Как да намерите модула на импулса. Закон за запазване на импулса, кинетична и потенциална енергия, мощност на силата

Импулсът на тялото е векторна физична величина, която е равна на произведението от скоростта на тялото и неговата маса. Също така, импулсът на тялото има второ име - количеството на движение. Посоката на импулса на тялото съвпада с посоката на вектора на скоростта. Импулсът на тялото в системата SI няма собствена мерна единица. Следователно, той се измерва в единици, включени в неговия състав, е килограм метър в секунда kgm / s.

Формула 1 - Импулс на тялото.

m - телесно тегло.

v е скоростта на тялото.

Инерцията на тялото всъщност е нова интерпретация на втория закон на Нютон. В който просто разложиха ускорението. В този случай стойността Ft се нарича импулс на силата, а mv импулс на тялото.

Импулсът на силата е физична величина с векторен характер, която определя степента на действие на силата за период от време, през който тя действа.

Формула 2 - втори закон на Нютон, импулс на тяло.

m - телесно тегло.

v1 - начална скорост на тялото.

v2 - крайна скорост на тялото.

а - ускорение на тялото.

p е импулсът на тялото.

t1 - начален час

t2 - крайно време.

Това беше направено, за да могат да се изчисляват задачите, свързани с движението на тела с променлива маса и със скорости, сравними със скоростта на светлината.

Новата интерпретация на втория закон на Нютон трябва да се разбира по следния начин. В резултат на действието на сила F за време t върху тяло с маса m, неговата скорост ще стане равна на V.

В затворена система големината на импулса е постоянна, така звучи законът за запазване на импулса. Спомнете си, че затворена система е система, върху която не действат външни сили. Пример за такава система са две различни топки, движещи се една към друга по праволинейна траектория с еднаква скорост. Топките са с еднакъв диаметър. При движение няма сили на триене. Тъй като топките са направени от различни материали, те имат различни маси. Но в същото време материалът осигурява абсолютна еластичност на телата.

В резултат на сблъсъка на топките по-леката ще отскочи с по-голяма скорост. И по-тежкият ще се търкаля по-бавно. Тъй като импулсът на тялото, съобщен от по-тежка топка на по-лека, е по-голям от импулса, даден от лека топка на тежка.

Фигура 1 - Закон за запазване на импулса.

Благодарение на закона за запазване на импулса е възможно да се опише реактивно движение. За разлика от други видове движение, реактивното движение не изисква взаимодействие с други тела. Например, кола се движи поради силата на триене, което допринася за нейното отблъскване от повърхността на земята. При струйно движение не възниква взаимодействие с други тела. Причината за него е отделянето от тялото на част от неговата маса с определена скорост. Тоест част от горивото се отделя от двигателя под формата на разширяващи се газове, докато се движат с голяма скорост. Съответно, самият двигател в същото време придобива определен импулс, който му казва скоростта.

Често във физиката се говори за импулса на тялото, което означава количеството на движение. Всъщност това понятие е тясно свързано със съвсем различно количество - със сила. Импулсът на силата - какво е това, как се въвежда във физиката и какво е значението му: всички тези въпроси са разгледани подробно в статията.

Брой движения

Импулсът на тялото и импулсът на силата са две взаимосвързани величини, освен това на практика означават едно и също нещо. Първо, нека разгледаме концепцията за импулса.

Количеството движение като физическа величина се появява за първи път в научните трудове на съвременните учени, по-специално през 17 век. Тук е важно да се отбележат две фигури: Галилео Галилей, известният италианец, който нарече обсъжданата величина impeto (импулс), и Исак Нютон, великият англичанин, който освен величината на motus (движение), използва също концепцията за vis motrix (движеща сила).

И така, горепосочените учени разбират произведението от масата на обекта и скоростта на неговото линейно движение в пространството като количество движение. Това определение на езика на математиката е написано по следния начин:

Имайте предвид, че говорим за векторна стойност (p¯), насочена по посока на движението на тялото, която е пропорционална на модула на скоростта, а масата на тялото играе ролята на коефициент на пропорционалност.

Връзка между импулса на силата и промяната на p¯

Както бе споменато по-горе, в допълнение към импулса, Нютон въвежда и понятието движеща сила. Той определи това по следния начин:

Това е познатият закон за появата на ускорение a¯ върху тяло в резултат на някаква външна сила F¯, действаща върху него. Тази важна формула ни позволява да изведем закона за импулса на силата. Обърнете внимание, че a¯ е времевата производна на скоростта (скоростта на промяна на v¯), което означава:

F¯ = m*dv¯/dt или F¯*dt = m*dv¯ =>

F¯*dt = dp¯, където dp¯ = m*dv¯

Първата формула във втория ред е импулсът на силата, тоест стойността, равна на произведението на силата и интервала от време, през който тя действа върху тялото. Измерва се в нютони в секунда.

Анализ на формулата

Изразът за импулса на силата в предходния параграф също разкрива физическия смисъл на това количество: той показва колко се променя количеството на движение за период от време dt. Имайте предвид, че тази промяна (dp¯) е напълно независима от общия импулс на тялото. Импулсът на силата е причина за промяна на импулса, което може да доведе както до увеличаване на последния (когато ъгълът между силата F¯ и скоростта v¯ е по-малък от 90 o), така и до неговото намаляване (ъгълът между F¯ и v¯ е по-голямо от 90 o).

От анализа на формулата следва важен извод: единиците за измерване на импулса на силата са същите като тези за p¯ (нютон за секунда и килограм за метър за секунда), освен това първата стойност е равна на промяната във втория, следователно, вместо импулса на силата, често се използва фразата "импулс на тялото", въпреки че е по-правилно да се каже "промяна в импулса".

Сили, които зависят и не зависят от времето

По-горе законът за импулса на силата беше представен в диференциална форма. За да се изчисли стойността на това количество, е необходимо да се извърши интегриране за времето на действие. Тогава получаваме формулата:

∫ t1 t2 F¯(t)*dt = Δp¯

Тук силата F¯(t) действа върху тялото за време Δt = t2-t1, което води до промяна на импулса с Δp¯. Както можете да видите, импулсът на сила е величина, определена от сила, която зависи от времето.

Сега нека разгледаме по-проста ситуация, която се реализира в редица експериментални случаи: приемаме, че силата не зависи от времето, тогава можем лесно да вземем интеграла и да получим проста формула:

F¯*∫ t1 t2 dt = Δp¯ ​​​​=> F¯*(t2-t1) = Δp¯

При решаване на реални задачи за промяна на импулса, въпреки факта, че силата обикновено зависи от времето на действие, тя се приема за постоянна и се изчислява някаква ефективна средна стойност F¯.

Примери за проявление на практика на импулс на сила

Каква роля играе тази стойност е най-лесно да се разбере с конкретни примери от практиката. Преди да ги дадем, изписваме още веднъж съответната формула:

Обърнете внимание, че ако Δp¯ е постоянна стойност, тогава модулът на импулса на силата също е постоянен, така че колкото по-голямо е Δt, толкова по-малко е F¯ и обратно.

Сега нека дадем конкретни примери за импулса на силата в действие:

• Човек, който скача от всякаква височина към земята, се опитва да огъне коленете си при кацане, като по този начин увеличава времето Δt на удара на повърхността на земята (силата на реакция на опората F¯), като по този начин намалява нейната сила.
• Боксьорът, отклонявайки главата си от удара, удължава времето за контакт Δt на ръкавицата на противника с лицето му, намалявайки силата на удара.
• Съвременните автомобили се опитват да проектират по такъв начин, че в случай на сблъсък тялото им да се деформира възможно най-много (деформацията е процес, който се развива с течение на времето, което води до значително намаляване на силата на сблъсък и, в резултат на това намалява риска от нараняване на пътниците).

Концепцията за момента на силата и нейния импулс

И импулсът на този момент е други количества, различни от разгледаните по-горе, тъй като те вече не се отнасят до линейно, а до ротационно движение. И така, моментът на сила M¯ се определя като векторно произведение на рамото (разстоянието от оста на въртене до точката на действие на силата) и самата сила, т.е. формулата е валидна:

Моментът на силата отразява способността на последния да извършва усукване на системата около оста. Например, ако държите гаечния ключ далеч от гайката (голям лост d¯), можете да създадете голям момент M¯, който ще ви позволи да развиете гайката.

По аналогия с линейния случай, импулсът M¯ може да се получи, като се умножи по интервала от време, през който той действа върху ротационна система, т.е.

Величината ΔL¯ се нарича промяна в ъгловия импулс или ъглов момент. Последното уравнение е важно за разглеждане на системи с ос на въртене, тъй като показва, че ъгловият импулс на системата ще се запази, ако няма външни сили, които създават момента M¯, който се записва математически, както следва:

Ако M¯= 0, тогава L¯ = const

Така и двете уравнения на импулса (за линейно и кръгово движение) се оказват сходни по отношение на техния физически смисъл и математически последствия.

Предизвикателство за сблъсък на птица и самолет

Този проблем не е нещо фантастично. Такива сблъсъци се случват доста често. Така, според някои данни, през 1972 г. в израелското въздушно пространство (зоната на най-гъстата миграция на птици) са регистрирани около 2,5 хиляди сблъсъци на птици с бойни и транспортни самолети, както и с хеликоптери.

Задачата е следната: необходимо е приблизително да се изчисли каква сила на удар пада върху птица, ако по пътя й се срещне самолет, летящ със скорост v = 800 km / h.

Преди да пристъпим към решението, нека приемем, че дължината на птицата в полет е l = 0,5 метра, а масата й е m = 4 kg (може да бъде например дракон или гъска).

Ще пренебрегнем скоростта на птицата (тя е малка в сравнение с тази на самолета), а също така ще считаме, че масата на самолета е много по-голяма от тази на птиците. Тези приближения ни позволяват да кажем, че промяната в импулса на птицата е равна на:

За да изчислите силата на удара F, трябва да знаете продължителността на този инцидент, тя е приблизително равна на:

Комбинирайки тези две формули, получаваме желания израз:

F \u003d Δp / Δt \u003d m * v 2 / l.

Като заместим в него числата от условието на задачата, получаваме F = 395062 N.

Ще бъде по-визуално да преведете тази цифра в еквивалентна маса, като използвате формулата за телесно тегло. Тогава получаваме: F = 395062/9,81 ≈ 40 тона! С други думи, птицата възприема сблъсъка със самолет така, сякаш върху нея са паднали 40 тона товар.

Импулсът е една от най-фундаменталните характеристики на физическата система. Инерцията на затворена система се запазва за всички процеси, протичащи в нея.

Да започнем с най-простия случай. Импулсът на материална точка от маса, движеща се със скорост, се нарича произведение

Закон за промяна на импулса.От това определение, използвайки втория закон на Нютон, можете да намерите закона за промяна на импулса на частица в резултат на действието на определена сила върху нея.Променяйки скоростта на частица, силата също променя своя импулс: . Следователно в случай на постоянно действаща сила

Скоростта на промяна на импулса на материална точка е равна на резултата от всички сили, действащи върху нея. При постоянна сила интервалът от време в (2) може да бъде взет от всеки. Следователно за промяната в импулса на частицата през този интервал е вярно

В случай на сила, която се променя с времето, целият период от време трябва да бъде разделен на малки интервали, през всеки от които силата може да се счита за постоянна. Промяната в импулса на частица за отделен интервал се изчислява по формула (3):

Общата промяна на импулса за целия разглеждан интервал от време е равна на векторната сума на промените на импулса за всички интервали

Ако използваме концепцията за производна, тогава вместо (2), очевидно, законът за промяна на импулса на частица е написан като

Силов импулс.Промяната в импулса за краен период от време от 0 до се изразява чрез интеграла

Стойността от дясната страна на (3) или (5) се нарича импулс на силата. Така промяната в импулса Dr на материална точка за определен период от време е равна на импулса на силата, действаща върху нея през този период от време.

Равенствата (2) и (4) са по същество друга формулировка на втория закон на Нютон. Именно в тази форма този закон е формулиран от самия Нютон.

Физическото значение на понятието импулс е тясно свързано с интуитивния или ежедневен опит, който всеки от нас има за това дали е лесно да спре движещо се тяло. Тук има значение не скоростта или масата на спрялото тяло, а двете заедно, тоест именно неговият импулс.

системен импулс.Концепцията за импулс става особено значима, когато се приложи към система от взаимодействащи си материални точки. Общият импулс P на система от частици е векторната сума на импулсите на отделните частици по едно и също време:

Тук сумирането се извършва върху всички частици в системата, така че броят на членовете да е равен на броя на частиците в системата.

Вътрешни и външни сили.Лесно е да се стигне до закона за запазване на импулса за система от взаимодействащи си частици директно от втория и третия закон на Нютон. Силите, действащи върху всяка от частиците, включени в системата, ще бъдат разделени на две групи: вътрешни и външни. Вътрешната сила е силата, с която частицата действа върху външната сила е силата, с която всички тела, които не са част от разглежданата система, действат върху частицата.

Законът за промяна на импулса на частиците в съответствие с (2) или (4) има формата

Добавяме член по член уравнения (7) за всички частици на системата. Тогава от лявата страна, както следва от (6), получаваме скоростта на изменение

общ импулс на системата Тъй като вътрешните сили на взаимодействие между частиците отговарят на третия закон на Нютон:

тогава при добавяне на уравнения (7) от дясната страна, където вътрешните сили възникват само по двойки, тяхната сума ще се превърне в нула. В резултат на това получаваме

Скоростта на промяна на общия импулс е равна на сумата от външните сили, действащи върху всички частици.

Нека обърнем внимание на факта, че равенството (9) има същата форма като закона за промяна на импулса на една материална точка, а от дясната страна влизат само външни сили. В затворена система, където няма външни сили, общият импулс P на системата не се променя, независимо какви вътрешни сили действат между частиците.

Общият импулс не се променя дори в случай, че външните сили, действащи върху системата, се сумират до нула. Може да се окаже, че сумата от външните сили е равна на нула само по някаква посока. Въпреки че физическата система в този случай не е затворена, компонентът на общия импулс по тази посока, както следва от формула (9), остава непроменен.

Уравнение (9) характеризира системата от материални точки като цяло, но се отнася за определен момент във времето. От него лесно се получава законът за промяна на импулса на системата за краен период от време.Ако действащите външни сили са непроменени през този период, то от (9) следва

Ако външните сили се променят с времето, тогава дясната страна на (10) ще съдържа сумата от интегралите във времето от всяка от външните сили:

Така промяната в общия импулс на система от взаимодействащи частици за определен период от време е равна на векторната сума на импулсите на външните сили за този период.

Сравнение с динамичен подход.Нека сравним подходите за решаване на механични проблеми въз основа на уравненията на динамиката и въз основа на закона за запазване на импулса, като използваме следния прост пример.

Железопътен вагон с маса, движещ се с постоянна скорост, се сблъсква с неподвижен вагон с маса и се куплира с него. С каква скорост се движат прикачените вагони?

Не знаем нищо за силите, с които колите си взаимодействат по време на сблъсък, с изключение на факта, че въз основа на третия закон на Нютон те във всеки момент са равни по абсолютна стойност и противоположни по посока. При динамичен подход е необходимо да се създаде някакъв модел за взаимодействие на автомобилите. Най-простото възможно предположение е, че силите на взаимодействие са постоянни през цялото време, през което се осъществява свързването. В този случай, използвайки втория закон на Нютон за скоростите на всяка от колите, след време след началото на свързването, можем да напишем

Очевидно процесът на свързване приключва, когато скоростите на колите станат еднакви. Ако приемем, че това се случва след време x, имаме

От това можем да изразим импулса на силата

Замествайки тази стойност в някоя от формулите (11), например във втората, намираме израза за крайната скорост на автомобилите:

Разбира се, предположението за постоянството на силата на взаимодействие на автомобилите в процеса на тяхното свързване е много изкуствено. Използването на по-реалистични модели води до по-тромави изчисления. В действителност обаче резултатът за крайната скорост на колите не зависи от модела на взаимодействие (разбира се, при условие че в края на процеса колите са куплирани и се движат с еднаква скорост). Най-лесният начин да проверите това е да използвате закона за запазване на импулса.

Тъй като върху вагоните не действат външни сили в хоризонтална посока, общият импулс на системата остава непроменен. Преди сблъсъка той е равен на импулса на първата кола. След свързването импулсът на колите е Приравнявайки тези стойности, веднага намираме

което естествено съвпада с отговора, получен въз основа на динамичния подход. Използването на закона за запазване на импулса направи възможно намирането на отговор на поставения въпрос с помощта на по-малко тромави математически изчисления и този отговор има по-голяма общност, тъй като не е използван конкретен модел на взаимодействие за получаването му.

Нека илюстрираме приложението на закона за запазване на импулса на системата с примера на по-сложна задача, където изборът на модел за динамично решение вече е труден.

Задача

Избухване на снаряд. Снарядът се разбива в горната част на траекторията, която е на височина над земята, на два еднакви фрагмента. Един от тях пада на земята точно под точката на прекъсване след време.

Решение Първо, нека напишем израз за разстоянието, над което ще прелети неизбухнал снаряд. Тъй като скоростта на снаряда в горната точка (нека я обозначим като е насочена хоризонтално, тогава разстоянието е равно на произведението и времето на падане от височина без начална скорост, равна на която би летял неексплодирал снаряд , Тъй като скоростта на снаряда в горната точка (нека я обозначим като насочена хоризонтално, тогава разстоянието е равно на произведението на времето на падане от височина без начална скорост, равна на тялото, разглеждано като система от материали точки:

Разкъсването на снаряда на фрагменти става почти мигновено, т.е. вътрешните сили, които го разкъсват, действат за много кратък период от време. Очевидно промяната в скоростта на фрагментите под действието на гравитацията за такъв кратък период от време може да бъде пренебрегната в сравнение с промяната в тяхната скорост под действието на тези вътрешни сили. Следователно, въпреки че разглежданата система, строго погледнато, не е затворена, можем да предположим, че нейният общ импулс остава непроменен, когато снарядът се счупи.

От закона за запазване на импулса могат веднага да се разкрият някои характеристики на движението на фрагментите. Импулсът е векторна величина. Преди почивката той лежеше в равнината на траекторията на снаряда. Тъй като, както е посочено в условието, скоростта на един от фрагментите е вертикална, т.е. неговият импулс остава в същата равнина, тогава импулсът на втория фрагмент също лежи в тази равнина. Това означава, че траекторията на втория фрагмент ще остане в същата равнина.

Освен това от закона за запазване на хоризонталния компонент на общия импулс следва, че хоризонталният компонент на скоростта на втория фрагмент е равен на, защото неговата маса е равна на половината от масата на снаряда, а хоризонталният компонент на импулсът на първия фрагмент е равен на нула по условие. Следователно хоризонталният обхват на полета на втория фрагмент от

точката на прекъсване е равна на продукта по времето на полета му. Как да намерим това време?

За да направите това, припомняме, че вертикалните компоненти на импулсите (и, следователно, скоростите) на фрагментите трябва да бъдат равни по абсолютна стойност и насочени в противоположни посоки. Времето на летене на втория интересен за нас фрагмент очевидно зависи от това дали вертикалната компонента на скоростта му е насочена нагоре или надолу в момента на избухването на снаряда (фиг. 108).

Ориз. 108. Траекторията на осколките след избухването на снаряда

Лесно се установява, като се сравни даденото в условието време за вертикално падане на първия фрагмент с времето за свободно падане от височина А. Ако тогава началната скорост на първия фрагмент е насочена надолу, а вертикалната компонента на скоростта на втория е нагоре и обратно (случаи а и на фиг. 108). Под ъгъл a спрямо вертикалата, куршумът лети в кутията със скорост u и почти моментално се забива в пясъка. Кутията започва да се движи и след това спира. Колко време се движеше кутията? Съотношението на масата на куршума към масата на кутията е y. При какви условия кутията изобщо няма да мръдне?

2. По време на радиоактивния разпад на първоначално покойния неутрон се образуват протон, електрон и антинеутрино. Импулсите на протона и електрона са равни и ъгълът между тях е a. Определете импулса на антинеутриното.

Какво се нарича импулс на една частица и импулс на система от материални точки?

Формулирайте закона за промяна на импулса на една частица и система от материални точки.

Ориз. 109. Да се ​​определи импулсът на силата от графиката

Защо вътрешните сили не са изрично включени в закона за промяна на импулса на системата?

В какви случаи може да се използва законът за запазване на импулса на системата при наличие на външни сили?

Какви са предимствата от използването на закона за запазване на импулса пред динамичния подход?

Когато променлива сила действа върху тяло, неговият импулс се определя от дясната страна на формула (5) - интеграл от върху интервала от време, през който действа. Нека ни е дадена графика на зависимост (фиг. 109). Как да определим импулса на силата за всеки от случаите a и

В някои случаи е възможно да се изследва взаимодействието на телата, без да се използват изрази за силите, действащи между телата. Това е възможно поради факта, че има физични величини, които остават непроменени (запазени) при взаимодействието на телата. В тази глава ще разгледаме две такива величини - импулс и механична енергия.
Да започнем с инерцията.

Физическото количество, равно на произведението на масата на тялото m и неговата скорост, се нарича импулс на тялото (или просто импулс):

Импулсът е векторна величина. Модулът на импулса p = mv, а посоката на импулса съвпада с посоката на скоростта на тялото. Единицата за импулс е 1 (kg * m)/s.

1. Камион с маса 3 тона се движи по магистрала в северна посока със скорост 40 км/ч.В каква посока и с каква скорост трябва да се движи лек автомобил с маса 1 тон, така че инерцията му е равен на импулса на камиона?

2. Топка с тегло 400 g пада свободно без начална скорост от височина 5 м. След удара топката отскача нагоре, като модулът на скоростта на топката не се променя в резултат на удара.
а) Какъв е импулсът на топката точно преди удара и каква е посоката му?
б) Какъв е импулсът на топката непосредствено след удара и каква е посоката му?
в) Каква е промяната в импулса на топката в резултат на удара и как е насочена? Намерете графично промяната на импулса.
Улика. Ако импулсът на тялото е равен на 1 и стане равен на 2, тогава промяната в импулса ∆ \u003d 2 - 1.

2. Закон за запазване на импулса

Най-важното свойство на импулса е, че при определени условия общият импулс на взаимодействащите тела остава непроменен (запазен).

Да вложим опит

Две еднакви колички могат да се търкалят по масата в права линия практически без триене. (Този експеримент може да се направи със съвременна апаратура.) Отсъствието на триене е важно условие за нашия експеримент!

Монтираме резета на количките, благодарение на които количките се движат като едно тяло след сблъсък. Нека дясната количка първо е в покой, а с левия тласък ще отчетем скоростта 0 (фиг. 25.1, а).

След сблъсъка количките се движат заедно. Измерванията показват, че общата им скорост е 2 пъти по-малка от началната скорост на лявата количка (25.1, b).

Нека означим масата на всяка количка с m и сравним общите импулси на количките преди и след сблъсъка.

Виждаме, че общият импулс на количките остава непроменен (запазен).

Може би това е вярно само когато телата след взаимодействието се движат като цяло?

Да вложим опит
Нека заменим ключалките с еластична пружина и повторете опита (фиг. 25.2).

Този път лявата количка спря, а дясната придоби скорост, равна на началната скорост на лявата количка.

3. Докажете, че в този случай се запазва и общият импулс на количките.

Може би това е вярно само когато масите на взаимодействащите тела са равни?

Да вложим опит
Нека да фиксираме друга подобна количка върху дясната количка и да повторим експеримента (фиг. 25.3).

Сега, след сблъсъка, лявата количка започна да се движи в обратна посока (т.е. наляво) със скорост, равна на -/3, а двойната количка започна да се движи надясно със скорост 2/3.

4. Докажете, че в този експеримент се запазва и общият импулс на количките.

За да определим при какви условия се запазва общият импулс на телата, въвеждаме понятието затворена система от тела. Това е името на система от тела, които взаимодействат само помежду си (т.е. не взаимодействат с тела, които не са включени в тази система).

В природата не съществуват точно затворени системи от тела, дори само защото е невъзможно да се „изключат“ силите на всемирната гравитация.

Но в много случаи системата от тела може да се счита за затворена с добра точност. Например, когато външни сили (сили, действащи върху телата на системата от други тела) се балансират взаимно или могат да бъдат пренебрегнати.

Точно това се случи в нашите експерименти с колички: външните сили, действащи върху тях (гравитация и нормална сила на реакция), се балансираха взаимно, а силата на триене можеше да бъде пренебрегната.Следователно скоростите на количките се променяха само поради взаимодействието им с взаимно.

Описаните експерименти, както и много други като тях, показват това
закон за запазване на импулса: векторната сума на импулсите на телата, които съставляват затворена система, не се променя при никакви взаимодействия между телата на системата:
Законът за запазване на импулса се изпълнява само в инерционни отправни системи.

Закон за запазване на импулса като следствие от законите на Нютон

Нека покажем на примера на затворена система от две взаимодействащи тела, че законът за запазване на импулса е следствие от втория и третия закон на Нютон.

Да обозначим масите на телата m 1 и m 2 , а техните начални скорости 1 и 2 . Тогава векторната сума на импулсите на телата

Нека взаимодействащите тела се движат с ускорения 1 и 2 през интервала от време ∆t.

5. Обяснете защо промяната в общия импулс на телата може да се напише като

Улика. Използвайте факта, че за всяко тяло ∆ = m∆, както и факта, че ∆ = ∆t.

6. Означаваме с 1 и 2 силите, действащи съответно на първото и второто тяло. Докажи това

Улика. Възползвайте се от втория закон на Нютон и факта, че системата е затворена, в резултат на което ускоренията на телата се дължат само на силите, с които тези тела действат едно на друго.

7. Докажете това

Улика. Използвайте третия закон на Нютон.

Така че промяната в общия импулс на взаимодействащите тела е нула. И ако промяната в някаква стойност е нула, това означава, че тази стойност се запазва.

8. Защо от горното разсъждение следва, че законът за запазване на импулса се изпълнява само в инерционни отправни системи?

3. Импулс на сила

Има една поговорка: „Ако знаеше къде ще паднеш, ще подложиш сламки“. Защо се нуждаете от "сламка"? Защо спортистите по време на тренировки и състезания падат или скачат върху меки постелки, а не върху твърди подове? Защо след скок трябва да се приземите на огънати крака, а не на изправени? Защо автомобилите се нуждаят от предпазни колани и въздушни възглавници?
На всички тези въпроси ще можем да отговорим, като се запознаем с понятието „импулс на силата“.

Импулсът на силата е произведение на сила и интервала от време ∆t, през който тази сила действа.

Името "импулс на сила" не случайно "отеква" с понятието "импулс". Нека разгледаме случая, когато върху тяло с маса m действа сила за интервал от време ∆t.

9. Докажете, че промяната в импулса на тялото ∆ е равна на импулса на силата, действаща върху това тяло:

Улика. Използвайте факта, че ∆ = m∆ и втория закон на Нютон.

Нека пренапишем формула (6) във формата

Тази формула е друга форма на втория закон на Нютон. (Именно в тази форма самият Нютон формулира този закон.) От него следва, че върху тялото действа голяма сила, ако неговият импулс се промени значително за много кратък период от време ∆t.

Ето защо по време на удари и сблъсъци възникват големи сили: ударите и сблъсъците се характеризират с точно малък интервал от време на взаимодействие.

За да се отслаби силата на удара или да се намалят силите, възникващи от сблъсъка на тела, е необходимо да се удължи периодът от време, през който се случва ударът или сблъсъкът.

10. Обяснете значението на поговорката, дадена в началото на този раздел, а също така отговорете на други въпроси, поставени в същия параграф.

11. Топка с маса 400 g се удари в стената и отскочи от нея със същата скорост по модул, равна на 5 m/s. Преди удара скоростта на топката е била насочена хоризонтално. Каква е средната сила на натиск на топката върху стената, ако тя е била в контакт със стената за 0,02 s?

12. Чугунена заготовка с тегло 200 kg пада от височина 1,25 m в пясъка и се потапя в него с 5 cm.
а) Какъв е импулсът на заготовката точно преди удара?
б) Каква е промяната в импулса на заготовката по време на удара?
в) Колко време продължи ударът?
г) Каква е средната сила на удара?

Допълнителни въпроси и задачи

13. Топка с маса 200 g се движи със скорост 2 m/s наляво. Как трябва да се движи друга топка с маса 100 g, за да може общият импулс на топките да е нула?

14. Топка с маса 300 g се движи равномерно по окръжност с радиус 50 cm със скорост 2 m/s. Какъв е модулът на промяна на импулса на топката:
а) за един пълен период на обръщение?
б) за половината от периода на обръщение?
в) за 0,39 s?

15. Първата дъска лежи на асфалта, а втората е същата - върху рохкав пясък. Обяснете защо е по-лесно да забиете пирон в първата дъска, отколкото във втората?

16. Куршум с маса 10 g, летящ със скорост 700 m / s, проби дъската, след което скоростта на куршума стана равна на 300 m / s. Вътре в дъската куршумът се движеше за 40 μs.
а) Каква е промяната в инерцията на куршума поради преминаването му през дъската?
б) С каква средна сила е действал куршумът върху дъската, когато е преминал през нея?

Нека телесната маса мза някакъв малък интервал от време Δ Tдействаща сила Под въздействието на тази сила скоростта на тялото се променя с Следователно през времето Δ Tтялото се движи с ускорение

От основния закон на динамиката ( Втори закон на Нютон) следва:

Физическата величина, равна на произведението на масата на тялото и скоростта на неговото движение, се нарича инерция на тялото(или количество движение). Импулсът на тялото е векторна величина. Единицата SI за импулс е килограм-метър в секунда (kg m/s).

Физическата величина, равна на произведението на силата и времето на нейното действие, се нарича импулс на сила . Импулсът на силата също е векторна величина.

В нови условия Втори закон на Нютонможе да се формулира по следния начин:

Иизменението на импулса на тялото (импулса) е равно на импулса на силата.

Означавайки импулса на тялото с буквата, вторият закон на Нютон може да бъде записан като

Именно в тази обща форма самият Нютон формулира втория закон. Силата в този израз е резултатната от всички сили, приложени към тялото. Това векторно равенство може да се запише в проекции върху координатните оси:

Така промяната в проекцията на импулса на тялото върху която и да е от трите взаимно перпендикулярни оси е равна на проекцията на импулса на силата върху същата ос. Помислете за пример едноизмерендвижение, т.е. движение на тялото по една от координатните оси (например оста ой). Нека тялото пада свободно с начална скорост υ 0 под действието на гравитацията; есента е T. Нека насочим оста ойвертикално надолу. Инерцията на гравитацията Е t = мгпо време на Tсе равнява управление. Този импулс е равен на промяната в импулса на тялото

Този прост резултат съвпада с кинематикатаформулаза скоростта на равномерно ускорено движение. В този пример силата остава непроменена по абсолютна стойност през целия интервал от време T. Ако силата се променя по величина, тогава средната стойност на силата трябва да бъде заменена в израза за импулса на силата Е cf върху времевия интервал на неговото действие. Ориз. 1.16.1 илюстрира метод за определяне на импулса на зависима от времето сила.

Нека изберем малък интервал Δ на времевата ос T, по време на което силата Е (T) остава почти непроменена. Импулс на сила Е (T) Δ Tвъв времето Δ Tще бъде равна на площта на защрихованата лента. Ако цялата времева ос на интервала от 0 до Tразделен на малки интервали Δ Tаз, и след това сумирайте импулсите на силата на всички интервали Δ Tаз, тогава общият импулс на силата ще бъде равен на площта, образувана от стъпаловидна крива с времевата ос. В границата (Δ Tаз→ 0) тази площ е равна на площта, ограничена от графиката Е (T) и ос T. Този метод за определяне на импулса на сила от графика Е (T) е общ и приложим към всякакви закони за промяна на силата с времето. Математически проблемът се свежда до интеграцияфункции Е (T) на интервала .

Импулсът на силата, чиято графика е показана на фиг. 1.16.1, на интервала от T 1 = 0 s до T 2 = 10 s е равно на:

В този прост пример

В някои случаи средната сила Е cp може да се определи, ако се знае времето на неговото действие и импулса, предаван на тялото. Например силен удар на футболист върху топка с тегло 0,415 kg може да му даде скорост υ = 30 m/s. Времето на удара е приблизително равно на 8·10 -3 s.

Пулс стрпридобити от топката в резултат на удар е:

Следователно средната сила Е cf, с който кракът на футболиста е действал върху топката по време на удара, е:

Това е много голяма сила. То е приблизително равно на теглото на тяло с тегло 160 кг.

Ако движението на тялото по време на действието на силата се случи по определена криволинейна траектория, тогава началният и крайният момент на тялото могат да се различават не само по абсолютна стойност, но и по посока. В този случай, за да се определи промяната в инерцията, е удобно да се използва импулсна диаграма , който изобразява векторите и , както и вектора конструиран по правилото на успоредника. Като пример, на фиг. 1.16.2 показва импулсна диаграма за топка, отскачаща от грапава стена. маса на топката мудари стената със скорост под ъгъл α спрямо нормалата (ос ОХ) и се отби от него със скорост под ъгъл β. По време на контакт със стената върху топката действа определена сила, чиято посока съвпада с посоката на вектора

При нормално падане на топка с маса мна еластична стена със скорост, след отскока топката ще има скорост. Следователно промяната в импулса на топката по време на отскока е

В проекции на оста ОХтози резултат може да бъде записан в скаларната форма Δ стрх = –2мυ х. ос ОХнасочена встрани от стената (както на фиг. 1.16.2), така че υ х < 0 и Δстрх> 0. Следователно модулът Δ стрпромяната на импулса е свързана с модула υ на скоростта на топката чрез отношението Δ стр = 2мυ.