Формула за средна стойност за определен интеграл. Определен интеграл и методи за неговото изчисляване

\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx= -\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx\,.

Това определение е естествено, тъй като когато посоката на интеграционния интервал се промени, всички разлики \Делта x_k=x_(k+1)-x_kпроменят знака си и след това променят знаците и сумите на Дарбу и по този начин числото, което ги разделя, т.е. интегрална.

Тъй като за a=b всички \Delta x_k изчезват, поставяме

\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx=0.

Получихме две дефиниции на понятието определен интеграл: като разлика между стойностите на първоизводната и като разделително число за сумите на Дарбу. Тези определения водят до същия резултат в най-важните случаи:

Теорема 2. Ако функцията y=f(x) е ограничена в сегмент и има първоизводна y=F(x) върху него и има едно число, разделящо долната и горната сума на Дарбу, тогава това число е равно на F(b )-F(a) .

Доказателство. По-горе доказахме, че числото F(a)-F(b) разделя множествата \(s_P\) и \(S_P\) . Тъй като разделителното число се определя еднозначно от условието, то съвпада с F(b)-F(a) .

Оттук нататък ще използваме нотацията \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx)само за едно число, разделящо множествата \(s_P\) и \(S_P\) . От доказаната теорема следва, че в този случай няма противоречие с разбирането на тази нотация, която използвахме по-горе.

Свойства на долната и горната сума на Дарбу

За да има смисъл дефиницията на интеграла, дадена по-рано, трябва да докажем, че наборът от горни суми на Дарбу наистина се намира вдясно от набора от долни суми на Дарбу.

Лема 1. За всеки дял P, съответната долна сума на Дарбу е най-много горната сума на Дарбу, s_P\leqslant S_P.

Доказателство. Помислете за част P от сегмента:

a=x_0 "

Очевидно за всяко k и за всяко избрано разпределение P е валидно неравенството s_P\leqslant S_P. Следователно, m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k, и ето защо

s_P= \sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.

Неравенство (4) е валидно само за фиксиран дял P . Следователно все още не е възможно да се твърди, че долната сума на Дарбу на един дял не може да надвишава горната сума на Дарбу на друг дял. За да докажем това твърдение, се нуждаем от следната лема:

Лема 2. Чрез добавяне на нова точка на делене долната сума на Дарбу не може да намалява, а горната сума не може да се увеличава.

Доказателство. Нека изберем някаква част P от сегмента и добавим нова точка на разделяне към нея (x^(\ast)) . Означете новия дял P^(\ast) . Разделението P^(\ast) е усъвършенстване на дяла P , т.е. всяка точка на разделяне на P е в същото време точка на разделяне на P^(\ast) .

Нека точката (x^(\ast)) попада върху отсечката \двоеточие\, x_k . Разгледайте двата образувани сегмента и и означаваме съответните точни долни граници на стойностите на функцията с m_(k)^(\ast) и m_(k)^(\ast\ast) , а точните горни граници с M_(k)^(\ast ) и M_(k )^(\ast\ast) .

срок m_k(x_(k+1)-m_(k))Оригиналната долна сума на Дарбу в новата долна сума на Дарбу съответства на два члена:

m_(k)^(\ast)(x^(\ast)-x_k)+ m_(k)^(\ast\ast)(x_(k+1)-x^(\ast)).

При което m_k\leqslant m_(k)^(\ast)и m_k\leqslant m_(k)^(\ast\ast), тъй като m_k е точната долна граница на стойностите на функцията f(x) на целия интервал, а m_(k)^(\ast) и m_(k)^(\ast\ast) само на неговия части и съответно.

Нека оценим сумата от получените членове отдолу:

\begin(aligned) m_(k)^(\ast)\bigl(x^(\ast)-x_(k)\bigr)+ m_(k)^(\ast\ast)\bigl(x_(k+ 1) )-x^(\ast)\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^(\ast)-x_k)+m_k(x_(k+1)-x^(\ast)\bigr ) =\\ &=m_k\bigl(x^(\ast)-x_k+x_(k+1)-x^(\ast)\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_(k+1) - x_k\bigr).\край (подравнено)

Тъй като останалите членове както в старата, така и в новата долна сума на Дарбу останаха непроменени, долната сума на Дарбу не намаля след добавянето на нова точка на деление, s_P\leqslant S_P.

Доказаното твърдение остава валидно дори при добавяне на произволен краен брой точки към дяла P .

Твърдението за горната сума на Дарбу се доказва по подобен начин: S_(P^(\ast))\leqslant S_(P).

Нека продължим със сравняването на сумите на Дарбу за всеки две дяла.

Лема 3. Нито една долна сума на Darboux не надвишава която и да е горна сума на Darboux (поне съответстваща на друго разпределение на сегмента).

Доказателство. Разгледайте две произволни дялове P_1 и P_2 на сегмента и образувайте третия дял P_3, състоящ се от всички точки на дяловете P_1 и P_2. По този начин, дял P_3 е усъвършенстване както на дял P_1, така и на дял P_2 (фиг. 7).

Нека означим съответно долната и горната сума на Дарбу за тези дялове s_1,~S_1.~s_2,~S_2и докажете, че s_1\leqslant S_2 .

Тъй като P_3 е усъвършенстване на дяла на P_1, тогава s_1\leqslant s_3. След това s_3\leqslant S_3, тъй като сумите на s_3 и S_3 съответстват на един и същи дял. И накрая, S_3\leqslant S_2, тъй като P_3 е усъвършенстване на дяла на P_2.

По този начин, s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2, т.е. s_1\leqslant S_2 , което трябваше да бъде доказано.

Лема 3 предполага това числовият набор X=\(s_P\) на долните суми на Дарбу лежи отляво на числения набор Y=\(S_P\) на горните суми на Дарбу.

По силата на теоремата за съществуването на разделително число за две числови множества1 има поне едно число / разделящо множествата X и Y , т.е. така че за всяко разделение на сегмента е валидно двойното неравенство:

s_P= \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\ cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.

Ако този номер е уникален, тогава \textstyle(I= \int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx).

Нека дадем пример, показващ, че такова число I, най-общо казано, не е еднозначно определено. Спомнете си, че функцията на Дирихле е функцията y=D(x) на интервала, определен от равенствата:

D(x)= \begin(cases)0,& \text(if)~~ x~~\text(е ирационално число);\\1,& \text(if)~~ x~~ \text(is рационално число).\end(cases)

Който и сегмент да вземем, на него има както рационални, така и ирационални точки, т.е. и точки, където D(x)=0, и точки, където D(x)=1. Следователно, за всяко разделение на сегмента, всички стойности на m_k са равни на нула, а всички стойности на M_k са равни на единица. Но тогава всички по-ниски суми на Дарбу \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr))са равни на нула и всички горни суми на Дарбу \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr))са равни на едно,

Теорема. Ако функцията f(x)интегрируем на интервала [ а, б], където а< b , и за всички x ∈неравенството

Използвайки неравенствата от теоремата, може да се оцени определеният интеграл, т.е. посочете границите, между които е затворено значението му. Тези неравенства изразяват оценка за определен интеграл.

Теорема [Теорема за средната стойност]. Ако функцията f(x)интегрируем на интервала [ а, б] и за всички x ∈неравенствата m ≤ f(x) ≤ M, тогава

където m ≤ μ ≤ M.

Коментирайте. В случай, че функцията f(x)непрекъснат на сегмента [ а, б], равенството от теоремата приема формата

където c ∈. Номер μ=f(c)определена с тази формула се нарича средно аритметичнофункции f(x)на сегмента [ а, б]. Това равенство има следното геометричен смисъл: площ на криволинеен трапец, ограничен от непрекъсната линия y=f(x) (f(x) ≤ 0) е равна на площта на правоъгълник със същата основа и височина, равна на ординатата на някаква точка от тази линия.

Наличие на първоизводна за непрекъсната функция

Първо, въвеждаме понятието интеграл с променлива горна граница.

Нека функцията f(x)интегрируем на интервала [ а, б]. Тогава каквото и да е числото хот [ а, б], функция f(x)интегрируем на интервала [ а, б]. Следователно на сегмента [ а, б] дефинирана функция

който се нарича интеграл с променлива горна граница.

Теорема. Ако интегралната функция е непрекъсната на интервала [ а, б], то производната на определен интеграл с променлива горна граница съществува и е равна на стойността на подинтегралната функция за тази граница, т.е.

Последица. Определеният интеграл с променлива горна граница е една от първоизводните за непрекъснат интегранд. С други думи, за всяка функция, непрекъсната на интервал, съществува първоизводна.

Забележка 1. Имайте предвид, че ако функцията f(x)интегрируем на интервала [ а, б], тогава интегралът с променлива горна граница е непрекъсната функция на горната граница на този сегмент. Наистина, от St. 2 и теоремата за средната стойност имаме

Забележка 2. Интегралът с променлива горна граница на интегриране се използва при дефинирането на много нови функции, напр. . Тези функции не са елементарни; както вече беше отбелязано, първоизводните на посочените интегранти не могат да бъдат изразени чрез елементарни функции.

Основни правила за интегриране

Формула на Нютон-Лайбниц

Тъй като всеки две противопроизводни функции f(x)се различават с константа, тогава, съгласно предишната теорема, може да се твърди, че всяка антипроизводна Φ(x)непрекъснат на сегмента [ а, б] функции f(x)има формата

където ° Се някаква константа.

Поставяйки тази формула х=аи x=b, използвайки St.1 определени интеграли, намираме

От тези равенства следва връзката

което се нарича Формула на Нютон-Лайбниц.

Така доказахме следната теорема:

Теорема. Определеният интеграл на непрекъсната функция е равен на разликата между стойностите на която и да е от нейните антипроизводни за горната и долната граница на интегриране.

Формулата на Нютон-Лайбниц може да бъде пренаписана като

Промяна на променлива в определен интеграл

Теорема. Ако

• функция f(x)непрекъснат на сегмента [ а, б];
• сегмент [ а, б] е набор от стойности на функцията φ(t)определени на интервала α ≤ t ≤ βи има непрекъсната производна върху него;
• φ(α)=a, φ(β)=b

тогава формулата е валидна

Формула за интегриране по части

Теорема. Ако функции u=u(x), v=v(x)имат непрекъснати производни на интервала [ а, б], след това формулата

Приложена стойност теореми за средна стойност се състои във възможността да се получи качествена оценка на стойността на определен интеграл, без да се изчислява. Ние формулираме : ако функцията е непрекъсната на интервала , тогава вътре в този интервал има такава точка, че .

Тази формула е доста подходяща за груба оценка на интеграла на сложна или тромава функция. Единственият момент, който прави формулата приблизителен , е необходимост самостоятелен подбор точки . Ако тръгнем по най-простия път - средата на интеграционния интервал (както се предлага в редица учебници), тогава грешката може да бъде доста значителна. За по-точни резултати Препоръчвам извършете изчислението в следната последователност:

Построяване на графика на функция върху интервала ;

Начертайте горната граница на правоъгълника по такъв начин, че отсечените части на графиката на функцията да са приблизително равни по площ (точно така е показано на горната фигура - два криволинейни триъгълника са почти еднакви);

Определете от фигурата;

Използвайте теоремата за средната стойност.

Като пример, нека изчислим прост интеграл:

Точна стойност ;

За средата на интервала ще получим и приблизителна стойност, т.е. очевидно неточен резултат;

След като изградихме графика с изчертаване на горната страна на правоъгълника в съответствие с препоръките, получаваме , откъдето и приблизителната стойност на . Доста задоволителен резултат, грешката е 0,75%.

Трапецовидна формула

Точността на изчисленията, използващи теоремата за средната стойност, по същество зависи, както беше показано, от визуална цел точкова диаграма. Всъщност, като изберете в същия пример точки или , можете да получите други стойности на интеграла и грешката може да се увеличи. Субективните фактори, мащабът на графиката и качеството на чертежа оказват голямо влияние върху резултата. то неприемливо в критични изчисления, така че теоремата за средната стойност се прилага само за бързи качество интегрални оценки.

В този раздел ще разгледаме един от най-популярните методи за приблизителна интеграция - трапецовидна формула . Основната идея за конструирането на тази формула идва от факта, че кривата може приблизително да бъде заменена с начупена линия, както е показано на фигурата.

Нека приемем за определеност (и в съответствие с фигурата), че интеграционният интервал е разделен на равен (това не е задължително, но много удобно) части. Дължината на всяка от тези части се изчислява по формулата и се нарича стъпка . Абсцисите на точките на разделяне, ако са посочени, се определят по формулата , където . Лесно е да се изчислят ординати от известните абсциси. По този начин,

Това е формулата на трапеца за случая. Обърнете внимание, че първият член в скоби е полусумата от началната и крайната ордината, към която се добавят всички междинни ординати. За произволен брой дялове на интеграционния интервал обща формула на трапец изглежда като: квадратурни формули: правоъгълници, Симпсън, Гаус и др. Те се основават на същата идея за представяне на криволинеен трапец чрез елементарни области с различни форми, следователно, след усвояване на формулата на трапеца, няма да е трудно да се разберат подобни формули. Много формули не са толкова прости като формулата на трапеца, но ви позволяват да получите резултат с висока точност с малък брой дялове.

С помощта на формулата на трапеца (или подобни) е възможно да се изчислят с необходимата на практика точност както "неприемащи" интеграли, така и интеграли на сложни или тромави функции.

Трапецовиден метод

Основна статия:Трапецовиден метод

Ако функцията на всеки от частичните сегменти се апроксимира с права линия, минаваща през крайните стойности, тогава се получава методът на трапеца.

Площта на трапеца на всеки сегмент:

Грешка в приближението за всеки сегмент:

където

Пълната формула за трапеци в случай на разделяне на целия интеграционен интервал на сегменти с еднаква дължина:

където

Грешка на трапецовидна формула:

където

Метод на Симпсън.

Интегранд f(x)се заменя с интерполационен полином от втора степен P(x)– парабола, минаваща през три възела, например, както е показано на фигурата ((1) е функция, (2) е полином).

Помислете за две стъпки на интеграция ( ч= const = x i+1 – x i), тоест три възела x0, x1, x2, през която начертаваме парабола, използвайки уравнението на Нютон:

Позволявам z = x - x0,
тогава

Сега, използвайки получената връзка, изчисляваме интеграла върху този интервал:

.
За равномерна мрежаи четен брой стъпки nФормулата на Симпсън става:

Тук , а при предположението, че четвъртата производна на подинтегралната функция е непрекъсната.

[редактиране] Повишаване на точността

Апроксимацията на функция с един полином през целия интервал на интегриране, като правило, води до голяма грешка при оценката на стойността на интеграла.

За да се намали грешката, интеграционният сегмент се разделя на части и се използва числен метод за оценка на интеграла на всяка от тях.

Тъй като броят на дяловете клони към безкрайност, оценката на интеграла клони към истинската му стойност за аналитични функции за всеки числен метод.

Горните методи позволяват проста процедура за намаляване на стъпката наполовина, докато на всяка стъпка се изисква да се изчислят стойностите на функцията само в новодобавени възли. Правилото на Runge се използва за оценка на грешката в изчислението.

Приложение на правилото на Рунге

редактиране] Оценка на точността на изчисляване на определен интеграл

Интегралът се изчислява по избраната формула (правоъгълници, трапеци, параболи на Симпсън) с брой стъпки, равен на n, и след това с брой стъпки, равен на 2n. Грешката при изчисляване на стойността на интеграла с брой стъпки, равен на 2n, се определя от формулата на Runge:
, за формулите на правоъгълници и трапеци и за формулата на Симпсън.
По този начин интегралът се изчислява за последователни стойности на броя стъпки, където n 0 е първоначалният брой стъпки. Процесът на изчисление приключва, когато следващата стойност N ще удовлетвори условието , където ε е определената точност.

Характеристики на поведението на грешката.

Изглежда защо да анализираме различни методи на интегриране, ако можем да постигнем висока точност чрез просто намаляване на стойността на стъпката на интегриране. Въпреки това, разгледайте графиката на поведението на апостериорната грешка Ррезултати от числено изчисление в зависимост от и от броя нинтервални дялове (т.е. на стъпка . В раздел (1) грешката намалява поради намаляване на стъпка h. Но в раздел (2) изчислителната грешка започва да доминира, натрупвайки се в резултат на множество аритметични операции. Така , за всеки метод има свой собствен Rmin, което зависи от много фактори, но преди всичко от априорната стойност на грешката на метода Р.

Формула за усъвършенстване на Ромберг.

Методът на Ромберг се състои в последователно прецизиране на стойността на интеграла с многократно увеличаване на броя на дяловете. За основа може да се вземе формулата на трапеца с еднаква стъпка ч.
Интегралът се означава с броя на дяловете н= 1 като .
Намалявайки стъпката наполовина, получаваме .
Ако последователно намалим стъпката с 2 n пъти, получаваме рекурсивна връзка за изчисляване.

Средна теорема. Ако f(x) е непрекъснат на сегмента , тогава съществува такава точка, че . Док. Функция, която е непрекъсната на сегмент, приема своите най-малки m и най-големи M стойности на този сегмент. Тогава . Номер е между минималната и максималната стойност на функцията на интервала. Едно от свойствата на функция, непрекъсната на интервал, е, че тази функция приема всяка стойност между m и M. Следователно има точка, такава че . Това свойство има проста геометрична интерпретация: ако е непрекъснат на сегмента, тогава има точка, така че площта на криволинейния трапец ABCD е равна на площта на правоъгълника с основа и височина f(c) ( подчертано на фигурата).

7. Интеграл с променлива горна граница. Неговата непрекъснатост и диференцируемост.

Да разгледаме функция f (x), която е интегрируема по Риман в интервала . Тъй като е интегрируем на , то той е интегрируем и на ∀x ∈ . Тогава за всяко x ∈ изразът има смисъл и за всяко x той е равен на някакво число.

Така всеки x ∈ е свързан с някакво число,

тези. е дадена функция:

(3.1)

определение:

Извиква се функцията F (x), дадена в (3.1), както и самият израз

интеграл с променлива горна граница. Дефинира се върху целия сегмент

интегрируемост на функцията f (x).

Условие: f (t) е непрекъсната на , а функцията F (x) е дадена с формула (3.1).

Твърдение: Функцията F(x) е диференцируема върху и F (x) = f (x).

(При a е дясно диференцируемо, а при b е ляво диференцируемо.)

Доказателство:

Тъй като за функция на една променлива F (x) диференцируемостта е еквивалентна на съществуването на производна във всички точки (в точка a отдясно и в точка b отляво), тогава ще намерим производната F (x) . Помислете за разликата

По този начин,

освен това точката ξ лежи на сегмента (или ако ∆x< 0).

Сега си припомнете, че производната на функцията F(x) в дадена точка x ∈ е равна на границата на отношението на разликата: . От равенството имаме:

,

Като оставим сега ∆x → 0, от лявата страна на това равенство получаваме F’(x), а от дясната

Спомнете си определението за непрекъснатост на функцията f (t) в точката x:

Нека x1 е равно на ξ в тази дефиниция. Тъй като ξ ∈ (ξ ∈ ) и

∆x → 0, тогава |x − ξ| → 0 и по дефиницията за непрекъснатост, f (ξ) → f (x). Следователно имаме:

F'(x) = f(x).

Последица:

Условие: f (x) е непрекъснато върху .

Твърдение: Всяка първоизводна на функцията f (x) има формата

където C ∈ R е някаква константа.

Доказателство. По теорема 3.1 функцията е прототип за f(x). Да предположим, че G(x) е друго първообразно f (x). Тогава G'(x) = f(x) и за функцията F(x) − G(x) имаме: (F (x) + G(x))' = F'(x)−G'(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Следователно, производната на функцията F (x)−G (х)

е равно на нула, следователно тази функция е константа: F(x) − G(x) = const.

8. Формула на Нютон-Лайбниц за определен интеграл.

Теорема:

Състояние: f(t) е непрекъснато на , а F(x) е всяко негово първоизводно.

Изявление:

Доказателство:Да разгледаме някаква първоизводна F (x) на функцията f (x). Съгласно следствието от теоремата „За диференцируемостта на интеграл с променлива горна граница“ (вижте предишния въпрос), тя има формата . Оттук

=> ° С= Е(а) , и

Нека преместим F(a) в последното равенство в лявата страна, преозначим интеграционната променлива отново като x и получим формулата на Нютон-Лайбниц: