Как да намерите обема на конус. Намерете обема на правилна пирамида

Обемът на конус се изразява със същата формула като обема на пирамида: V = 1/3 S ч,

където V е обемът на конуса, S е площта на основата на конуса, ч- неговото високо.

Накрая V = 1 / 3 πR 2 ч, където R е радиусът на основата на конуса.

Получаването на формулата за обема на конус може да се обясни със следното разсъждение:

Нека се даде конус (ориз). Нека впишем в нея правилна пирамида, т.е. ще построим такава пирамида вътре в конуса, чийто връх съвпада с върха на конуса, а основата е правилен многоъгълниквписан в основата на конуса.

Обемът на тази пирамида се изразява по формулата: V’ = 1/3 S’ ч, където V е обемът на пирамидата,

S' е площта на нейната основа, че височината на пирамидата.

Ако в същото време вземем многоъгълник с много Голям бройстрани, тогава площта на основата на пирамидата ще се различава много малко от площта на кръга, а обемът на пирамидата ще се различава много малко от обема на конуса. Ако пренебрегнем тези разлики в размера, тогава обемът на конуса се изразява със следната формула:

V=1/3S ч, където V е обемът на конуса, S е площта на основата на конуса, че височината на конуса.

Заменяйки S с πR 2, където R е радиусът на окръжността, получаваме формулата: V = 1 / 3 πR 2 чизразяващи обема на конуса.

Забележка.Във формулата V = 1/3 S чбеше поставен знакът за точно, а не приблизително равенство, въпреки че на базата на направените разсъждения бихме могли да го считаме за приблизително, но в гимназията гимназиядоказано е, че равенството

V=1/3S чточно, не приблизително.

Обем на произволен конус

Теорема. Обемът на произволен конус е равен на една трета от произведението на площта на основата и височината, тези.

V = 1/3 QH, (1)

където Q е площта на основата и H е височината на конуса.

Да разгледаме конус с връх S и основа Ф (фиг.).

Нека площта на основата Ф е равна на Q, а височината на конуса е равна на H. Тогава има последователности от многоъгълници Ф ни F' нс области Q ни Q' нтакова, че

Е н⊂ Ф н⊂ F' ни \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' н= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q н= Q.

Очевидно е, че пирамидата с връх S и основа Ф' нще бъде вписана в този конус, а пирамидата с връх S и основа Ф н- описан близо до конуса.

Обемите на тези пирамиди са съответно равни

V н= 1/3 Q н H, V' н= 1/3 Q' нз

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) V н= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) V' н= 1/3 QH

то формула (1) е доказана.

Последица. Обемът на конус, чиято основа е елипса с полуоси a и b, се изчислява по формулата

V = 1/3 аб H(2)

По-специално, обем на конус, чиято основа е окръжност с радиус R, изчислено по формулата

V = 1 / 3 π R 2 H (3)

където H е височината на конуса.

Както знаете, площта на елипса с полуоси аи bе равно на π аб, и следователно формула (2) се получава от (1) за Q = π аб. Ако a = b= R, тогава се получава формула (3).

Обем на прав кръгов конус

Теорема 1. Обемът на прав кръгъл конус с височина H и радиус на основата R се изчислява по формулата

V = 1/3 π R 2 H

Този конус може да се разглежда като тяло, получено чрез въртене на триъгълник с върхове в точките O(0; 0), B(H; 0), A(H; R) около оста о(ориз.).

Триъгълник OAB е криволинеен трапецсъответстващ на функцията

y=R/H х, х∈ . Следователно, използвайки известна формула, получаваме

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R)(H)x)^2dx=\\=\frac(\pi R^2)(H^2)\cdot\frac (x^3)(3)\left|\begin(array)(c)H\\\\ 0\end(array)\right.=\\=\frac(1)(3)\pi R^2H $$

Последица. Обемът на прав кръгъл конус е равен на една трета от произведението на площта на основата и височината, т.е.

където Q - базова площи H - височина на конуса.

Теорема 2. Обемът на пресечен конус с радиуси на основата r и R и височина H се изчислява по формулата

V = 1 / 3 πH( r 2+R2+ r R).

Пресечен конус може да се получи чрез въртене около ос отрапец O ABC (фиг.).

Правата AB минава през точките (0; r) и (H; R), така че има уравнението

$$ y=\frac(R-r)(H)x + r $$

получаваме

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R-r)(H)x + r)^2dx $$

За да изчислим интеграла, правим промяната

$$ u=\frac(R-r)(H)x + r, du=\frac(R-r)(H)dx $$

Очевидно кога хварира от 0 до H, променлива ипромени от rдо R и така

$$ V=\pi\int_(r)^(R)u^2\frac(H)(R-r)du=\\=\frac(\pi H)(R-r)\cdot\frac(u^3) (3)\left|\begin(array)(c)R\\\\r\end(array)\right.=\\=\frac(\pi H)(3(R-r))(R^3- r^3)=\\=\frac(1)(3)\pi H(R^2 + r^2 + Rr) $$

Сфера с обем 8π е вписана в куб. Намерете обема на куба.

Решение

Нека a е страната на куба. Тогава обемът на куба е V = a 3 .

Тъй като топката е вписана в куб, радиусът на топката е равен на половината от ръба на куба, т.е. R = a/2 (виж фиг.).

Обемът на топката е V w \u003d (4/3)πR 3 и е равен на 8π, следователно

(4/3)πR 3 = 8π,

А обемът на куба е V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.

Задача B9 ( Типични опции 2015)

Обемът на конуса е 32. През средата на височината е начертано сечение, успоредно на основата на конуса, което е основа на по-малък конус със същия връх. Намерете обема на по-малкия конус.

Решение

Помислете за задачите:

72353. Обемът на конус е 10. През средата на височината е начертано сечение, успоредно на основата на конуса, което е основа на по-малък конус със същия връх. Намерете обема на по-малкия конус.

Веднага отбелязваме, че оригиналният и пресеченият конус са сходни и ако разгледаме пресечения конус спрямо оригинала, тогава можем да кажем следното: по-малкият конус е подобен на по-големия с коефициент, равен на една секунда или 0,5. Можем да напишем:

Може да се напише:

Можете да си помислите така!

Помислете за оригиналния конус по отношение на изрязания. Можем да кажем, че по-голям конус е подобен на изрязан с коефициент две, пишем:

Сега вижте решението, без да използвате свойствата за подобие.

Обемът на конус е равен на една трета от произведението на площта на основата му и височината му:

Помислете за странична проекция (страничен изглед) с посочения разрез:

Нека радиусът на по-големия конус е R, височината е H. Сечението (основата на по-малкия конус) минава през средата на височината, така че височината му ще бъде равна на H / 2. А радиусът на основата е R / 2, това следва от сходството на триъгълниците.

Нека запишем обема на оригиналния конус:

Обемът на отрязания конус ще бъде равен на:

Така подробни решенияпредставени, за да можете да видите как можете да изградите разсъждения. Действайте по всякакъв начин - основното е да разберете същността на решението. Нека пътят, който избирате, не е рационален, важен е резултатът (правилният резултат).

Отговор: 1,25

318145. В съд с форма на конус нивото на течността достига половината от височината. Обемът на течността е 70 мл. Колко милилитра течност трябва да се добавят, за да се напълни напълно съдът?

Тази задача е подобна на предишната. Въпреки че тук говорим за течност, принципът на решението е същият.

Имаме два конуса - това е самият съд и "малкият" конус (пълен с течност), те са подобни. Известно е, че обемите на подобни тела са свързани по следния начин:

Оригиналният конус (съд) е подобен на конус, пълен с течност с коефициент, равен на 2, тъй като се казва, че нивото на течността достига половината от височината. Можете да напишете по-подробно:

Изчисляваме:

Следователно трябва да добавите:

Други задачи с течности.

74257. Намерете обема V на конус, чиято образуваща е 44 и е наклонена към равнината на основата под ъгъл 30 0 . Дайте своя отговор V/Pi.

Обем на конуса:

Намираме височината на конуса по свойството правоъгълен триъгълник.

Кратът срещу ъгъла от 30° е равен на половината от хипотенузата. хипотенуза, в този случай, е образуваща на конуса. Следователно височината на конуса е 22.

Намираме квадрата на радиуса на основата с помощта на Питагоровата теорема:

*Нуждаем се от квадрата на радиуса, а не от самия радиус.

Геометрията не е лесна наука, но полезна. Всички ние в училище преминахме през изчисляването на обемите на триизмерни тела, но не всеки помни добре формулите за тези изчисления. Тази статия ще ви помогне да освежите знанията си как да намерите обема на конус. Тази триизмерна фигура е образувана от кръгово въртене на правоъгълен триъгълник. Можете да изчислите обема му различни начини, в зависимост от това какви изходни данни притежавате.

Инструкция:

• В повечето случаи за изчислението се използват радиусът на основния кръг и височината. Формулата за обема на конус в този случай е: V= πRh, където π=3,14, Ре радиусът на основата, ч- височината на фигурата. Просто казано, с тази формула изчисляваме площта на основата и я умножаваме по височината. Въпреки това, изчисляването на обема на конус може да приеме различна форма, ако знаете други параметри на вашата фигура.
• Ако знаете дължината на страната на конуса и радиуса на основата, за да намерите обема на фигурата, трябва да разберете каква е нейната височина. Това ще ни помогне Питагорова теорема , тъй като радиусът на основата в този случай е кракправоъгълен триъгълник и съответно страната, хипотенуза. За да намерим дължината на втория катет, който е височината на конуса, използваме добре познатата формула a^2+b^2=c^2 .
• Но как да намерим обема на конус, ако не са известни нито дължината на страничната страна, нито радиусът на основата? В този случай трябва да знаете степен на ъгъл на върха на конуса и неговата височина. С тази информация можете да изчислите радиуса на основата. Не забравяйте, че конусът е фигура, образувана от въртенето на правоъгълен триъгълник около един от краката му. Ако ъгълът в горната част е разделен на две, получавате степен една от две остри ъглитози триъгълник. Използване на дефиниции тригонометрични функции, можем да намерим дължината на страната срещу този ъгъл, тоест, в нашия случай, радиуса на основата. В този случай тя ще бъде равна l*sin(α), където л- дължината от върха на конуса до основата, съответно височината ще бъде равна на l*cos(α), като използваме тези стойности, извеждаме следната формула за радиуса на основата R= h/cos(α)*sin(α)или, еквивалентно, R = h*tg(α).

Телата на въртене, изучавани в училище, са цилиндър, конус и топка.

Ако в USE задача по математика трябва да изчислите обема на конус или площта на сфера, считайте се за късметлия.

Приложете формули за обем и повърхност на цилиндър, конус и сфера. Всички те са в нашата маса. Научавам наизуст. Тук започват знанията за стереометрията.

Понякога е добре да нарисувате изглед отгоре. Или, както в този проблем, отдолу.

2. Колко пъти обемът на конус, описан близо до правилния четириъгълна пирамида, по-голям от обема на конуса, вписан в тази пирамида?

Всичко е просто - рисуваме изглед отдолу. Виждаме, че радиусът на по-голямата окръжност е няколко пъти по-голям от радиуса на по-малката. Височините на двата конуса са еднакви. Следователно обемът на по-големия конус ще бъде два пъти по-голям.

Друг важен момент. Не забравяйте, че в задачите от част Б ИЗПОЛЗВАЙТЕ опциив математиката отговорът се записва като цяло число или крайно число десетична дроб. Следователно не трябва да имате или във вашия отговор в част Б. Подмяната на приблизителната стойност на числото също не е необходима! Трябва да се намали! Именно за това в някои задачи задачата се формулира, например, както следва: „Намерете площта на страничната повърхност на цилиндъра, разделена на“.

И къде другаде се използват формулите за обема и повърхността на телата на революция? Разбира се, в задача C2 (16). Ние също ще ви разкажем за това.

Геометрията като наука се формира през Древен Египети достигна високо ниворазвитие. Известният философ Платон основава Академията, където внимателно вниманиебеше даден на систематизирането на съществуващите знания. Конусът като една от геометричните фигури се споменава за първи път в известния трактат на Евклид "Начала". Евклид е бил запознат с произведенията на Платон. Сега малко хора знаят, че думата "конус" е преведена от Гръцкиозначава "борова шишарка". Гръцкият математик Евклид, живял в Александрия, с право се смята за основател на геометрична алгебра. Древните гърци не само стават приемници на знанията на египтяните, но и значително разширяват теорията.

История на определението за конус

Геометрията като наука възниква от практическите изисквания за изграждане и наблюдение на природата. Постепенно експерименталните знания се обобщават и свойствата на едни тела се доказват чрез други. Древните гърци въвеждат концепцията за аксиоми и доказателства. Аксиомата е твърдение, получено по практически начин и не изисква доказателство.

В книгата си Евклид дава дефиницията на конус като фигура, която се получава чрез въртене на правоъгълен триъгълник около един от краката. Той също така притежава основната теорема, която определя обема на конуса. И древногръцкият математик Евдокс от Книд доказва тази теорема.

Още един математик древна Гърция, Аполоний от Перга, който е ученик на Евклид, развива и излага теорията на коничните повърхности в своите книги. Той притежава определението конична повърхности секанс към нея. Учениците от наши дни изучават евклидовата геометрия, която е запазила основните теореми и определения от древни времена.

Основни определения

Прав кръгъл конус се образува от въртенето на правоъгълен триъгълник около един катет. Както можете да видите, концепцията за конус не се е променила от времето на Евклид.

Хипотенузата AS на правоъгълен триъгълник AOS при въртене около катета OS се образува странична повърхностна конус и затова се нарича образуваща. Кракът OS на триъгълника се превръща едновременно във височината на конуса и неговата ос. Точка S става върха на конуса. Кракът AO, описал окръжността (основата), се превърна в радиуса на конуса.

Ако начертаем равнина отгоре през върха и оста на конуса, можем да видим, че полученото аксиално сечение е равнобедрен триъгълник, в която оста е височината на триъгълника.

където ° С- обиколка на основата, ле дължината на образуващата на конуса, Ре радиусът на основата.

Формулата за изчисляване на обема на конус

Следната формула се използва за изчисляване на обема на конус:

където S е площта на основата на конуса. Тъй като основата е кръг, неговата площ се изчислява, както следва:

Това предполага:

където V е обемът на конуса;

n е число, равно на 3,14;

R е радиусът на основата, съответстващ на сегмента AO на фигура 1;

H е височината, равна на сегмента OS.

Пресечен конус, обем

Има прав кръгъл конус. Ако с равнина, перпендикулярна на височината, отрежете Горна част, получавате пресечен конус. Двете му основи имат формата на кръг с радиуси R 1 и R 2 .

Ако правият конус се образува от въртенето на правоъгълен триъгълник, тогава пресеченият конус се образува от въртенето на правоъгълен трапец около правата страна.

Обемът на пресечен конус се изчислява по следната формула:

V \u003d n * (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2) * H / 3.

Конус и неговото сечение с равнина

Перу на древногръцкия математик Аполоний от Перга принадлежи към теоретичната работа "Конични сечения". Благодарение на работата му в геометрията се появиха определения за криви: парабола, елипса, хипербола. Помислете, и тук е конусът.

Вземете правилен кръгъл конус. Ако равнината я пресича перпендикулярно на оста, тогава в сечението се образува кръг. Когато секансът пресича конуса под ъгъл спрямо оста, тогава в сечението се получава елипса.

Секущата, перпендикулярна на основата и успоредна на оста на конуса, образува хипербола върху повърхността. Равнина, пресичаща конуса под ъгъл към основата и успоредна на допирателната към конуса, създава крива на повърхността, която се нарича парабола.

Решението на проблема

Дори проста задачакак да направите кофа с определен обем изисква знания. Например, трябва да изчислите размерите на една кофа, така че да има обем от 10 литра.

V \u003d 10 l \u003d 10 dm 3;

Развитието на конуса има формата, показана схематично на фигура 3.

L - образуваща на конуса.

За да разберете повърхността на кофа, която се изчислява по следната формула:

S \u003d n * (R 1 + R 2) * L,

необходимо е да се изчисли образуващата. Намираме го от стойността на обема V \u003d n * (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2) * H / 3.

Следователно H=3V/n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2).

Пресечен конус се образува чрез въртене на правоъгълен трапец, в който страничната страна е образуващата на конуса.

L 2 \u003d (R 2- R 1) 2 + H 2.

Сега имаме всички данни за изграждане на чертежа на кофата.

Защо пожарните кофи имат форма на конус?

Кой се чудеше защо пожарните кофи имат привидно странна конична форма? И не е само това. Оказва се, че при гасене на пожар коничната кофа има много предимства пред конвенционалната, пресечен конус.

Първо, както се оказва, пожарната кофа се пълни с вода по-бързо и не се разлива при носене. Конус, по-голям от обикновена кофа, ви позволява да носите повече вода наведнъж.

Второ, водата от него може да бъде изхвърлена на по-голямо разстояние, отколкото от конвенционална кофа.

Трето, ако коничната кофа падне от ръцете и падне в огъня, тогава цялата вода се излива върху огъня.

Всички горепосочени фактори спестяват време - основен факторпри гасене на пожар.

Практическа употреба

Учениците често имат въпроса защо да преподават, как да изчислят обема на различни геометрични тела, включително конуси.

И инженерите-конструктори постоянно се сблъскват с необходимостта да изчислят обема на коничните части на частите на механизма. Това са върховете на бормашини, части от стругови и фрезови машини. Формата на конуса ще позволи на свредлата лесно да влязат в материала, без да е необходимо първоначално намазване със специален инструмент.

Обемът на конуса има купчина пясък или пръст, изсипана върху земята. Ако е необходимо, като направите прости измервания, можете да изчислите неговия обем. За някои въпросът как да разберете радиуса и височината на купчина пясък ще предизвика трудности. Въоръжени с рулетка, измерваме обиколката на могилата C. Използвайки формулата R \u003d C / 2n, намираме радиуса. Хвърляйки въже (рулетка) отгоре, намираме дължината на генератора. И да се изчисли височината с помощта на Питагоровата теорема и обем не е трудно. Разбира се, такова изчисление е приблизително, но ви позволява да определите дали не сте били измамени, като донесете тон пясък вместо куб.

Някои сгради имат формата на пресечен конус. Например, телевизионната кула в Останкино се доближава до формата на конус. Може да се представи като състоящ се от два конуса, поставени един върху друг. Куполите на древните замъци и катедрали са конус, чийто обем древните архитекти са изчислили с удивителна точност.

Ако се вгледате внимателно в околните предмети, много от тях са конуси:

• фунии за изливане на течности;
• клаксон-високоговорител;
• конуси за паркиране;
• абажур за подова лампа;
• обичайното коледно дърво;
• духови музикални инструменти.

Както се вижда от горните примери, способността за изчисляване на обема на конус, неговата повърхност е необходима в професионалните и Ежедневието. Надяваме се, че тази статия ще ви помогне.