Кой от дадените изрази е идентичен на израза. Тъждествени трансформации на изрази, техните видове
След като придобихме представа за идентичностите, логично е да преминем към запознаване с. В тази статия ще отговорим на въпроса какво представляват идентично равни изрази, а също така, като използваме примери, ще разберем кои изрази са идентично равни и кои не.
Навигация в страницата.
Кои са тъждествено равни изрази?
Определението за тъждествено равни изрази е дадено паралелно с определението за тъждество. Това се случва в часа по алгебра в 7 клас. В учебника по алгебра за 7 клас авторът Ю. Н. Макаричев дава следната формулировка:
Определение.
са изрази, чиито стойности са равни за всякакви стойности на променливите, включени в тях. Числовите изрази, които съответстват на едни и същи стойности, също се наричат идентично равни.
Тази дефиниция се използва до клас 8, тя е валидна за целочислени изрази, тъй като те имат смисъл за всякакви стойности на променливите, включени в тях. А в 8 клас се уточнява дефиницията на тъждествено равни изрази. Нека обясним с какво е свързано.
В 8 клас започва изучаването на други видове изрази, които, за разлика от целочислените изрази, може да нямат смисъл за някои стойности на променливи. Това налага въвеждането на дефиниции за допустими и невалидни стойности на променливи, както и обхвата на допустимите стойности на ODV на променлива и в резултат на това да се изясни дефиницията на идентично равни изрази.
Определение.
Извикват се два израза, чиито стойности са равни за всички допустими стойности на техните променливи тъждествено равни изрази. Два числови израза, които имат еднаква стойност, също се наричат идентично равни.
В тази дефиниция на идентично равни изрази си струва да се изясни значението на фразата "за всички допустими стойности на променливите, включени в тях." Това предполага всички такива стойности на променливи, за които двата идентично равни израза едновременно имат смисъл. Тази идея ще бъде изяснена в следващия раздел чрез разглеждане на примери.
Дефиницията на идентично равни изрази в учебника на А. Г. Мордкович е дадена малко по-различно:
Определение.
Еднакви равни изразиса изрази от лявата и дясната страна на самоличността.
По смисъл това и предишните определения съвпадат.
Примери за тъждествено равни изрази
Дефинициите, въведени в предишния подраздел, ни позволяват да донесем примери за тъждествено равни изрази.
Нека започнем с идентично равни числови изрази. Числовите изрази 1+2 и 2+1 са идентично равни, защото съответстват на равни стойности 3 и 3. Изразите 5 и 30:6 също са идентично равни, както и изразите (2 2) 3 и 2 6 (стойностите на последните изрази са равни поради ). Но числовите изрази 3+2 и 3−2 не са идентично равни, тъй като съответстват съответно на стойностите 5 и 1, но не са равни.
Сега даваме примери за идентично равни изрази с променливи. Това са изразите a+b и b+a. Наистина, за всякакви стойности на променливите a и b, писмените изрази приемат същите стойности (което следва от числата). Например, с a=1 и b=2 имаме a+b=1+2=3 и b+a=2+1=3. За всички други стойности на променливите a и b също ще получим равни стойности на тези изрази. Изразите 0·x·y·z и 0 също са идентично равни за всякакви стойности на променливите x, y и z. Но изразите 2 x и 3 x не са идентично равни, тъй като например при x=1 техните стойности не са равни. Наистина, за x=1, изразът 2 x е 2 1=2 , а изразът 3 x е 3 1=3 .
Когато областите на допустимите стойности на променливите в изразите съвпадат, както например в изразите a+1 и 1+a , или a b 0 и 0 , или и , и стойностите на тези изрази са равни за всички стойности на променливи от тези области, тогава тук всичко е ясно - тези изрази са идентично равни за всички допустими стойности на променливите, включени в тях. Така a+1≡1+a за всяко a , изразите a b 0 и 0 са идентично равни за всякакви стойности на променливите a и b , а изразите и са идентично равни за всички x от ; изд. С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М. : Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Разгледайте две равенства:
1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8
Това равенство ще се проведе за всяка стойност на променливата a. Диапазонът от валидни стойности за това равенство ще бъде целият набор от реални числа.
2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .
Това неравенство ще се проведе за всички стойности на променливата a, с изключение на равно на нула. Диапазонът от приемливи стойности за това неравенство ще бъде целият набор от реални числа, с изключение на нула.
За всяко от тези равенства може да се твърди, че то ще бъде вярно за всякакви допустими стойности на променливите a. Такива уравнения в математиката се наричат идентичности.
Концепцията за идентичност
Идентичността е равенство, което е вярно за всякакви допустими стойности на променливите. Ако някакви валидни стойности се заменят в това равенство вместо променливи, тогава трябва да се получи правилното числово равенство.
Струва си да се отбележи, че истинските числови равенства също са идентичности. Идентичностите, например, ще бъдат свойства на действия върху числа.
3. a + b = b + a;
4. a + (b + c) = (a + b) + c;
6. a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
11. a*(-1) = -a.
Ако два израза за всякакви допустими променливи са съответно равни, тогава такива изрази се извикват идентично равни. По-долу са дадени някои примери за идентично равни изрази:
1. (a 2) 4 и a 8;
2. a*b*(-a^2*b) и -a 3 *b 2 ;
3. ((x 3 *x 8)/x) и x 10 .
Винаги можем да заменим един израз с всеки друг израз, идентично равен на първия. Такава замяна ще бъде идентична трансформация.
Примери за самоличност
Пример 1: Идентичности ли са следните равенства:
1. а + 5 = 5 + а;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
Не всички от горните изрази ще бъдат идентичности. От тези равенства само 1, 2 и 3 равенства са тъждества. Каквито и числа да заместим в тях, вместо променливите a и b, пак получаваме правилните числови равенства.
Но 4 равенството вече не е идентичност. Тъй като не за всички допустими стойности това равенство ще бъде изпълнено. Например със стойностите a = 5 и b = 2 получавате следния резултат:
Това равенство не е вярно, тъй като числото 3 не е равно на числото -3.
Тази статия предоставя инициал понятие за идентичности. Тук ще дефинираме идентичност, ще въведем използваната нотация и, разбира се, ще дадем различни примери за идентичности.
Навигация в страницата.
Какво е идентичност?
Логично е да започнем с изложението на материала дефиниции за идентичност. В учебника на Ю. Н. Макаричев, алгебра за 7 клас, определението за идентичност е дадено, както следва:
Определение.
Идентичносте равенство вярно за всякакви стойности на променливите; всяко истинско числено равенство също е тъждество.
В същото време авторът веднага уточнява, че в бъдеще това определение ще бъде изяснено. Това уточняване става в 8 клас, след запознаване с дефиницията на допустимите стойности на променливите и ОДЗ. Дефиницията става:
Определение.
Идентичностиса верни числени равенства, както и равенства, които са верни за всички допустими стойности на включените в тях променливи.
Така че защо, когато дефинираме идентичност, в 7-ми клас говорим за всякакви стойности на променливи, а в 8-ми клас започваме да говорим за стойностите на променливите от техните DPV? До 8 клас работата се извършва изключително с цели числа (по-специално с мономи и полиноми) и те имат смисъл за всякакви стойности на променливите, включени в тях. Следователно в 7-ми клас казваме, че идентичността е равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите. И в 8-ми клас се появяват изрази, които вече имат смисъл не за всички стойности на променливи, а само за стойности от техните ODZ. Следователно с идентичности започваме да наричаме равенства, които са верни за всички допустими стойности на променливите.
Така че идентичността е специален случай на равенството. Тоест всяка идентичност е равенство. Но не всяко равенство е идентичност, а само равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливи от техния диапазон от приемливи стойности.
Знак за самоличност
Известно е, че при писане на равенства се използва знак за равенство под формата на “=”, отляво и отдясно на който има някои числа или изрази. Ако добавим още една хоризонтална линия към този знак, получаваме знак за самоличност"≡", или както още се нарича знак за равенство.
Знакът за идентичност обикновено се използва само когато трябва да се подчертае, че пред нас стои не просто равенство, а точно идентичност. В други случаи представянията на идентичностите не се различават по форма от равенствата.
Примери за самоличност
Време е да донесете примери за идентичности. Определението за идентичност, дадено в първия параграф, ще ни помогне за това.
Числените равенства 2=2 са примери за идентичности, тъй като тези равенства са верни и всяко истинско числово равенство по дефиниция е идентичност. Те могат да бъдат записани като 2≡2 и .
Числовите равенства от вида 2+3=5 и 7−1=2·3 също са тъждества, тъй като тези равенства са верни. Тоест 2+3≡5 и 7−1≡2 3 .
Нека да преминем към примери за идентичности, които съдържат не само числа, но и променливи в тяхното обозначение.
Да разгледаме равенството 3·(x+1)=3·x+3 . За всяка стойност на променливата x писменото равенство е вярно поради разпределителното свойство на умножението по отношение на събирането, следователно първоначалното равенство е пример за идентичност. Ето още един пример за самоличност: y (x−1)≡(x−1)x:x y 2:y, тук обхватът на приемливите стойности за променливите x и y е всички двойки (x, y) , където x и y са произволни числа с изключение на нула.
Но равенствата x+1=x−1 и a+2 b=b+2 a не са идентичности, тъй като има стойности на променливите, за които тези равенства ще бъдат неправилни. Например, за x=2, равенството x+1=x−1 се превръща в грешно равенство 2+1=2−1 . Освен това равенството x+1=x−1 изобщо не се постига за никакви стойности на променливата x. И равенството a+2·b=b+2·a ще се превърне в неправилно равенство, ако вземем различни стойности на променливите a и b. Например при a=0 и b=1 ще стигнем до грешното равенство 0+2 1=1+2 0 . Равенство |x|=x , където |x| - променлива x , също не е идентичност, тъй като не е вярна за отрицателни стойности на x .
Примери за най-известните идентичности са sin 2 α+cos 2 α=1 и log a b =b.
В заключение на тази статия бих искал да отбележа, че когато изучаваме математика, ние постоянно се сблъскваме с идентичности. Записите на свойствата на числово действие са идентичности, например a+b=b+a, 1 a=a, 0 a=0 и a+(−a)=0. Освен това самоличностите са
тема "Доказателства за самоличност» 7 клас (KRO)
Учебник Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г.
Цели на урока
Образователни:
да се запознаят и първоначално затвърдят понятията "идентично равни изрази", "тъждественост", "тъждествени преобразувания";
да обмислят начини за доказване на самоличност, да допринесат за развитието на умения за доказване на самоличност;
да се провери усвояването на обхванатия материал от учениците, да се формират умения за прилагане на изученото за възприемане на новото.
Разработване:
Развийте компетентна математическа реч на учениците (обогатете и усложнете речника при използване на специални математически термини),
развиват мисленето,
Образователни: да се култивира трудолюбие, точност, коректност на записване на решението на упражненията.
Тип урок: изучаване на нов материал
По време на часовете
1 . Организиране на времето.
Проверка на домашните.
Въпроси за домашна работа.
Дебрифинг на дъската.
Необходима математика
Без нея не може
Ние учим, ние учим, приятели,
Какво си спомняме сутрин?
2 . Да направим една тренировка.
Резултат от добавянето. (сума)
Колко числа знаете? (десет)
Стотна от числото. (процент)
резултат от разделението? (Лично)
Най-малкото естествено число? (един)
Възможно ли е да се получи нула при деление на естествени числа? (Не)
Кое е най-голямото отрицателно цяло число. (-едно)
На какво число не може да се дели? (0)
Резултат от умножение? (Работа)
Резултатът от изваждането. (Разлика)
Комутативно свойство на събирането. (Сборът не се променя от пренареждането на местата на членовете)
Комутативно свойство на умножението. (Произведението не се променя от пермутацията на местата на факторите)
Изучаване на нова тема (дефиниция с бележка в тетрадка)
Намерете стойността на изразите при x=5 и y=4
3(x+y)=3(5+4)=3*9=27
3x+3y=3*5+3*4=27
Получихме същия резултат. От разпределителното свойство следва, че като цяло за всякакви стойности на променливите стойностите на изразите 3(x + y) и 3x + 3y са равни.
Помислете сега за изразите 2x + y и 2xy. За x=1 и y=2 те приемат равни стойности:
Можете обаче да зададете стойности x и y, така че стойностите на тези изрази да не са равни. Например, ако x=3, y=4, тогава
Определение: Два израза, чиито стойности са равни за всякакви стойности на променливите, се наричат идентично равни.
Изразите 3(x+y) и 3x+3y са идентично равни, но изразите 2x+y и 2xy не са идентично равни.
Равенството 3(x + y) и 3x + 3y е вярно за всякакви стойности на x и y. Такива равенства се наричат тъждества.
определение:Равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите, се нарича идентичност.
Истинските числени равенства също се считат за идентичности. Вече се срещнахме с идентичности. Тъждествата са равенства, които изразяват основните свойства на действията върху числата (Учениците коментират всяко свойство, като го произнасят).
a + b = b + a
ab=ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac
Дайте други примери за идентичности
Определение: Замяната на един израз с друг, тъждествено равен на него, се нарича тъждествено преобразуване или просто преобразуване на израз.
Идентични трансформации на изрази с променливи се извършват въз основа на свойствата на операциите с числа.
Трансформациите на идентичност на изрази се използват широко при изчисляване на стойностите на изрази и решаване на други проблеми. Вече трябваше да извършите някои идентични трансформации, например намаляване на подобни членове, разширяване на скоби.
5 . № 691, № 692 (с произношение на правилата за отваряне на скоби, умножаване на отрицателни и положителни числа)
Тъждества за избор на рационално решение:(предна работа)
6 . Обобщаване на урока.
Учителят задава въпроси, а учениците отговарят по свое желание.
Кои два израза се наричат тъждествено равни? Дай примери.
Какво равенство се нарича идентичност? Дай пример.
Какви тъждествени трансформации знаете?
7. Домашна работа. Научете дефиниции, Дайте примери за еднакви изрази (поне 5), запишете ги в тетрадка
В хода на изучаване на алгебра се натъкнахме на концепциите за полином (например ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ и т.н.) и алгебрична дроб (например $\frac(x+5)(x )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ и т.н.) Сходството на тези понятия е, че както в полиномите, така и в алгебричните дроби има променливи и числови стойности, аритметични действия: събиране, изваждане, умножение, степенуване. Разликата между тези понятия е, че при полиномите не се извършва деление по променлива, а при алгебричните дроби може да се извърши деление по променлива.
Както полиномите, така и алгебричните дроби се наричат рационални алгебрични изрази в математиката. Но полиномите са цели рационални изрази, а алгебричните дробни изрази са дробно рационални изрази.
Възможно е да се получи цял алгебричен израз от дробно-рационален израз, като се използва идентичното преобразуване, което в този случай ще бъде основното свойство на дроб - намаляване на дроби. Нека да го проверим на практика:
Пример 1
Трансформиране:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$
Решение:Това дробно-рационално уравнение може да бъде преобразувано чрез използване на основното свойство на дробното съкращаване, т.е. деление на числителя и знаменателя на едно и също число или израз, различен от $0$.
Тази дроб не може да бъде намалена веднага, необходимо е да се преобразува числителят.
Преобразуваме израза в числителя на дробта, като за целта използваме формулата за квадрат на разликата: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$
Дробта има формата
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]
Сега виждаме, че има общ множител в числителя и знаменателя - това е изразът $x-2$, върху който ще намалим дробта
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]
След редукция получихме, че първоначалният дробно-рационален израз $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ се е превърнал в полином $x-2$, т.е. изцяло рационално.
Сега нека обърнем внимание на факта, че изразите $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ и $x-2\ $ могат да се считат за идентични не за всички стойности на променливата, т.к. за да съществува дробно-рационален израз и да е възможно редуцирането с многочлена $x-2$, знаменателят на дробта не трябва да е равен на $0$ (както и коефициентът, с който редуцираме. В в този пример, знаменателят и факторът са еднакви, но това не винаги е така).
Променливите стойности, за които ще съществува алгебричната дроб, се наричат валидни променливи стойности.
Поставяме условие за знаменателя на дробта: $x-2≠0$, след това $x≠2$.
Така че изразите $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ и $x-2$ са идентични за всички стойности на променливата с изключение на $2$.
Определение 1
идентично равниИзразите са тези, които са равни за всички възможни стойности на променливата.
Идентично преобразуване е всяко заместване на оригиналния израз с идентично равен.Такива преобразувания включват извършване на действия: събиране, изваждане, умножение, изваждане на общ множител от скоби, привеждане на алгебрични дроби към общ знаменател, редуциране на алгебрични дроби, привеждане като условия и т.н. Трябва да се има предвид, че редица трансформации, като намаляване, намаляване на подобни условия, могат да променят допустимите стойности на променливата.
Техники, използвани за доказване на самоличност
Преобразувайте лявата страна на самоличността в дясната страна или обратно, като използвате трансформации на самоличността
Намалете двете части до един и същи израз, като използвате идентични трансформации
Прехвърлете изразите от една част на израза в друга и докажете, че получената разлика е равна на $0$
Кой от горните методи да се използва за доказване на дадена самоличност зависи от оригиналната самоличност.
Пример 2
Докажете идентичността $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$
Решение:За да докажем това тъждество, използваме първия от горните методи, а именно ще трансформираме лявата страна на тъждеството, докато стане равно на дясната страна.
Помислете за лявата страна на идентичността: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- това е разликата на два полинома. В този случай първият полином е квадратът на сумата от три члена.За да повдигнем на квадрат сбора от няколко члена, използваме формулата:
\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]
За да направим това, трябва да умножим число по полином. Припомнете си, че за това трябва да умножим общия множител извън скобите по всеки член на полинома в скоби. Тогава получаваме:
$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$
Сега обратно към оригиналния полином, той ще приеме формата:
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$
Имайте предвид, че има знак „-“ пред скобата, което означава, че когато скобите се отворят, всички знаци, които са били в скобите, се обръщат.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$
Ако приведем подобни членове, тогава получаваме, че мономите $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ и $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ взаимно се компенсират, т.е. тяхната сума е равна на $0$.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$
И така, чрез идентични трансформации получихме идентичния израз от лявата страна на оригиналната идентичност
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$
Имайте предвид, че полученият израз показва, че оригиналната идентичност е вярна.
Обърнете внимание, че в оригиналната идентичност всички стойности на променливата са разрешени, което означава, че сме доказали идентичността с помощта на идентични трансформации и е вярно за всички разрешени стойности на променливата.
Ораторското изкуство като първообраз на журналистиката
Цитати за Наполеон - dslinkov — LiveJournal
Аз отмъщение Човекът на булдозера унищожи града