Да се задачи с параметървключват, например, търсене на решение на линейни и квадратни уравнения в общ вид, изследване на уравнението за броя на наличните корени, в зависимост от стойността на параметъра.

Без да давате подробни определения, разгледайте следните уравнения като примери:

y = kx, където x, y са променливи, k е параметър;

y = kx + b, където x, y са променливи, k и b са параметри;

ax 2 + bx + c = 0, където x са променливи, a, b и c са параметри.

Да се ​​реши уравнение (неравенство, система) с параметър означава, като правило, да се реши безкраен набор от уравнения (неравенства, системи).

Задачите с параметър могат условно да бъдат разделени на два типа:

а)условието казва: решете уравнението (неравенство, система) - това означава, че за всички стойности на параметъра, намерете всички решения. Ако поне един случай остане неизследван, такова решение не може да се счита за задоволително.

б)изисква се да се посочат възможните стойности на параметъра, за които уравнението (неравенство, система) има определени свойства. Например има едно решение, няма решения, има решения, които принадлежат на интервала и т.н. В такива задачи е необходимо ясно да се посочи при каква стойност на параметъра е изпълнено изискваното условие.

Параметърът, като неизвестно фиксирано число, има, така да се каже, специална двойственост. На първо място, трябва да се има предвид, че предполагаемата слава предполага, че параметърът трябва да се възприема като число. Второ, свободата за работа с параметър е ограничена от неговото неизвестно. Така например операциите за деление на израз, в който има параметър или извличане на корен от четна степен от подобен израз, изискват предварително проучване. Следователно трябва да се внимава при боравене с параметъра.

Например, за да се сравнят две числа -6a и 3a, трябва да се разгледат три случая:

1) -6a ще бъде по-голямо от 3a, ако a е отрицателно число;

2) -6a = 3a в случай, когато a = 0;

3) -6a ще бъде по-малко от 3a, ако a е положително число 0.

Решението ще бъде отговорът.

Нека е дадено уравнението kx = b. Това уравнение е съкратено за безкраен набор от уравнения в една променлива.

При решаването на такива уравнения може да има случаи:

1. Нека k е всяко ненулево реално число и b всяко число от R, тогава x = b/k.

2. Нека k = 0 и b ≠ 0, първоначалното уравнение ще приеме формата 0 · x = b. Очевидно това уравнение няма решения.

3. Нека k и b са числа, равни на нула, тогава имаме равенството 0 · x = 0. Решението му е всяко реално число.

Алгоритъмът за решаване на този тип уравнения:

1. Определете "контролните" стойности на параметъра.

2. Решете първоначалното уравнение за x със стойностите на параметъра, които са определени в първия параграф.

3. Решете оригиналното уравнение за x със стойности на параметри, които се различават от тези, избрани в първия параграф.

4. Можете да запишете отговора в следната форма:

1) когато ... (стойност на параметъра), уравнението има корени ...;

2) когато ... (стойност на параметъра), в уравнението няма корени.

Пример 1

Решете уравнението с параметъра |6 – x| = а.

Решение.

Лесно се вижда, че тук a ≥ 0.

По правилото по модул 6 – x = ±a, изразяваме x:

Отговор: x = 6 ± a, където a ≥ 0.

Пример 2

Решете уравнението a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 по отношение на променливата x.

Решение.

Нека отворим скобите: ax - a + 2x - 2 \u003d 0

Нека напишем уравнението в стандартна форма: x(a + 2) = a + 2.

Ако изразът a + 2 не е нула, т.е. ако a ≠ -2, имаме решението x = (a + 2) / (a ​​​​+ 2), т.е. х = 1.

Ако a + 2 е равно на нула, т.е. a \u003d -2, тогава имаме правилното равенство 0 x \u003d 0, следователно x е всяко реално число.

Отговор: x \u003d 1 за a ≠ -2 и x € R за a \u003d -2.

Пример 3

Решете уравнението x/a + 1 = a + x по отношение на променливата x.

Решение.

Ако a \u003d 0, тогава преобразуваме уравнението във формата a + x \u003d a 2 + ax или (a - 1) x \u003d -a (a - 1). Последното уравнение за a = 1 има формата 0 · x = 0, следователно x е произволно число.

Ако a ≠ 1, тогава последното уравнение ще приеме формата x = -a.

Това решение може да се илюстрира на координатната линия (Фиг. 1)

Отговор: няма решения за a = 0; x - всяко число при a = 1; x \u003d -a с a ≠ 0 и a ≠ 1.

Графичен метод

Помислете за друг начин за решаване на уравнения с параметър - графичен. Този метод се използва доста често.

Пример 4

Колко корена, в зависимост от параметъра a, има уравнението ||x| – 2| = а?

Решение.

За да решим чрез графичен метод, изграждаме графики на функции y = ||x| – 2| и y = a (фиг. 2).

Чертежът ясно показва възможните случаи на местоположението на правата y = a и броя на корените във всеки от тях.

Отговор: уравнението няма да има корени, ако a< 0; два корня будет в случае, если a >2 и а = 0; уравнението ще има три корена в случай a = 2; четири корена - при 0< a < 2.

Пример 5

За което a уравнението 2|x| + |x – 1| = a има един корен?

Решение.

Нека начертаем графики на функции y = 2|x| + |x – 1| и y = a. За y = 2|x| + |x - 1|, разширявайки модулите по метода на пропуските, получаваме:

(-3x + 1, при x< 0,

y = (x + 1, за 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, за x > 1.

На Фигура 3ясно се вижда, че уравнението ще има уникален корен само когато a = 1.

Отговор: a = 1.

Пример 6

Определете броя на решенията на уравнението |x + 1| + |x + 2| = a в зависимост от параметъра a?

Решение.

Графика на функцията y = |x + 1| + |x + 2| ще бъде прекъсната линия. Неговите върхове ще бъдат разположени в точките (-2; 1) и (-1; 1) (снимка 4).

Отговор: ако параметърът a е по-малък от единица, тогава уравнението няма да има корени; ако a = 1, то решението на уравнението е безкраен набор от числа от интервала [-2; -един]; ако стойностите на параметъра a са по-големи от едно, тогава уравнението ще има два корена.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решавате уравнения с параметър?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

Отделкина Олга, ученичка от 9 клас

Тази тема е неразделна част от изучаването на училищния курс по алгебра. Целта на тази работа е да проучи тази тема по-задълбочено, да идентифицира най-рационалното решение, което бързо води до отговор. Това есе ще помогне на други ученици да разберат използването на графичния метод за решаване на уравнения с параметри, да научат за произхода, развитието на този метод.

Изтегли:

Преглед:

Въведение2

Глава 1

Историята на появата на уравнения с параметър 3

Теорема на Виета4

Основни понятия5

Глава 2. Видове уравнения с параметри.

Линейни уравнения6

Квадратни уравнения………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………...7

Глава 3

Аналитичен метод………………………………………………….......8

Графичен метод. История на възникване……………………………9

Алгоритъм за графично решение ..…………….....…………….10

Решаване на уравнение с модул……………………………………………….11

Практическа част……………………………………………………………………12

Заключение……………………………………………………………………………….19

Използвана литература……………………………………………………………………20

Въведение.

Избрах тази тема, защото е неразделна част от изучаването на училищния курс по алгебра. Подготвяйки тази работа, си поставих за цел по-задълбочено проучване на тази тема, като идентифицирам най-рационалното решение, което бързо води до отговор. Моето есе ще помогне на други ученици да разберат използването на графичния метод за решаване на уравнения с параметри, да научат за произхода, развитието на този метод.

В съвременния живот изучаването на много физически процеси и геометрични модели често води до решаване на проблеми с параметри.

За решаване на такива уравнения графичният метод е много ефективен, когато е необходимо да се установи колко корена има уравнението в зависимост от параметъра α.

Задачите с параметри представляват чисто математически интерес, допринасят за интелектуалното развитие на учениците и служат като добър материал за упражняване на умения. Те имат диагностична стойност, тъй като могат да се използват за проверка на знанията по основните раздели на математиката, нивото на математическо и логическо мислене, първоначални изследователски умения и обещаващи възможности за успешно усвояване на курс по математика във висшите учебни заведения.

В моето резюме са разгледани често срещани видове уравнения и се надявам, че знанията, които съм придобил в процеса на работа, ще ми помогнат при полагане на училищни изпити, т.к.уравнения с параметрис право се счита за една от най-трудните задачи в курса на училищната математика. Именно тези задачи попадат в списъка със задачи на единния държавен изпит USE.

Историята на появата на уравнения с параметър

Задачи за уравнения с параметър вече се срещат в астрономическия трактат "Aryabhattam", съставен през 499 г. от индийския математик и астроном Aryabhatta. Друг индийски учен, Брахмагупта (7 век), очерта общото правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до една канонична форма:

αх 2 + bx = c, α>0

В уравнението коефициентите, с изключение на параметъра, може да бъде и отрицателен.

Квадратни уравнения в ал-Хорезми.

Алгебричният трактат на Ал-Хорезми дава класификация на линейни и квадратни уравнения с параметър. Авторът изброява 6 вида уравнения, като ги изразява по следния начин:

1) „Квадратите са равни на корени“, т.е. αx 2 = bx.

2) „Квадратите са равни на число“, т.е. αx 2 = c.

3) „Корените са равни на числото“, т.е. αx = c.

4) „Квадратите и числата са равни на корени“, т.е. αx 2 + c = bx.

5) „Квадратите и корените са равни на число“, т.е. αx 2 + bx = c.

6) „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е. bx + c = αx 2 .

Формулите за решаване на квадратни уравнения според ал-Хорезми в Европа са изложени за първи път в "Книгата на абака", написана през 1202 г. от италианския математик Леонардо Фибоначи.

Vieta има общо извеждане на формулата за решаване на квадратно уравнение с параметър, но Vieta признава само положителни корени. Италианските математици Тарталия, Кардано, Бомбели са сред първите през XII век. вземете предвид, в допълнение към положителните, и отрицателните корени. Едва през XVII век. благодарение на трудовете на Жирар, Декарт, Нютон и други учени, методът за решаване на квадратни уравнения придоби модерен вид.

Теорема на Виета

Теорема, изразяваща връзката между параметрите, коефициентите на квадратно уравнение и неговите корени, носеща името на Виета, е формулирана от него за първи път през 1591 г. Както следва: „Ако b + d умножено по α минус α 2 е равно на bc, тогава α е равно на b и е равно на d.

За да разберете Vieta, трябва да запомните, че α, както всяка гласна, означава неизвестното (нашето x), докато гласните b, d са коефициенти за неизвестното. На езика на съвременната алгебра горната формулировка на Vieta означава:

Ако има

(α + b)x - x 2 \u003d αb,

Тоест x 2 - (α -b)x + αb \u003d 0,

тогава x 1 = α, x 2 = b.

Изразявайки връзката между корените и коефициентите на уравненията с общи формули, написани с помощта на символи, Виета установява еднаквост в методите за решаване на уравнения. Символиката на Виета обаче все още е далеч от съвременния си вид. Той не признаваше отрицателните числа и затова при решаването на уравнения разглеждаше само случаите, когато всички корени са положителни.

Основни понятия

Параметър - независима променлива, чиято стойност се счита за фиксирано или произволно число или число, принадлежащо към интервала, определен от условието на проблема.

Уравнение с параметър- математическиуравнението, чийто външен вид и решение зависи от стойностите на един или повече параметри.

Реши уравнение със средни параметри за всяка стойностнамерете x стойности, които отговарят на това уравнение, а също и:

1. 1. Проучете за какви стойности на параметрите има корени уравнението и колко от тях за различни стойности на параметрите.
2. 2. Намерете всички изрази за корените и посочете за всеки от тях стойностите на параметрите, за които този израз наистина определя корена на уравнението.

Да разгледаме уравнението α(х+k)= α +c, където α, c, k, x са променливи.

Системата от допустими стойности на променливите α, c, k, xсе нарича всяка система от стойности на променливи, в която както лявата, така и дясната част на това уравнение приемат реални стойности.

Нека A е множеството от всички допустими стойности на α, K - множеството от всички допустими стойности на k, X - множеството от всички допустими стойности на x, C - множеството от всички допустими стойности от c. Ако за всяко от множествата A, K, C, X изберем и фиксираме съответно по една стойност α, k, c и ги заместим в уравнението, тогава получаваме уравнение за x, т.е. уравнение с едно неизвестно.

Променливите α, k, c, които се считат за постоянни при решаването на уравнението, се наричат ​​параметри, а самото уравнение се нарича уравнение, съдържащо параметри.

Параметрите се обозначават с първите букви на латинската азбука: α, b, c, d, …, k , l, m, n, а неизвестните - с букви x, y, z.

Извикват се две уравнения, съдържащи еднакви параметриеквивалентно, ако:

а) имат смисъл при еднакви стойности на параметрите;

б) всяко решение на първото уравнение е решение на второто и обратно.

Видове уравнения с параметри

Уравненията с параметри са: линейнии квадрат.

1) Линейно уравнение. Обща форма:

α x = b, където x е неизвестно;α , b - параметри.

За това уравнение специалната или контролна стойност на параметъра е тази, при която коефициентът се равнява на нула в неизвестното.

При решаване на линейно уравнение с параметър се разглеждат случаите, когато параметърът е равен на специалната си стойност и е различен от нея.

Специалната стойност на параметъра α е стойносттаα = 0.

1.Ако, а ≠0 , тогава за всяка двойка параметриα и b има уникално решение x = .

2.Ако, а =0, тогава уравнението приема формата: 0 x = b . В този случай стойността b = 0 е специална стойност на параметъра b.

2.1. За б ≠ 0 уравнението няма решения.

2.2. За б =0 уравнението ще приеме формата: 0х=0.

Решението на това уравнение е всяко реално число.

Квадратно уравнение с параметър.

Обща форма:

α x 2 + bx + c = 0

където параметър α ≠0, b и c - произволни числа

Ако α =1, тогава уравнението се нарича намалено квадратно уравнение.

Корените на квадратното уравнение се намират по формулите

Израз D = b 2 - 4 α c наречен дискриминант.

1. Ако D> 0 - уравнението има два различни корена.

2. Ако Д< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Ако D = 0 - уравнението има два еднакви корена.

Методи за решаване на уравнения с параметър:

1. Аналитичен - метод на директно решение, който повтаря стандартните процедури за намиране на отговора в уравнение без параметри.
2. Графичен – в зависимост от условието на задачата се разглежда положението на графиката на съответната квадратична функция в координатната система.

Аналитичен метод

Алгоритъм за решение:

1. Преди да се пристъпи към решаване на проблема с параметрите чрез аналитичния метод, е необходимо да се разбере ситуацията за конкретна числена стойност на параметъра. Например вземете стойността на параметъра α =1 и отговорете на въпроса: стойността на параметъра α =1 ли е необходимата стойност за тази задача.

Пример 1: Решете зах линейно уравнение с параметър m:

Според смисъла на задачата (m-1)(x+3) = 0, тоест m= 1, x = -3.

Умножавайки двете страни на уравнението по (m-1)(x+3), получаваме уравнението

Получаваме

Следователно при m = 2,25.

Сега е необходимо да проверите дали няма такива стойности на m, за които

намерената стойност на x е -3.

решавайки това уравнение, получаваме, че х е -3, когато m = -0,4.

Отговор: при m=1, m=2,25.

Графичен метод. История на възникване

Изследването на общите зависимости започва през 14 век. Средновековната наука е била схоластична. При такъв характер нямаше място за изследване на количествени зависимости, ставаше дума само за качествата на обектите и техните взаимоотношения помежду си. Но сред схоластиците възниква школа, която твърди, че качествата могат да бъдат повече или по-малко интензивни (роклята на човек, който е паднал в реката, е по-мокра от тази на някой, който току-що е бил хванат от дъжда)

Френският учен Никола Оресме започва да изобразява интензитета на дължините на сегментите. Когато подрежда тези сегменти перпендикулярно на някаква права линия, краищата им образуват линия, която той нарича "линия на интензитетите" или "линия на горния ръб" (графика на съответната функционална зависимост). Орезъм изучава дори "равнината" и "телесни" качества, т.е. функции, зависещи от две или три променливи.

Важно постижение на Оресмес е опитът за класифициране на получените графики. Той отделя три вида качества: равномерни (с постоянен интензитет), равномерно неравномерни (с постоянна скорост на промяна на интензитета) и неравномерно неравномерни (всички останали), както и характерните свойства на графиките на такива качества.

За да се създаде математически апарат за изучаване на функционални графики, беше необходима концепцията за променлива. Това понятие е въведено в науката от френския философ и математик Рене Декарт (1596-1650). Декарт беше този, който излезе с идеи за единството на алгебрата и геометрията и за ролята на променливите; Декарт въведе сегмент с фиксирана единица и започна да разглежда връзката на други сегменти с него.

По този начин графиките на функциите през целия период на тяхното съществуване са преминали през серия от фундаментални трансформации, които са ги довели до формата, към която сме свикнали. Всеки етап или стъпка в развитието на графики на функции е неразделна част от историята на съвременната алгебра и геометрия.

Графичният метод за определяне на броя на корените на уравнение в зависимост от параметъра, включен в него, е по-удобен от аналитичния.

Алгоритъм за графично решение

Функционална графика е набор от точки, къдетоабсцисатаса валидни стойности на аргумент, а ординати- съответните стойностифункции.

Алгоритъм за графично решаване на уравнения с параметър:

1. Намерете областта на уравнението.
2. Изразяваме α като функция на x.
3. В координатната система изграждаме графика на функциятаα (x) за тези стойности на x, които са в областта на даденото уравнение.
4. Намиране на пресечните точки на праватаα =c, с функционална графика

a(x). Ако правата α =c пресича графикатаα (x), тогава определяме абсцисите на пресечните точки. За да направите това, достатъчно е да решите уравнението c = α (x) спрямо x.

1. Запишете отговора

Решаване на уравнения с модул

При графично решаване на уравнения с модул, съдържащ параметър, е необходимо да се начертаят функционални графики и да се разгледат всички възможни случаи за различни стойности на параметъра.

Например │х│= a,

Отговор: ако a < 0, то нет корней, a > 0, тогава x \u003d a, x = - a, ако a \u003d 0, тогава x \u003d 0.

Разрешаване на проблем.

Задача 1. Колко корена има уравнението| | x | - 2 | = а в зависимост от параметъраа?

Решение. В координатната система (x; y) начертаваме графиките на функциите y = | | x | - 2 | и y=а . Графика на функцията y = | | x | - 2 | показано на фигурата.

Графика на функцията y =α a = 0).

От графиката се вижда, че:

Ако a = 0, тогава правата y = a съвпада с оста Ox и има с графиката на функцията y = | | x | - 2 | две общи точки; така че оригиналното уравнение има два корена (в този случаймогат да се намерят корени: x 1,2 = + 2).
Ако 0< a < 2, то прямая y = α има с графиката на функцията y = | | x | - 2 | четири общи точки и, следователно, оригиналното уравнение има четири корена.
Акоа = 2, то правата y = 2 има три общи точки с графиката на функцията. Тогава първоначалното уравнение има три корена.
Ако a > 2, тогава правата y = a ще има две точки с графиката на оригиналната функция, тоест това уравнение ще има два корена.

Отговор: ако a < 0, то корней нет;
ако a = 0, a > 2, тогава два корена;
ако a = 2, тогава три корена;
ако 0< a < 2, то четыре корня.

Задача 2. Колко корена има уравнението| x 2 - 2| x | - 3 | = а в зависимост от параметъраа?

Решение. В координатната система (x; y) начертаваме графиките на функциите y = | х 2 - 2| x | - 3 | и y = a.

Графика на функцията y = | х 2 - 2| x | - 3 | показано на фигурата. Графика на функцията y =α е права, успоредна на Ox или съвпадаща с нея (когатоа = 0).

От графиката можете да видите:

Ако a = 0, тогава правата y = a съвпада с оста Ox и има с графиката на функцията y = | x2 - 2| x | - 3 | две общи точки, както и права y =а ще има с графиката на функцията y = | х 2 - 2| x | - 3 | две общи точки a > 4. Следователно за a = 0 и a > 4 първоначалното уравнение има два корена.
Ако 0< а< 3, то прямая y = a има с графиката на функцията y = | х 2 - 2| x | - 3 | четири общи точки, както и права y=а ще има четири общи точки с графиката на построената функция при a = 4. Следователно при 0< a < 3, a = 4 оригиналното уравнение има четири корена.
Ако a = 3, тогава правата y = a пресича графиката на функцията в пет точки; следователно уравнението има пет корена.
Ако 3< а< 4, прямая y = α пресича графиката на построената функция в шест точки; следователно, за тези стойности на параметъра, оригиналното уравнение има шест корена.
Акоа < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α не пресича графиката на функцията y = | х 2 - 2| x | - 3 |.

Отговор: ако a < 0, то корней нет;
ако a = 0, a > 4, тогава два корена;
ако 0< a < 3, a = 4, тогава четири корена;

ако = 3, след това пет корена;
ако 3< a < 4, то шесть корней.

Задача 3. Колко корена има уравнението

в зависимост от параметъраа?

Решение. Построяваме в координатната система (x; y) графиката на функцията

но първо нека го поставим във формата:

Правите x = 1, y = 1 са асимптотите на графиката на функцията. Графика на функцията y = | x | +а получена от графиката на функцията y = | x | изместен с единици по оста Oy.

Функционални графики пресичат се в една точка ва > - 1; следователно уравнение (1) за тези стойности на параметъра има едно решение.

За a = - 1, a = - 2 графики се пресичат в две точки; следователно, за тези стойности на параметъра, уравнение (1) има два корена.
На - 2< а< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Отговор: ако a > - 1, след това едно решение;
ако a = - 1, a = - 2, след това две решения;
ако - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Коментирайте. При решаването на уравнението на задачата трябва да се обърне специално внимание на случая, когатоа = - 2, тъй като точката (- 1; - 1) не принадлежи на графиката на функциятано принадлежи на графиката на функцията y = | x | +а.

Задача 4. Колко корена има уравнението

x + 2 = a | x - 1 |

в зависимост от параметъраа?

Решение. Обърнете внимание, че x = 1 не е корен на това уравнение, тъй като равенството 3 =а 0 не може да бъде вярно за нито една стойност на параметъра . Разделяме двете страни на уравнението на | x - 1 |(| x - 1 |0), тогава уравнението ще приеме форматаВ координатната система xOy изобразяваме функцията

Графиката на тази функция е показана на фигурата. Графика на функцията y =а е права линия, успоредна на оста Ox или съвпадаща с нея (напра = 0).

Уравненията с параметри с право се считат за една от най-трудните задачи в курса на училищната математика. Именно тези задачи попадат от година на година в списъка на задачите от тип B и C на единния държавен изпит на Единния държавен изпит. Въпреки това сред големия брой уравнения с параметри има и такива, които лесно могат да бъдат решени графично. Нека разгледаме този метод на примера за решаване на няколко задачи.

Намерете сумата от целите стойности на a, за които уравнението |x 2 – 2x – 3| = a има четири корена.

Решение.

За да отговорим на въпроса на проблема, изграждаме графики на функции в една координатна равнина

y = |x 2 – 2x – 3| и y = a.

Графика на първата функция y = |x 2 – 2x – 3| ще се получи от графиката на параболата y = x 2 - 2x - 3 чрез показване симетрично спрямо абсцисната ос на частта от графиката, която е под оста Ox. Частта от графиката над оста x ще остане непроменена.

Нека го направим стъпка по стъпка. Графиката на функцията y \u003d x 2 - 2x - 3 е парабола, чиито клонове са насочени нагоре. За да изградим неговата графика, намираме координатите на върха. Това може да стане с помощта на формулата x 0 = -b / 2a. По този начин x 0 \u003d 2/2 \u003d 1. За да намерим координатата на върха на параболата по оста y, заместваме получената стойност за x 0 в уравнението на разглежданата функция. Получаваме, че y 0 \u003d 1 - 2 - 3 \u003d -4. Следователно върхът на параболата има координати (1; -4).

След това трябва да намерите точките на пресичане на клоните на параболата с координатните оси. В точките на пресичане на клоновете на параболата с абсцисната ос стойността на функцията е нула. Следователно решаваме квадратното уравнение x 2 - 2x - 3 \u003d 0. Корените му ще бъдат желаните точки. По теоремата на Vieta имаме x 1 = -1, x 2 = 3.

В точките на пресичане на клоновете на параболата с оста y стойността на аргумента е нула. Така точката y = -3 е точката на пресичане на клоновете на параболата с оста y. Получената графика е показана на фигура 1.

За да получим графиката на функцията y = |x 2 - 2x - 3|, ще покажем частта от графиката, която е под оста x, симетрично спрямо оста x. Получената графика е показана на фигура 2.

Графиката на функцията y = a е права линия, успоредна на оста x. Показано е на фигура 3. Използвайки фигурата и намираме, че графиките имат четири общи точки (и уравнението има четири корена), ако a принадлежи на интервала (0; 4).

Целочислени стойности на число a от получения интервал: 1; 2; 3. За да отговорим на въпроса от задачата, нека намерим сбора на тези числа: 1 + 2 + 3 = 6.

Отговор: 6.

Намерете средноаритметичната стойност на целите стойности на числото a, за които уравнението |x 2 – 4|x| – 1| = a има шест корена.

Нека започнем с начертаване на функцията y = |x 2 – 4|x| – 1|. За целта използваме равенството a 2 = |a| 2 и изберете пълния квадрат в израза на подмодула, написан от дясната страна на функцията:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 - 4|x| + 4) - 1 - 4 = (|x | - 2) 2 - 5.

Тогава оригиналната функция ще изглежда като y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

За да изградим графика на тази функция, изграждаме последователно графики на функции:

1) y \u003d (x - 2) 2 - 5 - парабола с връх в точка с координати (2; -5); (Фиг. 1).

2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - частта от параболата, построена в параграф 1, която се намира вдясно от ординатната ос, се показва симетрично вляво от оста Oy; (фиг. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - частта от графиката, построена в параграф 2, която е под оста x, се показва симетрично спрямо абсцисната ос нагоре. (фиг. 3).

Помислете за получените чертежи:

Графиката на функцията y = a е права линия, успоредна на оста x.

Използвайки фигурата, заключаваме, че графиките на функциите имат шест общи точки (уравнението има шест корена), ако a принадлежи на интервала (1; 5).

Това може да се види на следната фигура:

Намерете средната аритметична стойност на целочислените стойности на параметъра a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Отговор: 3.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

Уравнения с параметри: метод на графично решение

8-9 клас

Статията разглежда графичен метод за решаване на някои уравнения с параметри, който е много ефективен, когато трябва да установите колко корена има уравнението в зависимост от параметъра а.

Задача 1. Колко корена има уравнението | | x | – 2 | = а в зависимост от параметъра а?

Решение. В координатната система (x; y) начертаваме графиките на функциите y = | | x | – 2 | и y= а. Графика на функцията y = | | x | – 2 | показано на фигурата.

Графиката на функцията y = a е права линия, успоредна на оста Ox или съвпадаща с нея (за а = 0).

От чертежа се вижда, че:

Ако а= 0, тогава линията y = асъвпада с оста Ox и има с графиката на функцията y = | | x | – 2 | две общи точки; това означава, че оригиналното уравнение има два корена (в този случай корените могат да бъдат намерени: x 1,2 \u003d q 2).
Ако 0< а < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Ако а= 2, то правата y = 2 има три общи точки с графиката на функцията. Тогава първоначалното уравнение има три корена.
Ако а> 2, тогава линията y = аще има две точки с графиката на оригиналната функция, тоест това уравнение ще има два корена.

ако а < 0, то корней нет;
ако а = 0, а> 2, след това два корена;
ако а= 2, след това три корена;
ако 0< а < 2, то четыре корня.

Задача 2. Колко корена има уравнението | x 2 – 2| x | – 3 | = а в зависимост от параметъра а?

Решение. В координатната система (x; y) начертаваме графиките на функциите y = | x 2 – 2| x | – 3 | и y= а.

Графика на функцията y = | x 2 – 2| x | – 3 | показано на фигурата. Графиката на функцията y = a е права линия, успоредна на Ox или съвпадаща с нея (когато а = 0).

От чертежа се вижда:

Ако а= 0, тогава линията y = асъвпада с оста Ox и има с графиката на функцията y = | x2-2| x | – 3 | две общи точки, както и права y = аще има с графиката на функцията y = | x 2 – 2| x | – 3 | две общи точки а> 4. Следователно, за а= 0 и а> 4 първоначалното уравнение има два корена.
Ако 0< а < 3, то прямая y = аима с графиката на функцията y = | x 2 – 2| x | – 3 | четири общи точки, както и права y= аще има четири общи точки с графиката на построената функция при а= 4. Следователно, при 0< а < 3, а= 4 оригиналното уравнение има четири корена.
Ако а= 3, тогава линията y = апресича графиката на функцията в пет точки; следователно уравнението има пет корена.
Ако 3< а < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Ако а < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

ако а < 0, то корней нет;
ако а = 0, а> 4, след това два корена;
ако 0< а < 3, а= 4, тогава четири корена;
ако а= 3, след това пет корена;
ако 3< а < 4, то шесть корней.

Задача 3. Колко корена има уравнението

в зависимост от параметъра а?

Решение. Построяваме в координатната система (x; y) графиката на функцията но първо нека го поставим във формата:

Правите x = 1, y = 1 са асимптотите на графиката на функцията. Графика на функцията y = | x | + аполучена от графиката на функцията y = | x | изместен с единици по оста Oy.

Функционални графики пресичат се в една точка в а> – 1; следователно уравнение (1) за тези стойности на параметъра има едно решение.

При а = – 1, а= – 2 графики се пресичат в две точки; следователно, за тези стойности на параметъра, уравнение (1) има два корена.
На - 2< а < – 1, а < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

ако а> – 1, след това едно решение;
ако а = – 1, а= – 2, след това две решения;
ако - 2< а < – 1, а < – 1, то три решения.

Коментирайте. При решаването на уравнение (1) от задача 3 трябва да се обърне специално внимание на случая, когато а= - 2, тъй като точката (- 1; - 1) не принадлежи на графиката на функцията но принадлежи на графиката на функцията y = | x | + а.

Да преминем към решаването на друг проблем.

Задача 4. Колко корена има уравнението

x + 2 = а| x – 1 | (2)

в зависимост от параметъра а?

Решение. Обърнете внимание, че x = 1 не е корен на това уравнение, тъй като равенството 3 = а 0 не може да бъде вярно за нито една стойност на параметър а. Разделяме двете страни на уравнението на | x – 1 |(| x – 1 | № 0), тогава уравнение (2) ще приеме формата В координатната система xOy изобразяваме функцията

Графиката на тази функция е показана на фигурата. Графика на функцията y = ае права линия, успоредна на оста Ox или съвпадаща с нея (напр а = 0).

ако а J - 1, тогава няма корени;
ако - 1< аЈ 1, след това един корен;
ако а> 1, тогава има два корена.

Помислете за най-сложното уравнение.

Задача 5. За какви стойности на параметъра ауравнението

а x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

има три решения?

Решение. 1. Контролната стойност на параметъра за това уравнение ще бъде числото а= 0, при което уравнение (3) приема формата 0 + | x – 1 | = 0, откъдето x = 1. Следователно, за а= 0 уравнение (3) има един корен, който не удовлетворява условието на задачата.

2. Разгледайте случая, когато а № 0.

Нека пренапишем уравнение (3) в следната форма: а x 2 = - | x – 1 |. Обърнете внимание, че уравнението ще има решения само за а < 0.

В координатната система xOy начертаваме графиките на функциите y = | x – 1 | и y= а x 2 . Графика на функцията y = | x – 1 | показано на фигурата. Графика на функцията y = а x 2 е парабола, чиито клонове са насочени надолу, тъй като а < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

Уравнение (3) ще има три решения само когато правата y = – x + 1 е допирателна към графиката на функцията y= а x 2 .

Нека x 0 е абсцисата на точката на контакт с правата y = - x + 1 с параболата y = а x 2 . Уравнението на допирателната има формата

y \u003d y (x 0) + y "(x 0) (x - x 0).

Нека запишем условията на допир:

Това уравнение може да се реши без да се използва понятието производна.

Нека разгледаме друг начин. Използваме факта, че ако правата y = kx + b има една обща точка с параболата y = а x 2 + px + q, след това уравнението а x 2 + px + q = kx + b трябва да има уникално решение, тоест неговият дискриминант е нула. В нашия случай имаме уравнението а x 2 \u003d - x + 1 ( а№ 0). Дискриминант на уравнение

Задачи за самостоятелно решаване

6. Колко корена има уравнението в зависимост от параметъра а?

1)| | x | – 3 | = а;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = а;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = а;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = а.

1) ако а<0, то корней нет; если а=0, а>3, след това два корена; ако а=3, след това три корена; ако 0<а<3, то четыре корня;
2) ако а<1, то корней нет; если а=1, тогава безкраен набор от решения от сегмента [– 2; - един]; ако а> 1, след това две решения;
3) ако а<0, то корней нет; если а=0, а<3, то четыре корня; если 0<а<1, то восемь корней; если а=1, след това шест корена; ако а=3, след това три решения; ако а>3, след това две решения;
4) ако а<0, то корней нет; если а=0, 4<а<5, то четыре корня; если 0<а< 4, то восемь корней; если а=4, след това шест корена; ако а=5, тогава три корена; ако а>5, след това два корена.

7. Колко корена има уравнението | x + 1 | = а(x – 1) в зависимост от параметъра а?

Инструкция. Тъй като x = 1 не е корен на уравнението, това уравнение може да се сведе до формата .

Отговор: ако а J -1, а > 1, а=0, тогава един корен; ако - 1<а<0, то два корня; если 0<аЈ 1, значи няма корени.

8. Колко корена има уравнението x + 1 = а| x – 1 | в зависимост от параметъра а?

Постройте графика (вижте фигурата).

Отговор: ако аЈ –1, значи няма корени; ако - 1<аЈ 1, след това един корен; ако а>1, тогава има два корена.

9. Колко корена има уравнението

2| x | – 1 = a(x – 1)

в зависимост от параметъра а?

Инструкция. Приведете уравнението във формата

Отговор: ако а J -2, а>2, а=1, тогава един корен; ако -2<а<1, то два корня; если 1<а£ 2, значи няма корени.

10. Колко корена има уравнението

в зависимост от параметъра а?

Отговор: ако аЈ 0, а i 2, след това един корен; ако 0<а<2, то два корня.

11. При какви стойности на параметъра ауравнението

х 2 + а| x – 2 | = 0

има три решения?

Инструкция. Приведете уравнението до формата x 2 = - а| x - 2 |.

Отговор: кога а£ -8.

12. При какви стойности на параметъра ауравнението

а x 2 + | x + 1 | = 0

има три решения?

Инструкция. Използвайте задача 5. Това уравнение има три решения само ако уравнението а x 2 + x + 1 = 0 има едно решение и случаят а= 0 не удовлетворява условието на задачата, тоест остава случаят, когато

13. Колко корена има уравнението

x | x – 2 | = 1 - а

в зависимост от параметъра а?

Инструкция. Приведете уравнението във формата –x |x – 2| + 1 = а

в зависимост от параметъра а?

Инструкция. Постройте графики на лявата и дясната част на това уравнение.

Отговор: ако а<0, а>2, след това два корена; ако 0Ј а£ 2, след това един корен.

16. Колко корена има уравнението

в зависимост от параметъра а?

Инструкция. Постройте графики на лявата и дясната част на това уравнение. Да начертаете функция намерете интервали на постоянство на изразите x + 2 и x:

Отговор: ако а>– 1, след това едно решение; ако а= – 1, след това две решения; ако - 3<а<–1, то четыре решения; если аЈ –3, след това три решения.