В чертеж с три проекции дълбочината на точката АА 2се проектира без изкривяване върху равнината P 1 и P 2 (фиг. 62, а).Това обстоятелство ни позволява да построим третата – фронтална проекция на точката НОпо своята хоризонтала A 1и челен А 2проекции (фиг. 62, в).За да направите това, чрез предната проекция на точката, трябва да начертаете хоризонтална линия на комуникация A 2 A 3 _|_A 2 A 1 .След това навсякъде на чертежа начертайте ос на проекциите П 2 / П 3 _|_ A 2 A 3,измерване на дълбочината f на точка върху хоризонтала проекционно поле и го оставете настрана по хоризонталната линия на комуникация от оста на проекциите P 2 /P 3 . Вземете профилна проекция A 3точки НО.

Така в сложен чертеж, състоящ се от три ортогонални проекции на точка, две проекции са на една и съща линия на комуникация; комуникационните линии са перпендикулярни на съответните проекционни оси; две проекции на точка напълно определят позицията на нейната трета проекция.

Трябва да се отбележи, че в сложните чертежи, като правило, проекционните равнини не са ограничени и тяхното положение се задава от осите (фиг. 62, c). В случаите, когато условията на проблема не изискват това

Оказва се, че проекциите на точки могат да бъдат дадени без изобразяване на оси (фиг. 63, а, б).Такава система се нарича безосновна. Комуникационните линии също могат да бъдат начертани с празнина (фиг. 63, b).

62.gif

Образ:

63.gif

Образ:

34. Положението на точка в пространството на триизмерен ъгъл

§ 34. Положението на точка в пространството на триизмерен ъгъл

Местоположението на проекциите на точките в сложния чертеж зависи от позицията на точката в пространството на триизмерен ъгъл. Нека разгледаме някои случаи:

• точката се намира в пространството (виж фиг. 62). В този случай той има дълбочина, височина и ширина;
• точката се намира на проекционната равнина П 1- няма височина, P 2 - няма дълбочина, Pz - няма ширина;
• точката е разположена на оста на проекциите, P 2 / P 1 няма дълбочина и височина, P 2 / P 3 - няма дълбочина и ширина и P 1 / P 3 няма височина и ширина.

35. Конкурентни точки

§ 35. Конкурентни точки

Две точки в пространството могат да бъдат разположени по различни начини. В конкретен случай те могат да бъдат разположени така, че техните проекции върху някаква проекционна равнина да съвпадат. Такива точки се наричат състезаващ се.На фиг. 64, ададен е сложен чертеж на точки НОи AT.Те са разположени така, че проекциите им да съвпадат върху равнината P 1 [A 1 \u003d= B 1].Такива точки се наричат хоризонтално конкуриращи се.Ако проекциите на точките А и Бсъвпадат на равнината

П 2(Фиг. 64, б)те се наричат фронтално състезателен.И ако проекциите на точките НОи ATсъвпадат в равнината P 3 [A 3 \u003d= B 3] (фиг. 64, c), те се наричат профил конкурентен.

Конкуриращите се точки определят видимостта в чертежа. Хоризонтално конкуриращите се точки ще видят тази с по-голяма височина, фронтално конкуриращите се - тази с по-голяма дълбочина, а профилно конкуриращите се - тази с по-голяма ширина.

64.gif

Образ:

36. Замяна на проекционни равнини

§ 36. Замяна на проекционни равнини

Свойствата на чертежа с три проекции на точка позволяват да се изгради трета върху други проекционни равнини, въведени вместо дадените, като се използват нейните хоризонтални и фронтални проекции.

На фиг. 65 апоказваща точка НОа проекциите му - хоризонтални A 1и челен A 2 .Съгласно условията на задачата е необходимо да се сменят равнините П 2 . Нека обозначим новата проекционна равнина P 4 и я поставим перпендикулярно П 1.В пресечната точка на равнини П 1и P 4 получаваме нова ос P 1 / P 4 . Нова точкова проекция A 4ще се намира на комуникационна линия, минаваща през точка A 1и перпендикулярно на оста P 1 / P 4 .

От новия самолет P 4замества равнината на фронталната проекция P 2 , височина на точката НОизобразени еднакво в цял ръст и в равнината P 2 и в равнината P 4 .

Това обстоятелство ни позволява да определим позицията на проекцията A 4 ,в системата от равнини П 1 _|_ P 4(Фиг. 65, б)на сложния чертеж. За да направите това, достатъчно е да измерите височината на точката на заменената равнина

sti проекция P 2, поставете го на нова линия на комуникация от новата ос на проекциите - и нова проекция на точката A 4ще бъде построена.

Ако се въведе нова проекционна равнина вместо хоризонталната проекционна равнина, т.е. P 4 _ | _ P 2 (фиг. 66, а),тогава в новата система от равнини новата проекция на точката ще бъде на същата линия на комуникация с фронталната проекция и A 2 A 4 _|_.В този случай дълбочината на точката е еднаква в равнината P 1,и в самолета P 4 .На тази основа те изграждат A 4(Фиг. 66, б)на комуникационната линия A 2 A 4на такова разстояние от новата ос P 1 / P 4 при какво A 1се намира от оста P 2 /P 1.

Както вече беше отбелязано, изграждането на нови допълнителни издатини винаги е свързано със специфични задачи. В бъдеще ще бъдат разгледани редица метрични и позиционни проблеми, решени с помощта на метода за замяна на проекционни равнини. В задачи, при които въвеждането на една допълнителна равнина няма да даде желания резултат, се въвежда друга допълнителна равнина, която се означава с P 5 . Поставя се перпендикулярно на вече въведената равнина P 4 (Фиг. 67, а), т.е. P 5 P 4 и създават конструкция, подобна на разгледаните по-рано. Сега разстоянията се измерват на заменената втора от основните проекционни равнини (на фиг. 67, bна повърхността П 1)и ги депозирайте на нова комуникационна линия A 4 A 5,от новата проекционна ос P 5 /P 4 . В новата система от равнини P 4 P 5 се получава нов двупроекционен чертеж, състоящ се от ортогонални проекции A 4и А 5 , свързани с комуникационна линия

Прожекционен апарат

Проекционният апарат (фиг. 1) включва три проекционни равнини:

π 1 -хоризонтална проекционна равнина;

π 2 -равнина на фронтална проекция;

№ 3– профилна равнина на проекции .

Проекционните равнини са взаимно перпендикулярни ( π 1^ π 2^ № 3), а техните пресечни линии образуват оси:

Пресичане на равнини π 1и π 2образуват ос 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

Пресичане на равнини π 1и № 3образуват ос 0Г (π 1∩ № 3 = 0Г);

Пресичане на равнини π 2и № 3образуват ос 0Z (π 2∩ № 3 = 0Z).

За референтна точка (точка 0) се приема пресечната точка на осите (ОХ∩OY∩OZ=0).

Тъй като равнините и осите са взаимно перпендикулярни, такъв апарат е подобен на декартовата координатна система.

Проекционните равнини разделят цялото пространство на осем октанта (на фиг. 1 те са обозначени с римски цифри). Проекционните равнини се считат за непрозрачни и зрителят винаги е вътре азти октан.

Проекция, ортогонална с проекционни центрове S1, S2и S3съответно за хоризонталната, фронталната и профилната проекционна равнина.

НО.

От прожекционни центрове S1, S2и S3излизат стърчащи греди l 1, l 2и l 3 НО

- A 1 НО;

- А 2 – предна проекцияточки НО;

- A 3– профилна проекция на точка НО.

Една точка в пространството се характеризира със своите координати А(x,y,z). точки A x, A yи азсъответно по осите 0X, 0Ги 0Zпокажи координати x, yи zточки НО. На фиг. 1 дава всички необходими обозначения и показва връзката между точката НОпространството, неговите проекции и координати.

точкова диаграма

Да начертая точка НО(фиг. 2), в проекционния апарат (фиг. 1) равнината π 1 A 1 0X π 2. След това самолетът № 3с точкова проекция A 3, завъртете обратно на часовниковата стрелка около оста 0Z, докато съвпадне с равнината π 2. Посока на въртене на равнините π 2и № 3показано на фиг. 1 стрели. В същото време директен A 1 A xи A 2 A x 0Xперпендикулярен A 1 A 2, и прави линии A 2 A xи A 3 A xще бъдат разположени общо с оста 0Zперпендикулярен A 2 A 3. Тези редове ще бъдат наричани вертикален и хоризонтална свързващи линии.

Трябва да се отбележи, че при прехода от проекционния апарат към диаграмата проектираният обект изчезва, но се запазва цялата информация за неговата форма, геометрични размери и положението му в пространството.

НО(x A, y A, z Ax A, y Aи zAв следната последователност (фиг. 2). Тази последователност се нарича техника за начертаване на точки.

1. Осите са начертани ортогонално OX, OYи унция

2. По оста ОХ х Аточки НОи вземете позицията на точката A x.

3. Чрез точката A xперпендикулярно на оста ОХ

A xпо посока на оста ойчисловата стойност на координатата се отлага у аточки НО A 1на парцела.

A xпо посока на оста унциячисловата стойност на координатата се отлага z Aточки НО А 2на парцела.

6. Чрез точката А 2успоредна на оста ОХначертава се хоризонтална линия. Пресечната точка на тази права и оста унцияще даде позицията на точката A z.

7. На хоризонтална линия от точката A zпо посока на оста ойчисловата стойност на координатата се отлага у аточки НОи се определя позицията на профилната проекция на точката A 3на парцела.

Точкова характеристика

Всички точки на пространството се подразделят на точки на частно и общо положение.

Точки за частна позиция. Точките, принадлежащи към проекционния апарат, се наричат ​​точки с определено положение. Те включват точки, принадлежащи на проекционните равнини, оси, начало и проекционни центрове. Характерните особености на точките на частно положение са:

Метаматематически - една, две или всички числени стойности на координатите са равни на нула и (или) безкрайност;

На диаграмата - две или всички проекции на точка са разположени върху осите и (или) са разположени в безкрайност.

Точки в обща позиция. Точките в общо положение включват точки, които не принадлежат към проекционния апарат. Например точка НОна фиг. 1 и 2.

В общия случай числените стойности на координатите на точка характеризират нейното разстояние от проекционната равнина: координатата хот самолета № 3; координирам гот самолета π 2; координирам zот самолета π 1. Трябва да се отбележи, че знаците при числените стойности на координатите показват посоката на отстраняване на точката от проекционните равнини. В зависимост от комбинацията от знаци за числените стойности на координатите на точката, зависи в кой от октаните се намира.

Метод с две изображения

В практиката, освен метода на пълната проекция, се използва методът на две изображения. Различава се по това, че при този метод се изключва третата проекция на обекта. За да се получи проекционен апарат за метода на две изображения, профилната проекционна равнина с неговия проекционен център се изключва от пълния проекционен апарат (фиг. 3). Освен това по ос 0Xпроизходът е зададен (точка 0 ) и от него перпендикулярно на оста 0Xв проекционни равнини π 1и π 2разходна ос 0Ги 0Zсъответно.

В този апарат цялото пространство е разделено на четири квадранта. На фиг. 3 са отбелязани с римски цифри.

Проекционните равнини се считат за непрозрачни и зрителят винаги е вътре азти квадрант.

Помислете за работата на устройството, като използвате примера за проектиране на точка НО.

От прожекционни центрове S1и S2излизат стърчащи греди l 1и l 2. Тези лъчи преминават през точката НОи пресичащи се с проекционните равнини образуват неговите проекции:

- A 1- хоризонтална проекция на точка НО;

- А 2– фронтална проекция на точката НО.

Да начертая точка НО(фиг. 4), в проекционния апарат (фиг. 3) равнината π 1с получената точкова проекция A 1завъртете по посока на часовниковата стрелка около ос 0X, докато съвпадне с равнината π 2. Посока на въртене на равнината π 1показано на фиг. 3 стрели. В същото време на диаграмата на точката, получена по метода на две изображения, остава само една точка. вертикаленкомуникационна линия A 1 A 2.

На практика начертаване на точка НО(x A, y A, z A) се извършва според числените стойности на неговите координати x A, y Aи zAв следната последователност (фиг. 4).

1. Начертана е ос ОХи произходът е зададен (точка 0 ).

2. По оста ОХчисловата стойност на координатата се отлага х Аточки НОи вземете позицията на точката A x.

3. Чрез точката A xперпендикулярно на оста ОХначертава се вертикална линия.

4. На вертикалната линия от точката A xпо посока на оста ойчисловата стойност на координатата се отлага у аточки НОи се определя положението на хоризонталната проекция на точката A 1 ойне се изобразява, но се приема, че положителните му стойности са под оста ОХ, докато отрицателните са по-високи.

5. На вертикалната линия от точката A xпо посока на оста унциячисловата стойност на координатата се отлага z Aточки НОи се определя положението на фронталната проекция на точката А 2на парцела. Трябва да се отбележи, че на диаграмата ос унцияне е начертано, но се приема, че положителните му стойности са разположени над оста ОХ, докато отрицателните са по-ниски.

Конкурентни точки

Точките на един и същ проектиращ лъч се наричат ​​конкурентни точки. Те имат обща проекция по посока на проектиращия лъч, т.е. техните проекции съвпадат идентично. Характерна особеност на конкуриращите се точки на диаграмата е идентичното съвпадение на техните едноименни проекции. Конкуренцията е във видимостта на тези проекции спрямо наблюдателя. С други думи, в пространството за наблюдателя една от точките е видима, другата не. И съответно на чертежа: една от проекциите на конкуриращите се точки е видима, а проекцията на другата точка е невидима.

На модел на пространствена проекция (фиг. 5) от две конкуриращи се точки НОи ATвидима точка НОна две взаимно допълващи се основания. Според веригата S 1 → A → Bточка НОпо-близо до наблюдателя, отколкото точка AT. И съответно по-далеч от равнината на проекцията π 1(тези. z A > z A).

Ориз. 5 Фиг.6

Ако се вижда самата точка А, то неговата проекция също се вижда A 1. По отношение на съвпадащата с него проекция B1. За по-голяма яснота и, ако е необходимо, на диаграмата, невидимите проекции на точки обикновено се поставят в скоби.

Премахнете точките от модела НОи AT. Техните съвпадащи проекции върху равнината ще останат π 1и отделни проекции - на π 2. Условно оставяме фронталната проекция на наблюдателя (⇩), разположена в центъра на проекцията S1. След това по веригата от изображения ⇩ → A2 → B2това ще може да се прецени z A > з би че самата точка се вижда НОи неговата проекция A 1.

По същия начин разгледайте конкуриращите се точки ОТи дочевидно спрямо равнината π 2 . Тъй като общият прожектиращ лъч на тези точки l 2успоредна на оста 0Г, след това знакът за видимост на конкурентните точки ОТи дсе определя от неравенството yC > yD. Следователно точката дзатворен с точка ОТи съответно проекцията на точката D2ще бъдат обхванати от проекцията на точката От 2на повърхността π 2.

Нека да разгледаме как се определя видимостта на конкуриращи се точки в сложен чертеж (фиг. 6).

Според съвпадащите прогнози A 1≡В 1самите точки НОи ATса върху една и съща стърчаща греда, успоредна на оста 0Z. Така че координатите трябва да се сравняват z Aи з бтези точки. За целта използваме равнината на предната проекция с отделни точкови изображения. AT този случай z A > з б. От това следва, че проекцията е видима A 1.

точки ° Си дв разглеждания комплексен чертеж (фиг. 6) също са на същата изпъкнала греда, но само успоредно на оста 0Г. Следователно, от сравнение yC > yDзаключаваме, че проекцията C 2 е видима.

Общо правило . Видимостта за съвпадащи проекции на конкуриращи се точки се определя чрез сравняване на координатите на тези точки в посоката на общ проектиращ лъч. Вижда се проекцията на точката, за която тази координата е по-голяма. В този случай сравнението на координатите се извършва в равнината на проекциите с отделни изображения на точки.

В тази статия ще намерим отговори на въпроси как да създадем проекция на точка върху равнина и как да определим координатите на тази проекция. В теоретичната част ще разчитаме на понятието проекция. Ще дадем дефиниции на термини, ще придружим информацията с илюстрации. Нека затвърдим придобитите знания чрез решаване на примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Проекция, видове проекция

За удобство при разглеждането на пространствените фигури се използват чертежи, изобразяващи тези фигури.

Определение 1

Проекция на фигура върху равнина- рисунка на пространствена фигура.

Очевидно има редица правила, използвани за конструиране на проекция.

Определение 2

проекция- процесът на конструиране на чертеж на пространствена фигура в равнина с помощта на правила за конструиране.

Проекционна равнинае равнината, в която се изгражда изображението.

Използването на определени правила определя вида на проекцията: централенили паралелен.

специален случай паралелна проекцияе перпендикулярна проекция или ортогонална: в геометрията се използва главно. Поради тази причина самото прилагателно „перпендикулярен“ често се пропуска в речта: в геометрията те просто казват „проекция на фигура“ и под това означават изграждането на проекция по метода на перпендикулярната проекция. В специални случаи, разбира се, може да се уговори друго.

Отбелязваме факта, че проекцията на фигура върху равнина всъщност е проекцията на всички точки на тази фигура. Следователно, за да може да се изследва пространствената фигура в чертежа, е необходимо да се получи основно умениепроектираме точка върху равнина. За какво ще говорим по-долу.

Спомнете си, че най-често в геометрията, говорейки за проекция върху равнина, те означават използването на перпендикулярна проекция.

Ще направим конструкции, които ще ни позволят да получим дефиницията на проекцията на точка върху равнина.

Да предположим, че е дадено триизмерно пространство и в него - равнина α и точка M 1, която не принадлежи на равнината α. Нека нарисуваме дадена точкаМ 1 прав аперпендикулярна на дадената равнина α. Пресечната точка на правата a и равнината α ще бъде означена като H 1 , по конструкция тя ще служи като основа на перпендикуляра, пуснат от точката M 1 към равнината α .

Ако е дадена точка M 2, принадлежаща на дадена равнина α, то M 2 ще служи като проекция на себе си върху равнината α.

Определение 3

е или самата точка (ако принадлежи на дадена равнина), или основата на перпендикуляра, пуснат от дадена точка към дадена равнина.

Намиране на координатите на проекцията на точка върху равнина, примери

Нека в триизмерното пространство са дадени: правоъгълна координатна система O x y z, равнина α, точка M 1 (x 1, y 1, z 1) . Необходимо е да се намерят координатите на проекцията на точка M 1 върху дадена равнина.

Решението очевидно следва от горната дефиниция на проекцията на точка върху равнина.

Означаваме проекцията на точката M 1 върху равнината α като H 1 . Според дефиницията H 1 е пресечната точка на дадената равнина α и правата a през точката M 1 (перпендикулярна на равнината). Тези. координатите на проекцията на точката M 1, от която се нуждаем, са координатите на пресечната точка на правата a и равнината α.

По този начин, за да намерите координатите на проекцията на точка върху равнина, е необходимо:

Получете уравнението на равнината α (в случай, че не е зададено). Тук ще ви помогне статия за видовете уравнения на равнината;

Определете уравнението на правата a, минаваща през точка M 1 и перпендикулярна на равнината α (изучете темата за уравнението на правата линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена равнина);

Намерете координатите на пресечната точка на правата a и равнината α (статия - намиране на координатите на пресечната точка на равнината и правата). Получените данни ще бъдат координатите на проекцията на точка M 1 върху равнината α, от която се нуждаем.

Нека разгледаме теорията на практически примери.

Пример 1

Определете координатите на проекцията на точката M 1 (- 2, 4, 4) върху равнината 2 x - 3 y + z - 2 \u003d 0.

Решение

Както виждаме, уравнението на равнината ни е дадено, т.е. няма нужда да го композирате.

Нека напишем каноничните уравнения на правата a, минаваща през точката M 1 и перпендикулярна на дадената равнина. За тези цели определяме координатите на насочващия вектор на правата линия a. Тъй като правата a е перпендикулярна на дадената равнина, тогава насочващият вектор на правата a е нормалният вектор на равнината 2 x - 3 y + z - 2 = 0. По този начин, a → = (2 , - 3 , 1) – насочващ вектор на правата a .

Сега съставяме каноничните уравнения на права линия в пространството, минаваща през точката M 1 (- 2, 4, 4) и имаща насочващ вектор a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

За да намерите желаните координати, следващата стъпка е да определите координатите на пресечната точка на правата x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 и равнината 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . За целта се движим от канонични уравнениякъм уравненията на две пресичащи се равнини:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 (x + 2) = 2 (y - 4) 1 (x + 2) = 2 (z - 4) 1 ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Нека съставим система от уравнения:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

И го решете с помощта на метода на Cramer:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

Така желаните координати на дадена точка M 1 на дадена равнина α ще бъдат: (0, 1, 5) .

Отговор: (0 , 1 , 5) .

Пример 2

AT правоъгълна системакоординати O x y z триизмерно пространстводадени точки A (0, 0, 2); В (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) и M 1 (-1, -2, 5). Необходимо е да се намерят координатите на проекцията M 1 върху равнината A B C

Решение

Първо, пишем уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6y + 6z - 12 = 0 ⇔ x - 2y + 2z - 4 = 0

Нека запишем параметрични уравненияправа линия a, която ще премине през точката M 1 перпендикулярно на равнината A B C. Равнината x - 2 y + 2 z - 4 \u003d 0 има нормален вектор с координати (1, - 2, 2), т.е. вектор a → = (1 , - 2 , 2) – насочващ вектор на правата a .

Сега, като имаме координатите на точката на линията M 1 и координатите на насочващия вектор на тази линия, записваме параметричните уравнения на линията в пространството:

След това определяме координатите на пресечната точка на равнината x - 2 y + 2 z - 4 = 0 и правата

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

За да направите това, заместваме в уравнението на равнината:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

Сега, използвайки параметричните уравнения x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ, намираме стойностите на променливите x, y и z при λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 (- 1) z = 5 + 2 (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Така проекцията на точка M 1 върху равнината A B C ще има координати (- 2, 0, 3) .

Отговор: (- 2 , 0 , 3) .

Нека се спрем отделно на въпроса за намиране на координатите на проекцията на точка върху координатните равнини и равнините, които са успоредни на координатните равнини.

Нека са дадени точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и координатни равнини O x y , O x z и O y z. Координатите на проекцията на тази точка върху тези равнини ще бъдат съответно: (x 1 , y 1 , 0) , (x 1 , 0 , z 1) и (0 , y 1 , z 1) . Разгледайте и равнините, успоредни на дадените координатни равнини:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

И проекциите на дадената точка M 1 върху тези равнини ще бъдат точки с координати x 1 , y 1 , - D C , x 1 , - DB B , z 1 и - D A , y 1 , z 1 .

Нека демонстрираме как е получен този резултат.

Като пример, нека дефинираме проекцията на точка M 1 (x 1, y 1, z 1) върху равнината A x + D = 0. Останалите случаи са подобни.

Дадената равнина е успоредна на координатната равнина O y z и i → = (1 , 0 , 0) е нейната нормален вектор. Същият вектор служи като насочващ вектор на правата, перпендикулярна на равнината O y z . Тогава параметричните уравнения на права линия, прекарана през точката M 1 и перпендикулярна на дадена равнина, ще изглеждат така:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Намерете координатите на пресечната точка на тази права и дадената равнина. Първо заместваме в уравнението A x + D = 0 равенства: x = x 1 + λ, y = y 1, z = z 1 и получаваме: A (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - х едно

След това изчисляваме желаните координати, като използваме параметричните уравнения на правата линия за λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Тоест проекцията на точката M 1 (x 1, y 1, z 1) върху равнината ще бъде точка с координати - D A , y 1 , z 1 .

Пример 2

Необходимо е да се определят координатите на проекцията на точка M 1 (- 6 , 0 , 1 2) върху координатна равнина O x y и върху равнината 2 y - 3 = 0 .

Решение

Координатната равнина O x y ще съответства на непълна общо уравнениеравнина z = 0 . Проекцията на точката M 1 върху равнината z \u003d 0 ще има координати (- 6, 0, 0) .

Уравнението на равнината 2 y - 3 = 0 може да бъде записано като y = 3 2 2 . Сега просто напишете координатите на проекцията на точката M 1 (- 6 , 0 , 1 2) върху равнината y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Отговор:(- 6 , 0 , 0) и - 6 , 3 2 2 , 1 2

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

ПРОЕКЦИЯ НА ТОЧКА ВЪРХУ ДВЕ РАВНИНИ НА ПРОЕКЦИИ

Образуването на прав сегмент AA 1 може да бъде представено в резултат на преместване на точка А във всяка равнина H (фиг. 84, а), а образуването на равнина може да бъде представено като изместване на прав сегмент AB ( Фиг. 84, b).

Точка - основна геометричен елементлинии и повърхности, така че изучаването на правоъгълната проекция на обект започва с изграждането на правоъгълни проекции на точка.

В пространството на двустенния ъгъл, образуван от две перпендикулярни равнини - фронталната (вертикална) равнина на проекциите V и хоризонталната равнина на проекциите Н, поставяме точката А (фиг. 85, а).

Линията на пресичане на проекционните равнини е права линия, която се нарича проекционна ос и се обозначава с буквата x.

V-равнината е показана тук като правоъгълник, а H-равнината като успоредник. Наклонената страна на този успоредник обикновено се чертае под ъгъл от 45° спрямо хоризонталната му страна. Дължината на наклонената страна се приема равна на 0,5 от нейната действителна дължина.

От точка А се спускат перпендикуляри върху равнините V и H. Точките a "и a на пресечната точка на перпендикулярите с проекционните равнини V и H са правоъгълни проекцииточки A. Фигурата Aaa x a "в пространството е правоъгълник. Страната aa на този правоъгълник във визуалното изображение е намалена 2 пъти.

Нека подравним равнината H с равнината V, като завъртим V около линията на пресичане на равнините x. Резултатът е сложен чертеж на точка А (фиг. 85, b)

За да се опрости сложният чертеж, границите на проекционните равнини V и H не са посочени (фиг. 85, c).

Перпендикулярите, прекарани от точка А към проекционните равнини, се наричат ​​проектиращи прави, а основите на тези проектиращи прави - точки а и а "се наричат ​​проекции на точка А: а" е фронталната проекция на точка А, а е хоризонталната проекция на точка А.

Линия a "a се нарича вертикална линия на проекционната връзка.

Местоположението на проекцията на точка върху сложен чертеж зависи от позицията на тази точка в пространството.

Ако точка А лежи върху хоризонталната проекционна равнина H (фиг. 86, а), тогава нейната хоризонтална проекция a съвпада с дадената точка, а фронталната проекция a "е разположена на оста. Когато точка B е разположена на фронталната проекция равнина V, нейната фронтална проекция съвпада с тази точка, а хоризонталната проекция лежи на оста x. Хоризонталната и фронталната проекции на дадена точка C, лежаща на оста x, съвпадат с тази точка. Комплексен чертеж на точки A , B и C е показано на фиг. 86, b.

ПРОЕКЦИЯ НА ТОЧКА ВЪРХУ ТРИ РАВНИНИ НА ПРОЕКЦИИ

В случаите, когато е невъзможно да си представим формата на даден обект от две проекции, той се проектира върху три проекционни равнини. В този случай се въвежда профилната равнина на проекциите W, перпендикулярни на равнини V и H. Визуално представяне на система от три проекционни равнини е дадено на фиг. 87 а.

Ръбовете на тристенния ъгъл (пресечната точка на проекционните равнини) се наричат ​​проекционни оси и се означават с x, y и z. Пресечната точка на проекционните оси се нарича начало на проекционните оси и се обозначава с буквата О. Нека пуснем перпендикуляра от точка А към проекционната равнина W и, отбелязвайки основата на перпендикуляра с буквата а, получаваме профилната проекция на точка А.

За да се получи сложен чертеж, точките A от равнините H и W се изравняват с равнината V, като се въртят около осите Ox и Oz. Комплексен чертеж на точка А е показан на фиг. 87б и в.

Отсечките на проектиращите прави от точка А към проекционните равнини се наричат ​​координати на точка А и се означават: x A, y A и z A.

Например, координатата z A на точка A, равна на сегмента a "a x (фиг. 88, a и b), е разстоянието от точка A до хоризонталната проекционна равнина H. Координатата в точка A, равна на сегмент aa x, е разстоянието от точка A до фронталната равнина на проекциите V. Координатата x A, равна на сегмента aa y, е разстоянието от точка A до профилната равнина на проекциите W.

По този начин разстоянието между проекцията на точка и проекционната ос определя координатите на точката и е ключът към разчитането на нейния комплексен чертеж. Чрез две проекции на точка могат да се определят и трите координати на точка.

Ако са дадени координатите на точка А (например x A = 20 mm, y A = 22 mm и z A = 25 mm), тогава могат да бъдат построени три проекции на тази точка.

За да направите това, от началото на координатите O в посоката на оста Oz, координатата z A се поставя нагоре и координатата y A се поставя надолу. сегменти, равни на координатата x A. Получените точки a "и a са фронталната и хоризонталната проекция на точка А.

Съгласно две проекции a "и точка A, неговата профилна проекция може да бъде конструирана по три начина:

1) от началото O се изчертава спомагателна дъга с радиус Oa y, равен на координатата (фиг. 87, b и c), от получената точка a y1 начертайте права линия, успоредна на оста Oz, и положете a сегмент, равен на z A;

2) от точката a y се изчертава спомагателна права линия под ъгъл 45 ° спрямо оста Oy (фиг. 88, а), получава се точка a y1 и т.н.;

3) от началото O, начертайте спомагателна права линия под ъгъл от 45 ° спрямо оста Oy (фиг. 88, b), вземете точка a y1 и т.н.

Методът на проекцията е в основата на теорията за изграждане на чертежни изображения в инженерната графика. Най-често се използва, когато е необходимо да се намери изображение на тяло под формата на неговата проекция върху равнина или да се получат данни за неговото положение в пространството.

Инструкция

• В многомерно пространство всяко изображение на обект в равнина може да се получи с помощта на проекция. Но не трябва да се съди за геометричната форма на тялото или формата на най-простите изображения в геометрията въз основа на една проекция на точка. Повечето пълна информацияза изображението на геометрично тяло дава няколко проекции на точки. Защо да използвате проекции на точки на тялото в поне две равнини.
• Например, трябва да построите проекцияточка А. За да направите това, поставете двете равнини перпендикулярно една на друга. Единият е хоризонтален, наричайки го хоризонтален самолети обозначаващ всички проекции на елементи с индекс 1. Втората – вертикално. Наречете го съответно фронтално самолети на проекциите на елементите присвоете индекс 2. Считайте, че и двете равнини са безкрайни и непрозрачни. Линията на тяхното пресичане става координатна ос OX.
• След това приемете като факт, че пространството между проекционните равнини е условно разделено на четвърти. Вие сте в първия квадрант и виждате само линиите и точките, които са в тази област на двустенния ъгъл.
• Същността на процеса на проектиране е да премине лъч през дадена точка, докато лъчът се срещне с самолетпроекции. Този методнаречен метод на ортогонална проекция. Според него спуснете перпендикуляра от точка А към хоризонталната и фронталната равнина. Основата на този перпендикуляр ще бъде просто хоризонталната проекция на точка A1 или фронталната проекция на точка A2. По този начин ще получите позицията на тази точка в пространството дадени самолетипроекции.