Ако вече сте запознати с тригонометричен кръг , и просто искате да опресните отделни елементи в паметта си или сте напълно нетърпеливи, тогава ето го:

Тук ще анализираме всичко подробно стъпка по стъпка.

Тригонометричният кръг не е лукс, а необходимост

Тригонометрия много от тях са свързани с непроходима гъсталака. Изведнъж се натрупват толкова много стойности на тригонометрични функции, толкова много формули... Но в края на краищата не се получи отначало и... отново и отново... чисто недоразумение... .

Много е важно да не махате с ръка стойности на тригонометрични функции, - казват те, винаги можете да погледнете шпора с таблица със стойности.

Ако постоянно гледате таблицата със стойностите на тригонометричните формули, нека се отървем от този навик!

Ще ни спаси! Ще работите с него няколко пъти, а след това той сам ще изскочи в главата ви. Защо е по-добре от маса? Да, в таблицата ще намерите ограничен брой стойности, но в кръга - ВСИЧКО!

Например, да речем, гледайки стандартна таблица със стойности на тригонометрични формули , което е синус от, да речем, 300 градуса или -45.

Няма начин? .. можете, разбира се, да се свържете формули за намаляване... И като погледнете тригонометричната окръжност, можете лесно да отговорите на такива въпроси. И скоро ще разберете как!

А при решаване на тригонометрични уравнения и неравенства без тригонометрична окръжност - никъде.

Въведение в тригонометричния кръг

Да вървим по ред.

Първо запишете следната поредица от числа:

А сега това:

И накрая този:

Разбира се, ясно е, че всъщност на първо място е, на второ място е, а на последно -. Тоест ще се интересуваме повече от веригата.

Но колко красиво се оказа! В този случай ние ще възстановим тази „прекрасна стълба“.

И защо ни трябва?

Тази верига е основните стойности на синус и косинус през първото тримесечие.

Нека начертаем окръжност с единичен радиус в правоъгълна координатна система (т.е. вземаме произволен радиус по дължината и обявяваме дължината му за единица).

От лъча „0-Start“ отделяме ъглите по посока на стрелката (вижте фиг.).

Получаваме съответните точки на окръжността. Така че, ако проектираме точките върху всяка от осите, тогава ще получим точно стойностите от горната верига.

Защо е така, ще попитате?

Нека не разглобяваме всичко. Обмисли принцип, което ще ви позволи да се справите с други подобни ситуации.

Триъгълник AOB е правоъгълен триъгълник с . И знаем, че срещу ъгъла при лежи катет, два пъти по-малък от хипотенузата (нашата хипотенуза = радиуса на окръжността, тоест 1).

Следователно, AB= (и следователно OM=). И по Питагоровата теорема

Надявам се вече нещо да е ясно.

Така че точка B ще съответства на стойността, а точка M ще съответства на стойността

Подобно е и с останалите стойности от първото тримесечие.

Както разбирате, познатата ни ос (вол) ще бъде косинусова ос, а оста (oy) - синусова ос . по късно.

Отляво на нулата по косинусовата ос (под нулата по синусовата ос) ще има, разбира се, отрицателни стойности.

И така, ето го, ВСЕМОГЪЩИЯТ, без който никъде в тригонометрията.

Но как да използваме тригонометричния кръг, ще говорим в.

Какво е единична окръжност. Единичната окръжност е окръжност с радиус 1 и център в началото. Спомнете си, че уравнението на кръга изглежда като x 2 + y 2 =1. Такава окръжност може да се използва за намиране на някои "специални" тригонометрични зависимости, както и при изграждането на графични изображения. С помощта на него и линията, оградена в него, могат да се оценят и числените стойности на тригонометричните функции.

Запомнете 6 тригонометрични съотношения.не забравяйте, че

• sinθ=срещу/хипотенуза
• cosθ=съседна/хипотенуза
• tgθ=срещуположен крак/съседен крак
• cosecθ=1/sin
• secθ=1/cos
• ctgθ=1/tg.

Какво е радиан. Радианът е една от мерките за определяне на големината на ъгъл. Един радиан е стойността на ъгъла между два радиуса, начертани така, че дължината на дъгата между тях да е равна на стойността на радиуса. Имайте предвид, че размерът и местоположението на кръга не играят никаква роля. Трябва също да знаете какъв е броят на радианите за пълен кръг (360 градуса). Припомнете си, че обиколката на окръжност е 2πr, което е 2π по дължината на радиуса. Тъй като по дефиниция 1 радиан е ъгълът между краищата на дъга, чиято дължина е равна на радиуса, има ъгъл, равен на 2π радиана в пълен кръг.

Знайте как да конвертирате радиани в градуси.Пълният кръг съдържа 2π радиана или 360 градуса. По този начин:

• 2π радиана=360 градуса
• 1 радиан=(360/2π) градуса
• 1 радиан=(180/π) градуса
• 360 градуса=2π радиана
• 1 градус=(2π/360) радиан
• 1 градус=(π/180) радиан

Научете "специални" ъгли.Тези ъгли в радиани са π/6, π/3, π/4, π/2, π и произведенията на тези количества (например 5π/6)

Научете и запомнете значенията на тригонометричните функции за специални ъгли.За да определите техните величини, трябва да погледнете единичния кръг. Помислете за сегмент с известна дължина, затворен в единична окръжност. Точката върху окръжността съответства на броя радиани в образувания ъгъл. Например ъгълът π/2 съответства на точка от окръжност, чийто радиус образува ъгъл π/2 с положителния хоризонтален радиус. За да се намери стойността на тригонометричната функция на всеки ъгъл, се определят координатите на точката, съответстваща на този ъгъл. Хипотенузата винаги е равна на единица, тъй като е радиусът на окръжност и тъй като всяко число, разделено на 1, е равно на себе си, а противоположният катет е равен на дължината по оста Oy, следва, че стойността на синус на произволен ъгъл е y-координатата на съответните точки от окръжността. Косинусната стойност може да се намери по подобен начин. Косинусът е равен на дължината на съседния катет, разделена на дължината на хипотенузата; тъй като последният е равен на единица, а дължината на съседния крак е равна на х-координатата на точката от окръжността, следва, че косинусът е равен на стойността на тази координата. Намирането на допирателната е малко по-трудно. Тангенсът на ъгъл на правоъгълен триъгълник е равен на срещуположния катет, разделен на съседния катет. В този случай, за разлика от предишните, коефициентът не е константа, така че изчисленията са малко по-сложни. Спомнете си, че дължината на противоположния катет е равна на y координатата, а съседният катет е равен на x координатата на точка от единичната окръжност; замествайки тези стойности, получаваме, че допирателната е равна на y / x. Като разделите 1 на стойностите, намерени по-горе, можете лесно да намерите съответните обратни тригонометрични функции. По този начин е възможно да се изчислят всички основни тригонометрични функции:

• sinθ=y
• cosθ=x
• tgθ=y/x
• cosec=1/г
• сек=1/х
• ctg=x/y

Намерете и запомнете стойностите на шест тригонометрични функции за ъгли, лежащи върху координатните оси, тоест ъгли, които са кратни на π/2, като 0, π/2, π, 3π/2, 2π и т.н.д. За кръгови точки, разположени върху координатните оси, това не създава проблеми. Ако точката лежи на оста x, синусът е нула, а косинусът е 1 или -1, в зависимост от посоката. Ако точката лежи на оста Oy, синусът ще бъде равен на 1 или -1, а косинусът ще бъде 0.

Намерете и запомнете стойностите на 6 тригонометрични функции за специален ъгъл π/6. Приложете ъгъл π/6 към единичната окръжност. Знаете как да намерите дължините на всички страни на специални правоъгълни триъгълници (с ъгли 30-60-90 и 45-45-90) при дадена дължина на една от страните и тъй като π/6=30 градуса, този триъгълник е един от специалните случаи. За него, както си спомняте, късият катет е равен на 1/2 от хипотенузата, т.е. координатата y е 1/2, а дългият катет е √3 пъти по-дълъг от късия, т.е. равно на (√3)/2, така че координатата x ще бъде (√3)/2. Така получаваме точка от единичната окръжност със следните координати: ((√3)/2,1/2). Използвайки горните уравнения, намираме:

• sinπ/6=1/2
• cosπ/6=(√3)/2
• tanπ/6=1/(√3)
• cosecπ/6=2
• secπ/6=2/(√3)
• ctgπ/6=√3

Намерете и запомнете стойностите на 6 тригонометрични функции за специален ъгъл π/3. Ъгъл π/3 е представен върху окръжност от точка, чиято х-координата е равна на y-координатата на ъгъл π/6 и чиято y-координата е същата като х-координатата за този ъгъл. Така точката има координати (1/2, √3/2). В резултат на това получаваме:

• sinπ/3=(√3)/2
• cosπ/3=1/2
• tgπ/3=√3
• cosecπ/3=2/(√3)
• secπ/3=2
• ctgπ/3=1/(√3)

Намерете и запомнете стойностите на 6 тригонометрични функции за специален ъгъл π/4. Дължината на хипотенузата на правоъгълен триъгълник с ъгли 45-45-90 е свързана с дължините на краката му като √2 към 1 и стойностите на координатите на точка от единичната окръжност също ще бъдат свързани. В резултат на това имаме:

• sinπ/4=1/(√2)
• cosπ/4=1/(√2)
• tgπ/4=1
• cosecπ/4=√2
• secπ/4=√2
• ctgπ/4=1

Определете дали стойността на функцията е положителна или отрицателна. Всички ъгли, принадлежащи към едно и също семейство, дават едни и същи абсолютни стойности на тригонометричните функции, но тези стойности могат да се различават по знак (единият е положителен, другият отрицателен).

• Ако ъгълът е в първия квадрант, всички тригонометрични функции са положителни.
• За ъгъл във втория квадрант всички функции с изключение на sin и cosec са отрицателни.
• В третия квадрант стойностите на всички функции, с изключение на tg и ctg, са по-малки от нула.
• В четвъртия квадрант всички функции, с изключение на cos и sec, имат отрицателни стойности.

През V век пр. н. е. древногръцкият философ Зенон от Елея формулира своите известни апории, най-известната от които е апорията „Ахил и костенурката“. Ето как звучи:

Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда крачки зад нея. През времето, през което Ахил изминава това разстояние, костенурката изпълзява стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил измине сто крачки, костенурката ще пропълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.

Това разсъждение се превърна в логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Гилберт... Всички те по един или друг начин са разглеждали апориите на Зенон. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават и в момента, научната общност все още не е успяла да стигне до общо мнение относно същността на парадоксите ... математическият анализ, теорията на множествата, нови физически и философски подходи бяха включени в изследването на въпроса ; нито едно от тях не стана общоприето решение на проблема ..."[Уикипедия," Апориите на Зенон "]. Всички разбират, че са заблудени, но никой не разбира каква е измамата.

От гледна точка на математиката, Зенон в своята апория ясно демонстрира прехода от стойността към. Този преход предполага прилагане вместо константи. Доколкото разбирам, математическият апарат за прилагане на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апориите на Зенон. Прилагането на обичайната ни логика ни вкарва в капан. Ние, по инерцията на мисленето, прилагаме постоянни единици време към реципрочното. От физическа гледна точка изглежда, че времето се забавя до пълно спиране в момента, в който Ахил настига костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да изпревари костенурката.

Ако обърнем логиката, с която сме свикнали, всичко си идва на мястото. Ахил тича с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да кажем „Ахил безкрайно бързо ще изпревари костенурката“.

Как да избегнем този логически капан? Останете в постоянни единици за време и не преминавайте към реципрочни стойности. На езика на Зенон това изглежда така:

За времето, необходимо на Ахил да измине хиляда крачки, костенурката пълзи стотина крачки в същата посока. През следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще направи още хиляда стъпки, а костенурката ще пропълзи сто стъпки. Сега Ахил е на осемстотин крачки пред костенурката.

Този подход описва адекватно реалността без никакви логически парадокси. Но това не е пълно решение на проблема. Твърдението на Айнщайн за непреодолимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон "Ахил и костенурката". Предстои ни да проучим, преосмислим и решим този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.

Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:

Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от времето тя е в покой, и тъй като е в покой във всеки момент от времето, тя винаги е в покой.

В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки момент летящата стрела се опира в различни точки в пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на неговото движение, нито разстоянието до него. За да се определи фактът на движение на автомобила, са необходими две снимки, направени от една и съща точка в различни моменти във времето, но те не могат да се използват за определяне на разстоянието. За да определите разстоянието до колата, имате нужда от две снимки, направени от различни точки в пространството едновременно, но не можете да определите факта на движение от тях (естествено, все още имате нужда от допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне). Това, което искам да отбележа по-специално, е, че две точки във времето и две точки в пространството са две различни неща, които не трябва да се бъркат, тъй като предоставят различни възможности за изследване.

Сряда, 4 юли 2018 г

Много добре разликите между набор и мултимножество са описани в Уикипедия. Ние гледаме.

Както можете да видите, "множеството не може да има два еднакви елемента", но ако има идентични елементи в множеството, такова множество се нарича "мултимножество". Разумните същества никога няма да разберат такава логика на абсурда. Това е нивото на говорещите папагали и дресираните маймуни, при които умът отсъства от думата „напълно“. Математиците действат като обикновени обучители, проповядвайки ни своите абсурдни идеи.

Имало едно време инженерите, които са построили моста, са били в лодка под моста по време на тестовете на моста. Ако мостът се срути, посредственият инженер загина под развалините на своето творение. Ако мостът можеше да издържи натоварването, талантливият инженер построи други мостове.

Колкото и да се крият математиците зад фразата „помни ме, аз съм в къщата“, или по-скоро „математиката изучава абстрактни понятия“, има една пъпна връв, която ги свързва неразривно с реалността. Тази пъпна връв е пари. Нека приложим математическата теория на множествата към самите математици.

Учихме математика много добре и сега седим на касата и плащаме заплати. Тук един математик идва при нас за парите си. Преброяваме му цялата сума и я разпределяме на масата си в различни купчини, в които поставяме банкноти от една и съща номинална стойност. След това вземаме по една банкнота от всяка купчина и даваме на математика неговата "математическа заплата". Обясняваме математиката, че той ще получи останалите сметки само когато докаже, че множеството без еднакви елементи не е равно на множеството с еднакви елементи. Тук започва забавлението.

Първо ще проработи логиката на депутатите: „към другите можеш, но към мен не!“ По-нататък ще започнат уверения, че има различни номера на банкноти на банкноти от една и съща номинална стойност, което означава, че те не могат да се считат за идентични елементи. Е, ние броим заплатата в монети - няма цифри на монетите. Тук математикът трескаво ще си припомни физиката: различните монети имат различно количество мръсотия, кристалната структура и разположението на атомите за всяка монета е уникално ...

И сега имам най-интересния въпрос: къде е границата, отвъд която елементите на мултимножество се превръщат в елементи на множество и обратно? Такава линия не съществува - всичко се решава от шаманите, науката тук дори не е близо.

Вижте тук. Избираме футболни стадиони с еднаква площ. Площта на полетата е една и съща, което означава, че имаме мултимножество. Но ако разгледаме имената на едни и същи стадиони, получаваме много, защото имената са различни. Както можете да видите, едно и също множество от елементи е едновременно множество и мултимножество. Колко правилно? И тук математикът-шаман-шулер изважда козово асо от ръкава си и започва да ни говори или за множество, или за мултимножество. При всички случаи той ще ни убеди, че е прав.

За да разберем как съвременните шамани оперират с теорията на множествата, обвързвайки я с реалността, е достатъчно да отговорим на един въпрос: как елементите на едно множество се различават от елементите на друго множество? Ще ви покажа, без никакво "мислимо като неединно цяло" или "немислимо като единно цяло".

Неделя, 18 март 2018 г

Сумата от цифрите на едно число е танц на шамани с тамбура, който няма нищо общо с математиката. Да, в уроците по математика ни учат да намираме сумата от цифрите на числото и да го използваме, но те са шамани за това, за да научат своите потомци на своите умения и мъдрост, в противен случай шаманите просто ще изчезнат.

Имате ли нужда от доказателство? Отворете Wikipedia и се опитайте да намерите страницата „Сума от цифри на число“. Тя не съществува. В математиката няма формула, чрез която можете да намерите сумата от цифрите на всяко число. Все пак числата са графични символи, с които записваме числата, а на езика на математиката задачата звучи така: „Намерете сбора от графични символи, представляващи произволно число“. Математиците не могат да решат този проблем, но шаманите могат елементарно.

Нека да разберем какво и как правим, за да намерим сумата от цифрите на дадено число. И така, да кажем, че имаме числото 12345. Какво трябва да се направи, за да се намери сборът от цифрите на това число? Нека разгледаме всички стъпки по ред.

1. Запишете числото на лист хартия. какво направихме Преобразувахме числото в числов графичен символ. Това не е математическа операция.

2. Разрязваме една получена снимка на няколко картинки, съдържащи отделни номера. Изрязването на картина не е математическа операция.

3. Преобразувайте отделни графични знаци в числа. Това не е математическа операция.

4. Съберете получените числа. Сега това е математика.

Сумата от цифрите на числото 12345 е 15. Това са "курсовете по кроене и шиене" от шаманите, използвани от математиците. Но това не е всичко.

От гледна точка на математиката няма значение в коя бройна система записваме числото. Така че в различни системи с числа сумата от цифрите на едно и също число ще бъде различна. В математиката числовата система се обозначава като долен индекс отдясно на числото. С голямо число 12345, не искам да заблуждавам главата си, помислете за числото 26 от статията за. Нека запишем това число в двоична, осмична, десетична и шестнадесетична бройни системи. Няма да разглеждаме всяка стъпка под микроскоп, вече го направихме. Нека да видим резултата.

Както можете да видите, в различните бройни системи сумата от цифрите на едно и също число е различна. Този резултат няма нищо общо с математиката. Все едно намирането на площта на правоъгълник в метри и сантиметри ще ви даде напълно различни резултати.

Нулата във всички бройни системи изглежда еднакво и няма сбор от цифри. Това е още един аргумент в полза на факта, че. Въпрос към математиците: как се означава в математиката това, което не е число? Какво, за математиците не съществува нищо друго освен числа? За шаманите мога да го позволя, но за учените не. Реалността не е само в числа.

Полученият резултат трябва да се счита за доказателство, че бройните системи са единици за измерване на числата. В крайна сметка не можем да сравняваме числа с различни мерни единици. Ако едни и същи действия с различни мерни единици на една и съща величина водят до различни резултати след сравняването им, то това няма нищо общо с математиката.

Какво е истинска математика? Това е, когато резултатът от дадено математическо действие не зависи от стойността на числото, използваната мерна единица и от това кой извършва това действие.

Знак на вратата Отваря вратата и казва:

Ох! Това не е ли женската тоалетна?
- Млада жена! Това е лаборатория за изследване на безкрайната святост на душите при възнесение на небето! Нимб отгоре и стрелка нагоре. Каква друга тоалетна?

Жена... Ореол отгоре и стрелка надолу е мъж.

Ако такова произведение на дизайнерското изкуство мига пред очите ви няколко пъти на ден,

Тогава не е изненадващо, че изведнъж намирате странна икона в колата си:

Лично аз полагам усилия да видя минус четири градуса в акащ човек (една снимка) (композиция от няколко снимки: знак минус, число четири, обозначение на градуса). И не го смятам за глупачка това момиче, което не знае физика. Тя просто има дъгов стереотип за възприемане на графични изображения. И математиците ни учат на това през цялото време. Ето един пример.

1А не е "минус четири градуса" или "едно а". Това е "какащ човек" или числото "двадесет и шест" в шестнадесетичната бройна система. Тези хора, които постоянно работят в тази бройна система, автоматично възприемат числото и буквата като един графичен символ.

Таблица със стойности на тригонометрични функции

Забележка. Тази таблица със стойности за тригонометрични функции използва знака √ за обозначаване на корен квадратен. За обозначаване на дроб - символът "/".

Вижте същополезни материали:

За определяне на стойността на тригонометрична функция, намерете го в пресечната точка на линията, показваща тригонометричната функция. Например синус от 30 градуса - търсим колона със заглавие sin (синус) и намираме пресечната точка на тази колона на таблицата с линията "30 градуса", на пресечната им точка четем резултата - едно второ. По същия начин намираме косинус 60степени, синус 60градуси (отново, в пресечната точка на колоната sin (синус) и реда от 60 градуса намираме стойността sin 60 = √3/2) и т.н. По същия начин се намират стойностите на синусите, косинусите и тангентите на други "популярни" ъгли.

Синус от пи, косинус от пи, тангенс от пи и други ъгли в радиани

Таблицата с косинуси, синуси и тангенси по-долу също е подходяща за намиране на стойността на тригонометрични функции, чийто аргумент е дадени в радиани. За да направите това, използвайте втората колона с ъглови стойности. Благодарение на това можете да конвертирате стойността на популярните ъгли от градуси в радиани. Например, нека намерим ъгъла от 60 градуса в първия ред и прочетем стойността му в радиани под него. 60 градуса е равно на π/3 радиана.

Числото пи еднозначно изразява зависимостта на обиколката на окръжност от градусната мярка на ъгъла. Така че пи радиани е равно на 180 градуса.

Всяко число, изразено чрез pi (радиан), може лесно да бъде преобразувано в градуси чрез замяна на числото pi (π) със 180.

Примери:
1. синус пи.
sin π = sin 180 = 0
по този начин синусът от пи е същият като синусът от 180 градуса и е равен на нула.

2. косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
по този начин косинусът от пи е същият като косинусът от 180 градуса и е равен на минус едно.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
по този начин тангенсът на pi е същият като тангенса на 180 градуса и е равен на нула.

Таблица със стойности на синус, косинус, тангенс за ъгли 0 - 360 градуса (чести стойности)

ъгъл α (градуси)	ъгъл α в радиани (чрез pi)	грях (синус)	cos (косинус)	tg (тангента)	ctg (котангенс)	сек (секанс)	причина (косеканс)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ако в таблицата със стойности на тригонометричните функции вместо стойността на функцията е посочено тире (тангенс (tg) 90 градуса, котангенс (ctg) 180 градуса), тогава за дадена стойност на градусната мярка на ъгълът, функцията няма определена стойност. Ако няма тире, клетката е празна, така че все още не сме въвели желаната стойност. Интересуваме се за какви заявки потребителите идват при нас и допълваме таблицата с нови стойности, въпреки факта, че текущите данни за стойностите на косинусите, синусите и тангенсите на най-често срещаните стойности на ъглите са достатъчни за решаване на повечето проблеми.

Таблица със стойности на тригонометричните функции sin, cos, tg за най-популярните ъгли
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градуса
(числови стойности "съгласно таблиците на Bradis")

стойност на ъгъла α (градуси)	стойност на ъгъл α в радиани	грях (синус)	cos (косинус)	tg (тангенса)	ctg (котангенс)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

В тази статия ще анализираме много подробно дефиницията на числова окръжност, ще разберем нейното основно свойство и ще подредим числата 1,2,3 и т.н. За това как да маркирате други числа в кръга (например \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) разбира .

Цифров кръг наричаме окръжност с единичен радиус, чиито точки съответстват на подредени по следните правила:

1) Началото е в крайната дясна точка на окръжността;

2) Обратно на часовниковата стрелка - положителна посока; по часовниковата стрелка - отрицателно;

3) Ако нанесем разстоянието \(t\) върху окръжността в положителна посока, тогава ще стигнем до точката със стойност \(t\);

4) Ако начертаем разстоянието \(t\) върху окръжността в отрицателна посока, тогава ще стигнем до точката със стойност \(–t\).

Защо кръгът се нарича число?
Защото има цифри. В това окръжността е подобна на числовата ос - на окръжността, както и на оста, за всяко число има определена точка.

Защо да знаете какво е кръг с числа?
С помощта на числова окръжност се определя стойността на синусите, косинусите, тангенсите и котангенсите. Ето защо, за да знаете тригонометрията и да издържите изпита с 60+ точки, е задължително да разберете какво е числова окръжност и как да поставите точки върху нея.

Какво означават думите "... с единичен радиус ..." в определението?
Това означава, че радиусът на тази окръжност е \(1\). И ако построим такава окръжност с център в началото, тогава тя ще се пресича с осите в точките \(1\) и \(-1\).

Не е необходимо да го рисувате малък, можете да промените „размера“ на деленията по осите, тогава картината ще бъде по-голяма (вижте по-долу).

Защо радиусът е точно единица? По-удобно е, защото в този случай, когато изчисляваме обиколката по формулата \(l=2πR\), получаваме:

Дължината на числовата окръжност е \(2π\) или приблизително \(6,28\).

И какво означава "... чиито точки съответстват на реални числа"?
Както бе споменато по-горе, в числовия кръг за всяко реално число определено ще има неговото „място“ - точка, която съответства на това число.

Защо да определяте началото и посоката върху числовата окръжност?
Основната цел на числовата окръжност е еднозначно да определи своята точка за всяко число. Но как можете да определите къде да сложите край, ако не знаете откъде да броите и накъде да се движите?

Тук е важно да не бъркате началото на координатната линия и на числовата окръжност - това са две различни отправни системи! Освен това не бъркайте \(1\) на оста \(x\) и \(0\) на окръжността - това са точки върху различни обекти.

Кои точки съответстват на числата \(1\), \(2\) и т.н.?

Не забравяйте, че предположихме, че радиусът на числова окръжност е \(1\)? Това ще бъде нашият единствен сегмент (по аналогия с числовата ос), който ще поставим върху кръга.

За да маркирате точка в числовата окръжност, съответстваща на числото 1, трябва да изминете от 0 разстояние, равно на радиуса в положителната посока.

За да маркирате точка в окръжността, съответстваща на числото \(2\), трябва да изминете разстояние, равно на два радиуса от началото, така че \(3\) да е разстояние, равно на три радиуса и т.н.

Гледайки тази снимка, може да имате 2 въпроса:
1. Какво ще се случи, когато кръгът "свърши" (т.е. направим пълен кръг)?
Отговор: да отидем на втори кръг! И когато свърши второто, ще отидем на третото и така нататък. Следователно безкраен брой числа могат да бъдат приложени към кръг.

2. Къде ще бъдат отрицателните числа?
Отговор: точно там! Те също могат да бъдат подредени, като се брои от нула необходимия брой радиуси, но вече в отрицателна посока.

За съжаление е трудно да се обозначат цели числа върху числовата окръжност. Това се дължи на факта, че дължината на числовата окръжност няма да бъде цяло число: \ (2π \). И на най-удобните места (в точките на пресичане с осите) също ще има не цели числа, а дроби