Как да дефинираме изявление. Установяване на истинността на сложни твърдения

Стойност на истината

Тази статия или раздел е груб превод на статия на друг език (вижте Проверка на преводите). Може да е генериран от програма за превод или от някой с малко познания по оригиналния език. ¬( Образец:Mvar∧Образец:Mvar) ⇔ ¬Образец:Mvar ∨ ¬Образец:Mvar ¬( Образец:Mvar∨Образец:Mvar) ⇔ ¬Образец:Mvar ∧ ¬Образец:Mvar Многозначна логика Многозначна логика (например размитата логика позволява повече от две стойности на истината, евентуално съдържащи някои вътрешни структури. Алгебрична семантика Не всички логически системи са истински ценностни системи в смисъл, че логическите връзки могат да се тълкуват като истинност на функциите. Например на интуиционистката логика липсва пълен набор от стойности на истината, тъй като нейната семантика е дефинирана от гледна точка на доказуемостта на условието, а не директно от гледна точка на задължителната валидност на формулите. В други теории Интуиционистичната теория на типа използва типове вместо стойности на истината. Теорията на топоса използва стойностите на истината в специален смисъл: стойността на истината на топоса е глобалният елемент x подобект на класификатора. Притежаването на ценността на истината в този смисъл няма ценностната логика на истината. Вижте също Връзки Фондация Уикимедия. 2010 г. Вижте каква е "стойността на истината" в други речници: Съдържание, обозначено от един или друг езиков израз чрез дума, изречение, знак и др. Въпросът за З. на езиковите изрази се изучава от лингвистиката, семиотиката и логическата семантика. Разграничете предмет, семантичен и изразителен Z. езиков ... Философска енциклопедия Стойността на истината (в логиката), стойността, която твърдението (изречението, преценката) приема, разглеждано във връзка със съдържанието, показано в него. В обикновената (класическата) логика две I. z. "вярно невярно"; в…… Велика съветска енциклопедия Таблицата на истината е таблица, която описва логическа функция. Под "логическа функция" в този случай се разбира функция, в която стойностите на променливите (функционални параметри) и стойността на самата функция изразяват логическа истина. ... ... Wikipedia Таблица, която установява стойността на истината на съставен израз, дадена на стойностите на неговите прости изрази. В класическата математическа логика се приема, че всяко просто число (което не съдържа логически ... ... Речник на логическите термини Денотатум (от лат. denotatum обозначен), термин от лингвистиката и екстензионалната логика, обозначаващ 1) разширение, 2) десигнат, 3) референт и 4) семантично ядро ​​на значението. Съдържание 1 Обозначение като разширение 2 Обозначаване като обозначение ... Wikipedia Една от възможните характеристики на изявлението по отношение на съответствието му с описания фрагмент от реалността. Ако се приеме, че всяко твърдение е вярно или невярно (т.е. че е или вярно ... Речник на логическите термини Набор от логически системи, основани на принципа на многозначността. В класическата двузначна логика изразите приемат само две стойности „истина“ и „лъжа“ по време на интерпретация, в M.l. други стойности също се вземат предвид, например. "за неопределено време" ...... Философска енциклопедия - (от лат. factum направено, извършено) 1) синоним на понятията "истина", "събитие", "резултат"; нещо реално за разлика от измисленото; конкретно, единично за разлика от абстрактното и общото; 2) във философията на науката от специален вид p ... Философска енциклопедия - (in logistic) - истинността на изречението (съждението, твърдението), дължима, за разлика от т.нар. логично истина, съдържанието на това изречение. С други думи, едно изречение е действително вярно, когато неговата истинност зависи от стойностите... Философска енциклопедия Стереометрична семантика- тълкуването на логиката като наука за получаване на истински следствия от истински предпоставки все повече отстъпва място на по-широка концепция, свързана или с обобщаване на концепцията за следване, базирана на традиционна оценка на истината и на практическа ... ... Проективен философски речник Книги Как искрено да вярваме в Бог, или единственото, което има значение за развитието на вярата, Вражев В. среда с...

Сред възможните стойности на истината на лингвистична променлива Истинадве стойности привличат особено внимание, а именно празният набор и единичният интервал, които съответстват на най-малките и най-големите елементи (по отношение на включването) на решетката от подмножества с размити интервали. Значението на тези стойности на истината се дължи на факта, че те могат да се тълкуват като ценности на истината недефинирани неизвестенсъответно. За удобство ще обозначим тези истинностни стойности със символите и , разбирайки, че и се определят от изразите

Стойности неизвестени недефиниран, интерпретирани като степени на принадлежност, се използват и при представянето на размити множества от тип 1. В този случай има три възможности за изразяване на степента на принадлежност на точка в : 1) число от интервала ; 2) ( недефиниран); 3) (неизвестен).

Нека разгледаме един прост пример. Позволявам

Вземете размито подмножество от множеството на формуляра

В този случай степента на принадлежност на елемента към множеството е неизвестен, а степента на членство е недефиниран. В по-общ случай може и да е така

където се разбира, че степента на членство на елемент в набор е частично неизвестна и членът се тълкува, както следва:

. (6.56)

Важно е ясно да се разбере разликата между и. Когато казваме, че степента на членство на точка в набор е , имаме предвид, че функцията на принадлежност не е дефиниран в точка . Да предположим, например, че това е множеството от реални числа и е функция, дефинирана върху множеството от цели числа и , ако - четно и , ако - нечетно. Тогава степента на членство на числото в множеството е , а не 0. От друга страна, ако то беше определено на множеството от реални числа и ако и само ако е четно число, тогава степента на членство на числото в комплекта ще бъде равно на 0.

Тъй като можем да изчислим стойностите на истината на предложенията и, илии некато се имат предвид стойностите на лингвистичната истина на твърденията и е лесно да се изчислят стойностите, , , когато . Да предположим, например, че

, (6.57)

. (6.58)

Прилагайки принципа на обобщението, както в (6.25), получаваме

, (6.59)

След опростяване (6.59) се свежда до израза

. (6.61)

С други думи, истинната стойност на твърдението и, където , е размито подмножество на интервала , чиято степен на принадлежност на точката е равна на (функция на принадлежност ) на интервала .

Ориз. 6.4. Конюнкцията и дизюнкцията на стойностите на истината на твърдение с стойността на истината е неизвестна ().

По същия начин откриваме, че истинната стойност на твърдението илиизразено като

. (6.62)

Трябва да се отбележи, че изразите (6.61) и (6.62) са лесни за получаване с помощта на графичната процедура, описана по-горе (виж (6.38) и по-долу). Пример, илюстриращ това, е показан на фиг. 6.4.

Обръщайки се към случая, намираме

(6.63)

и по подобен начин за.

Поучително е да проследим какво се случва с горните отношения, когато ги приложим към частен случай на двузначна логика, т.е. към случая, когато универсалното множество има формата

или в по-познатата форма

където означава вярно, а - невярно. Тъй като има, можем да идентифицираме истинската стойност неизвестенсъс смисъл вярноили невярно, т.е.

Получената логика има четири стойности на истинност, и е обобщение на двузначна логика по смисъла на Забележка 6.5.

Тъй като универсалният набор от стойности на истината се състои само от два елемента, препоръчително е да се конструират таблици на истината за операциите и в тази четиризначна логика директно, т.е. без да се използват общите формули (6.25), (6.29) и ( 6.31). По този начин, прилагайки принципа на обобщение към операцията, веднага получаваме

откъдето по необходимост следва, че

По пътя стигаме до обичайната дефиниция на свързващото ⟹ в двузначната логика под формата на следната таблица на истината:

Както показва примерът по-горе, понятието стойност на истината неизвестенв комбинация с принципа на обобщението помага да се разберат някои от понятията и връзките на обикновените двузначни и тризначни логики. Тези логики, разбира се, могат да се разглеждат като изродени случаи на размита логика, в която стойността на истината неизвестене целият единичен интервал, а не множеството 0 + 1.

В езиковата практика често се използват неверни и верни твърдения. Първата оценка се възприема като отричане на истината (неистина). Реално се използват и други видове оценки: несигурност, недоказуемост (доказуемост), неразрешимост. Спорейки за кое число x твърдението е вярно, е необходимо да се вземат предвид законите на логиката.

Появата на "многозначната логика" доведе до използването на неограничен брой индикатори за истинност. Ситуацията с елементите на истината е объркваща, сложна, затова е важно да се изясни.

Принципи на теорията

Вярно твърдение е стойността на свойство (атрибут), което винаги се взема предвид за конкретно действие. Какво е истината? Схемата е следната: „Твърдението X има истинностна стойност Y в случай, че твърдението Z е вярно.“

Нека разгледаме един пример. Необходимо е да се разбере за кое от дадените твърдения е вярно твърдението: "Обект a има знак B". Това твърдение е невярно, тъй като обектът има атрибут B, и невярно, тъй като a няма атрибут B. Терминът "фалшив" в този случай се използва като външно отрицание.

Дефиниция на истината

Как се определя вярното твърдение? Независимо от структурата на израза X, е позволена само следната дефиниция: "Изявлението X е вярно, когато има X, само X."

Тази дефиниция дава възможност да се въведе в езика терминът "истина". Той определя акта на приемане на съгласие или изказване с това, което казва.

Прости поговорки

Те съдържат вярно твърдение без определение. Човек може да се ограничи до общо определение в твърдението „Не-X“, ако това твърдение не е вярно. Съюзът "X и Y" е верен, ако и X, и Y са верни.

Пример за казване

Как да разберем за кое x твърдението е вярно? За да отговорим на този въпрос, използваме израза: „Частица a се намира в областта на пространство b“. Разгледайте следните случаи за това твърдение:

• невъзможно е да се наблюдава частицата;
• частица може да се наблюдава.

Вторият вариант включва определени възможности:

• частицата действително се намира в определен регион на пространството;
• не е в предполагаемата част на пространството;
• частицата се движи по такъв начин, че е трудно да се определи зоната на нейното местоположение.

В този случай можете да използвате четири термина от стойности на истината, които съответстват на дадените възможности.

За сложни структури е подходящо да се използват повече термини. Това показва, че стойностите на истината са неограничени. За какъв брой твърдението е вярно зависи от практическата целесъобразност.

Принцип на двусмислието

В съответствие с него всяко твърдение е или невярно, или вярно, тоест се характеризира с една от двете възможни стойности на истината - „фалшиво“ и „вярно“.

Този принцип е в основата на класическата логика, която се нарича двузначна теория. Принципът на двусмислието е използван от Аристотел. Този философ, спорейки за кой номер x дадено твърдение е вярно, го смята за неподходящо за тези твърдения, които се отнасят до бъдещи случайни събития.

Той установи логическа връзка между фатализма и принципа на неяснотата, предопределеността на всяко човешко действие.

В следващите исторически епохи ограниченията, наложени на този принцип, се обясняват с факта, че той значително усложнява анализа на твърдения за планирани събития, както и за несъществуващи (ненаблюдаеми) обекти.

Когато мислим кои твърдения са верни, не винаги е било възможно да се намери недвусмислен отговор с този метод.

Възникващите съмнения относно логическите системи бяха разсеяни едва след като се разви съвременната логика.

За да разберете за кое от дадените числа твърдението е вярно, е подходяща двузначна логика.

Принципът на двусмислието

Ако преформулираме вариант на двузначно твърдение, за да разкрием истината, можем да го превърнем в специален случай на полисемия: всяко твърдение ще има една стойност на истината n, ако n е по-голямо от 2 или по-малко от безкрайност.

Много логически системи, базирани на принципа на двусмислеността, действат като изключения от допълнителните стойности на истината (над "фалшиво" и "вярно"). Двузначната класическа логика характеризира типичните употреби на някои логически знаци: "или", "и", "не".

Многозначна логика, която претендира да ги направи конкретни, не трябва да противоречи на резултатите от двузначна система.

Убеждението, че принципът на неяснотата винаги води до твърдение за фатализъм и детерминизъм, се счита за погрешно. Също така неправилна е идеята, че множествената логика се счита за необходимо средство за извършване на индетерминистични разсъждения, че нейното приемане съответства на отхвърлянето на използването на строгия детерминизъм.

Семантика на логическите знаци

За да разберете за кое число X твърдението е вярно, можете да се въоръжите с таблици на истината. Логическата семантика е клон на металогиката, който изучава отношението към обозначените обекти, тяхното съдържание на различни езикови изрази.

Този проблем е бил разглеждан още в древния свят, но под формата на пълноценна независима дисциплина е формулиран едва в началото на 19-20 век. Трудовете на Г. Фреге, К. Пиърс, Р. Карнап, С. Крипке позволиха да се разкрие същността на тази теория, нейният реализъм и целесъобразност.

За дълъг период от време семантичната логика разчиташе главно на анализа на формализирани езици. Едва напоследък повечето изследвания са посветени на естествения език.

Има две основни области в тази методология:

• теория на нотацията (справка);
• теория на значението.

Първият включва изследване на връзката на различни езикови изрази с обозначените обекти. Като негови основни категории можем да си представим: "обозначение", "име", "модел", "интерпретация". Тази теория е в основата на доказателствата в съвременната логика.

Теорията на значението се занимава с намирането на отговор на въпроса какво е значението на един езиков израз. Тя обяснява тяхната идентичност по смисъл.

Теорията на значението играе съществена роля в обсъждането на семантичните парадокси, при разрешаването на които всеки критерий за приемливост се счита за важен и уместен.

Булево уравнение

Този термин се използва в метаезика. Под логическото уравнение можем да представим записа F1=F2, в който F1 и F2 са формули на разширения език на логическите предложения. Решаването на такова уравнение означава да се определят тези набори от истински стойности на променливи, които ще бъдат включени в една от формулите F1 или F2, при които ще се спазва предложеното равенство.

Знакът за равенство в математиката в някои ситуации показва равенството на оригиналните обекти, а в някои случаи се използва за демонстриране на равенството на техните стойности. Записът F1=F2 може да показва, че говорим за същата формула.

В литературата доста често формалната логика се разбира като синоним на "езика на логическите предложения". Формулите, служещи като семантични единици, използвани за изграждане на разсъждения в неформалната (философска) логика, действат като "правилни думи".

Изявлението действа като изречение, което изразява конкретно предложение. С други думи, той изразява идеята за наличието на определено състояние на нещата.

Този факт стана основата на пропозиционалната логика. Съществува разделение на твърденията на прости и сложни групи.

При формализиране на прости варианти на изявления се използват елементарни формули на езика с нулев ред. Описанието на сложни твърдения е възможно само с помощта на езикови формули.

Логическите връзки са необходими за обозначаване на съюзи. Когато се прилагат, простите изрази се превръщат в сложни типове:

• "не",
• "Не е вярно, че..."
• "или".

Заключение

Формалната логика помага да се разбере за кое име твърдението е вярно, включва изграждането и анализа на правила за трансформиране на определени изрази, които запазват истинското им значение независимо от съдържанието. Като отделна част от философската наука тя се появява едва в края на деветнадесети век. Второто направление е неформалната логика.

Основната задача на тази наука е да систематизира правилата, които позволяват извеждането на нови твърдения въз основа на доказани твърдения.

Основата на логиката е възможността за получаване на някои идеи като логическо следствие от други твърдения.

Такъв факт позволява да се опише адекватно не само определен проблем в математическата наука, но и да се прехвърли логиката в художественото творчество.

Логическото изследване предполага връзката, която съществува между предпоставките и изводите, извлечени от тях.

Може да се припише на броя на първоначалните, фундаментални концепции на съвременната логика, която често се нарича наука за "това, което следва от нея".

Трудно е да си представим без такова разсъждение доказателството на теореми в геометрията, обяснението на физическите явления, обяснението на механизмите на реакциите в химията.

пропозиционална логика , наричана още пропозиционална логика - клон на математиката и логиката, който изучава логическите форми на сложни твърдения, изградени от прости или елементарни твърдения, използвайки логически операции.

Логиката на пропозициите се абстрахира от смисловото натоварване на пропозициите и изучава тяхната истинност, т.е. дали пропозицията е вярна или невярна.

Фигурата по-горе е илюстрация на феномен, известен като парадокса на лъжеца. В същото време, според автора на проекта, подобни парадокси са възможни само в среда, която не е свободна от политически проблеми, където някой може да бъде обявен за лъжец a priori. В естествения пластов свят на темата "истина" или "лъжа" се оценява само поотделно взети твърдения . И по-късно в този урок ще ви запознаем с възможност за оценка на много твърдения по тази тема (и след това вижте правилните отговори). Включително сложни твърдения, в които по-простите са свързани помежду си със знаци на логически операции. Но нека първо разгледаме тези операции върху самите предложения.

Пропозиционалната логика се използва в компютърните науки и програмирането под формата на деклариране на логически променливи и присвояване на логическите стойности "false" или "true", от които зависи ходът на по-нататъшното изпълнение на програмата. В малки програми, където е включена само една булева променлива, на тази булева променлива често се дава име, като например "флаг" и "флагът" се подразбира, когато стойността на тази променлива е "истина" и "флагът е надолу", когато стойността на тази променлива е "false". В големи програми, в които има няколко или дори много логически променливи, професионалистите са длъжни да измислят имена на логически променливи, които имат формата на изрази и семантично натоварване, което ги отличава от другите логически променливи и е разбираемо за другите професионалисти, които ще прочетат текста на тази програма.

И така, може да се декларира логическа променлива с име "UserRegistered" (или неин английски еквивалент), имаща формата на изявление, на което може да бъде присвоена логическата стойност "true", ако са изпълнени условията, че данните за регистрация са изпратени от потребителя и тези данни се разпознават от програмата като валидни. При по-нататъшни изчисления стойностите на променливите могат да се променят в зависимост от това каква логическа стойност („true“ или „false“) има променливата „UserLogged in“. В други случаи на променлива, например с име „Повече от три дни до деня“, може да бъде присвоена стойност „Истина“ до определен блок от изчисления и по време на по-нататъшното изпълнение на програмата тази стойност може да бъде се запазва или променя на "false" и ходът на по-нататъшното изпълнение зависи от стойността на тази променлива програми.

Ако програмата използва няколко логически променливи, чиито имена имат формата на предложения и от тях са изградени по-сложни предложения, тогава е много по-лесно да се разработи програма, ако преди да се разработи, всички операции от предложенията са написани под формата на формули използвани в пропозиционалната логика, отколкото в хода на този урок и нека го направим.

Логически операции върху изрази

За математически твърдения човек винаги може да избира между две различни алтернативи „вярно“ и „невярно“, но за твърдения, направени на „вербален“ език, понятията „вярно“ и „невярно“ са малко по-неясни. Въпреки това, например, такива вербални форми като „Върви си вкъщи“ и „Вали ли?“ не са изказвания. Следователно е ясно, че изказванията са словесни форми, в които се заявява нещо . Въпросителни или възклицателни изречения, призиви, както и пожелания или искания не са твърдения. Те не могат да бъдат оценени със стойностите "true" и "false".

Предложенията, от друга страна, могат да се разглеждат като количество, което може да приеме две стойности: „вярно“ и „невярно“.

Дадени са например преценки: „кучето е животно“, „Париж е столицата на Италия“, „3

Първото от тези твърдения може да се оцени със символа "вярно", второто - "невярно", третото - "вярно", а четвъртото - "невярно". Такова тълкуване на твърденията е предмет на пропозиционалната алгебра. Изявленията ще ги обозначаваме с главни латински букви А, б, ..., и техните стойности, тоест съответно true и false Ии Л. В обикновената реч се използват връзки между твърденията "и", "или" и други.

Тези връзки правят възможно, чрез комбиниране на различни твърдения, да се формират нови твърдения - сложни твърдения . Например, куп "и". Нека бъдат дадени изявленията: π по-голямо от 3" и твърдението " π по-малко от 4. Можете да организирате нов - сложен отчет " π повече от 3 и π по-малко от 4". Твърдението "ако π ирационално тогава π ² също е ирационално" се получава чрез свързване на две изявления с връзката "ако - тогава". И накрая, можем да получим ново - сложно изявление - от всяко изявление - отричащо оригиналното изявление.

Разглеждане на предложенията като количества, приемащи стойностите Ии Л, определяме допълнително логически операции върху изрази , които ни позволяват да получим нови - сложни твърдения от тези твърдения.

Нека са дадени две произволни твърдения Аи б.

1 . Първата логическа операция върху тези твърдения - конюнкция - е образуването на ново твърдение, което ще обозначим А ∧ би което е вярно тогава и само ако Аи бвярно. В обикновената реч тази операция съответства на връзката на твърдения с куп "и".

Таблица на истината за връзка:

А	б	А ∧ б
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

2 . Втората логическа операция върху изрази Аи б- дизюнкция, изразена като А ∨ б, се определя по следния начин: вярно е тогава и само ако поне едно от първоначалните твърдения е вярно. В обикновената реч тази операция съответства на свързването на твърдения с куп "или". Тук обаче имаме неразделително "или", което се разбира в смисъла на "или-или", когато Аи би двете не могат да бъдат верни. В дефиницията на пропозиционалната логика А ∨ бвярно, ако само едно от твърденията е вярно и ако и двете твърдения са верни Аи б.

Таблица на истината за дизюнкция:

А	б	А ∨ б
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

3 . Третата логическа операция върху твърдения Аи б, изразено като А → б; полученото твърдение е невярно тогава и само ако Авярно и бневярно. АНаречен колет , б - следствие , и изявлението А → б - следното , наричано още импликация. В обикновената реч тази операция съответства на връзката "ако - тогава": "ако А, тогава б". Но в дефиницията на пропозиционалната логика това твърдение винаги е вярно, независимо дали предложението е вярно или невярно б. Това обстоятелство може да се формулира накратко по следния начин: „всичко, което искате, произтича от фалшивото“. На свой ред, ако Авярно и бневярно, тогава цялото твърдение А → бневярно. Ще бъде вярно тогава и само тогава А, и бвярно. Накратко това може да се формулира по следния начин: „лъжата не може да следва от истината“.

Таблица на истината, която да следвате (внушение):

А	б	А → б
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

4 . Четвъртата логическа операция върху твърдения, по-точно върху едно твърдение, се нарича отрицание на твърдение. Аи се означава с ~ А(можете също да намерите използването не на символа ~, а на символа ¬, както и надчертаната линия А). ~ Аима твърдение, което е невярно, когато Авярно и вярно кога Аневярно.

Таблица на истината за отрицание:

А	~ А
Л	И
И	Л

5 . И накрая, петата логическа операция върху предложения се нарича еквивалентност и се обозначава А ↔ б. Полученото твърдение А ↔ бе вярно твърдение тогава и само ако Аи би двете верни или и двете грешни.

Таблица на истината за еквивалентност:

А	б	А → б	б → А	А ↔ б
И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	Л
Л	И	И	Л	Л
Л	Л	И	И	И

Повечето езици за програмиране имат специални символи за логически стойности на предложенията, те са написани на почти всички езици като true (вярно) и false (false).

Нека обобщим горното. пропозиционална логика изучава връзки, които се определят изцяло от начина, по който едни твърдения са изградени от други, наречени елементарни. Елементарните твърдения се разглеждат като цяло, неразлагаемо на части.

Систематизираме в таблицата по-долу имената, обозначенията и значението на логическите операции върху твърдения (скоро ще ни трябват отново за решаване на примери).

Пакет	Обозначаване	Име на операцията
не		отрицание
и		съчетание
или		дизюнкция
ако...тогава...		внушение
тогава и само тогава		еквивалентност

Тъй като логическите операции са верни законите на алгебрата на логиката, който може да се използва за опростяване на булеви изрази. В същото време трябва да се отбележи, че в логиката на предложенията те се абстрахират от семантичното съдържание на предложението и се ограничават до разглеждането му от позицията, че то е вярно или невярно.

Пример 1

1) (2 = 2) И (7 = 7) ;

2) Не(15;

3) ("Бор" = "Дъб") ИЛИ ("Череша" = "Клен");

4) Not("Pine" = "Oak") ;

5) (Не(15 20) ;

6) („На очите е дадено да виждат“) и („Под третия етаж е вторият етаж“);

7) (6/2 = 3) ИЛИ (7*5 = 20) .

1) Стойността на твърдението в първите скоби е "вярно", стойността на израза във вторите скоби също е вярно. И двата израза са свързани чрез логическата операция "И" (вижте правилата за тази операция по-горе), така че логическата стойност на целия този оператор е "истина".

2) Значението на твърдението в скоби е „невярно“. Това твърдение е предшествано от операция за логическо отрицание, така че логическата стойност на цялото това твърдение е "истина".

3) Значението на твърдението в първите скоби е „невярно“, значението на твърдението във вторите скоби също е „невярно“. Изявленията са свързани с логическата операция "ИЛИ" и нито едно от изявленията няма стойност "true". Следователно логичният смисъл на цялото това твърдение е „лъжа“.

4) Значението на твърдението в скоби е „невярно“. Това твърдение се предшества от операция за логическо отрицание. Следователно логическият смисъл на цялото дадено твърдение е "вярно".

5) В първите скоби твърдението във вътрешните скоби се отрича. Това твърдение в скоби дава оценка на "невярно", така че неговото отрицание ще се изчисли на логическата стойност "вярно". Твърдението във вторите скоби има стойност „лъжа“. Тези две твърдения са свързани с логическата операция "И", тоест получава се "вярно И невярно". Следователно логическият смисъл на цялото дадено твърдение е „лъжа“.

6) Значението на твърдението в първите скоби е "вярно", значението на твърдението във вторите скоби също е "вярно". Тези две твърдения са свързани с логическата операция "И", тоест получава се "вярно И истина". Следователно логическият смисъл на цялото дадено твърдение е "вярно".

7) Значението на твърдението в първите скоби е "вярно". Значението на твърдението във вторите скоби е „невярно“. Тези две твърдения са свързани с логическата операция "ИЛИ", тоест получава се "вярно ИЛИ невярно". Следователно логическият смисъл на цялото дадено твърдение е "вярно".

Пример 2Запишете следните сложни твърдения, като използвате логически операции:

1) „Потребителят не е регистриран“;

2) „Днес е неделя и някои служители са на работа“;

3) „Потребителят се регистрира, когато и само когато данните, изпратени от потребителя, се окажат валидни.“

1) стр- единичен оператор "Потребителят е регистриран", логическа операция: ;

2) стр- единично изявление "Днес е неделя", р- "Някои служители са на работа", логическа операция: ;

3) стр- единично изявление "Потребителят е регистриран", р- "Изпратените от потребителя данни са валидни", логическа операция: .

Решете сами примери с пропозиционална логика и след това разгледайте решенията

Пример 3Изчислете булевите стойности на следните изрази:

1) („В една минута има 70 секунди“) ИЛИ („Въртящ се часовник показва времето“);

2) (28 > 7) И (300/5 = 60) ;

3) ("Телевизор - електроуред") и ("Стъкло - дърво");

4) Не ((300 > 100) ИЛИ ("Жаждата може да се утоли с вода"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Пример 4Запишете следните сложни твърдения с помощта на логически операции и изчислете техните логически стойности:

1) „Ако часовникът не показва правилно времето, тогава можете да дойдете в клас в грешно време“;

2) „В огледалото можете да видите отражението си и Париж – столицата на САЩ“;

Пример 5Определете булев израз

(стр → р) ↔ (r → с) ,

стр = "278 > 5" ,

р= "Ябълка = портокал",

стр = "0 = 9" ,

с= "Шапката покрива главата".

Формули на пропозиционалната логика

Понятието за логическата форма на сложно твърдение се уточнява с помощта на понятието пропозиционални логически формули .

В примери 1 и 2 научихме как да пишем сложни изрази с помощта на логически операции. Всъщност те се наричат ​​формули на пропозиционалната логика.

За обозначаване на твърдения, както в горния пример, ще продължим да използваме буквите

стр, р, r, ..., стр 1 , р 1 , r 1 , ...

Тези букви ще играят ролята на променливи, които приемат стойностите на истината „true“ и „false“ като стойности. Тези променливи се наричат ​​още пропозиционални променливи. Оттук нататък ще ги наричаме елементарни формули или атоми .

За да се конструират пропозиционални логически формули, в допълнение към горните букви се използват знаците на логическите операции

~, ∧, ∨, →, ↔,

както и символи, които осигуряват възможност за еднозначно четене на формулите - лява и дясна скоба.

концепция пропозиционални логически формули дефинирайте както следва:

1) елементарните формули (атоми) са формули на пропозиционалната логика;

2) ако Аи б- формули на пропозиционална логика, след това ~ А , (А ∧ б) , (А ∨ б) , (А → б) , (А ↔ б) също са формули на пропозиционалната логика;

3) само онези изрази са формули на пропозиционална логика, за които това следва от 1) и 2).

Дефиницията на пропозиционална логическа формула съдържа изброяване на правилата за формиране на тези формули. Съгласно дефиницията всяка формула на пропозиционалната логика е или атом, или е образувана от атоми в резултат на последователното прилагане на правило 2).

Пример 6Позволявам стр- единично твърдение (атом) "Всички рационални числа са реални", р- "Някои реални числа са рационални числа", r- "някои рационални числа са реални". Преведете под формата на словесни предложения следните формули на пропозиционалната логика:

6) .

1) "няма реални числа, които да са рационални";

2) "ако не всички рационални числа са реални, тогава няма рационални числа, които да са реални";

3) „ако всички рационални числа са реални, то някои реални числа са рационални числа и някои рационални числа са реални“;

4) „всички реални числа са рационални числа и някои реални числа са рационални числа, а някои рационални числа са реални числа“;

5) „всички рационални числа са реални тогава и само ако не е така, че не всички рационални числа са реални“;

6) "не е така, че не е така, че не всички рационални числа са реални и няма реални числа, които са рационални, или няма рационални числа, които са реални."

Пример 7Направете таблица на истинност за формулата на пропозиционалната логика , които в таблицата могат да бъдат означени f .

Решение. Започваме да компилираме таблицата на истината, като записваме стойностите („true“ или „false“) за единични твърдения (атоми) стр , ри r. Всички възможни стойности са записани в осем реда на таблицата. Освен това, когато определяте стойностите на операцията за импликация и се движите надясно в таблицата, не забравяйте, че стойността е равна на "false", когато "true" предполага "false".

стр	р	r					f
И	И	И	И	И	И	И	И
И	И	Л	И	И	И	Л	И
И	Л	И	И	Л	Л	Л	Л
И	Л	Л	И	Л	Л	И	И
Л	И	И	Л	И	Л	И	И
Л	И	Л	Л	И	Л	И	Л
Л	Л	И	И	И	И	И	И
Л	Л	Л	И	И	И	Л	И

Обърнете внимание, че нито един атом няма формата ~ А , (А ∧ б) , (А ∨ б) , (А → б) , (А ↔ б) . Това са сложни формули.

Броят на скобите във формулите на пропозиционалната логика може да бъде намален, като се приеме, че

1) в сложна формула ще пропуснем външната двойка скоби;

2) подредете знаците на логическите операции "по старшинство":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

В този списък знакът ↔ има най-голям обхват, а знакът ~ има най-малък обхват. Обхватът на знака за операция се разбира като онези части от пропозиционалната логическа формула, към които се прилага разглежданото появяване на този знак (върху които той действа). По този начин във всяка формула е възможно да се пропуснат тези двойки скоби, които могат да бъдат възстановени, като се вземе предвид "редът на приоритета". И когато се възстановяват скоби, първо се поставят всички скоби, които се отнасят за всички появявания на знака ~ (в този случай се движим отляво надясно), след това за всички появявания на знака ∧ и т.н.

Пример 8Възстановете скобите във формулата на пропозиционалната логика б ↔ ~ ° С ∨ д ∧ А .

Решение. Скобите се възстановяват стъпка по стъпка, както следва:

б ↔ (~ ° С) ∨ д ∧ А

б ↔ (~ ° С) ∨ (д ∧ А)

б ↔ ((~ ° С) ∨ (д ∧ А))

(б ↔ ((~ ° С) ∨ (д ∧ А)))

Не всяка формула на пропозиционалната логика може да бъде написана без скоби. Например във формули НО → (б → ° С) и ~( А → б) не е възможно по-нататъшно изтриване на скоби.

Тавтологии и противоречия

Логическите тавтологии (или просто тавтологии) са такива формули на пропозиционалната логика, че ако буквите се заменят произволно с предложения (вярно или невярно), тогава резултатът винаги ще бъде истинско предложение.

Тъй като истинността или неверността на сложните твърдения зависи само от значенията, а не от съдържанието на твърденията, всяко от които отговаря на определена буква, тогава тестът дали дадено твърдение е тавтология може да бъде заменен по следния начин. В изследвания израз стойностите 1 и 0 (съответно "true" и "false") се заместват с буквите по всички възможни начини и с помощта на логически операции се изчисляват логическите стойности на изразите. Ако всички тези стойности са равни на 1, тогава изследваният израз е тавтология и ако поне едно заместване дава 0, тогава това не е тавтология.

По този начин се нарича пропозиционална логическа формула, която приема стойността "истина" за всяко разпределение на стойностите на атомите, включени в тази формула идентично вярна формула или тавтология .

Обратното значение е логическо противоречие. Ако всички стойности на предложението са 0, тогава изразът е логическо противоречие.

По този начин се нарича пропозиционална логическа формула, която приема стойността "false" за всяко разпределение на стойностите на атомите, включени в тази формула идентично невярна формула или противоречие .

В допълнение към тавтологиите и логическите противоречия има формули на пропозиционалната логика, които не са нито тавтологии, нито противоречия.

Пример 9Направете таблица на истинност за формула на пропозиционална логика и определете дали тя е тавтология, противоречие или нито едно от двете.

Решение. Правим таблица на истината:

И	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И
Л	И	Л	И	И
Л	Л	Л	Л	И

В значенията на импликацията не срещаме ред, в който "вярно" предполага "лъжа". Всички стойности на оригиналното твърдение са равни на "true". Следователно тази формула на пропозиционалната логика е тавтология.

Логиката, създадена като наука от Аристотел (384-322 г. пр. н. е.), е била използвана от векове за развитието на много области на знанието, включително теология, философия и математика.

Това е основата, върху която е изградена цялата сграда на математиката. По същество логиката е наука за разсъждението, която ви позволява да определите истинността или неистинността на дадено математическо твърдение въз основа на набор от първични предположения, наречени аксиоми. Логиката се използва и в компютърните науки за изграждане на компютърни програми и доказване на тяхната коректност. Концепции, методи и средства на логиката са в основата на съвременните информационни технологии. Една от основните цели на тази работа е да изложи основите на математическата логика, да покаже как се използва в компютърните науки и да разработи методи за анализиране и доказване на математически твърдения.

Логически изгледи -описание на изучаваната система, процес, явление под формата на съвкупност сложни изречения,съставена от прости (елементарни) твърденияи логически връзкимежду тях. Логическите представяния и техните компоненти се характеризират с определени свойства и набор от допустими трансформации върху тях (операции, правила за извод и т.н.), които изпълняват тези, разработени във формалния (математически) логика, правилните методи на разсъждение са законите на логиката.

Понятието за изказване

изявлениее твърдение или декларативно изречение, за което може да се каже, че е вярно или невярно. С други думи, твърдение за истинността или неистинността на дадено предложение трябва да има смисъл. Истината или неистинността, приписана на дадено твърдение, се нарича негова стойност на истината, или стойност на истината.

Например изявления Две по две е четирии Челябинск се намира в азиатската част на Русиявярно и твърдения три над пети В момента река Дон се влива в Каспийско морефалшиви, защото не са верни. Истинните твърдения обикновено се обозначават T (вярно) или И (вярно), и съответно невярно, Е (невярно) или Л (Невярно). В компютърните науки истината обикновено се обозначава с 1 (двоична единица), а грешността се обозначава с 0 (двоична нула).

Ето примери за изречения, които не са твърдения:

Кой си ти?(въпрос),

Прочетете тази глава преди следващия урок(заповед или възклицание)

Това твърдение е невярно(вътрешно противоречиво твърдение),

Площта на сегмента е по-малка от дължината на куба(невъзможно е да се каже дали това изречение е вярно или невярно, защото няма смисъл).

Ще обозначаваме твърденията с букви от латинската азбука Р, р, r, Например, Рможе да бъде изявление Ще вали утре, а р- изявление Квадратът на цяло число е положително число.

Логически връзки

В обикновената реч, за да се образува сложно изречение от прости, се използват съединители - специални части на речта, които свързват отделни изречения. Най-често използваните връзки и, или, не, ако ... тогава, само ако, и тогава и само тогава. За разлика от обикновената реч, в логиката значението на такива връзки трябва да бъде недвусмислено определено. Истинността на едно съставно твърдение се определя еднозначно от истинността или неистинността на неговите съставни части. Извиква се израз, който не съдържа свързващи елементи просто. Извиква се изречение, съдържащо връзки труден. Логическите връзки се наричат ​​още логически операции върху предложения.

Позволявам Ри робозначават твърдения

Р: Джейн кара кола,

в: Боб има руса коса.

Съставно твърдение

Джейн кара кола, а Боб има руса коса.се състои от две части, свързани със сноп и. Това твърдение може да бъде написано символично като

където символ означава дума ина езика на символните изрази. Изразът се нарича връзка на предложения Ри р.

Съществуват и следните варианти на нотацията на връзката:

Абсолютно същото твърдение

Джейн кара кола или Боб има руса коса.

символично изразено като

къде е думата илипреведено на символичен език. Изразът се нарича пропозиционална дизюнкция Ри р.

Опровержение или отричане на твърдение стробозначен с

По този начин, ако Рима една поговорка Джейн шофира, тогава това е твърдението Джейн не шофира.

Ако rима една поговорка Джо харесва компютърните науки, тогава Джейн не шофира, а Боб има руса коса или Джо обича компютърните наукисимволично написано като

.

Обратно, изразът

това е символична форма на писане на изявление Джейн кара кола, косата на Боб не е руса, а Джо харесва компютърните науки..

Нека разгледаме израза. Ако някой каже: " Джейн кара кола, а Боб има руса коса", тогава естествено си представяме Джейн да кара кола и светлокосия Боб. Във всяка друга ситуация (например, ако Боб не е рус или Джейн не шофира), ще кажем, че говорещият греши.

Има четири случая, които трябва да разгледаме. изявление Рможе да е вярно ( T) или невярно ( Е) и без значение каква стойност на истината Р, изявление рможе и да е вярно ( T) или невярно ( Е). таблица на истинатаизброява всички възможни комбинации от верни и грешни съставни твърдения.

Така че връзката е вярна тогава и само ако и двете твърдения са верни. стри р, тоест в случай 1.

По същия начин разгледайте твърдението Джейн кара кола или Боб има руса коса, което символично се изразява като . Ако някой каже "Джейн кара кола или Боб има руса коса", тогава той ще сгреши само когато Джейн не може да кара кола и Боб няма руса коса. За да бъде вярно цялото твърдение, достатъчно е един от двата му компонента да е верен. Така че има таблица на истината

Дизюнкцията е невярна само в случай 4, когато и двете Ри рневярно.

Таблицата на истината за отрицанието е

Стойността на истината винаги е противоположна на стойността на истината на p. В таблиците на истината отрицанието винаги се оценява първо, освен ако знакът за отрицание не е последван от израз в скоби. Следователно се тълкува като , така че отрицанието се отнася само за Р. Ако искаме да отхвърлим цялото твърдение, тогава това се записва като .

Символи и имена двоиченвръзки, защото свързват две изречения. Символът ~ е единиченкопула, тъй като се отнася само за едно твърдение.

Друг двоичен съединител е изключителното или, което се означава с . Едно твърдение е вярно, когато е вярно стрили рно не и двете едновременно. Тази връзка има таблица на истината

Използване на дума или, можем да означаваме изключителен или. Например, когато казваме това Ре или вярно, или невярно, тогава, разбира се, приемаме, че това не е вярно в същото време. В логиката изключителен илисе използва доста рядко и в бъдеще, като правило, ще се справим без него.

Обмислете твърдението

,

където се използват скоби, за да се покаже кои изречения са компоненти на всеки свързващ елемент.

Таблицата на истината дава възможност недвусмислено да се посочат тези ситуации, когато твърдението истина е; при това трябва да сме сигурни, че всички случаи са взети под внимание. Тъй като съставното изявление съдържа три основни изявления Р, ри r, тогава има осем случая

Случва се	стр	р	r
	T	T	T	Е	Е	T
	T	T	Е	Е	Е	T
	T	Е	T	T	T	T
	T	Е	Е	T	Е	T
	Е	T	T	Е	Е	Е
	Е	T	Е	Е	Е	Е
	Е	Е	T	T	T	T
	Е	Е	Е	T	Е	Е

Когато намираме стойностите на истината за колона, използваме колоните за и r, както и таблицата на истината за . Таблицата на истината за показва, че едно твърдение е вярно само ако и двете твърдения са верни и r. Това се случва само в случаи 3 и 7.

Имайте предвид, че когато определяте стойностите на истината за колона има значение само истинността на твърденията стри . Таблицата на истината за показва, че единственият случай, когато предложението се формира с помощта на съединител или, невярно, е случаят, когато и двете части на твърдението са неверни. Тази ситуация възниква само в случаи 5, 6 и 8.

Друг, еквивалентен начин за конструиране на таблица на истината е да напишете стойностите на истината на израза под съединителя. Помислете отново за израза . Първо записваме стойностите на истината под променливите Р, ри r. 1 под колоните за истина показват, че на тези колони първо са присвоени стойности за истина. Като цяло числото под колоната ще показва номера на стъпката, при която се изчисляват съответните стойности на истината. След това пишем под символа ~ истинните стойности на предложението. След това записваме стойностите на истината под символа. Накрая записваме значенията на твърдението под символа.

Случва се	стр	р	r	стр		((~	р)		r
	T	T	T	T	T	Е	T	Е	T
	T	T	Е	T	T	Е	T	Е	Е
	T	Е	T	T	T	T	Е	T	T
	T	Е	Е	T	T	Е	Е	Е	Е
	Е	T	T	Е	Е	Е	T	Е	T
	Е	T	Е	Е	Е	Е	T	Е	Е
	Е	Е	T	Е	T	T	Е	T	T
	Е	Е	Е	Е	Е	Е	Е	Е	Е

1.1.3. Условни изрази

Да предположим, че някой твърди, че ако се случи едно събитие, ще се случи друго. Да предположим, че един баща казва на сина си: Ако издържиш всичките си изпити този семестър с отлични оценки, ще ти купя кола.". Имайте предвид, че изявлението е: ако p тогава q, където Р- изявление Ще издържите всички изпити този семестър с отлични оценки., а р- изявление Ще ти купя кола. Означаваме сложно твърдение символично с . Въпросът е при какви условия бащата казва истината? Да предположим, че твърденията Ри рвярно. В този случай един щастлив ученик получава отлични оценки по всички предмети, а един приятно изненадан баща му купува кола. Естествено, никой не се съмнява, че твърдението на бащата е вярно. Има обаче още три случая, които трябва да бъдат разгледани. Да кажем, че един ученик наистина е постигнал отлични резултати, но баща му не му е купил кола.

Най-мекото нещо, което може да се каже за бащата в случая е, че е излъгал. Следователно, ако Рвярно и рневярно, после невярно. Да предположим сега, че ученикът не е получил положителни оценки, но въпреки това баща му му е купил кола. В този случай бащата изглежда много щедър, но не може да се нарече лъжец. Следователно, ако Рневярно и рвярно, тогава твърдението ако p тогава q(т.е.) е вярно. И накрая, да предположим, че ученикът не е постигнал отлични резултати и баща му не му е купил кола.

Тъй като ученикът не е изпълнил своята част от уговорката, бащата също е освободен от задължения. По този начин, ако Ри рневярно, то се счита за истина. Така че единственият път, когато бащата е излъгал, е бил, когато е дал обещание и не го е изпълнил.

По този начин таблицата на истината за твърдението има формата

Символът се нарича внушение, или условна връзка.

Може да изглежда, че има причинно-следствена връзка, но това не е необходимо. За да видим липсата на причина и следствие в импликацията, нека се върнем към примера, в който Рима една поговорка Джейн шофира, а р- изявление Боб има руса коса. След това изявлението Ако Джейн шофира, тогава Боб има руса коса.ще бъде записано като

ако стр, тогава рили как.

Фактът, че Джейн кара кола, няма нищо общо с факта, че Боб има руса коса. Все пак трябва да се помни, че истинността или неистинността на едно бинарно съставно твърдение зависи само от истинността на неговите съставни части и не зависи от наличието или липсата на каквато и да е връзка между тях.

Помислете за следния пример. Изисква се да се намери таблицата на истинността на израза

.

Използвайки таблицата на истината за дадена по-горе, ние първо изграждаме таблици на истинност за и , като се има предвид, че импликацията е невярна само когато .

Сега използваме таблицата, за да получим израза

таблица на истината

Случва се	стр	р	r	(стр		р)		(р		r)
	T	T	T	T	T	T	T	T	T	T
	T	T	Е	T	T	T	Е	T	Е	Е
	T	Е	T	T	Е	Е	Е	Е	T	T
	T	Е	Е	T	Е	Е	Е	Е	T	Е
	Е	T	T	Е	T	T	T	T	T	T
	Е	T	Е	Е	T	T	Е	T	T	Е
	Е	Е	T	Е	T	Е	T	Е	Е	T
	Е	Е	Е	Е	T	Е	T	Е	T	Е
							*

Израз на формата се означава с . Символът се нарича еквивалентен. Еквивалентността също понякога се означава като (да не се бърка с операцията за унарно отрицание).