Как да проверите дали дадена функция е четна или нечетна. Четни и нечетни функции

Назад напред

внимание! Визуализацията на слайда е само за информационни цели и може да не представя пълния обем на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Цели:

• да формира концепцията за четни и нечетни функции, да научи способността да определя и използва тези свойства при изучаването на функции, чертане;
• да развива творческата активност на учениците, логическото мислене, способността за сравняване, обобщаване;
• да се култивира усърдие, математическа култура; развийте комуникативни умения .

Оборудване:мултимедийна инсталация, интерактивна дъска, раздавателни материали.

Форми на работа:фронтална и групова с елементи на търсеща и изследователска дейност.

Източници на информация:

1. Алгебра клас 9 А. Г. Мордкович. Учебник.
2. Алгебра 9 клас А. Г. Мордкович. Задачна книга.
3. Алгебра 9 клас. Задачи за обучение и развитие на учениците. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

1. Организационен момент

Поставяне на цели и задачи на урока.

2. Проверка на домашните

№ 10.17 (Проблемна книга 9 клас А.Г. Мордкович).

а) при = f(х), f(х) =

б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

в) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(х) = 0 за х ~ 0,4
4. f(х) >0 при х > 0,4 ; f(х) < 0 при – 2 < х < 0,4.
5. Функцията се увеличава с х € [– 2; + ∞)
6. Функцията е ограничена отдолу.
7. принаем = - 3, принаиб не съществува
8. Функцията е непрекъсната.

(Използвахте ли алгоритъма за изследване на функции?) Пързалка.

2. Нека проверим таблицата, която ви беше зададена на слайда.

Попълнете таблицата
	Домейн	Функционални нули	Интервали на постоянство		Координати на точките на пресичане на графиката с Oy
		x = -5, х = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Актуализация на знанията

– Дадени са функции.
– Посочете домейна на дефиниция за всяка функция.
– Сравнете стойността на всяка функция за всяка двойка стойности на аргументи: 1 и – 1; 2 и - 2.
– За кои от дадените функции в областта на дефиниция са равенствата f(– х) = f(х), f(– х) = – f(х)? (поставете данните в таблицата) пързалка

		f(1) и f(– 1)	f(2) и f(– 2)	диаграми	f(– х) = –f(х)	f(– х) = f(х)
1. f(х) =
2. f(х) = х 3
3. f(х) = | х |
4.f(х) = 2х – 3
5. f(х) =	х ≠ 0
6. f(х)=	х > –1		и не е дефиниран.

4. Нов материал

- Докато вършим тази работа, момчета, разкрихме още едно свойство на функцията, непознато за вас, но не по-малко важно от останалите - това е четността и нечетността на функцията. Запишете темата на урока: „Четни и нечетни функции“, нашата задача е да се научим как да определяме четните и нечетните функции, да разберем значението на това свойство при изучаването на функциите и чертането.
И така, нека намерим определенията в учебника и прочетем (стр. 110) . пързалка

Деф. единфункция при = f (х), дефинирана върху множеството X, се нарича дори, ако за някаква стойност хЄ X в ход равенство f (–x) = f (x). Дай примери.

Деф. 2функция y = f(x), дефинирана върху множеството X се нарича странно, ако за някаква стойност хЄ X е изпълнено равенството f(–х)= –f(х). Дай примери.

Къде срещнахме термините "четно" и "нечетно"?
Коя от тези функции ще бъде четна, според вас? Защо? Кои са странни? Защо?
За всяка функция на формата при= x n, където не цяло число, може да се твърди, че функцията е нечетна за не нечетно и функцията е четно за н- дори.
– Преглед на функции при= и при = 2х– 3 не е нито четно, нито нечетно, т.к равенствата не са спазени f(– х) = – f(х), f(– х) = f(х)

Изследването на въпроса дали една функция е четна или нечетна се нарича изследване на функция за паритет.пързалка

Дефиниции 1 и 2 се занимават със стойностите на функцията при x и - x, като по този начин се приема, че функцията също е дефинирана при стойността х, и при - х.

ОПР 3.Ако числово множество заедно с всеки от неговите елементи x съдържа противоположния елемент x, тогава множеството хсе нарича симетрично множество.

Примери:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) са симетрични множества, а , [–5;4] са несиметрични.

- Четните функции имат ли област на дефиниция - симетрично множество? Странните?
- Ако D( f) е асиметрично множество, тогава каква е функцията?
– По този начин, ако функцията при = f(х) е четен или нечетен, тогава неговият домейн на дефиниция е D( f) е симетрично множество. Но вярно ли е обратното, ако областта на дадена функция е симетрично множество, тогава тя е четна или нечетна?
- Така че наличието на симетрично множество от областта на дефиниране е необходимо условие, но не и достатъчно.
– И така, как можем да изследваме функцията за паритет? Нека се опитаме да напишем алгоритъм.

пързалка

Алгоритъм за изследване на функция за паритет

1. Определете дали областта на функцията е симетрична. Ако не, тогава функцията не е нито четна, нито нечетна. Ако да, тогава преминете към стъпка 2 от алгоритъма.

2. Напишете израз за f(–х).

3. Сравнете f(–х).и f(х):

• ако f(–х).= f(х), тогава функцията е четна;
• ако f(–х).= – f(х), тогава функцията е нечетна;
• ако f(–х) ≠ f(х) и f(–х) ≠ –f(х), тогава функцията не е нито четна, нито нечетна.

Примери:

Изследвайте функцията за паритет а) при= x 5 +; б) при= ; в) при= .

Решение.

а) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симетрично множество.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e функция h(x)= x 5 + странно.

б) y =,

при = f(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), асиметрично множество, така че функцията не е нито четна, нито нечетна.

в) f(х) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Вариант 2

1. Даденото множество симетрично ли е: а) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

а); б) y \u003d x (5 - x 2). 2. Проверете функцията за паритет:

а) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. На фиг. начертан при = f(х), за всички х, отговарящи на условието х? 0.
Начертайте функцията при = f(х), ако при = f(х) е четна функция.

3. На фиг. начертан при = f(х), за всички x, удовлетворяващи x? 0.
Начертайте функцията при = f(х), ако при = f(х) е странна функция.

Взаимна проверка включена пързалка.

6. Домашна работа: №11.11, 11.21,11.22;

Доказателство за геометричния смисъл на свойството паритет.

*** (Присвояване на опцията USE).

1. Нечетната функция y \u003d f (x) е дефинирана на цялата реална линия. За всяка неотрицателна стойност на променливата x стойността на тази функция съвпада със стойността на функцията g( х) = х(х + 1)(х + 3)(х– 7). Намерете стойността на функцията h( х) = при х = 3.

7. Обобщаване

Които в една или друга степен са ви били познати. Там също беше отбелязано, че запасът от функционални свойства ще бъде постепенно попълван. В този раздел ще бъдат обсъдени две нови свойства.

Определение 1.

Функцията y \u003d f (x), x є X, се извиква дори ако за всяка стойност x от множеството X равенството f (-x) \u003d f (x) е вярно.

Определение 2.

Функцията y \u003d f (x), x є X, се нарича нечетна, ако за всяка стойност x от множеството X е вярно равенството f (-x) \u003d -f (x).

Докажете, че y = x 4 е четна функция.

Решение. Имаме: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Но (-x) 4 = x 4 . Следователно за всяко x равенството f (-x) = f (x), т.е. функцията е четна.

По същия начин може да се докаже, че функциите y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 са четни.

Докажете, че y = x 3 е нечетна функция.

Решение. Имаме: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Но (-x) 3 = -x 3 . Следователно, за всяко x, равенството f (-x) \u003d -f (x), т.е. функцията е странна.

По същия начин може да се докаже, че функциите y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 са нечетни.

Ние с вас многократно сме се убеждавали, че новите термини в математиката най-често имат „земен” произход, т.е. те могат да бъдат обяснени по някакъв начин. Това важи както за четните, така и за нечетните функции. Вижте: y - x 3, y = x 5, y = x 7 са нечетни функции, докато y = x 2, y = x 4, y = x 6 са четни функции. И като цяло, за всяка функция от формата y \u003d x "(по-долу ще проучим специално тези функции), където n е естествено число, можем да заключим: ако n е нечетно число, тогава функцията y \u003d x "е нечетна; ако n е четно число, тогава функцията y \u003d xn е четна.

Има и функции, които не са нито четни, нито нечетни. Такава, например, е функцията y \u003d 2x + 3. Действително, f (1) \u003d 5 и f (-1) \u003d 1. Както можете да видите, тук Следователно нито идентичността f (-x ) \u003d f ( x), нито едно от двете идентичност f(-x) = -f(x).

И така, една функция може да бъде четна, нечетна или нито една от двете.

Изследването на въпроса дали дадена функция е четна или нечетна обикновено се нарича изследване на функцията за паритет.

Дефиниции 1 и 2 се занимават със стойностите на функцията в точките x и -x. Това предполага, че функцията е дефинирана както в точката x, така и в точката -x. Това означава, че точката -x принадлежи към домейна на функцията едновременно с точката x. Ако числово множество X заедно с всеки от своите елементи x съдържа противоположния елемент -x, тогава X се нарича симетрично множество. Да кажем (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) са симетрични множества, докато \).

Тъй като \(x^2\geqslant 0\) , тогава лявата страна на уравнението (*) е по-голяма или равна на \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

По този начин равенството (*) може да се запази само когато двете страни на уравнението са равни на \(\mathrm(tg)^2\,1\) . И това означава, че \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]Следователно стойността \(a=-\mathrm(tg)\,1\) ни подхожда.

Отговор:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Задача 2 #3923

Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит

Намерете всички стойности на параметъра \(a\) , за всяка от които графиката на функцията \

симетрични относно произхода.

Ако графиката на функция е симетрична по отношение на началото, тогава такава функция е нечетна, т.е. \(f(-x)=-f(x)\) е изпълнено за всяко \(x\) от домейн на функцията. Следователно е необходимо да се намерят онези стойности на параметрите, за които \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]

Последното уравнение трябва да е валидно за всички \(x\) от домейна \(f(x)\), следователно \(\sin(2\pi a)=0 \Дясна стрелка a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Отговор:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Задача 3 #3069

Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит

Намерете всички стойности на параметъра \(a\) , за всяка от които уравнението \ има 4 решения, където \(f\) е четна периодична функция с период \(T=\dfrac(16)3\) дефинирана върху цялата реална линия и \(f(x)=ax^2\) за \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Задача от абонати)

Тъй като \(f(x)\) е четна функция, нейната графика е симетрична по отношение на оста y, следователно, когато \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . По този начин, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), а това е сегмент с дължина \(\dfrac(16)3\) , функцията \(f(x)=ax^2\) .

1) Нека \(a>0\) . Тогава графиката на функцията \(f(x)\) ще изглежда така:


Тогава, за да има уравнението 4 решения, е необходимо графиката \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) да минава през точката \(A\) :


Следователно, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(aligned) \end(gathered)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( събрано)\точно.\]Тъй като \(a>0\), тогава \(a=\dfrac(18)(23)\) е добре.

2) Нека \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Трябва ни графиката \(g(x)\), за да премине през точката \(B\): \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end(gathered)\right.\]Тъй като \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Случаят, когато \(a=0\) не е подходящ, защото тогава \(f(x)=0\) за всички \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) и уравнението ще има само 1 корен.

Отговор:

\(a\в \вляво\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\вдясно\)\)

Задача 4 #3072

Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит

Намерете всички стойности \(a\) , за всяка от които уравнението \

има поне един корен.

(Задача от абонати)

Пренаписваме уравнението във формата \ и разгледайте две функции: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) и \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Функцията \(g(x)\) е четна, има минимална точка \(x=0\) (и \(g(0)=49\) ).
Функцията \(f(x)\) за \(x>0\) е намаляваща, а за \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Наистина, за \(x>0\) вторият модул се разширява положително (\(|x|=x\)), следователно, независимо как се разширява първият модул, \(f(x)\) ще бъде равно на \ ( kx+A\) , където \(A\) е израз от \(a\) , а \(k\) е равно на \(-9\) или \(-3\) . За \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Намерете стойността \(f\) в максималната точка: \

За да има поне едно решение на уравнението, е необходимо графиките на функциите \(f\) и \(g\) да имат поне една пресечна точка. Следователно имате нужда от: \ \\]

Отговор:

\(а\в \(-7\)\чаша\)

Задача 5 #3912

Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит

Намерете всички стойности на параметъра \(a\) , за всяка от които уравнението \

има шест различни решения.

Нека направим заместването \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Тогава уравнението ще приеме формата \ Постепенно ще напишем условията, при които първоначалното уравнение ще има шест решения.
Обърнете внимание, че квадратното уравнение \((*)\) може да има най-много две решения. Всяко кубично уравнение \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) може да има не повече от три решения. Следователно, ако уравнението \((*)\) има две различни решения (положителни!, тъй като \(t\) трябва да е по-голямо от нула) \(t_1\) и \(t_2\) , тогава, като направим обратното заместване, получаваме: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(aligned)\end(gathered)\right.\]Тъй като всяко положително число може да бъде представено като \(\sqrt2\) до известна степен, например, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), тогава първото уравнение от набора ще бъде пренаписано във формата \ Както вече казахме, всяко кубично уравнение има не повече от три решения, следователно всяко уравнение от набора няма да има повече от три решения. Това означава, че целият набор ще има не повече от шест решения.
Това означава, че за да може оригиналното уравнение да има шест решения, квадратното уравнение \((*)\) трябва да има две различни решения и всяко получено кубично уравнение (от набора) трябва да има три различни решения (и нито едно решението на едно уравнение трябва да съвпада с което - или по решение на второто!)
Очевидно, ако квадратното уравнение \((*)\) има едно решение, тогава няма да получим шест решения за първоначалното уравнение.

Така планът за решение става ясен. Нека напишем условията, които трябва да бъдат изпълнени точка по точка.

1) За да има две различни решения на уравнението \((*)\), неговият дискриминант трябва да е положителен: \

2) Трябва също и двата корена да са положителни (защото \(t>0\)). Ако произведението на два корена е положително и тяхната сума е положителна, тогава самите корени ще бъдат положителни. Следователно имате нужда от: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Така вече сме си осигурили два различни положителни корена \(t_1\) и \(t_2\) .

3) Нека да разгледаме това уравнение \ За какво \(t\) ще има три различни решения?
Разгледайте функцията \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Може да се умножи: \ Следователно неговите нули са: \(x=-1;2\) .
Ако намерим производната \(f"(x)=3x^2-6x\) , тогава получаваме две крайни точки \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Следователно графиката изглежда така:


Виждаме, че всяка хоризонтална линия \(y=k\) , където \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\)има три различни решения, необходимо е \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
По този начин имате нужда от: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Нека също да отбележим веднага, че ако числата \(t_1\) и \(t_2\) са различни, тогава числата \(\log_(\sqrt2)t_1\) и \(\log_(\sqrt2)t_2\) ще са различни, така че уравненията \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)и \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)ще има различни корени.
Системата \((**)\) може да бъде пренаписана по следния начин: \[\begin(cases) 1

По този начин сме определили, че и двата корена на уравнението \((*)\) трябва да лежат в интервала \((1;4)\) . Как да напиша това условие?
Няма да изписваме изрично корените.
Разгледайте функцията \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Неговата графика е парабола с клони нагоре, която има две точки на пресичане с абсцисната ос (написахме това условие в параграф 1)). Как трябва да изглежда неговата графика, така че точките на пресичане с абсцисната ос да са в интервала \((1;4)\) ? Така:


Първо, стойностите \(g(1)\) и \(g(4)\) на функцията в точките \(1\) и \(4\) трябва да са положителни, и второ, върхът на параболата \(t_0\ ) също трябва да бъде в интервала \((1;4)\) . Следователно системата може да се напише: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) винаги има поне един корен \(x=0\) . И така, за да се изпълни условието на задачата, е необходимо уравнението \

имаше четири различни ненулеви корена, представляващи заедно с \(x=0\) аритметична прогресия.

Обърнете внимание, че функцията \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) е четна, така че ако \(x_0\) е коренът на уравнението \((* )\ ) , тогава \(-x_0\) също ще бъде неговият корен. Тогава е необходимо корените на това уравнение да бъдат числа, подредени във възходящ ред: \(-2d, -d, d, 2d\) (тогава \(d>0\) ). Тогава тези пет числа ще образуват аритметична прогресия (с разликата \(d\)).

За да бъдат тези корени числата \(-2d, -d, d, 2d\) , е необходимо числата \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) да бъдат корените на уравнението \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Тогава по теоремата на Виета:

Пренаписваме уравнението във формата \ и разгледайте две функции: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) и \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Функцията \(g(x)\) има максимална точка \(x=0\) (и \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Нулева производна: \(x=0\) . За \(x<0\) имеем: \(g">0\), за \(x>0\) : \(g"<0\) .
Функцията \(f(x)\) за \(x>0\) нараства, а за \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Наистина, за \(x>0\) първият модул се разширява положително (\(|x|=x\)), следователно, независимо как се разширява вторият модул, \(f(x)\) ще бъде равно на \ ( kx+A\) , където \(A\) е израз от \(a\) и \(k\) е или \(13-10=3\) или \(13+10=23\) . За \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Нека намерим стойността \(f\) в минималната точка: \

За да има поне едно решение на уравнението, е необходимо графиките на функциите \(f\) и \(g\) да имат поне една пресечна точка. Следователно имате нужда от: \ Решавайки този набор от системи, получаваме отговора: \\]

Отговор:

\(а\в \(-2\)\чаша\)