Между ограничителни примеричертите са общи функции с корени, което не винаги е ясно как да се разкрие. По-лесно е, когато има пример за граница с основна функция на формата

Решението на такива граници е просто и ясно за всеки.
Трудности възникват, ако има следните примери за функции с корени.

Пример 1 . Изчислете границата на функцията

С директно заместване на точката x = 1 е ясно, че и числителят, и знаменателят на функцията

се обърнат към нула, тоест имаме несигурност от вида 0/0 .
За да се разкрие несигурността, трябва да се умножи изразът, съдържащ корена, по неговия спрегнат и да се приложи правилото за разликата на квадратите. За даден примертрансформациите ще бъдат както следва



Граница на функция с корение 6. Без горното правило би било трудно да го намерите.
Обмисли подобни примеригранични изчисления с даденото правило

Пример 2 Намерете границата на функция

Ние се уверяваме, че когато заместваме x = 3, получаваме несигурност от формата 0/0.
Разкрива се чрез умножаване на числителя и знаменателя по спрегнатия към числителя.


След това разлагаме числителя според правилото за разликата на квадратите

Точно така намерихме границата на функция с корени.

Пример 3 Определете границата на функцията

Виждаме, че имаме несигурност от формата 0/0.
Да се ​​отървем от ирационалността в знаменателя

Функционалното ограничение е 8.

Сега разгледайте друг тип примери, когато променливата в преразпределението клони към безкрайност.

Пример 4 . Изчислете границата на функцията

Много от вас не знаят как да намерят границата на функция. Техниката за изчисление ще бъде разкрита по-долу.
Имаме ограничение от тип безкрайност минус безкрайност. Умножете и разделете на спрегнатия фактор и използвайте правилото за разликата на квадратите

Границите на функцията са -2,5.

Изчисляването на такива граници всъщност се свежда до разкриване на ирационалност и след това до заместване на променлива

Пример 5 Намерете границата на функция

Границата е еквивалентна - безкрайност минус безкрайност
.
Умножение и деление на присъединения израз и опростяване

Това математически калкулаторонлайн ще ви помогне, ако е необходимо изчисляване на границата на функцията. програма ограничителни решенияне само дава отговор на проблема, той води подробно решениес обяснения, т.е. показва напредъка на изчисляването на лимита.

Тази програма може да бъде полезна за ученици от гимназията общообразователни училищапри подготовка за тестове и изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит, за родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да закупите нови учебници? Или просто искате да го направите възможно най-скоро? домашна работаматематика или алгебра? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.

По този начин можете да изпълнявате вашите собствено обучениеи/или обучението им по-малки братяили сестри, докато нивото на образование в областта на решаваните задачи се повишава.

Въведете функционален израз

Изчислете лимита

Беше установено, че някои скриптове, необходими за решаването на тази задача, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

Имате деактивиран JavaScript в браузъра си.
JavaScript трябва да е активиран, за да се появи решението.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.

защото Има много хора, които искат да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля изчакайте сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Границата на функцията при x-> x 0

Нека функцията f(x) е дефинирана върху някакво множество X и нека точката \(x_0 \in X \) или \(x_0 \notin X \)

Вземете от X последователност от точки, различни от x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сближаващи се към x*. Функционалните стойности в точките на тази последователност също образуват числова последователност
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и може да се постави въпросът за съществуването на неговата граница.

Определение. Числото A се нарича граница на функцията f (x) в точката x \u003d x 0 (или в x -> x 0), ако за всяка последователност (1) от стойности на аргумента x която се свежда до x 0, различна от x 0, съответната последователност (2) от функцията на стойностите се свежда до числото A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Функцията f(x) може да има само една граница в точката x 0. Това следва от факта, че последователността
(f(x n)) има само една граница.

Има и друга дефиниция на границата на функция.

ОпределениеЧислото A се нарича граница на функцията f(x) в точката x = x 0, ако за всяко число \(\varepsilon > 0 \) съществува число \(\delta > 0 \), такова че за всички \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяващ неравенството \(|x-x_0| Използвайки логически символи, тази дефиниция може да бъде написана като
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Обърнете внимание, че неравенствата \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Първата дефиниция се основава на понятието за граница числова последователност, поради което често се нарича дефиниция на „езика на последователността“. Втората дефиниция се нарича дефиниция на "език \(\varepsilon - \delta \)".
Тези две дефиниции на границата на функция са еквивалентни и можете да използвате всяка от тях, което е по-удобно за решаване на конкретен проблем.

Обърнете внимание, че дефиницията на границата на функция „на езика на последователностите“ се нарича още дефиниция на границата на функция според Хайне, а дефиницията на границата на функция „на езика \(\varepsilon - \delta \)" също се нарича дефиниция на границата на функция според Коши.

Функционална граница при x->x 0 - и при x->x 0 +

В това, което следва, ще използваме концепциите за едностранни граници на функция, които са дефинирани по следния начин.

ОпределениеЧислото A се нарича дясна (лява) граница на функцията f (x) в точката x 0, ако за всяка последователност (1), сходна към x 0, чиито елементи x n са по-големи (по-малки) от x 0 , съответната последователност (2) се сближава с A.

Символично се изписва така:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Може да се даде еквивалентна дефиниция на едностранни граници на функция "на езика \(\varepsilon - \delta \)":

Определениечислото A се нарича дясна (лява) граница на функцията f(x) в точката x 0, ако за всеки \(\varepsilon > 0 \) съществува \(\delta > 0 \), така че за всички x, удовлетворяващи неравенствата \(x_0 Символни записи:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

\begin(equation) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(equation)

Пример #4

Намерете $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)$.

Тъй като $\lim_(x\to 4)\left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\right)=0$ и $\lim_(x\to 4)(16-x^ 2 )=0$, тогава имаме работа с несигурност от формата $\frac(0)(0)$. За да се отървете от ирационалността, която е причинила тази несигурност, трябва да умножите числителя и знаменателя по израза, спрегнат на числителя. тук вече няма да помогне, защото умножението по $\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)$ ще доведе до следния резултат:

$$ \left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)\right)=\sqrt((5x -12)^2)-\sqrt((x+4)^2) $$

Както можете да видите, такова умножение няма да ни спаси от разликата в корените, която причинява неопределеността на $\frac(0)(0)$. Трябва да умножим по друг израз. Този израз трябва да бъде такъв, че след умножение по него разликата на кубичните корени да изчезне. И кубичният корен може да "премахне" само трета степен, така че трябва да използвате . Заместване в правилната странатази формула $a=\sqrt(5x-12)$, $b=\sqrt(x+4)$, получаваме:

$$ \left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt( x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right)=\\ =\sqrt((5x-12)^3)-\sqrt((x+4)^3)=5x-12 -(x+4)=4x-16. $$

И така, след умножаване по $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$, разликата от кубични корени изчезна. Това е изразът $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$, който ще бъде спрегнат към израза $\ sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$. Нека се върнем към нашата граница и умножим числителя и знаменателя по израза, спрегнат на числителя $\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=\left|\frac(0)(0)\right |=\\ =\lim_(x\до 4)\frac(\left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\десен)\left(\sqrt((5x-12)^2 )+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))((16-x^2)\left(\sqrt((5x) -12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =\lim_(x\to 4 )\frac(4x-16)((16-x^2)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt ((x+4)^2) \right)) $$

Задачата е практически решена. Остава само да се вземе предвид, че $16-x^2=-(x^2-16)=-(x-4)(x+4)$ (виж ). В допълнение, $4x-16=4(x-4)$, така че пренаписваме последното ограничение в тази форма:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(4x-16)((16-x^2)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \ sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =\lim_(x\to 4)\frac(4(x-4))(-(x-4 )(x+4)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \ дясно))=\\ =-4\cdot\lim_(x\до 4)\frac(1)((x+4)\ляво(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x- 12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =-4\cdot\frac(1)((4+4)\left(\ sqrt((5\cdot4-12)^2)+\sqrt(5\cdot4-12)\cdot \sqrt(4+4)+\sqrt((4+4)^2) \right))=-\ frac(1)(24). $$

Отговор: $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=-\frac(1)(24)$.

Разгледайте още един пример (пример № 5) в тази част, където прилагаме . По принцип схемата на решение не се различава от предишните примери, с изключение на това, че спрегнатият израз ще има различна структура. Между другото, заслужава да се отбележи, че в типичните изчисления и тестове често има задачи, когато например изрази с кубичен корен, а в знаменателя - с квадратен корен. В този случай трябва да умножите както числителя, така и знаменателя по различни спрегнати изрази. Например, когато се изчислява границата $\lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)$, съдържаща несигурност от формата $\frac(0 )(0 )$, умножението ще изглежда така:

$$ \lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)=\left|\frac(0)(0)\right|= \lim_ (x\до 8)\frac(\left(\sqrt(x)-2\right)\cdot \left(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\right)\cdot\left (\sqrt(x+1)+3\right))(\left(\sqrt(x+1)-3\right)\cdot\left(\sqrt(x+1)+3\right)\cdot\ ляв(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\десен))=\\= \lim_(x\до 8)\frac((x-8)\cdot\left(\sqrt( x+1)+3\вдясно))(\наляво(x-8\вдясно)\cdot\наляво(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\вдясно))= \lim_(x \до 8)\frac(\sqrt(x+1)+3)(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4)=\frac(3+3)(4+4+4) =\frac(1)(2). $$

Всички приложени по-горе трансформации вече бяха разгледани по-рано, така че предполагам, че тук няма особени неясноти. Въпреки това, ако решението на вашия подобен пример повдига въпроси, моля, отпишете се за него във форума.

Пример #5

Намерете $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$.

Тъй като $\lim_(x\to 2)(\sqrt(5x+6)-2)=0$ и $\lim_(x\to 2)(x^3-8)=0$, имаме с несигурност $ \frac(0)(0)$. За да разкрием тази несигурност, използваме . Конюгираният израз за числителя има формата

$$\sqrt((5x+6)^3)+\sqrt((5x+6)^2)\cdot 2+\sqrt(5x+6)\cdot 2^2+2^3=\sqrt(( 5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8.$$

Умножавайки числителя и знаменателя на дробта $\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$ по горния спрегнат израз, получаваме:

$$\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\ lim_(x\to 2)\frac(\left(\sqrt(5x+6)-2\right)\cdot \left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\ cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5x+6-16) ((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6) +8\вдясно))=\\ =\lim_(x\до 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+ 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right)) $$

Тъй като $5x-10=5\cdot(x-2)$ и $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ (вижте ), тогава:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5(x-2))((x-2 )(x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+ 6 )+8\вдясно))=\\ \lim_(x\до 2)\frac(5)((x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3) + 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\ \frac(5)((2^2+2\cdot 2 + 4)\cdot\left(\sqrt((5\cdot 2+6)^3)+2\cdot\sqrt((5\cdot 2+6)^2)+4\cdot\sqrt(5\cdot 2 +6)+8\надясно))=\frac(5)(384). $$

Отговор: $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\frac(5)(384)$.

Пример #6

Намерете $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(3x-5)-1)(\sqrt(3x-5)-1)$.

Тъй като $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$ и $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$, тогава имаме работа с несигурността на $\frac(0)(0)$. В такива ситуации, когато изразите под корените са еднакви, можете да използвате метода на заместване. Изисква се да се замени изразът под корена (т.е. $3x-5$) чрез въвеждане на нова променлива. Самото използване на новото писмо обаче няма да направи нищо. Представете си, че просто заменихме израза $3x-5$ с буквата $t$. Тогава частта под ограничението става: $\frac(\sqrt(t)-1)(\sqrt(t)-1)$. Ирационалността не е изчезнала никъде, тя само се е променила донякъде, което не е улеснило задачата.

Тук е уместно да припомним, че коренът може да премахне само степента. Но коя степен да използвам? Въпросът не е тривиален, защото имаме два корена. Единият корен от пети, а другият - от трети ред. Степента трябва да е такава, че и двата корена да се отстраняват едновременно! Имаме нужда от естествено число, което би се делило едновременно на $3$ и $5$. Такива числа безкрайно множество, но най-малкото от тях е числото $15$. Наричат ​​го най-малко общо кратночисла $3$ и $5$. И заместването трябва да е така: $t^(15)=3x-5$. Вижте какво причинява такава подмяна на корените.

Теорията на границите е един от разделите математически анализ. Въпросът за решаване на лимити е доста обширен, тъй като има десетки методи за решаване на лимити различни видове. Има десетки нюанси и трикове, които ви позволяват да разрешите един или друг лимит. Въпреки това ще се опитаме да разберем основните видове лимити, които най-често се срещат на практика.

Нека започнем със самата концепция за лимит. Но първо кратко история справка. Имало едно време един французин Огюстен Луи Коши през 19 век, който поставил основите на математическия анализ и дал строги дефиниции, по-специално дефиницията на границата. Трябва да се каже, че същият този Коши сънува, сънува и ще сънува в кошмари всички студенти от физико-математическите факултети, както доказа голяма суматеореми на математическия анализ и една теорема е по-отвратителна от другата. В това отношение няма да разглеждаме стриктна дефиниция на лимита, а ще се опитаме да направим две неща:

1. Разберете какво е лимит.
2. Научете се да решавате основните видове лимити.

Извинявам се за някои ненаучни обяснения, важно е материалът да е разбираем дори за чайник, каквато всъщност е задачата на проекта.

И така, каква е границата?

И веднага пример защо да чукаш баба си....

Всеки лимит се състои от три части:

1) Добре познатата икона за ограничение.
2) Записи под иконата за ограничение, в този случай. Записът гласи „х клони към единица“. Най-често - точно, въпреки че вместо "х" на практика има други променливи. AT практически задачина мястото на единицата може да бъде абсолютно всяко число, както и безкрайност ().
3) Функции под знака за граница, в този случай .

Самият запис се чете така: "границата на функцията, когато x клони към единица."

Нека анализираме следното важен въпросКакво означава изразът "X"? търсикъм единството? И какво изобщо е „стремеж“?
Концепцията за лимит е концепция, така да се каже, динамичен. Нека изградим последователност: първо , след това , , …, , ….
Тоест изразът „х търсидо едно" трябва да се разбира по следния начин - "x" последователно приема стойностите които са безкрайно близки до единицата и практически съвпадат с нея.

Как да решим горния пример? Въз основа на горното, просто трябва да замените единицата във функцията под знака за граница:

Така че първото правило е: Когато ви бъде даден лимит, първо просто опитайте да включите числото във функцията.

Прегледахме най-простата граница, но и такива се срещат в практиката и то не толкова рядко!

Пример за безкрайност:

Разбиране какво е това? Такъв е случаят, когато се увеличава безкрайно, тоест: първо, след това, след това, след това и така нататък до безкрайност.

И какво се случва с функцията в този момент?
, , , …

И така: ако , тогава функцията клони към минус безкрайност:

Грубо казано, според нашето първо правило, ние заместваме безкрайността във функцията вместо "x" и получаваме отговора.

Друг пример с безкрайност:

Отново започваме да увеличаваме до безкрайност и разглеждаме поведението на функцията:

Заключение: за , функцията нараства неограничено:

И още една поредица от примери:

Моля, опитайте се да анализирате мислено следното за себе си и запомнете най-простите видове ограничения:

, , , , , , , , ,
Ако някъде има някакво съмнение, можете да вземете калкулатор и да тренирате малко.
В случай, че , опитайте се да изградите последователността , , . Ако , тогава , , .

Забележка: строго погледнато, този подход с изграждане на последователности от няколко числа е неправилен, но е доста подходящ за разбиране на най-простите примери.

Обърнете внимание и на следното. Дори да е даден лимит Голям бройна върха, дори и с милион: тогава няма значение , защото рано или късно "х" ще придобие такива гигантски стойности, че един милион в сравнение с тях ще бъде истински микроб.

Какво трябва да се запомни и разбере от горното?

1) Когато ни е дадено ограничение, първо просто се опитваме да заменим число във функцията.

2) Трябва да разберете и незабавно да разрешите най-простите ограничения, като напр , и т.н.

Сега ще разгледаме групата граници, когато , а функцията е дроб, в числителя и знаменателя на която са полиноми

Пример:

Изчислете лимита

Според нашето правило ще се опитаме да заменим безкрайността във функция. Какво получаваме на върха? Безкрайност. И какво се случва отдолу? Също безкрайност. Така имаме така наречената неопределеност на формата. Човек може да си помисли, че , и отговорът е готов, но в общ случайтова изобщо не е така и трябва да се приложи някакво решение, което сега ще разгледаме.

Как да се справим с ограниченията от този тип?

Първо разглеждаме числителя и намираме най-голямата мощност:

Най-голямата степен в числителя е две.

Сега разглеждаме знаменателя и намираме най-високата степен:

Най-голямата степен на знаменателя е две.

След това избираме най-голямата степен на числителя и знаменателя: in този примерте съвпадат и са равни на две.

И така, методът на решение е следният: за да се разкрие несигурността, е необходимо числителят и знаменателят да се разделят на най-високата степен.

Ето го отговорът, а не безкрайността.

Какво е важно при вземането на решение?

Първо, посочваме несигурността, ако има такава.

Второ, желателно е да прекъснете решението за междинни обяснения. Обикновено използвам знака, той не носи никакво математическо значение, а означава, че решението се прекъсва за междинно обяснение.

Трето, в границата е желателно да се отбележи какво и къде клони. Когато работата се съставя на ръка, е по-удобно да се направи така:

За бележки е по-добре да използвате обикновен молив.

Разбира се, не можете да направите нищо от това, но тогава може би учителят ще забележи недостатъците в решението или ще започне да пита допълнителни въпросипо задание. А имате ли нужда от него?

Пример 2

Намерете границата
Отново в числителя и знаменателя намираме в най-висока степен:

Максимална степен в числителя: 3
Максимална степен в знаменателя: 4
Избирам най великстойност, в този случай четири.
Според нашия алгоритъм, за да разкрием несигурността, разделяме числителя и знаменателя на .
Пълното задание може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя на

Пример 3

Намерете границата
Максималната степен на "x" в числителя: 2
Максималната степен на "x" в знаменателя: 1 (може да се запише като)
За да разкриете несигурността, е необходимо да разделите числителя и знаменателя на . Едно чисто решение може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя на

Записът не означава деление на нула (невъзможно е да се дели на нула), а деление на безкрайно малко число.

Така при разкриване на неопределеността на формата можем да получим крайно число , нула или безкрайност.

Граници с типова неопределеност и метод за тяхното решаване

Следваща групаграниците са донякъде подобни на току-що разгледаните граници: има полиноми в числителя и знаменателя, но „x“ вече не клони към безкрайност, а към крайно число.

Пример 4

Решете границата
Първо, нека се опитаме да заместим -1 в дроб:

В този случай се получава така наречената неопределеност.

Общо правило : ако има полиноми в числителя и знаменателя и има несигурност на формата , тогава за нейното разкриване множете числителя и знаменателя.

За да направите това, най-често трябва да решите квадратно уравнение и (или) да използвате съкратени формули за умножение. Ако тези неща са забравени, посетете страницата Математически формули и таблиции проверете методически материал Горещи формули училищен курсматематика. Между другото, най-добре е да го отпечатате, изисква се много често и информацията от хартията се усвоява по-добре.

Така че нека решим нашата граница

Разлагане на множители на числителя и знаменателя

За да разложите числителя на множители, трябва да решите квадратното уравнение:

Първо намираме дискриминанта:

И корен квадратен от него: .

Ако дискриминантът е голям, например 361, използваме калкулатор, функцията за извличане корен квадратене на най-простия калкулатор.

! Ако коренът не е напълно извлечен (оказва се дробно числос точка и запетая), много вероятно е дискриминантът да е изчислен неправилно или да има правописна грешка в задачата.

След това намираме корените:

По този начин:

Всичко. Числителят се разлага на множители.

Знаменател. Знаменателят вече е най-простият фактор и няма начин да го опростим.

Очевидно може да се съкрати до:

Сега заместваме -1 в израза, който остава под знака за ограничение:

Естествено, в контролна работа, на теста, изпита решението никога не е боядисано толкова подробно. В крайната версия дизайнът трябва да изглежда така:

Нека разложим числителя на множители.

Пример 5

Изчислете лимита

Първо, "чисто" решение

Нека разложим числителя и знаменателя на множители.

Числител:
Знаменател:



,

Кое е важното в този пример?
Първо, трябва да разберете добре как се разкрива числителят, първо поставихме 2 в скоби и след това използвахме формулата за разликата на квадратите. Това е формулата, която трябва да знаете и да видите.

Теорията на границите е един от клоновете на математическия анализ. Въпросът за решаване на лимити е доста обширен, тъй като има десетки методи за решаване на лимити от различни видове. Има десетки нюанси и трикове, които ви позволяват да разрешите един или друг лимит. Въпреки това ще се опитаме да разберем основните видове лимити, които най-често се срещат на практика.

Нека започнем със самата концепция за лимит. Но първо, кратка историческа справка. Имало едно време французинът Огюстен Луи Коши през 19 век, който дал строги дефиниции на много концепции за матан и положил основите му. Трябва да кажа, че този уважаван математик сънува, сънува и ще сънува в кошмарите на всички студенти от физико-математическите факултети, тъй като той доказа огромен брой теореми на математическия анализ и една теорема е по-убийствена от другата. Поради тази причина няма да разглеждаме определяне на границата на Коши, но нека се опитаме да направим две неща:

1. Разберете какво е лимит.
2. Научете се да решавате основните видове лимити.

Извинявам се за някои ненаучни обяснения, важно е материалът да е разбираем дори за чайник, каквато всъщност е задачата на проекта.

И така, каква е границата?

И веднага пример защо да чукаш баба си....

Всеки лимит се състои от три части:

1) Добре познатата икона за ограничение.
2) Записи под иконата за ограничение, в този случай . Записът гласи „х клони към единица“. Най-често - точно, въпреки че вместо "х" на практика има други променливи. В практическите задачи на мястото на единица може да има абсолютно всяко число, както и безкрайност ().
3) Функции под знака за граница, в този случай .

Самият запис се чете така: "границата на функцията, когато x клони към единица."

Нека анализираме следващия важен въпрос - какво означава изразът "x търсикъм единството? И какво изобщо е „стремеж“?
Концепцията за лимит е концепция, така да се каже, динамичен. Нека изградим последователност: първо , след това , , …, , ….
Тоест изразът „х търсидо едно" трябва да се разбира по следния начин - "x" последователно приема стойностите които са безкрайно близки до единицата и практически съвпадат с нея.

Как да решим горния пример? Въз основа на горното, просто трябва да замените единицата във функцията под знака за граница:

Така че първото правило е: Когато ви бъде даден лимит, първо просто опитайте да включите числото във функцията.

Разгледахме най-простата граница, но такива се срещат и на практика, и то не толкова рядко!

Пример за безкрайност:

Разбиране какво е това? Такъв е случаят, когато се увеличава безкрайно, тоест: първо, след това, след това, след това и така нататък до безкрайност.

И какво се случва с функцията в този момент?
, , , …

И така: ако , тогава функцията клони към минус безкрайност:

Грубо казано, според нашето първо правило, ние заместваме безкрайността във функцията вместо "x" и получаваме отговора.

Друг пример с безкрайност:

Отново започваме да увеличаваме до безкрайност и разглеждаме поведението на функцията:

Заключение: за , функцията нараства неограничено:

И още една поредица от примери:

Моля, опитайте се да анализирате мислено следното за себе си и запомнете най-простите видове ограничения:

, , , , , , , , ,
Ако някъде има някакво съмнение, можете да вземете калкулатор и да тренирате малко.
В случай, че , опитайте се да изградите последователността , , . Ако , тогава , , .

! Забележка: строго погледнато, такъв подход с изграждането на последователности от няколко числа е неправилен, но е доста подходящ за разбиране на най-простите примери.

Обърнете внимание и на следното. Дори да се даде ограничение с голямо число отгоре или поне с милион: , тогава все едно , защото рано или късно "х" ще започне да приема такива гигантски стойности, че милион в сравнение с тях ще бъде истински микроб.

Какво трябва да се запомни и разбере от горното?

1) Когато ни е дадено ограничение, първо просто се опитваме да заменим число във функцията.

2) Трябва да разберете и незабавно да разрешите най-простите ограничения, като напр , и т.н.

Освен това лимитът е много добър геометричен смисъл. За по-добро разбиранетеми препоръчвам да прочетете методическия материал Графики и свойства на елементарни функции. След като прочетете тази статия, вие не само най-накрая ще разберете какво е лимит, но и ще се запознаете с интересни случаикогато границата на функцията е изобщо не съществува!

На практика, за съжаление, подаръците са малко. И така преминаваме към разглеждането на по-сложни ограничения. Между другото, по тази тема има интензивен курсв pdf формат, което е особено полезно, ако имате МНОГО малко време за подготовка. Но материалите на сайта, разбира се, не са по-лоши:

Сега ще разгледаме групата граници, когато , а функцията е дроб, в числителя и знаменателя на която са полиноми

Пример:

Изчислете лимита

Според нашето правило ще се опитаме да заменим безкрайността във функция. Какво получаваме на върха? Безкрайност. И какво се случва отдолу? Също безкрайност. Така имаме така наречената неопределеност на формата. Може да се мисли, че , и отговорът е готов, но в общия случай това изобщо не е така и трябва да се приложи някакво решение, което сега ще разгледаме.

Как да решим ограниченията от този тип?

Първо разглеждаме числителя и намираме най-голямата мощност:

Най-голямата степен в числителя е две.

Сега разглеждаме знаменателя и намираме най-високата степен:

Най-голямата степен на знаменателя е две.

След това избираме най-голямата степен на числителя и знаменателя: в този пример те са еднакви и равни на две.

И така, методът на решение е следният: за да се разкрие несигурността, е необходимо числителят и знаменателят да се разделят на най-високата степен.

Ето го отговорът, а не безкрайността.

Какво е важно при вземането на решение?

Първо, посочваме несигурността, ако има такава.

Второ, желателно е да прекъснете решението за междинни обяснения. Обикновено използвам знака, той не носи никакво математическо значение, а означава, че решението се прекъсва за междинно обяснение.

Трето, в границата е желателно да се отбележи какво и къде клони. Когато работата се съставя на ръка, е по-удобно да се направи така:

За бележки е по-добре да използвате обикновен молив.

Разбира се, можете да не направите нищо от това, но тогава може би учителят ще забележи недостатъците в решението или ще започне да задава допълнителни въпроси по заданието. А имате ли нужда от него?

Пример 2

Намерете границата
Отново в числителя и знаменателя намираме в най-висока степен:

Максимална степен в числителя: 3
Максимална степен в знаменателя: 4
Избирам най великстойност, в този случай четири.
Според нашия алгоритъм, за да разкрием несигурността, разделяме числителя и знаменателя на .
Пълното задание може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя на

Пример 3

Намерете границата
Максималната степен на "x" в числителя: 2
Максималната степен на "x" в знаменателя: 1 (може да се запише като)
За да разкриете несигурността, е необходимо да разделите числителя и знаменателя на . Едно чисто решение може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя на

Записът не означава деление на нула (невъзможно е да се дели на нула), а деление на безкрайно малко число.

Така при разкриване на неопределеността на формата можем да получим крайно число, нула или безкрайност.

Граници с типова неопределеност и метод за тяхното решаване

Следващата група граници е донякъде подобна на току-що разгледаните граници: има полиноми в числителя и знаменателя, но „x“ вече не клони към безкрайност, а към крайно число.

Пример 4

Решете границата
Първо, нека се опитаме да заместим -1 в дроб:

В този случай се получава така наречената неопределеност.

Общо правило: ако има полиноми в числителя и знаменателя и има несигурност на формата , тогава за нейното разкриване множете числителя и знаменателя.

За да направите това, най-често трябва да решите квадратно уравнение и (или) да използвате съкратени формули за умножение. Ако тези неща са забравени, посетете страницата Математически формули и таблиции се запознават с методическия материал Горещи училищни математически формули. Между другото, най-добре е да го отпечатате, изисква се много често и информацията от хартията се усвоява по-добре.

Така че нека решим нашата граница

Разлагане на множители на числителя и знаменателя

За да разложите числителя на множители, трябва да решите квадратното уравнение:

Първо намираме дискриминанта:

И корен квадратен от него: .

Ако дискриминантът е голям, например 361, използваме калкулатор, функцията за квадратен корен е на най-простия калкулатор.

! Ако коренът не е извлечен напълно (получава се дробно число със запетая), много вероятно е дискриминантът да е изчислен неправилно или да има правописна грешка в задачата.

След това намираме корените:

По този начин:

Всичко. Числителят се разлага на множители.

Знаменател. Знаменателят вече е най-простият фактор и няма начин да го опростим.

Очевидно може да се съкрати до:

Сега заместваме -1 в израза, който остава под знака за ограничение:

Естествено, на тест, на тест, на изпит, решението никога не е боядисано толкова подробно. В крайната версия дизайнът трябва да изглежда така:

Нека разложим числителя на множители.

Пример 5

Изчислете лимита

Първо, "чисто" решение

Нека разложим числителя и знаменателя на множители.

Числител:
Знаменател:



,

Кое е важното в този пример?
Първо, трябва да разберете добре как се разкрива числителят, първо поставихме 2 в скоби и след това използвахме формулата за разликата на квадратите. Това е формулата, която трябва да знаете и да видите.

Препоръка: Ако в ограничението (от почти всеки тип) е възможно да извадим число извън скобата, тогава винаги правим това.
Освен това е препоръчително да вземете такива числа отвъд знака за ограничение. За какво? Само да не пречат. Основното нещо е да не загубите тези числа в хода на решението.

Моля, имайте предвид, че на финален етапИзвадих решението за лимит икона двойка, и след това минус.

! важно
В хода на решението много често се среща типов фрагмент. Намалете тази фракциязабранено е . Първо трябва да смените знака на числителя или знаменателя (поставете -1 извън скоби).
, тоест се появява знак минус, който се взема предвид при изчисляване на лимита и изобщо не е необходимо да се губи.

Като цяло забелязах, че най-често при намирането на граници от този тип трябва да решите две квадратни уравнения, тоест и числителят, и знаменателят съдържат квадратни тричлени.

Методът за умножаване на числителя и знаменателя с присъединения израз

Продължаваме да разглеждаме несигурността на формата

Следващият тип ограничения е подобен на предишния тип. Единственото нещо, в допълнение към полиномите, ще добавим корени.

Пример 6

Намерете границата

Започваме да решаваме.

Първо се опитваме да заменим 3 в израза под знака за граница
Още веднъж повтарям - това е първото нещо, което трябва да направите за ВСЕКИ лимит. Това действиеобикновено се извършва наум или на чернова.

Получава се неопределеност от вида , която трябва да бъде отстранена.

Както вероятно сте забелязали, имаме разликата на корените в числителя. И е обичайно да се отървем от корените в математиката, ако е възможно. За какво? И животът е по-лесен без тях.