Как да докажа, че границата съществува. Универсална дефиниция на лимита на функция по печалба и по coch

Ограничение на функцията- номер аще бъде границата на някаква стойност на променлива, ако в процеса на нейното изменение тази променлива се приближава за неопределено време а.

Или с други думи, числото Ае границата на функцията y=f(x)в точката x0, ако за всяка поредица от точки от областта на дефиниране на функцията , не е равно на x0, и който се събира до точката x 0 (lim x n = x0), последователността от съответните стойности на функцията се сближава с числото А.

Графика на функция, чиято граница с аргумент, клонящ към безкрайност, е Л:

Значение НОе граница (гранична стойност) на функцията f(x)в точката x0ако за произволна последователност от точки , който се сближава с x0, но който не съдържа x0като един от неговите елементи (т.е. в пробития квартал x0), последователността от функционални стойности се сближава с А.

Граница на функция по Коши.

Значение Аще бъде ограничение на функцията f(x)в точката x0ако за всяко напред взето неотрицателно число ε ще бъде намерено неотрицателно съответстващо число δ = δ(ε) така че за всеки аргумент х, отговарящи на условието 0 < | x - x0 | < δ , неравенството | f(x) A |< ε .

Ще бъде много просто, ако разберете същността на лимита и основните правила за намирането му. Това е границата на функцията е(х)при хстремейки се към асе равнява А, се записва така:

Освен това стойността, към която клони променливата х, може да бъде не само число, но и безкрайност (∞), понякога +∞ или -∞, или може изобщо да няма ограничение.

За да разберете как намерете границите на функция, най-добре е да видите примери за решения.

Трябва да намерим границите на функцията е(x) = 1/хв:

х→ 2, х→ 0, х→ ∞.

Нека намерим решението на първата граница. За да направите това, можете просто да замените хчислото, към което се стреми, т.е. 2, получаваме:

Намерете втората граница на функцията. Тук заместете в чиста форма 0 вместо хневъзможно е, защото не може да се дели на 0. Но можем да вземем стойности близки до нула, например 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и така нататък със стойността на функцията е(х)ще се увеличи: 100; 1000; 10000; 100 000 и така нататък. По този начин може да се разбере, че когато х→ 0 стойността на функцията, която е под граничния знак, ще нараства неограничено, т.е. стремеж към безкрайност. Което означава:

Относно третото ограничение. Същата ситуация, както в предишния случай, е невъзможно да се замени ∞ в най-чист вид. Трябва да разгледаме случая на неограничено увеличение х. Заменяме последователно 1000; 10000; 100 000 и така нататък, имаме тази стойност на функцията е(x) = 1/хще намалее: 0,001; 0,0001; 0,00001; и така нататък, клонейки към нула. Ето защо:

Необходимо е да се изчисли границата на функцията

Започвайки да решаваме втория пример, виждаме несигурността. От тук намираме най-високата степен на числителя и знаменателя - това е х 3, изваждаме го извън скоби в числителя и знаменателя и след това го намаляваме с него:

Отговор

Първата стъпка в намиране на тази граница, заменете стойността 1 вместо х, което води до несигурност . За да го решим, разлагаме числителя на множители, ще направим това, като намерим корените на квадратното уравнение х 2 + 2х - 3:

D \u003d 2 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 4 +12 \u003d 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2± 4) / 2→ x 1 \u003d -3;x2= 1.

Така че числителят ще бъде:

Отговор

Това е дефиницията на нейната конкретна стойност или конкретна област, в която попада функцията, която е ограничена от лимита.

За да определите границите, следвайте правилата:

Разбрал същността и осн ограничават правилата за вземане на решения, ще получите основно разбиране как да ги разрешите.

(х)в точка х 0 :
,
ако
1) има такава пунктирана околност на точката x 0
2) за всяка последователност ( x n ), сближаваща се с x 0 :
, чиито елементи принадлежат на квартала,
подпоследователност (f(xn))се сближава до:
.

Тук x 0 и a може да бъде или крайни числа, или точки в безкрайност. Кварталът може да бъде както двустранен, така и едностранен.

.

Второто определение на границата на функция (според Коши)

Числото a се нарича граница на функцията f (х)в точка х 0 :
,
ако
1) има такава пунктирана околност на точката x 0 на който е дефинирана функцията;
2) за всяко положително число ε > 0 съществува число δ ε > 0 , в зависимост от ε, че за всички x, принадлежащи на пунктирана δ ε околност на точката x 0 :
,
стойности на функцията f (х)принадлежат на ε - околности на точка a :
.

точки х 0 и a може да бъде или крайни числа, или точки в безкрайност. Кварталът също може да бъде както двустранен, така и едностранен.

Записваме това определение, използвайки логическите символи на съществуване и универсалност:
.

Тази дефиниция използва квартали с еднакво отдалечени краища. Еквивалентна дефиниция може да бъде дадена и с помощта на произволни околности на точки.

Дефиниране с използване на произволни съседства
Числото a се нарича граница на функцията f (х)в точка х 0 :
,
ако
1) има такава пунктирана околност на точката x 0 на който е дефинирана функцията;
2) за всеки квартал U (а)точка a има такава пунктирана околност на точката x 0 , че за всички x, които принадлежат на пунктирана околност на точката x 0 :
,
стойности на функцията f (х)принадлежат към квартал У (а)точки а:
.

Използвайки логическите символи на съществуването и универсалността, това определение може да се напише по следния начин:
.

Едностранни и двустранни ограничения

Горните определения са универсални в смисъл, че могат да се използват за всеки тип квартал. Ако, както използваме лявата пробита околност на крайната точка, тогава получаваме дефиницията на лявата граница. Ако използваме околността на точка в безкрайност като околност, тогава получаваме дефиницията на границата в безкрайността.

За да се определи границата според Хайне, това се свежда до факта, че се налага допълнително ограничение върху произволна последователност, сходна към , че нейните елементи трябва да принадлежат към съответната пунктирана околност на точката .

За да се определи границата на Коши, е необходимо във всеки случай да се преобразуват изразите и в неравенства, като се използват съответните определения за околност на точка.
Вижте "Околност на точка".

Определяне, че точка a не е граница на функция

Често има нужда да се използва условието, че точката a не е граница на функцията за . Нека конструираме отрицания към горните определения. В тях приемаме, че функцията f (х)е дефинирана върху някаква пунктирана околност на точката x 0 . Точки а и х 0 могат да бъдат както крайни числа, така и безкрайно отдалечени. Всичко посочено по-долу се отнася както за двустранни, така и за едностранни лимити.

Според Хайне.
Номер а не еграница на функцията f (х)в точка х 0 : ,
ако има такава последователност ( x n ), сближаваща се с x 0 :
,
чиито елементи принадлежат на квартала,
каква последователност (f(xn))не се свежда до:
.
.

Според Коши.
Номер а не еграница на функцията f (х)в точка х 0 :
,
ако има такова положително число ε > 0 , така че за всяко положително число δ > 0 , съществува x, който принадлежи на пунктирана δ околност на точката x 0 :
,
че стойността на функцията f (х)не принадлежи на ε околността на точка a :
.
.

Разбира се, ако точката a не е граница на функцията при , това не означава, че тя не може да има граница. Може би има ограничение, но то не е равно на . Възможно е също така функцията да е дефинирана в пунктиран квартал на точката, но да няма ограничение при.

функция f(x) = sin(1/x)няма ограничение при x → 0.

Например функцията е дефинирана на , но няма ограничение. За доказателство вземаме последователността. Стига се до точка 0 : . Защото тогава.
Нека вземем последователност. Също така се сближава до точката 0 : . Но тъй като тогава.
Тогава границата не може да е равна на число a . Наистина, за , има последователност, с която . Следователно всяко различно от нула число не е ограничение. Но това също не е ограничение, тъй като има последователност, с която .

Еквивалентност на дефинициите на границата по Хайне и по Коши

Теорема
Дефинициите на Хайне и Коши за границата на функция са еквивалентни.

Доказателство

В доказателството приемаме, че функцията е дефинирана в някаква пунктирана околност на точката (крайна или в безкрайност). Точката а също може да бъде крайна или безкрайна.

Доказателство на Хайне ⇒ Коши

Нека функцията има граница a в точка според първото определение (по Хайне). Тоест за всяка последователност, принадлежаща към околност на точка и имаща граница
(1) ,
границата на последователността е:
(2) .

Нека покажем, че функцията има граница на Коши в точка. Тоест за всяко съществува такова за всички.

Да приемем обратното. Нека условията (1) и (2) са изпълнени, но функцията няма граница на Коши. Това означава, че съществува такова, че за всяко съществува, така че
.

Вземете , където n е естествено число. Тогава съществува и
.
Така построихме редица, сходна към , но границата на редицата не е равна на a . Това противоречи на условието на теоремата.

Първата част е доказана.

Доказателство на Коши ⇒ Хайне

Нека функцията има граница a в точка според второто определение (по Коши). Тоест, за всяко съществува това
(3) за всички .

Нека покажем, че функцията има граница a в точка според Хайне.
Нека вземем произволно число. Според дефиницията на Коши съществува число , така че (3) е валидно.

Вземете произволна последователност, принадлежаща на пунктирания квартал и сходна към . По дефиницията на конвергентна последователност, за всяко съществува такова, че
при .
Тогава от (3) следва, че
при .
Тъй като това важи за всеки , тогава
.

Теоремата е доказана.

Препратки:
Л.Д. Кудрявцев. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 2003 г.

Математиката е науката, която изгражда света. И ученият, и обикновеният човек - никой не може без него. Първо, малките деца се учат да броят, след това да събират, изваждат, умножават и делят, от средното училище буквените обозначения влизат в действие, а в по-старите вече не могат да се откажат от тях.

Но днес ще говорим за това, на какво се основава цялата известна математика. Относно общността от числа, наречена „граници на последователност“.

Какво представляват последователностите и къде е тяхната граница?

Значението на думата "последователност" не е трудно за тълкуване. Това е такава конструкция на нещата, където някой или нещо е разположено в определен ред или опашка. Например опашката за билети в зоологическата градина е последователност. И може да бъде само един! Ако, например, погледнете опашката до магазина, това е една последователност. И ако един човек изведнъж напусне тази опашка, тогава това е друга опашка, различен ред.

Думата "лимит" също се тълкува лесно - това е краят на нещо. Въпреки това, в математиката границите на последователностите са тези стойности на числовата линия, към които се стреми поредица от числа. Защо се стреми и не свършва? Просто е, числовата линия няма край и повечето последователности, като лъчите, имат само начало и изглеждат така:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Следователно дефиницията на последователност е функция на естествения аргумент. С по-прости думи, това е поредица от членове на някакво множество.

Как се изгражда редица от числа?

Най-простият пример за числова последователност може да изглежда така: 1, 2, 3, 4, …n…

В повечето случаи за практически цели поредиците се изграждат от числа и всеки следващ член на поредицата, нека го обозначим с X, има собствено име. Например:

x 1 - първият член на редицата;

x 2 - вторият член на редицата;

x 3 - третият член;

x n е n-тият член.

При практическите методи последователността се дава с обща формула, в която има някаква променлива. Например:

X n \u003d 3n, тогава самата поредица от числа ще изглежда така:

Струва си да запомните, че в общото обозначение на последователностите можете да използвате всякакви латински букви, а не само X. Например: y, z, k и т.н.

Аритметична прогресия като част от последователности

Преди да потърсите границите на последователностите, препоръчително е да се задълбочите в самата концепция за такава числова серия, с която всеки се е сблъсквал, когато е бил в средната класа. Аритметичната прогресия е поредица от числа, в които разликата между съседни членове е постоянна.

Задача: „Нека 1 \u003d 15 и стъпката на прогресията на числовата серия d \u003d 4. Изградете първите 4 члена на този ред"

Решение: a 1 = 15 (по условие) е първият член на прогресията (числовата серия).

и 2 = 15+4=19 е вторият член на прогресията.

и 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 е третият член.

и 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 е четвъртият член.

С този метод обаче е трудно да се достигнат големи стойности, например до 125. . Специално за такива случаи беше получена формула, удобна за практика: a n \u003d a 1 + d (n-1). В този случай 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Видове последователности

Повечето от последователностите са безкрайни, заслужава си да ги запомните цял живот. Има два интересни вида числови серии. Първият се дава по формулата a n =(-1) n . Математиците често се позовават на тези мигащи последователности. Защо? Нека проверим числата му.

1, 1, -1 , 1, -1, 1 и т.н. С този пример става ясно, че числата в последователности могат лесно да се повтарят.

факторна последователност. Лесно е да се досетите, че във формулата има факториел, който определя последователността. Например: и n = (n+1)!

Тогава последователността ще изглежда така:

и 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

и 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 и т.н.

Редица, дадена от аритметична прогресия, се нарича безкрайно намаляваща, ако неравенството -1 се спазва за всички нейни членове

и 3 \u003d - 1/8 и т.н.

Има дори последователност, състояща се от едно и също число. И така, и n \u003d 6 се състои от безкраен брой шестици.

Определяне на границата на последователност

Границите на последователността отдавна съществуват в математиката. Разбира се, те заслужават собствен компетентен дизайн. И така, време е да научите дефиницията на границите на последователността. Първо, разгледайте подробно ограничението за линейна функция:

1. Всички граници са съкратени като lim.
2. Записът за ограничение се състои от съкращението lim, някаква променлива, клоняща към определено число, нула или безкрайност, както и самата функция.

Лесно е да се разбере, че дефиницията на границата на редицата може да се формулира по следния начин: това е определено число, към което всички членове на редицата се приближават безкрайно. Прост пример: и x = 4x+1. Тогава самата последователност ще изглежда така.

5, 9, 13, 17, 21…x…

По този начин тази последователност ще нараства безкрайно, което означава, че нейната граница е равна на безкрайност при x→∞ и това трябва да се запише по следния начин:

Ако вземем подобна последователност, но x клони към 1, получаваме:

И поредицата от числа ще бъде следната: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 и т.н. Всеки път, когато трябва да замените числото все по-близко до единица (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). От тази серия може да се види, че границата на функцията е пет.

От тази част си струва да запомните каква е границата на числова последователност, определението и метода за решаване на прости задачи.

Обща нотация за границата на последователностите

След като анализирахме границата на числовата последователност, нейната дефиниция и примери, можем да преминем към по-сложна тема. Абсолютно всички граници на последователностите могат да бъдат формулирани с една формула, която обикновено се анализира през първия семестър.

И така, какво означава този набор от букви, модули и знаци за неравенство?

∀ е универсален квантификатор, заместващ изразите „за всички“, „за всичко“ и т.н.

∃ е квантор на съществуване, в този случай означава, че има някаква стойност N, принадлежаща на множеството от естествени числа.

Дълга вертикална пръчка след N означава, че даденото множество N е "такова, че". На практика може да означава "такъв, че", "такъв, че" и т.н.

За да консолидирате материала, прочетете формулата на глас.

Несигурност и сигурност на границата

Методът за намиране на границата на последователностите, който беше обсъден по-горе, въпреки че е лесен за използване, не е толкова рационален на практика. Опитайте се да намерите ограничението за тази функция:

Ако заместим различни стойности x (увеличаващи се всеки път: 10, 100, 1000 и т.н.), тогава получаваме ∞ в числителя, но също и ∞ в знаменателя. Оказва се доста странна фракция:

Но наистина ли е така? Изчисляването на границата на числовата последователност в този случай изглежда достатъчно лесно. Би било възможно да оставите всичко както е, защото отговорът е готов и е получен при разумни условия, но има друг начин специално за такива случаи.

Първо, нека намерим най-високата степен в числителя на дробта - това е 1, тъй като x може да бъде представено като x 1.

Сега нека намерим най-високата степен в знаменателя. Също така 1.

Разделете числителя и знаменателя на променливата в най-висока степен. В този случай разделяме дроба на x 1.

След това нека намерим към каква стойност клони всеки член, съдържащ променливата. В този случай се разглеждат дроби. Когато x→∞, стойността на всяка от дробите клони към нула. Когато правите писмена работа, струва си да направите следните бележки под линия:

Получава се следният израз:

Разбира се, дробите, съдържащи x, не са станали нули! Но тяхната стойност е толкова малка, че е напълно допустимо да не се вземе предвид при изчисленията. Всъщност х никога няма да бъде равно на 0 в този случай, защото не можете да делите на нула.

Какво е квартал?

Да приемем, че професорът има на разположение сложна последователност, зададена, очевидно, от не по-малко сложна формула. Професорът намери отговора, но пасва ли? В крайна сметка всички хора правят грешки.

Огюст Коши измисли страхотен начин да докаже границите на последователностите. Неговият метод се нарича операция по съседство.

Да предположим, че има някаква точка a, нейната околност в двете посоки на реалната права е равна на ε („епсилон“). Тъй като последната променлива е разстоянието, нейната стойност винаги е положителна.

Сега нека зададем някаква редица x n и да предположим, че десетият член на редицата (x 10) е включен в околността на a. Как да напиша този факт на математически език?

Да предположим, че x 10 е вдясно от точка a, тогава разстоянието x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Сега е време да обясним на практика формулата, спомената по-горе. Справедливо е определено число да се нарече крайна точка на последователност, ако неравенството ε>0 е в сила за която и да е от нейните граници и цялата околност има собствено естествено число N, така че всички членове на последователността с по-високи числа ще да бъде вътре в последователността |x n - a|< ε.

С такова знание е лесно да се решат границите на редица, да се докаже или отхвърли готов отговор.

Теореми

Теоремите за границите на последователностите са важен компонент на теорията, без който практиката е невъзможна. Има само четири основни теореми, запомняйки които, можете значително да улесните процеса на решаване или доказване:

1. Уникалност на границата на последователност. Всяка последователност може да има само едно ограничение или изобщо да няма. Същият пример с опашка, която може да има само един край.
2. Ако поредица от числа има ограничение, тогава последователността от тези числа е ограничена.
3. Границата на сумата (разликата, произведението) на последователностите е равна на сумата (разликата, произведението) на техните граници.
4. Частното ограничение на две последователности е равно на частното на границите тогава и само ако знаменателят не е равен на нула.

Доказателство за последователност

Понякога се изисква да се реши обратна задача, да се докаже дадена граница на числова редица. Нека разгледаме един пример.

Докажете, че границата на редицата, дадена от формулата, е равна на нула.

Съгласно горното правило, за всяка последователност неравенството |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Нека изразим n чрез "епсилон", за да покажем съществуването на определено число и да докажем съществуването на граница на последователност.

На този етап е важно да си припомним, че "epsilon" и "en" са положителни числа и не са равни на нула. Сега можете да продължите по-нататъшни трансформации, като използвате знанията за неравенствата, придобити в гимназията.

Откъдето излиза, че n > -3 + 1/ε. Тъй като си струва да запомните, че говорим за естествени числа, резултатът може да бъде закръглен, като го поставите в квадратни скоби. По този начин беше доказано, че за всяка стойност на околността „епсилон“ на точката a = 0 е намерена такава стойност, че първоначалното неравенство е изпълнено. От това можем спокойно да твърдим, че числото a е границата на дадената редица. Q.E.D.

С такъв удобен метод можете да докажете границата на числова редица, колкото и сложна да изглежда на пръв поглед. Основното нещо е да не се паникьосвате при вида на задачата.

Или може би той не съществува?

Съществуването на ограничение на последователността на практика не е необходимо. Лесно е да се намерят такива серии от числа, които наистина нямат край. Например, същият мигач x n = (-1) n. очевидно е, че последователност, състояща се само от две циклично повтарящи се цифри, не може да има ограничение.

Същата история се повтаря с последователности, състоящи се от едно число, дробно, имащо в хода на изчисленията несигурност от всякакъв ред (0/0, ∞/∞, ∞/0 и т.н.). Трябва обаче да се помни, че има и неправилно изчисление. Понякога повторната проверка на вашето собствено решение ще ви помогне да намерите лимита на приемственостите.

монотонна последователност

По-горе разгледахме няколко примера за последователности, методи за решаването им, а сега нека се опитаме да вземем по-конкретен случай и да го наречем "монотонна последователност".

Определение: справедливо е всяка последователност да се нарича монотонно нарастваща, ако тя удовлетворява строгото неравенство x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Наред с тези две условия съществуват и подобни нестроги неравенства. Съответно, x n ≤ x n +1 (ненамаляваща редица) и x n ≥ x n +1 (ненарастваща редица).

Но е по-лесно да разберете това с примери.

Последователността, дадена от формулата x n \u003d 2 + n, образува следната серия от числа: 4, 5, 6 и т.н. Това е монотонно нарастваща последователност.

И ако вземем x n \u003d 1 / n, тогава получаваме серия: 1/3, ¼, 1/5 и т.н. Това е монотонно намаляваща последователност.

Предел на конвергентна и ограничена последователност

Ограничена последователност е последователност, която има граница. Конвергентната последователност е поредица от числа, която има безкрайно малка граница.

По този начин границата на ограничена последователност е всяко реално или комплексно число. Не забравяйте, че може да има само едно ограничение.

Границата на конвергентна последователност е безкрайно малка величина (реална или комплексна). Ако начертаете диаграма на последователност, тогава в определена точка тя, така да се каже, ще се сближи, има тенденция да се превърне в определена стойност. Оттук и името - конвергентна последователност.

Граница на монотонна последователност

Такава последователност може или не може да има ограничение. Първо, полезно е да разберете кога е, от тук можете да започнете, когато доказвате липсата на лимит.

Сред монотонните последователности се разграничават конвергентни и дивергентни. Конвергентна - това е последователност, която се образува от множеството x и има реална или комплексна граница в това множество. Дивергентна - последователност, която няма ограничение в своето множество (нито реална, нито комплексна).

Освен това последователността се сближава, ако нейните горни и долни граници се събират в геометрично представяне.

Границата на конвергентна последователност може в много случаи да бъде равна на нула, тъй като всяка безкрайно малка последователност има известна граница (нула).

Която и конвергентна последователност да вземете, всички те са ограничени, но далеч не всички ограничени последователности се събират.

Сумата, разликата, произведението на две конвергентни редица също е конвергентна редица. Коефициентът обаче може също да се сближи, ако е дефиниран!

Различни действия с ограничения

Ограниченията на последователностите са със същата значима (в повечето случаи) стойност като числата и числата: 1, 2, 15, 24, 362 и т.н. Оказва се, че някои операции могат да се извършват с ограничения.

Първо, точно като цифрите и числата, границите на всяка последователност могат да се добавят и изваждат. Въз основа на третата теорема за границите на редицата е вярно следното равенство: границата на сбора от редицата е равна на сумата от техните граници.

Второ, въз основа на четвъртата теорема за границите на последователностите е вярно следното равенство: границата на произведението на n-тия брой последователности е равна на произведението на техните граници. Същото важи и за делението: границата на частното на две последователности е равна на частното на техните граници, при условие че границата не е равна на нула. В крайна сметка, ако границата на последователностите е равна на нула, тогава ще се получи разделяне на нула, което е невъзможно.

Свойства на стойността на последователността

Изглежда, че границата на числовата последователност вече е анализирана в някои подробности, но такива фрази като „безкрайно малки“ и „безкрайно големи“ числа се споменават повече от веднъж. Очевидно, ако има последователност 1/x, където x→∞, тогава такава фракция е безкрайно малка и ако същата последователност, но границата клони към нула (x→0), тогава фракцията става безкрайно голяма стойност . И такива стойности имат свои собствени характеристики. Свойствата на границата на последователност с произволни малки или големи стойности са както следва:

1. Сборът от произволен брой произволно малки количества също ще бъде малко количество.
2. Сумата от произволен брой големи стойности ще бъде безкрайно голяма стойност.
3. Продуктът на произволно малки количества е безкрайно малък.
4. Произведението на произволно големи числа е безкрайно голямо количество.
5. Ако оригиналната последователност клони към безкрайно число, тогава нейната реципрочна стойност ще бъде безкрайно малка и ще клони към нула.

Всъщност изчисляването на границата на последователност не е толкова трудна задача, ако знаете прост алгоритъм. Но границите на последователностите са тема, която изисква максимално внимание и постоянство. Разбира се, достатъчно е просто да разберете същността на решението на такива изрази. Започвайки с малко, с течение на времето можете да достигнете големи висоти.

Днес в урока ще анализираме строга последователности строга дефиниция на границата на функция, както и да се научат как да решават съответните задачи от теоретичен характер. Статията е предназначена предимно за студенти от първа година по природни науки и инженерни специалности, които са започнали да изучават теорията на математическия анализ и са срещнали трудности при разбирането на този раздел от висшата математика. Освен това материалът е доста достъпен за ученици от гимназията.

През годините на съществуване на сайта получих дузина неприятни писма с приблизително следното съдържание: „Не разбирам добре математическия анализ, какво да правя?“, „Изобщо не разбирам матан, аз“ мисля да напусна следването си” и т.н. Наистина матанът е този, който често разрежда студентската група още след първата сесия. Защо нещата са такива? Защото темата е немислимо сложна? Въобще не! Теорията на математическия анализ не е толкова трудна, колкото е особена. И трябва да я приемете и обичате такава, каквато е =)

Да започнем с най-трудния случай. Първо и най-важно, не напускайте училище. Разбери правилно, напусни, винаги ще има време ;-) Разбира се, ако след година-две от избраната специалност ще те разболее, тогава да - трябва да се замислиш (и не удряйте треската!)за промяна на дейностите. Но засега си струва да продължим. И, моля, забравете фразата „Нищо не разбирам“ - не се случва да не разбирате нищо.

Какво да направите, ако теорията е лоша? Между другото, това се отнася не само за математическия анализ. Ако теорията е лоша, тогава първо трябва СЕРИОЗНО да я приложите на практика. В същото време се решават две стратегически задачи наведнъж:

– Първо, значителна част от теоретичните знания са придобити чрез практиката. И толкова много хора разбират теорията чрез ... - точно така! Не, не, не си мислил за това.

- И, второ, практическите умения е много вероятно да ви „разтегнат“ на изпита, дори ако ..., но нека не се настройваме така! Всичко е истинско и всичко наистина се „вдига“ за сравнително кратко време. Математическият анализ е моята любима част от висшата математика и затова просто нямаше как да не ви подам ръка:

В началото на 1-ви семестър границите на последователността и функционалните граници обикновено преминават. Не разбирате какво е и не знаете как да ги разрешите? Започнете със статия Функционални граници, в който самото понятие се разглежда „на пръсти“ и се анализират най-простите примери. След това работете с други уроци по темата, включително урок за в рамките на последователности, за което всъщност вече съм формулирал строга дефиниция.

Какви икони освен знаците за неравенство и модула знаете?

- дълга вертикална пръчка се чете така: „такава“, „такава“, „такава“ или „такава“, в нашия случай, очевидно, говорим за число - следователно „такова“;

- за всички "en" по-големи от ;

– модулен знак означава разстояние, т.е. този запис ни казва, че разстоянието между стойностите е по-малко от епсилон.

Е, смъртоносно трудно ли е? =)

След усвояване на практиката ви очаквам в следния параграф:

Наистина, нека помислим малко - как да формулираме строга дефиниция на последователност? ... Първото нещо, което идва на ум в светлината практическо занятие: "границата на редицата е числото, до което членовете на редицата се приближават безкрайно."

Добре, нека пишем подпоследователност :

Лесно е да се разбере това подпоследователност приближават безкрайно близо до -1 и четни членове - към "единица".

Може би две граници? Но защо тогава една последователност не може да има десет или двадесет от тях? По този начин можете да стигнете далеч. В тази връзка е логично да се предположи, че ако последователността има ограничение, тогава тя е уникална.

Забележка : последователността няма ограничение, но две подпоследователности могат да бъдат разграничени от нея (виж по-горе), всяка от които има собствена граница.

Така горното определение се оказва несъстоятелно. Да, работи за случаи като (което не използвах съвсем правилно в опростени обяснения на практически примери), но сега трябва да намерим стриктна дефиниция.

Втори опит: „границата на една последователност е числото, до което се доближават ВСИЧКИ членове на последователността, с изключение може би на техните финалколичества." Това е по-близо до истината, но все още не е съвсем точно. Така например последователността половината от членовете изобщо не се доближават до нула - те просто са равни на нея =) Между другото, "мигащата светлина" обикновено приема две фиксирани стойности.

Формулировката не е трудна за изясняване, но тогава възниква друг въпрос: как да напишем определението в математически термини? Научният свят се бореше с този проблем дълго време, докато ситуацията не беше разрешена. прочут маестро, което по същество формализира класическия математически анализ в цялата му строгост. Коши предложи да оперира заобикалящата среда което значително напредна в теорията.

Помислете за някаква точка и нейната произволен- квартал:

Стойността на "epsilon" винаги е положителна и освен това, ние имаме право сами да си го изберем. Да приемем, че дадената околност съдържа набор от термини (не непременно всички)някаква последователност. Как да запиша факта, че например десетият срок се е паднал в квартала? Нека е от дясната му страна. Тогава разстоянието между точките и трябва да бъде по-малко от "епсилон": . Ако обаче "х десетата" се намира вляво от точка "а", тогава разликата ще бъде отрицателна и следователно знакът трябва да се добави към нея модул: .

Определение: числото се нарича граница на последователност, ако за всякаквиоколностите му (предварително избран)има естествено число - ТАКАВА, че ВСИЧКОчленовете на последователността с по-високи числа ще бъдат вътре в квартала:

Или по-кратко: ако

С други думи, без значение колко малка е стойността на "епсилон", която приемаме, рано или късно "безкрайната опашка" на последователността НАПЪЛНО ще бъде в този квартал.

Така например "безкрайната опашка" на последователността FULLY влиза във всяка произволно малка околност на точката. По този начин тази стойност е границата на последователността по дефиниция. Напомням ви, че се извиква редица, чиято граница е нула безкрайно малък.

Трябва да се отбележи, че за последователността вече не е възможно да се каже „безкрайна опашка ще дойде”- членове с нечетни числа всъщност са равни на нула и „не отиват никъде” =) Ето защо в дефиницията се използва глаголът „ще свърши”. И, разбира се, членовете на такава последователност също "не отиват никъде". Между другото, проверете дали броят ще бъде неговият лимит.

Нека сега покажем, че последователността няма ограничение. Помислете, например, за околност на точката. Съвсем ясно е, че няма такова число, след което ВСИЧКИ членове ще бъдат в този квартал - нечетните винаги ще "скачат" на "минус едно". По подобна причина в точката няма ограничение.

Фиксирайте материала с практика:

Пример 1

Докажете, че границата на редицата е нула. Посочете числото , след което всички членове на редицата гарантирано са във всяка произволно малка околност на точката .

Забележка : за много последователности желаното естествено число зависи от стойността - оттук и записът .

Решение: обмисли произволен ще има линомер - така че ВСИЧКИ членове с по-високи номера ще бъдат в този квартал:

За да покажем съществуването на търсеното число, ние изразяваме по отношение на.

Тъй като за всяка стойност "en", тогава знакът за модул може да бъде премахнат:

Използваме "училищни" действия с неравенства, които повторих в уроците Линейни неравенстваи Обхват на функцията. В този случай важно обстоятелство е, че "epsilon" и "en" са положителни:

Тъй като отляво говорим за естествени числа, а дясната страна обикновено е дробна, трябва да се закръгли:

Забележка : понякога се добавя единица отдясно за презастраховане, но всъщност това е прекаляване. Относително казано, ако също така отслабим резултата чрез закръгляване надолу, тогава най-близкото подходящо число („три“) все още ще отговаря на първоначалното неравенство.

И сега разглеждаме неравенството и си спомняме, че първоначално взехме предвид произволен-махала, т.е. "epsilon" може да бъде равно на всекиположително число.

Заключение: за всяка произволно малка околност на точката, стойността . По този начин числото е границата на последователност по дефиниция. Q.E.D.

Между другото, от резултата ясно се вижда естествен модел: колкото по-малък е -съседството, толкова по-голям е броят, след който ВСИЧКИ членове на последователността ще бъдат в този квартал. Но колкото и малък да е "ипсилонът", вътре винаги ще има "безкрайна опашка", а отвън - дори и да е голяма, обаче финалброй членове.

Как са впечатленията? =) Съгласен съм, че е странно. Но строго!Моля, прочетете отново и помислете отново.

Помислете за подобен пример и се запознайте с други техники:

Пример 2

Решение: по дефиницията на последователност е необходимо да се докаже това (Говори на глас!!!).

Обмисли произволен-околност на точката и проверката, съществува лиестествено число - такова, че за всички по-големи числа е в сила следното неравенство:

За да покажете съществуването на такъв, трябва да изразите "en" чрез "epsilon". Опростяваме израза под знака на модула:

Модулът унищожава знака минус:

Знаменателят е положителен за всеки "en", следователно пръчките могат да бъдат премахнати:

Разбъркване:

Сега трябва да вземем корен квадратен, но уловката е, че за някои "епсилони" дясната страна ще бъде отрицателна. За да избегнете тази неприятност да укрепиммодул на неравенство:

Защо може да се направи това? Ако, относително казано, се окаже, че , тогава условието ще бъде изпълнено още повече. Модулът може просто увеличететърсен номер , и това ще ни пасне! Грубо казано, ако стотната е подходяща, тогава две стотната ще свърши работа! Според дефиницията трябва да покажете самото съществуване на числото(поне някои), след което всички членове на последователността ще бъдат в -neighbourhood. Между другото, затова не се страхуваме от окончателното закръгляване на дясната страна нагоре.

Извличане на корена:

И закръглете резултата:

Заключение: защото стойността на "epsilon" е избрана произволно, тогава за всяка произволно малка околност на точката, стойността , така че неравенството . По този начин, по дефиниция. Q.E.D.

съветвам особеноразбират засилването и отслабването на неравенствата – това са типични и много разпространени методи на математическия анализ. Единственото нещо, което трябва да наблюдавате правилността на това или онова действие. Така например неравенството в никакъв случай разхлабвам, изваждане, да речем, едно:

Отново, условно: ако числото пасва точно, тогава предишното може вече да не пасва.

Следният пример е за самостоятелно решение:

Пример 3

Използвайки определението за редица, докажете това

Кратко решение и отговор в края на урока.

Ако последователността безкрайно страхотно, тогава дефиницията на границата се формулира по подобен начин: точка се нарича граница на последователност, ако за всяко, произволно големиима такова число, че за всички по-големи числа неравенството ще бъде изпълнено. Номерът се нарича околността на точката "плюс безкрайност":

С други думи, без значение колко голяма е стойността, която приемаме, „безкрайната опашка“ на последователността задължително ще отиде в околността на точката, оставяйки само краен брой членове отляво.

Работен пример:

И съкратено обозначение: ако

За случая напишете сами определението. Правилната версия е в края на урока.

След като сте "напълнили" ръката си с практически примери и сте измислили дефиницията на границата на последователност, можете да се обърнете към литературата по математически анализ и / или вашата тетрадка с лекции. Препоръчвам да изтеглите първия том на Бохан (по-лесно - за задочни студенти)и Фихтенголц (по-подробно и изчерпателно). От другите автори съветвам Пискунов, чийто курс е насочен към техническите университети.

Опитайте се да изучавате съвестно теоремите, които се отнасят до границата на редицата, техните доказателства, следствия. Първоначално теорията може да изглежда „мътна“, но това е нормално – просто трябва да свикнете. И мнозина дори ще опитат!

Строго дефиниране на лимита на функция

Да започнем със същото – как да формулираме това понятие? Словесната дефиниция на границата на функция се формулира много по-просто: „число е границата на функция, ако с „х“ клони към (и ляво и дясно), съответните стойности на функцията са склонни към » (виж чертежа). Всичко изглежда нормално, но думите са си думи, смисълът си е смисъл, иконата си е икона и строгото математическо означение не е достатъчно. И във втория параграф ще се запознаем с два подхода за решаване на този проблем.

Нека функцията е дефинирана на някакъв интервал, с изключение, вероятно, на точката . В образователната литература е общоприето, че функцията там недефиниран:

Този избор подчертава същността на лимита на функцията: "х" безкрайно близоподходи , а съответните стойности на функцията са безкрайно близода се . С други думи, концепцията за граница не предполага „точен подход“ към точките, а именно безкрайно близко приближение, няма значение дали функцията е дефинирана в точката или не.

Първата дефиниция на границата на функция, не е изненадващо, е формулирана с помощта на две последователности. Първо, понятията са свързани, и второ, границите на функциите обикновено се изучават след границите на последователностите.

Обмислете последователността точки (не е на чертежа)принадлежащ на интервала и различни от, който се сближавада се . Тогава съответните стойности на функцията също образуват числова последователност, членовете на която са разположени на оста y.

Граница на функцията на Хайне за всякаквиточкови последователности (принадлежащ на и различен от), която се свежда до точката, съответната последователност от стойности на функцията се сближава с .

Едуард Хайне е немски математик. ... И няма нужда да мислите подобно нещо, има само един гей в Европа - това е Гей-Люсак =)

Второто определение на лимита беше построено ... да, да, прав си. Но първо, нека да разгледаме неговия дизайн. Да разгледаме произволна околност на точката ("черен" квартал). Въз основа на предходния параграф, нотацията означава това някаква стойностфункция се намира вътре в "epsilon"-средата.

Сега нека намерим -съседство, което съответства на дадената -съседство (мислено нарисувайте черни пунктирани линии отляво надясно и след това отгоре надолу). Обърнете внимание, че стойността е избрана по дължината на по-малкия сегмент, в този случай по дължината на по-късия ляв сегмент. Нещо повече, "пурпурната" околност на точка може дори да бъде намалена, тъй като в следната дефиниция важен е самият факт на съществуванетози квартал. И по подобен начин записът означава, че някаква стойност е вътре в "делта" квартала.

Граница на Коши на функция: числото се нарича граница на функцията в точката if за всякакви предварително избраниквартал (произволно малък), съществува-околност на точката, ТАКАВАче: САМО КАТО стойности (притежаван)включени в тази област: (червени стрелки)- ТАКА ВЕДНАГА съответните стойности на функцията са гарантирани, че влизат в околността: (сини стрелки).

Трябва да ви предупредя, че за да бъда по-разбираем, импровизирах малко, така че не злоупотребявайте =)

Стенограма: ако

Каква е същността на определението? Образно казано, чрез безкрайно намаляване на -съседството, ние "придружаваме" стойностите на функцията до нейния предел, като не им оставяме алтернатива да се приближим някъде другаде. Доста необичайно, но отново строго! За да разберете правилната идея, прочетете отново формулировката.

! внимание: ако трябва да формулирате само определение според Хайнеили само Определение на Кошимоля, не забравяйте за значителнопредварителен коментар: "Разгледайте функция, която е дефинирана на някакъв интервал, с изключение на може би точка". Това го казах веднъж в самото начало и не го повтарях всеки път.

Според съответната теорема на математическия анализ дефинициите на Хайне и Коши са еквивалентни, но вторият вариант е най-известен (все пак бих!), което също се нарича "граница на езика":

Пример 4

Използвайки определението за граница, докажете това

Решение: функцията е дефинирана на цялата числова ос с изключение на точката . Използвайки дефиницията на , доказваме съществуването на граница в дадена точка.

Забележка : големината на квартала "делта" зависи от "епсилона", оттук и обозначението

Обмисли произволен- квартал. Задачата е да използвате тази стойност, за да проверите дали съществува ли- квартал, ТАКАВА, което от неравенството следва неравенството .

Приемайки, че , трансформираме последното неравенство:
(разложи квадратния трином)

Тук разглеждаме дефиницията на крайната граница на последователност. Случаят на редица, сходна към безкрайност, е разгледан на страницата "Определение на безкрайно голяма редица".

Определение .
( x n ), ако за всяко положително число ε > 0 съществува естествено число N ε, което зависи от ε, така че за всички естествени числа n > N ε неравенството
| x n - a|< ε .
Границата на последователност се обозначава по следния начин:
.
Или при .

Нека трансформираме неравенството:
;
;
.

Отворен интервал (a - ε, a + ε ) се нарича ε - околност на точка а.

Извиква се последователност, която има граница конвергентна последователност. Също така се казва, че последователността се сближавакъм а. Извиква се последователност, която няма ограничение разнопосочни.

От дефиницията следва, че ако редицата има граница a , че без значение каква ε - околност на точката a изберем, само краен брой елементи на редицата или изобщо нито един (празното множество) не може да бъде извън от него. И всяка ε - околност съдържа безкраен брой елементи. Наистина, като зададем определено число ε , по този начин имаме число . Така че всички елементи на редицата с числа , по дефиниция, са в ε - околността на точката a . Първите елементи могат да бъдат навсякъде. Тоест извън ε - околността не може да има повече от елементи - тоест краен брой.

Също така отбелязваме, че разликата не трябва монотонно да клони към нула, тоест да намалява през цялото време. Тя може да клони към нула не монотонно: може или да нараства, или да намалява, като има локални максимуми. Въпреки това, тези максимуми, с увеличаване на n, трябва да клонят към нула (може би също не монотонно).

Използвайки логическите символи на съществуване и универсалност, дефиницията на границата може да се напише по следния начин:
(1) .

Определяне, че a не е граница

Сега разгледайте обратното твърдение, че числото a не е границата на редицата.

Номер а не е границата на последователността, ако съществува такова, че за всяко естествено n съществува такова естествено m >n, Какво
.

Нека напишем това твърдение с помощта на логически символи.
(2) .

Твърдението, че числото a не е границата на редицата, означава, че
можете да изберете такава ε - околност на точката a, извън която ще има безкраен брой елементи от редицата.

Помислете за пример. Нека е дадена редица с общ елемент
(3)
Всяка околност на точка съдържа безкраен брой елементи. Тази точка обаче не е границата на последователността, тъй като всяка околност на точката също съдържа безкраен брой елементи. Вземете ε - околност на точка с ε = 1 . Това ще бъде интервалът (-1, +1) . Всички елементи с изключение на първия с четно n принадлежат на този интервал. Но всички елементи с нечетно n са извън този интервал, защото удовлетворяват неравенството x n > 2 . Тъй като броят на нечетните елементи е безкраен, ще има безкраен брой елементи извън избрания квартал. Следователно точката не е границата на последователността.

Нека сега покажем това, като стриктно се придържаме към твърдение (2). Точката не е границата на редицата (3), тъй като съществува такова , така че за всяко естествено n има нечетно n, за което неравенството
.

Може също да се покаже, че всяка точка a не може да бъде граница на тази последователност. Винаги можем да изберем ε - околност на точка a, която не съдържа нито точка 0, нито точка 2. И тогава ще има безкраен брой елементи от редицата извън избраната околност.

Еквивалентно определение

Можем да дадем еквивалентна дефиниция на границата на последователност, ако разширим понятието ε - околност. Ще получим еквивалентно определение, ако вместо ε-околност в него се появи произволна околност на точката a.

Определяне на околността на точка
Околност на точка аВсеки отворен интервал, съдържащ тази точка, се нарича. Математически околността се определя по следния начин: , където ε 1 и ε 2 са произволни положителни числа.

Тогава дефиницията на границата ще бъде както следва.

Еквивалентна дефиниция на границата на последователността
Числото a се нарича граница на редицата, ако за някоя от неговите околности съществува естествено число N, такова че всички елементи на редицата с числа принадлежат на тази околност.

Това определение може да се представи и в разширен вид.

Числото a се нарича граница на редицата, ако за всякакви положителни числа и съществува естествено число N, зависимо от и такова, че неравенствата са валидни за всички естествени числа
.

Доказателство за еквивалентността на определенията

Нека докажем, че горните две дефиниции на границата на редица са еквивалентни.

Нека числото a е границата на редицата според първата дефиниция. Това означава, че има функция , така че за всяко положително число ε са валидни следните неравенства:
(4) при .

Нека покажем, че числото a е границата на редицата и по второто определение. Тоест трябва да покажем, че има такава функция , така че за всякакви положителни числа ε 1 и ε 2 важат следните неравенства:
(5) при .

Нека имаме две положителни числа: ε 1 и ε 2 . И нека ε е най-малкото от тях: . Тогава ; ; . Използваме това в (5):
.
Но неравенствата важат за . Тогава неравенствата (5) важат и за .

Тоест намерихме функция, такава че неравенствата (5) са валидни за всякакви положителни числа ε 1 и ε 2 .
Първата част е доказана.

Сега нека числото a е границата на редицата според втората дефиниция. Това означава, че има функция , така че за всякакви положителни числа ε 1 и ε 2 важат следните неравенства:
(5) при .

Нека покажем, че числото a е границата на редицата и по първото определение. За това трябва да поставите. Тогава за , важат следните неравенства:
.
Това съответства на първото определение с .
Еквивалентността на дефинициите е доказана.

Примери

Тук разглеждаме няколко примера, в които се изисква да се докаже, че дадено число a е границата на редица. В този случай е необходимо да се зададе произволно положително число ε и да се определи функция N от ε така, че неравенството да е изпълнено за всички.

Пример 1

Докажи това .

(1) .
В нашия случай;
.

.
Нека използваме свойствата на неравенствата. Тогава ако и , тогава
.

.
Тогава
при .
Това означава, че числото е границата на дадената последователност:
.

Пример 2

Използвайки дефиницията на границата на редица, докажете това
.

Записваме дефиницията на границата на последователност:
(1) .
В нашия случай, ;
.

Въвеждаме положителни числа и:
.
Нека използваме свойствата на неравенствата. Тогава ако и , тогава
.

Тоест, за всяко положително можем да вземем всяко естествено число, по-голямо или равно на:
.
Тогава
при .
.

Пример 3

.

Въвеждаме обозначението , .
Нека трансформираме разликата:
.
За естествени n = 1, 2, 3, ... ние имаме:
.

Записваме дефиницията на границата на последователност:
(1) .
Въвеждаме положителни числа и:
.
Тогава ако и , тогава
.

Тоест, за всяко положително можем да вземем всяко естествено число, по-голямо или равно на:
.
При което
при .
Това означава, че числото е границата на последователността:
.

Пример 4

Използвайки дефиницията на границата на редица, докажете това
.

Записваме дефиницията на границата на последователност:
(1) .
В нашия случай, ;
.

Въвеждаме положителни числа и:
.
Тогава ако и , тогава
.

Тоест, за всяко положително можем да вземем всяко естествено число, по-голямо или равно на:
.
Тогава
при .
Това означава, че числото е границата на последователността:
.

Препратки:
Л.Д. Кудрявцев. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 2003 г.
СМ. Николски. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 1983 г.