Точково произведение на вектори

Продължаваме да се занимаваме с вектори. На първия урок Вектори за манекениразгледахме концепцията за вектор, действия с вектори, векторни координати и най-простите задачи с вектори. Ако сте попаднали на тази страница за първи път от търсачка, горещо препоръчвам да прочетете горната уводна статия, защото за да усвоите материала, трябва да се ръководите в използваните от мен термини и обозначения, да имате основни познания за вектори и да може да решава елементарни проблеми. Този урок е логично продължение на темата и в него ще анализирам подробно типични задачи, които използват скаларното произведение на векторите. Това е МНОГО ВАЖНА работа.. Опитайте се да не пропускате примерите, те идват с полезен бонус - практиката ще ви помогне да консолидирате преминатия материал и да "хванете ръка" за решаване на често срещани задачи на аналитичната геометрия.

Добавяне на вектори, умножение на вектор по число.... Би било наивно да се мисли, че математиците не са измислили нещо друго. В допълнение към вече разгледаните действия, има редица други операции с вектори, а именно: точково произведение на вектори, кръстосано произведение на вектории смесено произведение на вектори. Скаларният продукт на векторите ни е познат от училище, другите два продукта традиционно са свързани с курса на висшата математика. Темите са прости, алгоритъмът за решаване на много проблеми е стереотипен и разбираем. Единственото нещо. Има прилично количество информация, така че е нежелателно да се опитвате да овладеете и разрешите ВСИЧКО И НАЕДНОВЕД. Това важи особено за манекените, повярвайте ми, авторът абсолютно не иска да се чувства като Чикатило от математиката. Е, не и от математиката, разбира се =) По-подготвените ученици могат да използват материалите избирателно, в известен смисъл, за да „придобият“ липсващите знания, за вас аз ще бъда безобиден граф Дракула =)

И накрая, нека отворим малко вратата и да погледнем какво се случва, когато два вектора се срещнат...

Дефиниция на скаларното произведение на векторите.
Свойства на скаларното произведение. Типични задачи

Концепцията за точков продукт

Първо за ъгъл между векторите. Мисля, че всеки интуитивно разбира какъв е ъгълът между векторите, но за всеки случай малко повече. Помислете за свободни ненулеви вектори и . Ако отложим тези вектори от произволна точка, тогава получаваме картина, която мнозина вече са представили психически:

Признавам, тук описах ситуацията само на ниво разбиране. Ако имате нужда от строго определение на ъгъла между векторите, моля, вижте учебника, но за практически задачи ние по принцип не се нуждаем от него. Също ТУК И ПО-НАДАДЕ, понякога ще пренебрегвам нулевите вектори поради ниското им практическо значение. Направих резервация специално за напреднали посетители на сайта, които могат да ме упрекнат в теоретичната непълнота на някои от следващите твърдения.

може да приема стойности от 0 до 180 градуса (от 0 до радиани) включително. Аналитично този факт се записва като двойно неравенство: или (в радиани).

В литературата иконата на ъгъл често се пропуска и просто се изписва.

определение:Скаларното произведение на два вектора е ЧИСЛО, равно на произведението на дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях:

Това е доста строго определение.

Ние се фокусираме върху съществена информация:

Обозначаване:скаларното произведение се означава с или просто .

Резултатът от операцията е ЧИСЛО: Умножете вектор по вектор, за да получите число. Наистина, ако дължините на векторите са числа, косинусът на ъгъла е число, тогава техният продукт също ще бъде число.

Само няколко примера за загряване:

Пример 1

Решение:Използваме формулата . В такъв случай:

Отговор:

Косинусовите стойности могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица. Препоръчвам да го отпечатате - ще се изисква в почти всички секции на кулата и ще се изисква много пъти.

Чисто от математическа гледна точка скаларното произведение е безразмерно, тоест резултатът в случая е просто число и това е. От гледна точка на проблемите на физиката, скаларното произведение винаги има определен физически смисъл, тоест след резултата трябва да се посочи една или друга физическа единица. Каноничният пример за изчисляване на работата на сила може да се намери във всеки учебник (формулата е точно точков продукт). Работата на силата се измерва в джаули, следователно отговорът ще бъде написан доста конкретно, например.

Пример 2

Намерете дали , а ъгълът между векторите е .

Това е пример за самостоятелно решаване, отговорът е в края на урока.

Ъгъл между векторите и стойността на точковия продукт

В пример 1 скаларното произведение се оказа положително, а в пример 2 – отрицателно. Нека разберем от какво зависи знакът на скаларното произведение. Нека да разгледаме нашата формула: . Дължините на ненулевите вектори винаги са положителни: , така че знакът може да зависи само от стойността на косинуса.

Забележка: За по-добро разбиране на информацията по-долу е по-добре да проучите косинусовата графика в ръководството Свойства на графики и функции. Вижте как косинусът се държи на отсечката.

Както вече беше отбелязано, ъгълът между векторите може да варира в рамките , като са възможни следните случаи:

1) Ако ъгълмежду вектори пикантен: (от 0 до 90 градуса), след това , и точковият продукт ще бъде положителен съвместно режисиран, тогава ъгълът между тях се счита за нула и скаларното произведение също ще бъде положително. Тъй като , тогава формулата е опростена: .

2) Ако ъгълмежду вектори глупав: (от 90 до 180 градуса), след това , и съответно, точковият продукт е отрицателен: . Специален случай: ако векторите насочен противоположно, тогава се разглежда ъгълът между тях разгърнати: (180 градуса). Скаларното произведение също е отрицателно, тъй като

Обратните твърдения също са верни:

1) Ако , тогава ъгълът между тези вектори е остър. Алтернативно, векторите са еднопосочни.

2) Ако , тогава ъгълът между тези вектори е тъп. Алтернативно, векторите са насочени противоположно.

Но третият случай е от особен интерес:

3) Ако ъгълмежду вектори прав: (90 градуса) тогава и точковият продукт е нула: . Обратното също е вярно: ако , то . Компактното изявление е формулирано по следния начин: Скаларното произведение на два вектора е нула тогава и само ако дадените вектори са ортогонални. Кратка математическа нотация:

! Забележка : повторете основите на математическата логика: иконата за двустранно логическо следствие обикновено се чете "ако и само тогава", "ако и само ако". Както виждате, стрелките са насочени и в двете посоки – „от това следва това, и обратното – от това следва това“. Между другото, каква е разликата от иконата за еднопосочно следване? Претенции за икона само чече "от това следва това", а не фактът, че е вярно обратното. Например: , но не всяко животно е пантера, така че иконата не може да се използва в този случай. В същото време, вместо иконата могаизползвайте едностранна икона. Например, докато решавахме задачата, открихме, че заключихме, че векторите са ортогонални: - такъв запис ще бъде правилен и дори по-подходящ от .

Третият случай е от голямо практическо значение., тъй като ви позволява да проверите дали векторите са ортогонални или не. Ще решим тази задача във втория раздел на урока.

Свойства на точков продукт

Нека се върнем към ситуацията, когато два вектора съвместно режисиран. В този случай ъгълът между тях е нула, , а формулата за скаларно произведение приема формата: .

Какво се случва, ако един вектор се умножи сам по себе си? Ясно е, че векторът е насочен със себе си, така че използваме горната опростена формула:

Номерът се нарича скаларен квадратвектор , и се означават като .

По този начин, скаларният квадрат на вектор е равен на квадрата на дължината на дадения вектор:

От това равенство можете да получите формула за изчисляване на дължината на вектор:

Въпреки че изглежда неясно, но задачите на урока ще поставят всичко на мястото си. За да разрешим проблемите, ние също се нуждаем свойства на точков продукт.

За произволни вектори и всяко число са верни следните свойства:

1) - подвижни или комутативензакон за скаларен продукт.

2) - разпределение или разпределителензакон за скаларен продукт. Просто казано, можете да отваряте скоби.

3) - комбинация или асоциативензакон за скаларен продукт. Константата може да бъде извадена от скаларното произведение.

Често всякакви свойства (които също трябва да бъдат доказани!) се възприемат от студентите като ненужни боклуци, които трябва само да бъдат запомнени и безопасно забравени веднага след изпита. Изглежда, че това, което е важно тук, всеки вече знае от първи клас, че продуктът не се променя от пермутация на факторите:. Трябва да ви предупредя, че във висшата математика с такъв подход е лесно да объркате нещата. Така, например, комутативното свойство не е валидно за алгебрични матрици. Не е вярно за кръстосано произведение на вектори. Ето защо е най-малкото по-добре да се задълбочите във всички свойства, които ще срещнете в хода на висшата математика, за да разберете какво може и какво не може да се направи.

Пример 3

.

Решение:Първо, нека изясним ситуацията с вектора. за какво става въпрос? Сумата от векторите и е добре дефиниран вектор, който се означава с . Геометрична интерпретация на действия с вектори можете да намерите в статията Вектори за манекени. Същият магданоз с вектор е сборът от векторите и .

И така, според условието се изисква да се намери скаларното произведение. На теория трябва да приложите работещата формула , но проблемът е, че не знаем дължините на векторите и ъгъла между тях. Но в условието подобни параметри са дадени за вектори, така че ще отидем по друг начин:

(1) Заменяме изрази на вектори .

(2) Отваряме скобите според правилото за умножение на полиноми, вулгарен език може да се намери в статията Комплексни числаили Интегриране на дробно-рационална функция. Няма да се повтарям =) Между другото, разпределителното свойство на скаларното произведение ни позволява да отворим скобите. Имаме право.

(3) В първия и последния член записваме компактно скаларните квадрати на векторите: . Във втория член използваме комутативността на скаларното произведение: .

(4) Ето подобни термини: .

(5) В първия член използваме формулата за скаларен квадрат, която беше спомената не толкова отдавна. В последния мандат съответно работи същото: . Вторият член се разширява по стандартната формула .

(6) Заменете тези условия , и ВНИМАТЕЛНО извършете окончателните изчисления.

Отговор:

Отрицателната стойност на точковия продукт показва факта, че ъгълът между векторите е тъп.

Задачата е типична, ето пример за самостоятелно решение:

Пример 4

Намерете скаларното произведение на векторите и , ако е известно, че .

Сега друга често срещана задача, само за новата формула за дължина на вектора. Обозначенията тук ще се припокриват малко, така че за по-голяма яснота ще го пренапиша с различна буква:

Пример 5

Намерете дължината на вектора, ако .

Решениеще бъде както следва:

(1) Предоставяме векторния израз.

(2) Използваме формулата за дължина: , докато имаме цяло число като вектор "ve".

(3) Използваме училищната формула за квадрат на сбора. Обърнете внимание как работи любопитно тук: - всъщност това е квадратът на разликата и всъщност е така. Тези, които желаят, могат да пренаредят векторите на места: - получи се същото до пренареждане на условията.

(4) Това, което следва, вече е познато от предишните две задачи.

Отговор:

Тъй като говорим за дължина, не забравяйте да посочите размерите - "единици".

Пример 6

Намерете дължината на вектора, ако .

Това е пример за „направи си сам“. Пълно решение и отговор в края на урока.

Продължаваме да изстискваме полезни неща от скаларния продукт. Нека да разгледаме нашата формула отново . По правилото на пропорцията нулираме дължините на векторите до знаменателя на лявата страна:

Нека разменим частите:

Какъв е смисълът на тази формула? Ако са известни дължините на два вектора и тяхното скаларно произведение, тогава може да се изчисли косинусът на ъгъла между тези вектори и, следователно, самият ъгъл.

Скаларното произведение число ли е? Номер. Дължините на вектора числа ли са? Числа. Така че дробта също е число. И ако косинусът на ъгъла е известен: , тогава с помощта на обратната функция е лесно да се намери самият ъгъл: .

Пример 7

Намерете ъгъла между векторите и , ако е известно, че .

Решение:Използваме формулата:

На последния етап от изчисленията беше използвана техника - елиминиране на ирационалността в знаменателя. За да премахна ирационалността, умножих числителя и знаменателя по .

Така че, ако , тогава:

Стойностите на обратните тригонометрични функции могат да бъдат намерени от тригонометрична таблица. Въпреки че това се случва рядко. В задачите на аналитичната геометрия много по-често се появява някаква тромава мечка и стойността на ъгъла трябва да се намери приблизително с помощта на калкулатор. Всъщност ще виждаме тази картина отново и отново.

Отговор:

Отново не забравяйте да посочите размерността - радиани и градуси. Лично аз, за ​​да „премахна всички въпроси“, предпочитам да посоча и двете (освен ако, разбира се, по условие не се изисква отговорът да се представи само в радиани или само в градуси).

Сега ще можете сами да се справите с по-трудна задача:

Пример 7*

Дадени са дължините на векторите и ъгълът между тях. Намерете ъгъла между векторите , .

Задачата не е толкова трудна, колкото многостранна.
Нека анализираме алгоритъма за решение:

1) Според условието се изисква да се намери ъгълът между векторите и , така че трябва да използвате формулата .

2) Намираме скаларното произведение (вижте примери № 3, 4).

3) Намерете дължината на вектора и дължината на вектора (вижте примери № 5, 6).

4) Краят на решението съвпада с пример № 7 - знаем числото , което означава, че е лесно да се намери самият ъгъл:

Кратко решение и отговор в края на урока.

Вторият раздел на урока е посветен на същия точков продукт. Координати. Ще бъде още по-лесно, отколкото в първата част.

Точково произведение на вектори,
зададени от координати в ортонормална основа

Отговор:

Излишно е да казвам, че работата с координати е много по-приятна.

Пример 14

Намерете скаларното произведение на вектори и ако

Това е пример за „направи си сам“. Тук можете да използвате асоциативността на операцията, тоест да не броите, а веднага да извадите тройката от скаларното произведение и да умножите по нея последно. Решение и отговор в края на урока.

В края на параграфа, провокативен пример за изчисляване на дължината на вектор:

Пример 15

Намерете дължини на вектори , ако

Решение:отново се предлага методът от предишния раздел: но има и друг начин:

Нека намерим вектора:

И дължината му по тривиалната формула :

Скаларното произведение тук изобщо не е от значение!

Колко без работа е при изчисляване на дължината на вектор:
Спри се. Защо не се възползвате от очевидното свойство за дължина на вектор? Какво може да се каже за дължината на вектор? Този вектор е 5 пъти по-дълъг от вектора. Посоката е противоположна, но това няма значение, защото говорим за дължина. Очевидно дължината на вектора е равна на произведението модулчисла за дължина на вектора:
- знакът на модула "изяжда" възможния минус на числото.

По този начин:

Отговор:

Формулата за косинуса на ъгъла между векторите, дадени с координати

Сега имаме пълна информация, така че получената по-рано формула за косинуса на ъгъла между векторите изразете чрез векторни координати:

Косинус на ъгъла между равнинните вектории, дадено в ортонормалната основа, се изразява с формулата:
.

Косинус на ъгъла между пространствените вектори, дадено в ортонормалната основа, се изразява с формулата:

Пример 16

Дадени са три върха на триъгълник. Намерете (ъгъл на върха).

Решение:По условие чертежът не е задължителен, но все пак:

Необходимият ъгъл е маркиран със зелена дъга. Веднага си спомняме училищното обозначение на ъгъла: - специално внимание на средатабуква - това е върхът на ъгъла, от който се нуждаем. За краткост може да се напише и просто.

От чертежа е съвсем очевидно, че ъгълът на триъгълника съвпада с ъгъла между векторите и , с други думи: .

Желателно е да се научите как да извършвате анализа, извършен мислено.

Нека намерим векторите:

Нека изчислим скаларното произведение:

И дължините на векторите:

Косинус на ъгъл:

Именно този ред на задачата препоръчвам на манекените. По-напредналите читатели могат да напишат изчисленията "на един ред":

Ето пример за "лоша" косинусова стойност. Получената стойност не е окончателна, така че няма много смисъл да се отървем от ирационалността в знаменателя.

Нека намерим ъгъла:

Ако погледнете чертежа, резултатът е доста правдоподобен. За проверка на ъгъла може да се измери и с транспортир. Не повреждайте покритието на монитора =)

Отговор:

В отговора не забравяйте това попита за ъгъла на триъгълника(а не за ъгъла между векторите), не забравяйте да посочите точния отговор: и приблизителната стойност на ъгъла: намерени с калкулатор.

Тези, които са харесали процеса, могат да изчислят ъглите и да се уверят, че каноничното равенство е вярно

Пример 17

Триъгълникът е даден в пространството чрез координатите на неговите върхове. Намерете ъгъла между страните и

Това е пример за „направи си сам“. Пълно решение и отговор в края на урока

Малък последен раздел ще бъде посветен на проекциите, в които скаларното произведение също е „замесено“:

Проекция на вектор върху вектор. Векторна проекция върху координатни оси.
Векторни насочващи косинуси

Помислете за вектори и:

Проектираме вектора върху вектора , за това пропускаме от началото и края на вектора перпендикуляриза вектор (зелени пунктирани линии). Представете си, че светлинните лъчи падат перпендикулярно на вектор. Тогава сегментът (червената линия) ще бъде "сянката" на вектора. В този случай проекцията на вектор върху вектор е ДЪЛЖИНАТА на отсечката. Тоест, ПРОЕКЦИЯТА Е ЧИСЛО.

Това ЧИСЛО се обозначава по следния начин: "голям вектор" означава вектор КОЕТОпроект, "вектор с малък индекс" обозначава вектора НАкойто се проектира.

Самият запис гласи така: „проекцията на вектора „a“ върху вектора „be““.

Какво се случва, ако векторът "be" е "твърде къс"? Начертаваме права линия, съдържаща вектора "be". И векторът "а" вече ще бъде проектиран към посоката на вектора "be", просто - на права линия, съдържаща вектора "be". Същото нещо ще се случи, ако векторът "а" се остави настрана в тридесетото царство - той все още лесно ще се проектира върху правата, съдържаща вектора "бе".

Ако ъгълътмежду вектори пикантен(както е на снимката), тогава

Ако векторите ортогонален, тогава (проекцията е точка, чиито размери се приемат за нула).

Ако ъгълътмежду вектори глупав(на фигурата мислено пренаредете стрелката на вектора), след това (същата дължина, но взета със знак минус).

Отделете тези вектори от една точка:

Очевидно при преместване на вектор неговата проекция не се променя

Скаларното произведение на векторите (по-нататък в текста на съвместното предприятие). Скъпи приятели! Изпитът по математика включва група задачи за решаване на вектори. Вече разгледахме някои проблеми. Можете да ги видите в категория "Вектори". Като цяло теорията на векторите е проста, основното е да я изучавате последователно. Изчисленията и действията с вектори в училищния курс по математика са прости, формулите не са сложни. Поглеждам в . В тази статия ще анализираме задачи за съвместното предприятие на вектори (включени в изпита). Сега "потапяне" в теорията:

з За да намерите координатите на вектор, трябва да извадите от координатите на неговия крайсъответните координати на началото му

И по-нататък:

*Дължината на вектора (модул) се определя, както следва:

Тези формули трябва да се запомнят!!!

Нека покажем ъгъла между векторите:

Ясно е, че може да варира от 0 до 180 0(или в радиани от 0 до Pi).

Можем да направим някои заключения относно знака на скаларното произведение. Дължините на векторите са положителни, очевидно. Така че знакът на скаларното произведение зависи от стойността на косинуса на ъгъла между векторите.

Възможни случаи:

1. Ако ъгълът между векторите е остър (от 0 0 до 90 0), тогава косинусът на ъгъла ще има положителна стойност.

2. Ако ъгълът между векторите е тъп (от 90 0 до 180 0), тогава косинусът на ъгъла ще има отрицателна стойност.

*При нула градуса, т.е. когато векторите имат една и съща посока, косинусът е равен на единица и съответно резултатът ще бъде положителен.

При 180o, т.е. когато векторите имат противоположни посоки, косинусът е равен на минус едно,и резултатът ще е отрицателен.

Сега ВАЖНАТА ТОЧКА!

При 90 o, тоест когато векторите са перпендикулярни един на друг, косинусът е нула и следователно съвместното предприятие е нула. Този факт (следствие, заключение) се използва при решаването на много задачи, където става дума за взаимно подреждане на вектори, включително и в задачи, включени в отворената банка задачи по математика.

Формулираме твърдението: скаларното произведение е равно на нула тогава и само ако дадените вектори лежат на перпендикулярни прави.

И така, формулите за SP векторите са:

Ако координатите на векторите или координатите на точките на техните начала и краища са известни, тогава винаги можем да намерим ъгъла между векторите:

Помислете за задачите:

27724 Намерете вътрешния продукт на векторите a и b.

Можем да намерим скаларното произведение на векторите, като използваме една от двете формули:

Ъгълът между векторите е неизвестен, но можем лесно да намерим координатите на векторите и след това да използваме първата формула. Тъй като началото на двата вектора съвпада с началото, координатите на тези вектори са равни на координатите на техните краища, т.е.

Как да намерите координатите на вектор е описано в.

Изчисляваме:

Отговор: 40

Намерете координатите на векторите и използвайте формулата:

За да намерите координатите на вектор, е необходимо да извадите съответните координати на началото му от координатите на края на вектора, което означава

Изчисляваме скаларния продукт:

Отговор: 40

Намерете ъгъла между векторите a и b. Дайте отговора си в градуси.

Нека координатите на векторите имат формата:

За да намерим ъгъла между векторите, използваме формулата за скаларното произведение на векторите:

Косинус на ъгъла между векторите:

Следователно:

Координатите на тези вектори са:

Нека ги включим във формулата:

Ъгълът между векторите е 45 градуса.

Отговор: 45

По този начин дължината на вектора се изчислява като корен квадратен от сумата от квадратите на неговите координати
. По подобен начин се изчислява дължината на n-мерния вектор
. Ако си припомним, че всяка координата на вектора е разликата между координатите на края и началото, тогава ще получим формулата за дължината на сегмента, т.е. Евклидово разстояние между точките.

Скаларно произведениедва вектора в равнина е произведението на дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях:
. Може да се докаже, че скаларното произведение на два вектора = (x 1, x 2) и = (y 1, y 2) е равно на сумата от продуктите на съответните координати на тези вектори:
\u003d x 1 * y 1 + x 2 * y 2.

В n-мерното пространство точковият продукт на векторите X= (x 1 , x 2 ,...,x n) и Y= (y 1 , y 2 ,...,y n) се определя като сумата от продуктите на съответните им координати: X*Y \u003d x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

Операцията по умножаване на вектори един с друг е подобна на умножаването на матрица на ред по матрица на колона. Подчертаваме, че резултатът ще бъде число, а не вектор.

Скаларното произведение на векторите има следните свойства (аксиоми):

1) Комутативно свойство: X*Y=Y*X.

2) Разпределително свойство по отношение на събирането: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) За всяко реално число 
.

4)
, ако X не е нулев вектор;
ако X е нулев вектор.

Линейно векторно пространство, в което е дадено скаларното произведение на векторите, което удовлетворява четирите съответни аксиоми, се нарича Евклидов линеен векторпространство.

Лесно е да се види, че когато умножим всеки вектор по себе си, получаваме квадрат на неговата дължина. Така че е различно дължинавектор може да се дефинира като корен квадратен от скаларния му квадрат:.

Дължината на вектор има следните свойства:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, където  е реално число;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Неравенството на Коши-Буняковски);

4) |X+Y||X|+|Y| ( неравенство на триъгълник).

Ъгълът  между векторите в n-мерното пространство се определя въз основа на концепцията за скаларното произведение. Наистина, ако
, тогава
. Тази дроб не е по-голяма от единица (според неравенството на Коши-Буняковски), така че от тук можете да намерите .

Двата вектора се наричат ортогоналенили перпендикуляренако точковият им продукт е нула. От дефиницията на точковия продукт следва, че нулевият вектор е ортогонален на всеки вектор. Ако и двата ортогонални вектора са различни от нула, тогава непременно cos= 0, т.е.=/2 = 90 o.

Разгледайте отново фигура 7.4. От фигурата се вижда, че косинусът на ъгъла  на наклона на вектора към хоризонталната ос може да се изчисли като
и косинуса на ъгъла  на наклона на вектора спрямо вертикалната ос като
. Тези числа се наричат насочващи косинуси. Лесно е да се види, че сумата от квадратите на насочващите косинуси винаги е равна на едно: cos 2 +cos 2 = 1. По подобен начин можем да въведем концепцията за насочващи косинуси за пространства с по-високи измерения.

Векторна пространствена основа

За векторите могат да се дефинират понятията линейна комбинация,линейна зависимости независимостподобно на начина, по който тези понятия бяха въведени за матрични редове. Също така е вярно, че ако векторите са линейно зависими, тогава поне един от тях може да бъде изразен линейно по отношение на останалите (т.е. това е линейна комбинация от тях). Обратното твърдение също е вярно: ако един от векторите е линейна комбинация от другите, тогава всички тези вектори в съвкупността са линейно зависими.

Забележете, че ако сред векторите a l , a 2 ,...a m има нулев вектор, тогава тази колекция от вектори е задължително линейно зависима. Наистина, получаваме  l a l +  2 a 2 +...+  m a m = 0, ако например приравним коефициента  j с нулев вектор на единица, а всички останали коефициенти на нула. В този случай не всички коефициенти ще бъдат равни на нула ( j ≠ 0).

Освен това, ако някои от векторите от набора от вектори са линейно зависими, тогава всички тези вектори са линейно зависими. Наистина, ако някои вектори дават нулев вектор в тяхната линейна комбинация с коефициенти, които не са едновременно нула, тогава останалите вектори, умножени по нулеви коефициенти, могат да бъдат добавени към тази сума от продуктите и тя пак ще бъде нулев вектор.

Как да определим дали векторите са линейно зависими?

Например, нека вземем три вектора: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) и a 3 = (3, 1, 4, 3). Нека направим от тях матрица, в която те ще бъдат колони:

Тогава въпросът за линейната зависимост ще се сведе до определяне на ранга на тази матрица. Ако се окаже, че е равно на три, тогава и трите колони са линейно независими, а ако се окаже по-малко, тогава това ще означава линейна зависимост на векторите.

Тъй като рангът е 2, векторите са линейно зависими.

Обърнете внимание, че решението на проблема може да започне и с аргументи, базирани на определението за линейна независимост. А именно, съставете векторно уравнение  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, което ще приеме формата  l * (1, 0, 1, 5) + 2 * (2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Тогава получаваме система от уравнения:

Решението на тази система по метода на Гаус ще се сведе до получаване на същата стъпкова матрица, само че ще има още една колона - свободни членове. Всички те ще бъдат равни на нула, тъй като линейните трансформации на нули не могат да доведат до различен резултат. Трансформираната система от уравнения ще приеме формата:

Решението на тази система ще бъде (-s; -s; s), където s е произволно число; например (-1;-1;1). Това означава, че ако вземем  l = -1;  2 = -1 и  3 = 1, тогава  l a l +  2 a 2 +  3 a 3 = 0, т.е. векторите всъщност са линейно зависими.

От решения пример става ясно, че ако вземем броя на векторите повече от размерността на пространството, то те задължително ще бъдат линейно зависими. Наистина, ако вземем пет вектора в този пример, ще получим матрица 4 x 5, чийто ранг не може да бъде по-голям от четири. Тези. максималният брой линейно независими колони пак няма да бъде повече от четири. Два, три или четири четириизмерни вектора могат да бъдат линейно независими, но пет или повече не могат. Следователно не повече от два вектора могат да бъдат линейно независими в равнината. Всеки три вектора в двумерното пространство са линейно зависими. В триизмерното пространство всеки четири (или повече) вектора винаги са линейно зависими. и т.н.

Ето защо измерениепространствата могат да бъдат определени като максималния брой линейно независими вектори, които могат да бъдат в него.

Множеството от n линейно независими вектора на n-мерното пространство R се нарича базатова пространство.

Теорема. Всеки линеен пространствен вектор може да бъде представен като линейна комбинация от базисни вектори и освен това по уникален начин.

Доказателство. Нека векторите e l , e 2 ,...e n образуват базис на n-мерно пространство R. Нека докажем, че всеки вектор X е линейна комбинация от тези вектори. Тъй като заедно с вектора X броят на векторите ще стане (n + 1), тези (n + 1) вектори ще бъдат линейно зависими, т.е. има числа l , 2 ,..., n , които не са едновременно равни на нула, така че

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

В този случай 0, защото в противен случай бихме получили l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, където не всички коефициенти l , 2 ,..., n са равни на нула. Това означава, че базисните вектори ще бъдат линейно зависими. Следователно можем да разделим двете страни на първото уравнение на :

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + Х = 0

X \u003d - ( l / ) e l - ( 2 / ) e 2 -...- ( n / ) e n

X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n,

където x j = -( j /),
.

Нека сега докажем, че такова представяне като линейна комбинация е уникално. Да приемем обратното, т.е. че има друго представяне:

X \u003d y l e l + y 2 e 2 + ... + y n e n

Извадете от него термин по термин израза, получен по-рано:

0 \u003d (y l - x 1) e l + (y 2 - x 2) e 2 + ... + (y n - x n) e n

Тъй като базисните вектори са линейно независими, получаваме, че (y j - x j) = 0,
, т.е. y j ​​​​= x j . Така че изразът е същият. Теоремата е доказана.

Изразът X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n се нарича разгражданевектор X според базиса e l , e 2 ,...e n и числата x l , x 2 ,... x n - координативектор x по отношение на тази основа или в тази основа.

Може да се докаже, че ако n-нулеви вектори на n-мерно евклидово пространство са по двойки ортогонални, тогава те образуват базис. Наистина, нека умножим двете страни на уравнението l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 по който и да е вектор e i . Получаваме  l (e l * e i) +  2 (e 2 * e i) +...+  n (e n * e i) = 0   i (e i * e i) = 0   i = 0 за i .

Векторите e l , e 2 ,...e n на формата на n-мерното евклидово пространство ортонормална основа, ако тези вектори са по двойки ортогонални и нормата на всеки от тях е равна на единица, т.е. ако e i *e j = 0 за i≠ji |e i | = 1 за i.

Теорема (без доказателство). Всяко n-мерно евклидово пространство има ортонормална основа.

Пример за ортонормална база е система от n единични вектора e i , в която i-тата компонента е равна на единица, а останалите компоненти са равни на нула. Всеки такъв вектор се нарича орт. Например векторните орти (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1) формират основата на триизмерното пространство.