Тип урок:

Тип урок:Лекция, урок за решаване на проблеми.

Продължителност: 2 часа.

Цели:1)Научете графичния метод.

2) Покажете използването на програмата Maple при решаване на системи от неравенства с помощта на графичен метод.

3) Развийте възприятие и мислене по темата.

План на урока:

Напредък на курса.

Етап 1: Графичният метод се състои в конструиране на набор от изпълними LLP решения и намиране на точка в този набор, съответстваща на max / min на целевата функция.

Поради ограничените възможности за визуално графично представяне, този метод се използва само за системи от линейни неравенства с две неизвестни и системи, които могат да бъдат приведени до този вид.

За да демонстрираме визуално графичния метод, ще решим следната задача:

1. На първия етап е необходимо да се изгради зоната на осъществимите решения. За този пример е най-удобно да изберете X2 за абсцисата и X1 за ординатата и да запишете неравенствата в следния вид:

Тъй като и графиките, и областта на допустимите решения са в първото тримесечие. За да намерим граничните точки, решаваме уравнения (1)=(2), (1)=(3) и (2)=(3).

Както може да се види от илюстрацията, полиедърът ABCDE образува област от възможни решения.

Ако областта на допустимите решения не е затворена, тогава или max(f)=+ ?, или min(f)= -?.

2. Сега можем да продължим директно към намиране на максимума на функцията f.

Алтернативно замествайки координатите на върховете на полиедъра във функцията f и сравнявайки стойностите, намираме, че f(C)=f(4;1)=19 е максимумът на функцията.

Този подход е доста полезен за малък брой върхове. Но тази процедура може да се забави, ако има доста върхове.

В този случай е по-удобно да се разглежда линия на ниво от формата f=a. С монотонно увеличаване на броя a от -? до +? линиите f=a се изместват по нормалния вектор Нормалният вектор има координати (С1;С2), където C1 и C2 са коефициентите на неизвестните в целевата функция f=C1?X1+C2?X2+C0.. Ако има е някаква точка по време на такова изместване на линията на нивото X е първата обща точка на областта на възможните решения (многотоп ABCDE) и линията на нивото, тогава f(X) е минимумът на f на множеството ABCDE. Ако X е последната пресечна точка на линията на нивото и множеството ABCDE, тогава f(X) е максимумът на множеството от възможни решения. Ако за a>-? правата f=a пресича множеството от допустими решения, тогава min(f)= -?. Ако това се случи, когато a>+?, тогава max(f)=+?.

В нашия пример правата f=a пресича областта ABCDE в точка С(4;1). Тъй като това е последната точка на пресичане, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.

Решете графично системата от неравенства. Намерете ъглови решения.

x1>=0, x2>=0

>с(парцели);

>с (plottool);

> S1:=решаване((f1x = X6, f2x = X6), );

Отговор: Всички точки Si, където i=1..10, за които x и y са положителни.

Площ, ограничена от тези точки: (54/11,2/11) (5/7,60/7) (0,5) (10/3, 10/3)

Етап 3. На всеки ученик се дава един от 20 варианта, в които ученикът трябва самостоятелно да реши неравенството с помощта на графичен метод, а останалите примери като домашна работа.

Урок №4 Графично решение на задача от линейно програмиране

Тип урок:уроци изучаване на нов материал.

Тип урок:Лекция + урок за решаване на проблеми.

Продължителност: 2 часа.

Цели: 1) Изучаване на графичното решение на задачата за линейно програмиране.

2) Научете се да използвате програмата Maple, когато решавате задача с линейно програмиране.

2) Развийте възприятие, мислене.

План на урока:Етап 1: изучаване на нов материал.

Етап 2: Разработване на нов материал в математическия пакет Maple.

Етап 3: проверка на изучения материал и домашна работа.

Напредък на курса.

Графичният метод е доста прост и ясен за решаване на проблеми с линейно програмиране с две променливи. Базира се на геометриченпредставяне на допустимите решения и цифров филтър на проблема.

Всяко от неравенствата на задачата за линейно програмиране (1.2) определя определена полуравнина на координатната равнина (фиг. 2.1), а системата от неравенства като цяло определя пресечната точка на съответните равнини. Множеството от пресечните точки на тези полуравнини се нарича област от осъществими решения(ODR). ODR е винаги изпъкналфигура, т.е. което има следното свойство: ако две точки A и B принадлежат на тази фигура, то цялата отсечка AB принадлежи на нея. ODR може да бъде представен графично чрез изпъкнал многоъгълник, неограничена изпъкнала многоъгълна област, сегмент, лъч, единична точка. Ако системата от ограничения на задача (1.2) е непоследователна, тогава ODE е празно множество.

Всичко по-горе се отнася и за случая, когато системата от ограничения (1.2) включва равенства, тъй като всяко равенство

може да се представи като система от две неравенства (виж фиг. 2.1)

Цифровият филтър при фиксирана стойност определя права линия в равнината. Променяйки стойностите на L, получаваме семейство от успоредни прави, наречени линии на ниво.

Това се дължи на факта, че промяната в стойността на L ще промени само дължината на сегмента, отрязан от линията на нивото на оста (началната ордината), а наклонът на правата линия ще остане постоянен (виж фиг. 2.1). Следователно за решението ще бъде достатъчно да се изгради една от линиите на нивото, като произволно се избере стойността на L.

Векторът с координати от CF коефициентите при и е перпендикулярен на всяка от линиите на нивото (виж фиг. 2.1). Посоката на вектора е същата като посоката повишаване на CF, което е важна точка за решаване на проблеми. Посока низходящЦифровият филтър е противоположен на посоката на вектора.

Същността на графичния метод е следната. По посока (срещу посоката) на вектора в ODR се извършва търсене на оптималната точка. Оптималната точка е точката, през която минава линията на нивото, съответстваща на най-голямата (най-малката) стойност на функцията. Оптималното решение винаги се намира на границата на ODT, например в последния връх на многоъгълника ODT, през който минава целевата линия, или от цялата му страна.

При търсене на оптимално решение на проблеми с линейно програмиране са възможни следните ситуации: има уникално решение на проблема; има безкраен брой решения (алтернативен оптиум); CF не е ограничен; площта на възможните решения е една точка; проблемът няма решение.

Фигура 2.1 Геометрична интерпретация на ограниченията и CF на проблема.

Методика за решаване на задачи на ЛП по графичен метод

I. В ограниченията на задача (1.2) заменете знаците на неравенствата със знаци на точни равенства и построете съответните прави.

II. Намерете и засенчете полуравнините, разрешени от всяко от ограниченията на неравенството на задача (1.2). За да направите това, трябва да замените координатите на точка [например (0; 0)] в конкретно неравенство и да проверите истинността на полученото неравенство.

Акоистинско неравенство,

тогаванеобходимо е да се засенчи полуравнината, съдържаща дадената точка;

в противен случай(неравенството е невярно) е необходимо да се защрихова полуравнината, която не съдържа дадената точка.

Тъй като и трябва да са неотрицателни, техните валидни стойности винаги ще бъдат над оста и вдясно от оста, т.е. в I квадрант.

Ограниченията за равенство допускат само онези точки, които лежат на съответната права. Следователно е необходимо да се подчертаят такива линии на графиката.

III. Дефинирайте ODR като част от равнината, която едновременно принадлежи на всички разрешени зони, и я изберете. При липса на SDE проблемът няма решения.

IV. Ако ODS не е празно множество, тогава е необходимо да се конструира целевата линия, т.е. всяка от линиите на ниво (където L е произволно число, например кратно на и, т.е. удобно за изчисления). Методът на конструиране е подобен на конструирането на директни ограничения.

V. Конструирайте вектор, който започва в точката (0;0) и завършва в точката. Ако целевата линия и вектор са изградени правилно, тогава ще го направят перпендикулярен.

VI. При търсене на максимума на цифровия филтър е необходимо да преместите целевата линия в посокатавектор, когато търсите минимума на цифровия филтър - срещу посокатавектор. Последният връх на ODR в посоката на движение ще бъде максималната или минималната точка на CF. Ако няма такава точка(и), тогава можем да заключим, че неограниченост на цифровия филтър върху множеството плановеотгоре (при търсене на максимум) или отдолу (при търсене на минимум).

VII. Определете координатите на точката max (min) на цифровия филтър и изчислете стойността на цифровия филтър. За да се изчислят координатите на оптималната точка, е необходимо да се реши системата от уравнения на прави линии, в пресечната точка на които се намира.

Решаване на задача за линейно програмиране

1. f(x)=2x1+x2 ->extr

x1>=0, x2>=0

>парцели((a+b<=3,a+3*b<=5,5*a-b<=5,a+b>=0,a>=0,b>=0), a=-2..5, b=-2..5, изпълними опции=(цвят=червен),

optionsopen=(цвят=син, дебелина=2),

optionsclosed=(цвят=зелено, дебелина=3),

optionsexcluded=(цвят=жълто));

> с (симплекс):

> C:=(x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0};

> dp:=setup((x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0});

>n:=основа(dp);

У дисплей (C,);

> L:=cterm(C);

У X:=двойно(f,C,p);

У f_max:=суб(R,f);

У R1:=минимизиране(f,C ,NONNEGATIVE);

f_min:=суб(R1,f);

ОТГОВОР: Кога х 1 =5/4 х 2 =5/4 f_max=15/4; При х 1 =0 х 2 =0 f_min=0;

Урок №5

Тип урок:контрол на урока + урок за усвояване на нов материал. Тип на урока: Лекция.

Продължителност: 2 часа.

Цели:1)Проверете и затвърдете знанията върху миналия материал в предишните уроци.

2) Научете нов метод за решаване на матрични игри.

3) развиват паметта, математическото мислене и вниманието.

Етап 1: проверка на домашното под формата на самостоятелна работа.

Етап 2:дайте кратко описание на метода на зигзаг

Етап 3:консолидирайте нов материал и дайте домашна работа.

Напредък на курса.

Методи на линейно програмиране - числени методи за решаване на оптимизационни проблеми, които се свеждат до формални модели на линейно програмиране.

Както е известно, всеки проблем с линейно програмиране може да бъде сведен до каноничен модел за минимизиране на линейна целева функция с линейни ограничения от тип равенство. Тъй като броят на променливите в задача за линейно програмиране е по-голям от броя на ограниченията (n > m), решение може да се получи чрез приравняване на (n - m) променливи на нула, наречено Безплатно. Останалите m променливи, наречени основен, може лесно да се определи от системата от ограничения за равенство чрез обичайните методи на линейната алгебра. Ако съществува решение, то се извиква основен. Ако основното решение е допустимо, то се извиква основни допустими. Геометрично основните възможни решения съответстват на върховете (крайните точки) на изпъкнал многостен, което ограничава набора от допустими решения. Ако задача на линейно програмиране има оптимални решения, то поне едно от тях е основно.

Горните съображения означават, че когато се търси оптимално решение на задача на линейно програмиране, е достатъчно да се ограничим до изброяване на основните допустими решения. Броят на основните решения е равен на броя на комбинациите от n променливи в m:

C = m n! /nm! * (n - m)!

и може да бъде достатъчно голям, за да ги изброи чрез директно изброяване в реално време. Фактът, че не всички основни решения са допустими, не променя същността на проблема, тъй като за да се оцени допустимостта на едно базисно решение, то трябва да бъде получено.

Проблемът за рационално изброяване на основни решения на задача на линейно програмиране е решен за първи път от J. Dantzig. Симплексният метод, предложен от него, е най-разпространеният общ метод за линейно програмиране. Симплексният метод прилага насочено изброяване на възможни основни решения по протежение на съответните екстремни точки на изпъкналия полиедър на възможните решения като итеративен процес, където стойностите на целевата функция стриктно намаляват на всяка стъпка. Преходът между екстремните точки се извършва по ръбовете на изпъкналия полиедър на възможните решения в съответствие с прости линейно-алгебрични трансформации на системата от ограничения. Тъй като броят на екстремните точки е краен и целевата функция е линейна, тогава чрез сортиране през екстремните точки в посока на намаляване на целевата функция, симплексният метод се сближава до глобалния минимум в краен брой стъпки.

Практиката показва, че за повечето приложни задачи на линейното програмиране симплексният метод позволява намирането на оптималното решение в сравнително малък брой стъпки в сравнение с общия брой екстремни точки на допустим полиедър. В същото време е известно, че за някои задачи на линейно програмиране със специално избрана форма на допустимата област, използването на симплексния метод води до пълно изброяване на екстремните точки. Този факт до известна степен стимулира търсенето на нови ефективни методи за решаване на задача за линейно програмиране, базирани на идеи, различни от симплексния метод, които позволяват решаването на всяка задача за линейно програмиране в краен брой стъпки, значително по-малък от броя на екстремните точки.

Сред методите за полиномиално линейно програмиране, които са инвариантни към конфигурацията на диапазона от допустими стойности, най-често срещаният е методът на L.G. Хачиян. Въпреки това, въпреки че този метод има полиномиална оценка на сложността в зависимост от размерността на проблема, той все пак се оказва неконкурентоспособен в сравнение със симплексния метод. Причината за това е, че зависимостта на броя итерации на симплексния метод от размерността на проблема се изразява с полином от 3-ти ред за повечето практически задачи, докато при метода Хачиян тази зависимост винаги има порядък най-малко 4-ти. Този факт е от решаващо значение за практиката, където приложните задачи, сложни за симплексния метод, са изключително редки.

Трябва също да се отбележи, че за приложни проблеми на линейното програмиране, които са важни в практически смисъл, са разработени специални методи, които отчитат специфичния характер на ограниченията на проблема. По-специално, за хомогенен транспортен проблем се използват специални алгоритми за избор на начална база, най-известните от които са методът на северозападния ъгъл и приблизителният метод на Фогел, а алгоритмичната реализация на самия симплекс метод е близка до спецификата на проблемът. За решаване на проблема с линейното присвояване (проблем с избора), вместо симплексния метод, обикновено се използва или унгарският алгоритъм, базиран на тълкуването на проблема от гледна точка на теорията на графите като проблем за намиране на максимално претеглено перфектно съвпадение в двустранна графика или метода на Мак.

Решете матрична игра 3x3

f(x)=x 1 +x 2 +x 3

x1>=0, x2>=0, x3>=0

> с (симплекс):

> C:=( 0*x+3*y+2*z<=1, 2*x+0*y+1*z <=1, 3*x+0*y+0*z <=1};

У дисплей (C,);

> изпълнимо (C, НЕОТРИМАТЕЛНО, "Ново C", "Трансформиране");

> S:=dual(f,C,p);

У R:=maximize(f,C,NONNEGATIVE);

У f_max:=суб(R,f);

У R1:=минимизиране(S ,NONNEGATIVE);

>G:=p1+p2+p3;

> f_min:=суб(R1,G);

Намерете цената на играта

> V:=1/f_max;

Намиране на оптималната стратегия за първия играч >X:=V*R1;

Намиране на оптималната стратегия за втория играч

ОТГОВОР: Когато X=(3/7, 3/7,1/7) V=9/7; С Y=(3/7.1/7.3/7) V=9/7;

На всеки ученик се дава една от 20 опции, в които студентът трябва самостоятелно да реши матричната игра 2x2, а останалите примери като домашна работа.

Цели:

1. Повторете знанията за квадратичната функция.

2. Запознайте се с метода за решаване на квадратно неравенство въз основа на свойствата на квадратна функция.

Оборудване:мултимедия, презентация „Решаване на квадратни неравенства”, карти за самостоятелна работа, таблица „Алгоритъм за решаване на квадратни неравенства”, контролни листове с копир.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

I. Организационен момент (1 мин.).

II. Актуализиране на основни знания(10 минути).

1. Начертаване на квадратна функция y \u003d x 2 -6x + 8<Рисунок 1. Приложение >

• определяне посоката на клоновете на параболата;
• определяне на координатите на върха на параболата;
• определяне на оста на симетрия;
• определяне на пресечни точки с координатни оси;
• намиране на допълнителни точки.

2. Определете от чертежа знака на коефициента a и броя на корените на уравнението ax 2 +in+c=0.<Рисунок 2. Приложение >

3. Според графиката на функцията y \u003d x 2 -4x + 3, определете:

• Какви са нулите на функцията;
• Намерете интервалите, на които функцията приема положителни стойности;
• Намерете интервалите, на които функцията приема отрицателни стойности;
• При какви стойности на x функцията нараства и при какви стойности намалява?<Рисунок 3>

4. Научаване на нови знания (12 мин.)

Задача 1: Решете неравенството: x 2 +4x-5 > 0.

Неравенството се изпълнява от стойностите x, при които стойностите на функцията y=x 2 +4x-5 са равни на нула или положителни, т.е. тези стойности x, в които лежат точките на параболата по оста x или над тази ос.

Нека изградим графика на функцията y \u003d x 2 + 4x-5.

С оста x: X 2 + 4x-5 \u003d 0. Според теоремата на Vieta: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -5. Точки (1;0),(-5;0).

С у-оста: y(0)=-5. Точка (0;-5).

Допълнителни точки: y(-1)=-8, y(2)=7.<Рисунок 4>

Долен ред: Стойностите на функцията са положителни и равни на нула (неотрицателни), когато

• Необходимо ли е всеки път да се изобразява подробно квадратична функция, за да се реши неравенство?
• Трябва ли да намеря координатите на върха на параболата?
• Кое е важното? (a, x 1, x 2)

Заключение: За решаване на квадратно неравенство е достатъчно да се определят нулите на функцията, посоката на клоновете на параболата и да се изгради скица на графиката.

Задача 2: Решете неравенството: x 2 -6x + 8 < 0.

Решение: Нека определим корените на уравнението x 2 -6x+8=0.

Според теоремата на Vieta: x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 4.

a>0 - клоновете на параболата са насочени нагоре.

Нека изградим скица на графиката.<Рисунок 5>

Отбелязваме със знаци “+” и “–” интервалите, на които функцията приема положителни и отрицателни стойности. Нека изберем интервала, от който се нуждаем.

Отговор: X€.

5. Консолидиране на нов материал (7 мин.).

№ 660 (3). Ученикът решава на дъската.

Решете неравенство-x 2 -3x-2<0.

X 2 -3x-2=0; x 2 +3x+2=0;

корените на уравнението: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -2.

а<0 – ветви вниз. <Рисунок 6>

№ 660 (1) - Работа със скрита дъска.

Решете неравенството x 2 -3x + 2 < 0.

Решение: x 2 -3x+2=0.

Да намерим корените: ; x 1 =1, x 2 =2.

a>0 - разклонява се нагоре. Изграждаме скица на графиката на функцията.<Рисунок 7>

Алгоритъм:

1. Намерете корените на уравнението ax 2 + in + c \u003d 0.
2. Маркирайте ги на координатната равнина.
3. Определете посоката на клоновете на параболата.
4. Скицирайте диаграма.
5. Отбележете със знаци “+” и “-” интервалите, на които функцията приема положителни и отрицателни стойности.
6. Изберете желания интервал.

6. Самостоятелна работа (10 мин.).

(Рецепция - копир).

Контролният лист се подписва и се предава на учителя за проверка и определяне на корекция.

Самопроверка на борда.

Допълнителна задача:

№ 670. Намерете стойностите на x, при които функцията приема стойности не по-големи от нула: y=x 2 +6x-9.

7. Домашна работа (2 мин.).

№ 660 (2, 4), № 661 (2, 4).

Попълни таблицата:

д	Неравенство	а	рисуване	Решение
D>0	брадва 2 + в + s > 0	а>0
D>0	брадва 2 + в + s > 0	а<0
D>0	брадва 2 + в + s < 0	а>0
D>0	брадва 2 + в + s < 0	а<0

8. Обобщение на урока (3 мин.).

1. Възпроизведете алгоритъма за решаване на неравенства.
2. Кой свърши страхотна работа?
3. Какво изглеждаше трудно?

Графичният метод е един от основните методи за решаване на квадратни неравенства. В статията ще представим алгоритъм за прилагане на графичния метод и след това ще разгледаме специални случаи, като използваме примери.

Същността на графичния метод

Методът е приложим за решаване на всякакви неравенства, не само квадратни. Същността му е следната: дясната и лявата част на неравенството се разглеждат като две отделни функции y \u003d f (x) и y \u003d g (x), техните графики се изграждат в правоъгълна координатна система и гледат коя от графиките се намират една над друга и на кои интервали. Интервалите се оценяват, както следва:

Определение 1

• решенията на неравенството f(x) > g(x) са интервалите, в които графиката на функцията f е по-висока от графиката на функцията g;
• решенията на неравенството f (x) ≥ g (x) са интервалите, в които графиката на функцията f не е по-ниска от графиката на функцията g;
• решения на неравенството f (x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• решенията на неравенството f (x) ≤ g (x) са интервалите, в които графиката на функцията f не е по-висока от графиката на функцията g;
• абсцисите на пресечните точки на графиките на функциите f и g са решения на уравнението f(x) = g(x) .

Разгледайте горния алгоритъм с пример. За да направите това, вземете квадратното неравенство a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) и извлича две функции от него. Лявата страна на неравенството ще съответства на y = a x 2 + b x + c (в този случай f (x) = a x 2 + b x + c), а дясната y = 0 (в този случай g (x) = 0 ).

Графиката на първата функция е парабола, втората е права линия, която съвпада с оста x. Нека анализираме позицията на параболата спрямо оста x. За да направите това, ще изпълним схематичен чертеж.

Клоните на параболата са насочени нагоре. Тя пресича оста x в точки х 1и x2. Коефициент a до този случайположителен, тъй като именно той е отговорен за посоката на клоните на параболата. Дискриминантът е положителен, което показва, че квадратният тричлен има два корена. a x 2 + b x + c. Означаваме корените на тричлена като х 1и x2, и беше прието, че х 1< x 2 , тъй като на оста O x са изобразили точка с абциса х 1вляво от точката с абсцисата x2.

Частите на параболата, разположени над оста O x, са означени с червено, отдолу - със синьо. Това ще ни позволи да направим рисунката по-визуална.

Нека изберем пропуските, които съответстват на тези части, и ги маркираме на фигурата с полета с определен цвят.

Маркирахме в червено интервалите (− ∞, x 1) и (x 2, + ∞), върху тях параболата е над оста O x. Те са a x 2 + b x + c > 0 . В синьо отбелязахме интервала (x 1 , x 2) , който е решението на неравенството a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Нека направим кратка бележка за решението. За a > 0 и D = b 2 − 4 a c > 0 (или D " = D 4 > 0 за четен коефициент b) получаваме:

• решението на квадратното неравенство a x 2 + b x + c > 0 е (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) или по друг начин x< x 1 , x >x2;
• решението на квадратното неравенство a · x 2 + b · x + c ≥ 0 е (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) или в друга нотация x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• решение на квадратното неравенство a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• решението на квадратното неравенство a x 2 + b x + c ≤ 0 е [ x 1, x 2 ] или в друга нотация x 1 ≤ x ≤ x 2,

където x 1 и x 2 са корените на квадратния трином a x 2 + b x + c и x 1< x 2 .

На тази фигура параболата докосва оста O x само в една точка, която е обозначена като x0 а > 0. D=0, следователно квадратният тричлен има един корен x0.

Параболата е разположена изцяло над оста O x, с изключение на точката на контакт на координатната ос. Оцветете празнините (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Нека запишем резултатите. При а > 0и D=0:

• решение на квадратното неравенство a x 2 + b x + c > 0е (− ∞, x 0) ∪ (x 0, + ∞) или в друга нотация x ≠ x0;
• решение на квадратното неравенство a x 2 + b x + c ≥ 0е (− ∞ , + ∞) или в друга нотация x ∈ R ;
• квадратно неравенство a x 2 + b x + c< 0 няма решения (няма интервали, на които параболата да е разположена под оста O x);
• квадратно неравенство a x 2 + b x + c ≤ 0има единственото решение x = x0(дава се от точката за контакт),

където x0- корен на квадратен тричлен a x 2 + b x + c.

Разгледайте третия случай, когато клоните на параболата са насочени нагоре и не докосват оста O x. Клоните на параболата сочат нагоре, което означава, че а > 0. Квадратният тричлен няма реални корени, защото д< 0 .

На графиката няма интервали, при които параболата да е под оста x. Ще вземем това предвид, когато избираме цвят за нашата рисунка.

Оказва се, че когато а > 0и д< 0 решение на квадратни неравенства a x 2 + b x + c > 0и a x 2 + b x + c ≥ 0е множеството от всички реални числа и неравенствата a x 2 + b x + c< 0 и a x 2 + b x + c ≤ 0нямат решения.

Остава да разгледаме три варианта, когато клоните на параболата са насочени надолу. Не е необходимо да се спираме на тези три варианта, тъй като при умножаване на двете части на неравенството по −1, получаваме еквивалентно неравенство с положителен коефициент при x 2.

Разглеждането на предишния раздел на статията ни подготви за възприемането на алгоритъма за решаване на неравенства с помощта на графичен метод. За да извършваме изчисления, ще трябва да използваме чертеж всеки път, който ще показва координатната линия O x и парабола, която съответства на квадратична функция y = a x 2 + b x + c. В повечето случаи няма да изобразяваме оста O y, тъй като тя не е необходима за изчисления и само ще претовари чертежа.

За да конструираме парабола, ще трябва да знаем две неща:

Определение 2

• посоката на клоните, която се определя от стойността на коефициента a ;
• наличието на пресечни точки на параболата и абсцисната ос, които се определят от стойността на дискриминанта на квадратния трином a · x 2 + b · x + c.

Ще обозначим точките на пресичане и допиране по обичайния начин при решаване на нестроги неравенства и празни при решаване на строги.

Наличието на готов чертеж ви позволява да преминете към следващата стъпка от решението. Това включва определяне на интервалите, на които параболата е разположена над или под оста O x. Пропуските и пресечните точки са решението на квадратното неравенство. Ако няма пресечни или допирни точки и интервали, тогава се счита, че даденото в условията на задачата неравенство няма решения.

Сега нека решим някои квадратни неравенства, използвайки горния алгоритъм.

Пример 1

Необходимо е неравенството 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 да се реши графично.

Решение

Нека начертаем графика на квадратната функция y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Коефициент при x2положително, защото 2 . Това означава, че клоните на параболата ще бъдат насочени нагоре.

Изчисляваме дискриминанта на квадратния трином 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2, за да разберем дали параболата има общи точки с оста x. Получаваме:

D \u003d 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) \u003d 400 9

Както можете да видите, D е по-голямо от нула, следователно имаме две пресечни точки: x 1 \u003d - 5 1 3 - 400 9 2 2 и x 2 \u003d - 5 1 3 + 400 9 2 2, т.е. x 1 = − 3и x 2 = 1 3.

Решаваме нестрого неравенство, затова поставяме обикновени точки на графиката. Начертаваме парабола. Както можете да видите, чертежът има същия вид като в първия шаблон, който прегледахме.

Нашето неравенство има знак ≤ . Следователно трябва да изберем празнините на графиката, където параболата е разположена под оста O x и да добавим пресечни точки към тях.

Интервалът, от който се нуждаем, е − 3 , 1 3 . Добавяме към него пресечни точки и получаваме числова отсечка − 3 , 1 3 . Това е решението на нашия проблем. Отговорът може да се запише като двойно неравенство: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Отговор:− 3 , 1 3 или − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Пример 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 графичен метод.

Решение

Квадратът на променливата има отрицателен числов коефициент, така че клоновете на параболата ще сочат надолу. Изчислете четвъртата част от дискриминанта D" = 8 2 − (− 1) (− 63) = 64 − 63 = 1. Този резултат ни казва, че ще има две точки на пресичане.

Нека изчислим корените на квадратния трином: x 1 \u003d - 8 + 1 - 1 и x 2 \u003d - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 и х2 = 9.

Оказва се, че параболата пресича оста x в точки 7 и 9 . Маркираме тези точки на графиката като празни, тъй като работим със строго неравенство. След това начертаваме парабола, която пресича оста O x в маркираните точки.

Ще се интересуваме от интервалите, на които параболата е разположена под оста O x. Маркирайте тези интервали в синьо.

Получаваме отговора: решението на неравенството са интервалите (− ∞ , 7) , (9 , + ∞) .

Отговор:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) или в друга нотация x< 7 , x > 9 .

В случаите, когато дискриминантът на квадратен трином е нула, трябва да се внимава дали да се включи абсцисата на допирателната точка в отговора. За да вземете правилното решение, е необходимо да вземете предвид знака за неравенство. При строгите неравенства точката на допир на абсцисната ос не е решение на неравенството, при нестрогите е.

Пример 3

Решете квадратното неравенство 10 x 2 − 14 x + 4 , 9 ≤ 0графичен метод.

Решение

Клоните на параболата в този случай ще бъдат насочени нагоре. Той ще докосне оста O x в точка 0, 7, тъй като

Нека начертаем функцията y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Клоните му са насочени нагоре, тъй като коефициентът при x2положителен и докосва оста x в точката с оста x 0 , 7 , защото D" = (− 7) 2 − 10 4 , 9 = 0, откъдето x 0 = 7 10 или 0 , 7 .

Нека поставим точка и начертаем парабола.

Решаваме нестрого неравенство със знак ≤ . Следователно. Ще се интересуваме от интервалите, на които параболата се намира под оста x и точката на контакт. Във фигурата няма интервали, които да удовлетворяват нашите условия. Има само точка на докосване 0, 7. Това е търсеното решение.

Отговор:Неравенството има само едно решение 0 , 7 .

Пример 4

Решете квадратното неравенство – x 2 + 8 x − 16< 0 .

Решение

Клоните на параболата сочат надолу. Дискриминантът е нула. Пресечна точка x0 = 4.

Маркираме точката на контакт на оста x и начертаваме парабола.

Имаме работа със строго неравенство. Следователно се интересуваме от интервалите, на които параболата е разположена под оста O x. Нека ги маркираме в синьо.

Точката с абциса 4 не е решение, тъй като параболата не е разположена под оста O x при нея. Следователно получаваме два интервала (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Отговор: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) или в друга нотация x ≠ 4 .

Не винаги с отрицателна стойност на дискриминанта, неравенството няма да има решения. Има случаи, когато решението ще бъде множеството от всички реални числа.

Пример 5

Решете графично квадратното неравенство 3 · x 2 + 1 > 0.

Решение

Коефициентът a е положителен. Дискриминантът е отрицателен. Клоните на параболата ще бъдат насочени нагоре. Няма точки на пресичане на параболата с оста O x. Нека се обърнем към чертежа.

Работим със строго неравенство, което има знак >. Това означава, че се интересуваме от интервалите, на които параболата е разположена над оста x. Точно такъв е случаят, когато отговорът е множеството от всички реални числа.

Отговор:(− ∞ , + ∞) или така x ∈ R .

Пример 6

Необходимо е да се намери решение на неравенството − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0графичен начин.

Решение

Клоните на параболата сочат надолу. Дискриминантът е отрицателен, следователно няма общи точки на параболата и оста x. Нека се обърнем към чертежа.

Работим с нестрого неравенство със знак ≥ , следователно ни интересуват интервалите, на които параболата е разположена над оста x. Съдейки по графика, няма такива пропуски. Това означава, че даденото в условието на задачата неравенство няма решения.

Отговор:Решения няма.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Първо ниво

Решаване на уравнения, неравенства, системи с помощта на графики на функции. Визуално ръководство (2019)

Много задачи, които сме свикнали да изчисляваме чисто алгебрично, могат да бъдат решени много по-лесно и по-бързо, използването на функционални графики ще ни помогне в това. Казвате "как така?" да нарисуваш нещо и какво да нарисуваш? Повярвайте ми, понякога е по-удобно и по-лесно. Ще започваме ли? Да започнем с уравненията!

Графично решаване на уравнения

Графично решаване на линейни уравнения

Както вече знаете, графиката на линейно уравнение е права линия, откъдето идва и името на този тип. Линейните уравнения са доста лесни за решаване алгебрично - прехвърляме всички неизвестни от едната страна на уравнението, всичко, което знаем - от другата и готово! Намерихме корена. Сега ще ви покажа как да го направите графичен начин.

Така че имате уравнение:

Как да го решим?
Опция 1и най-често срещаното е да преместим неизвестните от едната страна, а известните от другата, получаваме:

И сега строим. Какво получи?

Какъв според вас е коренът на нашето уравнение? Точно така, координатата на пресечната точка на графиките:

Нашият отговор е

Това е цялата мъдрост на графичното решение. Както можете лесно да проверите, коренът на нашето уравнение е число!

Както казах по-горе, това е най-често срещаният вариант, близък до алгебричното решение, но можете да го решите по друг начин. За да разгледаме алтернативно решение, нека се върнем към нашето уравнение:

Този път няма да местим нищо от една страна на друга, а ще изградим графики директно, както е сега:

Построен? Виж!

Какво е решението този път? Добре. Същата е координатата на пресечната точка на графиките:

И отново нашият отговор е.

Както можете да видите, с линейните уравнения всичко е изключително просто. Време е да помислим за нещо по-сложно... Напр. графично решение на квадратни уравнения.

Графично решаване на квадратни уравнения

И така, сега нека започнем да решаваме квадратното уравнение. Да кажем, че трябва да намерите корените на това уравнение:

Разбира се, вече можете да започнете да броите чрез дискриминанта или според теоремата на Виета, но много нерви правят грешки при умножаване или повдигане на квадрат, особено ако примерът е с големи числа и, както знаете, няма да имате калкулатор на изпита ... Затова нека се опитаме да се отпуснем малко и да рисуваме, докато решаваме това уравнение.

Можете да намерите решения на това уравнение графично. различни начини. Разгледайте различните варианти и вие сами ще изберете кой ви харесва най-добре.

Метод 1. Директно

Ние просто изграждаме парабола според това уравнение:

За да го направя бързо, ще ви дам един малък намек: удобно е да започнете конструкцията, като определите върха на параболата.Следните формули ще ви помогнат да определите координатите на върха на параболата:

Казваш „Спри! Формулата за е много подобна на формулата за намиране на дискриминанта "да, така е и това е огромен недостатък на" директното "изграждане на парабола, за да се намерят нейните корени. Все пак нека преброим до края и тогава ще ви покажа как да го направите много (много!) по-лесно!

броихте ли Какви са координатите на върха на параболата? Нека да го разберем заедно:

Абсолютно същия отговор? Много добре! И сега вече знаем координатите на върха и за да изградим парабола, имаме нужда от повече ... точки. Как мислите колко минимални точки са ни необходими? Правилно, .

Знаете, че параболата е симетрична спрямо върха си, например:

Съответно се нуждаем от още две точки по левия или десния клон на параболата и в бъдеще ще отразяваме симетрично тези точки от противоположната страна:

Връщаме се към нашата парабола. За нашия случай точката. Трябват ни още две точки, съответно дали можем да вземем положителни, но можем ли да вземем отрицателни? Кои са най-добрите точки за вас? По-удобно ми е да работя с положителни, затова ще смятам с и.

Сега имаме три точки и можем лесно да изградим нашата парабола, като отразяваме последните две точки около нейния връх:

Какво според вас е решението на уравнението? Точно така, точките, в които, тоест и. защото.

И ако кажем това, тогава това означава, че също трябва да е равно, или.

Просто? Завършихме решаването на уравнението с вас по сложен графичен начин или ще има още!

Разбира се, можете да проверите нашия отговор алгебрично - можете да изчислите корените чрез теоремата на Виета или Дискриминанта. Какво получи? Един и същ? Ето вижте! Сега нека видим едно много просто графично решение, сигурен съм, че ще ви хареса много!

Метод 2. Разделяне на няколко функции

Нека вземем и всичко, нашето уравнение: , но го записваме по малко по-различен начин, а именно:

Можем ли да го напишем така? Можем, тъй като трансформацията е еквивалентна. Да погледнем по-нататък.

Нека изградим две функции поотделно:

1. - графиката е проста парабола, която можете лесно да изградите дори без да дефинирате върха с помощта на формули и да направите таблица за определяне на други точки.
2. - графиката е права линия, която можете също толкова лесно да изградите, като оцените стойностите и в главата си, без дори да прибягвате до калкулатор.

Построен? Сравнете с това, което получих:

Какъв според вас е коренът на уравнението в този случай? Правилно! Координати от, които се получават чрез пресичане на две графики и, което е:

Съответно решението на това уравнение е:

Какво казваш? Съгласете се, този метод на решение е много по-лесен от предишния и дори по-лесен от търсенето на корени чрез дискриминанта! Ако е така, опитайте този метод за решаване на следното уравнение:

Какво получи? Нека сравним нашите диаграми:

Графиките показват, че отговорите са:

успяхте ли Много добре! Сега нека разгледаме уравненията малко по-сложни, а именно решението на смесени уравнения, тоест уравнения, съдържащи функции от различни типове.

Графично решение на смесени уравнения

Сега нека се опитаме да разрешим следното:

Разбира се, можете да приведете всичко към общ знаменател, да намерите корените на полученото уравнение, като същевременно не забравяте да вземете предвид ODZ, но отново ще се опитаме да го решим графично, както направихме във всички предишни случаи.

Този път нека начертаем следните 2 графики:

1. - графиката е хипербола
2. - графиката е права линия, която можете лесно да изградите, като оцените стойностите и в главата си, без дори да прибягвате до калкулатор.

Осъзнах? Сега започнете да строите.

Ето какво ми се случи:

Гледайки тази снимка, какви са корените на нашето уравнение?

Точно така и. Ето и потвърждението:

Опитайте да включите нашите корени в уравнението. Се случи?

Добре! Съгласете се, графичното решаване на такива уравнения е удоволствие!

Опитайте сами да решите уравнението графично:

Давам ви съвет: преместете част от уравнението надясно, така че и двете страни да имат най-простите функции за изграждане. Разбра ли подсказката? Предприемам действие!

Сега да видим какво имате:

Съответно:

1. - кубична парабола.
2. - обикновена права линия.

Е, ние строим:

Както записахте дълго време, коренът на това уравнение е -.

След като реши това голям бройпримери, сигурен съм, че разбрахте как можете лесно и бързо да решавате уравнения графично. Време е да разберем как да решаваме системи по този начин.

Графично решение на системи

Графичното решение на системи по същество не се различава от графичното решение на уравнения. Ще построим и две графики, а техните пресечни точки ще бъдат корените на тази система. Една графика е едно уравнение, втората графика е друго уравнение. Всичко е изключително просто!

Нека започнем с най-простото - решаване на системи от линейни уравнения.

Решаване на системи от линейни уравнения

Да кажем, че имаме следната система:

Като начало ще го трансформираме по такъв начин, че отляво да има всичко, което е свързано с, а отдясно - това, което е свързано с. С други думи, записваме тези уравнения като функция в обичайната за нас форма:

И сега просто изграждаме две прави линии. Какво е решението в нашия случай? Правилно! Точката на тяхното пресичане! И тук трябва да сте много, много внимателни! Помислете защо? Ще ви подскажа: имаме работа със система: системата има и двете, и... Разбрахте ли подсказката?

Добре! При решаването на системата трябва да гледаме и двете координати, а не само, както при решаването на уравнения! Друг важен момент е да ги записваме правилно и да не бъркаме къде имаме стойност и къде е стойността! Записано? Сега нека сравним всичко по ред:

И отговаря: i. Направете проверка - заменете намерените корени в системата и се уверете, че сме я решили правилно по графичен начин?

Решаване на системи от нелинейни уравнения

Но какво ще стане, ако вместо една права линия имаме квадратно уравнение? Всичко е наред! Просто изграждате парабола вместо права линия! Не се доверявай? Опитайте се да решите следната система:

Каква е следващата ни стъпка? Точно така, запишете го, така че да ни е удобно да изграждаме графики:

И сега става въпрос за малкото нещо - построих го бързо и ето решението за вас! Сграда:

Графиките същите ли са? Сега маркирайте решенията на системата на картинката и запишете правилно разкритите отговори!

Направих ли всичко? Сравнете с моите бележки:

Добре? Много добре! Вие вече цъкате на такива задачи като ядки! И ако е така, нека ви дадем по-сложна система:

Какво правим? Правилно! Пишем системата така, че да е удобно да се изгражда:

Ще ви подскажа малко, тъй като системата изглежда много сложна! Когато изграждате графики, изграждайте ги "повече" и най-важното - не се изненадвайте от броя на пресечните точки.

Така че да тръгваме! Издишани? Сега започнете да строите!

Е, как? Красиво? Колко пресечни точки получихте? Имам три! Нека сравним нашите графики:

Същия начин? Сега внимателно запишете всички решения на нашата система:

Сега погледнете отново системата:

Можете ли да си представите, че сте го решили само за 15 минути? Съгласете се, математиката все още е проста, особено когато гледате израз, не се страхувате да направите грешка, но го вземете и решите! Ти си голямо момче!

Графично решение на неравенства

Графично решаване на линейни неравенства

След последния пример се справяте със задачата! Сега издишайте - в сравнение с предишните раздели, този ще бъде много, много лесен!

Започваме, както обикновено, с графично решение на линейно неравенство. Например този:

Като начало ще извършим най-простите трансформации - ще отворим скобите на идеалните квадрати и ще дадем подобни условия:

Неравенството не е строго, следователно - не е включено в интервала и решението ще бъде всички точки, които са вдясно, тъй като повече, повече и така нататък:

Отговор:

Това е всичко! Лесно? Нека решим просто неравенство с две променливи:

Нека начертаем функция в координатната система.

Имате ли такава диаграма? И сега внимателно да разгледаме какво имаме в неравенството? По-малко? И така, рисуваме върху всичко, което е вляво от нашата права линия. Ами ако имаше повече? Точно така, тогава ще боядисат всичко, което е вдясно от нашата права линия. Всичко е просто.

Всички решения на това неравенство са оцветени в оранжево. Това е всичко, неравенството с две променливи е решено. Това означава, че координатите и всяка точка от защрихованата област са решенията.

Графично решение на квадратни неравенства

Сега ще разгледаме как да решаваме графично квадратни неравенства.

Но преди да преминем направо към същината, нека повторим някои неща за квадратната функция.

За какво е отговорен дискриминантът? Точно така, за позицията на графиката спрямо оста (ако не помните това, тогава прочетете теорията за квадратичните функции със сигурност).

Във всеки случай, ето малко напомняне за вас:

Сега, след като опреснихме целия материал в паметта си, нека се заемем с работата - ще решим графично неравенството.

Веднага ще ви кажа, че има два варианта за решаването му.

Опция 1

Записваме нашата парабола като функция:

Използвайки формулите, ние определяме координатите на върха на параболата (по същия начин, както при решаване на квадратни уравнения):

броихте ли Какво получи?

Сега нека вземем още две различни точки и изчислим за тях:

Започваме да изграждаме един клон на параболата:

Симетрично отразяваме нашите точки върху друг клон на параболата:

Сега да се върнем към нашето неравенство.

Трябва да е по-малко от нула, съответно:

Тъй като в нашето неравенство има знак строго по-малко, ние изключваме крайните точки - ние „изпъкваме“.

Отговор:

Дълъг път, нали? Сега ще ви покажа по-проста версия на графичното решение, използвайки същото неравенство като пример:

Вариант 2

Връщаме се към нашето неравенство и маркираме интервалите, от които се нуждаем:

Съгласете се, много по-бързо е.

Нека напишем отговора сега:

Нека разгледаме друг метод за решение, който опростява алгебричната част, но основното е да не се бъркате.

Умножете лявата и дясната страна по:

Опитайте се да решите самостоятелно следното квадратно неравенство по начин, който желаете: .

успяхте ли

Вижте как се оказа моята диаграма:

Отговор: .

Графично решение на смесени неравенства

Сега нека да преминем към по-сложни неравенства!

Как ви харесва това:

Ужасно, нали? Честно казано, нямам идея как да реша това алгебрично ... Но не е необходимо. Графично няма нищо сложно в това! Очите се страхуват, но ръцете правят!

Първото нещо, с което започваме, е като изградим две графики:

Няма да пиша таблица за всеки - сигурен съм, че можете да го направите перфектно сами (разбира се, има толкова много примери за решаване!).

Боядисана? Сега изградете две графики.

Да сравним нашите рисунки?

Имате ли същото? Отлично! Сега нека поставим пресечните точки и с цвят определим коя графика трябва да имаме, на теория, трябва да е по-голяма, т.е. Вижте какво стана накрая:

И сега просто гледаме къде нашата избрана диаграма е по-висока от диаграмата? Чувствайте се свободни да вземете молив и да рисувате върху тази област! Това ще бъде решението на нашето сложно неравенство!

На какви интервали по оста сме по-високи от? Правилно, . Това е отговорът!

Е, сега можете да се справите с всяко уравнение, всяка система и още повече всяко неравенство!

НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Алгоритъм за решаване на уравнения чрез функционални графики:

1. Експрес чрез
2. Определете типа функция
3. Нека изградим графики на получените функции
4. Намерете пресечните точки на графиките
5. Запишете правилно отговора (като вземете предвид ODZ и знаците за неравенство)
6. Проверете отговора (заменете корените в уравнението или системата)

За повече информация относно начертаването на графики на функции вижте темата "".

По време на урока ще можете самостоятелно да изучавате темата „Графично решение на уравнения, неравенства“. Учителят в урока ще анализира графичните методи за решаване на уравнения и неравенства. Ще ви научи как да изграждате графики, да ги анализирате и да получавате решения на уравнения и неравенства. В урока ще бъдат разгледани и конкретни примери по тази тема.

Тема: Числови функции

Урок: Графично решаване на уравнения, неравенства

1. Тема на урока, въведение

Разгледахме графики на елементарни функции, включително графики на степенни функции с различни показатели. Разгледахме и правилата за преместване и трансформиране на функционални графики. Всички тези умения трябва да се прилагат, когато е необходимо. графикарешениеуравнения или графики решениенеравенства.

2. Графично решаване на уравнения и неравенства

Пример 1. Решете графично уравнението:

Нека изградим графики на функции (фиг. 1).

Графиката на функцията е парабола, минаваща през точките

Графиката на функцията е права линия, ще я изградим според таблицата.

Графиките се пресичат в точка. Няма други пресечни точки, тъй като функцията е монотонно нарастваща, функцията е монотонно намаляваща и следователно тяхната пресечна точка е единствена.

Пример 2. Решете неравенството

а. За да се изпълни неравенството, графиката на функцията трябва да се намира над правата линия (фиг. 1). Това се прави, когато

b. В този случай, напротив, параболата трябва да е под линията. Това се прави, когато

Пример 3. Решете неравенството

Нека изградим графики на функции (фиг. 2).

Намерете корена на уравнението, когато няма решения. Има едно решение за.

За да е валидно неравенството, хиперболата трябва да се намира над правата. Това е вярно за .

Пример 4. Решете графично неравенството:

Домейн:

Нека изградим графики на функции за (фиг. 3).

а. Графиката на функцията трябва да се намира под графиката; това се прави, когато

b. Графиката на функцията се намира над графиката на Но тъй като имаме нестрог знак в условието, важно е да не загубим изолирания корен

3. Заключение

Разгледахме графичен метод за решаване на уравнения и неравенства; разгледахме конкретни примери, при решаването на които използвахме такива свойства на функции като монотонност и равномерност.

1. Мордкович А. Г. и др.. Алгебра 9 клас: учеб. За общо образование Институции.- 4-то изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 клас: Задачна книга за ученици от образователни институции / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. - 4 изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Ю. Н. Макаричев, Алгебра. 9 клас: учебник. за общообразователни ученици. институции / Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. - 7-мо издание, Рев. и допълнителни - М .: Мнемозина, 2008.

4. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и Ю. В. Сидоров, Алгебра. 9 клас 16-то изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-то изд., изтрито. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 клас На 2 ч. Част 2. Задачна книга за ученици от образователни институции / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Изд. А. Г. Мордкович. - 12-то изд., Рев. — М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Колежна секция. ru по математика.

2. Интернет проект "Задачи".

3. Образователен портал "SOLVE USE".

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 клас: Учебник за ученици от образователни институции / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. - 4 изд. - М .: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 355, 356, 364.