1 Какво представляват обикновените дроби. Видове дроби.
Дроб винаги означава някаква част от цяло. Факт е, че не винаги е възможно да се предаде количеството в естествени числа, тоест да се преизчисли: 1,2,3 и т.н. Как например да определите половин диня или четвърт час? Ето защо се появиха дробни числа или дроби.

Като начало трябва да се каже, че по принцип има два вида дроби: обикновени дроби и десетични дроби. Обикновените дроби се записват така:
Десетичните знаци се записват по различен начин:

Обикновените дроби се състоят от две части: отгоре е числителят, отдолу е знаменателят. Числителят и знаменателят са разделени с дробна черта. Така че запомнете:

Всяка фракция е част от едно цяло. Обикновено се взема цялата 1 (мерна единица). Знаменателят на дроб показва на колко части е разделено цялото ( 1 ), а числителят е колко части са взети. Ако разрежем тортата на 6 еднакви парчета (по математика се казва акции ), тогава всяка част от тортата ще бъде равна на 1/6. Ако Вася е изял 4 парчета, значи е изял 4/6.

От друга страна, дробната черта не е нищо повече от знак за деление. Следователно дробта е частно от две числа - числителя и знаменателя. В текста на задачи или в рецепти за ястия дробите обикновено се пишат така: 2/3, 1/2 и т.н. Има някои дроби собствено име, например 1/2 - "половина", 1/3 - "трета", 1/4 - "четвърт"
Сега нека да разберем какви са видовете обикновени дроби.

2 Видове обикновени дроби

Има три вида обикновени дроби: редовни, неправилни и смесени:

Правилна дроб

Ако числителят е по-малък от знаменателя, тогава се нарича такава дроб правилно,например: Правилната дроб винаги е по-малка от 1.

Неправилна дроб

Ако числителят е по-голям или равен на знаменателя, се извиква дробта грешно, например:

Неправилна дроб е по-голяма от едно (ако числителят е по-голям от знаменателя) или равна на едно (ако числителят е равен на знаменателя)

смесена фракция

Ако дробта е цяло число ( цяла част) и правилна дроб (дробна част), тогава такава дроб се нарича смесен, например:

Смесената дроб винаги е по-голяма от единица.

3 Преобразувания на дроби

В математиката обикновените дроби често трябва да се преобразуват, тоест смесената дроб трябва да се превърне в неправилна и обратно. Това е необходимо за извършване на някои операции, като умножение и деление.

Така, всяка смесена дроб може да се преобразува в неправилна. За да направите това, цялата част се умножава по знаменателя и се добавя числителят на дробната част. Получената сума се приема като числител, а знаменателят остава същият, например:

Всяка неправилна дроб може да бъде преобразувана в смесена дроб. За да направите това, разделете числителя на знаменателя (с остатък). Полученото число ще бъде цялата част, а остатъкът ще бъде числителят на дробната част, например:

В същото време те казват: „Откроихме цялата част от неправилна дроб.“

Има още едно правило, което трябва да запомните: Всяко цяло число може да бъде представено като обикновена дроб със знаменател 1, например:

Нека поговорим как да сравняваме дроби.

4 Сравнение на дроби

Има няколко опции при сравняване на дроби: Лесно е да сравнявате дроби същите знаменатели, много по-трудно, ако знаменателите са различни. Има и сравнение смесени фракции. Но не се притеснявайте, сега ще разгледаме по-подробно всяка опция и ще научим как да сравняваме дроби.

Сравняване на дроби с еднакви знаменатели

От две дроби с еднакъв знаменател, но различни числители, дробта с по-голям числител е по-голяма, например:

Сравняване на дроби с еднакъв числител

От две дроби с еднакви числители, но различни знаменателипо-голяма е дробта, чийто знаменател е по-малък, например:

Сравнение на смесени и неправилни дробис правилни дроби

Неправилна или смесена дроб винаги е по-голяма от правилна дроб, например:

Сравняване на две смесени дроби

Когато сравнявате две смесени дроби, дробът с по-голяма цяло число е по-голям, например:

Ако целите части на смесените дроби са еднакви, по-голяма е дробта с по-голяма дробна част, например:

Сравняване на дроби с различни числители и знаменатели

Невъзможно е да се сравняват дроби с различни числители и знаменатели, без да се преобразуват. Първо, дробите трябва да бъдат доведени до един и същ знаменател, а след това техните числители трябва да бъдат сравнени. По-голямата дроб е тази с по-голям числител. Но как да приведем дроби към същия знаменател, ще разгледаме в следващите два раздела на статията. Първо ще разгледаме основното свойство на дроб и редуцирането на дроби, а след това директно редуциране на дроби до същия знаменател.

5 Основно свойство на дробта. Намаляване на фракцията. Концепцията за GCD.

Помня: Можете да събирате, изваждате и сравнявате само дроби, които имат еднакви знаменатели.. Ако знаменателите са различни, тогава първо трябва да приведете дробите към един и същи знаменател, тоест да преобразувате една от дробите по такъв начин, че нейният знаменател да стане същият като този на втората дроб.

Дробите имат едно важна собственостсъщо наричан основно свойство на дроб:

Ако и числителят, и знаменателят на дроб се умножат или разделят на едно и също число, тогава стойността на дробта няма да се промени:

Благодарение на това свойство можем намаляване на дроби:

Да намалиш дроб означава да разделиш и числителя, и знаменателя на едно и също число.(вижте примера точно по-горе). Когато съкращаваме дроб, можем да опишем нашите действия, както следва:

По-често в тетрадка дроб се намалява по следния начин:

Но помнете: само множителите могат да бъдат намалени. Ако числителят или знаменателят е сумата или разликата, членовете не могат да бъдат намалени. Пример:

Първо трябва да преобразуваме сумата в множител:

Понякога при работа с големи числа, за да се намали фракцията, е удобно да се намери най-голям общ множител на числител и знаменател (gcd)

Най-голям общ делител (НОД)няколко числа - това е най-голямото естествено число, на което тези числа се делят без остатък.

За да намерите НОД на две числа (например числителя и знаменателя на дроб), трябва да разширите и двете числа в основни фактори, отбележете едни и същи фактори в двете разширения и умножете тези фактори. Полученият продукт ще бъде GCD. Например, трябва да намалим дроб:

Намерете НОД на числата 96 и 36:

НОД ни показва, че и числителят, и знаменателят имат множител12 и можем лесно да намалим дробта.

Понякога, за да приведете дроби към същия знаменател, е достатъчно да намалите една от дробите. Но по-често е необходимо да изберете допълнителни фактори за двете фракции.Сега ще разгледаме как се прави това. Така:

6 Как да приведем дроби към един и същи знаменател. Най-малко общо кратно (LCM).

Когато редуцираме дроби към един и същи знаменател, ние избираме за знаменател число, което би се делило както на първия, така и на втория знаменател (тоест то би било кратно на двата знаменателя, изразено математически език). И е желателно този брой да е възможно най-малък, така че е по-удобно да се брои. Така че трябва да намерим LCM на двата знаменателя.

Най-малко общо кратно на две числа (LCM)е най-малкото естествено число, което се дели на двете от тези числа без остатък. Понякога LCM може да се намери устно, но по-често, особено когато работите с големи числа, трябва да намерите LCM писмено, като използвате следния алгоритъм:

За да намерите LCM на няколко числа, трябва:

1. Разложете тези числа на прости множители
2. Вземете най-голямото разширение и запишете тези числа като продукт
3. Изберете в други разширения числата, които не се срещат в най-голямото разширение (или се срещат в него по-малко числопъти) и ги добавете към работата.
4. Умножете всички числа в продукта, това ще бъде LCM.

Например, нека намерим LCM на числата 28 и 21:

Но да се върнем към нашите фракции. След като сме избрали или изчислили писмено LCM на двата знаменателя, трябва да умножим числителите на тези дроби по допълнителни множители. Можете да ги намерите, като разделите LCM на знаменателя на съответната дроб, например:

Така сведохме нашите дроби до един знаменател - 15.

7 Събиране и изваждане на дроби

Събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели

За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя същия, например:

За да извадите дроби с еднакви знаменатели, извадете числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и оставете знаменателя същия, например:

Събиране и изваждане на смесени дроби с еднакви знаменатели

За да добавите смесени дроби, трябва да добавите целите им части поотделно, след това да добавите техните дробни части и да запишете резултата като смесена дроб:

Ако при събиране на дробните части се получи неправилна дроб, от нея избираме цялата част и я добавяме към целочислената част, например:

Изваждането се извършва по същия начин: цялата част се изважда от цялото число, а дробната част се изважда от дробната част:

Ако дробната част на субтрахенда е по-голяма от дробната част на умаляваното, ние „взимаме“ едно от целочислената част, превръщайки умаляваното в неправилна дроб и след това продължете както обикновено:

по същия начин извадете дроб от цяло число:

Как да съберем цяло число и дроб

За да съберете цяло число и дроб, просто трябва да добавите това число преди дробта и ще получите смесена дроб, например:

Ако ние добавете цяло число и смесена дроб, добавяме това число към цялата част на дробта, например:

Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели.

За да добавяте или изваждате дроби с различни знаменатели, първо трябва да ги приведете към един и същ знаменател и след това да процедирате както при добавяне на дроби с еднакви знаменатели (добавете числителите):

При изваждане действаме по същия начин:

Ако работим със смесени дроби, редуцираме техните дробни части към същия знаменател и след това изваждаме както обикновено: цялата част от цялото и дробната част от дробната част:

8 Умножение и деление на дроби.

Умножаването и деленето на дроби е много по-лесно от събирането и изваждането, защото не е нужно да ги привеждате към един и същи знаменател. Помня прости правилаумножение и деление на дроби:

Преди да умножите числата в числителя и знаменателя, е желателно да намалите фракцията, тоест да се отървете от същите множителив числителя и знаменателя, както в нашия пример.

Да разделим дроб на естествено число, трябва да умножите знаменателя по това число и да оставите числителя непроменен:

Например:

Деление на дроб на дроб

За да разделите една дроб на друга, трябва да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя (реципрочната) Какво е това реципрочно?

Ако обърнем дробта, тоест разменим числителя и знаменателя, получаваме реципрочната стойност. Произведението на дроб и нейната реципрочна дава едно. В математиката такива числа се наричат ​​взаимно реципрочни числа:

Например числа са взаимно обратни, тъй като

Така се връщаме към разделянето на дроб на дроб:

За да разделите една дроб на друга, трябва да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя:

Например:

Когато разделяте смесени дроби, както и при умножение, първо трябва да ги преобразувате в неправилни дроби:

При умножение и деление на дроби с цели числа цели числа , можете също да представите тези числа като дроби със знаменател 1 .

И при деление на цяло число на дробпредстави това число като дроб със знаменател 1 :

Числителят и това, на което се разделя, е знаменателят.

За да напишете дроб, първо напишете нейния числител, след това начертайте хоризонтална линия под това число и напишете знаменателя под чертата. Хоризонталната линия, разделяща числителя и знаменателя, се нарича дробна черта. Понякога се изобразява като наклонен "/" или "∕". В този случай числителят се записва отляво на реда, а знаменателят отдясно. Така например частта "две трети" ще бъде написана като 2/3. За по-голяма яснота числителят обикновено се записва в горната част на реда, а знаменателят в долната част, т.е. вместо 2/3 можете да намерите: ⅔.

За да изчислите произведението на дроби, първо умножете числителя на едно дробикъм друг числител. Запишете резултата в числителя на новия дроби. След това умножете и знаменателите. Посочете крайната стойност в новия дроби. Например 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

За да разделите една дроб на друга, първо умножете числителя на първата по знаменателя на втората. Направете същото с втората дроб (делител). Или, преди да изпълните всички стъпки, първо „обърнете“ делителя, ако ви е по-удобно: знаменателят трябва да е на мястото на числителя. След това умножете знаменателя на дивидента по новия знаменател на делителя и умножете числителите. Например 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

източници:

• Основни задачи за дроби

Дробните числа ви позволяват да изразявате в различна форматочната стойност на количеството. Можете да направите същото с дроби. математически операции, както при цели числа: изваждане, събиране, умножение и деление. Да се ​​научиш да решаваш дроби, е необходимо да запомните някои от техните характеристики. Те зависят от вида дроби, наличието на цяла част, общ знаменател. някои аритметични операциислед изпълнение изискват намаляване на дробната част от резултата.

Ще имаш нужда

• - калкулатор

Инструкция

Погледнете внимателно числата. Ако сред дробите има десетични и неправилни знаци, понякога е по-удобно първо да извършите действия с десетични знаци и след това да ги преобразувате в грешна форма. Можеш ли да преведеш дробив тази форма първоначално, записвайки стойността след десетичната запетая в числителя и поставяйки 10 в знаменателя. Ако е необходимо, намалете дроба, като разделите числата отгоре и отдолу на един делител. Дробите, в които цялата част се откроява, водят до грешна форма, като я умножите по знаменателя и добавите числителя към резултата. Тази стойност ще стане новият числител дроби. Да се ​​извлече цялата част от първоначално неправилното дроби, разделете числителя на знаменателя. Напишете целия резултат от дроби. И остатъкът от деленето става новият числител, знаменателят дробидокато не се променя. За дроби с цяла част е възможно да се извършват действия поотделно, първо за целите, а след това за дробните части. Например сумата от 1 2/3 и 2 ¾ може да се изчисли:
- Преобразуване на дроби в грешна форма:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Сумиране поотделно на цели и дробни части на членовете:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Препишете ги през разделителя ":" и продължете обичайното разделяне.

За да получите крайния резултат, намалете получената дроб, като разделите числителя и знаменателя на едно цяло число, възможно най-голямото в този случай. В този случай трябва да има цели числа над и под линията.

Забележка

Не правете аритметика с дроби, които имат различни знаменатели. Изберете такова число, че когато числителят и знаменателят на всяка дроб се умножат по него, в резултат на това знаменателите на двете дроби да са равни.

Полезни съвети

При запис дробни числадивидентът е изписан над линията. Това количество се нарича числител на дроб. Под чертата е изписан делителя или знаменателя на дробта. Например един и половина килограма ориз под формата на дроб ще бъде написан по следния начин: 1 ½ кг ориз. Ако знаменателят на една дроб е 10, тя се нарича десетична дроб. В този случай числителят (дивидентът) се записва вдясно от цялата част, разделена със запетая: 1,5 кг ориз. За удобство на изчисленията такава дроб винаги може да бъде записана грешен начин: 1 2/10 кг картофи. За да опростите, можете да намалите стойностите на числителя и знаменателя, като ги разделите на едно цяло число. AT този примервъзможно е деление на 2. Резултатът ще бъде 1 1/5 кг картофи. Уверете се, че числата, с които ще правите аритметика, са в една и съща форма.

"Дробна" математика за деца

Нека веднага се съгласим, че фракцията е част от цяло, по-малка от единица. На колко части ще разделим цялото? И така се съгласяваме. Какво ще се счита за единица? Същото, както сме съгласни. Ето колко са сговорчиви, тези дроби. И вие също трябва да запомните едно нещо: числото на колко части сме решили да разделим цялото е знаменателят, колко от тези части сме взели е числителят.

Например, ето една история. На тревата има 3 ябълки, таралежът взе само 2. За цялата (една) ще вземем всички ябълки - цялата реколта. Но ние имаме 3 от тях, което означава, че реколтата ни е разделена на 3 части. 3 е знаменателят. Цялата реколта (единица) е 3/3 и всяка ябълка е 1/3 от реколтата. Тъй като таралежът е взел 2 ябълки, това означава, че е взел 2/3 от реколтата!

И можете да вземете Lego, такъв дизайнер, обичан от много деца. Отдавна сме забелязали, че всички негови елементи са различни по размер, нали? И то на всеки детайл различно количествоточки - "пъпки". Да преброим - ето едно, две, четири, шест и дори осем.

Нека разгледаме лего "тухла" с осем точки като цяло (една). Първо, нека го сравним с други. Колко парчета Лего с 4 точки трябва да вземете, за да направите нашата „тухличка“? Точно така, две. И така, един детайл с 4 точки е 1/2 от нашето "едно". И колко детайла с две точки трябва да вземете, за да получите цялото? Точно така, четири. И така, един такъв детайл е 1/4. А детайл с една точка е 1/8, защото такива детайли ще са необходими до 8 броя, за да се получи едно цяло. Сега задачата е по-сложна: имаме елемент с шест точки. Побира 3 "четвърти", а ако добавите още една, получавате цяло (едно). И така, ето първият пример е готов: 3/4+1/4=4/4 или 1 (ако числителят и знаменателят са равни, това е едно!)

Това далеч не е единственият експеримент, който може да се направи с Лего. С дробите можете да се споразумеете за много. Но какво, ако сме еднакви, ще смятаме не четвъртинки, а осмини? И знаменателят ще бъде 8? Гледаме снимката: единицата е „тухла“ с осем точки. 1/2 е 4/8 и 1/4=2/8. И това е история за това как можете да намалите дроби. Но тази тема наистина може да почака малко!

Примерите с дроби са един от основните елементи на математиката. Има много различни видовеуравнения с дроби. По-долу е подробни инструкциичрез решаване на примери от този тип.

Как се решават примери с дроби - общи правила

За да решавате примери с дроби от всякакъв тип, независимо дали става дума за събиране, изваждане, умножение или деление, трябва да знаете основните правила:

• За да съберете дробни изрази с еднакъв знаменател (знаменателят е числото в долната част на дробта, числителят отгоре), трябва да съберете техните числители и да оставите знаменателя същия.
• За да извадите от един дробен израз втория (със същия знаменател), трябва да извадите техните числители и да оставите знаменателя същия.
• За да събирате или изваждате дробни изрази с различни знаменатели, трябва да намерите най-малкия общ знаменател.
• За да намерите дробен продукт, трябва да умножите числителите и знаменателите, докато, ако е възможно, намалите.
• За да разделите дроб на дроб, трябва да умножите първата дроб по обратната втора.

Как се решават примери с дроби - упражнение

Правило 1, пример 1:

Изчислете 3/4 +1/4.

Съгласно правило 1, ако дроби от две (или повече) имат еднакъв знаменател, просто трябва да добавите техните числители. Получаваме: 3/4 + 1/4 = 4/4. Ако една дроб има еднакви числител и знаменател, дробта ще бъде 1.

Отговор: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Правило 2, пример 1:

Изчислете: 3/4 - 1/4

Използвайки правило номер 2, за да решите това уравнение, трябва да извадите 1 от 3 и да оставите знаменателя същия. Получаваме 2/4. Тъй като две 2 и 4 могат да бъдат намалени, намаляваме и получаваме 1/2.

Отговор: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.

Правило 3, Пример 1

Изчислете: 3/4 + 1/6

Решение: Използвайки 3-то правило, намираме най-малкия общ знаменател. Най-малкият общ знаменател е числото, което се дели на знаменателите на всички дробни изразипример. Така трябва да намерим такова минимално число, което да се дели и на 4, и на 6. Това число е 12. Записваме знаменателя 12. 12 се дели на знаменателя на първата дроб, получаваме 3, умножаваме по 3, записваме 3 в числителя *3 и знак +. Разделяме 12 на знаменателя на втората дроб, получаваме 2, умножаваме 2 по 1, записваме 2 * 1 в числителя. И така, получихме нова дроб със знаменател равен на 12 и числител равен на 3*3+2*1=11. 11/12.

Отговор: 11/12

Правило 3, Пример 2:

Изчислете 3/4 - 1/6. Този пример е много подобен на предишния. Извършваме всички същите действия, но в числителя вместо знака + пишем знака минус. Получаваме: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Отговор: 7/12

Правило 4, Пример 1:

Изчислете: 3/4 * 1/4

Използвайки четвъртото правило, умножаваме знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората и числителя на първата дроб по числителя на втората. 3*1/4*4 = 3/16.

Отговор: 3/16

Правило 4, Пример 2:

Изчислете 2/5 * 10/4.

Тази фракция може да бъде намалена. В случай на произведение числителят на първата дроб и знаменателят на втората и числителят на втората дроб и знаменателят на първата се намаляват.

2 се намалява от 4. 10 се намалява от 5. получаваме 1 * 2/2 = 1 * 1 = 1.

Отговор: 2/5 * 10/4 = 1

Правило 5, Пример 1:

Изчислете: 3/4: 5/6

Използвайки 5-то правило, получаваме: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Намаляваме дроба според принципа на предишния пример и получаваме 9/10.

Отговор: 9/10.

Как да решаваме примери с дроби - дробни уравнения

Дробните уравнения са примери, при които знаменателят съдържа неизвестно. За да разрешите такова уравнение, трябва да използвате определени правила.

Помислете за пример:

Решете уравнение 15/3x+5 = 3

Припомнете си, че не можете да делите на нула, т.е. стойността на знаменателя не трябва да е нула. При решаването на такива примери това трябва да се посочи. За да направите това, има ODZ (диапазон от приемливи стойности).

Така че 3x+5 ≠ 0.
Следователно: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

За x = 5/3 уравнението просто няма решение.

Чрез посочване на ОДЗ, по възможно най-добрия начинреши дадено уравнениеще се отърве от дробите. За това първо си представяме всичко дробни стойностикато дроб, в този случай числото 3. Получаваме: 15/(3x+5) = 3/1. За да се отървете от дроби, трябва да умножите всяка от тях по най-малкия общ знаменател. В този случай това би било (3x+5)*1. Последователност:

1. Умножете 15/(3x+5) по (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Разгънете скобите: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. Ние правим същото с правилната странауравнения: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Приравнете ляво и правилната страна: 45x + 75 = 9x +15
5. Преместете x наляво, числата надясно: 36x = -50
6. Намерете x: x = -50/36.
7. Намаляваме: -50/36 = -25/18

Отговор: ODZ x ≠ 5/3. х = -25/18.

Как се решават примери с дроби - дробни неравенства

Дробните неравенства от типа (3x-5)/(2-x)≥0 се решават с помощта на числовата ос. Помислете за този пример.

Последователност:

• Приравнете числителя и знаменателя към нула: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Начертаваме цифрова ос, рисувайки получените стойности върху нея.
• Начертайте кръг под стойността. Кръгът е два вида - запълнен и празен. Запълненият кръг означава това дадена стойноствключени в гамата от решения. Празен кръг показва, че тази стойност не е включена в диапазона от решения.
• Тъй като знаменателят не може да бъде нула, под второто ще има празно кръгче.

• За да определим знаците, заместваме всяко число, по-голямо от две, в уравнението, например 3. (3 * 3-5) / (2-3) \u003d -4. стойността е отрицателна, така че пишем минус върху областта след двойката. След това заместваме всяка стойност от интервала от 5/3 до 2 вместо x, например 1. Стойността отново е отрицателна. Пишем минус. Повтаряме същото с площта до 5/3. Заменяме всяко число, по-малко от 5/3, например 1. Отново минус.

• Тъй като се интересуваме от стойности x, при които изразът ще бъде по-голям или равен на 0, и няма такива стойности (против навсякъде), това неравенство няма решение, т.е. x = Ø (празен набор).

Отговор: x = Ø

Част от единица или няколко нейни части се нарича проста или обикновена дроб. Количество равни части, на които е разделена единицата, се нарича знаменател, а броят на взетите части се нарича числител. Дробта се записва като:

В този случай a е числителят, b е знаменателят.

Ако числителят по-малко от знаменателя, тогава се извиква дробта, по-малка от 1 правилна дроб. Ако числителят е по-голям от знаменателя, тогава дробта е по-голяма от 1, тогава дробта се нарича неправилна дроб.

Ако числителят и знаменателят на една дроб са равни, тогава дробта е равна.

1. Ако числителят може да бъде разделен на знаменателя, тогава тази дроб е равна на частното от деленето:

Ако делението се извършва с остатък, тогава тази неправилна дроб може да бъде представена със смесено число, например:

Тогава 9 е непълно частно (цялата част от смесеното число),
1 - остатък (числител на дробната част),
5 е знаменателят.

За да преобразувате смесено число в дроб, умножете цялата част на смесеното число по знаменателя и добавете числителя на дробната част.

Полученият резултат ще бъде числителят на обикновена дроб, а знаменателят ще остане същият.

Действия с дроби

Разширяване на дроб.Стойността на дроб не се променя, ако числителят и знаменателят му се умножат по едно и също ненулево число.
Например:

Намаляване на фракцията.Стойността на дроб не се променя, ако числителят и знаменателят му се разделят на едно и също ненулево число.
Например:

Сравнение на дроби.От две дроби с еднакъв числител по-голямата е тази с по-малък знаменател:

От две дроби с еднакви знаменатели тази с по-голям числител е по-голяма:

За да сравните дроби, чиито числители и знаменатели са различни, е необходимо да ги разширите, тоест да ги доведете до общ знаменател. Помислете например за следните дроби:

Събиране и изваждане на дроби.Ако знаменателите на дробите са еднакви, тогава за да се съберат дробите, е необходимо да се съберат техните числители, а за да се извадят дробите, е необходимо да се извадят техните числители. Получената сума или разлика ще бъде числителят на резултата, докато знаменателят ще остане същият. Ако знаменателите на дробите са различни, първо трябва да намалите дробите до общ знаменател. При добавяне смесени числатехните цели и дробни части се събират отделно. Когато изваждате смесени числа, първо трябва да ги преобразувате във формата на неправилни дроби, след това да извадите едно от друго и след това отново да доведете резултата, ако е необходимо, до формата на смесено число.

Умножение на дроби. За да умножите дроби, трябва да умножите отделно техните числители и знаменатели и да разделите първия продукт на втория.

Деление на дроби. За да разделите число на дроб, трябва да умножите това число по неговата реципрочна стойност.

десетичнае резултат от разделянето на едно на десет, сто, хиляда и т.н. части. Първо се записва цялата част на числото, след което десетичната запетая се поставя отдясно. Първата цифра след десетичната запетая означава броя на десетите, втората - броя на стотните, третата - броя на хилядните и т.н. Числата след десетичната запетая се наричат ​​десетични знаци.

Например:

Десетични свойства

Имоти:

• Десетичната дроб не се променя, ако се добавят нули отдясно: 4,5 = 4,5000.
• Десетичната дроб не се променя, ако се премахнат нулите, разположени в края на десетичната дроб: 0,0560000 = 0,056.
• Десетичната запетая се увеличава при 10, 100, 1000 и т.н. пъти, ако преместите десетичната запетая на едно, две, три и т.н. позиции вдясно: 4,5 45 (фракцията се е увеличила 10 пъти).
• Десетичната запетая се намалява с 10, 100, 1000 и т.н. пъти, ако преместите десетичната запетая на едно, две, три и т.н. позиции вляво: 4,5 0,45 (фракцията е намаляла 10 пъти).

Периодичният десетичен знак съдържа безкрайно повтаряща се група от цифри, наречена период: 0,321321321321…=0,(321)

Операции с десетични знаци

Добавянето и изваждането на десетични знаци се извършва по същия начин като събирането и изваждането на цели числа, само трябва да напишете съответните десетични знаци един под друг.
Например:

Умножението на десетични дроби се извършва на няколко етапа:

• Умножаваме десетичните знаци като цели числа, без да вземаме предвид десетичната запетая.
• Прилага се правилото: броят на десетичните знаци в произведението е равен на сбора от десетичните знаци във всички множители.

Например:

Сумата от числата на десетичните знаци в множителите е: 2+1=3. Сега трябва да преброите 3 цифри от края на полученото число и да поставите десетична запетая: 0,675.

Деление на десетични дроби. Разделяне на десетична запетая на цяло число: ако дивидентът по-малък делител, тогава трябва да напишете нула в цялата част на частното и да поставите десетична точка след нея. След това, без да се взема предвид десетичната запетая на дивидента, добавете следващата цифра от дробната част към нейната цяла част и отново сравнете получената цяла част от дивидента с делителя. Ако новото число отново е по-малко от делителя, операцията трябва да се повтори. Този процес се повтаря, докато полученият дивидент стане по-голям от делителя. След това се извършва деление както при цели числа. Ако дивидентът е по-голям или равен на делителя, първо разделяме цялата му част, записваме резултата от делението в частното и поставяме десетична запетая. След това делението продължава, както при целите числа.

Разделяне на една десетична дроб в друга: първо, десетичните точки в дивидента и делителя се прехвърлят по броя на десетичните знаци в делителя, тоест правим делителя цяло число и се извършват описаните по-горе действия.

За да се обърне десетичен знакв обикновен, е необходимо да вземете числото след десетичната запетая като числител и да вземете k-тата степен на десет като знаменател (k е броят на десетичните знаци). Ненулевата цяло число се запазва в обикновената дроб; нулевата цяло число е пропусната.
Например:

За да се обърне обикновена дробдо десетична, е необходимо числителят да се раздели на знаменателя в съответствие с правилата за разделяне.

Процентът е стотна от единицата, например: 5% означава 0,05. Коефициентът е частното от деленето на едно число на друго. Пропорцията е равенството на две съотношения.

Например:

Основното свойство на пропорцията: произведението на крайните членове на пропорцията е равно на произведението на нейните средни членове, т.е. 5x30 = 6x25. Две взаимно зависими величини се наричат ​​пропорционални, ако отношението на техните величини остава непроменено (коефициент на пропорционалност).

Така се разкриват следните аритметични операции.
Например:

Наборът от рационални числа включва положителни и отрицателни числа (цели и дробни) и нула. | Повече ▼ точно определениерационални числа, приети в математиката, следното: едно число се нарича рационално, ако може да бъде представено като обикновена несъкратима дроб от вида:, където a и b са цели числа.

За отрицателно число абсолютна стойност(модул) е положително число, получено чрез промяна на знака му от "-" на "+"; за положително числоа нулата е самото число. За обозначаване на модула на число се използват две прави линии, вътре в които е написано това число, например: |–5|=5.

Свойства с абсолютна стойност

Нека е даден модулът на число , за които са валидни свойствата:

Мономът е произведение на два или повече фактора, всеки от които е или число, или буква, или степен на буква: 3 x a x b. Коефициентът най-често се нарича само числов фактор. Казват, че мономите са подобни, ако са еднакви или се различават само по коефициенти. Степента на монома е сумата от показателите на всички негови букви. Ако има подобни сред сумата от мономи, тогава сумата може да бъде намалена до повече обикновен поглед: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Тази операция се нарича принуда на подобни термини или скоби.

Полиномът е алгебрична сумамоном. Степента на полинома е най-голямата от степените на мономите, включени в дадения полином.

Съществуват следните формули за съкратено умножение:

Методи за факторизиране:

Алгебрична дроб е израз на формата , където A и B могат да бъдат число, моном, полином.

Ако два израза (цифров и буквен) са свързани със знака "=", тогава се казва, че образуват равенство. Всяко истинско равенство, което е валидно за всички допустими числови стойностибукви, включени в него, се нарича идентичност.

Уравнението е буквално равенство, което е валидно за определени стойностибукви, включени в него. Тези букви се наричат ​​неизвестни (променливи), а техните стойности, при които даденото уравнение става тъждество, се наричат ​​корени на уравнението.

Решаването на уравнение означава намиране на всичките му корени. Две или повече уравнения се наричат ​​еквивалентни, ако имат еднакви корени.

• нулата беше коренът на уравнението;
• уравнението имаше само крайно числокорени.

Основни видове алгебрични уравнения:

Линейното уравнение има ax + b = 0:

• ако a x 0, има един корен x = -b/a;
• ако a = 0, b ≠ 0, няма корени;
• ако a = 0, b = 0, коренът е всяко реално число.

Уравнение xn = a, n N:

• ако n - нечетно число, има реален корен, равен на a/n за всяко a;
• ако n е четно число, тогава за 0, то има два корена.

Основен идентични трансформации: замяна на един израз с друг, тъждествено равен на него; пренасяне на членовете на уравнението от едната страна в другата с противоположни знаци; умножение или деление на двете части на уравнението с един и същи израз (число), различен от нула.

Линейно уравнение с едно неизвестно е уравнение от вида: ax+b=0, където a и b са известни числа, а x е неизвестна величина.

Системи от две линейни уравненияс две неизвестни имат вида:

Където a, b, c, d, e, f са дадени числа; x, y са неизвестни.

Числата a, b, c, d - коефициенти за неизвестни; e, f - безплатни членове. Решението на тази система от уравнения може да бъде намерено чрез два основни метода: метод на заместване: от едно уравнение изразяваме едно от неизвестните чрез коефициентите, а другото неизвестно и след това го заместваме във второто уравнение, решавайки последното уравнение , първо намираме едно неизвестно, след това заместваме намерената стойност в първото уравнение и намираме второто неизвестно; метод за добавяне или изваждане на едно уравнение от друго.

Операции с корени:

Аритметика коренът на n-тастепен от неотрицателно число a се нарича неотрицателно число, n-та степенкоето е равно на a. алгебричен корен n-та степенот дадено числосе нарича множеството от всички корени от това число.

Ирационалните числа, за разлика от рационалните, не могат да бъдат представени като обикновена несъкратима дроб от формата m/n, където m и n са цели числа. Това са числа от нов тип, които могат да бъдат изчислени с всякаква точност, но не могат да бъдат заменени рационално число. Те могат да се появят в резултат на геометрични измервания, например: съотношението на дължината на диагонала на квадрат към дължината на неговата страна е равно.

Има квадратно уравнение алгебрично уравнениевтора степен ax2+bx+c=0, където a, b, c - зададени числови или буквени коефициенти, x - неизвестно. Ако разделим всички членове на това уравнение на a, в резултат получаваме x2+px+q=0 - редуцираното уравнение p=b/a, q=c/a. Корените му се намират по формулата:

Ако b2-4ac>0, тогава има две различен корен, b2- 4ac=0, тогава има две равен корен; b2-4ac Уравнения, съдържащи модули

Основни видове уравнения, съдържащи модули:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, където f(x), g(x), fk(x), gk(x) са дадени функции.