Някой третира думата "прогресия" с повишено внимание, като много сложен термин от разделите висша математика. Междувременно най-простата аритметична прогресия е работата на брояча на такситата (където те все още остават). И разберете същината (и няма нищо по-важно в математиката от "схващането на същината") аритметична редицаНе е толкова трудно, след като разберете няколко основни понятия.

Математическа числова последователност

Прието е числовата последователност да се нарича поредица от числа, всяко от които има свой номер.

и 1 е първият член на последователността;

и 2 е вторият член на последователността;

и 7 е седмият член на редицата;

и n е n-тият член на последователността;

Въпреки това, не всеки произволен набор от цифри и числа ни интересува. Ще насочим вниманието си към числова редица, в която стойността на n-тия член е свързана с неговия пореден номер чрез зависимост, която може да бъде ясно формулирана математически. С други думи: числената стойност на n-то число е някаква функция на n.

a - стойност на член на числовата редица;

n - неговият сериен номер;

f(n) е функция, където порядъкът в числовата последователност n е аргументът.

Определение

Аритметична прогресия обикновено се нарича числова последователност, в която всеки следващ член е по-голям (по-малък) от предходния със същото число. Формулата за n-тия член на аритметична последователност е следната:

a n - стойността на текущия член на аритметичната прогресия;

a n+1 - формулата на следващото число;

d - разлика (определено число).

Лесно е да се определи, че ако разликата е положителна (d>0), тогава всеки следващ член на разглежданата серия ще бъде по-голям от предишния и такава аритметична прогресия ще нараства.

В графиката по-долу е лесно да се види защо числова последователностнаречено „нарастващо“.

В случаите, когато разликата е отрицателна (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Стойността на посочения член

Понякога е необходимо да се определи стойността на произволен член a n от аритметична прогресия. Можете да направите това, като изчислите последователно стойностите на всички членове на аритметичната прогресия, от първия до желания. Този начин обаче не винаги е приемлив, ако например е необходимо да се намери стойността на петхилядната или осеммилионната дума. Традиционното изчисление ще отнеме много време. Въпреки това, специфична аритметична прогресия може да бъде изследвана с помощта на определени формули. Има и формула за n-тия член: стойността на всеки член на аритметична прогресия може да се определи като сбор от първия член на прогресията с разликата на прогресията, умножена по броя на желания член, минус едно .

Формулата е универсална за увеличаване и намаляване на прогресията.

Пример за изчисляване на стойността на даден член

Нека решим следната задача за намиране на стойността на n-тия член на аритметична прогресия.

Условие: има аритметична прогресия с параметри:

Първият член на редицата е 3;

Разликата в числовата серия е 1,2.

Задача: необходимо е да се намери стойността на 214 члена

Решение: за да определим стойността на даден член, използваме формулата:

a(n) = a1 + d(n-1)

Замествайки данните от формулировката на проблема в израза, имаме:

a(214) = a1 + d(n-1)

а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Отговор: 214-ият член на редицата е равен на 258,6.

Предимствата на този метод на изчисление са очевидни - цялото решение отнема не повече от 2 реда.

Сума от даден брой членове

Много често в дадена аритметична серия се изисква да се определи сумата от стойностите на някои от нейните сегменти. Освен това не е необходимо да изчислява стойностите на всеки термин и след това да ги сумира. Този метод е приложим, ако броят на членовете, чиято сума трябва да се намери, е малък. В други случаи е по-удобно да използвате следната формула.

Сумата от членовете на аритметична прогресия от 1 до n е равна на сумата от първия и n-тия член, умножена по числото на члена n и разделена на две. Ако във формулата стойността на n-тия член се замени с израза от предходния параграф на статията, получаваме:

Пример за изчисление

Например, нека решим задача със следните условия:

Първият член на редицата е нула;

Разликата е 0,5.

В задачата се изисква да се определи сумата от членовете на серията от 56 до 101.

Решение. Нека използваме формулата за определяне на сумата от прогресията:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Първо, определяме сумата от стойностите на 101 члена на прогресията, като заместваме дадените условия на нашия проблем във формулата:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Очевидно, за да се намери сумата от членовете на прогресията от 56-то до 101-во, е необходимо да се извади S 55 от S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Така че сборът от аритметичната прогресия за този пример е:

s 101 - s 55 \u003d 2525 - 742,5 \u003d 1782,5

Пример за практическо приложение на аритметичната прогресия

В края на статията нека се върнем към примера на аритметичната последователност, дадена в първия параграф - таксиметър (таксиметров автомобил). Нека разгледаме такъв пример.

Качването в такси (което включва 3 км) струва 50 рубли. Всеки следващ километър се заплаща в размер на 22 рубли / км. Разстояние за пътуване 30 км. Изчислете цената на пътуването.

1. Да изхвърлим първите 3 км, чиято цена е включена в цената на кацане.

30 - 3 = 27 км.

2. По-нататъшното изчисление не е нищо повече от анализиране на аритметична числова серия.

Номерът на члена е броят на изминатите километри (минус първите три).

Стойността на члена е сумата.

Първият член в тази задача ще бъде равен на 1 = 50 рубли.

Разлика в прогресията d = 22 p.

числото, което ни интересува - стойността на (27 + 1)-ия член на аритметичната прогресия - показанието на измервателния уред в края на 27-ия километър - 27,999 ... = 28 км.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Изчисленията на календарни данни за произволно дълъг период се основават на формули, описващи определени числови последователности. В астрономията дължината на орбитата е геометрично зависима от разстоянието на небесното тяло до светилото. В допълнение, различни числени серии се използват успешно в статистиката и други приложни клонове на математиката.

Друг вид числова последователност е геометричната

Геометричната прогресия се характеризира с голяма, в сравнение с аритметична, скорост на промяна. Неслучайно в политиката, социологията, медицината често, за да покажат високата скорост на разпространение на определено явление, например заболяване по време на епидемия, казват, че процесът се развива експоненциално.

N-тият член на редицата с геометрични числа се различава от предишния по това, че се умножава по някакво постоянно число - знаменателят, например, първият член е 1, знаменателят е съответно 2, тогава:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - стойността на текущия член на геометричната прогресия;

b n+1 - формулата на следващия член на геометричната прогресия;

q е знаменателят на геометрична прогресия (постоянно число).

Ако графиката на аритметична прогресия е права линия, тогава геометричната рисува малко по-различна картина:

Както в случая с аритметиката, геометричната прогресия има формула за стойността на произволен член. Всеки n-ти член от геометрична прогресия е равен на произведението от първия член и знаменателя на прогресията на степен n, намален с единица:

Пример. Имаме геометрична прогресия, като първият член е равен на 3 и знаменателят на прогресията е равен на 1,5. Намерете 5-ия член на прогресията

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Сборът на даден брой членове също се изчислява по специална формула. Сумата от първите n членове на геометрична прогресия е равна на разликата между произведението на n-тия член на прогресията и неговия знаменател и първия член на прогресията, разделено на знаменателя, намален с единица:

Ако b n се замени с формулата, обсъдена по-горе, стойността на сумата от първите n членове на разглежданата числова серия ще приеме формата:

Пример. Геометричната прогресия започва с първия член, равен на 1. Знаменателят е равен на 3. Нека намерим сбора на първите осем члена.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Или аритметика - това е вид подредена числова последователност, чиито свойства се изучават в училищен курс по алгебра. Тази статия разглежда подробно въпроса как да се намери сумата на аритметична прогресия.

Каква е тази прогресия?

Преди да преминете към разглеждането на въпроса (как да намерите сумата от аритметична прогресия), си струва да разберете какво ще бъде обсъдено.

Всяка последователност от реални числа, която се получава чрез добавяне (изваждане) на някаква стойност от всяко предишно число, се нарича алгебрична (аритметична) прогресия. Това определение, преведено на езика на математиката, приема формата:

Тук i е поредният номер на елемента от серията a i . По този начин, знаейки само един начален номер, можете лесно да възстановите цялата серия. Параметърът d във формулата се нарича прогресивна разлика.

Може лесно да се покаже, че за разглежданата редица от числа е валидно следното равенство:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Тоест, за да намерите стойността на n-тия елемент по ред, добавете разликата d към първия елемент a 1 n-1 пъти.

Каква е сумата на аритметична прогресия: формула

Преди да дадете формулата за посочената сума, струва си да разгледате прост специален случай. Дадена е прогресия на естествените числа от 1 до 10, трябва да намерите тяхната сума. Тъй като има малко членове в прогресията (10), е възможно да се реши задачата директно, т.е. да се сумират всички елементи по ред.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Струва си да се има предвид едно интересно нещо: тъй като всеки член се различава от следващия със същата стойност d \u003d 1, тогава двойното сумиране на първия с десетия, втория с деветия и т.н. ще даде същия резултат . Наистина ли:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Както можете да видите, има само 5 от тези суми, тоест точно два пъти по-малко от броя на елементите в серията. След това, като умножите броя на сумите (5) по резултата от всяка сума (11), ще стигнете до резултата, получен в първия пример.

Ако обобщим тези аргументи, можем да напишем следния израз:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Този израз показва, че изобщо не е необходимо да се сумират всички елементи подред, достатъчно е да се знае стойността на първия a 1 и на последния a n, както и общия брой членове n.

Смята се, че Гаус за първи път се е сетил за това равенство, когато е търсил решение на задачата, поставена от неговия учител: да се сумират първите 100 цели числа.

Сума от елементи от m до n: формула

Формулата, дадена в предходния абзац, отговаря на въпроса как да се намери сумата от аритметична прогресия (на първите елементи), но често в задачите се налага да се сумира поредица от числа в средата на прогресията. Как да го направя?

Най-лесният начин да отговорите на този въпрос е като разгледате следния пример: нека е необходимо да се намери сумата на членовете от m-то до n-то. За да се реши задачата, даден сегмент от m до n от прогресията трябва да бъде представен като нова числова серия. В това представяне m-тият член a m ще бъде първият, а n ще бъде номерирано с n-(m-1). В този случай, прилагайки стандартната формула за сумата, ще се получи следният израз:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Пример за използване на формули

Знаейки как да намерите сумата на аритметичната прогресия, струва си да разгледате прост пример за използване на горните формули.

По-долу е дадена числова последователност, трябва да намерите сумата от нейните членове, започвайки от 5-ти и завършвайки с 12-ти:

Дадените числа показват, че разликата d е равна на 3. Използвайки израза за n-тия елемент, можете да намерите стойностите на 5-ия и 12-ия член на прогресията. Оказва се:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Познавайки стойностите на числата в краищата на разглежданата алгебрична прогресия, както и знаейки кои числа в серията заемат, можете да използвате формулата за сумата, получена в предишния параграф. Вземете:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Струва си да се отбележи, че тази стойност може да се получи по различен начин: първо, намерете сумата на първите 12 елемента, като използвате стандартната формула, след това изчислете сумата на първите 4 елемента, като използвате същата формула, и след това извадете втората от първата сума .

Аритметична прогресиянаименувайте поредица от числа (членове на прогресия)

При което всеки следващ термин се различава от предходния със стоманен термин, който също се нарича разлика в стъпка или прогресия.

По този начин, като зададете стъпката на прогресията и нейния първи член, можете да намерите всеки от нейните елементи с помощта на формулата

Свойства на аритметичната прогресия

1) Всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от второто число, е средното аритметично на предишния и следващия член на прогресията

Обратното също е вярно. Ако средноаритметичното на съседни нечетни (четни) членове на прогресията е равно на члена, който стои между тях, тогава тази последователност от числа е аритметична прогресия. Чрез това твърдение е много лесно да се провери всяка последователност.

Също чрез свойството на аритметичната прогресия горната формула може да се обобщи до следното

Това е лесно да се провери, ако напишем термините отдясно на знака за равенство

Често се използва на практика за опростяване на изчисленията при проблеми.

2) Сумата от първите n члена на аритметичната прогресия се изчислява по формулата

Запомнете добре формулата за сбора на аритметичната прогресия, тя е незаменима при изчисленията и е доста често срещана в прости житейски ситуации.

3) Ако трябва да намерите не цялата сума, а част от редицата, започваща от нейния k -ти член, тогава следната формула за сумиране ще ви бъде полезна

4) От практически интерес е да се намери сумата от n членове на аритметична прогресия, започваща от k-то число. За да направите това, използвайте формулата

Тук теоретичният материал приключва и се преминава към решаване на често срещани в практиката задачи.

Пример 1. Намерете четиридесетия член на аритметичната прогресия 4;7;...

Решение:

Според условието имаме

Определете стъпката на прогресия

Според добре познатата формула намираме четиридесетия член на прогресията

Пример2. Аритметичната прогресия се дава от нейните трети и седми член. Намерете първия член на прогресията и сбора от десет.

Решение:

Записваме дадените елементи на прогресията по формулите

Изваждаме първото уравнение от второто уравнение, в резултат намираме стъпката на прогресията

Намерената стойност се замества във всяко от уравненията, за да се намери първият член на аритметичната прогресия

Изчислете сумата от първите десет члена на прогресията

Без прилагане на сложни изчисления намерихме всички необходими стойности.

Пример 3. Една аритметична прогресия е дадена от знаменателя и един от неговите членове. Намерете първия член на прогресията, сбора от неговите 50 члена, започвайки от 50, и сбора от първите 100.

Решение:

Нека напишем формулата за стотния елемент на прогресията

и намерете първия

Въз основа на първия намираме 50-ия член на прогресията

Намиране на сумата на частта от прогресията

и сумата от първите 100

Сборът на прогресията е 250.

Пример 4

Намерете броя на членовете на аритметична прогресия, ако:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Решение:

Записваме уравненията по отношение на първия член и стъпката на прогресията и ги дефинираме

Заместваме получените стойности във формулата за сумата, за да определим броя на членовете в сумата

Правене на опростявания

и решаване на квадратното уравнение

От двете намерени стойности само числото 8 е подходящо за състоянието на проблема. Така сумата от първите осем члена на прогресията е 111.

Пример 5

реши уравнението

1+3+5+...+x=307.

Решение: Това уравнение е сбор от аритметична прогресия. Изписваме първия му член и намираме разликата на прогресията

И. В. Яковлев | Материали по математика | MathUs.ru

Аритметична прогресия

Аритметичната прогресия е специален вид последователност. Следователно, преди да дефинираме аритметична (и след това геометрична) прогресия, трябва накратко да обсъдим важното понятие за числова последователност.

Последователност

Представете си устройство, на екрана на което една след друга се показват няколко числа. Да кажем 2; 7; 13; един; 6; 0; 3; : : : Такъв набор от числа е само пример за последователност.

Определение. Числовата последователност е набор от числа, в който на всяко число може да бъде присвоено уникално число (т.е. да се постави в съответствие с едно естествено число)1. Числото с номер n се нарича n-ти член на редицата.

И така, в горния пример първото число има числото 2, което е първият член на редицата, която може да бъде означена с a1; числото пет има числото 6, което е петият член на редицата, което може да се означи с a5. В общи линии, n-ти членпоследователностите се означават с (или bn, cn и т.н.).

Много удобна ситуация е, когато n-тият член на редицата може да бъде определен с някаква формула. Например формулата an = 2n 3 определя последователността: 1; един; 3; 5; 7; : : : Формулата an = (1)n определя последователността: 1; един; един; един; : : :

Не всеки набор от числа е последователност. И така, сегментът не е последователност; съдържа „твърде много“ числа, които трябва да бъдат преномерирани. Множеството R на всички реални числа също не е последователност. Тези факти се доказват в хода на математическия анализ.

Аритметична прогресия: основни определения

Сега сме готови да дефинираме аритметична прогресия.

Определение. Аритметичната прогресия е последователност, в която всеки член (започвайки от втория) е равен на сбора от предходния член и някакво фиксирано число (наречено разлика на аритметичната прогресия).

Например последователност 2; 5; осем; единадесет; : : : е аритметична прогресия с първи член 2 и разлика 3. Последователност 7; 2; 3; осем; : : : е аритметична прогресия с първи член 7 и разлика 5. Последователност 3; 3; 3; : : : е аритметична прогресия с нулева разлика.

Еквивалентна дефиниция: Поредица an се нарича аритметична прогресия, ако разликата an+1 an е постоянна стойност (не зависима от n).

За една аритметична прогресия се казва, че нараства, ако нейната разлика е положителна, и намалява, ако нейната разлика е отрицателна.

1 И ето едно по-кратко определение: редицата е функция, дефинирана върху множеството от естествени числа. Например поредицата от реални числа е функцията f: N! Р.

По подразбиране последователностите се считат за безкрайни, т.е. съдържащи безкраен брой числа. Но никой не си прави труда да разглежда и крайните последователности; всъщност всеки краен набор от числа може да се нарече крайна последователност. Например крайната последователност 1; 2; 3; четири; 5 се състои от пет числа.

Формула на n-ия член на аритметична прогресия

Лесно е да се разбере, че една аритметична прогресия се определя изцяло от две числа: първия член и разликата. Следователно възниква въпросът: как, знаейки първия член и разликата, да намерим произволен член на аритметична прогресия?

Не е трудно да се получи желаната формула за n-тия член на аритметичната прогресия. Нека един

Задача 1. В аритметична прогресия 2; 5; осем; единадесет; : : : намерете формулата на n-тия член и изчислете стотния член.

Решение. Според формула (1) имаме:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Свойство и знак на аритметичната прогресия

свойство на аритметична прогресия. В аритметична прогресия за всяко

С други думи, всеки член на аритметичната прогресия (започвайки от втория) е средноаритметичното на съседните членове.

което се изискваше.

По-общо казано, аритметичната прогресия an удовлетворява равенството

a n = a n k+ a n+k

за всяко n > 2 и всяко естествено k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Оказва се, че формула (2) е не само необходима, но и достатъчно условиече последователността е аритметична прогресия.

Знак за аритметична прогресия. Ако равенството (2) е в сила за всички n > 2, тогава последователността an е аритметична прогресия.

Доказателство. Нека пренапишем формулата (2), както следва:

a na n 1= a n+1a n:

Това показва, че разликата an+1 an не зависи от n и това просто означава, че редицата an е аритметична прогресия.

Свойството и знакът на аритметичната прогресия могат да бъдат формулирани като едно твърдение; за удобство ще направим това за три числа (това е ситуацията, която често се среща при проблеми).

Характеризиране на аритметична прогресия. Образуват се три числа a, b, c аритметична прогресияако и само ако 2b = a + c.

Задача 2. (Московски държавен университет, Икономически факултет, 2007 г.) Три числа 8x, 3 x2 и 4 в посочения ред образуват намаляваща аритметична прогресия. Намерете x и напишете разликата на тази прогресия.

Решение. По свойството на аритметична прогресия имаме:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; х=5:

Ако x = 1, тогава се получава намаляваща прогресия от 8, 2, 4 с разлика от 6. Ако x = 5, тогава се получава нарастваща прогресия от 40, 22, 4; този случай не работи.

Отговор: x = 1, разликата е 6.

Сумата от първите n члена на аритметична прогресия

Легендата разказва, че веднъж учителят казал на децата да намерят сбора на числата от 1 до 100 и седнал да чете тихо вестника. След няколко минути обаче едно момче каза, че е решило проблема. Това беше 9-годишният Карл Фридрих Гаус, по-късно един от най-великите математицив историята.

Идеята на малкия Гаус беше следната. Позволявам

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Нека запишем тази сумав обратен ред:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

и добавете тези две формули:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Всеки член в скоби е равен на 101 и има общо 100 такива члена

2S = 101 100 = 10100;

Използваме тази идея, за да изведем формулата за сумата

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Полезна модификация на формула (3) се получава чрез заместване на формулата за n-тия член an = a1 + (n 1)d в нея:

Задача 3. Намерете сбора на всички положителни трицифрени числа, които се делят на 13.

Решение. Трицифрени числа, кратни на 13, образуват аритметична прогресия с първия член 104 и разликата 13; N-тият член на тази прогресия е:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Нека разберем колко члена съдържа нашата прогресия. За да направим това, решаваме неравенството:

6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Така че има 69 членове в нашата прогресия. По формулата (4) намираме необходимото количество:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2