Лабораторна работа по решение на числени методи. Числени методи

препис

1 Алексеева О.А. ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ Семинар Челябинск

2 УДК 59.6 ББК.9 А-47 Алексеева О.А. Числени методи: практическа работа. Челябинск: NOUVPO RBIM,. 77 стр. Разгледани са най-разпространените методи за числен анализ: методът на простата итерация и методът на Зайдел за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, числените методи за намиране на корените на трансцендентните уравнения, формулата на Лагранж, широко разпространеният в практиката метод най-малки квадрати. Във всяка лабораторна работа се извеждат работни формули, които се използват за последващото им изпълнение на компютър. Разгледаните алгоритми са илюстрирани с примери. Във всяка лабораторна работа са дадени около 8 варианта индивидуални заданияи тестови случаи. Работилницата е предназначена за организиране практически упражненияи самостоятелна работапо дисциплината "Числени методи" за студенти от направления "Приложна информатика" и "Бизнес информатика". Рецензенти: Турлакова С.У. Кандидат на физико-математическите науки Sci., доцент от катедрата по приложна математика, FSBEI HPE "SUSU" (NRU UDC 59.6 BBK.9 Alekseeva O.A., NOUVPO RBIM,

3 Съдържание Лабораторна работа. Итеративни методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения Постановка на проблема Класификация на методите за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения Прост итерационен метод (метод на Якоби Условия за конвергенция и елементарни трансформацииматрици Метод на Зайдел (метод на Гаус-Зайдел метод на последователни замествания Контролни задачи... 4 Контролни въпроси... Лабораторна работа. Методи за намиране на решения нелинейни уравненияс едно неизвестно.... Постановка на задача.... Методи за решаване на нелинейни уравнения.... Тестови задачи... 7 Контролни въпроси... 9 Лабораторни упражнения. Формула за интерполация на Лагранж Постановка на задачата Частни случаи на полинома на Лагранж Оценка на грешката Тестови задачи Тестови въпроси... 5 Лабораторни упражнения 4. Метод на най-малките квадрати Описание на метода Линейна функция квадратична функцияСтепенна функция Логаритмична функция Контролни задачи Контролни въпроси... 7 Библиографски списък Приложение... 75

4 Лабораторна работа. Итеративни методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения Целта на работата: да се реши система от линейни алгебрични уравнения чрез проста итерация и метода на Seidel с дадена точност. Редът на работата. Разгледайте теоретичен материал.. Решете дадения вариант на контролна задача (вижте т. 6.. Направете доклад. 4. Отговорете на контролните въпроси. 5. Защитете лабораторната работа.. Постановка на задача. Нека е дадена системата от линейни уравнения с неизвестни: a a ... a b, a a... a b, a a... a b Означаваме с A матрицата на коефициентите на системата (: a a... a a a... a A, a a... a колона на свободните членове на системата (чрез вектора b : b b b.... b (4

5 Решението на системата от уравнения (означаваме желания вектор през колоната с неизвестни: .... Ако матрицата A е неособена, тогава системата (има уникално решение (вижте Приложение. Наборът от числа, ..., (т.е. векторът, който обръща системата (в идентичност, се нарича решение на тази система, а самите числа са нейните корени. В реални условия компютърните изчисления почти винаги са придружени от грешки. Те се дължат на грешки в изходните данни, грешки в закръглянията, грешки в превода на числа от десетична системаизчисление към двоично при запис на информация в паметта на компютъра и грешки, свързани с ограничената битова мрежа. Методите за решаване на системи от линейни уравнения се разделят на две групи: точни и итеративни методи Класификация на методите за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения Точни методи (директни методи Тези методи са крайни алгоритми за изчисляване на корените на система. Те дават решение след извършване на предварително известен номероперации, например правило на Крамер, метод на Гаус, метод квадратни корении т.н. . Тези методи са относително прости и най-универсални, т.е. подходящ за широка гама от решения линейни системи. Точните методи се използват за решаване на системи от линейни уравнения, в които броят на неизвестните, матрицата е плътно запълнена и детерминантата не е близо до нула. Поради неизбежното закръгляване резултатите дори от точни методи са приблизителни, а оценката на грешките на корените в общ случайтруден. 5

6 .. Итеративни методи Те позволяват получаване на корените на системата с дадена точност чрез конвергиращи процеси, например метод на проста итерация, метод на Seidel, метод на релаксация и др. При тези методи е необходимо да се уточнят някои приблизителни решение на първоначалното приближение. След това, използвайки алгоритъма, се извършва един цикъл от изчисления, наречен итерация. В резултат на итерация се намира ново приближение. Итерациите се извършват до получаване на решение с необходимата точност. Алгоритмите за решаване на линейни системи с помощта на итеративни методи обикновено са по-сложни от директните методи. Не е възможно да се определи точно обемът на изчисленията предварително. Ефективно приложениена итеративните методи зависи основно от успешния избор на първоначалното приближение и скоростта на сходимост на процеса. Итеративните методи се използват за решаване на системи с големи размери (за >, когато използването на директни методи е невъзможно поради ограниченията на RAM на компютъра. Големи системиУравненията, които възникват в приложенията, обикновено са оскъдни, така че използването на точни методи е неефективно, тъй като независимо дали елементът е нула или не, той трябва да се съхранява в паметта. При итеративните методи матрицата остава разредена. Тези методи се използват и за рафиниране на получените корени точни методи.. Метод на проста итерация (метод на Якоби Метод на проста итерация , разгледайте примера на система от три линейни алгебрични уравнения: a a a b, a a a b, (a a a b, което може да бъде написано накратко като матрично уравнение: Ah=b. В оригиналната система отделяме диагоналните коефициенти a (където =,. 6

7 Да приемем, че диагоналните коефициенти удовлетворяват условията: a a a a a a,. a a a (a /(a (a (a (a 7 /(a /(a /(a b b b) В резултат на това получаваме еквивалентна система:, където b / a, a / a за j (, j=,. j j) /(a /( a /(a Система (можем да запишем в матрична форма:. Система (ще решим по метода на простата итерация. Като нулево приближение (взимаме елементите на колоната от свободни членове: (=, т.е. (=, (=, (=). намираме първото приближение x (, замествайки намерените стойности на нулевото приближение в системата (: (((, (((, (((, Замествайки стойностите ​) на приближението x (in правилната странасистема (, получаваме: (((, (((, второ приближение. (((,. (

8 8 Продължавайки този процес по-нататък, получаваме последователност x (, (, (, (k,...) приближения, изчислени по работните формули:., ((((((, ((((k k k k k k k k k) Като цяло работните формули за системата са уравнения: , (, ((((((, (((k k k k k k k k k k k k (4) може да не се получи) голяма сумаитерации, а да зададе определена точност на решението, при достигането на която итерационният процес завършва. Условието за края на итеративния процес може да бъде записано като:, ((k k където =,. Пример. Решете системата с точност = = -. 46,5,5,7,9, Решение. противоположен знаккъм дясната страна. Разделяме всяко от уравненията на системата на съответния коефициент от лявата страна на уравнението:

9 4 /,9(,7, /,(7.46, /9.8(8.76, /,(49,7,9,5,5,5,9,5, 4 4 4,..) Като начален вектор (ние ще вземе елементите от колоната на свободните членове, като закръгли стойностите им до два знака след десетичната запетая:,4 (,.,45,55. Ще извършим изчисления до условието (k (k, където = - , =, 4. Последователно изчислете: за k = : (/,9(,7,45,9,55,75, (/,(7,46,4,5,45,5,55,95, (/ 9,8) (8,76,4,5,55,4, (4 /,(49,7,9,4,5,45,6). Сравнявайки полученото ( с ( , виждаме, че условията за конвергенция не са изпълнени. Когато k = : ((((4 6.94 /,9.86.45 /,8.99 /9.8.7, 45.88 /.477. Сравнявайки полученото (с (), виждаме, че условията за конвергенция не са изпълнени. За k = 9

10 ((((4 6.6744 /,9.7978.548 /.9977.7 /9.8.975, 44.88575 /.98. : (4 6.795 /.9.84, (4.6 /.5, (4.77 /9.8.5), (4 4 44.95) /.4. За сравнение (4 с (, намираме модулите на разликите на стойностите (4 (: (4 (4 (4 (4 4 ((((4,6,8, Тъй като всички намерени стойности на модули) са по-големи от даденото число = -, продължаваме итерацията. Получаваме за k = 5: (5 (5 (5 (5 4 6.788 /.9.7999.98 /.9999.758 /9.8.999, 44.9774 /.999.

11 Намерете модулите на разликите на стойностите: (5 (4 (5 (4.5, (5 (4.6, (5 (4.6, (5 (4.4, 4 4)) Те са по-малки от дадено число, така че приемаме като a) решение : =,7999, =,9999, =,999, 4 =, Условия на сходимост и елементарни матрични трансформации към уникалното решение на тази система, независимо от избора на първоначалното приближение Следствие За системата j, (=,.. ., j b j , итерационният метод се сближава, ако са валидни следните неравенства: a j a j, (=,..., j т.е. ако диагоналните коефициенти за всяко уравнение на системата са по-големи от сумата на модулите на всички останали коефициенти (без да се брои свободните термини Следните трансформации на матрица се наричат ​​елементарни трансформации на матрица: транспониране, т.е. заместване на всеки ред с колона със същото число; пермутиране на два реда или две колони; умножаване на всички елементи на ред или колона по всяко не -нулево число c; добавяне към всички изяждаме елементите на ред или колона от съответните елементи на паралелна серия, умножени по едно и също число.

12 5. Методът на Зайдел (методът на Гаус-Зайдел, методът на последователните замествания) Методът на Зайдел е модификация на метода на простата итерация x, ..., x -l [, 5]. В този метод, като при метода на простата итерация е необходимо системата да се приведе във формата (, така че диагоналните коефициенти да са максимални по абсолютна стойност и да се проверят условията за сходимост. Ако условията за сходимост не са изпълнени, тогава е необходимо да се извърши елементарни преобразувания (виж т. 4. Нека е дадена система от три линейни уравнения. Нека я приведем във вида (. Избираме произволно началните приближения на корените: x (, x (, x (, опитвайки се да ги направим в някаква мярка съответства на желаните неизвестни. За нулево приближение можем да вземем колоната със свободни членове, т.е. x (= (т.е. (=, (=, (=. Намерете първото приближение x (по формулите: ((( , ((( , (((Необходимо е да се обърне внимание на сингулярността методът на Seidel, който се състои в това, че стойността x (l), получена в първото уравнение, веднага се използва във второто уравнение, а стойностите x ((, x (в третото уравнение и т.н. Тоест, всички намерени стойности на x (се заместват в уравненията, за да се намери x +. Работните формули за метода на Seidel за система от три уравнения са следващ изглед: (k (k (k, (k (k (k, (k (k (k).

13 (k (k) Нека запишем в общ вид за системата от -уравнения работните формули: (k (k (k (k..., (k (k (k (k..., (k (k)) (k (k.. .,. Отбележете, че теоремата за сходимост за метода на простата итерация е валидна и за метода на Seidel. Нека зададем определена точност на решението, при достигането на която итеративният процес завършва, т.е. решението продължава докато не бъде изпълнено условието за всички уравнения:, където =, Пример: Използвайте метода на Зайдел, за да решите системата с точност = -:,9.9 4.7.5.5 4 7.46.5 9.8, 4 8.76.9.5, 4 49.7. Решение. Нека доведете системата до формата: /,9(,7,9 4, /,(7,46,5,5 4, /9,8(8,76,5, 4, 4 /,(49,7 , 9,5,.. Като начален вектор x (взимаме елементите на колоната от свободни термини, закръгляйки стойностите им до два знака след десетичната запетая:,4 (,.,45,55. Ще повторим, използвайки метода на Seidel , За k = (/,9 (,7,45,9,55,75. (При изчисляване на x използваме вече получената стойност (x \u003d,75:

14 (/,(7,46,75,5,45,5,55,9674. ((Когато изчислявате x, използвайте стойностите на x и x(: (/9,8(8,76,75, 5,9674,55,977 Накрая, използвайки стойностите x (, x (, x (, получаваме: (4 /, (49,7,9,75,5,9674,977,47). По същия начин изпълняваме изчисления за k= и k=. За k = : (6.766 /.9.89, (.9 /.9996, (.758 /9.8.996, (4 44.998 /.4. За k= : (6.7 /.9.86,) (.58 / , (, /9,8,9999, (4 44,9999 /,4. Нека намерим модулите на разликите на стойностите (k (k за k = : ((, ((,4,) ((,4, ((, 4 4 Те са по-малки от дадено число, затова за решение приемаме: =, 86, =, =, 9999, 4 =, 4. 6. Контролни задачи Решете дадена системалинейни алгебрични уравнения чрез проста итерация и методи на Seidel. Точност на решението =,.,7, 4, 5,6, 4, 5, 5,8 7,. 4, 4.5 4.8 4.9,.,8, 4, 5.7,8.7. 7,8 5, 6, 5,8. четири

15 5.,.,5,4,8,7,4,4,5,6 5, 6, 4.,4., 5,6,5, 7,8 4,7,5,4, 4,5,7 5. 5,6., 7, 5,8,4,8 4,5,7,5 6.,., 4,5,5,5 5,8,5,4,8,7,9 7. 5,5. 8,6,5,4,5,5 4,5,9,5,4 8.,5.,5,6,7 4, 6,8,5 5,5,8,4 5,4 9.,5. 5,4, 4,8, 8,7,4. 4,5., 7,4 6,5, 6,4,8,8,8,5,.,. 4,6,5,8,6,7,6,8 4,5.,8.,75,5,7,7,8,65,7,8,6,7,4.,.,75,75,8, 4.,7.,7,7,75,5,4, 5,5.,8,7,75,7,8,75 6.,.,9,7,8,77,8,75,5,4, 7.,88.,67,8,7,6,4,54,4,5,6,8,9 8.,5.,6,5,48,5,44,45,46,7,87,4 9.,64.,5,84,44,58,4,6,85,4,.,87.,6,7,58,4,56,4,8,68,86,44,6

16 6.,6.,7,86,75,8,8,5,44,5,7,46.,5.,6,5,5,6,5,7,4,87,55,7 4,4.,74.,8,55,58,84,45,8,64,8,44,6,4 4.,8.,4,4,7,7,76,88,6,4,56,6 5.,.,68,4,57,4,8,67,7,5,7,5 6.,97.,6,8,74,4,4,6,5,4,7,95 7.,4.,7,8,7,4,7,5,4,7,7, 8.,7.,6,7,5,8,8,76,65,6,6,8,6 9.,6.,74,78,77,7,4,74,7,65,7,.,54.,88,77,86,7,4,8,58, 4,8,64.,9.,8,75,66,78,66,5,58,8,4,7.,.,8,58,4,6,7,8,74,7,58,4,4.,5.,8,7,86,5,54,7,4,4,88,65,47 4.,6.,8,47,4,55,6,54,7,6,4,6 5.,88.,57,8,7,4,57,8,5,4,95,6,4 6.,45.,5,4,9,7,8,4,6,9,7,8 7.,76.,95,48,56,64,5,7,6,8,8,7 8.,8.,7,5,5,8,7,7,5,8,6

17 7 9.,5.,8,56,4,7,4,5,7,45,9,65 4.,8.,7 4,8,4,7,9,8,7 4.,8.,7 5,8 4,7,8,7,5,7 4., 5,8., 5,7 4, 6,7,8 5,8 9,8, 7,8 5,6 9, 4. 5,6. 4,8,8 7,5,9,9,8, 44.,.,8,7 5,7, 4,8,7 4,8,8, 45.,8.,6,85,44,7,48,4,75,4,7,4,.,5,6,4,7,4,5 6,5,7,5, 47.,6., 4,5,5,4,9,6,7,8, 4,7,8,6 48.,.,7,8,4, 6,7,6,4,9,7,7 5,6 49.,4.,4,7 5,6, 6,7,8 4,5,5,5,9,7 5. 6,4.,5 7,4,8,5,6,5, 7,4,5 4,5 5.,6.,5 4,5,4,8,7, 6,4 5, 6,7,8 5.,8.,8,4,8,8,4,5,5 6, 5,4 5.,4.,8, 4,5,8,8, 4,8 5, 7,8.,8, 5,8,9, 4,8, 4,.,9 4,8,9,8,. 4,8 7, 6,5 7,8,5 4,5,8,8

18 ,. 5, 4,8 4, 6,9,7 5,8, 4,7, 58. 5,8. 7, 7,8 8, 6, 5, 4,8 5, 7, 6, 6,8 7, 59. 7,8.,8,9 9,7,7 4,8, 4,7 5,8 7,6 6.,47.,65,95,84,7,86,8,76,6,5 6.,9. 7,4,4,4,7,7 4,5,4, 5,4 6.,4.,8,45,7,45,7,7,4 6.,8.,44,6,55,75,6,87,4,48,55,4,9 64.,6.,85,8,4,4,8,6,75,4,75,45 65.,87.,8,4,65,87,4,6,8,65,6, 66.,88.,8,7,5,8,76,5,48,7,5,4 67.,87.,77,4,6,64,4,45,7,8,6,7, 68.,47.,86,7,5,7,7,8,8,57,5,8,78 69.,5.,6,5,8,5,7,8,6,8,75 7.,4.,55,64,64,96,75,8,75,48 7.,74.,4,6,7,7,6,7,7,75,7,7,6 7.,68.,88,5,67,7,5,87,8,67,8 7.,87.,5,7,54,68,7,6,65,4,54,65,7 74.,57.,65,7,77,88,7,8,77,7

19 9 75.,.,76,7,8,5,6,8,8,7,8,74 76.,7.,5,6,9,7,6,4,5,8,9,5,64 77.,.,6,46,8,9,46,7,7,5,8,7,65 78.,7.,5,9,8,95,9,68,75,68,8,75,5 79.,74.,7,57,8,88,57,45,6,65,8,6,4 8.,5. 8,7,84,6,7,65,7,5,84,7,6

20 контролни въпроса. Какво се нарича решение на система от линейни алгебрични уравнения?. Какви са методите за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения?. Кога итеративните методи са подходящи? 4. Методът на Cramer точен или приблизителен метод е? 5. Запишете работните формули на итерационния метод. 6. Дайте примери за итеративни методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения. 7. Каква е разликата между метода на Seidel и метода на простата итерация? 8. Как се класифицират методите за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения? 9. Какъв метод е по-добър за решаване на система от уравнения от нисък ред, например третата? Какво определя скоростта на конвергенция на итерационния метод? При какво условие методът на простата итерация ще се сближи? Запишете работните формули на метода на Зайдел за система от x линейни алгебрични уравнения Каква е основната разлика между точните и приближените методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения?

21 Лабораторни упражнения. Методи за намиране на решения на нелинейни уравнения с едно неизвестно Целта на работата: да се реши нелинейно уравнение с дадена точност. Редът на работата. Запознайте се с описанието на лабораторната работа. Решете дадения вариант (виж параграф 4: a отделяне на корена, b изясняване на значението на корена.. Направете доклад. 4. Отговорете на контролни въпроси. 5. Защитете лабораторна работа.. Постановка на задача линейно уравнениенамерен в различни полета научно изследванеи актуален днес. Често е елементарна стъпка в решаването на научни и технически проблеми. Аналитични методиза намиране на корените на нелинейни уравнения съществуват само за отделни уравнения, например a b c. По правило се използват приблизителни методи за намиране на корените. Нелинейните уравнения могат да бъдат два вида: алгебрични и трансцендентални. Уравненията от формата a b c се наричат ​​алгебрични, уравненията от формата s (трансцендентални, тъй като съдържат трансцендентни функции. Те включват тригонометрични функции x s(, cos(, tg(, ctg(, експоненциална функция e, логаритмични функции lg(, l(. В общия случай нелинейните уравнения с едно неизвестно имат формата F (. (Коренът на уравнението е всяко реално или имагинерно число, което се преобразува (в идентичност.

22 Корените се намират на два етапа: първият е отделянето на корените, т.е. намиране на отсечка, съдържаща един корен на уравнение; второто уточняване на стойността на корените върху намерените сегменти със зададена точност. Ако функцията F (непрекъсната и поема краищата на сегмента различни знаци, т.е. F (a* F(b различни начини.. Съставете таблица със стойности на функцията y F(на избрания сегмент на промяната в аргумента. За да се отдели коренът, е необходимо в краищата на избрания сегмент функцията да има различни знаци и да бъде монотонна , Като знак за монотонност на функцията можете да използвате условието първата производна да е постоянна. дадена функция F (намерете F (и изчислете стойностите му в краищата на сегмента, ако F (a* F(b, функция F (монотонен .. Постройте графика на функцията y F (на сегмента на промяна; точката на пресичане на графиката с оста o ще ни даде корена на уравнението. За последващо прецизиране на корена вземаме околността на корена и ги обозначаваме .. Уравнение F (заменете еквивалентно на него F (F (, изградете две графики y F (и y F (. Абсцисата на пресечната точка на тези графики, проектирана върху оста, ще ни даде отсечката , вътре в която е коренът на уравнението F (.. Методи за решаване на нелинейни уравнения .. Метод на разполовяване (метод на бисекциите) Задача Намерете решение на нелинейното уравнение F (с точност. Методът е следният: в резултат на отделяне на корена се намира сегмент, в който се намира желаната стойност на корена. Като начална приближаване на корена, вземаме стойността c o \u003d (b + a /. След това изучаваме стойностите на F (в краищата на сегментите и . Този, в краищата на който F (взема стойности на различни знаци, съдържа желания корен.Затова се приема като нов изрежете (вижте фиг., тук коренът е върху сегмента

23 ке. След това разделяме получения сегмент наполовина и отново проверяваме знаците. F (a, F (b, F (c. Фиг. Сега намираме корена на сегмента. След това намираме c с c и т.н.) Итеративният процес продължава, докато F (стане по-малко от дадено число: F (c. Работната формула за намиране на корена има формата c c c. Броят на итерациите в този метод зависи от предварително зададената точност и дължината на сегмента и не зависи от вида на функцията F (. Методът е бавен, винаги се сближава, можете да получите решение с дадена точност, широко се използва в практиката. на уравнението; броя на повторенията; F (- стойността на функцията в съответната точка ... Метод на акордите Задача. Намерете корена на уравнението F (с точност. Нека имаме отсечка, в краищата на която F (променя своя знак, където F (е монотонна функция. Нека F (a, F (b. На фигурата проблемът за намиране на корена по метода на акорда е представен графично. Всяка точка от сегмента може да бъде първата приближение на корена Нека свържем точките A и B с права линия , т.е. нека направим акорд. Така получаваме b, което е приближение на корена.

24 Нека използваме уравнението на молив от прави, минаващи през точката B(b, F(b. y y =k(, y F(b =k(b. Хордата трябва да минава през точката A(a, F(a) , т.е. F( a F(b k. ab Напишете уравнението на правата F(a F(b y F(b (b. a b) Започнете въвеждане a, b, =, ε Изчислете F (a = + c a b F (c b = c F (c Не Не F(c* F(a Да Да Изход c, a = c Край Фиг. 4

25 5 Фиг. Начертаната линия пресича оста x (((b a b b F a F b F y. Намерете x, когато y \u003d ((((, (((b F a F b a b F b b b F a F b a b F b). Освен това, сравнявайки знаците на F ( b и F(b), намерете нов сегмент. Свържете точки A и B с нова хорда, като по този начин намерете ново приближение на корена. Итеративният процес продължава, докато F(b по-малко от число: (b F. При решаването на този метод е невъзможно да загубите корена. Работната формула на метода на акорда: b b b b F a F b a b F b b или ((((, където b е началото на сегмента, а край (точка a е фиксирана. Краят, за който знаковата функция (F съвпада със знака на нейната втора производна (F. Блоковата схема на алгоритъма на метода на акордите е показана на фиг. 4, където сегментът, в който намира се коренът на уравнението; b е коренът на уравнението; броят на итерациите; F(b е стойността на функцията в съответната точка.

26 .. Метод на Нютон (тангентен метод) 5, който показва графично решениезадачи. Допирателната към функцията е начертана от точка А. Пресечната точка на допирателната с оста Ox е първото приближение на корена, на фиг. 5 е отбелязано като a. След това от точка а начертаваме права линия, перпендикулярна на оста x. Пресечната точка на тази права с функцията ще бъде означена с A и т.н. Начало Вход b, = b b b = + F (b Да Не Изход b, Край Фиг. 4 Напишете уравнението на правата, допирателна към F (: y-y =k(-, y=, F(a където k F(a, a) , F (a F(a y F(a. a a. F(a y F a F(a (. (a 6)

27 Фиг. 5 Начало Вход a, = a a a = + F (a Да Не Изход a, Край Фиг. 6 Работна формула на метода на допирателната: F(a a a, F(a a a a,... 7)

28 Итеративният процес продължава, докато F (е по-малко от дадено число: F (a. При работа с този метод коренът може да бъде загубен, но с правилното прилагане на метода той се сближава бързо, 4-5 итерации дават грешка от -5, използва се и за изясняване на стойността на корена Блок-схема на алгоритъма на метода на допирателната е показана на фиг. 6, където a е коренът на уравнението, броят на итерациите, F(a е стойността на функцията в съответната точка. (с дадена точност. В този случай методите на допирателните и хордите се използват едновременно. Подходът към корена става от две страни. Разгледайте четири случая, които съответстват на възможни комбинациизнаци F (и F (. От графиките, представени на фиг. 7, методът на хордите се прилага от страната на вдлъбнатината, а методът на допирателната - от изпъкналата страна на графиката. Фиг. 7 Комбинираното използване на двата метода веднага дава прекомерно и недостатъчно приближение. Прилагайки този метод, приемаме, че F (, F ( и F (са непрекъснати на сегмента , а F (и F () запазват знака си. Известно е, че запазването на знака 8

29 y F (показва монотонността на F (, а запазването на знака на y F (означава, че изпъкналостта на кривата y F (за всички [ a, b ] е обърната в една и съща посока. За удобство на изчислението означаваме от и края на сегмента , в който знаците F (и F (съвпадат. От възможните случаи разгледайте първия случай. Нека F (a* F(b и F (* F (, т.е. знаците на първата и втората производни съвпадат Когато решаваме уравнението, всяка итерация е както следва: от точката И нека начертаем хорда, която обхваща дъгата AB, и начертайте допирателна към дъгата, така че точката на пресичане на допирателната с x -ос е вътре в сегмента... Хордата на графиките пресича оста x в точка b, която се намира между точките b и желания корен, а допирателната към дъгата в точка A пресича оста x в точка a, която се намира между точките a и желания корен на уравнението (фиг. 8. Получените стойности на a и b дават ново приближение на корена. Даваме формули за изчислениеза a + и b +, получени в p.. и.. F(b (a b F(a b b, a a. F(a F(b F(a) Процесът на намиране на a + и b + продължава до един от следните условия: a b, където е определената точност; F; (b или F(a F a b Фиг. 8 9

30 Всички закръгляния в изчисленията трябва да се извършват далеч от корена. На фиг. 9 е блокова диаграма комбиниран методхорди и тангенти, където е броят на повторенията; a, b коренни приближени стойности; F(a F(b стойности на функцията в тези точки. Начало на въвеждане a, b, = a a a b b b c a b = + F (c Не Да Изход c, Край Фиг. Метод на проста итерация (метод последователни приближенияЗа да приложите простия итерационен метод за решаване на нелинейното уравнение F(=, е необходимо да го преобразувате в следната форма: (. (Тази трансформация (намаляването на уравнението до форма, удобна за итерация, може да се извърши по различни начини; някои от те ще бъдат обсъдени по-долу.Функцията се нарича итеративна функция.

31 Избираме по някакъв начин приблизителна стойност на корена (x и го заместваме в дясната страна на уравнението (. Получаваме стойността на x (x. Сега заместваме x в дясната страна (((на уравнението ( ((, имаме x (x. Продължавайки този процес за неопределено време, получаваме последователност от приближения към корена, изчислена по формулата (((,. (Ако има граница на конструираната последователност (x lm, тогава, преминавайки до границата в равенството (и приемайки, че функцията е непрекъсната, получаваме равенството x (x (4 Това означава, че x е коренните уравнения (. Методът позволява проста геометрична интерпретация. Построяваме графики на функциите y \u003d и y \u003d (, (Фиг., a и, b. Коренът на уравнението y \u003d (е абсцисата на пресечната точка на кривата y \u003d (с правата линия y \u003d. Вземайки за начална произволна точка , изграждане прекъсната линия. Абсцисите на върховете на тази прекъсната линия са последователни приближения на корена. От фигурите се вижда, че ако "(< на отрезке , то последовательные приближения = (-, колеблются около корня, если же производная "(>, тогава последователните приближения се събират монотонно към корена. a b Фиг.

32 Когато използвате прости итерацииОсновният момент е изборът на функцията y = (, еквивалентна на оригиналната. Фигурата показва пример, когато условието за край на итеративния процес y е изпълнено на първата стъпка от итеративния процес, т.е. следва от това, че x е приблизителна стойност на желания корен. Фиг. обаче показва, че това не е вярно, тъй като решението на проблема е. За итерационния метод трябва да се избере функцията (така че "(δ<, в противном случае процесс итерации расходящийся. При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности { } к корню тем выше, чем меньше число δ. Ключевой момент в применении метода простой итерации эквивалентное преобразование уравнения F(= к виду (. Конечно, Рис. такое преобразование имеет смысл только тогда, когда оказывается выполненным условие (х q при q. Если первая (обычно самая простая и напрашивающаяся попытка представления уравнения в требуемом виде оказалась неудачной, отчаиваться не следует. В ряде случаев можно использовать специальные приемы. Рассмотрим некоторые из них [,5]. Способ. Если f (содержит в себе выражение некоторой обратимой на [с; d] функции y (, причем такой, что (q на , то следует попытаться заменить уравнение на равносильное с использованием обратной для функции: (y. Этот способ основан на известном соотношении между производными взаимообратных функций (y / (y и следствии из него:

33 if (q, then (y (q. Пример. Привеждане на уравнението във форма, подходяща за решаване чрез проста итерация на интервала [,8; ]. Нека добавим x към дясната и лявата част и получаваме:. Проверете конвергенцията условие: ((; (за x [,8; ], условието за сближаване не е изпълнено. Друг вариант на уравнението:. Проверете условието за сближаване: ((; (4 за x [,8; ], условието за сближаване е Тъй като никое от уравненията, които представихме, не отговаря на условието за сходимост, тогава описаният метод е приложим: трудно е да се приложи или няма да даде желания резултат, можете да използвате следния трик. Нека уравнение с единичен корен в. Да предположим, че на сегмента [c; d] производната f на функцията F е непрекъсната, не е равна на константа и приема стойности със същия знак. Ще приемем, че f (, тъй като в противен случай ще мога разгледайте еквивалентното уравнение: f (. Нека въведем обозначението: m m m f (, M ma f (, k и q -. [ c; d ] [ c; d ] M M

34 Ясно е, че р. Нека заменим еквивалентното уравнение с уравнение, еквивалентно на него k f (и покажем, че за функцията g(k f (on) условието за конвергенция е изпълнено. За [ c, d] дробите на неравенствата получаваме неравенството: f (m q, M M откъдето следва, че g(k f (q за всички [ c, d]. Пример. Редуцирайте уравнението l до форма, подходяща за решаване чрез проста итерация на интервала [,4;, 7]. Тъй като условието за сходимост не е удовлетворени, ние прилагаме втория метод за намаляване на уравнението: f (; f (,4,4,4,7,7,44; f (,7,7,7,59,4,99 ; m m f (m,99) ; M ma f (k M q m M,44,69;,99,44 4,. M,44; уравнение l във форма, подходяща за решаване чрез проста итерация на интервала [,7;,]..

35 Тъй като условието за конвергенция не е изпълнено, прилагаме втория метод за редуциране на уравнението: f (; l f (,7,6,4,66;,7 l,7 f (,4;, l, m m f (m, 4; M ma f (k M,66,5; M,66; m,4 q,6. M,66 подходящ за решаване по метода на простата итерация на интервала [,;,7]. Тъй като условието за сходимост не е изпълнено, прилагаме втория метод за редуциране на уравнението: e.7 5.5;.7;5

36 m m k M f (M ma f (5.5; m.7; M 5.5; m.7 q.9. M 5.5) Блоковата диаграма на алгоритъма на простия итерационен метод е показана на фиг., където c е корен на уравнението; брой итерации; F(c е стойността на функцията в съответната точка. Начало на входа c, = (c c = = + F (c Да Не Изход c, Край Фиг. 6

37 . Контролни задачи Решете уравнения с едно неизвестно по разгледаните методи.. l.. cos. л. 4. cos 5. cos. 6. (e. 7. (e. 8. l. 9. e.. lg.. l.. cos.. t g ctg cos l s. 8. s. 9. lg.. tg.. s cos.. s, 5.. s cos, cos, cos 4 7. tg. 8. ctg,5. 9. cos.. lg.. 7 lg. 6. cos. e (. 4. e.. 5. e 4(

38 7. e 4. 8.,9 s. 9. д. 4.s. 4. e 4.,58 s. 4. s s. 46. ​​​​cos. 47.ctg. 48.s e. 5. (s. 5. cos. 5. lg tg, lg, s, 5. e. 57. (, 58. l tg 6. s. 6. l (. 6. lg(. 64. s(,5) , (e, s 67. e. 68. s 69. tg 7. s lg(. 7. e lg(. 74. l(. 75. s(,6, s(,5, lg(, (напр.) (д. 8. д... 8

39 Контролни въпроси. метод на разделяне на половина. Защо този метод се счита за надежден метод за решаване на нелинейни уравнения? Какъв е недостатъкът на този метод? Винаги ли е необходимо да се проверяват условията за сходимост за разглежданите методи?. Какво обяснява целесъобразността на използването на комбинирани методи, по-специално метода на хордите и допирателните? 4. Условия за сходимост на метода на простите итерации. 5. Условия за прекратяване на итеративния процес, използван в програмата. 6. Назовете етапите на приблизителното определяне на корените. 7. Какъв е коренът или решението на нелинейно уравнение? 8. Дайте геометрична интерпретация на метода на разполовянето. 9. Кой край на акорда е фиксиран при прилагане на метода на акорда?. Как се избира първото приближение в метода на Нютон? Запишете алгоритъма за решаване на задачата по метода на акордите.Метода на половината деление. Защо този метод се счита за надежден метод за решаване на нелинейни уравнения? Какъв е недостатъкът на този метод? Винаги ли е необходимо да се проверяват условията за сходимост за разглежданите методи? 4. Какво обяснява целесъобразността на използването на комбинирани методи, по-специално метода на хордите и допирателните? 5. Условия за сходимост на метода на простите итерации? 6. Условия за прекратяване на итеративния процес, използван в програмата? 7. Назовете етапите на приблизителното определяне на корените. 8. Какъв е коренът или решението на нелинейно уравнение? 9. Дайте геометрична интерпретация на метода на половин разделяне. Кой край на акорда е фиксиран при прилагане на метода на акордите?. Как се избира първото приближение в метода на Нютон? Напишете алгоритъм за решаване на задачата по метода на акордите. 9

40 Лабораторни упражнения. Формула за интерполация на Лагранж Въведение Интерполацията е частен случай на проблема за приближаване на една функция към друга. Ще говорим за апроксимация на функция на една променлива. Проблеми с интерполацията възникват в практиката на инженера в следните случаи: интерполация на таблични данни; получаване на аналитична зависимост от експериментални данни; замяна на изчислително сложна функция с по-проста зависимост; приблизителна диференциация и интеграция; числено решаване на диференциални уравнения. Целта на работата: да се изчисли стойността на функция, дадена в таблица в точки, които не съвпадат с възлите, като се използва формулата за интерполация на Лагранж. Редът на работата. За изучаване на теоретичния материал.. Направете програма за решаване на задачата, отстранете я.. Решете дадения вариант на контролната задача. 4. Съставете отчет, съдържащ задачата, списък с програми, изчислени стойности на функцията. 5. Защитете лабораторната работа Постановка на проблема Първоначалната функция y \u003d F (дадена на сегмента под формата на таблица с неравномерно разположени възли (x + x цена. За да напишете аналитично тази функция с помощта на интерполационна формула, тя е необходимо да се изпълни условието, че оригиналната функция и функцията φ (x, която я замества) трябва да съвпадат във възлите, т.е. необходимо е да се изпълни условието F(= φ (, където ì =,. (Представяме функцията y = F( като полином от степен n: L (x = a + a x + a x a p x. (4

41 За целта използваме полиноми, всеки от които в точката x = x (=, приема стойността y=, а във всички други възли =, =, = -, = +, = превръща y в нула y=y =y = =- , + = =y =. Фиг., j; P (, j. Фигурата показва полином. Тъй като желаният полином се превръща в в точки,..., тогава той има формата P C, (където C е постоянен коефициент. коефициентът може да бъде намерен при =, тъй като P, C, (4 откъдето C. (5 Замествайки (5 в (, получаваме P. (6) Степента на полинома е n. Номерирането на точките започва с и завършва с n, докато -тата точка отпада. Полученият полином представлява оригиналната функция y \u003d F (само в една точка. За да представите цялата таблична функция на такива полиноми, ще ви е необходим елемент L 4 P y. (7

42 4. Специални случаи на полинома на Лагранж Разгледайте специални случаи на полинома на Лагранж за n=; n=; p=. За n= оригиналната функционална таблица ще изглежда така: y y, след това по формулата (7 имаме y y y P y P L. За случая n = : y y y. y y y y P y P y P L За случая n=: y y y y. y P y P y P y P L y y.y y Да вземем конкретен пример: Функция се дефинира чрез таблица с нейните стойности: Изчислете стойността на функцията в точката,5.

43 Функционални стойности y= l x 4 5 y= l,69,986,86,694 Използвайки първите три стойности като интерполационни възли, получаваме: L (=((-(-4/(-(-4.69+((-) (- 4/(-(-4, ((-(-/(4-(4-.,86=-,589 +,7 -,47; L (,5=,9. L) Изграждаме полином от трета степен на четири възела: ,9,86,94,6849;, L,99.,69,986,89 За сравнение посочваме, че в четирицифрени таблици стойността l,5 =,99.. Оценка на грешките Конструираният полином на Лагранж съвпада с оригиналната функция F във всички останали точки L(представлява функцията F(на интервала приблизително. Без извеждане записваме формулата, използвана за оценка на грешките: f R f (L(, (8! където R е остатъчният член или грешка; f (+ i производна на оригиналната функция, докато приемаме, че F(на сегмента a b на промените в x ще има всички a, b, производни до (+-ти ред включително; точката дава максималната стойност на функцията f на полинома,.; степен 4

44 Фиг. 44

45 Нека оценим грешката на функцията, дадена от таблицата, изберете степента на полинома n =, дадена функция y= l. Нека намерим производната от трети ред y"=/; y""= /, y"""=/. Очевидно максималната стойност на y""" ще бъде получена при =: y"""=/ =/4. R (,5 (,5 (,5 4) X Y X Y X Y.5.54.5 8.6579.5.8678.45.946.55 4.8, 8.99.887.46 9.6.6 6.598.5 7.9589.5.7788.47 8.945 .65 8.4747, 7.64844.88.74 .7 4.447.5 7.65.5.74688. 95 5.954.6 6.9658.6.5488.54.997 =.5 =, =.7 =.455 =.9 =.6 =.58 =, X Y X Y X Y X Y.4 -.4476.4 4.556.5 4.487 .9984.5 -.597.45 4.55.6 4.95.6.9595.6 -.7446.5 4.455.7 5.479.965.7 -.896.55 4.5684.8 6.496.6.87695, 8 -.5.6 4.6744.9 6.6859.8468.9 -779.65 4.798, 7.89.6.87789.4 -95.7 4.74, 8.66.66.66 .775.4 -, 4598.75 5.49, 9.5.6.744.4 -.599.8 5.7744, 9.974.4.749.4 -.77.85 5.6.4.46.68547=,45=,6=, 55 =,7 =,47 =,84 =, 8 =,45 45

46 9 x y x y x y x y.8 5.654.68.45.88855.5.644.85 5.4669.6.7644.4.889599.76.9 5.64.9.45.8967.5.967, 95 5.94.6.67.4.89667.54, 5.6649.45.8967.5.8.5. 4.4776, 4.87.57.445 8947.45.8759.5 4.76.6.677.45.89569.5.467, 4.6855.4.857.455.896677.55.45688.5 =,46 =,7 =,7 =,5,5 =,457 =, X Y X Y76, Y X Y, 4-6,94647,7,4499,6,89,44-7, 8945 5.8655.9.59.7.8.54-7.67 7.776.59774.8.5.64-7.8678 9.446.6587.9.697.74-7.5445.66977.5.74 4.86 7.75.77648.7.769 4.498.94-7.8666 5.999.9.86 4.458.4-8.56 7.7558.8474 4.4586.4-8.46 9.449.885 4.4.486.4-8.898.489 =,48 =,687 =,46 =, ,87 = 4, =,5 = 9, X Y X Y X Y X Y,5 -,6844,9,5844,47 -,788,5 -,84, -,5688, 95.67884.48 -.8 -.99.7 -.474.69.49 -.947 -.796 -.9987.5.6546.5 -.8768.4 -.79.9 --, 96.6754.5 -.84.7 -.69.45 -.88.5.696759.5 -.7444 -.584.5 -.486.77685.5 -.6788 -. 5.57 - .74.5.784.54 -.66.6 -.4858.6 -.6664.75847.55 -.5489.9 -.4464.69 -.8.5.7777.56 -.4846 -.49 x =,6 x =,9 x =,475 x =,64 x =,66 x =, x =,55 9 x =, 46

47 4 X Y X Y X Y X Y.7 -.7896 5.5.964.4 -.788.789 -.98.8 -.7445 5.969.5 -.498.79 -.978.9 -.5.94585, 6 -.65.79 -.98 -.6696 5.9555.7 -.9945.79 -.997 -.6659 5.5.9658.8 -.96758.79 -.957 -.595 5 .97456.9 -.946.794 -.97 -.5664 5.5.98949.4 -.969.795 -.977.4 -.596 5.4.995.4 -.896.796 -. 947.5 -.547 5, 45.468.4 -.8675.797 -.9497.6 -.4945 5.5.6.4 -.8497.798 -.9557 =.79 x = 5.6 x =. 5 x = 5.48 x =.44 x =. X Y X Y X Y X Y. 75 4.5.5 7.65.7488.9 5.6.8 44.7.4 7.96.5 .74688.95 5.9.85 46.99.45 6.8485.4.67, 5.664.9 49.44.5 6.6659.45.6768.5 4.946.95 5.954.55 6.9986.5.665 , 4.87 4.54.598.6 6.9658.55.57695.5 4.76 4.5 57.975.65 6.55.6.5488.4.685 4.6.4.7 5.8558.65.546.5 4.59 4.5 6.44.75 5.6558.7.496585, 4.44 4.666.86.8 5.4954.45.476. .6=, x=.98=4 ,7 x =,7 x =,74 x =,7 9 X Y X Y X Y X Y,7 5.479.4.88959.6.7644.6 6.598.8 6.496.45.896.9.65 8.474.9 6 .6859.4. 8966.6.67.7 4.447, 7.89.45.8968.75 4.5, 8.66.44.8969.6.66.8 44.7, 9.5.445.8947, 57.85 46.99, 9.974.45.89569.6.677.9 49.4.49.65 7.4.857.95 5.95.5.85.46.89765.46.9959 4.54.598.6.467.465.8986.5.4579 4.5 57.97=.74x=.46x=.8x= .6 =, x =, 46 x =, 5 x = 4.47

48 4 5 6 x y x y x y x y.5 7.9589.5.5.7788.47 8.945.99, 7.6489.748.48 8.746.885.5 7.65.5.7468.49 7.4, 6755.4 7.96.4.67.5 6.6.555.45 6.8485.45.676.5.984.5.5.5 6.6659 .5.665.5.9484.4.55 6.9986.55, 57695.5.558, -.584.6 6.9658.6.5488.54.997.4 -.555.65 6.55.65.54.55 9.647.6- -.445.7 5.8558.7,5,49658, ,69 =,6 x =,7 x =,465 x =, =,67 x =,67 x =,557 x =, X Y X Y X Y X Y,99, - .46 6.68.7.486:8.885, -.5885 6.5.5.9. 985.5.6755.4 -.774 6.7.448.69.7.555.6 -.8569 6.9.5784.67.9 .5.8 -.94 7.79.5.87.4 -.99 7.854.7.79 -.584 -.998 7.5.98.9.466.5 -. 555.4 -.45 7.7.988.7 -.445.6 -.489 7.9.9989.98.9 -.69.8 -.5 8.5.5.85 x =.7 =.8 x =, =.7 x = 6, = 7.6 x =,75 =, X Y X Y X Y X Y, 45,48,47,58,48,56,49,54,5,546,5,576,5,5859,54,5994,55,6,57, 64,58,655,59,6696,6,684,6, 79,6,79,64,7445,65,76,67,79,68,887,69,85,7,84,7,877,7,949,74,9,75, 96,77,9696,78,989,79,4, 8,96,8,77,8,94,84,56,85,8,87,85,88,97,89,46,9,6,9, 9.49.94.69 x=.48 x=.48 x =.5 x=.5 x=.87 x=.9 x=.9 x=.9 48

49 X Y X Y X Y X Y 7456.8.7.84.7.8949.44, 957.75.96.78.989.55.4.8.96.8.94.75.78.85.8.88.97.4 4.96 .4 4.787.9.6.9.49.5 4.567.5 4.684.68.95. 5,9 x=,49 x=,5 x=,75 x=, 7 x =,9 x =,95 x =,6 x =, X Y X Y X Y X Y .7966, 4.9.7.644.8.95.8.986, 4.457. 9.78.9.554.9.7, 4.97.89.6.4 5.466.966.69.86.5 .546.5645.6 6.6947.7.78.758.7 7.46.9.6.4.9477.4.9697 x=.8 x=, x=.59 x=.55 x=, x=, x =,8 x =, X Y X Y X Y X Y, 8.947.97.75.474.98 8.4.8546.4.744.95.867.4.9 8.6.744.5.75.5.66.6.85 8.8.5849 .6 4.96.5.59.8.6967 9.4.7 4. 55.545 9.9.8 5.8.75.78.64 9.4.48.9 6.859.95.4, 4.699 9.6 -.74, 8.5.65.6 -.9 9.8 -.665, 9.6.5.954.8 -.7, -.544.648.55.78 x=, x=8, 5 x =.5 x =.78 =.66 = 9.9 =.4 =.45 49

50 X Y 6 X Y 6 X 6 Y X 64 Y.7 X.8 Y X.5.5 Y 4, X -.7568 Y.5 X.5 Y 84.8.54.55.5666.4.6.666.9 4 .65 -.876 8.4747. 6.6485 8.99.9.64.4596.6846.4.7.7586.9 4.4.7 -.956 4.447.7.5.77 7.9589, 74.78.894.44.8.888.947 4.6.75 -.997 4.5.8.985 7.6489.66.84.4.44. 8 -.996 44.7.9.5 .49 7.65.94.847.48.75.887 5.85 -.68 46.99.4.97 7.96.4.669.79.5.56.8776 5.9 -.5 49.44.45.54 6.8485.4.795 4.55.45.8.6.5. 67 5.954.5.576 6.6659.5.4 4.487.585.54.6984.8577 5.6 4, -.54 54.598 .55.78 6.9986.6.4 4.95.7786.56.4.94.847 5.8 4.5 -.4 57.975.4.6.959 6.9658 x.44 =,75.999.58 x =, 54.865 4, x = 4, 6.4.65 x =, 56.55 x =, 55.55 x =, 4.5 x =, 655 5.7 x =, 6.7 =, 46 =, 57 = 4.7 =, X Y X Y X Y X Y.46 9.6. 6.959.6 4.95.45 4.55.47 8.945.96.7 5.479.5 4.455.48 8.746.6.8769.8 6.496.55 4.5684, 49 7.846.9 6.6859.6 4.6744.5 6.6.79.6 8.5.877, 5.4.9. 775, 8.66.7 4.96.5.9484.6.744, 9.5, 75 5.49.5.558.4.74, 9.974.8 5.7744.54.997.46.6854.4.85 5.6.55 9.647.5.6579.5.85.9 =5.6 x =.5 ,66 x =,465 =,7 =,57 =,57 =, X Y X Y X Y X Y 5,44774,765,56,478,6,848,4855,796,57,4745,7,964,5,5745,67,58,46668,8,7,4,556,6,59,46,9,448,45,5868,4 , 5669 x =, 59 =, 7 x =, 5 x =, 56 =, 6 =, 87 =, 44 =, 7 5

51 X Y X Y X Y X Y .7554.6.75.6.55.7.864.7.6.7.864.7.847.8.9896.8.8.9896.8 4.57.9.77.9.66.9.77.9 4 ,57 x =, 55 =, 65 x =, 8 x =, 6 = , 7 =, 57 =, 87 =, 8 Контролни въпроси. Какво означават термините: апроксимация, интерполация, екстраполация?. Мерки за близост (отклонения на две функции.. Напишете интерполационни формули за таблици: a с променлива стъпка; b с постоянна стъпка. 4. Крайни разлики, как да ги изчислим? 5. Разделени разлики, как се изчисляват? 6. Запишете функция, посочена в таблицата в аналитична форма с помощта на интерполационни формули X - Y Напишете специални случаи на формулата на Нютон за n=, n= 8. Напишете специални случаи на формулата на Лагранж за n=, n=, n= 9. Как да оцените грешката на интерполационната формула? Лагранж.. Изчислете крайни разлики от различни порядъци: 5

52 . Конструирайте интерполационния полином на Лагранж за таблично дадена функция y = nx:. Напишете функцията в аналитична форма, като използвате разделени разлики за това: 4. Как можете да определите най-добрата степен на полинома, който трябва да бъде апроксимиран? 5. Възможно ли е произволно да се зададе степента на апроксимиращия полином по време на апроксимацията? 6. Намерете полином с най-малка степен, който приема дадените стойности в дадените точки. y,45,4,6 4,5,4 5,65 тази функция. y 4 6 5

53 Лабораторна работа 4. Метод на най-малките квадрати Целта на работата: да се избере вида на зависимостта и да се определят неизвестните параметри на таблична дадена функция с помощта на метода на най-малките квадрати. Редът на работата. Запознайте се с описанието на лабораторната работа За даден вариант определете: вид зависимост; b неизвестни параметри Направете отчет. 4. Отговорете на въпроси за сигурност. 5. Защитете лабораторната работа Описание на метода Нека експериментът доведе до таблица на някаква функция F(y y y y Необходимо е да се намери функция от формата y = F(, която в точки приема стойности, най-близки до таблични стойности y,y,y. Такава формула се нарича емпирична формула или регресионно уравнение y на, самата функция се нарича апроксимираща функция или апроксимираща. На практика тази апроксимираща функция се намира, както следва. Според таблицата, се изгражда точкова графика на функцията F, според която се задава типът на апроксимиращата функция.Като апроксимираща функция, y \u003d F (в зависимост от Следните функции често се използват в зависимост от естеството на диаграмата на разсейване: y =a+b; y=a +b+c; y=a m; y=b a; y=a+b s; y=a l+b; y=/(a+ b; y=a/+b; y= /(a+b, y=a e m ; където a, b, c, m са константи. Изборът на апроксимираща функция не е алгоритмичен;

54 проксимационната функция се намира чрез изброяване. Като помощ можете да използвате метода на подравняване. По този начин, ако се установи формата на апроксимиращата функция, тогава проблемът се свежда до намиране на стойностите на параметрите. Те могат да бъдат изчислени по метода на най-малките квадрати, чиято същност е следната. Нека се изисква да се намери апроксимираща функция, например с три параметъра: y ǐ =F(ǐ,a,b,c (За (където =, от таблицата тази функция ще приеме стойностите =F(, a,b,c), се различават по-малко от дадените (таблични стойности, т.е. разликата трябва да е близка до нула. Следователно сумата от квадратите на разликите на съответните стойности на функциите F (и y F a, b, c Фa, b c, също трябва да вземе минимална стойност. Така задачата се сведе до намиране на минимума на функцията Ф(a, b, c. Използваме необходимото екстремално условие: Ф, a Ф, b Ф, c или y F, a, b, cf, a, b , c y F, a, b, cf, a, b, c y F, a, b, cf, a, b, c 54 a b c апроксимираща функция F(,a,b,c. Очевидно стойностите на намерените функция F(,a,b,c в точки ще се различава от табличните стойности y,y,y. Стойностите на разликите y F, a, b, c , където =,.., се наричат отклоненията на тези стойности на y от тези, изчислени по формулата (. Сумата на квадратите на отклоненията (трябва да бъде най-малката. Имайте предвид, че от няколко приближения за една и съща функция на таблицата, най-доброто е това, за което има най-много

55 е по-ниската стойност. В нашия случай апроксимиращата функция зависи от три параметъра, но промяната в броя на параметрите ще повлияе само на промяната в броя на системните уравнения (и същността на метода ще остане същата. Нека разгледаме частни случаи на намиране на апроксимиращи функции.. Линейна функция Нека се изисква да се намери апроксимираща функция под формата на линейна: ,a,b = a + b. Тъй като нейните частни производни по отношение на параметрите a и b:, a, b F b, a, b, тогава системата (ще приеме формата: F a, y a b, y a b. След прости трансформации тя може да бъде приведена до формата: y a b, (а y a b. След като решим системата, получаваме стойностите на параметрите a и b и следователно специфичната форма на апроксимиращата функция F(,a,b = a+b. Пример. Намерете апроксимиращата функция под формата на линеен полином F(,a, b = a+b y 66.7 7, 76, 8.6 85.7 9.9 99.4.6 5 = , = =8,, = 54.8, = 46. Решаваме системата от линейни алгебрични уравнения за a и b, получаваме a =.87, b = 9. Прибл. модулиращата функция има формата F(,a,b =,87+9,. 55

56 . Квадратична функция Нека се изисква да се намери апроксимираща функция под формата на квадратна: F(,a,b,c = a +b+c. Тъй като нейните частни производни по отношение на параметрите a, b и c, съответно , са равни: F a, a, b, c, F b, a, b, c, F c, a, b, c, тогава системата ще приеме формата: y a b c, y a b c, y a b c. F(,a ,b,c=a +b+c. 4. Аргументът на степенната функция и стойността на функцията са положителни, вземаме логаритъм на равенството (: lf = la + ml. Нека въведем следната нотация u = l; A = m; B = la, тогава lf ще бъде функция на u: Ф (u, A, B = Au + B. По този начин, намирането на параметрите степенна функциясведохме до намиране на параметрите линейна функция. Следователно по-нататъшното решение на поставения проблем ще бъде подобно на първия случай. Тъй като частните производни на функцията Ф (u, A, B по отношение на параметрите A, B: Ф a u, Ф, тогава системата (ще приеме формата: b u y A u B u, y Au B. 56

Лекция3. 3. Метод на Нютон (на допирателните. Нека зададем някакво начално приближение [, b] и линеаризираме функцията f (в ​​съседство, използвайки сегмент от реда на Тейлър f (= f (+ f "((-. (5) Вместо уравнението (решаваме

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА УКРАЙНА НАЦИОНАЛЕН ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ "ХАРКОВ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИ ИНСТИТУТ" Насокикъм лабораторната работа "Изчисляване на корените на трансцендентни уравнения"

Решаване на нелинейни уравнения Не винаги алгебрични или трансцендентални уравнения могат да бъдат решени точно Концепцията за точност на решението предполага:) възможността за написване на „точна формула“, или по-скоро

Тема 4. ЧИСЛЕНО РЕШАВАНЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ -1- Тема 4. ЧИСЛЕНО РЕШАВАНЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ 4.0. Постановка на проблема Проблемът за намиране на корените на нелинейно уравнение във формата y=f() често се среща в научната

РЕШЕНИЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМИ ОТ НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ.. РЕШЕНИЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ от формата Числено решениенелинейни алгебрични или трансцендентни уравнения. лежи в намиране на стойности

Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше образование „Саратовско национално изследване Държавен университетна името на Н.Г. Чернишевски“ А.И. Зинина В.И. Копнина Числени методи на линейна и нелинейна алгебра Урок Саратов

РЕШЕНИЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМИ ОТ НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ РЕШЕНИЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ от формата Числено решение на нелинейни алгебрични или трансцендентални уравнения f =) се състои в намирането на стойностите,

Лабораторна работа по темата "Тема .. Методи за решаване на нелинейни уравнения" Отидете на темата. тема. Ogl... Въпроси за изучаване. Постановка на проблема за числено решаване на нелинейни уравнения Етапи на численото

Лекция 9 3. ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ ФОРМУЛИРАНЕ НА ЗАДАЧАТА Нека е дадено нелинейно уравнение (0, (3.1)), където (функция, дефинирана и непрекъсната на някакъв интервал. В някои случаи

ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ПО ОБРАЗОВАНИЕТО образователна институцияпо-висок професионално образование"ВОРОНЕЖКИ ДЪРЖАВЕН ПЕДАГОГИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ" Катедра по информатика и методи

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "НАЦИОНАЛНО ИЗСЛЕДВАНЕ ТОМСК ПОЛИТЕХНИЧЕСКИ

Държавна бюджетна образователна институция за средно професионално образование "Владимирски авиационен механичен колеж" МЕТОДОЛОГИЧЕСКИ ИНСТРУКЦИИ за лабораторна работа по дисциплината ЧИСЛЕН

Постановка на проблема Метод на разполовянето Метод на хордите (метод на пропорционалните части 4 Метод на Нютон (метод на допирателните 5 Метод на итерациите (метод на последователните приближения) Постановка на проблема Нека дадено

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Държавна образователна институция за висше професионално образование Томски държавен университет по системи за управление и радиоелектроника Катедра TUSUR

2 Числени методи за решаване на уравнения. 2.1 Класификация на уравненията, техните системи и методи за решаване. Уравненията и системите от уравнения се делят на: 1) алгебрични: уравнението се нарича алгебрично, ако над

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИ ДЪРЖАВЕН ТЕХНОЛОГИЧЕН ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ) Отдел приложна математикаМ.В. Лукина МЕТОДИ ЗА ПРИБЛИЗИТЕЛНИ ИЗЧИСЛЕНИЯ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ Факултет по приложна математика на процесите на управление А. П. ИВАНОВ РАБОТА ПО ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ МЕТОД НА НЮТОН Насоки Санкт Петербург 2013 г.

федерална агенцияна образованието Руска федерацияДържава Ухта Технически университетУказания и тестове по компютърна математика UHTA 6 UDC.6 7. BBC. аз 7

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИ УКАЗАНИЯ за извършване на лабораторна работа по дисциплината "Компютърни науки" семестър 3 НОВОСИБИРСК 008 Министерство на науката и образованието на Руската федерация Новосибирск технологичен институтМосковска държава

A. P. Ivanov Насоки Тема 4: Метод на Нютон за решаване на нелинейни уравнения и системи от уравнения Факултет на PM PU Санкт Петербургски държавен университет 2007 г. Съдържание 1. Решаване на скаларни уравнения................ ......... .........

1 Полином на Лагранж Нека стойностите на неизвестната функция (x i = 01 x [ a b] i i i) бъдат получени от експеримента. произволна точка x За

ЧИСЛЕНО РЕШЕНИЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ -1- ЧИСЛЕНО РЕШЕНИЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ 0. Постановка на проблема Проблемът за намиране на корените на нелинейно уравнение под формата y=f() често се среща в научните изследвания

Задачи за практически занятия по дисциплината "Изчислителна математика" Практически урок по темата Теория на грешките Тестови въпроси Дефиниране на изчислителен експеримент Начертайте диаграма

Инструменти за оценказа текущо наблюдение на напредъка, междинно сертифициране въз основа на резултатите от усвояването на дисциплината и учебно-методическа подкрепасамостоятелна работа на учениците 1 Разчетни задачи Варианти

Лекция 2. Решаване на нелинейни уравнения. Постановка на проблема: Намерете коефициента на грешка на инструмента σ при извършване на геодезически измервания от уравнението: δ cos σ υ σ 2 + η = 0 Стойности ​​δ = 0,186, υ = 4,18,

УРОК ПРИБЛИЖИТЕЛНО РЕШЕНИЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ Разделяне на корени Нека уравнението f () 0, () където функцията f () C[ a; Дефиниция Число се нарича корен на уравнението () или нула на функцията f (), ако

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ ПЕНЗЕНСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ НА ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА Указания за извършване на лабораторна работа ПЕНЗА 7

Methods.doc Методи за приблизителни изчисления Страница 1 от 6 Общо състояниезадача: Използвайки два зададени числени метода, изчислете приблизителната стойност на корена 1 на функционално уравнение във формата f()=0 за N стойности

20 Практика 3 Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения итеративни методиПродължителност на работата – 2 часа Цел на работата: затвърдяване на знанията за методите на простата итерация и Гаус-Зайдел;

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Област Кострома Технически университетИ.В. Землякова, О.Б. Садовская, А.С. Илюхина ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ Препоръчано от редакцията и издателството

ГЛАВА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ. Понятия и определения. Формулиране на проблема. Решаването на нелинейни уравнения с едно неизвестно е едно от важните задачи по математикавъзникващи в различни раздели

Числени методи за решаване на обикновени диференциални уравнения Решение на задача на Коши... Задача на Коши за едно обикновено диференциално уравнение. Разглеждаме проблема на Коши за един диференциал

1 Решение на уравнение с едно неизвестно Уравнение е дадено във формата f(x)=0, където f(x) е някаква функция на променливата x. Числото x * се нарича корен или решение дадено уравнение, ако при заместване на x=x * в уравнението

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Московски държавен университет по геодезия и картография (MIIGAiK) Факултет отдалечени формиизучаване на ЗадочнаПРОГРАМА И КОНТРОЛ

Лекция 3 Серии на Тейлър и Маклорен Приложение на степенни редове Разширяване на функции в редове на степен Тейлър и Маклорен За приложения е важно да можете да разширите тази функция в степенни редове, тези функции

АПРОКСИМАЦИЯ НА ФУНКЦИИ ЧИСЛЕНО ДИФЕРЕНЦИРАНЕ И ИНТЕГРИРАНЕ В този раздел разглеждаме проблемите на апроксимирането на функции с помощта на полиноми на Лагранж и Нютон с помощта на сплайн интерполация

МИНИСТЕРСТВО НА ЗЕМЕДЕЛИЕТО НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "КУБАНСКИ ДЪРЖАВЕН АГРАРЕН УНИВЕРСИТЕТ"

Катедра Математика и елементи на информатика висша математика Учебно-методичен комплексза ученици от средното професионално образование, обучаващи се с дистанционни технологииМодулно смятане, съставено от:

МОДУЛ „Приложение на непрекъснатост и производна. Приложение на производната за изследване на функции. Приложение на непрекъснатостта.. Метод на интервалите.. Допирателна към графиката. Формула на Лагранж. 4. Приложение на производната

Въпроси за курсов изпит Изчислителни методиЛинейна алгебра 2-ра година, 3-ти семестър Лектор: проф. С.Б. Сорокин Част 1. Числен анализ Тема 1. Алгебрични методиинтерполация. 1. Формулиране

Лабораторна работа Целта на работата: Затвърдяване на уменията за работа с основни синтактични конструкцииЕзик C и способност за организиране на цикли и извършване на изчисления.. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТ.. Методи за решаване

Паскал 13. Решаване на нелинейни уравнения. Нелинейните уравнения могат да бъдат разделени на 2 класа - алгебрични и трансцендентални. Алгебричните уравнения се наричат ​​уравнения, съдържащи само алгебрични

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "Тамбовски държавен технически университет"

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "УЛЯНОВСК ДЪРЖАВЕН ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ"

A.P.Popov Методи за оптимални решения Наръчник за студенти от икономически специалности на университетите Ростов на Дон 01 1 Въведение В приложната математика има няколко направления, насочени основно

Ch Степенен ред a a a Серия от формата a a a a a () се нарича степенна редица, където a са константи, наречени коефициенти на редицата. Понякога степенната редица се счита за повече общ изглед: a a(a) a(a) a(a) (), където

Катедра Математика и информатика Математически анализУчебно-методически комплекс за студенти от НВО, обучаващи се с използване на дистанционни технологии Модул 4 Приложения на производната Съставител: ст.н.с.

) Концепцията за SLAE) Правилото на Крамер за решаване на SLAE) Методът на Гаус 4) Рангът на матрицата, теоремата на Кронекер-Капели 5) Решението на SLAE чрез обръщане на матрици, концепцията за условност на матриците) Концепцията за SLAE O , SLAE система

ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ ЗА РЕШАВАНЕ НА ОБИКНОВЕНИТЕ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ.. ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ ЗА РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧАТА НА КОШИ... Задача на Коши за едно обикновено диференциално уравнение. Разглеждаме проблема на Коши

Глава 4 Основни теореми диференциално смятанеРазкриване на несигурности Основни теореми на диференциалното смятане Теорема на Ферма (Пиер Ферма (6-665) френски математик) Ако функцията y f

ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ПО ОБРАЗОВАНИЕТО Държавна образователна институция за висше професионално образование „Уралски държавен университет. А.М. Горки" ИОНЦ "Бизнес информатика"

ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ ЗА АНАЛИЗ ИЗДАТЕЛСТВО ГОУ ВПО ЦТУ Министерство на образованието и науката на Руската федерация Държавна образователна институция за висше професионално образование "Тамбовска държавна

Министерство на транспорта на Руската федерация (Министерство на транспорта на Русия) Федерална агенция за въздушен транспорт (Росавиация) Държавен университет в Санкт Петербург гражданска авиация» Е.

Министерство на образованието на Руската федерация Южноуралски държавен университет (NRU) Филиал на SUSU (NRU) в Уст-Катав

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСИЯ ТОМСК ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛТЕТ ПО ИНФОРМАЦИОННИ НАУКИ Работна програмадисциплина ИЗЧИСЛИТЕЛНА МАТЕМАТИКА Направление на обучение 010300 Фундаментална информатика и информация

ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ПО ОБРАЗОВАНИЕТО ДЪРЖАВНА ОБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ ЗА ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ Държавен технически университет в Нижни Новгород. Р. Е. Алексеева РАБОТИЛНА СЕМИНАРА ПО

4 Итеративни методи за решаване на SLAE Метод на прости итерации С голям брой уравнения, директните методи за решаване на SLAE (с изключение на метода на почистване) стават трудни за прилагане на компютър, главно поради

По-долу са лабораторни работис решениячрез числени методи (извършва се в Matburo). Можете да изтеглите готови работни файлове от връзките по-долу, както и да получите повече информация за решаването на такива задачи от ръководства и семинари.

Числените методи (или изчислителната математика) е клон на приложната математика, в който те се развиват, математически обосновават (конвергенция, стабилност) и прилагат (в специални програми или в езици за програмиране високо ниво) методи за приблизително решаване на математически проблеми: решаване на нелинейни уравнения, SLAE, обикновени диференциални уравнения и системи, частични диференциални уравнения, гранични задачи, задачи на числена интерполация, апроксимация, интегриране и др.

Готова лаборатория по изчислителна математика

• Тест по основи на числеността, 3 страници
  

  Задача 1. Интерполирайте с помощта на полинома на Нютон и изчислете стойността на този полином в точката x=0,0014.

  Задача 2. Прецизирайте стойността на корена на интервала в три итерации

  Задача 3. Използвайте методите на правоъгълниците, трапеца и Симпсън, за да изчислите интеграла

• Задача за апроксимация на Паде с решение, 2 страници
  

  Приложете приближението на Паде към приближението на функцията $f(x)=x^2*e^(1-x)$ рационална дроб.

• , 4 страници
  

  1. Определете кое равенство е по-точно.

  2. Закръглете съмнителните цифри на числото, като оставите правилните знаци.

  3. Намерете границата абсолютна и относителна грешкачисла, ако имат само валидни цифри.

  4. Изчислете и определете грешката на резултата.

  5. Отделете аналитично корените на нелинейното уравнение

  6. Отделете корените на нелинейното уравнение аналитично и прецизирайте един от тях чрез пробен метод с точност до 0,01

• Числени методи: решени лабораторни 3 задачи, 11 стр
  

  Задача 1. Разгледайте функцията
  Харча математически изследванияграфика на функцията f(x). Постройте скица на графиката на функцията.
  Изолирайте нулите на функцията f(x), тоест намерете интервалите, на които f(x) променя знака. На всеки интервал направете 4 стъпки, като използвате метода на разделяне на половина.
  Намерете приблизителните стойности на корените по метода на Нютон (тангенти). Като първоначални приближения вземете средните точки на интервалите, намерени по-горе. Направете 2 стъпки.
  Всички изчисления трябва да се извършват с точност най-малко 5 знака след десетичната запетая.

  Задача 2. Разгледайте матриците
  намирам обратна матрица$P^(-1)$ и изчислете матричното произведение $W=P\cdot R \cdot P^(-1)$
  Намерете $\det W$, като използвате метода на Гаус.
  Решаване на система от линейни алгебрични уравнения по метода на Гаус с избор на главни елементи по колони $Wx=b$

  Задача 3. Дадена е таблица с експериментални данни
  Ако приемем, че зависимостта е линейна, т.е. $y=ax+b$, намерете $a$ и $b$, като използвате метода на най-малките квадрати.
  На същия лист милиметрова хартия начертайте точките на масата и начертайте получената права линия.
  Всички изчисления се извършват с точност до 5 знака след десетичната запетая.

• Решаване на задачата на Коши чрез числени методи, 5 стр
  

  Решете проблема, като използвате метода на Ойлер, метода на Адамс, метода на Рунге-Кута.

• Тест по числени методи с решение, 6 задачи, 9 стр
  

  Задача 1. Намерете корена на уравнението върху отсечка по метода на Нютон с точност до 0,01.

  Задача 2. Използване на метода на акордите за намиране отрицателен коренуравнения с точност до 0,0001. Необходимо е предварително построяване на графиката на функцията и отделяне на корените.

  Задача 3. Определете стойностите на корените на системата от уравнения, като използвате метода на Seidel

  Задача 4. Използвайте метода на правоъгълниците, за да изчислите интеграла със стъпка 0,02:

  Задача 5. Използвайте метода на Ойлер-Коши, за да намерите решение на диференциалното уравнение на интервала x = , начални условия y(x=0) = 0. Стъпка на интегриране h = 0,02.

  Задача 6. Дадена е таблица със стойностите на функцията. Използвайки интерполационния полином на Нютон, изчислете стойността на функцията при x = 0,077.

• Тест по изчислителна математика в MathCad + изчислителен файл xmcd
  

  Задача 1. Използвайки вградените функции на MathCad, направете прости изчисления.

  Задача 2. Използвайте вградените функции на MathCad, за да решите уравнението. Използвайте метода на разделяне на корена, получете графична интерпретация, използвайте вградените функции на Mathcad, получете решението чрез метода на полуразделяне и метода на Нютон.

  Задача 3. Използвайки вградените функции на MathCad, решете системи от линейни уравнения и след това проверете с числен метод. Метод на Гаус.

  Задача 4. Използвайки вградените функции на MathCad, решете система от нелинейни уравнения и след това я проверете числено. Метод на Нютон.

  Задача 5. Решете задачата за числено диференциране на функция.

  Задача 6. Сравнете резултатите от численото интегриране. Метод на прав правоъгълник с метод на трапец

  Задача 7. Решете числено обикновено диференциално уравнение: метод на Ойлер

  Задача 8. Решете задачата за намиране на интерполационен полином за функция, дадена в таблица. Намерете стойността на функцията в дадена точка: 2-ра и 6-та степен

препис

1 Федерална агенция за образование на Руската федерация за национални изследвания ядрен университет"МИФИ" В.И. Ращиков ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ. КОМПЮТЪРНА РАБОТИЛНИЦА Москва 009

2 UDC 519.(075) BBK.193ya7 A R8 Ращиков В.И. Числени методи. Компютърна работилница: Учебно помагало. М.: НИИ МИФИ, стр. Това ръководство представя основните числени методи за решаване физически задачи: апроксимация и интерполация на функции, числено интегриранеи диференциране, решаване на нелинейни уравнения и системи, задачи от линейна алгебра, обикновени диференциални уравненияи частични диференциални уравнения, методи за оптимизация. За илюстриране на всеки избран метод голямо число типични задачи, които най-често се срещат в инженерните и физически изчисления. Дадените блокови схеми на програми и практически съветикато ги напишете, ви позволяват да разберете в детайли алгоритъма за решаване на проблема и улеснявате процеса на програмиране. Ръководството е предназначено за студенти от дневните и вечерните факултети на MEPhI и може да бъде полезно и за студенти от други университети с физически профил. Одобрено от редакционната колегия на NRNU MEPhI като учебно помагало. Рецензент техн. науки, ст.н.с. В.М. Барбашов ISBN Национален изследователски ядрен университет МИФИ, 009

3 СЪДЪРЖАНИЕ Предговор... 4 Задача 1. Анализ на последователност от данни... 7 Задача. Решаване на нелинейни уравнения Задача 3. Интерполация... 1 Задача 4. Апроксимация... 7 Задача 5. Числено диференциране Задача 6. Числено интегриране Задача 7. Изчисляване на многократни интеграли по метода Монте Карло Задача 8. Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения Задача 9. частна задача собствени стойностиЗадача 10. Намиране на минимум на функция на една променлива Задача 11. Намиране на минимум на функция на две променливи Задача 1. Числено решение на задачата на Коши за обикновени диференциални уравнения Задача 13. Числено решение на линейна гранична задача за обикновено диференциално уравнение от втори ред Задача 14. Числено решение на линейното транспортно уравнение Задача 15. Числено решение на едно- дименсионално уравнение на топлинна енергия Задача 16. Числено решение на уравнение на топлинна енергия в правоъгълник Задача 17. Числено решение на едномерно вълново уравнениеЗадача 18. Числено решение на уравнението на Поасон в правоъгълник Библиография

4 ПРЕДГОВОР Това учебно помагалосъставен въз основа на дългогодишния опит на автора в провеждането на практически занятия и лекции по курса "Числени методи" в дневните и вечерните факултети на МИФИ. Компютърната работилница е един от основните фактори за практическото овладяване на числените методи за решаване на физични задачи, поради което по-голямата част от учебното време, отделено за курса, е отделена за нея. Ръководството се състои от 18 задачи, които обхващат почти всички основни раздели на курса: интерполация и апроксимация на функции, числено интегриране и диференциране, решаване на нелинейни уравнения и системи, задачи на линейната алгебра, обикновени диференциални уравнения и уравнения в частни производни, числени методи за намиране на минимума от функции на една и множество променливи. Всяка задача предоставя необходимото за разбиране на метода теоретична информация, опции за задачи за самоосъществяванеи практически препоръки за програмиране, подкрепени от блок-схеми на изчислителни алгоритми. В края на всяка задача има списък. контролни въпроси, което ви позволява да проверите степента на усвояване на изучения материал. Блок-схемите са необходими за повече визуално представянепроблемен алгоритъм, което значително улеснява разбирането на метода за решаване и писане на самата програма. При изпълнението на схемите се използва GOST, който регулира правилата за конструиране на схеми и външен видтехните елементи. Основните елементи, които ще се използват в бъдеще в ръководството са следните: - терминатор; елемент показва вход от външна средаили изход от нея (най-честата употреба е началото и края на програмата). Съответното действие е написано вътре във фигурата; четири

5 - процес; извършване на една или повече операции, обработка на данни от всякакъв вид (промяна на стойността на данните, форма на представяне, местоположение). Вътре във фигурата самите операции са написани директно; - решение; показва решение или функция от тип превключвател с един вход и два или повече алтернативни изхода, от които само един може да бъде избран след оценка на условията, дефинирани в този елемент. Входът към елемент се обозначава с линия, която обикновено влиза в горния връх на елемента. Ако има два или три изхода, тогава обикновено всеки изход се обозначава с линия, излизаща от останалите върхове (отстрани и отдолу). Използва се за илюстриране на условни изрази f (два изхода: true, false) и case (множество изхода); - предварително дефиниран процес; символът показва изпълнението на процес, състоящ се от една или повече операции, който е дефиниран на друго място в програмата (в подпрограма, модул). Вътре в символа е изписано името на процеса и прехвърлените към него данни. Използва се за указване на извикване на процедура или функция; - данни (вход-изход); преобразуване на данни във вид, подходящ за обработка (вход) или показване на резултатите от обработката (изход). Този символ не дефинира носителя на данни (специфични символи се използват за указване на типа носител на данни); - граница на цикъла; символът се състои от две части, съответно началото и края на цикъла, операциите, извършвани вътре в цикъла, са поставени между тях. Условията и нарастванията на цикъла са записани в символа за начало или край на цикъла, в зависимост от типа организация на цикъла. Често за изображението на блоковата диаграма на цикъла вместо този символ се използва символът за решение, като се посочва 5 в него

6 условие и една от изходните линии е затворена по-високо в блоковата диаграма (преди операциите на цикъла); - конектор; символът представлява изход към част от верига и вход от друга част на тази верига. Използва се за прекъсване на линия и продължаването й на друго място (пример: разделяне на блок-схема, която не се побира на листа); - коментар; използвани за повече Подробно описаниестъпка, процес или група от процеси. Описанието е поставено отстрани квадратна скобаи покрит навсякъде. Пунктираната линия преминава към описания елемент или група от елементи (в този случай групата е подчертана със затворена пунктирана линия). Освен това символът за коментар се използва в случаите, когато количеството текст във всеки друг символ (например символ за процес, символ за данни и т.н.) надвишава неговия обем. Редът на действията се задава чрез свързване на върхове, което ни позволява да разглеждаме блок-схемите не само като визуална интерпретация на алгоритъма, удобна за човешкото възприятие, но и като насочена графа. При писането на това ръководство е използван основно материалът от [-4]. За по-пълно изследване числени методив библиографски списъкнеобходимо учебни ръководства. 6

7 Задача 1 АНАЛИЗ НА ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТТА НА ДАННИТЕ Целта на работата е да се изградят разклонения и циклични структури в програмите, да се разработят програми за анализ на потоци от данни. ФОРМУЛИРАНЕ НА ПРОБЛЕМА В тази статия ние анализираме последователност, която симулира потока от експериментални данни. Нека f(x) е експериментална зависимост, взета от сегмент с фиксирана стъпка b a h, N 1, където N е броят точки в експериментална зависимост. Стойностите на абсцисите на тези точки се определят по формулата x = a + h, = 0, 1, n. Необходимо е да се изчисли: 1) максималната стойност на функцията fmax max f и номера на възела max, в който се достига тази стойност;) минималната стойност на функцията fmn mn f ; 3) средната стойност на f, среден квадрат f и RMS стойност f t функции: n n 1 1 f f, f f, fm f ; n 1 0 n 1 0 отрицателни стойности f (= 0, 1,..., n); 7

8 5) стандартно отклонение от средната стойност 1 n 1 n (f f). 0 ОПЦИИ НА ФУНКЦИЯ f(х) k m 1) f (x) cos (x /) x ; k m) f (x) sn (x /) (1 x) ; k m 3) f (x) sh x cos (x) ; k m 4) f (x) 1 x tg (x / 4) ; k m 5) f (x) (1 x) tg (x / 4) ; 6) 1/ k m f (x) (1 x) tg (x / 4) ; 7) () x m f x e sn(x /) ; x k m 8) f (x) e x sn(x /) ; m 9) (1 x) x ; 10) (1) 1/ m 1/ x x ; k m l 11) f (x) (1 x) ch x x ; k m l 1) f (x) (1 x) cos (x /) x ; k m 13) f (x) (1 x) sh x ; 14) 15) 1/ k m f (x) (1 x) sh x ; 1/ k m f (x) (1 x) sh x ; k m l 16) f (x) (1 x) ch x x ; m k 17) f (x) arcsn x (1 x) ; m l 18) f (x) k cos(π x) x (1 x) ; m k 19) f (x) ln (1 x) (1 x) ; m k l 0) f (x) ln (1 x) (1 x) ch x. Във функциите параметрите l, k, t приемат стойности от 1 до 4, 0 x 1, препоръчителните стойности на n са от 50 до

9 ПРОГРАМИРАНЕ Почти всички модерни изпълненияуниверсални езици за програмиране, като Fortran, C, Pascal, има същите структурни елементи, с които се изграждат програмите. Основните структури, които се изучават в тази програма, са вилицата и примката. Вилицата може да бъде представена в блокова диаграма, както е показано на фиг.

10 Тук P (разтвор) е малко булево условие, който може да приеме стойността "true" (Да, True) или "false" (No, False). В зависимост от това ще бъде изпълнен или блок от оператори A, или блок от оператори B. Може да се реализира или с помощта на разклонение, или с помощта на специални оператори за цикъл с предварително условие (условието за изпълнение на операторите на тялото на цикъла се проверява при влизане в цикъла), с постусловие (изявленията за условие за изпълнение на тялото на цикъла се проверяват при излизане от цикъла), с брояч (променлива, наречена брояч на цикъл, се променя на стъпки, докато достигне фиксирана стойност). На блоковата диаграма цикълът е представен или чрез вилица (фиг. 1.), или чрез символ, състоящ се от две части, показващ началото и края на цикъла (фиг. 1.3). И двете части на символа имат един и същ идентификатор. Условия за инициализация, нарастване, прекратяване и др. се поставят вътре в символа в началото или в края, в зависимост от местоположението на операцията, която проверява условието. Фиг. Блокова диаграма на вилица („решение“, „избор“) Фиг. 1.. Схема на цикъл с вилица В примера на фиг. 1. проста променлива от целочислен тип, наречена цикълна променлива; т 1 първоначална стойностпроменлива на цикъла, m 3 е стъпката на промяна, а m дефинира крайната стойност, F е тялото на цикъла. десет

Фиг. 11 Схема на цикъл със специален символ В нашата задача стойностите на функцията u, изчислени в x възлите, трябва да бъдат поставени в едномерен масив, като предварително са описани неговия тип и измерение. Блоковата схема на програмата е показана на фиг. В блока се въвеждат началните данни, цикълът за изчисляване на основните количества, с изключение на стандартно отклонениеот средната стойност, чието изчисление е отделено в отделен цикъл, тъй като се основава на резултатите от предишни операции. В блок 9 резултатите се привеждат в необходимия вид, а в блок 10 се извеждат. 1 Начало 6 от =1,N Начални данни 11 7 (f f)

12 За проверка на коректността на програмата се препоръчва първо да се изследва тестовата функция u(x) x(1 x) 1/ 8, N 101, за която трябва да се получат следните резултати: 1

13 umax 0,15, max 51, umn 0,15, mn 1; u u um p 0.970, p , ζ , Препоръчва се да се извършат изчисления за няколко стойности на n и да се анализира как се променят резултатите. СЪДЪРЖАНИЕ НА ОТЧЕТА Докладът трябва да съдържа: формули, параметри и графика на функцията u(x) за конкретен вариант; програмен текст; резултати от изчисленията. КОНТРОЛНИ ВЪПРОСИ 1. Как се описват масивите?. Как се пише и изпълнява оператор за цикъл? 3. Какви са ограниченията на оператора за цикъл? 4. Как се записват и изпълняват операторите за вход и изход? 13

14 Задача РЕШЕНИЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ Целта на работата: изучаването на условно и безусловно сходни итеративни методи за решаване на нелинейни уравнения. ФОРМУЛИРАНЕ НА ПРОБЛЕМА Един от най-честите проблеми, пред които е изправен физикът, е решаването на уравнения от вида f(x) = 0. (.1) Решенията се търсят чрез последователни приближения или итеративни методи. Първоначалното приближение може да се намери от физически съображения, от опита от решаването на подобни проблеми, използвайки графични методии т.н. Търсенето на корена на уравнението се извършва математически, като се използва конструкцията на редицата на Коши (x), когато за дадено има такова N, че за всички n и p, надвишаващи N, x n x p<, причем корень находится внутри этого отрезка неопределѐнности. Метод половинного деления (дихотомия) Пусть известно, что на отрезке находится искомое значение корня уравнения (.1), т. е. x (рис..1). В качестве начального приближения возьмем a b середину отрезка x 0. Теперь исследуем значения функции f(x) на концах образовавшихся отрезков и . Выберем из них тот, на концах которого функция принимает Рис..1. Иллюстрация метода дихотомии значения разного знака, так как 14

15 съдържа желания корен. Втората половина на сегмента може да бъде игнорирана. След това разделяме новия сегмент наполовина и отново стигаме до два сегмента, в края на единия от които функцията променя знака, т.е. съдържа корен. По този начин след всяка итерация оригиналният сегмент се намалява наполовина, т.е. след n итерации той ще бъде намален n пъти. Процесът на итерация ще продължи, докато стойността на модула на функцията стане по-малка от определената точност, т.е. f(x n)<, или длина исследуемого отрезка станет меньше удвоенной допустимой: x n+1 x n <. Тогда в качестве приближенного значения корня можно принять середину последнего отрезка 0,5(x n + x n+1). Как видно из сказанного, метод довольно медленный, однако он безусловно сходящийся, т. е. всегда сходится к корню. Метод касательных Метод касательных (метод Ньютона) можно отнести к методам, в основе которых лежит замена исследуемой функции f(x) более простой функцией, в данном случае касательной. Геометрически в начальной точке x 0 проводится касательная к кривой f(x) и находится точка ее пересечения с осью абсцисс (рис..). Рис... Иллюстрация метода касательных Уравнение касательной к кривой f(x) в точке M 0 (x 0, f(x 0)) имеет вид y f(x 0) = f (x 0)(x x 0), 15

16 и следващото приближение x 1, което е точката на пресичане на допирателната с оста x, се дава с формулата f(x0) x1 x0. f (x0) По същия начин могат да се намерят апроксимации f(xn) xn 1 x, n f (xn) чрез построяване на допирателни последователно от точки М 1,..,М n-1, като не се забравя, че f (x n) 0. Метод на допирателните е условно конвергентен метод, т.е. за неговата конвергенция * lm x x трябва да бъде изпълнено следното условие в областта за търсене на корена " " ff (f), x * е желаната стойност на корена. За произволно нулево приближение итерациите ще се сближат, ако условието, получено по-горе, е изпълнено навсякъде. В противен случай конвергенцията ще бъде само в някаква околност на корена. Следните критерии могат да се използват за прекратяване на итеративния процес. 1. Максималният брой повторения. Този критерий е необходим, ако методите не се сближават. Въпреки това е трудно да се определи предварително колко итерации ще са необходими, за да се получи задоволителна точност Слаба вариация на приближението до корена: x n+1 x n< или x n+1 x n < x n. (.) 3. Достаточно малое значение функции f(x n) <. Метод Ньютона обладает сходимостью второго порядка. Это означает, что вблизи корня погрешность уменьшается по закону ε const ε 1. Поэтому итерации по методу Ньютона сходятся очень быстро, так что для достижения условия (.) достаточно нескольких итераций. 16

17 Неизпълнението на условието (.) при > 10 обикновено показва липса на конвергенция, грешка във формулите или в програмата. Методът на секанса Изчисляването на производната на функцията f (x), което е необходимо в метода на Нютон, не винаги е удобно или възможно. Замяната на производната на първата разделена разлика, която се намира през последните две итерации (т.е. заместването на тангенса със секанс) ни води до метода на секанса. От гледна точка на аналитичните методи правата, минаваща през последните две точки x n и x n 1, се приема като приближаваща, т.е. вместо производната в метода на допирателната е необходимо да се замени "f (xn) f (xn 1) f, xn xn 1 тогава стигаме до формулата на метода на секущата: xn xn 1 xn 1 xn f (xn).f (x) f (x) n Фиг. 3. Илюстрация на метода на секущата 17 n 1 (ускоряващи) точки x 0 и x 1. Графично методът е илюстриран на фиг. 3. Първо, през избраните точки (x 0, f (x 0)), (x 1, f (x 1) ) чертаем права линия, докато се пресече с оста x и определяме x, а вертикалната линия при x дава f(x). След това линията се начертава през точките (x 1, f(x 1)) и (x , f(x)) и така нататък, до едно от трите условия за прекратяване на итеративния процес (.). Обикновено секантният метод изисква повече итерации от тангенсния метод, но всяка итерация е много по-бърза, тъй като не е необходимо за изчисляване на f "(x), и следователно често m същия обем на изчисление

18 итерации, можете да направите повече итерации и да получите по-висока точност. ОПЦИИ ЗА ЗАДАЧИ Използвайки метода на безусловно конвергентната дихотомия и един от условно конвергентните методи (тангенс или секанс), намерете върху отсечката 0 x 1 корена на една от функциите по-долу. Във функциите параметрите l, k, t приемат стойности от 1 до 4. Препоръчва се да се изследва същата функция като в задача 1. k m 1) f (x) cos (π x /) x ; k m) f (x) sn (π x /) (1 x) ; k m 3) f (x) sh x cos (π x); k m 4) f (x) 1 x tg (π x / 4) ; k m 5) f (x) (1 x) tg (π x / 4) ; 6) 1/ k m f (x) (1 x) tg (π x / 4) ; 7) () x m f x e sn(π x /) ; x k m 8) f (x) e x sn(π x /) ; m 9) (1 x) x ; 10) (1) 1/ m 1/ x x ; k m l 11) f (x) (1 x) ch x x ; k m l 1) f (x) (1 x) cos (π x /) x ; k m 13) f (x) (1 x) sh x ; 14) 15) 1/ k m f (x) (1 x) sh x ; 1/ k m f (x) (1 x) sh x ; k m l 16) f (x) (1 x) ch x x ; m k 17) f (x) arcsn x (1 x) ; m l 18) f (x) k cos(π x) x (1 x) ; m k 19) f (x) ln (1 x) (1 x) ; m k l 0) f (x) ln (1 x) (1 x) ch x. осемнадесет

19 ПРОГРАМИРАНЕ Когато компилирате програма, препоръчително е да зададете максимално допустимия брой итерации max, като прекъсвате итеративния процес, ако = max. Това предотвратява т. нар. "зацикляне" на програмата, което понякога се случва поради грешки във формулите или програмата, както и неуспешен избор на първоначалната итерация. В този проблем е достатъчно да зададете max = 30, тъй като при липса на грешки сближаването се постига много по-рано. Стойността на ε се препоръчва да бъде избрана в диапазона Като първоначална итерация можете да вземете x 0 = 0,. Ако итерациите не се сближават, тази стойност може да бъде намалена или увеличена, оставайки в диапазона 0< х 0 < 1. Блок-схемы программ решения нелинейных уравнений методом дихотомии и секущих приведены на рис..4 и.5. Они составлены так, чтобы на каждой итерации вычислялось лишь одно новое значение f (х). Это обеспечивает максимальную скорость решения, так как основное время решения занимает вычисление значений функции f (х). В качестве «разгонных» значений в методе секущих можно принять х 0 = 0,; х 1 = х 0 + (10 100)ε. a,b,ε,n max f(x) f(x) fa=f(a), n=0 c=(a+b)/ fc=f(c), n=n+1 a-b ε n0 b=c Фиг..4. Блокова схема на програма за решаване на нелинейно уравнение по метода на дихотомията 19

20 1 Начало Начални данни 3 =1, x -1 =x 0 x =x 1 f -1 =f(x -1) f(x) No x x 1 x 1 x f 4 > f f 1 max 5 x x f f (x) 1 да да<ε 6 Нет 8 9 График f Результаты Конец x 1 1 f x x x f Рис..5. Блок-схема программы решения нелинейного уравнения методом секущих 0

21 СЪДЪРЖАНИЕ НА ОТЧЕТА Отчетът трябва да съдържа: формулата на функцията f(x) за конкретен вариант; зададена стойност ε и начални стойности x 0 ; програмен текст; намерени приблизителни стойности на корена и броя на итерациите за двата метода; графиката на функцията f(x), построена в предходната задача. КОНТРОЛНИ ВЪПРОСИ 1. Как се построява решението на нелинейни уравнения по метода на допирателната, какви са неговите характеристики? Получете условието за конвергенция за метода на допирателната. 3. Получете оценка на скоростта (реда) на сходимост на метода на допирателната. 4. Как се конструира решението на нелинейни уравнения по метода на секущата, какви са неговите характеристики? 5. Какви други методи съществуват за решаване на нелинейни уравнения? 6. Как се конструира решението на нелинейни уравнения по метода на дихотомията, какви са неговите характеристики? 7. Сравнете методите за решаване на нелинейни уравнения по отношение на скоростта на сходимост, като използвате резултатите, които сте получили като пример. един

22 Задача 3 ИНТЕРПОЛАЦИЯ Целта на работата е изучаването на методите за интерполация, изграждането на интерполационния полином на Нютон. ФОРМУЛИРАНЕ НА ПРОБЛЕМА Численото симулиране на повечето физически проблеми по правило е свързано с необходимостта да се вземат предвид фактори, които не могат да бъдат описани аналитично. Има само определен брой експериментални зависимости, получени при фиксиран брой точки в диапазона от променливи, които ни интересуват. По този начин, когато се решава широко разпространен проблем за динамиката на макро- и микро-обекти във външни гравитационни или електромагнитни полета, често е невъзможно да се получи информация за полето под формата на аналитични функции без въвеждане на допълнителни опростяващи допускания, които могат значително да повлияят на резултата . В този случай е необходимо да се прибегне до експериментални характеристики и експериментът може да се проведе само краен брой пъти. Така стигаме до физически проблем, в който редица функции са дадени върху краен брой точки x от фиксиран диапазон на аргумента x. Численият метод обаче може да изисква познаване на тези функции за всички стойности на аргументи в този регион. В този случай възниква проблемът с възстановяването на функцията y(x) за всички стойности на x, ако нейните стойности са известни при някакъв фиксиран брой точки x от този сегмент. Най-простият и често срещан начин за решаване на този проблем е интерполацията между съседни стойности, която се свежда до конструиране на функция (x), която съвпада с функцията y(x) в точки x, т.е. (x) = y(x) = y, = 0, 1, n, където n + 1 е броят на точките, посочени в сегмента, а x са интерполационните възли.

23 При избора на интерполираща функция (x) е необходимо да се ограничи търсенето до функции, които лесно и бързо се изчисляват на компютър, тъй като по правило те трябва да се изчисляват много пъти. Има много интерполационни полиноми и начини за конструирането им, подходящи за различни местоположения на възли. Когато се конструират интерполационни полиноми, обикновено се приема, че наборът от използвани възли е известен. Често обаче е известна само необходимата точност, а броят на възлите не е фиксиран. Интерполационният полином на Нютон, който е предмет на тази работа, се отличава с факта, че броят на използваните възли може лесно да бъде увеличен или намален, без да се повтаря целият цикъл на изчисление, като по този начин се променя точността на интерполацията. Интерполацията се извършва върху таблица с равноотдалечени възли, въпреки че интерполационният полином на Нютон е приложим за всяко подреждане на възли. Задачата включва следните стъпки. 1. Изчислете таблицата със стойности y y(x) на дадената функция y(x) при еднакво разположени възли x h (0,1,..., n), h 1/ n, на сегмента .. Направете a таблица на първите разлики на функцията y 1 y y 1 y y( x 1, x) (0,1,..., n 1). x x h 1 3. Направете таблица на вторите разделени разлики y(x, x 1) y(x 1, x) y y 1 y y(x, x 1, x) x x h (0,1,..., n) Според към тези таблици, използвайки интерполационния полином от втори ред на Нютон P(x) y (x x) y(x, x) (x x)(x x) y(x, x, x) y 1 y y y 1 y y (x x) (x x )(x x 1), h h

24 изчислява стойностите на P(x) в точки (възли) с полуцели индекси x 1/ (1/) h (0,1,..., n). 5. Намерете интерполационната грешка в тези възли ε y(x) P(x) (0,1,..., n), 1/ 1/ 1/ максимална грешка ε max, средна квадратична грешка и средна квадратична грешка ε m: n 1 εmax max ε 1/, ε ε 1/, εm ε. n 1 6. Проучете как грешките ε max и ε m се променят с n. 0 ОПЦИИ НА ФУНКЦИИ y(x) (a, b 1 5; k, m 1 4; n 0 100) k m k m 1) y(x) sn (π x);) y(x) cos (π x); 3) y(x) k 1/ m sn (π x); 4) y(x) k 1/ m cos (π x); 5) y(x) k m tg (π x / 4); 6) y(x) k 1/ m tg (π x / 4); 7) y(x) 4 ax 3 bx ; 8) y(x) (a m k bx) ; 9) y(x) (a m 1/ k bx) ; 10) y(x) (a 1/ m k bx) ; 11) y(x) (a 1/ m 1/ k bx) ; 1) y(x) k x /(a m bx); 13) y(x) k x /(a m bx) ; 14) y(x) 1/ k x /(a m bx) ; 15) y(x) k x /(a 1/ m bx) ; 16) y(x) 1/ k x /(a 1/ m bx) ; 17) y(x) (a k x) / (b 4 m x) ; 18) y(x) (a 1/ k x) / (b 4 m x) ; 19) y(x) (a k x) / (b 4 1/ m x) ; 0) y(x) (a 1/ k x) / (b 4 1/ m x) ; 1) y(x) k x / (a ​​​​m bx);) y(x) 1/ k x / (a ​​​​m bx); 3) y(x) k x / (a ​​​​1/ m bx); 4) y(x) 1/ k x / (a ​​​​1/ m bx); k m 1/ k m 5) yx () ln (1 x); 6) y(x)ln(1x); четири

25 k 1/ m 1/ k 1/ m 7) y(x) ln (1 x); 8) y(x)ln(1x); k x 1/ k x 9) y(x) x e; 30) y(x) x e; 1/ m 1/ m k x 1/ k x 31) y(x) x e; 3) y(x) x e; 8(x 0,5) k 8(x 0,5) 33) y(x) e; 34) y(x) x e; 1/ k 8(x 0,5) m 1/ k 35) y(x) x e; 36) y(x) (a bx) ; 1/ m 1/ k m k 37) y(x) (a bx) ; 38) y(x) (a bx) ; m 1/ k 1/ m 1/ k 39) y(x) (a bx) ; 40) y(x) (a bx) ; k m k m 41) y(x) arcsn; 4) y(x) arccos; k 1/ m k m 43) y(x) arcsn; 44) y(x) arccos; m 1/ m 45) y(x) arctg(a bx); 46) y(x) arctg(a bx); 47) y(x) sh(a m bx) ; 48) y(x) sh(a 1/ m bx) ; 47) y(x) ch(a m bx) ; 50) y(x) ch(a 1/ m bx). ПРОГРАМИРАНЕ Блоковата диаграма на програмата е показана на фиг.Програмата се основава на три последователни цикъла от блокове, 6-7-8.За съхраняване на функционалните стойности, изчислени в тези цикли, първата и втората разлики, както и грешките, трябва да се опишат съответните масиви. За да проверите коректността на програмата, се препоръчва първо да извършите изчисления за тестовата функция y(x) x, за която ε max и ε m трябва да са равни на нула. 5

26 1 Начало 9 от =1,n- Начални данни 3 от =1,n 10 y(x, x, x), 1 Px (), 1/ 1/, макс. 1/ 4 y 11 от 5 от 1, m 6 по =1,n-1 13 Графики Резултати 7 y(x +1, x) 14 Край 8 по Фиг.3.1. Блокова схема на програма за интерполация 6

27 СЪДЪРЖАНИЕ НА ОТЧЕТА Отчетът трябва да съдържа: формула и графика на функцията y(x) за конкретен вариант; програмен текст; таблица на грешките ε 1/ (0,1,..., n); стойности на ε max и ε t.КОНТРОЛНИ ВЪПРОСИ 1. Как се формулира проблемът с интерполацията? Какви интерполационни полиноми знаете? 3. Как се определят разделените разлики от различни поръчки? 4. Как е конструиран интерполационният полином на Нютон? 5. Каква е грешката (остатъчният член) на интерполационния полином? 6. Как на практика може да се оцени грешката на интерполацията? 7

28 Задача 4 ПРИБЛИЖЕНИЕ Целта на работата: изследване на приближението на функции на примера на метода на най-малките квадрати. ФОРМУЛИРАНЕ НА ПРОБЛЕМА При замяна на функция с интерполационен полином, необходимо условие е преминаването на интерполационния полином през стойностите на функцията във възлите на интерполацията. В случай на използване на експериментални зависимости, стойностите на функцията във възлите се получават с определена грешка (често доста голяма), така че е неподходящо да се прибягва до интерполация, принуждавайки интерполационния полином да повтаря тези грешки. В този случай е по-добре да използвате апроксимация, т.е. избор на функция, която минава близо до дадените точки, като предварително сте определили критериите за "близост". В зависимост от избрания метод на приближение можете да получите много различни резултати един от друг: кривата може да минава точно през всички дадени точки и в същото време да се различава значително от изгладената апроксимираща функция = c 0 + c 1 x + c x + + c m x ​​​​m, чиито коефициенти c са избрани така, че да минимизират отклонението на полинома от дадената функция. осем

29 Нека използваме средноквадратичното приближение на функцията y(x) чрез полинома (x) върху множеството (x, y), (= 0, 1, n), в което мярката за отклонение е стойността S , което е равно на сумата от квадратите на разликите между стойностите на полинома и функцията в тези точки : n n 0 1 m 0 0 S [ (x, c, c,..., c) y ]. За да се построи апроксимиращ полином, е необходимо да се изберат коефициентите c 0, c 1, c m така, че стойността на S да е най-малка. Това е методът на най-малките квадрати. Ако отклонението се подчинява на нормалния закон за разпределение, тогава стойностите на параметрите, получени по този начин, са най-вероятни. Както бе споменато по-горе, средноквадратичното приближение изглажда неточностите на функцията, като й дава правилно представяне. Тъй като c действат като независими променливи на функцията S, намираме минимума, като приравняваме на нула частните производни по отношение на тези променливи: S S S S 0, 0, 0,..., 0, c c c c 0 1, т.е. стигаме до система на уравнения за определяне на c. Ако приемем полином като апроксимираща функция, тогава изразът за квадратните отклонения ще приеме формата: n m (m). 0 S c c x c x c x y Приравнявайки частните производни на нула, стигаме до системата: S c 0 S c 1... S c m n m (c c x... c x y) 0; 0 n m (c c x... c x y) x 0; n 0 1 m m (c c x... c x y) x m m m 9 n

30 Събирайки коефициентите за неизвестните c 0, c 1, c m, получаваме системата от уравнения: n n n n m (n 1) c0 c1 x c x... cm x y; n n n n n 3 m m c x c x c x... c x x y ;... n n n n n m m 1 m m m 0 1 m c x c x c x... c x x y. Решавайки системата, намираме неизвестни параметри c 0, c 1, c m. В по-компактна форма можем да запишем: b 00 c 0 + b 01 c b 0m c m = a 0 ; b 10 c 0 + b 11 c b 1m c m = a 1; (4.1) b m0 c 0 + b m1 c b mm c m = a m, n k l k ако въведем обозначението b x, a x y ; k, l 0,1,...,m. kl k 0 0 Означаваме с черта осредняването върху множеството възли x 1 u n 1 и също така въвеждаме обозначението: n 0 k mk x (k 1,...), K x y. Тогава системата (4.1) може да се запише като: c m c m c K ; u m c m c m c K mc0 m3c1 m4c K1. Системата от уравнения може да бъде решена чрез всеки от преките методи, разгледани по-долу. Тъй като системата има симетрична матрица, е възможно да се използва методът на квадратния корен, чиито формули за изчисление са дадени по-долу: n ; тридесет

31 s 1, s m, s m; s m m, s (m m m) / s ; s m (s s) m (m s); z K, z (K m K)/s; z [ K (s z s z)] / s ; z z z c c, c, c z (s c s c) s33 s .., n) и грешката на приближаване εmax max ε, ε y(x) φ(x), εm ε, където средният квадрат на грешката е ε S / (n 1 ). ОПЦИИ ЗА ЗАДАВАНЕ Параметри: a 0, b 1, n Възли: x h(0,1,..., n), h 1/ n. ВАРИАНТИ НА ФУНКЦИИТЕ y(x) q 1) y(x) sn x (q 1 3); 1/ q) y(x) sn x (q,3); 3) y(x) x e; 4) y(x) log(1 q x)(q 1 3); 1/ q 5) y(x) cos x (q,3); q 6) y(x) cos x (q 1 3); 1/ q x 7) y(x) e (q,3); 1/ q 8) y(x) ln(1 x)(q 1 3); 31

32 q 9) y(x) x(1 x) 0,01 x (q 3 5); 1/ q 10) y(x) x(1 x) x (q 5); 1/ q 11) y(x) tan x (q 1 3); q 1) y(x) 1 x (q 1 4); 13) y(x) (1 q 1 x) (q 1 4); 14) y(x) 15) y(x) (1 (1 1/ q x) (q x) / (1 1 3 x); 3); 16) y(x) x(1 1/ q x) (q 4); x 17) y(x) e; x 18) y(x) e; 19) y(x) 1/ q arcsn x (q 1 3); 0) y(x) (1 1/ q x) (q 4); 1) y(x) (1 1/ q x) (q 1 3);) y(x) (1 1/ q x) (q 4); q 3) y(x) x / (1 x)(q 1 4); x q 4) y(x) x e (q 1,). ПРОГРАМИРАНЕ Блоковата схема на програмата е показана на фиг. 4.. За да съхраните y, θ(x), разпределете масиви с поне n+1 елемента. Препоръчва се изчисленията да се извършват за няколко стойности на n, като се обръща внимание на промяната на грешката с увеличаване на n. Достатъчно е да се изведат резултатите за една стойност на n на екрана.За проверка на коректността на програмата се препоръчва апроксимацията на функцията y(x) (1 x) като тестова задача, за която грешките ε max , ε t, трябва да е равно на нула. 3

33 1 3 Старт Първоначални данни от =1,n 7 8 от =1,n (x(x),), max max 4 y, m k, k l, 9 от 5 от 10 m 6 S, z k, c, c, c Резултати 1 Край Фиг. 4..Блок схема на апроксимационната програма 33

34 СЪДЪРЖАНИЕ НА ОТЧЕТА Отчетът трябва да съдържа: формулата на функцията y(x) и параметрите за конкретния вариант; програмен текст; стойности c 0, c 1, s; масиви и графики y, θ(x); грешки ε max, ε t, ε. КОНТРОЛНИ ВЪПРОСИ 1. Как се поставя задачата за апроксимация на функции? Какво е средноквадратично приближение? 3. Какво е равномерно приближение? 4. Как се конструира методът на най-малките квадрати? 5. Каква е грешката (остатъчния член) на апроксимацията чрез степенни функции? 6. Какви са условията за пълнота на системата от функции? 34

35 Задача 5 ЧИСЛЕНО ДИФЕРЕНЦИРАНЕ Целта на работата е да се изучат методите за числено диференциране, да се изчислят първата и втората производни на дадена функция с помощта на интерполационния полином на Нютон. ФОРМУЛИРАНЕ НА ЗАДАЧАТА Численото диференциране е един от най-често срещаните проблеми в изчислителната математика, който има различни приложения. Нека е дадена мрежова функция y y(x) (0,1,..., n), дефинирана върху набор от възли x, (= 0, 1,...,n). За да изчислим производната y (k) (x) от ред k (k=1,...) в някаква точка x, избираме m+1 (m k) възли в околността на тази точка и конструираме интерполационен полином Р m (x) от степен m (например, полином на Нютон (вижте задача 3)), преминаващ през всички избрани възли: (5.) y(x) P (x) R (x), m (X). Диференцирайки равенството (5.), намираме (k) (k) (k) y (x) Pm (x) Rm (x) (k 1,...). (5.3) Нека сега вземем като приблизителна стойност на производната y) (x) производната на полинома: (k (k) (k) y (x) P (x). (5.4) Тогава остатъчният член ( грешка) на производната Q m,k ( x) е равна на производната на остатъка (грешката) на интерполационния полином: Q x y x P x R x (k) (k) (k) m, k () () m () m ().m m (5.1) 35

36 Производните (5.4) се наричат ​​крайни разлики. В практиката най-често се използват равномерни решетки, т.е. решетки с еднакво разположени възли. На такива решетки, първата и втората производна с крайна разлика във възлите x, получени по този метод, с грешка O(h) спрямо стъпката на мрежата h, се дават по формулите: y 1 y 1 y y (x), y y h O(h); y 1 y y 1 y y (x), y h y O(h); (1,..., n 1). При граничните възли с номера = 0 и = n трябва да се изчислят така наречените едностранни производни, като се изберат интерполационни възли само от едната страна на граничния възел. На еднаква мрежа формулите от втори ред за първата и втората производни са: 3y0 4y1 y y 0 y (x0) O(h); h yn 4yn 1 3yn y n y (xn) O(h); h 1y0 30y1 4y 6y3 y 0 y (x0) O(h); 6h 6y 4y 30y 1y y n y x O h 6h n 3 n n 1 n (n) (). Както може да се види от формулите, при едностранните производни са необходими повече възли, за да се постигне същата точност. За извършване на лабораторна работа предварително се съставя таблица със стойности (5.1) за една от функциите y (x), дадени по-долу в еднакво разположени възли 36

37 x h (0,1,..., n), h 1/ n, на интервала 0 x 1. Стойностите на n се избират в диапазона n = Тогава точното y", y" (аналитично) и приблизителни стойности на y и y на първата и втората производни, получени "по горните формули. Във всички възли има максимум и средноквадратично (k) (k) εk,max max y y (k 1,) 1 n ε k n (k) (k) (y y) 1 0 ( k 1,) стойностите на грешката на численото диференциране, както и броя на възлите kmax, в които стойностите ε kmax (k=1 ,) се постигат. x; 4) cos(π x /); x 5) x e; 6) xch x; x / 7) sh x; 8) e; 9) x sh x; x / 10) ch x; 11) e; 1) x ch x; 13) x sn x; 14) sn x; 15) x sh x; 16) x cos x; 17) cos x; 18) tg(π x / 4); 19) x sn x; 0) x sn x; 1)(x 1) ln(x 1);) x cos x; 3) xcos x; 4) xln(x 1); x / x 5) e sn x; 6 ) xe ; 7) arcsn(x /);x / 8) arctg x ;9) xe ;30)(x 1) ln(x 1).37

38 ПРОГРАМИРАНЕ Блоковата схема на програмата за числено диференциране е показана на фиг. За съхраняване на стойностите на мрежовата функция, точните и приблизителни стойности на производните, както и техните грешки, се използват масиви с дължина най-малко n + l трябва да бъде присвоено. Тъй като в тази работа n<100, достаточно описать массивы, каждый их которых имеет 101 элемент. Функцию у(х), а также ее аналитические и конечно-разностные производные удобно описать в виде подпрограмм-функций. В цикле вычисляются узлы и значения функции в них, а в цикле аналитические и численные значения производных и погрешности. Правильность программы можно проверить, задавая, например, тестовую функцию у = х /, для которой должны получаться точные значения " y / ï, y 1 (0,1,..., n). Рабочие варианты рекомендуется рассчитать для нескольких значений n, наблюдая за уменьшением погрешности с ростом п. На экран достаточно вывести результаты вычислений для какого-либо одного значения п. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА Отчет должен содержать: функцию у(х) и расчетные формулы для конкретного варианта; текст программы; результаты вычислений и графики функций: " у", y ", у ", y, (= 0, 1,..., п), причем точные и приближѐнные значения соответствующих производных должны быть изображены разными цветами в одном окне. 38

39 1 Начало 6 от =1,n Начални данни 7 y, y, y, y, y y (k) (k) k, 3 от =1,n k,max, k, k,max y, y, y, y , 41 x, y 8 на 5 на 9 k 10 Резултати 11 Край Фиг. Блок-схема на програма за числено диференциране. 39

40 КОНТРОЛНИ ВЪПРОСИ 1. Как се формулира задачата за численото диференциране? Как се конструират формулите за числено диференциране, каква е тяхната грешка? 3. Оценете грешката на формулите, които използвате. 4. Как редът на грешката на численото диференциране намалява с увеличаване на реда на производната за същия брой възли? 5. Как можете да изградите формули за числено диференциране с повишена точност? 6. Каква е некоректността на формулирането на проблема за численото диференциране? 40

41 Задача 6 ЧИСЛЕНО ИНТЕГРИРАНЕ Целта на работата е да се изучат методите за числено интегриране, изчисляването на определен интеграл от дадена функция по методите на правоъгълниците и Гаус. ПОСТАНОВКА НА ЗАДАЧАТА. Нека функцията y = f(x) е дадена на отсечката в точките x 0 = a, x 1, x n = b. Трябва да изчислим определения интеграл на формата b a f (x) dx. Използвайки дефиницията на интеграла като граница на интегралната сума, имаме: b a n 1 f (x) dx lm f () x, x x x, max x (6.1) където x x +1 е някаква средна точка на интервала x, x +1. Задачата за интегриране графично се свежда до намиране на площта под графиката на функцията f(x) върху даден сегмент Фиг. Фиг. Илюстрация на числено интегриране Оста x е разделена на n сегмента с дължина x и е избрана точка на всеки сегмент според определен критерий и изчислен в този 41

42 точка стойността на функцията f(). Площта се определя от сумата от площите на получените правоъгълници. Когато дължините на отсечките x 0, сумата от площите на правоъгълниците клони към стойността на интеграла. За числено интегриране функцията f(x) се заменя с такава апроксимираща функция (x), чийто интеграл би бил лесно изчислен. Най-често обобщените интерполационни полиноми действат като апроксиманти. Тъй като такова приближение е линейно по отношение на параметрите, функцията се заменя с определен линеен израз, чиито коефициенти са стойностите на функцията във възлите: n f (x) f (x) (x) r( x), 0 където r(x) е остатъчният член на приближението. Замествайки този израз за функцията в първоначалния интеграл (6.1), получаваме b a n f (x) dx q f (x) R, където q (x) dx, R r(x) dx. b a b a 0 Формула (6.) се нарича квадратурна формула с тегла q и възли x. Както се вижда от формулата, теглата q зависят само от местоположението на възлите, но не и от формата на функцията f(x). Казва се, че квадратурна формула е точна за полиноми от степен m, ако, когато функцията f(x) се замени с произволен алгебричен полином от степен m, остатъчният член става равен на нула. Най-известните квадратурни формули се получават чрез избиране на x възли, разположени на еднакво разстояние в интервала на интегриране. Такива формули се наричат ​​формули на Нютон-Котс. Формулите от този тип включват добре познатите формули на правоъгълници, трапеци, параболи (Симпсън) и някои други. При метода на правоъгълниците на фиг. 6. Функцията f(x) се апроксимира с полином от нулева степен f (x) f (x) f. 0 0 (6.) 4

43 За да изчислим интеграла върху отсечката [a, b], я разделяме на малки отрязъци с дължина h, а интеграла на сумата от интегралите в отделни секции. Тогава за една секция h / h / f (x) dx hf, където f 0 е стойността на функцията в средата на сегмента. По този начин площта на криволинейния трапец се апроксимира с правоъгълник и функцията се изчислява в средната точка на сегмента. 0 Фиг. 6. Метод на правоъгълниците За -тия сегмент x 1 x f (x) dx hf, 43 1/ където f +1/ = f(a + (+ 1/)h). След това, накрая, стойността на интеграла върху [а, b] b a f (x) dx h(f f... f) r(x). 1/ 3/ n 1/ Ако възлите x са фиксирани (разпределени равномерно върху ), тогава в квадратурната формула (6.) теглата q също са фиксирани. След това, за да се конструира интерполационен полином, който апроксимира функцията f(x) на , остава само (n + 1) независимо условие, т.е. известните стойности на функцията във възлите на интерполацията f(x). По този начин, използвайки тези условия, е възможно да се конструира полином не по-висок от n-та степен. Ако не фиксираме позицията на възлите и следователно q, тогава имаме на наше разположение (n +)

44 условия, с които можете да конструирате полином (n + 1)-та степен. Така възниква проблемът да се намери сред всички квадратурни формули с (n + 1) възли формула с такова разположение на възлите x върху и с такива тегла q, за които тя е точна за полиноми с максимална степен. Интуитивно е ясно, че грешката на метода е толкова по-малка, колкото по-висок е порядъкът на полинома, чието числено интегриране дава точен резултат. Нека променим интегралната променлива в първоначалния интеграл (6.1) x a (b a) t (0 t 1) и да я преобразуваме във формата I = (b a) J, където 1 J f (t) dt, f (t) f (x(t)). 0 Така привеждаме интеграла на произволен сегмент до фиксиран интервал, където ще търсим оптималното разположение на възлите. Този проблем е успешно решен и справочниците за този интервал показват местоположението на възлите t и теглата A, където =1,m. За да изчислим интеграла, използваме квадратурната формула със следната форма: 1 m J f (t) dt A f (t) R. 0 1 m Остатъчният член на формулата на Гаус с m възли има формата R M f t M ( m) m m max (), m 0 t 1 (m!) (m 1) (m)! 4 3. По-специално, M 3 = , M 5 = , M 7 = , M 9 = , M 10 = и т.н. Теглата A и възлите t на квадратурните формули на Гаус имат следните стойности: m =3 t 1 = 1 t 3 = , t = , A 1 = A 3 = , A =

45 m =5 t 1 = 1 t 5 = , t =1 t 4 = , A 1 = A 5 = , A =A 4 = , t 3 = , A 3 = m=7 t 1 = 1 t 7 = , t = 1 t 6 = , t 3 =1 t 5 = , t 4 = , A 1 = A 7 = , A = A 6 = , A 3 = A 5 = , A 4 = m = 9 t 1 = 1 t 9 = , t =1 t 8 = , t 3 =1 t 7 = , t 4 = 1 t 6 = , t 5 == , A 5 = , A 1 = A 9 = , A = A 8 = , A 3 = A 7 = , A 4 = A 6 = m=11 t 1 = 1 t 11 = , t = 1 t 10 = , t 3 = 1 t 9 = , t 4 = 1 t 8 = , t 5 = 1 t 7 = , t 6 = , A 1 = A 11 = , A = A 10 = , A 3 = A 9 = , A 4 = A 8 = , A 5 = A 7 = , A 6 = ОПЦИИ ЗА ЗАДАВАНЕ За изчисляване на интеграла , използваме метода на правоъгълниците с брой възли от m до 100 и квадратурната формула на Гаус cm=5 11 възли. Изходните данни включват: функция f(x); интеграционни граници a, b; броят на възлите m, теглата A и възлите t на квадратурната формула на Гаус. Изчислете интеграла на таблицата на формата b a E (ξ) ξ 0 d според данните, дадени в 45

46 E () a b 0 1 ξ e e ξ sn(ξ /) 0 π 3 ξ (ξ 1)e 0 4 1/ 3 cos(ξ /) 0 π 5 ξ 1 ξ ξ / ln ξ / 4 3sn(ξ / ) 0 π 8 3 3ξ ξ e ξ ξ e 0 10 arcsn ξ(ξ ξ(1 ξ) cos (0.5ξ 0.15ξ) 0 π 1 ξ arctan ξ sh ξ ξ ch ξ ξ / ξ ξcos ξ e 0 π Таблица 6.1 ПРОГРАМИРАНЕ За да се запазят теглата A, възлите t на квадратурната формула на Гаус и стойностите на функциите в центровете на избраните сегменти f +1/ в метода на правоъгълниците, трябва да се опишат масиви с подходяща дължина. Изчисления в методът на Гаус може да бъде опростен, като се вземе предвид симетрията на теглата и възлите около средата на сегмента t = 0,5 Стойностите A, t, (= 1,...,11) трябва първо да бъдат въведени в масиви A() и T() с помощта на оператори за присвояване или оператор за първоначално въвеждане на данни.

47 1 Начало Първоначални данни 7 по =1,m 8 J m 1 A f (t) 3 по =1,n 9 по 41 x, n 1 I h f (x) 1/ 10 I (b a) J 5 по 11 Резултати 6 A,t 1 End Fig Блокова диаграма на интеграционната програма 47

48 Блоковата схема на програмата за изчисляване на интеграла по метода на правоъгълниците и метода на Гаус е показана на фиг. Методът на правоъгълниците е реализиран в цикъла, а методът на Гаус е реализиран. Правилността на интегрирането може да се провери, като се изчисли като тест интегралът 1 n I (n 1) x dx (n m 1), за който трябва да се получи точната стойност на 1, или I 1 4 (1 1 x) dx , чиято стойност е равна на π. 0 0 СЪДЪРЖАНИЕ НА ОТЧЕТА Отчетът трябва да съдържа: подинтегралната функция и границите на интегриране на конкретен вариант; броят на възлите в методите на правоъгълниците и Гаус; програмен текст; графика на подинтегралната функция; стойността на интеграла, получена по два метода. КОНТРОЛНИ ВЪПРОСИ 1. Как се формулира задачата за численото интегриране? Как се конструират интерполационните квадратурни формули, каква е тяхната грешка (остатъчен член)? 3. Как се конструират квадратурните формули на Гаус, каква е тяхната грешка (остатъчен член)? 4. Как се изграждат съставни (големи) квадратурни формули (правоъгълници, трапеци, параболи), каква е тяхната грешка (остатъчен член)? 5. Сравнете точността на метода на правоъгълниците и метода на Гаус с еднакъв брой възли. 48

49 Задача 7 ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА МНОЖЕСТВЕНИ ИНТЕГРАЛИ ПО МЕТОДА МОНТЕ КАРЛО Целта на работата е да се запознаят с числените методи на Монте Карло, изчисляването по метода на Монте Карло на многократен интеграл на дадена функция в изпъкнала област. ПОСТАНОВКА НА ПРОБЛЕМА Разгледайте задачата за изчисляване на n-мерния интеграл I f (x) dx, X (x, x,..., x), dx dx, dx,..., dx (V) 1 n 1 в област V с граница Г, вградена в n-мерен паралелепипед с обем Фигура Област на интегриране в случай на две променливи W = по формулата t 1 T T(x1, x, x3, t) dx1dx dx3dt, V (t t) s 1 t1 (Vs) където Vs 4 π 3 3 R - обемът на топката. 51

52 Като T(x,t) вземете T(x1, x, x3, t) ρ(x1 g1t, x gt, x3 g3t), където ρ(х) е една от функциите на предходната задача, g 1 =0 .l 0,9 (=1,3). 3. Изчислете обема V на тялото, ограничено от шестизмерен елипсоид 6 x Г () 1 0 (c 0,1). c 1 Извършете изчислението Монте Карло, като използвате формулата V dx dx dx dx dx dx dx. (V) (V) ПРОГРАМИРАНЕ Изчисляването на интеграла ще се извърши за няколко стойности на N, дадени от отделен масив N (L) в основната програма. Съответно, програмата трябва да организира извеждането на резултатите, когато броят на произволните числа достигне следващата стойност N от масива. Това ще даде възможност да се наблюдава изменението на резултатите и сближаването на интегрирането с увеличаване на N. Блоковата схема на програмата е показана на фиг. 7.. Основата на програмата е цикъл (блокове 3-10) за l от l до L, където L е зададен брой опции с различен брой произволни числа N l, за които се извеждат резултатите. В блок 4 се осъществява достъп до генератора на произволни числа, за да се изчисли ξ. На фигурата текущият брой произволни точки, M е броят на произволните точки в областта V, I è V от оценката на интеграла I и обема на областта V. Като тест е необходимо да се изчисли обемът на елипсоид в триизмерна област в съответствие с параграф 3 от задачата. Известно е аналитично решение V 4 π c. 1cc 3 3 5

1. Числени методи за решаване на уравнения 1. Системи линейни уравнения. 1.1. директни методи. 1.2. итеративни методи. 2. Нелинейни уравнения. 2.1. Уравнения с едно неизвестно. 2.2. Системи уравнения. един.

Лекция 5. Апроксимация на функции по метода на най-малките квадрати. В инженерните дейности често става необходимо да се опише под формата на функционална връзка връзката между стойностите, дадени в таблицата

РЕШАВАНЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМИ ОТ НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ РЕШЕНИЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ от вида Числено решение на нелинейни алгебрични или трансцендентни уравнения. е да намерите стойностите

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА УКРАЙНА НАЦИОНАЛЕН ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ "ХАРКОВ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИ ИНСТИТУТ" Указания за лабораторната работа "Изчисляване на корените на трансцендентни уравнения"

Числени методи Тема 2 Интерполация V I Velikodny 2011 2012 учебна година 1 Концепцията за интерполация Интерполацията е метод за приблизително или точно намиране на всяка стойност от известни индивидуални стойности

АПРОКСИМАЦИЯ НА ФУНКЦИИ ЧИСЛЕНО ДИФЕРЕНЦИРАНЕ И ИНТЕГРИРАНЕ В този раздел разглеждаме проблемите на апроксимирането на функции с помощта на полиноми на Лагранж и Нютон с помощта на сплайн интерполация

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Държавна образователна институция за висше професионално образование Томски държавен университет по системи за управление и радиоелектроника Катедра TUSUR

Лабораторна работа Методи за минимизиране на функции на една променлива с помощта на информация за производните на целевата функция Постановка на проблема: Необходимо е да се намери безусловният минимум на функция на една променлива (

ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ Държавна образователна институция за висше професионално образование "Пензенски държавен университет" Квадратурни и кубатурни формули Методически

Лекция 9 3. ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ ФОРМУЛИРАНЕ НА ЗАДАЧАТА Нека е дадено нелинейно уравнение (0, (3.1)), където (функция, дефинирана и непрекъсната на някакъв интервал. В някои случаи

Тема 4. ЧИСЛЕНО РЕШАВАНЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ -1- Тема 4. ЧИСЛЕНО РЕШАВАНЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ 4.0. Постановка на проблема Проблемът за намиране на корените на нелинейно уравнение във формата y=f() често се среща в научната

ЧИСЛЕНИТЕ МЕТОДИ В МИННАТА ПРОМИШЛЕНОСТ Математически модели и числени методи

РЕШЕНИЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМИ ОТ НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ РЕШЕНИЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ от формата Числено решение на нелинейни алгебрични или трансцендентални уравнения f =) се състои в намирането на стойностите,

1 Полином на Лагранж Нека стойностите на неизвестната функция (x i = 01 x [ a b] i i i) бъдат получени от експеримента.

Задачи за практически занятия по дисциплината "Изчислителна математика" Практически урок по темата Теория на грешките Тестови въпроси Дефиниране на изчислителен експеримент Начертайте диаграма

Държавна бюджетна образователна институция за средно професионално образование "Владимирски авиационен механичен колеж" МЕТОДОЛОГИЧЕСКИ ИНСТРУКЦИИ за лабораторна работа по дисциплината ЧИСЛЕН

ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ Държавна образователна институция за висше професионално образование "ВОРОНЕЖКИ ДЪРЖАВЕН ПЕДАГОГИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ" Катедра по информатика и методи

Вариант 1. 1. Полето на комплексните числа. Неговият дизайн. Алгебрична и тригонометрична форма на записване на комплексни числа. Формулата на Моавър и формулата за извличане на корени от n-та степен от комплексно число.

Численото интегриране се разбира като набор от числени методи за намиране на стойността на определен интеграл. При решаване на инженерни проблеми понякога е необходимо да се изчисли средната стойност

2 Числени методи за решаване на уравнения. 2.1 Класификация на уравненията, техните системи и методи за решаване. Уравненията и системите от уравнения се делят на: 1) алгебрични: уравнението се нарича алгебрично, ако над

ОБИКНОВЕНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ОТ ПЪРВИ РЯД.Основни понятия Диференциално уравнение е уравнение, в което под производна или диференциален знак влиза неизвестна функция.

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Р.

Постановка на проблема, основни понятия Крайни разлики и техните свойства Интерполационни полиноми Оценка на остатъчния член на интерполационни полиноми Постановка на проблема, основни понятия Нека, т.е.

Лекция3. 3. Метод на Нютон (на допирателните. Нека зададем някакво начално приближение [, b] и линеаризираме функцията f (в ​​съседство, използвайки сегмент от реда на Тейлър f (= f (+ f "((-. (5) Вместо уравнението (решаваме

Глава Изчисляване на определени интеграли! " #%$&" %(" #)* +,- "#" dx. Като цяло проблемът се решава чрез приближаване на функцията с друга функция, за която интегралът се изчислява аналитично.

Разностни схеми за нелинейни задачи. Квазилинейно транспортно уравнение. За числено решаване на нелинейни задачи в различни ситуации се използват както линейни, така и нелинейни схеми. Устойчивост на съответните

Средства за оценяване за текущо проследяване на напредъка, междинна атестация въз основа на резултатите от усвояването на дисциплината и учебно-методическа помощ за самостоятелна работа на студентите 1 Изчислителни задачи Варианти

1 1.57.5-5-.5 РЕШЕНИЕ НА УРАВНЕНИЯ С ЕДНА ПРОМЕНЛИВА Задача: Намерете решението на уравнение с точност до 0,0001, като използвате следните методи: дихотомии; пропорционални части (акорди); допирателни (Нютон); модифициран

Лекция 2. Решаване на нелинейни уравнения. Постановка на проблема: Намерете коефициента на грешка на инструмента σ при извършване на геодезически измервания от уравнението: δ cos σ υ σ 2 + η = 0 Стойности ​​δ = 0,186, υ = 4,18,

Основни понятия от теорията на разностните схеми. Примери за конструиране на диференциални схеми за начално-гранични задачи. Голям брой проблеми във физиката и технологиите водят до гранични или начално-гранични задачи за линейни

Математическо моделиране на топлоенергийни съоръжения Лекция 1 Нелинейни алгебрични и трансцендентни уравнения. Термини и понятия 2 Моделирането е изследване на обект или система от обекти чрез

СИСТЕМИ ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ След изучаването на тази тема ще можете да: извършвате числено решаване на задачи от линейната алгебра. Многобройни практически задачи се свеждат до решаване на системи от линейни уравнения, решението

Интеграл. 8 Методи за числено интегриране. В тази глава ще разгледаме методите за изчисляване на определен метод.Методите за числено интегриране са широко използвани при автоматизирането на решаването на научни

ЛЕКЦИЯ 11 ПРОБЛЕМ ЗА ОПТИМИЗАЦИЯ НА МНОГОИЗМЕРНА ИНТЕРПОЛАЦИЯ В последната лекция бяха разгледани методи за решаване на нелинейни уравнения.Бяха разгледани двуточкови методи, които използват локализация на корена,

ОПРЕДЕЛЕН ИНТЕГРАЛ. Интегрални суми и определен интеграл Нека функция y = f (), дефинирана на сегмента [, b], където< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА на Руската федерация R.E.

Глава 4. ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ ЗА РЕШАВАНЕ НА ОБИКНОВЕНИТЕ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ И ТЕХНИТЕ СИСТЕМИ

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Държавна образователна институция за висше професионално образование "Ижевски държавен технически университет" ОДОБРЕНО от ректора И.В. Абрамов

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИ ДЪРЖАВЕН ТЕХНОЛОГИЧЕН ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ) Катедра по приложна математика M.V. Лукина МЕТОДИ ЗА ПРИБЛИЗИТЕЛНИ ИЗЧИСЛЕНИЯ

ФЕДЕРАЛНА ДЪРЖАВНА БЮДЖЕТНА ОБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ ЗА ВИСШЕ ОБРАЗОВАНИЕ „НИЖНИ НОВГОРОДСКИ ДЪРЖАВЕН ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ им. R.E. АЛЕКСЕЕВА ИНСТИТУТ ПО РАДИОЕЛЕКТРОНИКА И ИНФОРМАЦИЯ

ЛЕКЦИЯ 3 Методи за обработка на експериментални данни Интерполация

Паскал 13. Решаване на нелинейни уравнения. Нелинейните уравнения могат да бъдат разделени на 2 класа - алгебрични и трансцендентални. Алгебричните уравнения се наричат ​​уравнения, съдържащи само алгебрични

Методът на Риц Има два основни вида методи за решаване на вариационни проблеми. Първият тип включва методи, които свеждат първоначалния проблем до решение на диференциални уравнения. Тези методи са много добре разработени

1. Цели и задачи на дисциплината. Целта на дисциплината: изучаване на методи за конструиране на числени алгоритми и изучаване на числени методи за решаване на математически задачи, които симулират различни физически процеси.

Синтаксис на оператора: GENERAL LOOP STATEMENT DO [( WHILE UNTIL ) ] ... LOOP [( WHILE UNTIL )], където ключовите думи се превеждат, както следва

МИНИСТЕРСТВО НА ЗЕМЕДЕЛИЕТО НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "КУБАНСКИ ДЪРЖАВЕН АГРАРЕН УНИВЕРСИТЕТ"

Ch Степенен ред a a a Серия от формата a a a a a () се нарича степенна редица, където a са константи, наречени коефициенти на редицата. Понякога се разглежда степенна редица от по-обща форма: a a (a) a ( a) a (a) (), където

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование Отдел "Кургански държавен университет"

A.P.Popov Методи за оптимални решения Наръчник за студенти от икономически специалности на университетите Ростов на Дон 01 1 Въведение В приложната математика има няколко направления, насочени основно

46 Практически урок 6 Числено интегриране Продължителност - 2 часа Целта на работата: да се затвърдят знанията за численото интегриране с помощта на обобщени формули за средни правоъгълници, трапеци,

UDC 004.9 LBC 32.97 T47 Електронен аналог на печатното издание: Информатика и математика: в 3 ч. Част 2: Решаване на уравнения / В. И. Тишин. М. : БИНОМ. Лаборатория Знание, 2013. 112 с. : аз ще. Тишин В. И. Т47

Лекция 4 8 ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ ЗА РЕШАВАНЕ НА СИСТЕМИ ОТ ОБИКНОВЕНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ПОСТАНОВКА НА ПРОБЛЕМА Проблемът за решаване на системи от обикновени диференциални уравнения от първи ред, свързващи

Числени методи за решаване на обикновени диференциални уравнения Решение на задача на Коши... Задача на Коши за едно обикновено диференциално уравнение. Разглеждаме проблема на Коши за един диференциал

Глава 1 Числени методи за изчисляване на определен интеграл Целта на работата е да се изучат числените методи на интегриране и тяхното практическо приложение за приближено изчисляване на единични интеграли. Продължителност

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИ УКАЗАНИЯ за извършване на лабораторна работа по дисциплината "Компютърни науки" семестър 3 НОВОСИБИРСК 008 Министерство на науката и образованието на Руската федерация Новосибирски технологичен институт на Московската държава

Methods.doc Методи за приблизително изчисление Страница 1 от 6 Общо условие на задачата: Използвайки два дадени числени метода, изчислете приблизителната стойност на корен 1 на функционално уравнение във формата f()=0 за N стойности

Саратовски национален изследователски държавен университет на името на N.G. Чернишевски“ А.И. Зинина В.И. Копнина Числени методи на линейна и нелинейна алгебра Урок Саратов

Катедра Компютърни системи и технологии (име на катедрата) ОДОБРЕНО на заседание на катедрата на 4 март 2016 г. протокол 6 Ръководител на катедрата Кондратиев В.В.