Алгебрични прогресивни формули. Концепцията за аритметична прогресия

Аритметични и геометрични прогресии

Теоретична информация

Теоретична информация

	Аритметична прогресия	Геометрична прогресия
Определение	Аритметична прогресия a nизвиква се редица, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предходния член, добавен със същото число д (д- разлика в прогресията)	геометрична прогресия b nсе нарича поредица от ненулеви числа, всеки член от който, започвайки от втория, е равен на предходния член, умножен по същото число р (р- знаменател на прогресията)
Повтаряща се формула	За всеки естествен н a n + 1 = a n + d	За всеки естествен н b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
формула за n-ти член	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
характерно свойство
Сума от първите n члена

Примерни задачи с коментари

Упражнение 1

В аритметична прогресия ( a n) а 1 = -6, а 2

Според формулата на n-тия член:

а 22 = а 1+ d (22 - 1) = а 1+ 21г

По условие:

а 1= -6, така че а 22= -6 + 21d.

Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:

d= а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Отговор : а 22 = -48.

Задача 2

Намерете петия член на геометричната прогресия: -3; 6;....

1-ви начин (използване на n-членна формула)

Според формулата на n-тия член на геометрична прогресия:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

защото b 1 = -3,

2-ри начин (използване на рекурсивна формула)

Тъй като знаменателят на прогресията е -2 (q = -2), тогава:

б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Отговор : б 5 = -48.

Задача 3

В аритметична прогресия ( a n) a 74 = 34; 76= 156. Намерете седемдесет и петия член на тази прогресия.

За аритметична прогресия характеристичното свойство има формата .

Следователно:

.

Заместете данните във формулата:

Отговор: 95.

Задача 4

В аритметична прогресия ( a n ) a n= 3n - 4. Намерете сбора на първите седемнадесет члена.

За да се намери сумата от първите n членове на аритметична прогресия, се използват две формули:

.

Кой от тях е по-удобен за прилагане в този случай?

По условие формулата на n-тия член на първоначалната прогресия е известна ( a n) a n= 3n - 4. Може да се намери веднага и а 1, и а 16без намиране d . Затова използваме първата формула.

Отговор: 368.

Задача 5

В аритметична прогресия a n) а 1 = -6; а 2= -8. Намерете двадесет и втория член на прогресията.

Според формулата на n-тия член:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = а 1+ 21г.

По условие, ако а 1= -6, тогава а 22= -6 + 21d. Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:

d= а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Отговор : а 22 = -48.

Задача 6

Записват се няколко последователни члена на геометрична прогресия:

Намерете члена на прогресията, означен с буквата x .

При решаването използваме формулата за n-тия член b n \u003d b 1 ∙ q n - 1за геометрични прогресии. Първият член на прогресията. За да намерите знаменателя на прогресията q, трябва да вземете който и да е от тези членове на прогресията и да разделите на предишния. В нашия пример можете да вземете и да разделите на. Получаваме, че q \u003d 3. Вместо n заместваме 3 във формулата, тъй като е необходимо да се намери третият член на дадена геометрична прогресия.

Замествайки намерените стойности във формулата, получаваме:

.

Отговор : .

Задача 7

От аритметичните прогресии, дадени от формулата на n-тия член, изберете тази, за която е изпълнено условието а 27 > 9:

Тъй като определеното условие трябва да бъде изпълнено за 27-ия член на прогресията, ние заместваме 27 вместо n във всяка от четирите прогресии. В 4-та прогресия получаваме:

.

Отговор: 4.

Задача 8

В аритметична прогресия а 1= 3, d = -1,5. Посочете най-голямата стойност на n, за която е валидно неравенството a n > -6.

Сумата от аритметична прогресия.

Сборът на аритметичната прогресия е просто нещо. И като смисъл, и като формула. Но по тази тема има всякакви задачи. От елементарно до доста солидно.

Първо, нека да разгледаме значението и формулата на сумата. И тогава ще решим. За ваше собствено удоволствие.) Значението на сумата е просто като мъка. За да намерите сумата на една аритметична прогресия, просто трябва внимателно да съберете всички нейни членове. Ако тези термини са малко, можете да добавите без никакви формули. Но ако има много или много ... добавянето е досадно.) В този случай формулата спестява.

Формулата за сумиране е проста:

Нека да разберем какъв вид букви са включени във формулата. Това ще изясни много.

S n е сумата от аритметична прогресия. Резултат от добавянето всичкочленове, с първиНа последно.Важно е. Съберете точно всичкочленове подред, без пропуски и скокове. И точно, започвайки от първи.При проблеми като намирането на сумата от третия и осмия член или сбора от членовете от пет до двадесети, директното прилагане на формулата ще бъде разочароващо.)

а 1 - първиятчлен на прогресията. Тук всичко е ясно, просто е първиномер на ред.

a n- последночлен на прогресията. Последното число на реда. Името не е много познато, но приложено към количеството е много подходящо. Тогава ще се убедите сами.

н е номерът на последния член. Важно е да се разбере, че във формулата това число съвпада с броя на добавените членове.

Нека дефинираме понятието последночлен a n. Въпрос за попълване: какъв член ще последно,ако е дадено безкраенаритметична прогресия?

За уверен отговор трябва да разберете елементарното значение на аритметичната прогресия и ... прочетете внимателно заданието!)

В задачата за намиране на сумата от аритметична прогресия последният член винаги се появява (пряко или косвено), които трябва да бъдат ограничени.Иначе ограничена, конкретна сума просто не съществува.За решението няма значение какъв вид прогресия е дадена: крайна или безкрайна. Няма значение как е дадено: чрез поредица от числа или чрез формулата на n-тия член.

Най-важното е да разберете, че формулата работи от първия член на прогресията до члена с числото н.Всъщност пълното име на формулата изглежда така: сумата от първите n члена на аритметична прогресия.Броят на тези най-първи членове, т.е. н, се определя единствено от задачата. В задачата цялата тази ценна информация често е криптирана, да ... Но нищо, в примерите по-долу ще разкрием тези тайни.)

Примерни задачи за сбор от аритметична прогресия.

Първо полезна информация:

Основната трудност при задачите за сумата от аритметична прогресия е правилното определяне на елементите на формулата.

Авторите на задачите шифроват тези елементи с безгранично въображение.) Основното тук е да не се страхувате. Разбирайки същността на елементите, достатъчно е просто да ги дешифрирате. Нека да разгледаме няколко примера в детайли. Нека започнем със задача, базирана на реален GIA.

1. Аритметичната прогресия се дава от условието: a n = 2n-3,5. Намерете сумата на първите 10 члена.

Добра работа. Лесно.) За да определим количеството по формулата, какво трябва да знаем? Първи член а 1, последен срок a n, да номерът на последния термин н.

Къде да вземем последния членски номер н? Да, на същото място, в състоянието! Пише намерете сумата първите 10 членове.Ами кой номер ще е последно,десети член?) Няма да повярвате, номерът му е десети!) Следователно, вместо a nще заместим във формулата а 10, но вместо това н- десет. Отново, номерът на последния член е същият като броя на членовете.

Остава да се определи а 1и а 10. Това се изчислява лесно по формулата на n-тия член, която е дадена в постановката на задачата. Не знаете как да го направите? Посетете предишния урок, без този - нищо.

а 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

а 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Открихме значението на всички елементи на формулата за сумата от аритметична прогресия. Остава да ги замените и да преброите:

Това е всичко. Отговор: 75.

Друга задача, базирана на GIA. Малко по-сложно:

2. Дадена е аритметична прогресия (a n), чиято разлика е 3,7; a 1 \u003d 2.3. Намерете сумата на първите 15 члена.

Веднага записваме формулата за сумата:

Тази формула ни позволява да намерим стойността на всеки член по неговия номер. Търсим проста замяна:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Остава да заменим всички елементи във формулата за сумата от аритметична прогресия и да изчислим отговора:

Отговор: 423.

Между другото, ако във формулата за сумата вместо a nпросто заместваме формулата на n-тия член, получаваме:

Даваме подобни, получаваме нова формула за сбора на членовете на аритметична прогресия:

Както можете да видите, n-тият член не е необходим тук. a n. В някои задачи тази формула помага много, да ... Можете да запомните тази формула. И можете просто да го изтеглите в точното време, както тук. В крайна сметка формулата за сумата и формулата за n-тия член трябва да се запомнят по всякакъв начин.)

Сега задачата под формата на кратко криптиране):

3. Намерете сбора на всички положителни двуцифрени числа, кратни на три.

Как! Без първи член, без последен, без прогресия изобщо... Как да живея!?

Ще трябва да помислите с главата си и да извадите от условието всички елементи на сумата на аритметичната прогресия. Какво представляват двуцифрените числа - знаем. Те се състоят от две числа.) Какво двуцифрено число ще първи? 10, вероятно.) последно нещодвуцифрено число? 99, разбира се! Трицифрените ще го последват...

Кратни на три... Хм... Това са числа, които се делят равномерно на три, тук! Десет не се дели на три, 11 не се дели... 12... се дели! И така, нещо се очертава. Вече можете да напишете серия според условието на проблема:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Тази поредица ще бъде ли аритметична прогресия? Разбира се! Всеки термин се различава от предишния строго с три. Ако 2 или 4 се добави към термина, да речем, резултатът, т.е. ново число вече няма да се дели на 3. Можете веднага да определите разликата на аритметичната прогресия към купчината: d = 3.Полезен!)

Така че можем спокойно да запишем някои параметри на прогресията:

Какъв ще е номерът нпоследен член? Който си мисли, че 99, греши фатално... Числата – те винаги вървят подред, а нашите членове прескачат тройката. Те не съвпадат.

Тук има две решения. Един от начините е за супер трудолюбивите. Можете да нарисувате прогресията, цялата поредица от числа и да преброите броя на членовете с пръст.) Вторият начин е за замислените. Трябва да запомните формулата за n-тия член. Ако формулата се приложи към нашия проблем, получаваме, че 99 е тридесетият член на прогресията. Тези. n = 30.

Разглеждаме формулата за сумата от аритметична прогресия:

Гледаме и се радваме.) Извадихме всичко необходимо за изчисляване на сумата от условието на проблема:

а 1= 12.

а 30= 99.

S n = S 30.

Остава елементарна аритметика. Заменете числата във формулата и изчислете:

Отговор: 1665

Друг вид популярни пъзели:

4. Дадена е аритметична прогресия:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Намерете сбора на членовете от двадесети до тридесет и четвърти.

Гледаме формулата на сумата и ... сме разстроени.) Формулата, нека ви напомня, изчислява сумата от първиячлен. И в задачата трябва да изчислите сумата от двадесети...Формулата няма да работи.

Можете, разбира се, да рисувате цялата прогресия в ред и да поставите членовете от 20 до 34. Но ... някак си се оказва глупаво и за дълго време, нали?)

Има и по-елегантно решение. Нека разделим нашата серия на две части. Първата част ще от първия мандат до деветнадесетия.Втора част - двадесет до тридесет и четири.Ясно е, че ако изчислим сумата от членовете на първата част S 1-19, нека го добавим към сбора на членовете на втората част S 20-34, получаваме сумата от прогресията от първия член до тридесет и четвъртия S 1-34. Като този:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Това показва, че за намиране на сумата S 20-34може да се направи чрез просто изваждане

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Разглеждат се и двете суми от дясната страна от първиячлен, т.е. стандартната формула за сумиране е напълно приложима за тях. Започваме ли?

Извличаме параметрите на прогресията от условието на задачата:

d = 1,5.

а 1= -21,5.

За да изчислим сумите на първите 19 и първите 34 члена, ще ни трябват 19-ти и 34-ти член. Преброяваме ги по формулата на n-ия член, както в задача 2:

а 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

а 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Нищо не остана. Извадете сбора на 19 члена от сбора на 34 члена:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Отговор: 262,5

Една важна забележка! Има много полезна функция за решаване на този проблем. Вместо директно изчисление от какво се нуждаете (S 20-34),преброихме какво, изглежда, не е необходимо - S 1-19.И тогава те определиха S 20-34, изхвърляйки ненужното от пълния резултат. Такъв „финт с ушите“ често спестява в зли пъзели.)

В този урок разгледахме задачи, за които е достатъчно да разберем значението на сумата от аритметична прогресия. Е, трябва да знаете няколко формули.)

Практически съвети:

Когато решавате каквато и да е задача за сумата от аритметична прогресия, препоръчвам незабавно да напишете двете основни формули от тази тема.

Формула на n-тия член:

Тези формули веднага ще ви кажат какво да търсите, в каква посока да мислите, за да разрешите проблема. Помага.

А сега задачите за самостоятелно решаване.

5. Намерете сбора на всички двуцифрени числа, които не се делят на три.

Страхотно?) Подсказката е скрита в бележката към проблем 4. Е, проблем 3 ще помогне.

6. Аритметичната прогресия се дава от условието: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Намерете сумата на първите 24 члена.

Необичайно?) Това е повтаряща се формула. Можете да прочетете за това в предишния урок. Не пренебрегвайте връзката, такива пъзели често се срещат в GIA.

7. Вася спести пари за празника. До 4550 рубли! И реших да подаря на най-любимия човек (себе си) няколко дни щастие). Живейте красиво, без да си отказвате нищо. Похарчете 500 рубли на първия ден и похарчете с 50 рубли повече на всеки следващ ден, отколкото на предишния! Докато свършат парите. Колко дни на щастие имаше Вася?

Трудно ли е?) Ще помогне допълнителна формула от задача 2.

Отговори (в безпорядък): 7, 3240, 6.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Например последователността \(2\); \(5\); \(осем\); \(единадесет\); \(14\)… е аритметична прогресия, тъй като всеки следващ елемент се различава от предходния с три (може да се получи от предишния чрез добавяне на три):

В тази прогресия разликата \(d\) е положителна (равна на \(3\)) и следователно всеки следващ член е по-голям от предишния. Такива прогресии се наричат повишаване на.

Въпреки това \(d\) може да бъде и отрицателно число. Например, в аритметична прогресия \(16\); \(десет\); \(четири\); \(-2\); \(-8\)… разликата в прогресията \(d\) е равна на минус шест.

И в този случай всеки следващ елемент ще бъде по-малък от предишния. Тези прогресии се наричат намаляващи.

Нотиране на аритметична прогресия

Прогресията се обозначава с малка латинска буква.

Числата, които образуват прогресия, се наричат членове(или елементи).

Те се обозначават със същата буква като аритметичната прогресия, но с цифров индекс, равен на номера на елемента по ред.

Например, аритметичната прогресия \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) се състои от елементите \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и така нататък.

С други думи, за прогресията \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Решаване на задачи в аритметична прогресия

По принцип горната информация вече е достатъчна за решаване на почти всеки проблем с аритметична прогресия (включително предлаганите в OGE).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията \(b_1=7; d=4\). Намерете \(b_5\).
Решение:

Отговор: \(b_5=23\)

Пример (OGE). Дадени са първите три члена на аритметична прогресия: \(62; 49; 36…\) Намерете стойността на първия отрицателен член на тази прогресия..
Решение:

	Дадени са ни първите елементи на редицата и знаем, че тя е аритметична прогресия. Тоест всеки елемент се различава от съседния с едно и също число. Разберете кой, като извадите предишния от следващия елемент: \(d=49-62=-13\).
	Сега можем да възстановим нашата прогресия до желания (първи отрицателен) елемент.
	Готов. Можете да напишете отговор.

Отговор: \(-3\)

Пример (OGE). Дадени са няколко последователни елемента от аритметична прогресия: \(...5; x; 10; 12,5...\) Намерете стойността на елемента, означен с буквата \(x\).
Решение:

	За да намерим \(x\), трябва да знаем колко се различава следващият елемент от предишния, с други думи, разликата в прогресията. Нека го намерим от два познати съседни елемента: \(d=12,5-10=2,5\).
	И сега намираме това, което търсим без никакви проблеми: \(x=5+2.5=7.5\).
	Готов. Можете да напишете отговор.

Отговор: \(7,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от следните условия: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Намерете сумата от първите шест члена на тази прогресия.
Решение:

	Трябва да намерим сумата от първите шест члена на прогресията. Но ние не знаем техните значения, даден ни е само първият елемент. Затова първо изчисляваме стойностите на свой ред, като използваме дадените ни: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) И след като изчислим шестте елемента, от които се нуждаем, намираме тяхната сума.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Исканата сума е намерена.

Отговор: \(S_6=9\).

Пример (OGE). В аритметична прогресия \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Намерете разликата на тази прогресия.
Решение:

Отговор: \(d=7\).

Важни формули за аритметична прогресия

Както можете да видите, много проблеми с аритметичната прогресия могат да бъдат решени просто чрез разбиране на основното - че аритметичната прогресия е верига от числа и всеки следващ елемент в тази верига се получава чрез добавяне на същото число към предишното (разликата на прогресията).

Въпреки това, понякога има ситуации, когато е много неудобно да се реши "на челото". Например, представете си, че в първия пример трябва да намерим не петия елемент \(b_5\), а триста осемдесет и шестия \(b_(386)\). Какво е това, ние \ (385 \) пъти да добавим четири? Или си представете, че в предпоследния пример трябва да намерите сумата от първите седемдесет и три елемента. Броенето е объркващо...

Следователно в такива случаи те не решават „на чело“, а използват специални формули, получени за аритметична прогресия. И основните от тях са формулата за n-тия член на прогресията и формулата за сумата \(n\) на първите членове.

Формула за \(n\)-тия член: \(a_n=a_1+(n-1)d\), където \(a_1\) е първият член на прогресията;
\(n\) – номер на търсения елемент;
\(a_n\) е член на прогресията с номер \(n\).

Тази формула ни позволява бързо да намерим поне тристотния, дори милионния елемент, знаейки само първия и разликата в прогресията.

Пример. Аритметичната прогресия се дава от условията: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Намерете \(b_(246)\).
Решение:

Отговор: \(b_(246)=1850\).

Формулата за сбора на първите n члена е: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), където

\(a_n\) е последният сумиран член;

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията \(a_n=3.4n-0.6\). Намерете сумата от първите \(25\) членове на тази прогресия.
Решение:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		За да изчислим сумата на първите двадесет и пет елемента, трябва да знаем стойността на първия и двадесет и петия член. Нашата прогресия се дава по формулата на n-тия член в зависимост от неговия номер (виж подробности). Нека изчислим първия елемент, като заменим \(n\) с единица.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Сега нека намерим двадесет и петия член, като заместим двадесет и пет вместо \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Е, сега изчисляваме необходимата сума без никакви проблеми.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Отговорът е готов.

Отговор: \(S_(25)=1090\).

За сумата \(n\) от първите членове можете да получите друга формула: просто трябва да \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) вместо \(a_n\) заменете формулата за него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получаваме:

Формулата за сбора на първите n члена е: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), където

\(S_n\) – исканата сума \(n\) на първите елементи;
\(a_1\) е първият член, който трябва да се сумира;
\(d\) – разлика в прогресията;
\(n\) - броят на елементите в сумата.

Пример. Намерете сумата от първите \(33\)-ex членове на аритметичната прогресия: \(17\); \(15,5\); \(четиринадесет\)…
Решение:

Отговор: \(S_(33)=-231\).

По-сложни задачи с аритметична прогресия

Сега разполагате с цялата необходима информация, за да решите почти всеки проблем с аритметична прогресия. Нека завършим темата, като разгледаме задачи, в които трябва не само да прилагате формули, но и да мислите малко (в математиката това може да бъде полезно ☺)

Пример (OGE). Намерете сумата от всички отрицателни членове на прогресията: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Задачата е много подобна на предишната. Започваме да решаваме по същия начин: първо намираме \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Сега бихме заместили \(d\) във формулата за сумата ... и тук изскача малък нюанс - не знаем \(n\). С други думи, не знаем колко термина ще трябва да се добавят. Как да разберем? Нека да помислим. Ще спрем да добавяме елементи, когато стигнем до първия положителен елемент. Тоест, трябва да разберете броя на този елемент. как? Нека запишем формулата за изчисляване на всеки елемент от аритметична прогресия: \(a_n=a_1+(n-1)d\) за нашия случай.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Трябва \(a_n\) да е по-голямо от нула. Нека да разберем за какво \(n\) ще се случи това.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Разделяме двете страни на неравенството на \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Прехвърляме минус едно, като не забравяме да сменим знаците
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Изчисляване...
\(n>65 333…\)		… и се оказва, че първият положителен елемент ще има числото \(66\). Съответно последният отрицателен има \(n=65\). За всеки случай нека да го проверим.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Следователно трябва да добавим първите \(65\) елемента.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Отговорът е готов.

Отговор: \(S_(65)=-630,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Намерете сумата от \(26\)-ия до \(42\) елемент включително.
Решение:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	В тази задача също трябва да намерите сумата от елементи, но започвайки не от първия, а от \(26\)-ия. Нямаме формула за това. Как да решим? Лесно - за да получите сбора от \(26\)-та до \(42\)-та, първо трябва да намерите сумата от \(1\)-та до \(42\)-та и след това да извадите от нея сумата от първият до \ (25 \) ти (вижте снимката).
	За нашата прогресия \(a_1=-33\) и разликата \(d=4\) (все пак добавяме четири към предишния елемент, за да намерим следващия). Знаейки това, намираме сумата от първите \(42\)-uh елементи.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Сега сумата от първите \(25\)-ти елементи.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	И накрая изчисляваме отговора.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Отговор: \(S=1683\).

За аритметична прогресия има още няколко формули, които не сме разгледали в тази статия поради ниската им практическа полезност. Можете обаче лесно да ги намерите.

Концепцията за числова последователност предполага, че всяко естествено число съответства на някаква реална стойност. Такава поредица от числа може да бъде както произволна, така и да има определени свойства - прогресия. В последния случай всеки следващ елемент (член) на редицата може да бъде изчислен с помощта на предишния.

Аритметичната прогресия е поредица от числени стойности, в които нейните съседни членове се различават един от друг с едно и също число (всички елементи на серията, започвайки от 2-ри, имат подобно свойство). Това число - разликата между предишния и следващия член - е постоянно и се нарича прогресивна разлика.

Разлика в прогресията: Определение

Помислете за последователност, състояща се от j стойности A = a (1), a (2), a (3), a (4) … a (j), j принадлежи към набора от естествени числа N. Аритметична прогресия, според дефиницията си е последователност, в която a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. Стойността на d е желаната разлика на тази прогресия.

d = a(j) - a(j-1).

Разпределете:

• Нарастваща прогресия, в който случай d > 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, …
• намаляваща прогресия, след това d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Разлика на прогресията и нейните произволни елементи

Ако са известни 2 произволни члена на прогресията (i-ти, k-ти), тогава разликата за тази последователност може да се установи въз основа на връзката:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, така че d = (a(i) - a(k))/(i-k).

Разликата в прогресията и нейния първи член

Този израз ще помогне да се определи неизвестната стойност само в случаите, когато номерът на елемента на последователността е известен.

Прогресивна разлика и нейната сума

Сумата на една прогресия е сумата от нейните членове. За да изчислите общата стойност на първите му j елемента, използвайте съответната формула:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, но тъй като a(j) = a(1) + d(j – 1), тогава S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

И. В. Яковлев | Материали по математика | MathUs.ru

Аритметична прогресия

Аритметичната прогресия е специален вид последователност. Следователно, преди да дефинираме аритметична (и след това геометрична) прогресия, трябва накратко да обсъдим важното понятие за числова последователност.

Последователност

Представете си устройство, на екрана на което една след друга се показват няколко числа. Да кажем 2; 7; 13; един; 6; 0; 3; : : : Такъв набор от числа е само пример за последователност.

Определение. Числовата последователност е набор от числа, в който на всяко число може да бъде присвоено уникално число (т.е. да се постави в съответствие с едно естествено число)1. Числото с номер n се нарича n-ти член на редицата.

И така, в горния пример първото число има числото 2, което е първият член на редицата, която може да бъде означена с a1; числото пет има числото 6, което е петият член на редицата, което може да се означи с a5. Най-общо, n-тият член на редицата се означава с an (или bn , cn и т.н.).

Много удобна ситуация е, когато n-тият член на редицата може да бъде определен с някаква формула. Например формулата an = 2n 3 определя последователността: 1; един; 3; 5; 7; : : : Формулата an = (1)n определя последователността: 1; един; един; един; : : :

Не всеки набор от числа е последователност. И така, сегментът не е последователност; съдържа „твърде много“ числа, които трябва да бъдат преномерирани. Множеството R на всички реални числа също не е последователност. Тези факти се доказват в хода на математическия анализ.

Аритметична прогресия: основни определения

Сега сме готови да дефинираме аритметична прогресия.

Определение. Аритметичната прогресия е последователност, в която всеки член (започвайки от втория) е равен на сумата от предходния член и някакво фиксирано число (наречено разлика на аритметичната прогресия).

Например последователност 2; 5; осем; единадесет; : : : е аритметична прогресия с първи член 2 и разлика 3. Последователност 7; 2; 3; осем; : : : е аритметична прогресия с първи член 7 и разлика 5. Последователност 3; 3; 3; : : : е аритметична прогресия с нулева разлика.

Еквивалентна дефиниция: Поредица an се нарича аритметична прогресия, ако разликата an+1 an е постоянна стойност (не зависима от n).

За една аритметична прогресия се казва, че нараства, ако нейната разлика е положителна, и намалява, ако нейната разлика е отрицателна.

1 И ето едно по-кратко определение: редицата е функция, дефинирана върху множеството от естествени числа. Например поредицата от реални числа е функцията f: N! Р.

По подразбиране последователностите се считат за безкрайни, т.е. съдържащи безкраен брой числа. Но никой не си прави труда да разглежда и крайните последователности; всъщност всеки краен набор от числа може да се нарече крайна последователност. Например крайната последователност 1; 2; 3; четири; 5 се състои от пет числа.

Формула на n-ия член на аритметична прогресия

Лесно е да се разбере, че една аритметична прогресия се определя изцяло от две числа: първия член и разликата. Следователно възниква въпросът: как, знаейки първия член и разликата, да намерим произволен член на аритметична прогресия?

Не е трудно да се получи желаната формула за n-тия член на аритметичната прогресия. Нека един

аритметична прогресия с разлика d. Ние имаме:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
По-специално, ние пишем:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
и сега става ясно, че формулата за е:
an = a1 + (n 1)d:

Задача 1. В аритметична прогресия 2; 5; осем; единадесет; : : : намерете формулата на n-тия член и изчислете стотния член.

Решение. Според формула (1) имаме:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Свойство и знак на аритметичната прогресия

свойство на аритметична прогресия. В аритметична прогресия за всяко

С други думи, всеки член на аритметичната прогресия (започвайки от втория) е средноаритметичното на съседните членове.

	Доказателство. Ние имаме:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

което се изискваше.

По-общо казано, аритметичната прогресия an удовлетворява равенството

a n = a n k+ a n+k

за всяко n > 2 и всяко естествено k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Оказва се, че формула (2) е не само необходимо, но и достатъчно условие една редица да бъде аритметична прогресия.

Знак за аритметична прогресия. Ако равенството (2) е в сила за всички n > 2, тогава последователността an е аритметична прогресия.

Доказателство. Нека пренапишем формулата (2), както следва:

a na n 1= a n+1a n:

Това показва, че разликата an+1 an не зависи от n и това просто означава, че редицата an е аритметична прогресия.

Свойството и знакът на аритметичната прогресия могат да бъдат формулирани като едно твърдение; за удобство ще направим това за три числа (това е ситуацията, която често се среща при проблеми).

Характеризиране на аритметична прогресия. Три числа a, b, c образуват аритметична прогресия тогава и само ако 2b = a + c.

Задача 2. (Московски държавен университет, Икономически факултет, 2007 г.) Три числа 8x, 3 x2 и 4 в посочения ред образуват намаляваща аритметична прогресия. Намерете x и напишете разликата на тази прогресия.

Решение. По свойството на аритметична прогресия имаме:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; х=5:

Ако x = 1, тогава се получава намаляваща прогресия от 8, 2, 4 с разлика от 6. Ако x = 5, тогава се получава нарастваща прогресия от 40, 22, 4; този случай не работи.

Отговор: x = 1, разликата е 6.

Сумата от първите n члена на аритметична прогресия

Легендата разказва, че веднъж учителят казал на децата да намерят сбора на числата от 1 до 100 и седнал да чете тихо вестника. След няколко минути обаче едно момче каза, че е решило проблема. Това беше 9-годишният Карл Фридрих Гаус, по-късно един от най-великите математици в историята.

Идеята на малкия Гаус беше следната. Позволявам

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Нека запишем тази сума в обратен ред:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

и добавете тези две формули:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Всеки член в скоби е равен на 101 и има общо 100 такива члена

2S = 101 100 = 10100;

Използваме тази идея, за да изведем формулата за сумата

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Полезна модификация на формула (3) се получава чрез заместване на формулата за n-тия член an = a1 + (n 1)d в нея:

		2a1 + (n 1)d

Задача 3. Намерете сбора на всички положителни трицифрени числа, които се делят на 13.

Решение. Трицифрените числа, кратни на 13, образуват аритметична прогресия с първи член 104 и разлика 13; N-тият член на тази прогресия е:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Нека разберем колко члена съдържа нашата прогресия. За да направим това, решаваме неравенството:

6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Така че има 69 членове в нашата прогресия. По формулата (4) намираме необходимото количество:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2