Градусна мярка за ъгли. Градусна мярка на ъгъл

Как да намерим градусната мярка на ъгъл?

За мнозина в училище геометрията е истинско предизвикателство. Една от основните геометрични форми е ъгълът. Това понятие означава два лъча, които произхождат от една точка. За измерване на стойността (стойността) на ъгъл се използват градуси или радиани. Как да намерите градусната мярка на ъгъл, ще научите от нашата статия.

Видове ъгли

Да кажем, че имаме ъгъл. Ако го разгънем в права линия, тогава стойността му ще бъде равна на 180 градуса. Такъв ъгъл се нарича разгърнат и 1/180 от неговата част се счита за един градус.

В допълнение към развития ъгъл има също остри (по-малко от 90 градуса), тъпи (по-големи от 90 градуса) и прави (равни на 90 градуса) ъгли. Тези термини се използват за характеризиране на градусната мярка на ъгъл.

Измерване на ъгъл

Ъгълът се измерва с транспортир. Това е специално устройство, на което полукръгът вече е разделен на 180 части. Поставете транспортира срещу ъгъла, така че едната страна на ъгъла да се изравни с дъното на транспортира. Вторият лъч трябва да пресича дъгата на транспортира. Ако това не се случи, извадете транспортира и използвайте линийка, за да удължите гредата. Ако ъгълът се "отвори" вдясно от горната част, отчетете стойността му на горната скала, ако вляво - на долната.

В системата SI е обичайно големината на ъгъла да се измерва в радиани, а не в градуси. Само 3,14 радиана се побират в пълен ъгъл, така че тази стойност е неудобна и почти никога не се използва на практика. Ето защо трябва да знаете как да конвертирате радиани в градуси. Има формула за това:

Градуси = радиани/π x 180

Например стойността на ъгъла е 1,6 радиана. Преобразувайте в градуси: 1,6 / 3,14 * 180 = 92

Ъглови имоти

Сега знаете как да измервате и преобразувате градусови мерки на ъгли. Но за да решавате задачи, трябва да знаете и свойствата на ъглите. Към днешна дата са формулирани следните аксиоми:

Всеки ъгъл може да бъде изразен в градуси, по-големи от нула. Стойността на разгънатия ъгъл е 360.
Ако един ъгъл се състои от няколко ъгъла, тогава неговата градусна мярка е равна на сбора от всички ъгли.
В дадена полуравнина от всеки лъч е възможно да се изгради ъгъл с дадена стойност, по-малка от 180 градуса, и то само един.
Стойностите на равните ъгли са еднакви.
За да добавите два ъгъла, трябва да съберете техните стойности.

Разбирането на тези правила и възможността за измерване на ъгли е ключът към успешното изучаване на геометрията.

Градусна мярка на ъгъл. Радианова мярка за ъгъл. Преобразувайте градуси в радиани и обратно.

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

В предишния урок усвоихме броенето на ъгли на тригонометрична окръжност. Научих как да броим положителни и отрицателни ъгли. Разбрах как да начертая ъгъл, по-голям от 360 градуса. Време е да се заемем с измерването на ъгли. Особено с числото "Пи", което се стреми да ни обърка в трудни задачи, да ...

Стандартните задачи по тригонометрия с числото "Пи" се решават доста добре. Визуалната памет помага. Но всяко отклонение от шаблона - събаря на място! За да не падне - разбирамнеобходимо. Какво ще направим успешно сега. В смисъл – разбираме всичко!

Така, Какво броят ли се ъглите? В училищния курс по тригонометрия се използват две мерки: градус мярка за ъгъли радианова мярка за ъгъл. Нека да разгледаме тези мерки. Без това в тригонометрията - никъде.

Градусна мярка на ъгъл.

Някак сме свикнали с градусите. Геометрията, най-малкото, премина през ... Да, и в живота често се срещаме с фразата "обърнат на 180 градуса", например. Степен, накратко, просто нещо ...

да Отговори ми тогава какво е диплома? Какво не работи веднага? нещо...

Степените са изобретени в древен Вавилон. Беше много отдавна ... преди 40 века ... И те просто го измислиха. Те взеха и разчупиха кръга на 360 равни части. 1 градус е 1/360 от окръжност. И това е. Може да се счупи на 100 части. Или с 1000. Но го разбиха на 360. Между другото, защо точно с 360? Защо 360 е по-добре от 100? 100 изглежда някак по-четно... Опитайте се да отговорите на този въпрос. Или слаб срещу Древен Вавилон?

Някъде по същото време, в древен Египет, те били измъчвани от друг проблем. Колко пъти обиколката на окръжност е по-голяма от дължината на нейния диаметър? И така те измериха, и така ... Всичко се оказа малко повече от три. Но някак си се оказа рошав, неравен ... Но те, египтяните, не са виновни. След тях те страдат още 35 века. Докато накрая доказаха, че колкото и фино да се нареже кръгът на еднакви парчета, от такива парчета да се направи гладкадължината на диаметъра е невъзможна ... По принцип е невъзможно. Е, колко пъти обиколката е по-голяма от диаметъра, разбира се. Относно. 3,1415926... пъти.

Това е числото "Пи". Това е рошав, толкова рошав. След десетичната запетая - безкраен брой цифри без никакъв ред ... Такива числа се наричат ирационални. Това, между другото, означава, че от еднакви парчета кръг, диаметърът гладкане сгъвайте. Никога.

За практическа употреба е обичайно да се запомнят само две цифри след десетичната запетая. Помня:

Тъй като разбрахме, че обиколката на кръг е по-голяма от диаметъра с "Pi" пъти, има смисъл да запомните формулата за обиколката на кръг:

Където Ле обиколката и де неговият диаметър.

Полезно в геометрията.

За общо образование ще добавя, че числото "Пи" се намира не само в геометрията ... В различни раздели на математиката и особено в теорията на вероятностите това число постоянно се появява! От само себе си. Отвъд нашите желания. Като този.

Но обратно към градусите. Разбрахте ли защо в древен Вавилон кръгът е разделен на 360 равни части? Но не и 100 например? Не? ДОБРЕ. Ще ви дам версия. Не можете да питате древните вавилонци... За строителството или, да речем, астрономията е удобно да разделите кръг на равни части. Сега разберете на кои числа се делят напълно 100, а кои - 360? И в какъв вариант на тези разделители напълно- Повече ▼? Това разделение е много удобно за хората. Но...

Както се оказа много по-късно от Древен Вавилон, не всеки харесва степени. Висшата математика не ги обича... Висшата математика е сериозна дама, устроена по законите на природата. И тази жена заявява: "Днес разби кръга на 360 части, утре ще го разбиеш на 100 части, вдругиден на 245 ... И какво да правя? Не наистина ..." Трябваше да се подчиня. Не можеш да заблудиш природата...

Трябваше да въведа мярка за ъгъла, която не зависи от човешките представи. Среща - радиан!

Радианова мярка за ъгъл.

Какво е радиан? Определението за радиан така или иначе се основава на кръг. Ъгъл от 1 радиан е ъгълът, който изрязва дъга от окръжност, чиято дължина е ( Л) е равна на дължината на радиуса ( Р). Разглеждаме снимките.

Толкова малък ъгъл, почти го няма ... Преместваме курсора върху снимката (или докосваме снимката на таблета) и виждаме около една радиан. L=R

Почувствай разликата?

Един радиан е много по-голям от един градус. Колко пъти?

Нека да разгледаме следващата снимка. На който нарисувах полукръг. Разгънатият ъгъл, разбира се, е с размер 180 °.

А сега ще нарежа този полукръг на радиани! Задръжте курсора на мишката над картината и виждаме, че 3 радиана с опашка се вписват в 180 °.

Кой може да познае каква е тази конска опашка!?

да Тази опашка е 0.1415926.... Здравей Пи, още не сме те забравили!

Наистина, има 3,1415926 ... радиана в 180 градуса. Както можете да си представите, писането на 3.1415926 през цялото време... е неудобно. Затова вместо това безкрайно число те винаги пишат просто:

А ето и номера в интернет

неудобно е да се пише ... Затова в текста го пиша по име - "Пи". Не се бъркайте...

Сега е доста смислено да напишем приблизително равенство:

Или точно равенство:

Определете колко градуса има в един радиан. как? Лесно! Ако има 180 градуса в 3,14 радиана, тогава 1 радиан е 3,14 пъти по-малко! Тоест, разделяме първото уравнение (формулата също е уравнение!) на 3.14:

Това съотношение е полезно да запомните.В един радиан има приблизително 60°. В тригонометрията често трябва да разберете, да оцените ситуацията. Тук знанието помага много.

Но основното умение на тази тема е конвертиране на градуси в радиани и обратно.

Ако ъгълът е даден в радиани с числото "пи", всичко е много просто. Знаем, че "пи" радиани = 180°. Така че заместваме вместо "Pi" радиани - 180 °. Получаваме ъгъла в градуси. Намаляваме намаленото и отговорът е готов. Например трябва да разберем колко степенив ъгъл "Пи"/2 радиан? Тук пишем:

Или по-екзотичен израз:

Лесно, нали?

Обратният превод е малко по-сложен. Но не много. Ако ъгълът е даден в градуси, трябва да намерим колко е един градус в радиани и да умножим това число по броя на градусите. Какво е 1° в радиани?

Разглеждаме формулата и разбираме, че ако 180° = "Pi" радиани, тогава 1° е 180 пъти по-малко. Или, с други думи, разделяме уравнението (формулата също е уравнение!) на 180. Няма нужда да представяме "Пи" като 3,14, така или иначе винаги се пише с буква. Получаваме, че една степен е равна на:

Това е всичко. Умножете броя на градусите по тази стойност, за да получите ъгъла в радиани. Например:

Или по подобен начин:

Както можете да видите, в спокоен разговор с лирични отклонения се оказа, че радианите са много прости. Да, и преводът е без проблеми ... И "Пи" е напълно поносимо нещо ... Е откъде е объркването!?

Ще разкрия тайната. Факт е, че в тригонометричните функции е написана иконата за градуси. Е винаги. Например sin35°. Това е синус 35 степени . И иконата на радианите ( радвам се) не се пише! Той се подразбира. Или мързелът на математиците е хванат, или нещо друго ... Но те решиха да не пишат. Ако няма икони вътре в синуса - котангенс, тогава ъгълът - в радиани ! Например cos3 е косинус от три радиани .

Това води до недоразумения ... Човек вижда "Пи" и вярва, че е 180 °. По всяко време и навсякъде. Между другото, това работи. За момента, докато примерите са стандартни. Но Пи е число! Числото 3,14 не е степен! Това е "Pi" радиани = 180°!

Още веднъж: "Пи" е число! 3.14. Ирационално, но число. Същото като 5 или 8. Можете например да вземете около стъпки "Пи". Три стъпки и още малко. Или купете "Пи" килограми сладки. Ако един образован търговец бъде хванат...

"Пи" е число! Какво, хванах те с тази фраза? Разбрахте ли вече всичко? ДОБРЕ. Да проверим. Можете ли да ми кажете кое число е по-голямо?

Или какво е по-малко?

Това е от поредица от малко нестандартни въпроси, които могат да вкарат в ступор ...

Ако и вие сте изпаднали в ступор, запомнете заклинанието: "Пи" е число! 3.14. В първия синус ясно е посочено, че ъгълът - в градуси! Следователно е невъзможно да се замени "Pi" със 180 °! "Пи" градуса е около 3,14 градуса. Следователно можем да напишем:

Във втория синус няма символи. Така че там - радиани! Тук замяната на "Pi" със 180 ° ще работи доста добре. Преобразувайки радиани в градуси, както е написано по-горе, получаваме:

Остава да сравним тези два синуса. Какво. забравих как? С помощта на тригонометричен кръг, разбира се! Начертаваме кръг, начертаваме приблизителни ъгли от 60° и 1,05°. Гледаме синусите на тези ъгли. Накратко всичко, както в края на темата за тригонометричната окръжност, е нарисувано. На кръг (дори и кривият!) ясно ще се види това sin60°значително повече от sin1.05°.

Ще направим точно същото с косинусите. На кръга рисуваме ъгли от около 4 степении 4 радиан(не забравяйте, колко е приблизително 1 радиан?). Кръгът ще каже всичко! Разбира се, cos4 е по-малко от cos4°.

Нека се упражним да боравим с ъглови мерки.

Преобразувайте тези ъгли от градуси в радиани:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Трябва да получите тези стойности в радиани (в различен ред!)

0

Между другото, специално съм маркирал отговорите в два реда. Е, нека да разберем какви са ъглите в първия ред? Независимо дали в градуси или радиани?

да Това са осите на координатната система! Ако погледнете тригонометричния кръг, тогава движещата се страна на ъгъла при тези стойности пасва точно на оста. Тези стойности трябва да бъдат известни иронично. И не напразно отбелязах ъгъла от 0 градуса (0 радиана). И тогава някои не могат да намерят този ъгъл на окръжността по никакъв начин ... И съответно се объркват в тригонометричните функции на нула ... Друго нещо е, че позицията на движещата се страна при нула градуса съвпада с позицията при 360 °, така че съвпаденията на кръга са през цялото време до него.

Във втория ред също има специални ъгли... Това са 30°, 45° и 60°. И какво им е толкова специалното? Нищо специално. Единствената разлика между тези ъгли и всички останали е, че трябва да знаете за тези ъгли. всичко. И къде се намират те и какви са тригонометричните функции на тези ъгли. Да кажем стойността sin100°не е нужно да знаеш. НО sin45°- моля, бъдете любезни! Това са задължителни знания, без които няма какво да се прави в тригонометрията ... Но повече за това в следващия урок.

Дотогава нека продължим да тренираме. Преобразувайте тези ъгли от радиани в градуси:

Трябва да получите резултати като този (в бъркотия):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Се случи? Тогава можем да приемем, че конвертиране на градуси в радиани и обратно- вече не е ваш проблем.) Но преобразуването на ъгли е първата стъпка към разбирането на тригонометрията. На същото място все още трябва да работите със синуси-косинуси. Да, и с тангенси, котангенси също ...

Втората мощна стъпка е способността да се определи позицията на всеки ъгъл върху тригонометрична окръжност.Както в градуси, така и в радиани. Точно за това умение ще ви намекна скучно в цялата тригонометрия, да ...) Ако знаете всичко (или мислите, че знаете всичко) за тригонометричната окръжност и броенето на ъгли в тригонометричната окръжност, можете да го проверите навън. Решете тези прости задачи:

1. В коя четвърт попадат ъглите:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Лесно? Продължаваме:

2. В коя четвърт попадат ъглите:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Също няма проблем? Е, вижте...)

3. Можете да поставите ъгли в четвъртинки:

успяхте ли Е, вие давате ..)

4. На какви оси ще падне ъгълът:

и ъгъл:

Лесно ли е също? Хм...)

5. В коя четвърт попадат ъглите:

И проработи!? Е, тогава наистина не знам...)

6. Определете в коя четвърт попадат ъглите:

1, 2, 3 и 20 радиана.

Ще дам отговор само на последния въпрос (малко е труден) от последната задача. Ъгъл от 20 радиана ще попадне в първата четвърт.

Няма да дам останалите отговори от алчност.) Само ако вие не решинещо съмнениев резултат или изразходвани за задача № 4 повече от 10 секундизле се ориентирате в кръг. Това ще бъде вашият проблем в цялата тригонометрия. По-добре е да се отървете от него (проблем, не тригонометрия!) веднага. Това може да стане в темата: Практическа работа с тригонометрична окръжност в раздел 555.

Той казва как да решавате такива задачи просто и правилно. Е, тези задачи се решават, разбира се. А четвъртата задача беше решена за 10 секунди. Да, така реших, че всеки може!

Ако сте абсолютно сигурни в отговорите си и не се интересувате от прости и безпроблемни начини за работа с радиани, можете да не посетите 555. Не настоявам.)

Доброто разбиране е достатъчно добра причина да продължите напред!)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Ъгълът е фигура, която се състои от точка - върха на ъгъла и две различни полуправи, излизащи от тази точка - страните на ъгъла (фиг. 14). Ако страните на ъгъла са допълващи се полуправи, тогава ъгълът се нарича прав ъгъл.

Ъгълът се обозначава или чрез посочване на неговия връх, или чрез посочване на неговите страни, или чрез посочване на три точки: връх и две точки от страните на ъгъла. Думата "ъгъл" понякога се заменя

Ъгълът на фигура 14 може да бъде представен по три начина:

Казва се, че лъч c минава между страните на ъгъл, ако излиза от неговия връх и пресича някакъв сегмент с краища на страните на ъгъла.

На фигура 15 лъчът c минава между страните на ъгъла, тъй като пресича сегмента

В случай на прав ъгъл всеки лъч, излизащ от неговия връх и различен от неговите страни, минава между страните на ъгъла.

Ъглите се измерват в градуси. Ако вземете прав ъгъл и го разделите на 180 равни ъгъла, тогава градусната мярка на всеки от тези ъгли се нарича градус.

Основните свойства на измерването на ъгли са изразени в следната аксиома:

Всеки ъгъл има определена градусна мярка, по-голяма от нула. Развитият ъгъл е 180°. Градусната мярка на ъгъл е равна на сбора от градусните мерки на ъглите, на които той е разделен от всеки лъч, минаващ между страните му.

Това означава, че ако лъчът c минава между страните на ъгъла, тогава ъгълът е равен на сбора от ъглите

Градусната мярка на ъгъл се намира с помощта на транспортир.

Ъгъл, равен на 90°, се нарича прав ъгъл. Ъгъл, по-малък от 90°, се нарича остър ъгъл. Ъгъл, по-голям от 90° и по-малък от 180°, се нарича тъп ъгъл.

Нека формулираме основното свойство на полагане на ъгли.

От всяка полуправа в дадена полуравнина може да се отложи ъгъл с дадена градусна мярка, по-малка от 180°, и то само един.

Да разгледаме полуправата a. Продължаваме я отвъд началната точка A. Получената права линия разделя равнината на две полуравнини. Фигура 16 показва как да използвате транспортир, за да отделите от полуправата a към горната полуравнина ъгъл с дадена градусна мярка 60 °.

Т. 1. 2. Ако от дадена полуправа в една полуравнина са отделени два ъгъла, то страната на по-малкия ъгъл, която е различна от дадената полуправа, минава между страните на по-големия ъгъл .

Позволявам са ъглите от дадената полуправа a в една полуравнина и нека ъгълът е по-малък от ъгъла . Теорема 1.2 гласи, че лъчът минава между страните на ъгъла (фиг. 17).

Симетралата на ъгъл е лъч, който излиза от върха му, минава между страните и разделя ъгъла наполовина. На фигура 18 лъчът е ъглополовящата на ъгъла

В геометрията съществува понятието равнинен ъгъл. Равнинният ъгъл е част от равнина, ограничена от два различни лъча, излизащи от една и съща точка. Тези лъчи се наричат страни на ъгъла. Има два плоски ъгъла с дадени страни. Те се наричат екстри. На фигура 19, един от плоските ъгли със страни a и

Математика, геометрия - за мнозина тези науки, както и повечето други точни науки, са изключително трудни. За хората е трудно да разберат формули и странна терминология. Какво се крие под това странно понятие?

Определение

За начало просто трябва да вземете предвид мярката на ъгъла. Изображението на лъч и права линия ще помогне за това. Първо трябва да начертаете, например, хоризонтална права линия. След това от първата му точка се изчертава лъч, който не е успореден на правата. Така между правата и лъча се появява известно разстояние, малък ъгъл. Мярката на ъгъл е големината на това въртене на лъча.

Тази концепция обозначава определена цифрова стойност, която ще бъде по-голяма от нула. Изразява се в градуси, както и съставните му части, тоест минути и секунди. Броят градуси, които се вписват в ъгъла между лъча и правата линия, ще бъде градусната мярка.

Ъглови имоти

Абсолютно всеки ъгъл ще има определена градусна мярка.
Ако е напълно разгърнат, тогава числото ще бъде равно на 180 градуса.
За да се намери градусната мярка, се взема предвид сумата от всички ъгли, които лъчът е счупил.
С помощта на всеки лъч можете да създадете полуравнина, в която е реалистично да направите ъгъл. Той ще има градусна мярка, чиято стойност ще бъде по-малка от 180 и може да има само един такъв ъгъл.

Как да намерим мярката на ъгъл?

По правило минималната градусна мярка е 1 градус, което е 1/180 от изправен ъгъл. Понякога обаче не можете да получите толкова ясна фигура. В тези случаи се използват секунди и минути.

Когато бъдат намерени, стойността може да се преобразува в градуси, като по този начин се получава част от градуса. Понякога се използват дробни числа, като 80,7 градуса.

Също така е важно да запомните ключовите стойности. Правият ъгъл винаги ще бъде 90 градуса. Ако мярката е по-голяма, тогава ще се счита за тъпа, а ако е по-малка, тогава остра.

Ъглите се измерват в различни единици. Може да бъде градуси, радиани. Най-често ъглите се измерват в градуси. (Този градус не трябва да се бърка с мярка за температура, където също се използва думата "градус".)

1 градус е ъгъл, който е равен на 1/180 от изправен ъгъл. С други думи, ако вземем разгънат ъгъл и го разделим на 180 равни части-ъгли, то всеки такъв малък ъгъл ще бъде равен на 1 градус. Размерът на всички други ъгли се определя от това колко от тези малки ъгли могат да бъдат поставени вътре в измерения ъгъл.

Степента се означава със знака °. Това не е нула и не е буквата О. Това е такъв специален символ, въведен за обозначаване на степен.

Така правият ъгъл е 180°, правият ъгъл е 90°, острите ъгли са по-малки от 90°, а тъпите ъгли са по-големи от 90°.

Метричната система използва метър за измерване на разстояние. Въпреки това се използват както по-големи, така и по-малки единици. Например сантиметър, милиметър, километър, дециметър. По аналогия с това минутите и секундите също се разграничават в градусната мярка на ъглите.

Една градусна минута е равна на 1/60 от градуса. Обозначава се с един знак ".

Един градус секунда е равен на 1/60 от минута или 1/3600 от градус. Вторият се обозначава с два знака ", т.е. "".

В училищната геометрия рядко се използват градусови минути и секунди, но човек трябва да може да разбере например такъв запис: 35 ° 21 "45"". Това означава, че ъгълът е 35 градуса + 21 минути + 45 секунди.

От друга страна, ако ъгълът не може да бъде измерен точно в цели градуси, тогава не е необходимо да въвеждате минути и секунди. Достатъчно е да използвате дробни градуси. Например 96,5°.

Ясно е, че минутите и секундите могат да бъдат преобразувани в градуси, изразявайки ги във фракции от градуса. Например 30" е равно на (30/60)° или 0,5°. А 0,3° е равно на (0,3 * 60)" или 18". Така че използването на минути и секунди е само въпрос на удобство.