подобен подход на предишния и получаваме:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Какво друго трябва да знаете за аритметичната прогресия

В допълнение към проблемите за намиране на неизвестна разлика или отделни елементи, често е необходимо да се решават задачи за сумата от първите членове на редица. Разглеждането на тези проблеми е извън обхвата на темата на статията, но за пълнота на информацията представяме обща формула за сумата от n числа от серията:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2