Задачите върху свойствата и графиките на квадратична функция, както показва практиката, причиняват сериозни трудности. Това е доста странно, тъй като квадратичната функция се преминава в 8 клас, а след това цялата първа четвърт на 9 клас се "измъчва" от свойствата на параболата и нейните графики се строят за различни параметри.

Това се дължи на факта, че принуждавайки учениците да изграждат параболи, те практически не отделят време за "четене" на графики, тоест не практикуват разбиране на информацията, получена от картината. Очевидно се предполага, че след като е изградил две дузини графики, умният ученик сам ще открие и формулира връзката между коефициентите във формулата и външен видграфични изкуства. На практика това не работи. За такова обобщение, сериозен опитматематически мини-изследвания, които повечето деветокласници, разбира се, нямат. Междувременно в GIA предлагат да се определят знаците на коефициентите точно според графика.

Ние няма да изискваме невъзможното от учениците и просто предлагаме един от алгоритмите за решаване на такива проблеми.

И така, функция на формата y=ax2+bx+cсе нарича квадратична, нейната графика е парабола. Както подсказва името, основният компонент е брадва 2. Това е ане трябва да е равна на нула, останалите коефициенти ( bи с) може да бъде равно на нула.

Нека видим как знаците на нейните коефициенти влияят на външния вид на параболата.

Най-простата зависимост за коеф а. Повечето ученици уверено отговарят: „ако а> 0, тогава клоновете на параболата са насочени нагоре и ако а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

AT този случай а = 0,5

А сега за а < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

В такъв случай а = - 0,5

Влияние на коеф ссъщо достатъчно лесен за следване. Представете си, че искаме да намерим стойността на функция в точка х= 0. Заместете нула във формулата:

г = а 0 2 + b 0 + ° С = ° С. Оказва се, че y = c. Това е се ординатата на пресечната точка на параболата с оста y. По правило тази точка е лесна за намиране на диаграмата. И определете дали е над нулата или под. Това е с> 0 или с < 0.

с > 0:

y=x2+4x+3

с < 0

y = x 2 + 4x - 3

Съответно, ако с= 0, тогава параболата задължително ще премине през началото:

y=x2+4x

По-трудно с параметъра b. Точката, по която ще го открием, зависи не само от bно и от а. Това е върхът на параболата. Неговата абциса (координата на оста х) се намира по формулата x в \u003d - b / (2a). По този начин, b = - 2ax in. Тоест, действаме по следния начин: на графиката намираме върха на параболата, определяме знака на нейната абциса, тоест гледаме вдясно от нулата ( x в> 0) или наляво ( x в < 0) она лежит.

Това обаче не е всичко. Трябва да обърнем внимание и на знака на коефициента а. Тоест да видим накъде са насочени клоновете на параболата. И едва след това, според формулата b = - 2ax inопредели знак b.

Помислете за пример:

Клони, насочени нагоре а> 0, параболата пресича оста припод нула означава с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x в> 0. И така b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, с < 0.

The методически материале за справка и обхваща широк кръг от теми. Статията предоставя преглед на графиките на основните елементарни функции и разглежда най-важният въпрос – как правилно и БЪРЗО да изградите графика. По време на изследването висша математикабез познаване на основни диаграми елементарни функциище бъде трудно, така че е много важно да запомните как изглеждат графиките на парабола, хипербола, синус, косинус и т.н., запомнете някои стойности на функцията. Също ще говоримвърху някои свойства на основните функции.

Не претендирам за пълнота и научна задълбоченост на материалите, акцентът ще бъде поставен преди всичко върху практиката - онези неща, с които човек трябва да се сблъсква буквално на всяка стъпка, във всяка тема на висшата математика. Графики за манекени? Може да се каже така.

По масово търсене на читатели съдържание, върху което може да се кликне:

Освен това има ултра-кратко резюме по темата
– овладейте 16 вида диаграми, като изучавате ШЕСТ страници!

Сериозно, шест, дори аз самият бях изненадан. Това резюме съдържа подобрена графика и се предлага срещу номинална такса, може да се види демо версия. Удобно е да отпечатате файла, така че графиките да са винаги под ръка. Благодаря за подкрепата на проекта!

И започваме веднага:

Как да изградим правилно координатни оси?

На практика тестовете почти винаги се изготвят от учениците в отделни тетрадки, подредени в клетка. Защо се нуждаете от карирана маркировка? В крайна сметка работата по принцип може да се извърши на листове А4. И клетката е необходима само за висококачествен и точен дизайн на чертежите.

Всеки чертеж на функционална графика започва с координатни оси.

Чертежите са двуизмерни и триизмерни.

Нека първо разгледаме двумерния случай картезиански правоъгълна системакоординати:

1) Рисуваме координатни оси. Оста се нарича ос х , и оста у-ос . Винаги се опитваме да ги нарисуваме чист и не крив. Стрелките също не трябва да приличат на брадата на татко Карло.

2) Подписваме осите с главни букви "x" и "y". Не забравяйте да подпишете осите.

3) Задайте скалата по осите: нарисувайте нула и две единици. Когато правите чертеж, най-удобният и често срещан мащаб е: 1 единица = 2 клетки (чертеж вляво) - придържайте се към него, ако е възможно. От време на време обаче се случва чертежът да не се побира на лист от тетрадка - тогава намаляваме мащаба: 1 единица = 1 клетка (чертеж вдясно). Рядко, но се случва мащабът на чертежа да се намали (или увеличи) още повече

НЕ драскайте от картечница ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....Защото координатната равнина не е паметник на Декарт, а ученикът не е гълъб. Ние поставяме нулаи две единици по осите. Понякога вместоединици, удобно е да „откривате“ други стойности, например „две“ по абсцисната ос и „три“ по ординатната ос - и тази система (0, 2 и 3) също ще зададе уникално координатната мрежа.

По-добре е да прецените приблизителните размери на чертежа ПРЕДИ чертежа да бъде начертан.. Така например, ако задачата изисква начертаване на триъгълник с върхове , , , тогава е съвсем ясно, че популярният мащаб 1 единица = 2 клетки няма да работи. Защо? Нека да разгледаме въпроса - тук трябва да измерите петнадесет сантиметра надолу и, очевидно, рисунката няма да се побере (или едва се побира) на лист от тетрадка. Затова веднага избираме по-малък мащаб 1 единица = 1 клетка.

Между другото, за сантиметри и клетки от тетрадка. Вярно ли е, че в 30 клетки от тетрадка има 15 сантиметра? Измерете в тетрадка за лихви 15 сантиметра с линийка. В СССР може би това беше вярно ... Интересно е да се отбележи, че ако измервате същите тези сантиметри хоризонтално и вертикално, тогава резултатите (в клетки) ще бъдат различни! Строго погледнато, съвременните тетрадки не са карирани, а правоъгълни. Може да изглежда като глупост, но рисуването, например, на кръг с компас в такива ситуации е много неудобно. Честно казано, в такива моменти започвате да мислите за правилността на другаря Сталин, който беше изпратен в лагери за халтура в производството, да не говорим за местната автомобилна индустрия, падащи самолети или експлодиращи електроцентрали.

Говорейки за качество, или кратка препоръка за канцеларски материали. Към днешна дата повечето от тетрадките в продажба, без да казват лоши думи, са пълен гоблин. Поради причината, че се мокрят и то не само от гел химикалки, но и от химикалки! Спестете на хартия. За освобождаване контролни работиПрепоръчвам да използвате тетрадките на Архангелската целулозно-хартиена фабрика (18 листа, клетка) или Pyaterochka, въпреки че е по-скъпо. Препоръчително е да изберете гел химикал, дори най-евтиният китайски гел пълнител е много по-добър от химикалка, която или размазва, или къса хартия. Единствената "конкурентна" химикалка в моите спомени е Erich Krause. Тя пише ясно, красиво и стабилно - или с пълно стебло, или с почти празно.

Допълнително: визията на правоъгълна координатна система през очите на аналитичната геометрия е разгледана в статията Линейна (не)зависимост на векторите. Векторна основа, подробна информацияотносно координатни кварталиможете да намерите във втория параграф на урока Линейни неравенства.

3D калъф

Тук е почти същото.

1) Начертаваме координатни оси. Стандартен: приложна ос – насочена нагоре, ос – насочена надясно, ос – надолу наляво строгопод ъгъл от 45 градуса.

2) Подписваме осите.

3) Задайте скалата по осите. Мащаб по оста - два пъти по-малък от мащаба по другите оси. Също така имайте предвид, че в десния чертеж използвах нестандартен "сериф" по оста (тази възможност вече беше спомената по-горе). От моя гледна точка това е по-точно, по-бързо и по-естетически приятно - не е нужно да търсите средата на клетката под микроскоп и да „извайвате“ единицата точно до началото.

Когато правите отново 3D чертеж - дайте приоритет на мащаба
1 единица = 2 клетки (чертеж вляво).

За какво са всички тези правила? Правилата са там, за да бъдат нарушавани. Какво ще правя сега. Факт е, че следващите чертежи на статията ще бъдат направени от мен в Excel и координатните оси ще изглеждат неправилни по отношение на правилния дизайн. Бих могъл да начертая всички графики на ръка, но е наистина страшно да ги начертая, тъй като Excel не желае да ги начертае много по-точно.

Графики и основни свойства на елементарни функции

Линейна функциясе дава от уравнението. Графиката на линейната функция е директен. За да се построи права линия, е достатъчно да се познават две точки.

Пример 1

Начертайте функцията. Нека намерим две точки. Изгодно е да изберете нула като една от точките.

Ако , тогава

Взимаме друга точка, например 1.

Ако , тогава

При изготвянето на задачи координатите на точките обикновено се обобщават в таблица:

А самите стойности се изчисляват устно или на чернова, калкулатор.

Намерени са две точки, нека начертаем:

Когато изготвяме чертеж, ние винаги подписваме графиките.

Няма да е излишно да си припомним специални случаи на линейна функция:

Забележете как поставих надписите, подписите не трябва да са двусмислени при изучаване на чертежа. В този случай беше крайно нежелателно да се постави подпис до точката на пресичане на линиите или долу вдясно между графиките.

1) Линейна функция от формата () се нарича пряка пропорционалност. Например, . Графиката на пряката пропорционалност винаги минава през началото. По този начин изграждането на права линия е опростено - достатъчно е да се намери само една точка.

2) Уравнение от формата определя права линия, успоредна на оста, по-специално, самата ос е дадена от уравнението. Графиката на функцията се изгражда веднага, без да се откриват точки. Тоест записът трябва да се разбира по следния начин: "y винаги е равно на -4 за всяка стойност на x."

3) Уравнение от формата определя права линия, успоредна на оста, по-специално, самата ос е дадена от уравнението. Веднага се изгражда и графиката на функцията. Записът трябва да се разбира по следния начин: "x винаги, за всяка стойност на y, е равно на 1."

Някои ще попитат, защо да си спомняме за 6-ти клас?! Така е, може би е така, само през годините на практика срещнах добра дузина студенти, които бяха объркани от задачата да построят графика като или .

Рисуването на права линия е най-често срещаното действие при рисуване.

Правата е разгледана подробно в курса по аналитична геометрия, а желаещите могат да се обърнат към статията Уравнение на права на равнина.

Графика на квадратна функция, графика на кубична функция, графика на полином

Парабола. Графика на квадратична функция () е парабола. Обмисли известен случай:

Нека си припомним някои свойства на функцията.

И така, решението на нашето уравнение: - в тази точка се намира върхът на параболата. Защо това е така може да научите от теоретичната статия за производната и урока за екстремумите на функцията. Междувременно изчисляваме съответната стойност на "y":

Така че върхът е в точката

Сега намираме други точки, докато нагло използваме симетрията на параболата. Трябва да се отбележи, че функцията – не е дори, но въпреки това никой не е отменил симетрията на параболата.

В какъв ред да намерите останалите точки, мисля, че ще стане ясно от финалната маса:

Този алгоритъмстроителството образно може да се нарече "совалка" или на принципа "напред и назад" с Анфиса Чехова.

Да направим чертеж:

От разгледаните графики идва на ум още една полезна функция:

За квадратична функция () вярно е следното:

Ако , тогава клоновете на параболата са насочени нагоре.

Ако , тогава клоновете на параболата са насочени надолу.

Задълбочени знания за кривата могат да се получат в урока Хипербола и парабола.

Кубичната парабола е дадена от функцията . Ето рисунка, позната от училище:

Изброяваме основните свойства на функцията

Функционална графика

Представлява един от клоновете на параболата. Да направим чертеж:

Основни свойстваХарактеристика :

В този случай оста е вертикална асимптота за графиката на хипербола при .

Ще бъде ЛОША грешка, ако, когато правим чертеж, по небрежност позволим на графиката да се пресече с асимптото .

Също едностранни ограничения, кажете ни, че това е хипербола не се ограничава отгореи не се ограничава отдолу.

Нека изследваме функцията в безкрайност: , тоест, ако започнем да се движим по оста наляво (или надясно) до безкрайност, тогава „игрите“ ще бъдат тънка стъпка безкрайно близоприближават нулата и съответно клоновете на хиперболата безкрайно близоприближете се до оста.

Така че оста е хоризонтална асимптота за графиката на функцията, ако "x" клони към плюс или минус безкрайност.

Функцията е странно, което означава, че хиперболата е симетрична спрямо началото. Този факте очевидно от чертежа, освен това може лесно да се провери аналитично: .

Графиката на функция от формата () представлява два клона на хипербола.

Ако , тогава хиперболата се намира в първия и третия координатен квадрант(вижте снимката по-горе).

Ако , тогава хиперболата се намира във втория и четвъртия координатен квадрант.

Не е трудно да се анализира посочената закономерност на мястото на пребиваване на хиперболата от гледна точка на геометричните трансформации на графиките.

Пример 3

Конструирайте десния клон на хиперболата

Използваме метода на точково изграждане, докато е изгодно да изберете стойностите така, че да се разделят напълно:

Да направим чертеж:

Няма да е трудно да се конструира левият клон на хиперболата, тук просто ще помогне странността на функцията. Грубо казано, в таблицата за построяване на точки, мислено добавете минус към всяко число, поставете съответните точки и начертайте втория клон.

Подробна геометрична информация за разглежданата линия можете да намерите в статията Хипербола и парабола.

Графика на експоненциална функция

В този параграф веднага ще разгледам експоненциалната функция, тъй като в проблемите на висшата математика в 95% от случаите се среща експоненциалната функция.

Напомням ви, че това е ирационално число: , това ще се изисква при изграждането на графика, която всъщност ще изградя без церемонии. Три точкивероятно достатъчно:

Нека засега оставим графиката на функцията, за това по-късно.

Основните свойства на функцията:

По принцип графиките на функциите изглеждат еднакви и т.н.

Трябва да кажа, че вторият случай е по-рядко срещан в практиката, но се среща, затова сметнах за необходимо да го включа в тази статия.

Графика на логаритмична функция

Помислете за функция с натурален логаритъм.
Нека направим линейна рисунка:

Ако сте забравили какво е логаритъм, вижте училищните учебници.

Основните свойства на функцията:

Домейн:

Диапазон от стойности: .

Функцията не е ограничена отгоре: , макар и бавно, но клонът на логаритъма се издига до безкрайност.
Нека разгледаме поведението на функцията близо до нула вдясно: . Така че оста е вертикална асимптота за графиката на функцията с "x", клонящо към нула вдясно.

Не забравяйте да знаете и запомните типичната стойност на логаритъма: .

По принцип графиката на логаритъма в основата изглежда по същия начин: , , ( десетичен логаритъмв база 10) и т.н. В същото време, колкото по-голяма е основата, толкова по-плоска ще бъде диаграмата.

Няма да разглеждаме случая, нещо, което не помня кога за последен път построих графика с такава основа. Да, и логаритъмът изглежда е много рядък гост в проблемите на висшата математика.

В заключение на параграфа ще кажа още един факт: Експоненциална функция и логаритмична функция са две взаимни обратни функции . Ако погледнете внимателно графиката на логаритъма, можете да видите, че това е същият показател, само че е разположен малко по-различно.

Графики на тригонометрични функции

Как започва тригонометричното мъчение в училище? Правилно. От синуса

Нека начертаем функцията

Тази линия се нарича синусоида.

Напомням ви, че "пи" е ирационално число: и в тригонометрията то заслепява очите.

Основните свойства на функцията:

Тази функцияе периодично изданиес период. Какво означава? Нека да разгледаме разреза. Вляво и вдясно от нея безкрайно се повтаря точно една и съща част от графиката.

Домейн: , тоест за всяка стойност на "x" има синусова стойност.

Диапазон от стойности: . Функцията е ограничен: , тоест всички „игри“ се намират строго в сегмента .
Това не се случва: или по-точно се случва, но споменатите уравнениянямат решение.

Как да изградим парабола? Има няколко начина за начертаване на графика на квадратична функция. Всеки от тях има своите плюсове и минуси. Нека разгледаме два начина.

Нека започнем с начертаване на квадратна функция като y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.

Пример.

Начертайте функцията y=x²+2x-3.

Решение:

y=x²+2x-3 е квадратна функция. Графиката е парабола с разклонения нагоре. Координати на върха на парабола

От върха (-1;-4) изграждаме графика на параболата y=x² (като от началото. Вместо (0;0) - върха (-1;-4). От (-1;- 4) отиваме надясно с 1 единица и нагоре с 1, след това наляво с 1 и нагоре с 1, след това: 2 - надясно, 4 - нагоре, 2 - наляво, 4 - нагоре, 3 - надясно, 9 - нагоре, 3 - наляво, 9 - нагоре. Тези 7 точки не са достатъчни, след това - 4 надясно, 16 - нагоре и т.н.).

Графиката на квадратната функция y= -x²+bx+c е парабола, чиито клонове са насочени надолу. За да изградим графика, търсим координатите на върха и от тях изграждаме парабола y= -x².

Пример.

Начертайте функцията y= -x²+2x+8.

Решение:

y= -x²+2x+8 е квадратна функция. Графиката е парабола с клонове надолу. Координати на върха на парабола

От върха изграждаме парабола y = -x² (1 - надясно, 1 - надолу; 1 - наляво, 1 - надолу; 2 - надясно, 4 - надолу; 2 - наляво, 4 - надолу и т.н.):

Този метод ви позволява бързо да изградите парабола и не създава затруднения, ако знаете как да начертаете функциите y=x² и y= -x². Недостатък: ако координатите на върха са дробни числа, плотирането не е много удобно. Ако искате да знаете точните стойности на пресечните точки на графиката с оста x, ще трябва допълнително да решите уравнението x² + bx + c = 0 (или -x² + bx + c = 0), дори ако тези точки могат да бъдат директно определени от фигурата.

Друг начин за изграждане на парабола е чрез точки, т.е. можете да намерите няколко точки на графиката и да начертаете парабола през тях (като се има предвид, че правата x=xₒ е нейната ос на симетрия). Обикновено за това те вземат върха на параболата, пресечните точки на графиката с координатните оси и 1-2 допълнителни точки.

Начертайте функцията y=x²+5x+4.

Решение:

y=x²+5x+4 е квадратна функция. Графиката е парабола с разклонения нагоре. Координати на върха на парабола

това означава, че върхът на параболата е точката (-2,5; -2,25).

Търсят . В точката на пресичане с оста Ox y=0: x²+5x+4=0. корени квадратно уравнение x1=-1, x2=-4, тоест имаме две точки на графиката (-1; 0) и (-4; 0).

В пресечната точка на графиката с оста Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Получих точка (0; 4).

За да прецизирате графиката, можете да намерите допълнителна точка. Да вземем x=1, тогава y=1²+5∙1+4=10, тоест още една точка от графиката - (1; 10). Маркирайте тези точки координатна равнина. Като вземем предвид симетрията на параболата спрямо правата, минаваща през нейния връх, маркираме още две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и начертаваме парабола през тях:

Начертайте функцията y= -x²-3x.

Решение:

y= -x²-3x е квадратна функция. Графиката е парабола с клонове надолу. Координати на върха на парабола

Върхът (-1,5; 2,25) е първата точка на параболата.

В точките на пресичане на графиката с оста x y=0, тоест решаваме уравнението -x²-3x=0. Корените му са x=0 и x=-3, тоест (0; 0) и (-3; 0) са още две точки на графиката. Точката (o; 0) също е точката на пресичане на параболата с оста y.

При x=1 y=-1²-3∙1=-4, т.е. (1; -4) е допълнителна точка за чертане.

Изграждането на парабола от точки е по-отнемащ време метод в сравнение с първия. Ако параболата не пресича оста Ox, ще са необходими повече допълнителни точки.

Преди да продължите да начертавате квадратични функции от формата y=ax²+bx+c, помислете за начертаване на функции с помощта на геометрични трансформации. Графиките на функции от вида y=x²+c също са най-удобни за изграждане с помощта на една от тези трансформации - паралелна транслация.

Рубрика: |