Транспониране на матрица

Транспониране на матрицасе нарича замяна на редовете на матрица с нейните колони при запазване на техния ред (или, което е същото, замяна на колоните на матрица с нейните редове).

Нека е дадена началната матрица НО:

След това, според дефиницията, транспонираната матрица НО"изглежда като:

Съкратена форма на операцията за транспониране на матрицата: Често се обозначава транспонирана матрица

Пример 3. Нека са дадени матрици А и Б:

Тогава съответните транспонирани матрици имат формата:

Лесно се забелязват две закономерности на операцията на матрично транспониране.

1. Двойно транспонираната матрица е равна на оригиналната матрица:

2. При транспониране на квадратни матрици елементите, разположени на главния диагонал, не променят позициите си, т.е. главен диагонал квадратна матрицане се променя при транспониране.

Матрично умножение

Матричното умножение е специфична операция, която формира основата на матричната алгебра. Редовете и колоните на матриците могат да се разглеждат като вектори на редове и вектори на колони със съответните размери; с други думи, всяка матрица може да се интерпретира като колекция от вектори на редове или вектори на колони.

Нека са дадени две матрици: НО- размер Tх Пи AT- размер p x k.Ще разгледаме матрицата НОкато комплект Tредови вектори а)размери Пвсеки, и матрицата В -като комплект да секолонни вектори b Jtсъдържащи Пкоординира всеки:

Матрични редови вектори НОи колонни вектори на матрицата ATса показани в представянето на тези матрици (2.7). Дължина на реда на матрицата НОравна на височината на колоната на матрицата ATи следователно скаларното произведение на тези вектори има смисъл.

Определение 3. Произведение на матрици НОи ATсе нарича матрица C, чиито елементи Суса равни на скаларните произведения на редови вектори а (матрици НОвъв вектори на колони bjматрици В:

Продукт от матрици НОи AT- матрица C - има размера Tх да се, тъй като дължината l на векторите на редовете и векторите на колоните изчезва при сумиране на продуктите на координатите на тези вектори в техните точкови продукти, както е показано във формули (2.8). По този начин, за да се изчислят елементите на първия ред на матрицата C, е необходимо последователно да се получат скаларните продукти на първия ред на матрицата НОкъм всички колони на матрицата ATвторият ред на матрицата C се получава като скаларни произведения на втория ред вектор на матрицата НОкъм всички колонни вектори на матрицата AT, и така нататък. За удобство на запомнянето на размера на произведението на матриците, трябва да разделите продуктите на размерите на матричните фактори: - , тогава останалите по отношение на числото дават размера на продукта да се

дсния, т.с. размерът на матрицата C е Tх да се.

Операцията на матрично умножение има забележителна характеристика: произведение на матрици НОи ATима смисъл, ако броят на колоните в НОе равен на броя редове в AT.Тогава ако А и Б - правоъгълни матрици, след това продукта ATи НОвече няма да има смисъл, тъй като скаларните продукти, които образуват елементите на съответната матрица, трябва да включват вектори с същото числокоординати.

Ако матрици НОи ATквадрат, размер l x l, има смисъл като произведение на матрици AB,и произведението на матриците Вирджиния,и размерът на тези матрици е същият като този на оригиналните фактори. В същото време, в общ случайматрично умножение, не се спазва правилото за пермутативност (комутативност), т.е. AB * BA.

Разгледайте примери за умножение на матрици.

Тъй като броят на колоните на матрицата НОе равен на броя редове на матрицата AT,матричен продукт ABима значението. Използвайки формули (2.8), получаваме матрица 3x2 в продукта:

работа Вирджиния ns има смисъл, тъй като броят на колоните на матрицата ATне съвпада с броя на редовете на матрицата НО.

Тук намираме продуктите на матриците ABи VA:

Както се вижда от резултатите, матрицата на продукта зависи от реда на матриците в продукта. И в двата случая матричните продукти имат същия размер като оригиналните множители: 2x2.

AT този случайматрица ATе колонен вектор, т.е. матрица с три реда и една колона. Като цяло векторите са специални случаи на матрици: вектор ред с дължина Пе матрица с един ред и Пколони и вектора на колоната за височина П- матрица с Предове и една колона. Размерите на редуцираните матрици са съответно 2 x 3 и 3 x I, така че произведението на тези матрици е определено. Ние имаме

Продуктът дава матрица 2 x 1 или вектор колона с височина 2.

Чрез последователно умножение на матрицата намираме:

Свойства на произведението на матриците. Позволявам А, Би C - матрици със съответните размери (така че продуктите на матриците да са определени), и a - реално число. Тогава има следните свойстваматрични продукти:

• 1) (AB)C = A(BC);
• 2) В A + B) C = AC + BC
• 3) А (Б+ C) = AB + AC;
• 4) а (AB) = (aA)B = A(aB).

Понятие за идентична матрица де въведено в клауза 2.1.1. Лесно е да се провери, че в алгебрата на матрицата той играе ролята на единица, т.е. Можем да отбележим още две свойства, свързани с умножението по тази матрица отляво и отдясно:

• 5 )AE=A;
• 6) EA = НО.

С други думи, произведението на всяка матрица по матрица на идентичността, ако има смисъл, не променя оригиналната матрица.

AT висша математикасе изучава такава концепция като транспонирана матрица. Трябва да се отбележи, че много хора смятат, че това е достатъчно трудна темакоето е невъзможно да се овладее. Обаче не е така. За да разберете как точно се извършва такава лесна операция, е необходимо само да се запознаете малко с основната концепция - матрицата. Темата може да бъде разбрана от всеки ученик, ако отдели време да я проучи.

Какво е матрица?

Матриците в математиката са доста често срещани. Трябва да се отбележи, че те се срещат и в компютърните науки. Благодарение на тях и с тяхна помощ е лесно да се програмира и създава софтуер.

Какво е матрица? Това е таблицата, в която са поставени елементите. Тя определено има правоъгълен изглед. С прости думи, матрицата е таблица с числа. Означава се с произволна главна буква латински букви. Тя може да бъде правоъгълна или квадратна. Има и отделни редове и колони, които се наричат ​​вектори. Такива матрици получават само един ред от числа. За да разберете какъв размер има таблицата, трябва да обърнете внимание на броя на редовете и колоните. Първият се обозначава с буквата m, а вторият - n.

Наложително е да разберете какво е матричен диагонал. Има странична и основна. Втората е тази лента от числа, която върви отляво надясно от първия до последния елемент. В този случай страничната линия ще бъде отдясно наляво.

С матриците можете да правите почти всички най-прости неща. аритметични операции, тоест добавяне, изваждане, умножаване помежду си и отделно с число. Те също могат да бъдат транспонирани.

Процес на транспониране

Транспонираната матрица е матрица, в която редовете и колоните са обърнати. Това се прави възможно най-лесно. Означава се като A с горен индекс T (AT). По принцип трябва да се каже, че във висшата математика това е едно от най прости операциинад матрици. Размерът на масата е запазен. Такава матрица се нарича транспонирана.

Свойства на транспонираните матрици

За да извършите правилно процеса на транспониране, е необходимо да разберете какви свойства съществуват в тази операция.

• Трябва да има начална матрица за всяка транспонирана таблица. Техните детерминанти трябва да са равни една на друга.
• Ако има скаларна единица, тогава при извършване на тази операция тя може да бъде извадена.
• Когато една матрица се транспонира два пъти, тя ще бъде равна на оригиналната.
• Ако сравним две подредени таблици с променени колони и редове, със сбора на елементите, върху които е извършена тази операция, тогава те ще бъдат еднакви.
• Последното свойство е, че ако транспонирате таблиците, умножени една с друга, тогава стойността трябва да е равна на резултатите, получени по време на умножението на транспонираните матрици в обратен ред.

Защо транспониране?

Матрицата в математиката е необходима, за да се решават определени задачи с нея. Някои от тях трябва да се изчислят обратна таблица. За да направите това, трябва да намерите детерминанта. След това се изчисляват елементите на бъдещата матрица, след което се транспонират. Остава да се намери само директно обратната таблица. Можем да кажем, че при такива задачи се изисква да се намери X и това е доста лесно да се направи с помощта основни познаниятеория на уравненията.

Резултати

В тази статия беше разгледано какво е транспонирана матрица. Тази тема ще бъде полезна за бъдещи инженери, които трябва да могат да изчисляват правилно сложни конструкции. Понякога матрицата не е толкова лесна за решаване, трябва да си счупите главата. Въпреки това, в курса на студентската математика тази операция се извършва възможно най-лесно и без никакви усилия.

Когато работите с матрици, понякога трябва да ги транспонирате, тоест като кажете с прости думи, флип. Разбира се, можете да презапишете данните ръчно, но Excel предлага няколко начина да го направите по-лесно и по-бързо. Нека да ги разгледаме подробно.

Транспонирането на матрицата е процес на размяна на колони и редове. AT програма ExcelИма две възможности за транспониране: използване на функцията ТРАНСПи с помощта на инструмента Paste Special. Нека разгледаме всяка от тези опции по-подробно.

Метод 1: Оператор TRANSPOSE

функция ТРАНСПпринадлежи към категорията оператори „Препратки и масиви“. Особеността е, че подобно на други функции, които работят с масиви, резултатът от издаването не е съдържанието на клетката, а целият масив от данни. Синтаксисът на функцията е доста прост и изглежда така:

TRANSPOSE(масив)

Тоест, единственият аргумент на този оператор е препратка към масив, в нашия случай матрица, която трябва да бъде преобразувана.

Нека да видим как тази функция може да се приложи с помощта на пример с реална матрица.

1. Избираме празна клетка на листа, която е планирана да бъде горната лява клетка на трансформираната матрица. След това щракнете върху иконата "Вмъкване на функция", който се намира близо до лентата с формули.



2. Стартиране Помощници за функции. Отворете категория „Препратки и масиви“или „Пълен азбучен списък“. След намиране на името "ТРАНСПОРТ", изберете го и щракнете върху бутона Добре.



3. Стартира се прозорецът с аргументи на функцията ТРАНСП. Единственият аргумент на този оператор съответства на полето "Масив". Трябва да въведете координатите на матрицата, която да бъде обърната в нея. За да направите това, поставете курсора в полето и, като задържите левия бутон на мишката, изберете целия диапазон на матрицата на листа. След като адресът на областта се покаже в прозореца с аргументи, щракнете върху бутона Добре.



4. Но, както можете да видите, в клетката, предназначена да покаже резултата, се показва неправилна стойност под формата на грешка „#СТОЙНОСТ!“. Това се дължи на особеностите на работата на масивните оператори. За да коригираме тази грешка, избираме диапазон от клетки, в който броят на редовете трябва да е равен на броя на колоните на оригиналната матрица, а броят на колоните трябва да е равен на броя на редовете. Това съответствие е много важно, за да може резултатът да бъде показан правилно. В този случай клетката, съдържаща израза „#СТОЙНОСТ!“трябва да е горната лява клетка на масива, който ще се селектира, и именно от тази клетка трябва да се стартира процедурата за избор със задържане на левия бутон на мишката. След като сте направили избор, поставете курсора в лентата с формули непосредствено след операторния израз ТРАНСП, които трябва да се показват в него. След това, за да извършите изчислението, трябва да кликнете не върху бутона Въведете, както е обичайно в конвенционалните формули, и наберете комбинация Ctrl+Shift+Enter.



5. След тези действия матрицата се показва както се нуждаем, тоест в транспонирана форма. Но има и друг проблем. Въпросът е, че сега новата матрица е свързани с формуламасив, който не може да се променя. Ако се опитате да направите някаква промяна в съдържанието на матрицата, ще се появи грешка. Някои потребители са доста доволни от това състояние на нещата, тъй като няма да правят промени в масива, но други се нуждаят от матрица, с която могат да работят напълно.

   Разрешавам този проблем, изберете целия транспониран диапазон. Преместен в раздела "У дома"щракнете върху иконата "Копие", който се намира на лентата в групата "Клипборд". Вместо посоченото действие, след избор, можете да зададете стандартна клавишна комбинация за копиране ctrl+c.



6. След това, без да премахваме селекцията от транспонирания диапазон, кликваме върху нея с десния бутон на мишката. В контекстното меню в група „Опции за поставяне“щракнете върху иконата "Стойности", който има формата на икона с изображение на числа.

   

   След това формулата на масива ТРАНСПще се изтрие и в клетките ще остане само една стойност, с която можете да работите по същия начин, както с оригиналната матрица.

Метод 2: Транспониране на матрица със специална паста

В допълнение, матрицата може да бъде транспонирана с помощта на един елемент от контекстното меню, извикан „Специално поставяне“.

След тези действия на листа ще остане само трансформираната матрица.

По същите два начина, които бяха обсъдени по-горе, можете да транспонирате в Excel не само матрици, но и пълноценни таблици. Процедурата ще бъде почти идентична.

И така, разбрахме, че в програмата Excel матрицамогат да бъдат транспонирани, т.е. обърнати чрез размяна на колони и редове по два начина. Първият вариант включва използването на функцията ТРАНСП, а вторият е Paste Special Tools. Като цяло крайният резултат, който се получава при използването на двата метода, не се различава. И двата метода работят в почти всяка ситуация. Така че при избора на опция за преобразуване личните предпочитания на конкретен потребител са на преден план. Тоест, кой от тези методи е по-удобен лично за вас, използвайте го.