Как да решим система от линейни уравнения по матричния метод. Решаване на системи от линейни уравнения по матричния метод

Този вид система се нарича нормална система от диференциални уравнения (SNDU). За нормална система от диференциални уравнения може да се формулира теорема за съществуване и уникалност, същата като за диференциално уравнение.

Теорема. Ако функциите са дефинирани и непрекъснати върху отворено множество и съответните частни производни също са непрекъснати върху, тогава системата (1) ще има решение (2)

и при наличие на начални условия (3)

това ще е единственото решение.

Тази система може да бъде представена като:

Системи линейни диференциални уравнения

Определение. Системата от диференциални уравнения се нарича линеен ако е линеен по отношение на всички неизвестни функции и техните производни.

(5)

Общ вид на системата диференциални уравнения

Ако е дадено началното условие: , (7)

тогава решението ще бъде уникално, при условие че векторната функция е непрекъсната и коефициентите на матрицата също са непрекъснати функции.

Нека въведем линеен оператор, тогава (6) може да се пренапише като:

ако тогава се извиква операторното уравнение (8). хомогенен и изглежда така:

Тъй като операторът е линеен, за него са валидни следните свойства:

решение на уравнение (9).

Последица.Линейна комбинация, решение (9).

Ако са дадени решения (9) и те са линейно независими, тогава всички линейни комбинации от вида: (10) само при условие, че всички. Това означава, че детерминантата, съставена от решения (10):

. Тази детерминанта се нарича Определителят на Вронски за система от вектори.

Теорема 1. Ако детерминантата на Вронски за линейна хомогенна система (9) с коефициенти, непрекъснати на сегмент, е равна на нула поне в една точка, тогава решенията са линейно зависими от този сегмент и следователно детерминантата на Вронски е равна на нула на целия сегмент.

Доказателство: Тъй като са непрекъснати, системата (9) удовлетворява условието Теореми за съществуване и уникалност, следователно началното условие определя единственото решение на система (9). Детерминантът на Wronsky в точката е равен на нула, следователно има такава нетривиална система, за която: Съответната линейна комбинация за друга точка ще има формата, освен това тя удовлетворява хомогенни начални условия, следователно съвпада с тривиалното решение, тоест те са линейно зависими и детерминантата на Вронски е равна на нула.

Определение. Множеството от решения на система (9) се нарича фундаментална система за вземане на решения ако детерминантата на Вронски не изчезва в нито една точка.

Определение. Ако за хомогенна система (9) началните условия са определени по следния начин - , то системата от решения се нарича нормален фундаментален система за вземане на решения .

Коментирайте.Ако е фундаментална система или нормална фундаментална система, тогава линейната комбинация е общо решение (9).

Теорема 2. Линейна комбинация от линейно независими решения на хомогенна система (9) с коефициенти, непрекъснати на сегмент, ще бъде общо решение на (9) на същия сегмент.

Доказателство: Тъй като коефициентите са непрекъснати, системата удовлетворява условията на теоремата за съществуване и уникалност. Следователно, за да се докаже теоремата, е достатъчно да се покаже, че чрез избор на константи е възможно да се удовлетвори някакво произволно избрано начално условие (7). Тези. може да удовлетвори векторното уравнение:. Тъй като е общото решение на (9), системата е относително разрешима, тъй като u са линейно независими. Еднозначно определяме и тъй като те са линейно независими, то.

Теорема 3. Ако това е решение на система (8), решение на система (9), тогава + също ще бъде решение на (8).

Доказателство: Според свойствата на линеен оператор: 

Теорема 4. Общото решение (8) на отсечка с непрекъснати коефициенти и десни части на тази отсечка е равно на сумата от общото решение на съответната хомогенна система (9) и частното решение на нееднородната система (8 ).

Доказателство: Тъй като условията на теоремата за съществуване и уникалност са изпълнени, следователно остава да се докаже, че тя ще удовлетворява произволно зададена начална стойност (7), т.е. . (11)

За система (11) винаги е възможно да се определят стойностите. Това може да се направи като фундаментална система от решения.

Задача на Коши за диференциално уравнение от първи ред

Формулиране на проблема.Спомнете си, че решението на обикновеното диференциално уравнение от първи ред

y"(t)=f(t, y(t)) (5.1)

е диференцируема функция y(t), която, когато се замести в уравнение (5.1), я превръща в идентичност. Графиката на решението на диференциално уравнение се нарича интегрална крива. Процесът на намиране на решения на диференциално уравнение обикновено се нарича интегриране на това уравнение.

Въз основа на геометричния смисъл на производната y ", отбелязваме, че уравнение (5.1) задава във всяка точка (t, y) от равнината на променливите t, y стойността f (t, y) на тангенса на ъгъл a на наклона (към оста 0t) на допирателната към графиката на решението, минаваща през тази точка Стойността k \u003d tga \u003d f (t, y) ще се нарича коефициент на наклон (фиг. 5.1). Ако сега във всяка точка (t, y) задаваме посоката на допирателната с помощта на определен вектор, определен от стойността f (t, y ), тогава получаваме така нареченото поле от посоки (фиг. 5.2, а). По този начин, геометрично, проблемът за интегриране на диференциални уравнения е да се намерят интегрални криви, които имат дадена допирателна посока във всяка от техните точки (фиг. 5.2, b), за да се отдели едно конкретно решение от семейството на решенията на диференциала уравнение (5.1), задаваме началното условие

y(t0)=y0 (5.2)

Тук t 0 е някаква фиксирана стойност на аргумента t, а 0 има стойност, наречена начална стойност. Геометричната интерпретация на използването на началното условие се състои в избора от семейството на интегралните криви на кривата, която минава през фиксираната точка (t 0 , y 0).

Задачата за намиране за t>t 0 на решение y(t) на диференциалното уравнение (5.1), удовлетворяващо началното условие (5.2), ще се нарича задача на Коши. В някои случаи поведението на решението за всички t>t 0 представлява интерес. Но по-често те се ограничават до дефиниране на решение на краен интервал.

Интегриране на нормални системи

Един от основните методи за интегриране на нормална система от DE е методът за редуциране на системата до единична DE от по-висок порядък. (Обратният проблем - преходът от DE към системата - беше разгледан по-горе с пример.) Техниката на този метод се основава на следните съображения.

Нека е дадена нормалната система (6.1). Ние диференцираме по отношение на x всяко, например, първото уравнение:

Замествайки в това равенство стойностите на производните от система (6.1), получаваме

или накратко,

Отново диференциране на полученото равенство и замяна на стойностите на производните от система (6.1), получаваме

Продължавайки този процес (диференциране - заместване - получаване), намираме:

Събираме получените уравнения в системата:

От първите (n-1) уравнения на системата (6.3), ние изразяваме функциите y 2 , y 3 , ..., y n чрез x, функцията y 1 и нейните производни y "1, y" 1, ..., y 1 (n -едно) . Получаваме:

Заместваме намерените стойности за y 2 , y 3 ,..., y n в последното уравнение на системата (6.3). Получаваме едно DE от n-ти ред по отношение на търсената функция.Нека нейното общо решение е

Диференциране (n-1) пъти и заместване на стойностите на производните в уравненията на системата (6.4), намираме функциите y 2 , y 3 ,..., y n.

Пример 6.1. Решете система от уравнения

Решение: Диференцирайте първото уравнение: y"=4y"-3z. Заместете z"=2y-3z в полученото уравнение: y"=4y"-3(2y-3z), y"-4y"+6y=9z . Съставяме система от уравнения:

От първото уравнение на системата изразяваме z чрез y и y":

Заместваме стойността на z във второто уравнение на последната система:

т.е. y ""-y" -6y \u003d 0. Получихме един LODE от втори ред. Решаваме го: k 2 -k-6 \u003d 0, k 1 = -2, k 2 \u003d 3 и - общото решение

уравнения. Намираме функцията z. Стойностите на y и се заместват в израза z чрез y и y" (формула (6.5)). Получаваме:

По този начин общото решение на тази система от уравнения има формата

Коментирайте. Системата от уравнения (6.1) може да се реши по метода на интегрируемите комбинации. Същността на метода е, че с помощта на аритметични операции от уравненията на дадена система се образуват така наречените интегрируеми комбинации, т.е. лесно интегрируеми уравнения по отношение на нова неизвестна функция.

Ние илюстрираме техниката на този метод със следния пример.

Пример 6.2. Решете системата от уравнения:

Решение: Добавяме член по член тези уравнения: x "+ y" \u003d x + y + 2, или (x + y) "= (x + y) + 2. Означаваме x + y \u003d z. Тогава имаме z" \u003d z + 2 . Решаваме полученото уравнение:

получи т.нар първият интеграл на системата. От него една от желаните функции може да бъде изразена чрез друга, като по този начин броят на желаните функции се намалява с една. Например, Тогава първото уравнение на системата приема формата

След като намерихме x от него (например, използвайки заместването x \u003d uv), ще намерим y.

Коментирайте.Тази система "позволява" да се образува друга интегрируема комбинация: Поставяйки x - y \u003d p, имаме:, или Като имаме първите два интеграла на системата, т.е. и лесно се намира (чрез добавяне и изваждане на първите интеграли), че

Линеен оператор, свойства. Линейна зависимост и независимост на векторите. Детерминанта на Вронски за системата LDE.

Линеен диференциален оператор и неговите свойства.Наборът от функции, които имат на интервала ( а , b ) поне н производни, образува линейно пространство. Помислете за оператора Л н (г ), който показва функцията г (х ), която има производни във функция, която има к - н производни:

С помощта на оператор Л н (г ) нехомогенно уравнение (20) може да се запише, както следва:

Л н (г ) = f (х );

хомогенното уравнение (21) приема формата

Л н (г ) = 0);

Теорема 14.5.2. Диференциален оператор Л н (г ) е линеен оператор. Док-инпряко следва от свойствата на производните: 1. Ако ° С = const, тогава 2. Следващите ни стъпки: първо проучете как работи общото решение на линейното хомогенно уравнение (25), след това нехомогенното уравнение (24) и след това научете как да решавате тези уравнения. Да започнем с концепциите за линейна зависимост и независимост на функциите от интервал и да дефинираме най-важния обект в теорията на линейните уравнения и системи - детерминантата на Вронски.

Определителят на Вронски. Линейна зависимост и независимост на системата от функции.Деф. 14.5.3.1.Функционална система г 1 (х ), г 2 (х ), …, г н (х ) е наречен линейно зависимина интервала ( а , b ), ако има набор от постоянни коефициенти, които не са равни на нула едновременно, така че линейната комбинация от тези функции е идентично равна на нула на ( а , b ): за Ако равенството за е възможно само за, системата от функции г 1 (х ), г 2 (х ), …, г н (х ) е наречен линейно независимина интервала ( а , b ). С други думи, функциите г 1 (х ), г 2 (х ), …, г н (х ) линейно зависимина интервала ( а , b ), ако съществува нула на ( а , b ) тяхната нетривиална линейна комбинация. Функции г 1 (х ),г 2 (х ), …, г н (х ) линейно независимина интервала ( а , b ), ако само тяхната тривиална линейна комбинация е идентично равна на нула на ( а , b ). Примери: 1. Функции 1, х , х 2 , х 3 са линейно независими на всеки интервал ( а , b ). Тяхната линейна комбинация - полином на степен - не може да има върху ( а , b ) има повече от три корена, така че равенството = 0 за е възможно само за. Пример 1 може лесно да се обобщи до системата от функции 1, х , х 2 , х 3 , …, х н . Тяхната линейна комбинация - градусен полином - не може да има върху ( а , b ) Повече ▼ н корени. 3. Функциите са линейно независими на всеки интервал ( а , b ), ако . Наистина, ако, например, тогава равенството се извършва в една точка .четири. Функционална система също е линейно независим, ако числата к аз (аз = 1, 2, …, н ) са различни по двойки, но прякото доказателство за този факт е доста тромаво. Както показват горните примери, в някои случаи линейната зависимост или независимост на функциите е лесна за доказване, в други случаи това доказателство е по-сложно. Следователно е необходим прост универсален инструмент, за да се отговори на въпроса за линейната зависимост на функциите. Такъв инструмент е Определителят на Вронски.

Деф. 14.5.3.2. Детерминант на Вронски (Wronskian)системи н - 1 пъти диференцируеми функции г 1 (х ), г 2 (х ), …, г н (х ) се нарича детерминанта

.

14.5.3.3 Теоремата на Wronskian за линейно зависима система от функции. Ако системата от функции г 1 (х ), г 2 (х ), …, г н (х ) линейно зависимина интервала ( а , b ), тогава Wronskian на тази система е идентично равен на нула на този интервал. Док-ин. Ако функции г 1 (х ), г 2 (х ), …, г н (х ) са линейно зависими от интервала ( а , b ), тогава има числа , от които поне едно е различно от нула, така че

Разграничете по отношение на х равенство (27) н - 1 път и съставяне на система от уравнения Ще разглеждаме тази система като хомогенна линейна система от алгебрични уравнения по отношение на. Детерминантата на тази система е детерминантата на Вронски (26). Тази система има нетривиално решение, следователно във всяка точка нейният детерминант е равен на нула. Така, У (х ) = 0 при , т.е. на ( а , b ).

В първата част разгледахме малко теоретичен материал, метода на заместване, както и метода на почленно добавяне на уравнения на системата. На всички, които са попаднали на сайта през тази страница, препоръчвам да прочетат първата част. Може би някои посетители ще намерят материала за твърде прост, но в хода на решаването на системи от линейни уравнения направих редица много важни забележки и заключения относно решаването на математическите задачи като цяло.

А сега ще анализираме правилото на Крамър, както и решението на система от линейни уравнения с помощта на обратната матрица (матричен метод). Всички материали са представени просто, подробно и ясно, почти всички читатели ще могат да се научат как да решават системи, използвайки горните методи.

Първо разглеждаме подробно правилото на Крамър за система от две линейни уравнения с две неизвестни. За какво? „В края на краищата най-простата система може да бъде решена по училищния метод, чрез добавяне на член по термин!

Факт е, че дори понякога, но има такава задача - да се реши система от две линейни уравнения с две неизвестни, използвайки формулите на Крамер. Второ, един по-прост пример ще ви помогне да разберете как да използвате правилото на Крамър за по-сложен случай - система от три уравнения с три неизвестни.

Освен това има системи от линейни уравнения с две променливи, които е препоръчително да се решават точно по правилото на Крамър!

Разгледайте системата от уравнения

На първата стъпка изчисляваме детерминантата, тя се нарича основният детерминант на системата.

Метод на Гаус.

Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още две детерминанти:
и

На практика горните квалификатори могат да се означават и с латинската буква.

Корените на уравнението се намират по формулите:
,

Пример 7

Решете система от линейни уравнения

Решение: Виждаме, че коефициентите на уравнението са доста големи, от дясната страна има десетични дроби със запетая. Запетаята е доста рядък гост в практическите задачи по математика, взех тази система от иконометрична задача.

Как да се реши такава система? Можете да опитате да изразите една променлива чрез друга, но в този случай със сигурност ще получите ужасни фантастични дроби, с които е изключително неудобно да се работи, а дизайнът на решението ще изглежда просто ужасно. Можете да умножите второто уравнение по 6 и да извадите член по член, но същите дроби ще се появят тук.

Какво да правя? В такива случаи на помощ идват формулите на Креймър.

;

;

Отговор: ,

И двата корена имат безкрайни опашки и се намират приблизително, което е доста приемливо (и дори обичайно) за иконометрични проблеми.

Тук не са необходими коментари, тъй като задачата се решава по готови формули, но има едно предупреждение. Когато използвате този метод, задължителноФрагментът на заданието е следният фрагмент: "така че системата има уникално решение". В противен случай рецензентът може да ви накаже за неуважение към теоремата на Крамър.

Няма да е излишно да проверите, което е удобно да се извърши на калкулатор: заместваме приблизителните стойности в лявата страна на всяко уравнение на системата. В резултат на това с малка грешка трябва да се получат числа, които са от дясната страна.

Пример 8

Изразете отговора си с обикновени неправилни дроби. Направете проверка.

Това е пример за самостоятелно решение (пример за фин дизайн и отговор в края на урока).

Обръщаме се към разглеждането на правилото на Крамър за система от три уравнения с три неизвестни:

Намираме основната детерминанта на системата:

Ако , тогава системата има безкрайно много решения или е непоследователна (няма решения). В този случай правилото на Крамър няма да помогне, трябва да използвате Метод на Гаус.

Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още три детерминанти:
, ,

И накрая, отговорът се изчислява по формулите:

Както можете да видите, случаят „три по три“ по същество не се различава от случая „два по два“, колоната от свободни термини последователно „ходи“ отляво надясно по колоните на основната детерминанта.

Пример 9

Решете системата с помощта на формулите на Крамер.

Решение: Нека решим системата с помощта на формулите на Крамър.

, така че системата има уникално решение.

Отговор: .

Всъщност и тук няма какво специално да коментираме, предвид факта, че решението се взема по готови формули. Но има няколко бележки.

Случва се в резултат на изчисления да се получат „лоши“ нередуцируеми дроби, например: .
Препоръчвам следния алгоритъм за "лечение". Ако няма компютър под ръка, правим следното:

1) Възможно е да има грешка в изчисленията. Веднага щом срещнете „лош“ изстрел, трябва незабавно да проверите дали дали условието е пренаписано правилно. Ако условието е пренаписано без грешки, тогава трябва да преизчислите детерминантите, като използвате разширението в друг ред (колона).

2) Ако в резултат на проверката не са открити грешки, тогава най-вероятно е направена печатна грешка в условието на заданието. В този случай спокойно и ВНИМАТЕЛНО решете задачата докрай, а след това не забравяйте да проверитеи го съставя на чисто копие след решението. Разбира се, проверката на дробен отговор е неприятна задача, но ще бъде обезоръжаващ аргумент за учителя, който наистина обича да поставя минус за всяко лошо нещо като. Как да се справяте с дроби е подробно описано в отговора за пример 8.

Ако имате компютър под ръка, използвайте автоматизирана програма, за да го проверите, която можете да изтеглите безплатно в самото начало на урока. Между другото, най-изгодно е да използвате програмата веднага (дори преди да започнете решението), веднага ще видите междинната стъпка, на която сте направили грешка! Същият калкулатор автоматично изчислява решението на системата, като използва матричния метод.

Втора забележка. От време на време има системи, в уравненията на които липсват някои променливи, например:

Тук в първото уравнение няма променлива, във второто няма променлива. В такива случаи е много важно правилно и ВНИМАТЕЛНО да запишете основната детерминанта:
– на мястото на липсващите променливи се поставят нули.
Между другото, рационално е да се отварят детерминанти с нули в реда (колоната), в който се намира нулата, тъй като има значително по-малко изчисления.

Пример 10

Решете системата с помощта на формулите на Крамер.

Това е пример за самостоятелно решаване (завършване на пример и отговор в края на урока).

За случай на система от 4 уравнения с 4 неизвестни, формулите на Крамър са написани съгласно подобни принципи. Можете да видите пример на живо в урока Определящи свойства. Намаляване на реда на детерминантата– пет детерминанти от 4-ти ред са напълно разрешими. Въпреки че задачата вече много напомня на професорска обувка върху гърдите на късметлия студент.

Решение на системата с помощта на обратната матрица

Методът на обратната матрица е по същество специален случай матрично уравнение (Виж Пример № 3 от посочения урок).

За да изучавате този раздел, трябва да можете да разширите детерминантите, да намерите обратната матрица и да извършите матрично умножение. С напредването на обяснението ще бъдат дадени подходящи връзки.

Пример 11

Решете системата с матричния метод

Решение: Записваме системата в матрична форма:
, където

Моля, погледнете системата от уравнения и матриците. По какъв принцип записваме елементи в матрици, мисля, че всеки разбира. Единственият коментар: ако някои променливи липсват в уравненията, тогава трябва да се поставят нули на съответните места в матрицата.

Намираме обратната матрица по формулата:
, където е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата .

Първо, нека се справим с детерминантата:

Тук детерминантата се разширява от първия ред.

внимание! Ако , тогава обратната матрица не съществува и е невъзможно системата да се реши по матричния метод. В този случай системата е решена метод за елиминиране на неизвестни (метод на Гаус).

Сега трябва да изчислите 9 минори и да ги запишете в матрицата на минори

Справка:Полезно е да знаете значението на двойните индекси в линейната алгебра. Първата цифра е номерът на реда, в който се намира елементът. Втората цифра е номерът на колоната, в която се намира елементът:

Тоест, двойният долен индекс показва, че елементът е в първия ред, трета колона, докато например елементът е в 3-ти ред, 2-ра колона

Тема 2. СИСТЕМИ ЛИНЕЙНИ АЛГЕБРИЧНИ УРАВНЕНИЯ.

Основни понятия.

Определение 1. система млинейни уравнения с ннеизвестна е система от вида:

където и - числа.

Определение 2. Решението на системата (I) е такъв набор от неизвестни, в който всяко уравнение на тази система се превръща в идентичност.

Определение 3. Система (I) се нарича ставаако има поне едно решение и несъвместимиако няма решения. Ставната система се нарича определениако има уникално решение и несигуренв противен случай.

Определение 4. Типово уравнение

Наречен нула, и уравнение от формата

Наречен несъвместими. Очевидно система от уравнения, съдържаща непоследователно уравнение, е непоследователна.

Определение 5. Двете системи линейни уравнения се наричат еквивалентенако всяко решение на една система е решение на друга и, обратно, всяко решение на втората система е решение на първата.

Матрична нотация за система от линейни уравнения.

Разгледайте система (I) (вижте §1).

Означават:

Коефициентна матрица за неизвестни

,

Matrix - колона от безплатни членове

Матрица - колона от неизвестни

.

Определение 1.Матрицата се нарича основната матрица на системата(I), а матрицата е разширената матрица на системата (I).

По дефиницията на матрично равенство системата (I) съответства на матричното равенство:

.

Дясната страна на това равенство по дефиницията на произведението на матриците ( виж определение 3 § 5 глава 1) могат да бъдат факторизирани:

, т.е.

Равенство (2) Наречен матрична нотация на системата (I).

Решаване на система от линейни уравнения по метода на Крамер.

Нека в системата (I) (виж §1) m=n, т.е. броят на уравненията е равен на броя на неизвестните, а основната матрица на системата е неизродена, т.е. . Тогава система (I) от §1 има единствено решение

където ∆ = детайл Анаречен основен системна детерминанта(I), ∆ азсе получава от детерминантата Δ чрез замяна аз-та колона към колоната на свободните членове на системата (I).

Пример Решете системата по метода на Крамер:

.

По формули (3) .

Ние изчисляваме детерминантите на системата:

,

,

,

.

За да получим детерминантата, сме заменили първата колона в детерминантата с колона със свободни членове; замествайки 2-ра колона в детерминантата с колона от свободни членове, получаваме ; по същия начин, замествайки 3-та колона в детерминанта с колона от свободни членове, получаваме . Системно решение:

Решаване на системи от линейни уравнения с помощта на обратна матрица.

Нека в системата (I) (виж §1) m=nи основната матрица на системата е неизродена. Записваме система (I) в матрична форма ( виж §2):

защото матрица Ае неизродена, то има обратна матрица ( виж теорема 1 §6 от глава 1). Умножете двете страни на уравнението (2) към матрицата, тогава

. (3)

По дефиниция на обратната матрица . От равенството (3) ние имаме

Решете системата с помощта на обратната матрица

.

Обозначете

; ; .

В примера (§ 3) изчислихме детерминантата, следователно матрицата Аима обратна матрица. Тогава в сила (4) , т.е.

. (5)

Намерете матрицата ( вижте §6 глава 1)

, , ,

, , ,

, , ,

,

.

Метод на Гаус.

Нека е дадена системата от линейни уравнения:

. (аз)

Изисква се да се намерят всички решения на система (I) или да се увери, че системата е непоследователна.

Определение 1.Нека наречем елементарното преобразуване на системата(I) някое от трите действия:

1) заличаване на нулевото уравнение;

2) добавяне към двете части на уравнението на съответните части на другото уравнение, умножени по числото l;

3) размяна на членове в уравненията на системата, така че неизвестните с еднакви числа във всички уравнения да заемат еднакви места, т.е. ако, например, в 1-вото уравнение сме променили 2-рия и 3-тия член, тогава същото трябва да бъде направено във всички уравнения на системата.

Методът на Гаус се състои в това, че системата (I) с помощта на елементарни трансформации се свежда до еквивалентна система, решението на която се намира директно или се установява нейната неразрешимост.

Както е описано в §2, система (I) е уникално определена от своята разширена матрица и всяка елементарна трансформация на система (I) съответства на елементарна трансформация на разширената матрица:

.

Трансформация 1) съответства на изтриване на нулевия ред в матрицата, трансформация 2) е еквивалентна на добавяне към съответния ред на матрицата на нейния друг ред, умножен по числото l, трансформация 3) е еквивалентна на пренареждане на колоните в матрицата.

Лесно се вижда, че напротив, всяко елементарно преобразуване на матрицата съответства на елементарно преобразуване на системата (I). С оглед на казаното, вместо операции със системата (I), ще работим с разширената матрица на тази система.

В матрицата първата колона се състои от коефициенти при х 1, 2-ра колона - от коефициентите при х 2и т.н. В случай на пренареждане на колони трябва да се има предвид, че това условие е нарушено. Например, ако разменим 1-ва и 2-ра колони, тогава сега в 1-вата колона ще има коефициенти при х 2, а във 2-ра колона - коефициенти при х 1.

Ще решим система (I) по метода на Гаус.

1. Задраскайте всички нулеви редове в матрицата, ако има такива (т.е. зачеркнете всички нулеви уравнения в система (I).

2. Проверете дали сред редовете на матрицата има ред, в който всички елементи с изключение на последния са равни на нула (да наречем такъв ред непоследователен). Очевидно такава линия съответства на несъгласувано уравнение в система (I), следователно системата (I) няма решения и тук процесът завършва.

3. Нека матрицата не съдържа несъгласувани редове (система (I) не съдържа несъгласувани уравнения). Ако a 11 =0, тогава намираме в 1-вия ред някакъв елемент (с изключение на последния), който е различен от нула и пренареждаме колоните така, че да няма нула в 1-вия ред на 1-во място. Сега приемаме, че (т.е. разменяме съответните членове в уравненията на система (I)).

4. Умножете 1-ви ред по и добавете резултата към 2-ри ред, след това умножете 1-ви ред по и добавете резултата към 3-ти ред и т.н. Очевидно този процес е еквивалентен на елиминиране на неизвестното х 1от всички уравнения на система (I), с изключение на 1-во. В новата матрица получаваме нули в 1-вата колона под елемента а 11:

.

5. Задраскайте всички нулеви редове в матрицата, ако има такива, проверете дали има непоследователен ред (ако има, значи системата е несъвместима и решението свършва дотук). Да проверим дали a 22 / =0, ако да, тогава намираме елемент във втория ред, който е различен от нула, и пренареждаме колоните така, че . След това умножаваме елементите от 2-ри ред по и добавете със съответните елементи от 3-ти ред, след това - елементите от 2-ри ред нататък и добавяме със съответните елементи от 4-ти ред и т.н., докато получим нули под а 22 /

.

Извършените действия са еквивалентни на елиминирането на неизвестното х 2от всички уравнения на система (I), с изключение на 1-во и 2-ро. Тъй като броят на редовете е краен, следователно, след краен брой стъпки, ще получим, че или системата е непоследователна, или ще стигнем до стъпкова матрица ( виж дефиниция 2 §7 глава 1) :

,

Нека напишем системата от уравнения, съответстваща на матрицата . Тази система е еквивалентна на системата (I)

.

От последното уравнение изразяваме ; заместваме в предишното уравнение, намираме и т.н., докато получим .

Забележка 1.Така при решаване на система (I) по метода на Гаус стигаме до един от следните случаи.

1. Система (I) е непоследователна.

2. Система (I) има уникално решение, ако броят на редовете в матрицата е равен на броя на неизвестните ().

3. Система (I) има безкраен брой решения, ако броят на редовете в матрицата е по-малък от броя на неизвестните ().

Следователно е валидна следната теорема.

Теорема.Системата от линейни уравнения е или непоследователна, или има уникално решение, или има безкраен набор от решения.

Примери. Решете системата от уравнения по метода на Гаус или докажете нейната несъвместимост:

а) ;

б) ;

в) .

а) Нека пренапишем дадената система във вида:

.

Разменихме 1-во и 2-ро уравнение на оригиналната система, за да опростим изчисленията (вместо с дроби, ще работим само с цели числа, използвайки такава пермутация).

Ние съставяме разширена матрица:

.

Няма нулеви редове; няма несъвместими редове, ; ние изключваме първото неизвестно от всички уравнения на системата, с изключение на първото. За да направим това, ние умножаваме елементите на първия ред на матрицата по "-2" и ги добавяме към съответните елементи на втория ред, което е еквивалентно на умножаването на първото уравнение по "-2" и добавянето му към 2-ро уравнение. След това умножаваме елементите от 1-ви ред по "-3" и ги добавяме към съответните елементи от третия ред, т.е. умножете второто уравнение на дадената система по "-3" и го добавете към третото уравнение. Вземете

.

Матрицата съответства на системата от уравнения