Кинетична енергия по време на въртене. Кинетична енергия при въртеливо движение

Кинетична енергияе добавъчно количество. Следователно кинетичната енергия на тяло, движещо се по произволен начин, е равна на сумата от кинетичните енергии на всички n материални точкина които това тяло може да бъде разделено мислено:

Ако тялото се върти около фиксирана ос z с ъглова скорост, след това линейната скорост i-та точка , Ri е разстоянието до оста на въртене. Следователно,

Сравнявайки и може да се види, че инерционният момент на тялото I е мярка за инерция при въртеливо движение, точно както масата m е мярка за инерция при постъпателно движение.

AT общ случайдвижението на твърдо тяло може да се представи като сума от две движения - постъпателно със скорост vc и въртеливо с ъглова скорост ω около моментната ос, минаваща през центъра на инерцията. Тогава общата кинетична енергия на това тяло

Тук Ic е инерционният момент около моментната ос на въртене, минаваща през центъра на инерцията.

Основният закон на динамиката на въртеливото движение.

Динамика на въртене

Основният закон на динамиката на ротационното движение:

или M=Je, където M е моментът на силата M=[r F], J -инерционният момент е моментът на импулса на тялото.

ако M(external)=0 - законът за запазване на ъгловия момент. - кинетична енергия на въртящо се тяло.

ротационна работа.

Закон за запазване на ъгловия момент.

Ъгловият импулс (импулс) на материалната точка А спрямо фиксирана точкаО, обади се физическо количество, определен от векторния продукт:

където r е радиус-векторът, прекаран от точка O до точка A, p=mv е импулсът на материалната точка (фиг. 1); L е псевдовектор, чиято посока е същата като посоката движение напреддесния винт по време на въртенето му от r към p.

Модул на вектора на импулса

където α е ъгълът между векторите r и p, l е рамото на вектора p спрямо точка O.

Ъгловият момент около фиксираната ос z се нарича скаларен Lz, равна на проекцията върху тази ос на вектора на ъгловия момент, определен спрямо произволна точкаотносно тази ос. Ъгловият импулс Lz не зависи от положението на точката O върху оста z.

Когато абсолютно твърдо тяло се върти около фиксирана ос z, всяка точка от тялото се движи по окръжност с постоянен радиус ri със скорост vi. Скоростта vi и импулсът mivi са перпендикулярни на този радиус, т.е. радиусът е рамото на вектора mivi. Така че можем да запишем, че ъгловият импулс на отделна частица е

и е насочена по оста в посоката, определена от правилото на десния винт.

Импулсът на твърдо тяло спрямо оста е сборът от импулсите на отделните частици:

Използвайки формулата vi = ωri, получаваме

По този начин ъгловият момент на твърдо тяло около ос е равен на инерционния момент на тялото около същата ос, умножен по ъгловата скорост. Нека диференцираме уравнение (2) по отношение на времето:

Тази формула е друга форма на уравнението на динамиката на въртеливото движение на твърдо тяло около фиксирана ос: производната на ъгловия момент на твърдо тяло около ос е равна на момента на силите около същата ос.

Може да се покаже, че векторното равенство е в сила

В затворена система моментът на външните сили е M = 0 и откъдето

Израз (4) е законът за запазване на ъгловия импулс: ъгловият импулс на затворена система се запазва, т.е. не се променя с времето.

Законът за запазване на ъгловия момент, както и законът за запазване на енергията, е основен закон на природата. Тя е свързана със свойството симетрия на пространството - неговата изотропност, т.е. физични законипо отношение на избора на посоката на координатните оси на референтната система (спрямо въртенето на затворена система в пространството с произволен ъгъл).

Тук ще демонстрираме закона за запазване на ъгловия импулс с помощта на пейката на Жуковски. Мъж, седнал на пейка, въртящ се наоколо вертикална ос, и държащ дъмбели в протегнати ръце (фиг. 2), се върти от външен механизъм с ъглова скорост ω1. Ако човек притисне дъмбелите към тялото, тогава инерционният момент на системата ще намалее. Но моментът на външните сили е равен на нула, ъгловият момент на системата се запазва и ъгловата скорост на въртене ω2 се увеличава. По същия начин гимнастикът, докато скача над главата си, приближава ръцете и краката си до тялото, за да намали инерционния си момент и по този начин да увеличи ъгловата скорост на въртене.

Налягане в течност и газ.

Газовите молекули, извършващи хаотично, хаотично движение, не са свързани или по-скоро слабо свързани от сили на взаимодействие, поради което се движат почти свободно и в резултат на сблъсъци се разпръскват във всички посоки, като същевременно запълват целия предоставен им обем, т.е. обемът на газа се определя от обема на съда, зает от газа.

И течността, имайки определен обем, приема формата на съда, в който е затворена. Но за разлика от газовете в течностите, средното разстояние между молекулите остава средно постоянно, така че течността има почти постоянен обем.

Свойствата на течностите и газовете са много различни в много отношения, но в няколко механични явлениятехните свойства се определят от едни и същи параметри и идентични уравнения. Поради тази причина хидроаеромеханиката е дял от механиката, който изучава равновесието и движението на газове и течности, взаимодействието между тях и между обтичащите ги твърди тела, т.е. приложено единен подходза изследване на течности и газове.

В механиката течностите и газовете се разглеждат с висока степен на точност като непрекъснати, непрекъснато разпределени в заетата от тях част от пространството. При газовете плътността значително зависи от налягането. Установено от опит. че свиваемостта на течността и газа често може да бъде пренебрегната и е препоръчително да се използва едно понятие - несвиваемостта на течността - течност с еднаква плътност навсякъде, която не се променя с времето.

Нека поставим в тънка чиния в покой, в резултат на това, части от течността, разположени по дължината различни страниот плочата, ще действа върху всеки от нейните елементи ΔS със сили ΔF, които ще бъдат равни по големина и насочени перпендикулярно на площадката ΔS, независимо от ориентацията на площадката, в противен случай наличието на тангенциални сили би поставило флуидните частици в движение (фиг. 1)

Определено физическо количество нормална сила, действащо от страната на течността (или газа) на единица площ, се нарича налягане p / течност (или газ): p=ΔF/ΔS.

Единицата за налягане е паскал (Pa): 1 Pa е равен на налягането, създадено от сила от 1 N, която е равномерно разпределена върху повърхност от 1 m2, нормална към нея (1 Pa = 1 N/m2).

Налягането при равновесие на течности (газове) се подчинява на закона на Паскал: налягането във всяко място на течност в покой е еднакво във всички посоки и налягането се предава равномерно в целия обем, зает от течността в покой.

Нека изследваме ефекта на теглото на течност върху разпределението на налягането вътре в неподвижна несвиваема течност. Когато една течност е в равновесие, налягането по всяка хоризонтална линия е винаги еднакво, в противен случай няма да има равновесие. Това означава, че свободната повърхност на течност в покой винаги е хоризонтална (не вземаме предвид привличането на течността от стените на съда). Ако течността е несвиваема, тогава плътността на течността не зависи от налягането. След това при напречно сечение S на течния стълб, неговата височина h и плътност ρ тегло P=ρgSh, докато налягането върху долната основа: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

т.е. налягането се променя линейно с надморската височина. Налягането ρgh се нарича хидростатично налягане.

Съгласно формула (1), силата на натиск върху долните слоеве на течността ще бъде по-голяма, отколкото върху горните, следователно сила, определена от закона на Архимед, действа върху тяло, потопено в течност (газ): нагоре плаващ сила, равна на теглото на течността (газа), изместена от тялото: FA = ρgV, където ρ е плътността на течността, V е обемът на тялото, потопено в течността.

1. Помислете за въртенето на тялото наоколо неподвиженос Z. Нека разделим цялото тяло на набор от елементарни маси m аз. Скорост на линиятаелементарна маса m аз– v i = w R аз, където Р аз– разстояние на маса m азот оста на въртене. Следователно кинетичната енергия аз-та елементарна маса ще бъде равна на . Обща кинетична енергия на тялото: , тук е инерционният момент на тялото около оста на въртене.

По този начин кинетичната енергия на тяло, въртящо се около фиксирана ос, е:

2. Нека тялото сега върти сеоколо някаква ос и оста се движипрогресивно, оставайки успореден на себе си.

НАПРИМЕР: Топка, търкаляща се без плъзгане, извършва въртеливо движение, а нейният център на тежестта, през който минава оста на въртене (точка "О") се премества напред (фиг. 4.17).

Скорост аз-че елементарната маса на тялото е равна на , където е скоростта на някаква точка "О" на тялото; – радиус-вектор, който определя положението на елементарната маса спрямо точката “О”.

Кинетичната енергия на елементарна маса е равна на:

ЗАБЕЛЕЖКА: векторното произведение съвпада по посока с вектора и има модул, равен на (фиг. 4.18).

Като вземем предвид тази забележка, можем да напишем това , където е разстоянието на масата от оста на въртене. Във втория член правим циклична пермутация на факторите, след което получаваме

За да получим общата кинетична енергия на тялото, ние сумираме този израз върху всички елементарни маси, като изваждаме постоянните множители от знака за сумата. Вземете

Сумата от елементарните маси е масата на тялото "m". Изразът е равен на произведението на масата на тялото и радиуса на вектора на инерционния център на тялото (по дефиницията на инерционния център). И накрая, - инерционният момент на тялото около оста, минаваща през точката "О". Следователно човек може да пише

Ако приемем инерционния център на тялото "C" за точка "O", радиус векторът ще бъде равен на нула и вторият член ще изчезне. След това, обозначавайки чрез - скоростта на центъра на инерцията и чрез - инерционния момент на тялото спрямо оста, минаваща през точката "C", получаваме:

(4.6)

По този начин кинетичната енергия на тялото по време на равнинно движение се състои от енергията на транслационното движение със скорост, еднаква скоростцентърът на инерцията и енергията на въртене около ос, минаваща през центъра на инерцията на тялото.

Работата на външните сили по време на въртеливото движение на твърдо тяло.

Намерете работата, извършена от силите, когато тялото се върти около фиксираната ос Z.

Нека вътрешна сила и външна сила действат върху масата (резултантната сила лежи в равнина, перпендикулярна на оста на въртене) (фиг. 4.19). Тези сили правят във времето дтработа:

След като извършихме циклична пермутация на фактори в смесени продукти на вектори, намираме:

където , - съответно моментите на вътрешните и външните сили спрямо точката "О".

Сумирайки всички елементарни маси, получаваме елементарната работа, извършена върху тялото през времето дт:

Сумата от моментите на вътрешните сили е равна на нула. Тогава, означавайки общия момент на външните сили чрез , стигаме до израза:

Известно е, че скаларно произведениедва вектора се нарича скалар, равно на произведениетомодулът на един от умножените вектори чрез проекцията на втория върху посоката на първия, като се има предвид, че , (посоките на оста Z и съвпадат), получаваме

но w дт=д j, т.е. ъгълът, под който тялото се завърта във времето дт. Ето защо

Знакът на произведението зависи от знака на M z , т.е. от знака на проекцията на вектора върху посоката на вектора .

И така, когато тялото се върти вътрешни силине се извършва работа, а работата на външните сили се определя по формулата .

Работи за крайна педявремето се намира чрез интегриране

Ако проекцията на резултантния момент на външните сили върху посоката остане постоянна, тогава тя може да бъде извадена от интегралния знак:

, т.е. .

Тези. работата на външна сила по време на въртеливото движение на тялото е равна на произведението на проекцията на момента на външната сила и посоката и ъгъла на въртене.

От друга страна, работата на външната сила, действаща върху тялото, отива към нарастването на кинетичната енергия на тялото (или е равна на изменението на кинетичната енергия на въртящото се тяло). Нека го покажем:

;

Следователно,

. (4.7)

сам:

Еластични сили;

Закон на Хук.

ЛЕКЦИЯ 7

Хидродинамика

Токопроводи и тръби.

Хидродинамиката изучава движението на течности, но нейните закони важат и за движението на газовете. В стационарен флуиден поток скоростта на неговите частици във всяка точка на пространството е величина, независима от времето и функция на координатите. В стационарен поток траекториите на флуидните частици образуват линия на потока. Наборът от линии на обтекание образува тръба на потока (фиг. 5.1). Приемаме, че течността е несвиваема, тогава обемът на течността, протичаща през секциите С 1 и С 2 ще бъде същото. За секунда обем течност, равен на

, (5.1)

където и са скоростите на течността в напречните сечения С 1 и С 2 , а векторите и са определени като и , където и са нормалите към сеченията С 1 и С 2. Уравнение (5.1) се нарича уравнение за непрекъснатост на струята. От това следва, че скоростта на течността е обратно пропорционална на напречното сечение на текущата тръба.

Уравнение на Бернули.

Ще разгледаме идеална несвиваема течност, в която няма вътрешно триене (вискозитет). Нека отделим тънка тръба от ток в неподвижна течаща течност (фиг. 5.2) с напречни сечения S1и S2перпендикулярно на токовите линии. в раздел 1 за кратко време Tчастиците се преместват на разстояние l 1, и в раздела 2 - от разстояние l 2. През двата участъка във времето Tще преминат равни малки обеми течност V= V 1 = V 2и носят много течности m=rV, където rе плътността на течността. Цялостна промяна механична енергияна цялата течност в тръбата за поток между секциите S1и S2, случило се през времето T, може да бъде заменено от промяната в обемната енергия V, което се случи, когато се премести от раздел 1 в раздел 2. При такова движение кинетичните и потенциална енергиятози обем и общата промяна в неговата енергия

, (5.2)

където v 1 и v 2 - скорост на флуидните частици в сечения S1и S2съответно; ж- ускорение земно притегляне; h1и h2- височини на центъра на секциите.

AT идеална течностняма загуби от триене, така че увеличението на енергията DEтрябва да бъде равна на работата, извършена от силите на натиск върху определения обем. При липса на сили на триене тази работа:

Приравнявайки десните части на равенствата (5.2) и (5.3) и прехвърляйки членовете със същите индекси към една част от равенството, получаваме

. (5.4)

Тръбни секции S1и S2бяха взети произволно, така че може да се твърди, че изразът е валиден във всяка секция на текущата тръба

. (5.5)

Уравнение (5.5) се нарича уравнение на Бернули. За хоризонтална рационализация ч = const,и равенството (5.4) приема формата

r /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

тези. налягането е по-малко в онези точки, където скоростта е по-голяма.

Сили на вътрешно триене.

Вискозитетът е присъщ на истинската течност, което се проявява във факта, че всяко движение на течност и газ спонтанно спира при липса на причините, които са го причинили. Нека разгледаме експеримент, при който течен слой е разположен над неподвижна повърхност, а плоча, плаваща върху него с повърхност, се движи от над него със скорост С(фиг. 5.3). Опитът показва, че за да преместите чинията с постоянна скоростнеобходимо е да се действа със сила. Тъй като плочата не получава ускорение, това означава, че действието на тази сила се балансира от друга сила, равна на нея по големина и противоположно насочена, която е силата на триене . Нютон показа, че силата на триене

, (5.7)

където д- дебелина на течния слой, h - коефициент на вискозитет или коефициент на триене на течността, знакът минус отчита различната посока на векторите F trи vо. Ако изследваме скоростта на частиците течност в различни места на слоя, се оказва, че тя се променя по линеен закон (фиг. 5.3):

v(z) = (v 0 /d) z.

Диференцирайки това равенство, получаваме dv/dz= v 0 /д. Имайки това предвид

формула (5.7) приема формата

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

където ч- динамичен коефициент на вискозитет. Стойност dv/dzнаречен градиент на скоростта. Показва колко бързо се променя скоростта по посока на оста z. При dv/dz= const градиентът на скоростта е числено равен на промяната на скоростта vкогато се промени zза единица. Поставяме числено във формула (5.8) dv/dz =-1 и С= 1, получаваме ч = Е. това предполага физическо значение h: коефициентът на вискозитет е числено равен на силата, която действа върху течен слой с единица площ с градиент на скоростта, равно на едно. SI единицата за вискозитет се нарича паскал секунда (означава се Pa s). В системата CGS единицата за вискозитет е 1 поаз (P), като 1 Pa s = 10P.

Механика.

Въпрос 1

Справочна система. Инерциални референтни системи. Принципът на относителността на Галилео-Айнщайн.

справочна система- това е набор от тела, по отношение на които се описва движението на дадено тяло и свързаната с него координатна система.

Инерционна референтна система (ISO)- система, в която свободно движещо се тяло е в покой или равномерно праволинейно движение.

Принципът на относителността на Галилео-Айнщайн- Всички природни явления във всяка инерционна отправна система възникват по един и същи начин и имат едно и също математическа форма. С други думи, всички ISO са равни.

Въпрос #2

Уравнението на движението. Видове движение твърдо тяло. Основната задача на кинематиката.

Уравнения на движение на материална точка:

- кинематично уравнение на движението

Видове движение на твърдо тяло:

1) Постъпателно движение - всяка права линия, начертана в тялото, се движи успоредно на себе си.

2) Ротационно движение - всяка точка от тялото се движи в кръг.

φ = φ(t)

Основната задача на кинематиката- това е получаване на времевите зависимости на скоростта V= V(t) и координатите (или радиус-вектора) r = r(t) на материална точка от известната времева зависимост на нейното ускорение a = a(t) и познатото начални условия V 0 и r 0 .

Въпрос #7

Пулс (Брой движения) - векторна физическа величина, характеризираща мярката механично движениетяло. В класическата механика импулсът на тялото е равно на произведениетомаси мтова сочи неговата скорост v, посоката на импулса съвпада с посоката на вектора на скоростта:

AT теоретична механика обобщен импулсе частната производна на лагранжиана на системата по отношение на обобщената скорост

Ако лагранжианът на системата не зависи от някои обобщена координата, то поради Уравнения на Лагранж .

За свободна частица функцията на Лагранж има формата: , следователно:

Независимостта на лагранжиана на затворена система от нейното положение в пространството следва от свойството хомогенност на пространството: за една добре изолирана система нейното поведение не зависи от това къде в пространството я поставяме. от Теорема на Ньотертази хомогенност предполага запазване на някакво физическо количество. Тази величина се нарича импулс (обикновен, необобщен).

В класическата механика, пълно импулссистема от материални точки се нарича векторно количество, равно на сумата от произведенията на масите на материалните точки при тяхната скорост:

съответно количеството се нарича импулс на една материална точка. Това е векторна величина, насочена в същата посока като скоростта на частицата. Единицата за импулс в международна системаединици (SI) е килограм метър в секунда(kg m/s)

Ако имаме работа с тяло с краен размер, за да определим неговия импулс, е необходимо тялото да се раздели на малки части, които могат да се считат за материални точки и да се сумират върху тях, като резултат получаваме:

Инерцията на система, която не се влияе от външни сили (или те са компенсирани), запазенна време:

Запазването на импулса в този случай следва от втория и третия закон на Нютон: записването на втория закон на Нютон за всяка от материалните точки, които съставят системата, и сумирането му върху всички материални точки, които съставляват системата, по силата на третия закон на Нютон закон получаваме равенство (*).

AT релативистка механикатриизмерният импулс на система от невзаимодействащи си материални точки е количеството

където m i- тегло аз-та материална точка.

За затворена система от невзаимодействащи материални точки тази стойност се запазва. Въпреки това, триизмерният импулс не е релативистично инвариантно количество, тъй като зависи от референтната система. По-смислена стойност ще бъде четириизмерен импулс, който за една материална точка се определя като

На практика често се използват следните зависимости между масата, импулса и енергията на една частица:

По принцип за система от невзаимодействащи си материални точки техните 4-момента се сумират. Въпреки това, за взаимодействащи частици в релативистката механика трябва да се вземат предвид импулсите не само на частиците, които изграждат системата, но и импулсът на полето на взаимодействие между тях. Следователно, много по-значима величина в релативистката механика е тензорът енергия-импулс, който напълно удовлетворява законите за запазване.

Въпрос #8

Момент на инерция- скаларна физическа величина, мярка за инерцията на тялото при въртеливо движение около ос, точно както масата на тялото е мярка за неговата инерция при транслационно движение. Характеризира се с разпределението на масите в тялото: инерционният момент е равно на суматапроизведения на елементарни маси по квадрата на техните разстояния до базовия набор

Аксиален инерционен момент

Осови моменти на инерция на някои тела.

Инерционният момент на механична системаспрямо фиксирана ос ("аксиален момент на инерция") се нарича стойност Я аравна на сбора от произведенията на масите на всички нматериални точки на системата в квадратите на техните разстояния до оста:

m i- тегло аз-та точка,
r i- разстояние от аз-та точка спрямо оста.

Аксиален момент на инерциятяло Я ае мярка за инерцията на тяло при въртеливо движение около ос, точно както масата на тялото е мярка за неговата инерция при транслационно движение.

дм = ρ dV- маса на малък обемен елемент на тялото dV,
ρ - плътност,
r- разстояние от елемента dVкъм ос а.

Ако тялото е хомогенно, тоест неговата плътност е еднаква навсякъде, тогава

Извеждане на формула

дми моменти на инерция DJ i. Тогава

Тънкостенен цилиндър (пръстен, обръч)

Извеждане на формула

Инерционният момент на тялото е равен на сумата от инерционните моменти на съставните му части. Разделяне на тънкостенен цилиндър на елементи с маса дми моменти на инерция DJ i. Тогава

Тъй като всички елементи на тънкостенен цилиндър са на едно и също разстояние от оста на въртене, формула (1) се преобразува във формата

Теорема на Щайнер

Момент на инерцияна твърдо тяло спрямо която и да е ос зависи не само от масата, формата и размерите на тялото, но и от положението на тялото по отношение на тази ос. Според теоремата на Щайнер (теорема на Хюйгенс-Щайнер), момент на инерциятяло Джспрямо произволна ос е равно на сумата момент на инерциятова тяло Jcспрямо оста, минаваща през центъра на масата на тялото, успоредна на разглежданата ос, и произведението на масата на тялото мна квадратно разстояние дмежду осите:

Ако е инерционният момент на тялото спрямо ос, минаваща през центъра на масата на тялото, то инерционният момент спрямо успоредна ос, разположена на разстояние от нея, е равен на

където е общата маса на тялото.

Например, инерционният момент на прът около ос, минаваща през края му, е:

Ротационна енергия

Кинетична енергия на въртеливото движение- енергията на тялото, свързана с неговото въртене.

Основен кинематични характеристикивъртеливо движение на тялото - неговата ъглова скорост (ω) и ъглово ускорение. Основните динамични характеристики на въртеливото движение са ъгловият момент около оста на въртене z:

Kz = Изω

и кинетична енергия

където I z е инерционният момент на тялото около оста на въртене.

Подобен пример може да се намери, когато се разглежда въртяща се молекула с главни оси на инерция аз 1, аз 2и аз 3. Ротационната енергия на такава молекула се дава от израза

където ω 1, ω 2, и ω 3са основните компоненти на ъгловата скорост.

В общия случай енергията при въртене с ъглова скорост се намира по формулата:

, където азе тензорът на инерцията.

Въпрос #9

момент на импулс (ъглов момент, ъглов момент, орбитален момент, ъглов момент) характеризира количеството на въртеливото движение. Количество, което зависи от това колко маса се върти, как е разпределена около оста на въртене и колко бързо се извършва въртенето.

Трябва да се отбележи, че ротацията тук се разбира от гледна точка на широк смисъл, не само като редовно въртене около ос. Например дори когато праволинейно движениетяло покрай произволна въображаема точка, която не лежи на линията на движение, то също има ъглов момент. Може би най-голяма роля играе ъгловият импулс при описание на действителното въртеливо движение. Той обаче е изключително важен за много по-широк клас проблеми (особено ако проблемът има централна или аксиална симетрия, но не само в тези случаи).

Закон за запазване на импулса(закон за запазване на ъгловия момент) - векторната сума на всички ъглови моменти около всяка ос за затворена система остава постоянна в случай на равновесие на системата. В съответствие с това ъгловият импулс на затворена система по отношение на всяка невремева производна на ъгловия импулс е моментът на силата:

По този начин изискването за затваряне на системата може да бъде отслабено до изискването основният (общ) момент на външните сили да бъде равен на нула:

където е моментът на една от силите, приложени към системата от частици. (Но разбира се, ако изобщо няма външни сили, това изискване също е изпълнено).

Математически, законът за запазване на ъгловия момент следва от изотропията на пространството, тоест от инвариантността на пространството по отношение на завъртането през произволен ъгъл. При завъртане на произволен безкрайно малък ъгъл радиус-векторът на частицата с номер ще се промени с , а скоростите - . Функцията на Лагранж на системата няма да се промени по време на такова въртене, поради изотропията на пространството. Ето защо

Основните динамични характеристики на въртеливото движение са ъгловият момент около оста на въртене z:

и кинетична енергия

В общия случай енергията при въртене с ъглова скорост се намира по формулата:

, където е тензорът на инерцията.

В термодинамиката

По абсолютно същите разсъждения, както в случая на транслационно движение, равноразпределението предполага, че при термично равновесие средната ротационна енергия на всяка частица от моноатомен газ е: (3/2)k B T. По подобен начин теоремата за равноразпределение позволява да се изчисли средноквадратичната ъглова скорост на молекулите.

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "енергия на въртеливо движение" в други речници:

Този термин има други значения, вижте Енергия (значения). Енергия, измерение ... Уикипедия

ДВИЖЕНИЯ- ДВИЖЕНИЯ. Съдържание: Геометрия D..................452 Кинематика D.................456 Динамика D. ...................461 Двигателни механизми ......................465 Методи за изучаване на Д. на човек ..........471 Патология Г. на човек ............. 474 ... ... Голяма медицинска енциклопедия

Кинетичната енергия е енергията на механична система, която зависи от скоростта на движение на нейните точки. Често разпределя кинетичната енергия на транслационно и ротационно движение. По-точно, кинетичната енергия е разликата между общата ... ... Wikipedia

Топлинно движение на α пептида. Сложното треперещо движение на атомите, които изграждат пептида, е произволно и енергията на отделен атом варира в широк диапазон, но с помощта на закона за равноразпределение се изчислява като средната кинетична енергия на всеки ... ... Wikipedia

- (френски marées, немски Gezeiten, английски tides) периодични колебаниянивото на водата поради привличането на луната и слънцето. Главна информация. П. е най-забележима по бреговете на океаните. Веднага след отслабването на най-големия отлив, нивото на океана започва да ... ... енциклопедичен речникЕ. Brockhaus и I.A. Ефрон

Хладилен съд Ivory Tirupati първоначалната стабилност е отрицателна Способността за стабилност ... Wikipedia

Хладилен кораб Слонова кост Тирупати първоначалната стабилност е отрицателна Стабилност способността на плаващ кораб да устои външни сили, карайки го да се търкаля или подрязва и да се връща в състояние на равновесие в края на смущаващия ... ... Wikipedia

Кинетичната енергия на въртящо се тяло е равна на сумата от кинетичните енергии на всички частици на тялото:

Масата на всяка частица, нейната линейна (околна) скорост, пропорционална на разстоянието на тази частица от оста на въртене. Замествайки в този израз и изваждайки общата за всички частици ъглова скорост o от знака на сумата, намираме:

Тази формула за кинетичната енергия на въртящо се тяло може да се сведе до вид, подобен на израза за кинетичната енергия на постъпателното движение, ако въведем стойността на така наречения инерционен момент на тялото. Инерционният момент на материална точка е произведението на масата на точката и квадрата на нейното разстояние от оста на въртене. Инерционният момент на тялото е сумата от инерционните моменти на всички материални точки на тялото:

И така, кинетичната енергия на въртящо се тяло се определя по следната формула:

Формула (2) се различава от формулата за определяне на кинетичната енергия на тялото при постъпателно движение по това, че вместо масата на тялото тук влиза инерционният момент I и вместо скоростта груповата скорост

Голямата кинетична енергия на въртящия се маховик се използва в технологията за поддържане на равномерността на машината при внезапно променящо се натоварване. Първоначално, за да доведе до въртене маховика с голям инерционен момент, машината изисква значително количество работа, но когато внезапно се включи голямо натоварване, машината не спира и върши работа поради запаса от кинетична енергия на маховика .

Особено масивни маховици се използват във валцови мелници, задвижвани от електрически двигател. Ето описание на едно от тези колела: „Колелото е с диаметър 3,5 m и тежи. При нормална скорост от 600 rpm кинетичната енергия на колелото е такава, че по време на търкаляне колелото дава на мелницата мощност от 20 000 литра. с. Триенето в лагерите е сведено до минимум чрез приказка под налягане, а за да се избегне вредното въздействие на центробежните инерционни сили, колелото е балансирано така, че натоварването, поставено върху обиколката на колелото, го извежда от покой.

Представяме (без да извършваме изчисления) стойностите на инерционните моменти на някои тела (приема се, че всяко от тези тела има еднаква плътност във всичките си секции).

Инерционният момент на тънък пръстен около ос, минаваща през неговия център и перпендикулярна на неговата равнина (фиг. 55):

Инерционният момент на кръгъл диск (или цилиндър) около ос, минаваща през неговия център и перпендикулярна на неговата равнина (полярният инерционен момент на диска; фиг. 56):

Инерционният момент на тънък кръгъл диск около ос, съвпадаща с неговия диаметър (екваториален инерционен момент на диска; фиг. 57):

Инерционният момент на топката около оста, минаваща през центъра на топката:

Инерционният момент на тънък сферичен слой с радиус около ос, минаваща през центъра:

Инерционният момент на дебел сферичен слой (куха топка с радиус на външната повърхност и радиус на кухината) около ос, минаваща през центъра:

Изчисляването на инерционните моменти на телата се извършва с помощта на интегрално смятане. За да дадем представа за хода на такива изчисления, намираме инерционния момент на пръта спрямо оста, перпендикулярна на него (фиг. 58). Нека има разрез на пръта, плътност. Отделяме елементарно малка част от пръта, която има дължина и се намира на разстояние x от оста на въртене. Тогава неговата маса Тъй като е на разстояние x от оста на въртене, тогава неговият инерционен момент Интегрираме от нула до I:

Момент на инерция кубоидоколо оста на симетрия (фиг. 59)

Инерционният момент на пръстеновидния тор (фиг. 60)

Нека разгледаме как енергията на въртене на тяло, търкалящо се (без плъзгане) по равнината, е свързана с енергията на транслационното движение на това тяло,

Енергията на постъпателното движение на търкалящо се тяло е , където е масата на тялото и скоростта на постъпателното движение. Нека означава ъгловата скорост на въртене на търкалящото се тяло и радиуса на тялото. Лесно е да се разбере, че скоростта на постъпателното движение на тялото, което се търкаля без плъзгане, е равна на периферната скорост на тялото в точките на контакт на тялото с равнината (за времето, когато тялото прави един оборот, центърът на тежестта на тялото се премества на разстояние, следователно,

По този начин,

Ротационна енергия

Следователно,

Замествайки тук горните стойности на инерционните моменти, намираме, че:

а) енергията на въртеливото движение на търкалящия се обръч е равна на енергията на постъпателното му движение;

б) енергията на въртене на търкалящ се хомогенен диск е равна на половината от енергията на транслационното движение;

в) енергията на въртене на търкаляща се еднородна топка е енергията на постъпателното движение.

Зависимостта на инерционния момент от положението на оста на въртене.Нека прътът (фиг. 61) с център на тежестта в точка C се върти с ъглова скорост (o около оста O, перпендикулярна на равнината на чертежа. Да предположим, че за определен период от време той се е преместил от позиция A B до и центърът на тежестта описва дъга.Това движение на пръта може да се разглежда така, сякаш прътът първо транслационно (т.е. оставайки успореден на себе си) се е преместил в позиция и след това се е завъртял около C до позиция Нека обозначим (разстоянието на центъра на гравитацията от оста на въртене) с a, и ъгълът с Когато прътът се движи от положение А В положение, изместването на всяка от неговите частици е същото като изместването на центъра на тежестта, т.е. то е равно на или на получим действителното движение на пръта, можем да предположим, че и двете от тези движения се извършват едновременно. около оста, минаваща през O, може да се разложи на две части.