Как се получава числото е. Световни константи "пи" и "е" в основните закони на физиката и физиологията

В HTML цветът може да бъде определен по три начина:

Задаване на цвят в HTML по неговото име

Някои цветове могат да бъдат посочени с името им, като се използва името на цвета върху английски език. Най-често ключови думи: черно (черно), бяло (бяло), червено (червено), зелено (зелено), синьо (синьо) и т.н.:

Цвят на текста - червен

Най-популярните цветове на World Wide Web Consortium (англ. World широка мрежаКонсорциум, W3C):

Цвят	Име	Цвят	Име	Цвят	Име	Цвят	Име
	черен		Сив		Сребро		Бяло
	Жълто		вар		Аква		Фуксия
	червен		Зелено		Син		Лилаво
	кестеняво		Маслина		ВМС		Тил

Пример за използване на различни имена на цветове:

Пример: задаване на цвят по името му

• Опитайте сами"

Заглавка на червен фон

Заглавка на оранжев фон

Заглавка на лайм фон

Бял текст на син фон

Заглавка на червен фон

Заглавка на оранжев фон

Заглавка на лайм фон

Бял текст на син фон

Задаване на цвят с RGB

При показване на различни цветове на монитора, RGB палитрата се взема като основа. Всеки цвят се получава чрез смесване на трите основни: R - червено, G - зелено (зелено), B - синьо (синьо). Яркостта на всеки цвят се дава от един байт и следователно може да приема стойности от 0 до 255. Например RGB (255,0,0) се показва като червено, защото червеното е зададено като собствено висока стойност(255), а останалите са зададени на 0. Можете също да зададете цвета процент. Всеки от параметрите показва нивото на яркост на съответния цвят. Например: стойностите rgb(127, 255, 127) и rgb(50%, 100%, 50%) ще зададат същото зелен цвятсредна наситеност:

Пример: Задаване на цвят с RGB

• Опитайте сами"

rgb(127, 255, 127)

rgb (50%, 100%, 50%)

rgb(127, 255, 127)

rgb (50%, 100%, 50%)

Задайте цвят по шестнадесетична стойност

Стойности Р Ж бможе също да се посочи с помощта на шестнадесетични (HEX) цветови стойности във формата: #RRGGBB където RR (червено), GG (зелено) и BB (синьо) са шестнадесетични стойности от 00 до FF (същите като десетични 0- 255). Шестнадесетичната система, за разлика от десетичната, се основава, както подсказва името й, на числото 16. Шестнадесетичната система използва следните знаци: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Тук числата от 10 до 15 са заменени с латински букви. Числата, по-големи от 15 в шестнадесетичната система, са обединението на два знака в една стойност. Например, най-високото число 255 в десетична система съответства на най-високото FF в шестнадесетична система. За разлика от десетичната система, шестнадесетичното число се предхожда от знак за паунд. # , например #FF0000 се изобразява като червено, защото червеното е зададено на най-високата си стойност (FF), а останалите цветове са зададени на минимална стойност(00). Знаци след символа хеш # може да се въвежда както с главни, така и с малки букви. Шестнадесетичната система ви позволява да използвате съкратената форма #rgb, където всеки знак е равен на два пъти. Следователно записът #f7O трябва да се разглежда като #ff7700.

Пример: Цвят HEX

• Опитайте сами"

червено: #FF0000

зелено: #00FF00

синьо: #0000FF

червено: #FF0000

зелено: #00FF00

синьо: #0000FF

червено+зелено=жълто: #FFFF00

червено+синьо=лилаво: #FF00FF

зелено+синьо=циан: #00FFFF

Списък с често използвани цветове (име, HEX и RGB):

английско име	Руско име	проба	HEX	RGB
амарант	амарант		#E52B50	229	43	80
Амбър	Амбър		#FFBF00	255	191	0
Аква	синьозелено		#00FFFF	0	255	255
Лазурно	Лазурно		#007FFF	0	127	255
черен	черен		#000000	0	0	0
Син	Син		#0000FF	0	0	255
Бонди синьо	Вода на плаж Бонди		#0095B6	0	149	182
Месинг	Месинг		#B5A642	181	166	66
кафяво	кафяво		#964B00	150	75	0
Cerulean	Лазурно		#007BA7	0	123	167
тъмно пролетно зелено	Тъмно пролетно зелено		#177245	23	114	69
Емералд	Емералд		#50C878	80	200	120
Патладжан	патладжан		#990066	153	0	102
Фуксия	Фуксия		#FF00FF	255	0	255
злато	злато		#FFD700	250	215	0
Сив	Сив		#808080	128	128	128
Зелено	Зелено		#00FF00	0	255	0
Индиго	Индиго		#4B0082	75	0	130
нефрит	нефрит		#00A86B	0	168	107
вар	Лайм		#CCFF00	204	255	0
Малахит	Малахит		#0BDA51	11	218	81
ВМС	Тъмно синьо		#000080	0	0	128
охра	охра		#CC7722	204	119	34
Маслина	Маслина		#808000	128	128	0
портокал	портокал		#FFA500	255	165	0
праскова	Праскова		#FFE5B4	255	229	180
тиква	тиква		#FF7518	255	117	24
Лилаво	Виолетово		#800080	128	0	128
червен	червен		#FF0000	255	0	0
Шафран	Шафран		#F4C430	244	196	48
морско зелено	зелено море		#2E8B57	46	139	87
Блатно зелено	Болотни		#ACB78E	172	183	142
Тил	синьозелено		#008080	0	128	128
Ултрамарин	ултрамарин		#120A8F	18	10	143
виолетово	Виолетово		#8B00FF	139	0	255
Жълто	Жълто		#FFFF00	255	255	0

Цветови кодове (фон) по наситеност и нюанс.

Цветовите кодове в CSS се използват за определяне на цветове. Обикновено цветовите кодове или цветовите стойности се използват за задаване на цвят или за предния план на елемент (напр. текст, цвят на връзката), или за фона на елемент (фон, цвят на блок). Те могат да се използват и за промяна на цвета на бутоните, граници, маркер, задържане и други декоративни ефекти.

Можете да зададете вашите цветови стойности в различни формати. Следната таблица изброява всички възможни формати:

Тези формати са описани по-подробно по-долу.

CSS цветове - шестнадесетични кодове

Шестнадесетичен код на цветае шестцифрено цветово представяне. Първите две цифри (RR) са червената стойност, следващите две са зелена стойност(GG), а последните са синята стойност (BB).

CSS цветове - кратки шестнадесетични кодове

Кратък шестнадесетичен код на цветае по-кратка форма на запис от шест знака. В този формат всяка цифра се повтаря, за да се получи еквивалентната шестцифрена стойност на цвета. Например: #0F0 става #00FF00.

Шестнадесетичната стойност може да бъде взета от всяка графика софтуер, като Адобе Фотошоп, Core Draw и др.

Всеки шестнадесетичен цветен код в CSS ще бъде предшестван от знак "#". Следват примери за използване на шестнадесетичен запис.

CSS цветове - RGB стойности

RGB стойносте цветен код, който се задава с помощта на свойството rgb(). Това свойство приема три стойности: по една за червено, зелено и синьо. Стойността може да бъде цяло число, от 0 до 255 или процент.

Забележка:Не всички браузъри поддържат цветовото свойство rgb(), така че не се препоръчва използването му.

По-долу е даден пример, показващ множество цветове с помощта на RGB стойности.

Генератор на цветни кодове

Можете да създадете милиони цветни кодове с нашата услуга.

Цветове за безопасен браузър

По-долу има таблица с 216 цвята, които са най-сигурните и независими от компютъра. Тези цветове в CSS варират от 000000 до шестнадесетичен код FFFFFF. Те са безопасни за използване, тъй като гарантират, че всички компютри ще показват цвета правилно, когато работят с 256 цветова палитра.

Таблица на "безопасните" цветове в CSS
#000000	#000033	#000066	#000099	#0000CC	#0000FF
#003300	#003333	#003366	#003399	#0033CC	#0033FF
#006600	#006633	#006666	#006699	#0066CC	#0066FF
#009900	#009933	#009966	#009999	#0099CC	#0099FF
#00CC00	#00CC33	#00CC66	#00CC99	#00CCCC	#00CCFF
#00FF00	#00FF33	#00FF66	#00FF99	#00FFCC	#00FFFF
#330000	#330033	#330066	#330099	#3300CC	#3300FF
#333300	#333333	#333366	#333399	#3333CC	#3333FF
#336600	#336633	#336666	#336699	#3366CC	#3366FF
#339900	#339933	#339966	#339999	#3399CC	#3399FF
#33CC00	#33CC33	#33CC66	#33CC99	#33CCCC	#33CCFF
#33FF00	#33FF33	#33FF66	#33FF99	#33FFCC	#33FFFF
#660000	#660033	#660066	#660099	#6600CC	#6600FF
#663300	#663333	#663366	#663399	#6633CC	#6633FF
#666600	#666633	#666666	#666699	#6666CC	#6666FF
#669900	#669933	#669966	#669999	#6699CC	#6699FF
#66CC00	#66CC33	#66CC66	#66CC99	#66CCCC	#66CCFF
#66FF00	#66FF33	#66FF66	#66FF99	#66FFCC	#66FFFF
#990000	#990033	#990066	#990099	#9900CC	#9900FF
#993300	#993333	#993366	#993399	#9933CC	#9933FF
#996600	#996633	#996666	#996699	#9966CC	#9966FF
#999900	#999933	#999966	#999999	#9999CC	#9999FF
#99CC00	#99CC33	#99CC66	#99CC99	#99CCCC	#99CCFF
#99FF00	#99FF33	#99FF66	#99FF99	#99FFCC	#99FFFF
#CC0000	#CC0033	#CC0066	#CC0099	#CC00CC	#CC00FF
#CC3300	#CC3333	#CC3366	#CC3399	#CC33CC	#CC33FF
#CC6600	#CC6633	#CC6666	#CC6699	#CC66CC	#CC66FF
#CC9900	#CC9933	#CC9966	#CC9999	#CC99CC	#CC99FF
#CCCC00	#CCCC33	#CCCC66	#CCCC99	#CCCCCC	#CCCCFF
#CCFF00	#CCFF33	#CCFF66	#CCFF99	#CCFFCC	#CCFFFF
#FF0000	#FF0033	#FF0066	#FF0099	#FF00CC	#FF00FF
#FF3300	#FF3333	#FF3366	#FF3399	#FF33CC	#FF33FF
#FF6600	#FF6633	#FF6666	#FF6699	#FF66CC	#FF66FF
#FF9900	#FF9933	#FF9966	#FF9999	#FF99CC	#FF99FF
#FFCC00	#FFCC33	#FFCC66	#FFCC99	#FFCCCC	#FFCCFF
#FFFF00	#FFFF33	#FFFF66	#FFFF99	#FFFFCC	#FFFFFF

Всеки знае геометричен смисълчисла π е обиколката на кръг с единичен диаметър:

И тук е значението на друга важна константа, д, има тенденция да се забравя бързо. Тоест, не знам за вас, но всеки път си струва усилието да си спомня защо това число, равно на 2,7182818284590, е толкова забележително ... (записах обаче стойността по памет). Затова реших да напиша бележка, за да не излети повече от паметта.

Номер дпо дефиниция – лимит на функция г = (1 + 1 / х) хпри х → ∞:

х	г
1	(1 + 1 / 1) 1	= 2
2	(1 + 1 / 2) 2	= 2,25
3	(1 + 1 / 3) 3	= 2,3703703702...
10	(1 + 1 / 10) 10	= 2,5937424601...
100	(1 + 1 / 100) 100	= 2,7048138294...
1000	(1 + 1 / 1000) 1000	= 2,7169239322...
∞	lim × → ∞	= 2,7182818284590...

Това определение, за съжаление, не е ясно. Не е ясно защо тази граница е забележителна (въпреки факта, че се нарича "втора забележителна"). Само си помислете, взеха някаква тромава функция, изчислиха границата. Друга функция ще има друга.

Но броят дпо някаква причина се появява в цял куп от най-много различни ситуациипо математика.

За мен Основната точкачисла дсе разкрива в поведението на друга, много по-интересна функция, г = к х. Тази функция има уникален имотпри к = д, което може да се покаже графично по следния начин:

В точка 0 функцията приема стойността д 0 = 1. Ако начертаем допирателна в точката х= 0, тогава ще премине към оста x под ъгъл с допирателната 1 (in жълт триъгълниксъотношението на противоположния крак 1 към съседния 1 е 1). В точка 1 функцията приема стойността д 1 = д. Ако начертаем допирателна в точка х= 1, тогава ще минава под ъгъл с допирателната д(във зелен триъгълникпротивоположно съотношение на краката дкъм съседно 1 е равно на д). В точка 2 стойността д 2 функция отново съвпада с тангенса на наклона на допирателната към нея. Поради това в същото време самите тангенти пресичат оста x точно в точките −1, 0, 1, 2 и т.н.

Сред всички функции г = к х(напр. 2 х , 10 х , π хи т.н.), функция д х- единственият има такава красота, че тангенса на наклона му във всяка негова точка съвпада със стойността на самата функция. Така че, по дефиниция, стойността на тази функция във всяка точка съвпада със стойността на нейната производна в тази точка: ( д х)´ = д х. По някаква причина номерът д= 2.7182818284590... трябва да се повиши до различни степениза да получите тази снимка.

Това според мен е неговият смисъл.

Числа π и дса включени в любимата ми формула - формулата на Ойлер, която свързва 5-те най-важни константи - нула, единица, имагинерна единица ази всъщност числа π и д:

eip + 1 = 0

Защо числото 2,7182818284590... е в сложна степен 3,1415926535...азизведнъж равно на минус едно? Отговорът на този въпрос е извън обхвата на една бележка и може да формира съдържанието на малка книга, която би изисквала известно първоначално разбиране на тригонометрията, границите и сериите.

Винаги съм бил изумен от красотата на тази формула. Може би в математиката има повече невероятни факти, но за моето ниво (три във Физико-математическия лицей и пет за комплексен анализв университета) е най-важното чудо.

Като нещо незначително. Това се случи през 1618 г. В приложение към труда на Напиер върху логаритмите беше дадена таблица с естествени логаритми различни числа. Никой обаче не разбра, че това са основни логаритми, тъй като такова нещо като основа не беше включено в концепцията за логаритъм от онова време. Това сега наричаме логаритъм степента, на която трябва да се повдигне основата, за да се получи необходимото число. Ще се върнем към това по-късно. Таблицата в приложението най-вероятно е направена от Ougthred, въпреки че авторът не е посочен. Няколко години по-късно, през 1624 г., се появява отново в математическата литература, но отново завоалирано. Тази година Бригс даде числено приближение десетичен логаритъм, но самото число не се споменава в работата му.

Следващото срещане на числото отново е съмнително. През 1647 г. Сен-Винсънт изчислява площта на хиперболичен сектор. Дали е разбрал връзката с логаритмите, може само да се гадае, но дори и да е разбрал, едва ли би могъл да стигне до самото число. Едва през 1661 г. Хюйгенс разбира връзката между равнобедрената хипербола и логаритмите. Той доказа, че площта под графиката на равнобедрена хипербола на равнобедрена хипербола на интервала от до е равна на . Това свойство прави основата на натуралните логаритми, но математиците от онова време не разбираха това, но бавно се приближиха до това разбиране.

Хюйгенс прави следващата стъпка през 1661 г. Той дефинира крива, която нарича логаритмична (в нашата терминология ще я наричаме експоненциална). Това е кривата на изгледа. И отново има десетичен логаритъм, който Хюйгенс намира с точност до 17 десетични цифри. Въпреки това, той произхожда от Хюйгенс като вид константа и не е свързан с логаритъма на числото (така че отново се доближиха до , но самото число остава неразпознато).

В по-нататъшната работа върху логаритмите отново числото не се появява изрично. Въпреки това изучаването на логаритмите продължава. През 1668 г. Николай Меркатор публикува труд Логаритмотехника, който съдържа серия разширение на . В тази работа Меркатор за първи път използва името „ натурален логаритъм” за основен логаритъм. Номерът очевидно не се появява отново, но остава неуловим някъде встрани.

Изненадващо, числото в ясна форма за първи път възниква не във връзка с логаритми, а във връзка с безкрайни произведения. През 1683 г. Яков Бернули се опитва да намери

Той използва биномната теорема, за да докаже, че тази граница е между и и можем да мислим за това като за първо приближение на числото. Въпреки че приемаме това като определение, това е първият път, когато едно число е определено като ограничение. Бернули, разбира се, не разбираше връзката между работата си и работата по логаритмите.

По-рано беше споменато, че логаритмите в началото на тяхното изследване не са били свързани с експоненти по никакъв начин. Разбира се, от уравнението намираме, че , но това е много по-късен начин на мислене. Тук наистина имаме предвид под логаритъм функция, докато в началото логаритъма се е разглеждал само като число, което помага при изчисленията. Може би Якоб Бернули беше първият, който осъзна това логаритмична функцияе обратно експоненциален. От друга страна, първият, който свързва логаритми и степени, може да бъде Джеймс Грегъри. През 1684 г. той определено разпознава връзката между логаритми и степени, но може да не е първият.

Знаем, че числото се появява, както е сега, през 1690 г. В писмо до Хюйгенс Лайбниц използва нотацията за него. Накрая се появи обозначение (въпреки че не съвпадаше със съвременното) и това обозначение беше признато.

През 1697 г. Йохан Бернули започва да изучава експоненциалната функция и публикува Principia calculi exponentialum seu percurrentium. В тази статия се изчисляват сумите на различни експоненциални серии и някои резултати се получават чрез интегрирането им член по член.

Ойлер представи толкова много математическа нотация, Какво
не е изненадващо, че наименованието също принадлежи на него. Изглежда смешно да се каже, че е използвал буква, защото това е първата буква от името му. Това вероятно не е дори защото е взето от думата „експоненциален“, а просто защото е следващата гласна след „а“, а Ойлер вече е използвал обозначението „а“ в работата си. Независимо от причината, наименованието се появява за първи път в писмо от Ойлер до Голдбах през 1731 г. Introductio in Analysin infinitorumтой даде пълна обосновка на всички идеи, свързани с . Той показа това

Ойлер също намери първите 18 знака след десетичната запетая на число:

без обаче да обясни как ги е получил. Изглежда, че той сам е изчислил тази стойност. Всъщност, ако вземете около 20 члена от серията (1), ще получите точността, която е получил Ойлер. Между другите интересни резултатив работата си връзката между функциите синус и косинус и комплекса експоненциална функция, която Ойлер извежда от формулата на Де Моавър.

Интересно е, че Ойлер дори е открил разлагането на число в непрекъснати дроби и е дал примери за такова разлагане. По-специално, той получи
и
Ойлер не предостави доказателство, че тези дроби продължават по същия начин, но той знаеше, че ако има такова доказателство, то ще докаже ирационалност. Наистина, ако продължителната дроб за продължи по същия начин, както в горната проба (всеки път, когато добавяме с ), тогава тя никога няма да бъде прекъсната и (следователно и ) не може да бъде рационална. Очевидно това е първият опит за доказване на ирационалност.

Първият, който изчислява доста голямо числодесетични знаци, беше Шанкс през 1854 г. Глейшър показа, че първите 137 цифри, изчислени от Шанкс, са правилни, но по-късно откри грешка. Шанкс го коригира и се получават 205 знака след десетичната запетая. Всъщност имате нужда от около
120 термина за разширяване (1), за да получите 200 правилни цифри.

През 1864 г. Бенджамин Пиърс (Пърс) стои до черната дъска, на която пише

В лекциите си той може да каже на студентите си: „Господа, нямаме представа какво означава това, но можем да сме сигурни, че означава нещо много важно.“

Повечето смятат, че Ойлер е доказал ирационалността на числото. Това обаче е направено от Ермит през 1873 г. Все още остава отворен въпросдали числото е алгебрично. Крайният резултат в тази посока е, че поне едно от числата е трансцендентално.

След това бяха изчислени следващите десетични знаци на числото. През 1884 г. Бурман изчислява 346 цифри от числото, от които първите 187 съвпадат със знаците на Шанкс, но следващите се различават. През 1887 г. Адамс изчислява 272-те цифри на десетичния логаритъм.

| Число на Ойлер (E)

д - основа на натурален логаритъм, математическа константа, ирационално и трансцендентно число. Приблизително равно на 2,71828. Понякога се обажда номерът Число на Ойлерили Номер на Напиер. Обозначава се с малки букви латиница « д».

История

Номер д за първи път се появява в математиката като нещо незначително. Това се случи през 1618 г. В приложение към работата на Джон Напиер върху логаритмите беше дадена таблица с естествените логаритми на различни числа. Никой обаче не разбра, че това са основни логаритми д , тъй като такова нещо като основа не беше включено в концепцията за логаритъм от онова време. Това сега наричаме логаритъм степента, на която трябва да се повдигне основата, за да се получи необходимото число. Ще се върнем към това по-късно. Таблицата в приложението най-вероятно е направена от Ougthred, въпреки че авторът не е посочен. Няколко години по-късно, през 1624 г., математическата литература се появява отново д , но отново завоалирано. Тази година Бригс даде числено приближение на логаритъм с основа 10 д , но самото число д не се споменава в работата му.

Следващото срещане на числото д пак съмнително. През 1647 г. Сен-Винсънт изчислява площта на хиперболичен сектор. Дали е разбрал връзката с логаритмите, може само да се гадае, но дори и да е разбрал, едва ли ще стигне до самото число д . Едва през 1661 г. Хюйгенс разбира връзката между равнобедрената хипербола и логаритмите. Той доказа, че площта под графиката на равнобедрена хипербола xy = 1 равнобедрена хипербола на интервала от 1 до д е 1. Този имот прави д основата на естествените логаритми, но математиците от онова време не разбираха това, но бавно се приближиха до това разбиране.

Хюйгенс прави следващата стъпка през 1661 г. Той дефинира крива, която нарича логаритмична (в нашата терминология ще я наричаме експоненциална). Това е крива на формата y = ka x . И отново има десетичен логаритъм д , което Хюйгенс намира с точност до 17 десетични цифри. Въпреки това, той възниква в Хюйгенс като вид константа и не е свързан с логаритъма на число (така че отново се доближават до д , но самото число д остава неизвестен).

В по-нататъшната работа върху логаритмите, отново числото д не се появява изрично. Въпреки това изучаването на логаритмите продължава. През 1668 г. Николай Меркатор публикува труд Логаритмотехника, който съдържа разширението на серията log(1 + x) . В тази работа Меркатор за първи път използва името "натурален логаритъм" за логаритъм към основата д . Номер д очевидно не се появява отново, а остава неуловим някъде в далечината.

Изненадващо, броят д изрично възниква за първи път не във връзка с логаритми, а във връзка с безкрайни произведения. През 1683 г. Яков Бернули се опитва да намери

Той използва биномната теорема, за да докаже, че тази граница е между 2 и 3 и това можем да приемем за първо приближение на числото д . Въпреки че приемаме това като определение д , това е първият път, когато число се определя като ограничение. Бернули, разбира се, не разбираше връзката между работата си и работата по логаритмите.

По-рано беше споменато, че логаритмите в началото на тяхното изследване не са били свързани с експоненти по никакъв начин. Разбира се, от уравнението x = a t намираме това t = log x , но това е много по-късен начин на възприемане. Тук наистина имаме предвид под логаритъм функция, докато в началото логаритъма се е разглеждал само като число, което помага при изчисленията. Може би Якоб Бернули беше първият, който осъзна, че логаритмичната функция е обратно експоненциална. От друга страна, първият, който свързва логаритми и степени, може да бъде Джеймс Грегъри. През 1684 г. той определено разпознава връзката между логаритми и степени, но може да не е първият.

Знаем, че броят д се появява във формата, в която е сега, през 1690 г. Лайбниц в писмо до Хюйгенс използва обозначението за него b . Накрая д се появи обозначение (въпреки че не съвпадаше със съвременното) и това обозначение беше признато.

През 1697 г. Йохан Бернули започва да изучава експоненциалната функция и публикува Principia calculi exponentialum seu percurrentium. В тази статия се изчисляват сумите на различни експоненциални серии и някои резултати се получават чрез интегрирането им член по член.

Леонхард Ойлер въвежда толкова много математически нотации, че не е изненадващо, че нотацията д също му принадлежи. Изглежда смешно да се каже, че той е използвал писмото д защото това е първата буква от името му. Вероятно дори не е защото д взета от думата „експоненциална“, а просто следващата гласна след „а“, а Ойлер вече използва нотацията „а“ в работата си. Независимо от причината, наименованието се появява за първи път в писмо от Ойлер до Голдбах през 1731 г. Той прави много открития, изучавайки д по-късно, но едва през 1748 г Introductio in Analysin infinitorumтой даде пълна обосновка на всички идеи, свързани с д . Той показа това

Ойлер открива и първите 18 знака след десетичната запетая на число д :

Вярно, без да обяснява как ги е получил. Изглежда, че той сам е изчислил тази стойност. Всъщност, ако вземете около 20 члена от серията (1), ще получите точността, която е получил Ойлер. Сред другите интересни резултати в неговата работа е връзката между функциите синус и косинус и комплексната експоненциална функция, която Ойлер извлича от формулата на Де Моавър.

Интересното е, че Ойлер дори откри разширяването на числото д в непрекъснати дроби и даде примери за такива разширения. По-специално, той получи

Ойлер не даде доказателство, че тези дроби продължават по същия начин, но той знаеше, че ако има такова доказателство, то ще докаже ирационалност д . Наистина, ако продължителната дроб за (e - 1) / 2 , продължава по същия начин, както в горната проба, 6,10,14,18,22,26, (всеки път, когато добавяме 4), тогава никога няма да бъде прекъснат и (e-1) / 2 (и следователно д ) не може да бъде рационален. Очевидно това е първият опит за доказване на ирационалност д .

Първият, който изчислява доста голям брой знаци след десетичната запетая д , беше Шанкс през 1854 г. Глейшър показа, че първите 137 знака, изчислени от Шанкс, са правилни, но след това откри грешка. Шанкс го коригира и бяха получени 205 знака след десетичната запетая д . Всъщност са необходими около 120 члена на разширението (1), за да се получат 200 правилни цифри от числото д .

През 1864 г. Бенджамин Пиърс (Пърс) стои до черната дъска, на която пише

В лекциите си той може да каже на студентите си: „Господа, нямаме представа какво означава това, но можем да сме сигурни, че означава нещо много важно.“

Повечето смятат, че Ойлер е доказал ирационалността на числото д . Това обаче е направено от Ермит през 1873 г. Все още е открит въпросът дали броят е такъв e e алгебричен. Крайният резултат в тази посока е, че поне едно от числата e e и д д 2 е трансцендентно.

След това бяха изчислени следните десетични знаци д . През 1884 г. Бурман изчислява 346 цифри от число д , от които първите 187 съвпадат със знаците на Шанкс, но следващите се различават. През 1887 г. Адамс изчислява 272-те цифри на десетичния логаритъм д .

Дж. Дж. Конър, Е. Ф. Робъртсън. Броя д.