Как се решава система от рационални неравенства. Дробни рационални неравенства

Нека се намери числови стойности x, при което те се превръщат в истина числови неравенстваняколко едновременно рационални неравенства. В такива случаи казваме, че трябва да решим система от рационални неравенства с едно неизвестно x.

За да се реши система от рационални неравенства, трябва да се намерят всички решения на всяко неравенство в системата. Тогава общата част от всички намерени решения ще бъде решението на системата.

Пример:Решете системата от неравенства

(x -1)(x - 5)(x - 7)< 0,

Първо решаваме неравенството

(x - 1) (x - 5) (x - 7)< 0.

Прилагайки интервалния метод (фиг. 1), установяваме, че множеството от всички решения на неравенство (2) се състои от два интервала: (-, 1) и (5, 7).

Снимка 1

Сега нека решим неравенството

Използвайки интервалния метод (фиг. 2), намираме, че множеството от всички решения на неравенство (3) също се състои от два интервала: (2, 3) и (4, +).

Сега трябва да намерим обща частрешаване на неравенства (2) и (3). Да рисуваме координатна ос x и отбележете върху него намерените решения. Сега е ясно, че обща частрешението на неравенствата (2) и (3) е интервалът (5, 7) (фиг. 3).

Следователно множеството от всички решения на системата от неравенства (1) е интервалът (5, 7).

Пример: Решете системата от неравенства

x2 - 6x + 10< 0,

Нека първо решим неравенството

x 2 - 6x + 10< 0.

Прилагане на метода за избор пълен квадрат, това може да се напише

x 2 - 6x + 10 \u003d x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 \u003d (x - 3) 2 +1.

Следователно неравенство (2) може да се запише като

(x - 3) 2 + 1< 0,

което показва, че няма решение.

Сега не можете да решите неравенството

тъй като отговорът вече е ясен: система (1) няма решение.

Пример:Решете системата от неравенства

Разгледайте първо първото неравенство; ние имаме

1 < 0, < 0.

Използвайки кривата на знаците, намираме решения на това неравенство: x< -2; 0 < x < 2.

Сега решаваме второто неравенство дадена система. Имаме х 2 - 64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

След като маркираме намерените решения на първото и второто неравенство на обща реална права (фиг. 6), намираме такива интервали, в които тези решения съвпадат (потискане на решението): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

Пример:Решете системата от неравенства

Преобразуваме първото неравенство на системата:

x 3 (x - 10) (x + 10) 0 или x (x - 10) (x + 10) 0

(тъй като факторите в нечетни степени могат да бъдат заменени със съответните фактори от първа степен); използвайки интервалния метод, намираме решения на последното неравенство: -10 x 0, x 10.

Разгледайте второто неравенство на системата; ние имаме

Намираме (фиг. 8) x -9; 3< x < 15.

Комбинирайки намерените решения, получаваме (фиг. 9) x 0; х > 3.

Пример:намирам целочислени решениясистеми от неравенства:

x + y< 2,5,

Решение: Нека пренесем системата във формата

Събирайки първото и второто неравенство, имаме y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

откъдето -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

Тема на урока "Решаване на системи от рационални неравенства"

10 клас

Тип урок: търсене

Цел: намиране на начини за решаване на неравенства с модул, прилагане на интервалния метод в нова ситуация.

Цели на урока:

Проверяват уменията за решаване на рационални неравенства и техните системи; - да покаже на учениците възможностите за използване на интервалния метод при решаване на неравенства с модул;

Научете се да мислите логично;

Развийте умението за самооценка на работата си;

Научете се да изразявате мислите си

Научете се да защитавате своята гледна точка с разум;

Да формира у учениците положителен мотив за учене;

Развивайте независимостта на ученика.

По време на часовете

аз Организиране на времето(1 минута)

Здравейте, днес ще продължим да изучаваме темата "Система от рационални неравенства", ще приложим нашите знания и умения в нова ситуация.

Запишете датата и темата на урока „Решаване на системи от рационални неравенства“. Днес ви каня на пътешествие по пътищата на математиката, където ви очакват тестове, тест за сила. Имате пътни карти със задачи на бюрата си, пътна ведомост за самооценка, която ще ми предадете на мен (диспечера) в края на пътуването.

Мотото на пътуването ще бъде афоризмът „Пътят ще бъде овладян от този, който върви, и този, който мисли математиката“. Вземете своя багаж от знания със себе си. Включи процес на мисленеи тръгвай. По пътя ще ни придружава пътно радио.Звучи фрагмент от музика (1 мин.). След това остър звуков сигнал.

II. Етапът на проверка на знанията. Групова работа."Проверка на багаж"

Ето и първият тест "Преглед на багаж", проверяващ знанията ви по темата

Сега ще бъдете разделени на групи от 3 или 4 души. Всеки има работен лист на бюрото си. Разпределете тези задачи помежду си, решете ги, запишете готовите отговори на общ лист. Група от 3 души избира произволни 3 задачи. Който изпълни всички задачи, ще информира учителя за това. Аз или моите асистенти ще проверяваме отговорите и ако поне един отговор е грешен, лист се връща на групата за повторна проверка. (децата не виждат отговорите, само им се казва в коя задача отговорът е грешен).Първата група, която изпълни всички задачи без грешки, ще спечели. Напред за победа.

Музиката е много тиха.

Ако две или три групи приключат работа едновременно, тогава едно от момчетата от другата група ще помогне на учителя да провери. Отговорите на листа с учителя (4 екземпляра).

Работата спира, когато се появи печеливша група.

Не забравяйте да попълните контролния списък за самооценка. И отиваме по-нататък.

Лист със задача за "Проверка на багаж"

1) 3)

2) 4)

III. Етапът на актуализиране на знанията и откриване на нови знания. "Еврика"

Проверката показа, че имате богати познания.

Но на пътя има всякакви ситуации, понякога се иска изобретателност и ако сте забравили да го вземете със себе си, нека проверим.

Научихте как да решавате системи от рационални неравенства с помощта на интервалния метод. Днес ще разгледаме решението на кои проблеми е препоръчително да използвате този метод. Но първо, нека си припомним какво е модул.

1. Продължете изреченията "Модулът на числото е равен на самото число, ако ..."(устно)

„Модулът на числото е противоположно число, ако..."

2. Нека A(X) е полином от x

Продължете да записвате:

Отговор:

Напишете израза срещу израза A (x)

A(x) = 5 - 4x; A(x) = 6x 2 - 4x + 2

A(x)= -A(x)=

Ученикът пише на дъската, момчетата пишат в тетрадките.

3. Сега нека се опитаме да намерим начин да решим квадратно неравенство с модула

Какви са вашите предложения за решаване на това неравенство?

Вслушайте се в предложенията на момчетата.

Ако няма предложения, задайте въпроса: „Възможно ли е да се реши това неравенство с помощта на системи от неравенства?“

Ученикът излиза и решава.

IV. Етапът на първично консолидиране на нови знания, изготвяне на алгоритъм за решение. Попълване на багажа.

(Работа в групи от по 4 души).

Сега ви предлагам да попълните багажа си. Ще работите в групи.Всяка група получава 2 карти със задачи.

На първата карта трябва да напишете системи за решаване на неравенствата, представени на дъската, и да разработите алгоритъм за решаване на такива неравенства, не е необходимо да го решавате.

Първата карта на групите е различна, втората е същата

Какво стана?

Под всяко уравнение на дъската трябва да напишете набор от системи.

Излизат 4 ученика и пишат системи. По това време обсъждаме алгоритъма с класа.

v. Етапът на консолидиране на знанията.„Път към дома“.

Багажът е попълнен, сега е време Обратно пътуване. Сега решете независимо всяко от предложените неравенства с модула в съответствие с компилирания алгоритъм.

С вас на път отново ще бъде пътно радио.

Включете тиха фонова музика. Учителят проверява дизайна и, ако е необходимо, съветва.

Задачи на дъската.

Работата е завършена. Проверете отговорите (те са включени обратна странабяла дъска), попълнете контролния списък за самооценка.

Поставяне на домашна работа.

записвам домашна работа(препишете в тетрадката неравенствата, които не сте направили или сте направили с грешки, допълнително № 84 (а) на стр. 373 от учебника, ако желаете)

VI. Етап на релаксация.

Колко полезно беше това пътуване за вас?

Какво научихте?

Обобщете. Изчислете колко точки е спечелил всеки от вас.(децата назовават крайния резултат).Предайте листовете за самооценка на диспечера, тоест на мен.

Искам да завърша урока с една притча.

„Вървял мъдър човек и го срещали трима души, които под жаркото слънце пренасяли колички с камъни за строеж. Мъдрецът спрял и задал на всеки по един въпрос. Попитал първия: „Какво прави цял ден?“, а той с усмивка отговорил, че цял ден е носил прокълнати камъни. Мъдрецът попитал втория: „Какво направи цял ден?“, А той отговорил: „Свърших работата си съвестно“, а третият се усмихнал, лицето му грейнало от радост и удоволствие: „И аз участвах в строителството на храма!“

Урокът свърши.

Лист за самооценка

Фамилия, собствено име, клас		Брой точки
Работете в група за решаване на неравенства или системи от неравенства.	2 точки при правилно изпълнение без външна помощ; 1 точка при правилно изпълнение с външна помощ; 0 точки, ако не сте изпълнили задачата 1 допълнителна точка за победа в групата

Като се използва този урокще научите за рационалните неравенства и техните системи. Системата от рационални неравенства се решава с помощта на еквивалентни преобразувания. Разглежда се определението за еквивалентност, методът за замяна на дробно-рационално неравенство с квадратно, а също така разбира каква е разликата между неравенство и уравнение и как се извършват еквивалентни трансформации.

Алгебра 9 клас

Последно повторение на курса по алгебра за 9 клас

Рационални неравенства и техните системи. Системи от рационални неравенства.

1.1 Резюме.

1. Еквивалентни трансформациирационални неравенства.

Реши рационално неравенствоозначава да се намерят всички негови решения. За разлика от уравнението, при решаването на неравенство по правило има безкраен брой решения. Безброенрешенията не могат да бъдат проверени чрез заместване. Следователно е необходимо първоначалното неравенство да се трансформира по такъв начин, че във всеки следващ ред да се получава неравенство със същия набор от решения.

Рационални неравенстварешен само с еквивалентенили еквивалентни трансформации. Такива трансформации не изкривяват набора от решения.

Определение. Рационални неравенстваНаречен еквивалентенако множествата на техните решения са еднакви.

Да обозначавам еквивалентностизползвайте знак

2. Решение на системата от неравенства

Първото и второто неравенство са дробни рационални неравенства. Методите за решаването им са естествено продължение на методите за решаване на линейни и квадратни неравенства.

Нека преместим числата от дясната страна наляво с противоположния знак.

В резултат от дясната страна ще остане 0. Тази трансформация е еквивалентна. Това се указва от табелата

Нека изпълним действията, предписани от алгебрата. Извадете "1" в първото неравенство и "2" във второто.

3. Решаване на неравенството по интервалния метод

1) Нека въведем функция. Трябва да знаем кога тази функция е по-малка от 0.

2) Намерете домейна на функцията: знаменателят не трябва да е 0. "2" е точката на прекъсване. За x=2 функцията е неопределена.

3) Намерете корените на функцията. Функцията е 0, ако числителят е 0.

Зададените точки разделят цифровата ос на три интервала - това са интервали на постоянство. На всеки интервал функцията запазва своя знак. Нека определим знака на първия интервал. Заместете някаква стойност. Например 100. Ясно е, че и числителят, и знаменателят са по-големи от 0. Това означава, че цялата дроб е положителна.

Нека определим знаците на останалите интервали. При преминаване през точката x=2 само знаменателят сменя знака. Това означава, че цялата дроб ще промени знака и ще бъде отрицателна. Нека проведем подобна дискусия. При преминаване през точката x=-3 само числителят сменя знака. Това означава, че дробта ще промени знака и ще бъде положителна.

Избираме интервал, съответстващ на условието за неравенство. Защриховайте го и го напишете като неравенство

4. Решаване на неравенството с помощта на квадратно неравенство

Важен факт.

Когато се сравнява с 0 (в случай на строго неравенство), дробта може да бъде заменена с произведението на числителя и знаменателя или числителят или знаменателят могат да бъдат разменени.

Това е така, защото и трите неравенства са валидни, при условие че u и v различен знак. Тези три неравенства са еквивалентни.

Нека използваме този факт и заменим дробно рационално неравенствоквадрат.

Нека решим квадратното неравенство.

Нека се запознаем квадратична функция. Нека намерим неговите корени и изградим скица на неговата графика.

Така че клоновете на параболата са нагоре. Вътре в интервала от корени функцията запазва знака. Тя е отрицателна.

Извън интервала на корените функцията е положителна.

Решение на първото неравенство:

5. Решение на неравенството

Нека въведем функция:

Нека намерим неговите интервали на постоянство:

За да направим това, намираме корените и точките на прекъсване на домейна на функцията. Винаги изрязваме точки на прекъсване. (x \u003d 3/2) Изрязваме корените в зависимост от знака за неравенство. Нашето неравенство е строго. Затова изрязваме корена.

Да поставим знаците:

Нека напишем решението:

Нека завършим решението на системата. Нека намерим пресечната точка на множеството от решения на първото неравенство и множеството от решения на второто неравенство.

Да се ​​реши система от неравенства означава да се намери пресечната точка на множеството от решения на първото неравенство и множеството от решения на второто неравенство. Следователно, след като решихме първото и второто неравенство поотделно, е необходимо да запишем получените резултати в една система.

Нека изобразим решението на първото неравенство върху оста x.